ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕΤΑΓΩΓΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΜΕΤΑΓΩΓΗ ΑΠΟ ΤΟ ΕΝΑ ΚΥΚΛΩΜΑ LC ΣΤΟ ΑΛΛΟ. ΔΥΟ ΠΥΚΝΩΤΕΣ ΚΑΙ ΕΝΑ ΠΗΝΙΟ. Στο κύκλωμα του σχήματος το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L = (A) (B) mh, ο πυκνωτής () έχει χωρητικότητα C = μf, ενώ ο πυκνωτής () έχει χωρητικότητα C = μf. Τη χρονική στιγμή t = ο πυκνωτής () είναι K Λ + + C μ L Μ Ν C πλήρως φορτισμένος, με τον οπλισμό Κ να είναι θετικά φορτισμένος. Z Μεταφέρουμε το μεταγωγός μ βρίσκεται στη θέση (Α) και το κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση με ολική ενέργεια Ε = 8 6 J, ενώ ο πυκνωτής () είναι αφόρτιστος. Τη χρονική στιγμή, T όπου t, όπου T η περίοδος της ηλεκτρικής ταλάντωσης του κυκλώματος LC, μεταφέρουμε ακαριαία τον μεταγωγό στη θέση (Β) χωρίς να προκληθεί σπινθήρας και το κύκλωμα LC ξεκινά αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. Να βρείτε: α. το πλάτος φορτίου Q, στον πυκνωτή () και την μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος Ι. β. το πλάτος της έντασης Ι στο κύκλωμα LC και την χρονοεξίσωση του θεωρώντας την φορά που έχει κατά την έναρξη των ταλαντώσεων στο κύκλωμα LC ως θετική. γ. τη μέγιστη ΗΕΔ από αυτεπαγωγή στα άκρα του πηνίου στο κύκλωμα LC. δ. ποιος από τους οπλισμούς Μ, Ν του πυκνωτή () φορτίζεται πρώτος θετικά, όταν το κύκλωμα LC ξεκινήσει ηλεκτρική ταλάντωση. Λύση α. Από την ενέργεια της ταλάντωσης στο κύκλωμα LC μπορούμε να υπολογίσουμε το μέγιστο φορτίο. Q E Q E C Q 8 C 6 6 Q = 6 C Για το πλάτος του ρεύματος ισχύει: E 8 E LI I I L 6 I = A Η κυκλική συχνότητα είναι Q Q 6 ω = ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U.

2 και η περίοδος Τ = π Σημείωση: Θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε την κυκλική συχνότητα ω και μετά Ι = ω Q. β. Τη στιγμή που μεταφέρουμε τον μεταγωγό από το (Α) στο (Β) το ρεύμα που διαρρέει το πηνίο εκείνη τη στιγμή είναι I t I I = I Η ταλάντωση στο κύκλωμα LC ξεκινά έχοντας την στιγμή της έναρξης ρεύμα = I και μηδενικό φορτίο. Άρα το αρχικό ρεύμα είναι και το μέγιστο δηλαδή Ι = Ι = Α. Στα κυκλώματα LC την αρχική φορά του ρεύματος την θεωρούμε ως (A) (B) αρνητική (δηλαδή το ρεύμα αρχικά κατευθύνεται από το Α Ζ). Βρήκαμε ότι τη στιγμή t το ρεύμα είναι = +I δηλαδή κατευθύνεται από το Ζ Α K Λ C μ L Μ Ν C όπως στο σχήμα. Z Σύμφωνα με την εκφώνηση η αρχική φορά του ρεύματος θεωρείται ως θετική άρα για το κύκλωμα LC π έχουμε για t = : I I φ = Η περίοδος είναι: LC 6 Τ = π και η κυκλική συχνότητα Άρα: I ( t ) ω = 5 π = ημ(5 t + ) για t Σημείωση: Αν σε κάποια άσκηση ζητά να γράψουμε την χρονοεξίσωση χωρίς μηδενισμό εκ νέου του χρόνου ακολουθούμε την ίδια διαδικασία και μετά κάνουμε αλλαγή μεταβλητής, αφού ισχύει κάθε χρονική στιγμή t = t + t t = t t και T t t,5 οπότε t = t,5 και = ημ 5 ( t ) + π,5 για t,5. γ. Επειδή ισχύει Ι = Ι θα έχουμε και Ε = Ε. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U.

3 Άρα E 8 E C V V V 6,max,max,max 6 C V,max = V Αλλά κάθε στιγμή η τάση στα άκρα του πυκνωτή και η Ε αυτ του πηνίου είναι ίσες, άρα: Ε αυτ,max = V,max = V. δ. Την χρονική στιγμή t που γίνεται η αλλαγή του διακόπτη το ρεύμα έχει τη (A) (B) φορά που φαίνεται στο σχήμα. Η φορά αυτή είναι η συμβατική φορά του ρεύματος δηλαδή η κίνηση θετικών φορτίων. Τα υποθετικά αυτά θετικά φορτία K Λ C μ L Μ Ν C κατευθύνονται προς τον οπλισμό Μ του πυκνωτή (), ό οποίος είναι και αυτός Z που θα φορτιστεί πρώτος θετικά. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U.

4 ΔΥΟ ΠΗΝΙΑ ΚΑΙ ΕΝΑΣ ΠΥΚΝΩΤΗΣ. Στο κύκλωμα του σχήματος, ο πυκνωτής C έχει χωρητικότητα C = δ δ δ μf, τα πηνία έχουν συντελεστή αυτεπαγωγής L = mh και L = 8 mh, ο αντιστάτης έχει αντίσταση R = 8 Ω και η πηγή έχει ΗΕΔ = V, και, r R L C L εσωτερική αντίσταση r. Αρχικά ο διακόπτης δ είναι κλειστός και έχει αποκατασταθεί το ρεύμα στο κύκλωμα, οι άλλοι δύο διακόπτες είναι ανοιχτοί όπως φαίνεται στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t = ο διακόπτης δ ανοίγει και ταυτόχρονα και χωρίς την δημιουργία σπινθήρα κλείνει ο διακόπτης δ και το κύκλωμα L C αρχίζει να εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση με ενέργεια Ε = 6 J. α. Να βρείτε την εσωτερική αντίσταση της πηγής. β. Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις, που δίνουν το φορτίο του πυκνωτή και την ένταση του ρεύματος, στο κύκλωμα L C. Την χρονική στιγμή t ανοίγουμε τον διακόπτη δ κλείνοντας ταυτόχρονα τον διακόπτη δ, χωρίς να δημιουργηθεί σπινθήρας. γ. Να υπολογίσετε το πλάτος του φορτίου και την μέγιστη ενέργεια που θα αποθηκευτεί στο πηνίο αυτεπαγωγής L καθώς και τη χρονική στιγμή t που θα συμβεί αυτό για πρώτη φορά. δ. Να κάνετε τη γραφική παράσταση του φορτίου του πυκνωτή σε σχέση με το χρόνο από την στιγμή t = ως τη χρονική στιγμή 7 t. Λύση α. Το πλάτος του ρεύματος στο αρχικό κύκλωμα είναι: E 6 E L I I I L I = A ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U.

5 Το ρεύμα αυτό είναι το ίδιο με το σταθερό ρεύμα που κυκλοφορούσε στο αρχικό δ κύκλωμα, το οποίο λόγω αυτεπαγωγής αποτέλεσε και το μέγιστο ρεύμα των μετέπειτα ηλεκτρικών ταλαντώσεων στο κύκλωμα L C. Για το κύκλωμα του σχήματος αφού έχει σταθεροποιηθεί το ρεύμα ισχύει ο νόμος του, r R L Ι Ohm στη μορφή I r R r 8 R r I r = Ω Σημείωση: Πριν την αποκατάσταση του ρεύματος ο νόμος του Ohm γράφεται στη μορφή E R όπως μάθαμε στην Β λυκείου. β. Το πλάτος του φορτίου μπορεί να βρεθεί από την ενέργεια ταλάντωσης: Q C Q E C Q 6 5 Q = 8 C επίσης Ι = ω Q ω = 5 / και η περίοδος είναι: Τ = π Επειδή την t = το φορτίο του πυκνωτή είναι μηδέν και το ρεύμα μέγιστο έχουμε αρχική φάση. Θεωρώ την φορά του ρεύματος την στιγμή της εκκίνησης των ταλαντώσεων στο κύκλωμα L C ως θετική οπότε: I I I π φ = Άρα οι εξισώσεις είναι: Q ( t ) = 8 συν(5t + π ) (S.I.) και I ( t ) π = ημ(5t + ) (S.I.) γ. Τη στιγμή λίγο πριν ανοίξουμε το διακόπτη δ το φορτίο στον πυκνωτή είναι: = 8 συν(5 ) 8 συν( ) = C. Οι ηλεκτρικές ταλαντώσεις στο κύκλωμα L C ξεκινούν με φορτίο τιμής όσο δηλαδή είχαμε και πριν την αλλαγή στα κυκλώματα. Άρα Q = = C. Στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις ισχύει ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 5

6 Q 6 U U U U C 8 B,max E,max B,max B,max 5 U B,max = J Την μέγιστη ενέργεια την αποκτά το πηνίο μόλις εκφορτιστεί ο πυκνωτής, δηλαδή σε χρόνο. Είναι Άρα T L C T 8 5 T 8 t t t Τ = 8π. π t = δ. Το κύκλωμα L C ξεκινά τις ταλαντώσεις του έχοντας μέγιστο φορτίο και μηδενικό ρεύμα, δηλαδή εκτελεί ταλαντώσεις χωρίς αρχική φάση. Η κυκλική συχνότητα είναι: ω = 5 και η χρονοεξίσωση του φορτίου Q t = συν5t (S.I.) για t ή Άρα = συν5(t π ) (S.I.) t t 8 (5t ) t 5(t ) t (S.I.) Η χρονική στιγμή t αντιστοιχεί σε t = t + T και η γραφική παράσταση (με τη βοήθεια του Graph) φαίνεται παρακάτω. ( C) 8 8 π 7π t ( ) ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 6

7 ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ LC ΠΟΥ ΚΑΤΑΛΗΓΟΥΝ ΣΕ ΕΝΑ. Στο διπλανό σχήμα οι πυκνωτές έχουν χωρητικότητα C =, μf και C = 8 μf, ενώ τα πηνία παρουσιάζουν συντελεστή αυτεπαγωγής L = mh και L =,5 mh. Τα υπόλοιπα στοιχεία δεν παρουσιάζουν δ δ δ C L C L αντιστάσεις. Φορτίζουμε τους πυκνωτές με φορτίο Q =,8 μc και Q = μc. Κλείνουμε τους διακόπτες δ και δ ταυτόχρονα και τα κυκλώματα L C και L C αρχίζουν να εκτελούν ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Α. Να γράψετε τις χρονοεξισώσεις του φορτίου και του ρεύματος στο κάθε κύκλωμα. Β. Την χρονική στιγμή t, ανοίγουμε τους διακόπτες δ και δ ενώ ταυτόχρονα κλείσουμε τον δ χωρίς καμία δημιουργία σπινθήρα. α. Να βρείτε την περίοδο των ταλαντώσεων στο κύκλωμα L C και την ενέργεια του. β. Να σχεδιάσετε την πολικότητα του πυκνωτή C και του πηνίου L την χρονική στιγμή t + (δηλαδή αμέσως μετά την δημιουργία του κυκλώματος L C ), και να εξηγήσετε αν την στιγμή εκείνη ο πυκνωτής C φορτίζεται ή εκφορτίζεται. γ. να βρείτε τις χρονοεξισώσεις φορτίου και ρεύματος στο κύκλωμα L C για t t θεωρώντας για το ρεύμα ως θετική την φορά που θα θεωρήσουμε και στις αρχικές ταλαντώσεις. Γ. Ποια είναι η πρώτη χρονική στιγμή που αν ανοίξουμε τους διακόπτες δ και δ και κλείσουμε τον δ (χωρίς δημιουργία σπινθήρα) θα πετύχουμε το κύκλωμα L C να ταλαντώνεται με την μέγιστη δυνατή ενέργεια; Θεωρήστε ότι δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας λόγω Η/Μ ακτινοβολίας. Λύση Α. Οι περίοδοι των δύο ταλαντώσεων είναι αντίστοιχα: T LC T =,6π και T LC T = π. Ενώ οι αντίστοιχες κυκλικές συχνότητες: ω =,5 και ω =. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 7

8 Οπότε οι ζητούμενες σχέσεις είναι: Q t I t Q t I t 6 =,8 συν,5 t (S.I.) = ημ,5 t (S.I.) 6 = συν5 t (S.I.) = ημ5 t (S.I.) Β. α. Την στιγμή ελάχιστα πριν κάνουμε την αλλαγή στους διακόπτες το ρεύμα στο πηνίο L και το φορτίο στον πυκνωτή C είχαν τιμές: 5 = ημ, 5 ημ = A = C Η ενέργεια του κυκλώματος L C είναι: E U U E L B E C E E E = 7 J Η περίοδος είναι: T L C T 8 5 Τ = 8π β. Σύμφωνα με την θεωρία του σχολικού βιβλίου η αρχική φορά (από τον θετικό οπλισμό στον αρνητικό) θεωρείται ως αρνητική. Για τον πυκνωτή οι χρονοεξισώσεις αναφέρονται στον αρχικά θετικά φορτισμένο οπλισμό. Άρα σύμφωνα με τα παραπάνω έχουμε ρεύματα και πολικότητες όπως στο διπλανό σχήμα. Την στιγμή t το ρεύμα στο πηνίο L είναι: 5 = Α + + C δ δ δ Κ L C L + + Λ Κ δ L C + + Λ και το φορτίο στον πυκνωτή,8,5 6 6 =, C ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 8

9 (Η εύρεση του ρεύματος και του φορτίου δεν ήταν απαραίτητα να βρεθούν) Βλέπουμε το ρεύμα κατευθύνεται από τον αρνητικό στον θετικό οπλισμό του πυκνωτή άρα εκείνη τη στιγμή ο πυκνωτής φορτίζεται. γ. Την στιγμή έναρξης των ταλαντώσεων στο κύκλωμα L C έχουμε και φορτίο και ρεύμα άρα υπάρχει αρχική φάση. 6 6 Για t = έχουμε: Q k και επειδή στο αρχικό κύκλωμα η φορά του ρεύματος στο πηνίο L είναι θετική όταν αυτό κινείται από το Λ στο Κ, το ρεύμα την χρονική στιγμή t + (t = ) θα το θεωρήσουμε αρνητικό. Για t = : I και 5 I άρα φ = π/. Έχουμε: E L I I I L 7 I = A 8 ω = 5 και I 6 Q Q Q Q = C 5 Οι ζητούμενες εξισώσεις είναι: Q ( t ) 6 π = συν(5t + ) (S.I.) για t ή π π 6 = συν 5 t + (S.I.) για t t I ( t ) π = ημ(5t + ) (S.I.) για t ή π π = ημ 5 t + (S.I.) για t t (Η στιγμή t = προκύπτει αν θεωρήσουμε την στιγμή t ως η στιγμή που μηδενίζουμε εκ νέου τον χρόνο.) ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 9

10 Για να έχει το κύκλωμα L C μέγιστη δυνατή ενέργεια θα πρέπει τα δύο στοιχεία πηνίο () και πυκνωτής () να έχουν αποθηκευμένη όλη την ενέργεια των κυκλωμάτων τους (L C, και L C αντίστοιχα). Δηλαδή πρέπει = ± Ι και = ±Q άρα: ( ) ( ) I t t t t,5 (κ +)π t = - Άρα t = (,π,,π, π,,8π,...) Q Q t Q t t - t = νπ Άρα t = (π, π, 6π, 8π,...) Όπως βλέπουμε πρώτη φορά πετυχαίνουμε ταυτόχρονα μέγιστο την χρονική στιγμή t = π -. Επαλήθευση από τα διαγράμματα στο Graph Βλέπουμε πως η επόμενη χρονική στιγμή που θα συμβεί το ίδιο φαινόμενο είναι η t = 6π. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U.

11 . Στο διπλανό κύκλωμα τα στοιχεία που φαίνονται έχουν τιμές δ δ δ = V, = 5 V, R = Ω, R = 8 Ω, R = Ω, L = mh, L C R C = 5 μf. Οι δύο πηγές είναι ιδανικές και οι αγωγοί σύνδεσης R R είναι μηδενικής αντίστασης ενώ το κύκλωμα LC θεωρούμε ότι δεν ακτινοβολεί κατά την διάρκεια της ταλάντωσης του. Αφού έχει σταθεροποιηθεί το ρεύμα στα δύο κυκλώματα ανοίγουμε τους διακόπτες δ και δ ενώ ταυτόχρονα κλείνουμε τον δ χωρίς να συμβεί κάποια απώλεια ενέργειας. Αυτή τη στιγμή την θεωρούμε ως t =, για τις ηλεκτρικές ταλαντώσεις που θα ακολουθήσουν. α. Να βρείτε την ενέργεια που έχει αποθηκευτεί στο πηνίο και τον πυκνωτή πριν την αλλαγή των διακοπτών β. Να γράψετε τις χρονοεξισώσεις ρεύματος και φορτίου θεωρώντας την φορά του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο τη χρονική στιγμή t = ως θετική. γ. Να εξηγήσετε αν ο πυκνωτής θα αρχίσει να φορτίζεται ή να εκφορτίζεται αμέσως μετά τη χρονική στιγμή t =. δ. Ποια αλλαγή πρέπει να κάνουμε στο αρχικό σύστημα ώστε η απάντηση σας να είναι αντίθετη από αυτή που δώσατε στο ερώτημα γ. Λύση α. Στο σχήμα φαίνονται τα ρεύματα πριν ανοίξουν οι διακόπτες δ, δ δ δ δ. Οι τιμές αυτών είναι: I R I = A και στο άλλο L I I C R κύκλωμα I R R I =,5A. R R Ο πυκνωτής είναι παράλληλα συνδεδεμένος με τον αντιστάτη R, συνεπώς έχουν κοινή τάση. VC VR I R VC V Άρα για το πηνίο UB LI UB U Β = J και για τον πυκνωτή 6 UE CVC UB 5 U E = J ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U.

12 β. Εφόσον την χρονική στιγμή t = το ρεύμα δεν είναι μηδέν το κύκλωμα έχει αρχική φάση. Η ενέργεια των ηλεκτρικών ταλαντώσεων είναι E UB UE E = J Το μέγιστο ρεύμα των ηλεκτρικών ταλαντώσεων είναι: E E LI I L I = A και το πλάτος του φορτίου: Q E Q EC C Q = C και επίσης Ι = ωq ω = / 5 Για t = : I I I Για t = έχω >, άρα Q 5 Q οπότε είναι Οι αντίστοιχες χρονοεξισώσεις είναι: = Qσυν(ωt + φ ) 5 5π = συν t + (S.I.) I ( t ) 5π = ημ t + (S.I.). γ. Την στιγμή που δημιουργείται το κύκλωμα LC το ρεύμα και η πολικότητα στον πυκνωτή είναι όπως στο διπλανό σχήμα. Βλέπουμε ότι το ρεύμα κατευθύνεται από τον θετικό οπλισμό του πυκνωτή στον αρνητικό (ο πυκνωτής λειτουργεί ως πηγή), άρα εκφορτίζεται. Σημείωση: Η φορά του ρεύματος παραμένει ως έχει λόγω της αυτεπαγωγής. L δ I + + C δ. Παραπάνω βλέπουμε ότι ο πυκνωτής εκφορτίζεται. Για να είχαμε φόρτιση μετά την t = θα έπρεπε ή το ρεύμα αρχικά να έχει αντίθετη φορά άρα πρέπει να αντιστρέψουμε την πολικότητα της πηγής και διατηρήσουμε την πολικότητα της πηγής ως έχει, ή να διατηρήσουμε την πολικότητα της ως έχει και να αντιστρέψουμε την πολικότητα της ώστε και ο πυκνωτής ν αποκτήσει αρχικά αντίστροφη πολικότητα. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U.