Τα η/µ κύµατα πρέπει να ικανοποιούν όλες τις σχέσεις Maxwell. Στον ελεύθερο χώρο, έχουµε τα παρακάτω ηλεκτρικά πεδία

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τα η/µ κύµατα πρέπει να ικανοποιούν όλες τις σχέσεις Maxwell. Στον ελεύθερο χώρο, έχουµε τα παρακάτω ηλεκτρικά πεδία"

Ἰουλία Ζαχαρίου
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 1 Τα η/µ κύµατα πρέπει να ικανοποιούν όλες τις σχέσεις Mawell. Στον ελεύθερο χώρο, έχουµε τα παρακάτω ηλεκτρικά πεδία e1 = zˆ cos( ωt kz) e = ( ˆ + zˆ) cos( ωt k z ) e 3 = ( ˆ + zˆ) cos( ω t + k) (α) Ικανοποιούν την κυµατική εξίσωση µ ε = e ; t (β) να βρεθούν τα αντίστοιχα µαγνητικά πεδία. (γ) πια από τα παραπάνω είναι η/µ κύµατα; Για τα παρακάτω κύµατα = ae ˆ = ae ˆ = aˆ + iaˆ e ( ˆ ˆ ) ikz ( ˆ ˆ ) ik ikz ik 1 z z 3 = ia a e = a + a e 5 z ( ) ik z (α) δείξτε ότι ικανοποιούν τη κυµατική εξίσωση Helmholtz, και να βρεθεί η σχέση διασποράς. (β) ποια είναι η/µ κύµατα; Για αυτά που δεν είναι να δοθεί η σχέση Mawell που δεν ικανοποιείται. Για αυτά που είναι να βρεθεί το µαγνητικό πεδίο, και οι σχέσεις στο χρόνο. 3 Για τα παρακάτω επίπεδα κύµατα να βρεθεί η διεύθυνση διάδοσης, το µήκος κύµατος, η συχνότητα, η πόλωση και ο µέσος όρος του ανύσµατος Ponting. i z (α) = ( iaˆ aˆ ) e π (β) = (( + i) aˆ ˆ ) i + 3i+ 1 az e i ( z) (γ) ( aˆ i aˆ ) e = ιασπορά κοντά σε συντονισµό Εξετάζουµε τη διασπορά κοντά σε συχνότητα συντονισµού. Εάν ένα ηλεκτρόνιο είναι δέσµιο σε ένα ιόν τότε d d Ne + gω ω P= dt dt m όπου P= Nqr είναι η συνολική διπολική ροπή ανά µονάδα όγκου, g µια παράµετρος απόσβεσης και ω µια χαρακτηριστική συχνότητα του ηλεκτρονίου που εισάγει τη δύναµη επαναφοράς στο πρόβληµα. Να βρεθεί η επιδεκτικότητα ω p ε( ω ) =ε 1+ ε R( ω ) + iεi( ω ) ig ω ωω ω Να ορισθούν οι περιοχές οµαλής και ανώµαλης διασποράς (περιοχές που ο δείκτης διάθλασης ε R αυξάνεται και µειώνεται µε τη συχνότητα αντίστοιχα). Να δειχθεί ότι το ε I είναι µέγιστο στη συχνότητα συντονισµού ω 5 Μονοαξονικά υλικά Ένα η/µ κύµα διαδίδεται σε µονοαξονικό µέσο µε 1

2 ε ε= ε και µ =µ ε z (α) έχουµε ε z = ε και = ( ˆ +βˆ) στο = που διαδίδεται στον + -άξονα (ι) αν το πεδίο είναι κυκλικά πολωµένο στο =, να βρεθεί το β 8 (ιι) στο = είναι γραµµικά πολωµένο, να βρεθεί το µικρότερο ω= π 1 rad sec (β) το πεδίο και το κυµατάνυσµα k είναι στο επίπεδο (,z ) (ι) αν η γωνία µεταξύ του k και του ẑ είναι θ, ποιο είναι το άνυσµα Ponting (ιι) ποια είναι η γωνία α µεταξύ του S και του k (ιιι) ποια είναι η γωνία θ όταν η α είναι µέγιστη όταν [ ] 6 Ανισοτροπικά υλικά Από το θεώρηµα Ponting έχουµε ότι η ροή ενέργειας ενός η/µ κύµατος δίνεται από τη σχέση * S= H. Το άνυσµα Ponting για την η/µ ενέργεια είναι η ταχύτητα ροής της ενέργειας, και είναι κάθετη στο και το H. Ξέρουµε επίσης ότι η φασική ταχύτητα είναι κατά µήκος του k που είναι κάθετο στο D και στο B. Σε ένα ανισοτροπικό µέσο, η διεύθυνση της ταχύτητας της ροής της ενέργειας και της φασική ταχύτητας δεν ταυτίζονται αναγκαστικά. Παίρνουµε τη διεύθυνση του Ponting s, µε sk = 1 και s = sh = s k = k s k s να δειχθεί ότι (α) Από τη σχέση s B= ω και s D= H ω (β) ορίζοντας επίπεδα ακτίνων όµοια µε αυτά των κυµάτων, να δειχθεί ότι s + s + sz = 1 ω µε για το τακτικό κύµα ε 1 s + s + sz = για το έκτακτο κύµα εz ω µεz (γ) εφόσον το s είναι στη κατεύθυνση της ροής της ενέργειας s δ k =, δηλαδή η κάθετος στην επιφάνεια του κύµατος δίνει τη διεύθυνση του ανύσµατος της ακτίνας. Να δειχθεί ότι η κάθετος στην επιφάνεια της ακτίνας δίνει τη διεύθυνση του k. s (δ) Η φάση του κύµατος γράφεται σαν ψ= k d = k d = όπου το µήκος του τµήµατος στη s s δρόµο της ακτίνας. Στη γεωµετρική οπτική, η αδιάστατη ποσότητα ψ είναι η συνάρτηση εικόνας του ω c κύµατος. Όταν το είναι ένα πολλαπλάσιο του s, η εικόνα είναι c ω επί µια σταθερά. Η επιφάνεια ακτίνων δίνει το πλάτος του s σε όλες τις διευθύνσεις, άρα περιγράφει επιφάνειες σταθερής φάσης 7 Για ένα κύµα που διαδίδεται σε ένα γραµµικό, ισοτροπικό και οµογενές διηλεκτρικό µέσο µε σταθερά ε και επιτρεπτότητα µ να βρεθεί η σχέση διασποράς. Ποια είναι η οµαδική ταχύτητα; Ποια η σχέση διασποράς σε αγώγιµο µέσο; 8 Ένα οµοιόµορφο επίπεδο κύµα iksin ikzcos i = ( cos ˆ θ+ iˆ + zsin ˆ θ) e θ+ θ προσπίπτει σε µια επιφάνεια µε γωνία πρόσπτωσης θ ανάµεσα σε δύο υλικά ε, µ και µε i θ i θ θ t ε, µ t r r 6 ε, µ

S και του k (ιιι) ποια είναι η γωνία θ όταν η α είναι µέγιστη όταν [ ] 6 Ανισοτροπικά υλικά Από το θεώρηµα Ponting έχουµε ότι η ροή ενέργειας ενός η/µ κύµατος δίνεται από τη σχέση * S= H.

3 6 ε, µ αντίστοιχα. (α) δείξτε ότι το πεδίο ικανοποιεί το νόµο του Gauss (β) πια είναι η πόλωση του πεδίου πρόσπτωσης (γ) να βρεθεί το µαγνητικό πεδίο (δ) να βρεθούν οι συνιστώσες ΤΕ και ΤΜ του ηλεκτρικού πεδίου T TM (ε) να βρεθεί το πεδίο ανάκλασης σε σχέση µε τις R και R (ς) για πια γωνία θ το πεδίο ανάκλασης είναι γραµµικά πολωµένο; (ζ) για πια γωνία θ το πεδίο ανάκλασης είναι κυκλικά πολωµένο (αριστερόστροφο ή δεξιόστροφο); 9 Η µορφή των σχέσεων Mawell για αρµονικά πεδία σε ένα γραµµικά οµογενές ανισοτροπικό υλικό είναι k H = ω D k =ωb όπου B=µ H+ M D=ε + P και η P δεν είναι συγραµµική µε το, ώστε το D επίσης δεν είναι συγραµµικό µε το το. Το ίδιο ισχύει και για τα BMH.,, Έχουµε ένα διηλεκτρικό µέσο όπου M =. (α) δείξτε ότι k D = (β) δείξτε ότι το κυµατάνυσµα k είναι στην κατεύθυνση του D B. (γ) δείξτε ότι DD k =ωµ D 1 * (δ) δείξτε ότι το άνυσµα Ponting S= ( H ) µπορεί να είναι σε κατεύθυνση άλλη από αυτή του k. 1 Για διηλεκτρικά υλικά ( j = ) έχουµε (,t) =χε (,t) p r e r µιας γραµµική, ανεξάρτητη της συχνότητας σχέση ανάµεσα στο πεδίο και την πολωσιµότητα του µέσου. Με τις σχέσεις Mawell δείξτε ότι η κυµατική εξίσωση έχει τη µορφή n e e = c t όπου n = 1+χ, ώστε η ηλεκτρική επιδεκτικότητα καορίζει το δείκτη διάθλασης. Όταν η επιδεκτικότητα εξαρτάται από τη συχνότητα, έχουµε ω i t ω i t p r,t = P e =χ ω ε e =χ ω ε e r,t ω ω για µια συνιστώσα συχνότητας. είξτε ότι η κυµατική εξίσωση είναι N e e = c t N = 1+χ ω. Βεβαιώστε ότι το αποτέλεσµα συµφωνεί µε τη περίπτωση του αρµονικού ταλαντωτή. µε 11 Ένα επίπεδο κύµα διαδίδεται σε κρύσταλλο µε τον οπτικό άξονα στην -κατεύθυνση. Το k του κύµατος είναι στο επίπεδο (, ) σε γωνία θ µε τον -άξονα. Έχουµε n1 = n = n και n3 = ne. Εάν n z ω θ = k δείξτε ότι c 3

(ε) να βρεθεί το πεδίο ανάκλασης σε σχέση µε τις R και R (ς) για πια γωνία θ το πεδίο ανάκλασης είναι γραµµικά πολωµένο; (ζ) για πια γωνία θ το πεδίο ανάκλασης είναι κυκλικά πολωµένο (αριστερόστροφο

4 n θ = n z 1 cos θ sin = + n n n ( θ) e θ 1 Για το µέσο στο σχήµα µε πάχος d και τανυστές ε u ε= ε inc εz w v σ= σ z µε ε = 1ε, ε =ε και ε z = ε, µε µ=µ και για την αγωγιµότητα που έχουµε µόνο στον z -άξονα µε, [ mho m] σ = ε ω. z Ένα τέτοιο µέσο µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε για να κατασκευάσουµε ένα πολωτή, πλακίδιο τέταρτου ή µισού µήκους κύµατος. Πολωτής u,v,w ώστε για οποιαδήποτε αρχική πόλωση πεδίου και (α) θέτουµε το σύστηµα αξόνων στο σύστηµα για αρκετό πάχος να πάρουµε γραµµικά πολωµένο φως. (β) να βρεθεί το ελάχιστο πάχος σε µήκη κύµατος, ώστε η συνιστώσα που δεν περνά να έχει ελαττωθεί κατά 1e. Πλακίδιο λ (γ) θέλουµε το σύστηµα αξόνων ( u,v,w ) ώστε κάθε προσπίπτων γραµµικά πολωµένο φως να περνά κυκλικά πολωµένο. Οι άξονες πρέπει να ορισθούν έτσι ώστε να µην έχουµε απορρόφηση ισχύος. Να βρεθεί το απαραίτητο πάχος. (δ) Βρείτε το πάχος σε µήκη κύµατος ώστε να έχουµε αριστερόστροφο κυκλικά πολωµένο φως. Πλακίδιο λ (ε) µε τους άξονες τοποθετηµένους σωστά, κάθε γραµµικά πολωµένο φως να εξέρχεται κάθετα πολωµένο (στ) να βρεθεί το ελάχιστο πάχος για το παραπάνω. ikz Για τα πεδία επίπεδων κυµάτων (α) = ( + i) e και (β) = ( i + iz) e ik 13 Έχουµε ένα κύµα που διαδίδεται στην z-κατεύθυνση e = cos ˆ kz ω t+ϕ + cos ˆ kz ω t+ϕ µε,, ϕ, ϕ πραγµατικές σταθερές. ˆ ˆ H ˆ ˆ να βρεθεί η πόλωση. (α) για =, = 1 και ϕ =π, ϕ =π πια είναι η πόλωση του κύµατος; (β) όταν = 1, = και ϕ =, έχουµε γραµµικά πολωµένο φως. είξτε ότι µπορεί να γραφεί σαν µια υπέρθεση δεξιόστροφου και αριστερόστροφου κυκλικά πολωµένου φωτός. (γ) για = 1, = 1 και ϕ =, ϕ = π έχουµε κυκλικά πολωµένο φως. είξτε ότι µπορεί να γραφεί σαν υπέρθεση δύο γραµµικά πολωµένων κυµάτων. 1

Πολωτής u,v,w ώστε για οποιαδήποτε αρχική πόλωση πεδίου και (α) θέτουµε το σύστηµα αξόνων στο σύστηµα για αρκετό πάχος να πάρουµε γραµµικά πολωµένο φως.

5 Ποιος είναι ο πίνακας Jones για ένα γραµµικό πολωτή σε γωνία ϕ από τον -άξονα, δηλαδή όταν επιτρέπει διέλευση πεδίου µε cos ˆ ϕ+ sin ˆ ϕ 15 Να βρεθεί ο πίνακας Jones για ένα πλακίδιο λ µε τον γρήγορο άξονα σε γωνία ϕ µε τον -άξονα. 16 Να βρεθεί ο πίνακας Jones ενός πλακιδίου λ σε γωνία ϕ από τον -άξονα. Αν το πλακίδιο έχει πίνακα M ώστε Mv1 = v1 και Mv = iv, όπου έχουµε 17 Με τις σχέσεις για τις δύο συνιστώσες ενός ηλεκτρικού πεδίου = A cos ωt kz+δ = Acos ωt kz+δ να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης της πόλωσης cosδ + = sinδ A A AA 18 α) Να βρεθεί ο πίνακας Jones για την ανάκλαση. (β) Για την οπτική διάταξη του σχήµατος, η προσπίπτουσα είναι πολωµένη στον - άξονα, που ανακλάται από τον διαχωριστή δέσµης προς το δείγµα και ο οποίος περνά την -συνιστώσα από την πλευρά του δείγµατος. Το πλακίδιο λ είναι σε o γωνία 5 σε σχέση µε τον -άξονα. Αν το δείγµα είναι 1% ανακλαστικό, δείξτε ότι η ένταση στον ανιχνευτή είναι ίδια µε την προσπίπτουσα. o (γ) Αν αλλάξουµε το λ µε ένα γραµµικό πολωτή σε 5 µε τον -άξονα, να βρεθεί η ένταση στον ανιχνευτή. (α) µε την ανάκλαση το κυκλικά πολωµένο φως αλλάζει φορά στροφής, ενώ o γραµµικά πολωµένο φως αλλάζει κατά 9. ανιχνευτής διαχωριστής λ 19 Για κάθε ηλεκτρικό πεδίο να βρεθεί η πόλωση (α) = cos( ωt k) ˆ + sin ( ωt k) zˆ (β) = ( ˆ zˆ) cos( ωt k) 3π = ˆ ˆ cos ωt k + sin ωt k z π = ˆ ˆ cos ωt k + sin ωt k + z (γ) (δ) Έχουµε ένα λεπτό δίσκο από διπλοθλαστικό υλικό µε δείκτη διάθλασης n 1 και n σε κάθετους άξονες (α) πως µπορεί το οπτικό αυτό να δώσει κυκλικά πολωµένο φως από γραµµικά πολωµένο; (β) για quartz µε n1 = 1,5533 και n = 1,5 για τη γραµµή D του Na µε λ= 589,3[ nm], ποιο πάχος είναι αναγκαίο για να πάρουµε κυκλικά πολωµένο φως; 5

Αν το πλακίδιο έχει πίνακα M ώστε Mv1 = v1 και Mv = iv, όπου έχουµε 17 Με τις σχέσεις για τις δύο συνιστώσες ενός ηλεκτρικού πεδίου = A cos ωt kz+δ = Acos ωt kz+δ να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης

6 1 Για ένα διπλοθλαστικό υλικό πάχους παίρνουµε µια διαφορά φάσης πολλαπλάσια του π. Έχουµε πρόσπτωση γραµµικά πολωµένου πεδίου σε γωνία θ µε τους άξονες τπυ υλικού (α) ποια η πόλωση στην έξοδο; (β) ποια είναι η πόλωση όπως η γωνία θ αλλάζει από ο σε 9 ο ; 1 Περιγράψετε το κύµα µε άνυσµα Jones iπ, καθώς επίσης και όταν περάσει από ένα e λ πλακίδιο. 3 Γραµµικά πολωµένο φως διέρχεται από ένα πλακίδιο καθυστέρησης λ. Εάν η γωνία της πόλωσης µε τον γρήγορο άξονα είναι θ, δείξτε ότι το διερχόµενο φως είναι γραµµικά πολωµένο σε γωνία θ, δηλαδή έχει στραφεί κατά θ. Να βρεθεί η µορφή της στροφής της πόλωσης από µια συστοιχία πολωτές σε γωνία nθ σε σχέση µε τον -άξονα. 6

ο ; 1 Περιγράψετε το κύµα µε άνυσµα Jones iπ, καθώς επίσης και όταν περάσει από ένα e λ πλακίδιο. 3 Γραµµικά πολωµένο φως διέρχεται από ένα πλακίδιο καθυστέρησης λ.

Σχετικά έγγραφα

Η ευσέβεια, η αξιοπιστία και η ακεραιότητα του Αγησιλάου (1 διδακτική ώρα)

Κεφάλαιο 3 4 (από µετάφραση) Η ευσέβεια, η αξιοπιστία και η ακεραιότητα του Αγησιλάου (1 διδακτική ώρα) Ενδεικτικοί διδακτικοί στόχοι 1. Να γνωρίσουν το µέγεθος της αξιοπιστίας του Αγησιλάου και να κατανοήσουν