Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση

Transcript

1 1. Εισαγωγή Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Το εκπαιδευτικό λογισμικό «Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση» δίνει τη δυνατότητα στα παιδιά να ασχοληθούν με μαθηματικές έννοιες και δεξιότητες, που συναντούν σε όλες τις τάξεις του ημοτικού. Το λογισμικό αποτελείται από τις τρεις ακόλουθες εφαρμογές: 1. Μαθαίνω Γεωμετρία και Mετρώ 2. Παίζω με τους αριθμούς και 3. Βρίσκω τα πολλαπλάσια Οι εφαρμογές «Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ» και «Παίζω με τους αριθμούς» αποτελούνται από ενότητες. Η εφαρμογή «Βρίσκω τα πολλαπλάσια» αποτελεί εκπαιδευτικό παιχνίδι Λειτουργία σε πλήρη οθόνη Όταν ξεκινάει η εφαρμογή "Μαθαίνω Γεωμετρία και Mετρώ", αυτή λειτουργεί σε πλήρη οθόνη. Έτσι, δεν μπορείτε να δείτε τη Γραμμή Εργασιών για να μπορείτε να κάνετε εναλλαγή με άλλες εφαρμογές. Σε αυτή την περίπτωση μπορείτε να κάνετε ένα από τα παρακάτω: (α) Επιλέξτε Alt+Tab, για εναλλαγή με άλλη εφαρμογή που τρέχει παράλληλα. (β) Επιλέξτε Ctrl+F ή Esc, για να τρέχει η εφαρμογή σε λειτουργία παραθύρου. Στη συνέχεια, μπορείτε να προσαρμόσετε το παράθυρο της εφαρμογής στο μέγεθος που επιθυμείτε Απόκρυψη του βέλους 1 Κατά τη χρήση της εφαρμογής σε διαδραστικό πίνακα, θα ήταν ωφέλιμο να αποκρύπτεται το βέλος. Ωστόσο, όταν η εφαρμογή χρησιμοποιείται σε έναν υπολογιστή, είναι καλύτερα το βέλος να είναι εμφανές καθ όλη τη διάρκεια της ενασχόλησής σας με την εφαρμογή. (Βλέπε εγχειρίδιο χρήσης) Με την επιλογή μιας εφαρμογής, μεταβαίνετε στο περιβάλλον διεπαφής της επιλεγμένης εφαρμογής, στο οποίο προσφέρονται οι δραστηριότητες ενότητες. 1 Η διαδικασία για απόκρυψη/επανεμφάνιση του βέλους περιγράφεται στο εγχειρίδιο χρήσης. 1

2 Εικονίδιο Επεξήγηση Επιλέγοντας αυτό το εικονίδιο, το οποίο βρίσκεται μπροστά από κάθε ενότητα, παρατίθενται οι διδακτικοί στόχοι της αντίστοιχης ενότητας. Επιλέγοντας αυτό το εικονίδιο, σας δίνονται οι οδηγίες χρήσης και η επεξήγηση των χειριστηρίων (πλήκτρων) που περιέχονται στην επιλεγμένη δραστηριότητα. Εάν βρίσκεστε στο περιβάλλον κάποιας δραστηριότητας, επιλέγοντας αυτό το κουμπί, επιστρέφετε στην προηγούμενη οθόνη. Εάν βρίσκεστε στο Κεντρικό Μενού, τερματίζετε την εφαρμογή. 2. Παρουσίαση των εφαρμογών του λογισμικού 2.1. Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Ξεκινώντας την εφαρμογή, εμφανίζεται η κεντρική οθόνη με τις ενότητες που προσφέρονται στο λογισμικό. Εικόνα 1. Κεντρική οθόνη Μαθαίνω Γεωμετρία και Mετρώ 2

3 Η εφαρμογή περιλαμβάνει τις παρακάτω ενότητες: Γραμμές, Σχήματα και Μέτρηση Ζυγαριά Χωρητικότητα Ώρα και υποδιαιρέσεις της Ξυπνητήρι Συμμετρία Θέση στο χώρο Περιστροφή Περιστροφή, Μεταφορά, Αντιστροφή Ευθεία γωνία Πλήρης γωνία Υπολογιστική Μηχανή 2.2. Παίζω με τους αριθμούς Ξεκινώντας την εφαρμογή, εμφανίζεται η κεντρική οθόνη με τις ενότητες που προσφέρονται στο λογισμικό. Η εφαρμογή περιλαμβάνει τις παρακάτω ενότητες: Αριθμητική γραμμή Αξία θέσης ψηφίου Πίνακας αριθμών Πίνακας πολλαπλασιασμού Αρνητικοί αριθμοί Μετρώντας με τον Άρη Ράβδοι κλασμάτων Κλάσματα Διαίρεση Αφαίρεση Αναλογίες Λόγοι Κλίμακα Μηχανές αριθμών 3

4 2.3. Βρίσκω τα πολλαπλάσια Α ΣΤ Περιττοί ζυγοί Πίνακες πολλαπλασιασμού Κριτήρια Διαιρετότητας Η εφαρμογή «Βρίσκω τα πολλαπλάσια» είναι ένα εκπαιδευτικό παιχνίδι, στο οποίο οι μαθητές μαθαίνουν, διασκεδάζοντας, τα πολλαπλάσια αριθμών. Σκοπός του παιχνιδιού είναι ο/οι μαθητής/τές, στο χρόνο που του/τους δίνεται, να επιλέξει/ξουν τις φυσαλίδες που περιέχουν αριθμό πολλαπλάσιο του αριθμού που έχει οριστεί. Εικόνα 6. Κατά τη διάρκεια παιχνιδιού Το λογισμικό δίνει τη δυνατότητα στο/στους χρήστη/στες να καθορίσει/σουν: 1. Τον αριθμό στόχο του οποίου θα βρίσκει/βρίσκουν τα πολλαπλάσια 2. Τη διάρκεια του παιχνιδιού σε δευτερόλεπτα 3. Το επίπεδο δυσκολίας 4. Το φάσμα των αριθμών (10 ή 20 Χ αριθμό στόχο, < 999) Το λογισμικό εμφανίζει τον αριθμό των σωστών επιλογών του/των χρήστη/στων. Προσοχή! Υπάρχει και αρνητική βαθμολογία! 4

5 Γεωμετρία, Αριθμοί και Μέτρηση Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Παίζω με τους αριθμούς Βρίσκω τα πολλαπλάσια Εκπαιδευτική αξιοποίηση των εφαρμογών του λογισμικού 1. Παίζω με τους αριθμούς 1.1. Αριθμητική γραμμή Υποστηρίζει τη διδασκαλία των αριθμών (θετικών/αρνητικών, ακέραιων/ δεκαδικών) και των νοερών υπολογισμών στις τέσσερις πράξεις. o Βρίσκει έναν αριθμό που βρίσκεται ανάμεσα σε δύο άλλους o Σειροθετεί αριθμούς στην αριθμογραμμή o Μετρά προς τα πάνω ή προς τα κάτω ανά 10, 100 ή o Αναγνωρίζει και σειροθετεί αρνητικούς αριθμούς o Εργάζεται με δεκαδικούς αριθμούς και μετρά, χρησιμοποιώντας δέκατα και εκατοστά o Αναγνωρίζει αρνητικούς αριθμούς και τους βάζει σε σειρά 1.2. Αξία θέσης ψηφίου Α ΣΤ Α Στ Υποστηρίζει τη διδασκαλία της αξίας θέσης ψηφίου στους ακέραιους και δεκαδικούς αριθμούς. Παρέχει δύο είδη αριθμοκάρτων: για ακέραιους και για δεκαδικούς αριθμούς. Στην οθόνη ο μαθητής μπορεί να παρουσιάζει με κάρτες, ένα ή δύο αριθμούς κάθε φορά. o Διαβάζει ακεραίους αριθμούς και αναγνωρίζει την αξία θέσης ψηφίου o Διαβάζει δεκαδικούς αριθμούς και αναγνωρίζει την αξία θέσης των ψηφίων τους. o Αναλύει αριθμούς σε: εκατομμύρια, χιλιάδες, εκατοντάδες, δεκάδες και μονάδες o Αναλύει δεκαδικούς αριθμούς o Προσθέτει ή αφαιρεί από αριθμό μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες κτλ. ή δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά κτλ. o Συγκρίνει αριθμούς A ΣΤ 1.3. Πίνακας αριθμών Παρέχει έναν ευέλικτο αριθμητικό πίνακα, παζλ για πρόσθετη εργασία. 5

6 o Αναγνωρίζει και επεκτείνει αριθμητικές σειρές που εκτείνονται και σε αρνητικούς αριθμούς o Μετρά προς τα πάνω ή προς τα κάτω σε διαφορετικά διαστήματα o Προβλέπει τον επόμενο αριθμό σε ένα αριθμητικό μοτίβο o Αναγνωρίζει περιττούς (μονούς) και άρτιους (ζυγούς) αριθμούς o Αναγνωρίζει τετράγωνους αριθμούς o Αναγνωρίζει πρώτους αριθμούς Α Ε 1.4. Πίνακας πολλαπλασιασμού Υποστηρίζει τη εκμάθηση των πινάκων πολλαπλασιασμού. Παρέχει επίσης παζλ για επιπρόσθετη εργασία. o Βρίσκει και περιγράφει μοτίβα σε πίνακα πολλαπλασιασμού o Μαθαίνει τους πίνακες του πολλαπλασιασμού o Βρίσκει γρήγορα διαιρέσεις με τη βοήθεια των πινάκων πολλαπλασιασμού o Αναγνωρίζει αριθμητικές ακολουθίες o Βρίσκει τον επόμενο όρο σε ένα μοτίβο 1.5. Αρνητικοί αριθμοί Υποστηρίζει τη διδασκαλία των αρνητικών αριθμών με τη χρήση δύο μοντέλων: μιας πολυκατοικίας και ενός θερμομέτρου. Στο μοντέλο του θερμομέτρου ο χρήστης μπορεί να επιλέξει ένα εύρος θερμοκρασιών, για το οποίο εμφανίζονται σχετικά παραδείγματα από την καθημερινή ζωή. o Αναγνωρίζει και σειροθετεί αριθμούς και μετρά κάτω από το μηδέν o Χρησιμοποιεί αρνητικούς αριθμούς στη μέτρηση θερμοκρασίας o Χρησιμοποιεί αρνητικούς αριθμούς σε άλλες καταστάσεις της καθημερινής ζωής. o Βρίσκει έναν αρνητικό αριθμό μεταξύ δύο άλλων αριθμών που δίνονται o Λύνει λεκτικά αριθμητικά προβλήματα της καθημερινής ζωής o Διαβάζει και καταγράφει ενδείξεις από ένα θερμόμετρο 1.6. Μετρώντας με τον Άρη Στ Α Στ Υποστηρίζει τη διδασκαλία επαναλαμβανόμενων προσθέσεων και αφαιρέσεων ακεραίων, δεκαδικών και αρνητικών αριθμών. o Κάνει προσθέσεις και αφαιρέσεις νοερά o Μετρά προς τα πάνω ή προς τα κάτω o Επεκτείνει μια αριθμητική ακολουθία, μετρώντας κάτω από το μηδέν o Χρησιμοποιεί δεκαδικούς αριθμούς o Προβλέπει τον επόμενο αριθμό σε μια ακολουθία 6

7 1.7. Ράβδοι κλασμάτων Υποστηρίζει τη διδασκαλία της έννοιας, ισοδυναμίας και σύγκρισης κλασμάτων. Επιπρόσθετα ενισχύει την κατανόηση των δεκαδικών αριθμών, των ποσοστών και των λόγων. o Χρησιμοποιεί αναπαραστάσεις κλασμάτων o Αναγνωρίζει γνήσια κλάσματα o Αναγνωρίζει ισοδύναμα κλάσματα o Διακρίνει τη σχέση μεταξύ κλασμάτων και λόγων o Αναγνωρίζει την ισοδυναμία μεταξύ ποσοστών, κλασμάτων και δεκαδικών 1.8. Κλάσματα Υποστηρίζει τη διδασκαλία του κλάσματος με το μοντέλο μέρος όλου μιας επιφάνειας με δύο διαφορετικές προσεγγίσεις: α) με γεωμετρικά σχήματα και β) με τρόφιμα π.χ. πίτσα, σοκολάτα. o Χρησιμοποιεί μαθηματική ορολογία σχετική με τα κλάσματα o Αναγνωρίζει απλές σχέσεις κλασμάτων o Σειροθετεί κλάσματα o Αναγνωρίζει απλά κλάσματα στην καθημερινή ζωή 1.9. Διαίρεση Υποστηρίζει τη διδασκαλία της διαίρεσης (τέλειας και ατελούς) με ομαδοποίηση (διαίρεση μέτρησης: ζητούμενο ο αριθμός των ομάδων/υποσυνόλων). Ο μαθητής μπορεί να ομαδοποιήσει αντικείμενα πάνω σε μια αριθμητική γραμμή, καθώς και να παρουσιάσει τη διαίρεση ως συνεχόμενη αφαίρεση. Δίνεται επίσης η δυνατότητα μελετηθούν τα κλάσματα σε σχέση με το υπόλοιπο μιας διαίρεσης (κλάσμα ως πηλίκο). o Κατανοεί τη διαίρεση με ομαδοποίηση (διαίρεση μέτρησης) o Χρησιμοποιεί όρους σχετικούς με τη διαίρεση o Κατανοεί τη σχέση μεταξύ διαίρεσης και πολλαπλασιασμού o Κατανοεί τη σχέση μεταξύ της διαίρεσης και των συνεχών αφαιρέσεων o Κατανοεί την έννοια του υπολοίπου o Αναγνωρίζει και λύνει λεκτικά προβλήματα διαίρεσης Αφαίρεση Β ΣΤ Α ΣΤ Α ΣΤ Β ΣΤ Υποστηρίζει τη διδασκαλία της αφαίρεσης ως συμπληρωματικής πρόσθεσης. Επιτρέπει στο μαθητή να επιλέξει επίπεδο δυσκολίας (Αριθμοί μέχρι: α) το 10, β) το 50, γ) το 100, δ) το 1000, ε) το 10 με ένα δεκαδικό ψηφίο, στ) το 10 με δύο δεκαδικά ψηφία, στ) αριθμοί μέχρι το 100 με δύο δεκαδικά ψηφία.) 7

8 o Κατανοεί την έννοια της αφαίρεσης και τη σχέση της με την πρόσθεση o Βρίσκει τη διαφορά, μετρώντας προς τα πάνω o Αφαιρεί δύο αριθμούς χρησιμοποιώντας ενδιάμεσους σταθμούς o Αναπτύσσει στρατηγικές νοερού υπολογισμού o Χρησιμοποιεί γραπτές μεθόδους, για υποστήριξη στρατηγικών νοερού υπολογισμού o Επιλέγει τις κατάλληλες μεθόδους υπολογισμού για να λύσει προβλήματα Αναλογίες Λόγοι Κλίμακα Ε Στ Υποστηρίζει τη διδασκαλία των αναλογιών, των λόγων και της κλίμακας. o Χρησιμοποιεί μαθηματική ορολογία σχετική με τις αναλογίες, τους λόγους και την κλίμακα. o Λύνει απλά προβλήματα με αναλογίες, λόγους και κλίμακα o Συζητά καταστάσεις όπου γίνεται χρήση αναλογιών, λόγων και κλίμακας Μηχανές αριθμών Α ΣΤ Υποστηρίζει τη διδασκαλία των ακεραίων, δεκαδικών και κλασμάτων και των αλγεβρικών σχέσεων αριθμών. Οι μαθητές έχουν την ευκαιρία να αναγνωρίζουν, περιγράφουν και επεξηγούν μαθηματικές σχέσεις (συναρτήσεις) και αριθμητικά μοτίβα ακεραίων και κλασματικών αριθμών. o Υπολογίζει νοερά τα διπλάσια αριθμών και τα μισά τους o Εμπεδώνει τις πράξεις του πολλαπλασιασμού και τις αντίστοιχες πράξεις της διαίρεσης o Καθορίζει μαθηματικές σχέσεις, ξεκινώντας από ένα δικό του αριθμό o Λύνει μαθηματικά προβλήματα o Αναγνωρίζει και επεξηγεί μαθηματικές σχέσεις και μοτίβα o Γενικεύει μαθηματικές σχέσεις και μοτίβα για να κάνει προβλέψεις 2. Μαθαίνω Γεωμετρία και Μετρώ Β ΣΤ 2.1. Γραμμές, σχήματα και μέτρηση Ανάλογα με τους στόχους Υποστηρίζει την κατασκευή και μέτρηση (μήκους, γωνιών) σχημάτων και γραμμών o Σχεδιάζει σχήματα και γραμμές o Μετρά μήκος με τη χρήση χάρακα o Συγκρίνει μήκη και χρησιμοποιεί συμβατικές μονάδες μέτρησης μήκους. o Υπολογίζει και μετρά γωνίες με τη χρήση μοιρογνωμονίου o Βρίσκει το εμβαδόν και την περίμετρο επίπεδων γεωμετρικών σχημάτων o Συζητά για τις ιδιότητες των σχημάτων 8

9 2.2. Ζυγαριά Β Στ Υποστηρίζει τη διδασκαλία των μονάδων μέτρησης μάζας καθώς επίσης και την ανάγνωση και κατανόηση της κλίμακας μέτρησης ζυγαριάς. o Ζυγίζει διάφορα αντικείμενα o Εκτιμά και μετρά τη μάζα, χρησιμοποιώντας συμβατικές μονάδες μέτρησης o Βρίσκει τη διαφορά μεταξύ των μετρήσεων της μάζας δύο ή περισσότερων αντικειμένων o Διαβάζει τις υποδιαιρέσεις της κλίμακας σε μια ζυγαριά o Χρησιμοποιεί τις υποδιαιρέσεις του κιλού και αναπτύσσει δεξιότητες μέτρησης και εκτίμησης της μάζας σε μορφή δεκαδικού αριθμού: για παράδειγμα, 3,2 κιλά αντί 3200 γραμμάρια Χωρητικότητα Γ Στ Ανάλογα με τους στόχους Υποστηρίζει τη διδασκαλία της χωρητικότητας o Κάνει εκτίμηση και μετρά χωρητικότητα o Διαβάζει τη διαβάθμιση μιας κάθετης κλίμακας μέτρησης χωρητικότητας o Βρίσκει τη διαφορά χωρητικότητας με βάση τις υποδιαιρέσεις διαφόρων κλιμάκων χωρητικότητας (υποδιαιρέσεις ανά 10, 20, 50, 100 ml) o Χρησιμοποιεί συμβατικές μονάδες μέτρησης της χωρητικότητας Α Ε 2.4. Ώρα και υποδιαιρέσεις της Ανάλογα με τους στόχους Υποστηρίζει τη διδασκαλία ώρας σε ένα αναλογικό και ένα ψηφιακό ρολόι. o Αναγνωρίζει και χρησιμοποιεί λέξεις που αφορούν στην ώρα o Διαβάζει την ώρα σε ένα αναλογικό ρολόι o Διαβάζει την ώρα σε ένα ψηφιακό ρολόι o Αναγνωρίζει και καθορίζει διαστήματα χρόνου o Χρησιμοποιεί τα αρκτικόλεξα π.μ. και μ.μ. για την ώρα σε αναλογικό ρολόι και τα συσχετίζει με την ώρα στο ψηφιακό ρολόι 2.5. Ξυπνητήρι Α Δ Υποστηρίζει τη διδασκαλία ώρας ένα αναλογικό και ένα ψηφιακό ρολόι. o Διαβάζει την πραγματική ώρα σε αναλογικό ρολόι o Διαβάζει την πραγματική ώρα σε ψηφιακό ρολόι o Υπολογίζει την ώρα και ρυθμίζει ένα ξυπνητήρι o Ορίζει τις υποχρεώσεις του και βάζει το ξυπνητήρι να κτυπήσει 9

10 2.6. Συμμετρία Υποστηρίζει τη διδασκαλία της συμμετρίας ως προς ένα ή δύο άξονες συμμετρίας. o Διερευνά τη συμμετρία σχήματος ως προς τον κάθετο, τον οριζόντιο και το διαγώνιο άξονα συμμετρίας o Διερευνά τη συμμετρία σημείου ως προς τον κάθετο, τον οριζόντιο και το διαγώνιο άξονα συμμετρίας o Εκτιμά τη θέση του συμμετρικού ενός σχήματος ή σημείου και ελέγχει την εκτίμησή του o Διερευνά τη συμμετρία σημείου και σχήματος ως προς δύο άξονες συμμετρίας κάθετους μεταξύ τους o Αναγνωρίζει τη συμμετρία ως προς άξονα o Συμπληρώνει συμμετρικά μοτίβα 2.7. Θέση στο χώρο Β Στ Β Στ Υποστηρίζει τη διδασκαλία της θέσης σημείου και των συντεταγμένων. o Εντοπίζει τη θέση ενός σημείου, χρησιμοποιώντας ζεύγη συντεταγμένων o Βρίσκει τη θέση ενός τετραγώνου σε ένα πλέγμα συντεταγμένων o Βρίσκει τη θέση ενός σημείου σε ένα πλέγμα συντεταγμένων o Αναγνωρίζει και καθορίζει συντεταγμένες στο πρώτο τεταρτημόριο o Αναγνωρίζει και καθορίζει συντεταγμένες και στα τέσσερα τεταρτημόρια 2.8. Περιστροφή Δ Στ Υποστηρίζει τη διδασκαλία της περιστροφής των σχημάτων και της συμμετρίας ως προς κέντρο. o Περιστρέφει ένα αντικείμενο ή γράμμα του αλφαβήτου ως προς κέντρο σύμφωνα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού ή αντίστροφα o Μετρά/βρίσκει τη γωνία περιστροφής σε μοίρες ή τεταρτημόρια o Αναγνωρίζει τη συμμετρία ως προς κέντρο 2.9. Περιστροφή, Μεταφορά, Αντιστροφή Γ Στ Υποστηρίζει τη διδασκαλία της συμμετρίας ως προς σημείο, της μεταφοράς και της συμμετρίας ως προς κάθετο και οριζόντιο άξονα συμμετρίας. o Περιστρέφει σχήματα γύρω από σημείο (Συμμετρία ως προς σημείο) o Μεταφέρει σχήματα o Αντιστρέφει σχήματα (Συμμετρία ως προς τον κάθετο και οριζόντιο άξονα) 10

11 o Αναγνωρίζει τη θέση ενός σημείου μετά από περιστροφή, μεταφορά ή αντιστροφή o Εντοπίζει τις συντεταγμένες ενός σημείου μετά από περιστροφή, μεταφορά ή αντιστροφή o Κατασκευάζει μοτίβα με επαναλαμβανόμενες περιστροφές, μεταφορές ή αντιστροφές Ευθεία γωνία Δ Στ Υποστηρίζει τη διδασκαλία των γωνιών μέχρι 180 ο. o Γνωρίζει ότι η ορθή γωνία είναι ισοδύναμη με το ένα τέταρτο μιας στροφής 360 ο o Γνωρίζει ότι οι γωνίες μετριούνται σε μοίρες o Χρησιμοποιεί μοιρογνωμόνιο για να μετρήσει γωνίες o Αναγνωρίζει τις οξείες και τις αμβλείες γωνίες o Υπολογίζει γωνίες που είναι μεταξύ τους παραπληρωματικές Πλήρης γωνία Ε Στ Υποστηρίζει τη διδασκαλία των γωνιών μέχρι 360 ο. o Γνωρίζει ότι μια ολόκληρη περιστροφή (πλήρης γωνία) είναι ίση με 360 ο μοίρες. o Μαθαίνει ότι οι γωνίες μετριούνται σε μοίρες o Αναγνωρίζει τις οξείες, τις αμβλείες και τις εσωτερικές και εξωτερικές γωνίες o Υπολογίζει τις εσωτερικές και εξωτερικές γωνίες o Κάνει εκτίμηση, κατασκευάζει και μετρά γωνίες δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα Υπολογιστική μηχανή Α Στ Δίνει τη δυνατότητα στο μαθητή να χρησιμοποιήσει υπολογιστική μηχανή μέσα από την εικονική αναπαράστασή της. o Χρησιμοποιεί υπολογιστική μηχανή μέσα από εικονική αναπαράστασή της o Χρησιμοποιεί την υπολογιστική μηχανή στην επίλυση προβλήματος 11