Μάθηση µε µοντέλα. & εννοιολογικοί χάρτες. επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Transcript

1 Μάθηση µε µοντέλα & εννοιολογικοί χάρτες

2 µοντέλα - ορισµός Ένα επιστηµονικό µοντέλο είναι µια αναπαράσταση ενός συστήµατος. Είναι συµβολικά κατασκευάσµατα που µιµούνται ή αναπαριστούν σε µια ιδεατή µορφή στοιχεία ή πτυχές της πραγµατικότητας µπορεί να σηµαίνει την αναπαράσταση ενός φυσικού συστήµατος, φαινοµένων, διαδικασιών ή δεδοµένων, ή/και την ερµηνεία µιας θεωρίας, που αποδίδει νόηµα στα αξιώµατα, θεωρήµατα, κανόνες, και προτάσεις της θεωρίας.

3 µοντέλα & νοητικά µοντέλα

4 Μοντέλα Τα µοντέλα µας παρέχουν ένα πλαίσιο µε αναπαραστασιακή, προβλεπτική και επεξηγηµατική ισχύ Αποτελούν τρόπο οργάνωσης και συµπύκνωσης της πληροφορίας Ερµηνεύουν φαινόµενα-λύνουν προβλήµατα Προβλέπουν, εκτιµούν, αξιολογούν

5 λειτουργίες µοντέλων ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Ενδιάµεσος παράγοντας µεταξύ της θεωρίας και του πραγµατικού κόσµου Διερευνητικές λειτουργίες (περιγραφή µοτίβων, εξηγήσεις, προβλέψεις) Ευρετικό µοντέλο-χρήση για δηµιουργία θεωρίας: Το µοντέλο ως ενδιάµεσος παράγοντας ανάµεσα στην παλιά και νέα θεωρία «Επινοητικές» λειτουργίες όπως έλεγχο ή αλλαγή των υπαρχόντων συστηµάτων

6 ζητήµατα ορισµών Είδη µοντέλων (εξωτερικά) µοντέλα (εσωτερικά) νοητικά µοντέλα είδη µοντέλων σε επίπεδο δοµής : να έχουν αναλογικές και τοπολογικές οµοιότητες (φυσικά µοντέλα δύο ή τριών διαστάσεων ή οµοιώµατα), π.χ., υδρόγειος να είναι συµβολικές κατασκευές που δεν σχετίζονται φαινοµενολογικά µε το προς αναπαράσταση σύστηµα, π.χ., εξίσωση εννοιολογικό µοντέλο: είναι µια ανακάλυψη των επιστηµόνων, των µηχανικών ή των εκπαιδευτικών που προσφέρει µια κατάλληλη αναπαράσταση του συστήµατος που αναπαριστά υπό την έννοια ότι είναι ορθό, συνεπές και πλήρες. π.χ. το κοσµογονικό µοντέλο

7 τα νοητικά µοντέλα

8 Νοητικά µοντέλα (mental models) (Johnson-Laird, 1983) «αναπαριστά µια κατάσταση - η δοµή τους δεν είναι αυθαίρετη όπως µια προτασιακή αναπαράσταση, αλλά παίζει το ρόλο µιας άµεσης αναλογικής αναπαράστασης. Η δοµή τους αντικατροπτρίζει τη δοµή της πραγµατικής κατάστασης» Κατασκευάζονται στη στιγµή για να αντιµετωπιστούν συγκεκριµένες καταστάσεις π.χ., πόσα παράθυρα έχει το σπίτι σου; (Gertner & Stevens, 1983) Είναι µορφή γνωστικής δοµής, µια πρόταση για το πως οργανώνονται και αποθηκεύονται οι γνώσεις στη µνήµη Είναι µια εννοιολογική αναπαράσταση µε ποιοτικά χαρακτηριστικά (π.χ., χωρικά) την οποία µπορείς να τρέξεις µε το νου

9 Νοητικά µοντέλα Τα µοντέλα δεν είναι µόνο νοητικές εικόνες Γίνονται ερµηνευτικά αντιληπτά και είναι γνωστικώς διαπερατά (Pylyshyn, 1973) Είναι υψηλού επιπέδου νοητικά κατασκευάσµατα που αναπαριστούν τη δοµή καταστάσεων, αντικειµένων, πεποιθήσεων, στάσεων Π.χ., νοητικό µοντέλο της αλλαγής µέρας νύχτας, ή το σχήµα της Γης Μπορεί ένα µοντέλο να αποκτήσει πιο µόνιµη µορφή όταν η καθηµερινή ζωή απαιτεί µια πιο συχνή χρήση του (Vosniadou, 1994)

10 Νοητικά µοντέλα (Vosniadou, 1994)

11 Νοητικά µοντέλα για το σχήµα της Γης (Vosniadou, 1994)

12 µοντέλα στα µαθηµατικά & η διαδικασία της µοντελοποίησης

13 µοντέλα στα µαθηµατικά Πρόβληµα: Υπάρχουν 12 λουλούδια στην αυλή. Έκοψα τα 4 να τα δώσω στη φίλη µου. Πόσα έµειναν στον κήπο;

14 Σε ένα τραπέζι κάθονται 4 άτοµα Πήρε µία παρέα να κλείσει τραπέζι για 12 άτοµα, πόσα τραπέζια πρέπει να ενώσουµε; Πόσα τραπέζια για δέκα άτοµα;

15 τα µοντέλα στη διδακτική πράξη Υπό το πρίσµα της µοντελοποίησης, το ζητούµενο της µάθησης δεν περιορίζεται µόνο στην πρόσκτηση ενός µοντέλου αλλά επεκτείνεται και στην ανάπτυξη όλων εκείνων των γνωστικών εργαλείων που επιτρέπουν τις πρακτικές της µοντελοποίησης (Ραβάνης, 1999). Μοντελοποίηση: είναι η διαδικασία δηµιουργίας αφηρηµένων, εννοιολογικών, γραφικών ή και µαθηµατικών µοντέλων. Η προσέγγιση που βοηθά τους µαθητές να εκφράζουν και να σκέφτονται µε όρους µοντέλων και όχι µε µαθηµατικά σύµβολα ή γλωσσικές εκφράσεις φαίνεται ότι ενισχύουν την κατανόησή τους και όχι την στείρα αποµνηµόνευση (Βοσνιάδου, 1998).

16 µοντελοποίηση Δοµιστική προσέγγιση: τα µοντέλα θεωρούνται ατοµικές κατασκευές, οι οποίες προκύπτουν µέσω της αλληλεπίδρασης µε τους άλλους και την πραγµατικότητα (Doise & Mugny, 1981) Κοινωνικο-πολιτισµική προσέγγιση: συλλογικά κατασκευάσµατα, προϊόν της εσωτερίκευσης κοινωνικών διεργασιών και αλληλεπιδράσεων (Vygotsky, 1962). Από επιστηµολογική άποψη: τα εννοιολογικά µοντέλα είναι κοινωνικές κατασκευές που συνδέονται στενά µε την ανάπτυξη της επιστήµης και της επιστηµονικής σκέψης. Ως δηµιουργίες επιστηµονικών θεωριών, έχουν την ισχύ του παραδείγµατος (κατά Kuhn) και εξελίσσονται ή διαψεύδονται µέσα στην ανθρώπινη ιστορία και τον πολιτισµό.

17 κάποιοι τύποι µοντελοποίησης στα µαθηµατικά

18 εννοιολογικοί χάρτες

19

20

21 εννοιολογικοί χάρτες Συνδέουν έννοιες µε άλλες έννοιες µέσα από τη δηµιουργία προτάσεων µε νόηµα Δοµή: Από το γενικό στο πιο ειδικό Η γενική έννοια στο κέντρο, ή την κορυφή π.χ., έννοια και κατηγορίες της, εφαρµογές ιδιότητες, κτλ. Αποτελείται από: «κόµβους» (nodes). στα οποία ο χρήστης τοποθετεί «ετικέτες» (tags) µε έννοιες (κατηγορίες, χαρακτηριστικά, ιδιότητες, κτλ) «συνδέσµους» (links), που ενώνουν τις έννοιες µεταξύ τους. Αναπαριστάνονται στον χάρτη µε γραµµές (µε µονόδροµη ή/και αµφίδροµη κατεύθυνση) που τιτλοφορούνται και αυτοί µε µια ετικέτα, που περιέχει τον συνδετικό δείκτη ή/και το ρήµα.

26 εννοιολογικοί χάρτες Ακολουθώντας τον Ausubel, o Novak έδειξε πως ο εννοιολογικός χάρτης βοηθάει τον εκπαιδευόµενο να ανασυγκροτήσει τις γνώσεις που ήδη κατέχει, να ορίσει και να διευκρινίσει σχέσεις µεταξύ των εννοιών και να συσχετίσει τις νέες έννοιες µε όσες ήδη γνωρίζει.

27 θεωρητικές παραδοχές «Η Γνώση βρίσκεται στις συνδέσεις» σύνδεση νέας γνώσης µε προϋπάρχουσα γνώση σύνδεση µε την βιωµένη εµπειρία εφαρµογή της γνώσης σύνδεση έννοιας µε πολλές αναπαραστάσεις της σύνδεση διαφορετικών γνωστικών αντικειµένων (βλ. διαθεµατικότητα) σύνδεση µε πολλές αισθήσεις ως µνηµονικός κανόνας σύνδεση γνωστικών στόχων µε ενδιαφέροντα και εσωτερικά κίνητρα βιολογική βάση των συνδέσεων (νευρώνες, εγκεφαλικές περιοχές)

28 εννοιολογικοί χάρτες & η ιδέα του κονστρουκτιβισµού Ως µέσο γνωστικής σύνδεσης και µοντέλο µε το οποίο η ανθρώπινη µνήµη δοµεί τη γνώση, ο χάρτης εννοιών προάγει την εµπλοκή του εκπαιδευόµενου σε διεργασίες αναλυτικές, συνθετικές, µεταγνωστικές και αυτοαξιολόγησης, παρέχοντάς του τη δυνατότητα να ενεργοποιήσει ή και να τροποποιήσει γνώσεις που είτε µένουν αδρανείς είτε είναι εσφαλµένες (Novak & Gowin 1984, Novak 1998, 2002)

29 εννοιολογικοί χάρτες & η ιδέα του κονστρουκτιβισµού η νοηµοσύνη έχει τις διάφορες νοητικές δοµές (σχήµατα κατά τον Piaget) µε τις οποίες οργανώνεται και προσαρµόζεται στο περιβάλλον Η πνευµατική ανάπτυξη του ατόµου έγκειται στη διαρκή µεταβολή των σχηµάτων (των νοητικών δοµών) που συµβαίνει µέσα από τη διαρκή αλληλεπίδραση µε το περιβάλλον Τα σχήµατα είναι σαν θεωρίες που φτιάχνουν τα παιδιά και τις εξετάζουν σαν επιστήµονες, εµπλουτίζονται, αλλάζουν Η διαδικασία του εµπλουτισµού θα µπορούσε να είναι η επέκταση του χάρτη, η δηµιουργία νέων συνδέσεων, η ενδυνάµωση κάποιων και η αποδυνάµωση κάποιων άλλων λόγω µικρότερης χρήσης Θυµηθείτε τα µοντέλα οργάνωσης της πληροφορίας στη βραχύχρονη µνήµη

30 Μοντέλα οργάνωσης των πληροφοριών στη µακρόχρονη µνήµη Σηµασιολογικά Δίκτυα Σχήµατα Παράλληλα κατανεµηµένα διαδικαστικά µοντέλα

31 Σηµασιολογικά Δίκτυα Πληροφορίες συνδέονται µεταξύ τους φτιάχνοντας πολύπλοκα σηµασιολογικά δίκτυα Κάποιες συνδέσεις είναι πιο ισχυρές από άλλες Δύσκολοι συµπερασµοί είναι πιο χρονοβόροι γιατί το µονοπάτι δεν έχει πιθανόν ξαναχρησιµοποιηθεί

32 Σηµασιολογικά Δίκτυα

33 εννοιολογικός χάρτης κλάσµατος

34 εννοιολογικοί χάρτες Εκπαιδευτική χρήση: Μαθητές: Οργάνωση της γνώσης Ενίσχυση της µεταγνωστικής επίγνωσης (φτωχός vs πλούσιος χάρτης) Ενίσχυση της αυτορύθµισης Εκπαιδευτικοί: Αξιολόγηση της γνώσης των µαθητών Οργάνωση της πληροφορίας

35 εννοιολογικοί χάρτες Εκπαιδευτικό λογισµικό για εννοιολογικούς χάρτες

36 τα µοντέλα που πρέπει να αλλάξουν άδηλα, πρωτόγονα και άλλα µοντέλα

37 χρήση µοντέλων στη λύση προβληµάτων Το µοντέλο συνήθως δίνει γενικές λύσεις σε παρόµοια µαθηµατικά προβλήµατα Έτσι επιβεβαιώνεται, ενισχύεται και αποτελεί κυρίαρχο τρόπο αντιµετώπισης µιας σειράς προβληµάτων Το µοντέλο όµως δεν λειτουργεί πάντα και συχνά χρειάζεται προσαρµογή Χρήση του µοντέλου σε προβληµατικές καταστάσεις µε διαφορετικά χαρακτηριστικά θα έχει ως αποτέλεσµα συγκεκριµένα λάθη παραδείγµατα: προσθετικό µοντέλο γραµµικό µοντέλο

38 το προσθετικό µοντέλο Πρόβληµα: Εσύ έχεις 3 µπισκότα κι εγώ έχω 5. Πόσα έχουµε µαζί; Το µαθηµατικό µοντέλο λύσης είναι το µοντέλο της συνένωσης δύο συνόλων Αυτό λειτουργεί στα προβλήµατα µε αθροιστικές σχέσεις Δηµιουργεί την σιγουριά ότι η πρόσθεση µεγαλώνει / η αφαίρεση µικραίνει, κάτι που θα ανατραπεί µε τους αρνητικούς αριθµούς

39 το προσθετικό µοντέλο Οι µαθητές έχουν την τάση να γενικεύουν τη χρήση του σε µαθηµατικές καταστάσεις µη αθροιστικών σχέσεων σε µη µαθηµατικές καταστάσεις π.χ. Ο Κώστας έχει 5 φίλους κι ο Γιώργος 6. Οι δύο φίλοι αποφασίζουν να κάνουν ένα πάρτι από κοινού όπου θα κάλουν και οι δύο όλους τους φίλους τους. Πόσοι φίλοι θα είναι στο πάρτι; Ένα φλιτζάνι γάλα προστίθεται σε ένα φλιτζάνι δηµητριακά. Πόσα φλιτζάνια γάλατος θα πάρουµε; Σε ένα δοχείο ρίχνουµε µία κανάτα νερό 80*C και άλλη µία 40*C. Πόση θερµοκρασία θα έχει το νερό του δοχείου;

40 Το γραµµικό µοντέλο λανθασµένη χρήση Μια οµάδα 5 µουσικών παίζει ένα κοµµάτι σε 10. Μια άλλη οµάδα 35 µουσικών πόσο χρόνο θα χρειαστεί για να παίξει το ίδιο κοµµάτι; αναλογική σχέση: Γ 38%, ΣΤ 60%, Α Γυµν. 38% Ο Βασίλης γίνεται σήµερα 2 ετών κι η Ελένη 6 ετών. Όταν ο Βασίλης θα γίνει 12 ετών, πόσο θα είναι η Ελένη; αναλογική σχέση >10% σε Ε και ΣΤ Η ατµοµηχανή ενός τρένου έχει µήκος 12µ. Εάν συνδέσουµε στην ατµοµηχανή 4 βαγόνια, το τρένο έχει µήκος 52µ. Πόσο µήκος έχει το τρένο αν συνδέσουµε 8 βαγόνια; αναλογική σχέση: Β 41,7%, Ε 82,4%

41 Το γραµµικό πολ/κό µοντέλο Γραµµικές σχέσεις / σχέσεις λόγου ή αναλογίας ο σταθερός ρυθµός αλλαγής µιας µεταβλητής συνδέεται µε έναν σταθερό ρυθµό αλλαγής µιας άλλης µεταβλητής. π.χ., Ένα κουτί έχει 8 µπισκότα. Πόσα µπισκότα θα περιέχει η συσκευασία των 3 κουτιών;

42 αλλά... Ένα πουκάµισο στεγνώνει σε 25 λεπτά αν εκτεθεί στον ήλιο. Σε πόσα λεπτά θα στεγνώσουν 3 ίδια πουκάµισα αν εκτεθούν σε ακριβώς ανάλογες συνθήκες µε το πρώτο;

43 Ανάλογες/µη-ανάλογες σχέσεις Αναλογική σχέση Στον χάρτη της Ελλάδας η απόσταση Πάτρας -Ζακύνθου είναι περίπου 5εκ. και η απόσταση Πάτρας-Κέρκυρας περίπου 11εκ. Σε έναν άλλο χάρτη της Ελλάδας η απόσταση Πάτρας-Ζακύνθου είναι περίπου 20εκ. Πόσο µεγάλη είναι η απόσταση Πάτρας Κέρκυρας σε αυτό το χάρτη; (Απ. 44 εκ) Μη αναλογική σχέση Σε ένα χάρτη της Ελλάδας η απόσταση Πάτρας-Αθήνας είναι 2εκ και το εµβαδόν της Ελλάδας είναι 250 τ.εκ. Σε άλλο χάρτη η απόσταση Αθήνας-Πατρας είναι 6εκ. Πόσο είναι το εµβαδόν της Ελλάδας σε αυτόν τον άλλο χάρτη; (Απ τ.εκ)

44 Ερµηνείες/τρόποι αντιµετώπισης Ερµηνείες Προϋπάρχουσα γνώση µε γενικευµένη χρήση γραµµικών προβληµάτων Η γραµµική σχέση είναι έντονα επιβεβαιωµένη από την καθηµερινή µαθηµατική πρακτική Τρόποι αντιµετώπισης Γνωστική σύγκρουση (βλ. µάθηση µε εννοιολογική αλλαγή) Αναπαράσταση-µοντελλοποίηση του προβλήµατος Μεταγνωστική επίγνωση

45 (πρωτόγονα) Μοντέλα πολλαπλασιασµού επαναληπτική πρόσθεση π.χ., 3 * 5 = ή : τελεστής, 5: τελεστέος ο τελεστής πρέπει να είναι ακέραιος Ενισχύει την παρανόηση ότι ο πολλαπλασιασµός µεγαλώνει πάντα τον τελεστέο µπορεί να υποστηρίξει την πράξη 3*0.5, αλλά όχι την 0.5*3 άλλα µοντέλα: το εµβαδόν ορθ. παρ/µου

46 µοντέλο για τον πολ/σµό µοντέλο για τον πολ/σµό κλάσµατος:

47 κλάσµατα: το µοντέλο της πίτσας Η αναλογία µε την πίτσα εφαρµόζει το µοντέλο του µέρους/όλου στη διδασκαλία του κλάσµατος Ορίζοντας το κλάσµα ως µέρος του όλου π.χ., µε κοµµάτια µιας πίτσας, οι µαθητές δυσκολεύονται να αντιληφθούν ότι ένα κλάσµα µπορεί να είναι µεγαλύτερο από τη µονάδα. µε ποιον τρόπο ένα κλάσµα θα µπορούσε να είναι το ίδιο µε δεκαδικό αριθµό. µε τον τρόπο που χωρίζεται το όλον Με την αδυναµία αναγνώρισης του κλάσµατος ως αριθµό : έχουν την τάση να αντιµετωπίζουν το κλάσµα ως κάποιο µέρος (αριθµός κοµµατιών) από ένα όλο και στη συνέχεια όταν προσθέτουν κλάσµατα κάνουν λάθη της µορφής 2/3 + 4/5 =6/8. το κλάσµα ως πηλίκο που υποστηρίζεται από το µοντέλο της διαίρεσης µερισµού

48 (πρωτόγονα) Μοντέλα διαίρεσης Από τον πολ/µό 2Χ3 σοκολάτες =6 σοκολάτες προκύπτουν 2 διαιρέσεις: Διαίρεση µερισµού: ένα αντικείµενο διαιρείται σε έναν αριθµό από ίσα τµήµατα ο διαιρετέος (Δ) µέγεθος- χωρίζεται σε τόσα µέρη όσα καθορίζει ο διαιρέτης(δ)-αριθµός. ο διαιρετέος πρέπει να είναι µεγαλύτερος από τον διαιρέτη ο διαιρέτης πρέπει να είναι ακέραιος το πηλίκο πρέπει να είναι µικρότερο από τον διαιρετέο Διαίρεση µέτρησης: πόσες φορές περιέχεται µια δοσµένη ποσότητα (µέγεθος) σε µια µεγαλύτερη ποσότητα (µέγεθος) ο διαιρετέος πρέπει να είναι µεγαλύτερος από τον διαιρέτη (µόνος περιορισµός) αν το πηλίκο είναι είναι ακέραιος, το µοντέλο µπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελεί επαναληπτική αφαίρεση

49 Μοντέλα διαίρεσης

50 το µοντέλο της αριθµογραµµής Χτίζει πάνω στην καθηµερινή γνώση των µαθητών Νοητικό µοντέλο της αριθµογραµµής βοηθά στις εκτιµήσεις και στις στρογγυλοποιήσεις Ενισχύει τη διακριτότητα αλλά µπορεί και να εισάγει στην πυκνότητα των ρητών αριθµών Υποστηρίζει τις πράξεις µε ακεραίους

51 αριθµογραµµή σε λύση προβλήµατος από βιβλίο Δ Δηµοτικού

52 αριθµογραµµή σε λύση προβλήµατος µε εκτίµηση από βιβλίο Δ Δηµοτικού

53 Η παρούσα παρουσίαση χρησιµοποίησε υλικό από: Βοσνιάδου, Στ. (επιµ.) (2004). Εισαγωγή στην Ψυχολογία, Α τόµος. εκδ. Gutenberg Βοσνιάδου, Στ. (1998), Η Ψυχολογία των Μαθηµατικών, Σειρά Ψυχολογίας, Εκδόσεις Gutenberg. Kόµης Β., Ράπτης A., Πολίτης Π., Δηµητρακοπούλου A., (2004). Εκπαιδευτικά Λογισµικά Μοντελοποίησης στις Φυσικές Επιστήµες, Στο Ι. Κεκκές (Eπιµ). Νέες Τεχνολογίες και Εκπαίδευση: Θέµατα Σχεδιασµού, Κοινωνικές και Φιλοσοφικές Επεκτάσεις, Εκδόσεις Ατραπός, Ένωση Ελλήνων Φυσικών, σελ Κολέζα. (2009).Θεωρία και Πράξη στη Διδασκαλία των Μαθηµατικών. Εκδόσεις Tόπος. και υλικό από το διαδίκτυο