Μηχανική Στερεού Σώματος. Κόβοντας τα Νήματα

Transcript

1 όβοντας τα Νήματα Με τη βοήθεια ενός νήματος συγκρατούμε ακίνητο το σύστημα του διπλανού σχήματος που αποτελείται από M μία τροχαλία ένα σώμα και έναν M κύλινδρο. Το νήμα είναι αβαρές και μη εκτατό, παράλληλο στο κεκλιμένο επίπεδο και δε γλιστράει στο αυλάκι της τροχαλίας. Το νήμα είναι συνδεδεμένο στο κέντρο του κυλίνδρου ενώ δεν είναι τυλιγμένο γύρω από την τροχαλία. Η τροχαλία και ο κύλινδρος έχουν ίδια μάζα M =Μ =Μ=kg και ίδια ακτίνα =0. Η τροχαλία είναι στερεωμένη στο κέντρο της και μπορεί να στρέεται περί τον άξονά της χωρίς τριβές. Το βαρίδι έχει αρχικά μάζα και το κεκλιμένο επίπεδο έχει γωνία βάσης =30. Αρχικά το σύστημα ισορροπεί με τα σώματα ακίνητα. i) Να υπολογίσετε την μάζα του βαριδίου, ώστε το σύστημα να ισορροπεί. Αντικαθιστούμε το βαρίδι με άλλο μάζας =6kg και το αήνουμε ελεύθερο οπότε ο κύλινδρος αρχίζει να κυλάει προς τα πάνω, χωρίς να ολισθαίνει. ii) Να βρεθούν οι επιταχύνσεις των σωμάτων κατά την κίνησή τους. iii) Να βρεθεί η οριζόντια και η κατακόρυη συνιστώσα της δύναμης που δέχεται η τροχαλία από τον άξονα στήριξης. Τη στιγμή που ο κύλινδρος έχει μετακινηθεί κατά S=0 κόβουμε το σχοινί μεταξύ του κυλίνδρου και της τροχαλίας. iv) Να βρεθεί ο λόγος της κινητικής ενέργειας του σώματος προς την κινητική ενέργεια του κυλίνδρου 0,6sec αργότερα μετά το κόψιμο του νήματος. v) Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου,s μετά το κόψιμο του νήματος. vi) Αν το νήμα ήταν αρχικά τυλιγμένο πολλές ορές στην τροχαλία με τέτοιο τρόπο ώστε όταν το σύστημα αηνόταν ελεύθερο να κινηθεί, να τυλίγεται στην τροχαλία εξαιτίας της κίνησης του κυλίνδρου και να ξετυλίγεται εξαιτίας της κίνησης του σώματος, να βρείτε το λόγο της κινητικής ενέργειας του σώματος τροχαλία προς την κινητική ενέργεια του κυλίνδρου 0,6sec αργότερα, μετά το κόψιμο του νήματος που συνδέει τον κύλινδρο και την τροχαλία. Δίνονται : Για τον κύλινδρο και την τροχαλία, I, g =0/s

2 Απάντηση i. Από την ισορροπία του κυλίνδρου προκύπτει: 0τ τ 0 () w 0 0 T 0 ( ) տ F 0 w gημ στ x x 0 ( ) T T w, T w T w w x x Επειδή το νήμα είναι αβαρές Τ = Τ και Τ = Τ Από την ισορροπία της τροχαλίας προκύπτει: ( ) ( ) 0τ τ Από την ισορροπία του σώματος προκύπτει: ( ) F 0 w T kg, ii. Επειδή το σχοινί είναι μη εκτατό όλα τα σημεία του έχουν ίδιο μέτρο ταχύτητας. Επιπλέον επειδή η τροχαλία και ο κύλινδρος έχουν ίσες ακτίνες θα έχουν και ίδιο μέτρο γωνιακής ταχύτητας. υ Α =υ =υ Γ, υ, =ω =υ, ω T T Γ υ w T ω T Α w x T στ w w υ x ω =ω =υ ω=υ και α γ =α () Για τον κύλινδρο M ( ) տ F M a T w T M x x () ( ) () τ w τ 0 M M M (3) () (3) T w x M T w x M T =Mgημ+ Mα (4) Επειδή το νήμα είναι αβαρές Τ = Τ και Τ = Τ (5)

3 Για την τροχαλία M ( ) (5) ( ) ( ) τ τ ( ) (6) Για το σώμα ( ) F 0 w T g (4) 3 3 (6) g α Mgημ Mα = Μα g Mgημ= Μα Mα α (7) 3 ( Mημ)g ( M ημ)g= Μ M α α α 5 / s 0.5Μ,5M iii. Από τη σχέση (4) προκύπτει T 5και από τη σχέση (7) Τ =30Ν (7) Από την ισορροπία στον οριζόντιο άξονα προκύπτει: ( ) F 0 F 0 x x x F T ( ) x 3 Fx 5 Fx,5 3 Από την ισορροπία στον κατακόρυο άξονα προκύπτει: ( ) F 0 F w T T 0 F F 6, 5 F F ω T x x θ T T F x T W Γ Α F F F F F F (, 5 3) F 66, x x F ( ) F x iv. Μόλις κοπεί το νήμα λυγίζει και δεν θα ασκεί τάσεις σε κανένα σώμα. Ο κύλινδρος θα επιβραδύνεται, η τροχαλία θα εκτελέσει ομαλή στροική κίνηση ενώ το σώμα θα κάνει κατακόρυη βολή προς τα κάτω. Η στιγμή που κόβεται το νήμα είναι: g ω τρ =σταθ. Γ w ω T Α w x T στ w w υ α γ, α, 3

4 S=0 ½ 5 t =0 t =4 t =s Η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου και του σώματος είναι υ κυλ =α κυλ t υ s =0/s ενώ η γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου και της τροχαλίας είναι: ω s = υ / ω s =00r/s Για τον κύλινδρο M ( ) տ F M a T w M x, x, (8) ( ) (),τ w 0 M, M, M, (9) (9) 3 gημ (8) M, Mgημ=Mα, Mgημ= Mα, α, 3 0 α, / s 3 Η στατική τριβή από τη σχέση (9) προκύπτει Τ στ =0/3Ν με ορά προς τα πάνω. Η εξίσωση ταχύτητας του κυλίνδρου είναι: υ κυλ =υ s α, (t ) υ, =υ s α, (t ) υ, =0 0(t )/3 S.I. Η εξίσωση ταχύτητας του σώματος είναι: υ =υ s +g(t ) υ = 0+0(t ) S.I. Η στιγμή 0.6s μετά το κόψιμο του νήματος είναι η t =.6s Για t =.6s υ κυλ =8/s υ = 6/s 6 6 K K v. Η στιγμή.s μετά το κόψιμο του νήματος είναι η t 3 =3.s Για t 3 =3.s, υ κυλ =6/s dk dk dk F wx T T wx dt dt dt dk dk dk g J / s dt dt dt 4

5 vi. Στην περίπτωση αυτή ο κύλινδρος θα συνεχίσει να επιβραδύνεται με τον ίδιο τρόπο όπως και πριν. Το σχοινί όμως στο τμήμα που είναι συνδεδεμένο με το σώμα μένει συνεχώς τεντωμένο και δεν γλιστρά στην τροχαλία. Αυτό συμβαίνει γιατί το νήμα α T T α γτρ Γ w είναι πολλές ορές τυλιγμένο στην τροχαλία και μένει τεντωμένο στη μεριά που είναι το σώμα. Έτσι το σώμα και η τροχαλία θα συνεχίσουν να επιταχύνονται προς την ίδια κατεύθυνση με άλλο μέτρο επιτάχυνσης. Επειδή το σχοινί είναι αβαρές Τ =Τ. Επιπλέον όλα τα σημεία του σχοινιού θα έχουν ίδιο μέτρο ταχύτητας επειδή το σχοινί είναι μη εκτατό και προκύπτει α =α γ. T στ w ω T Α w x w υ α γ, α, Για το σώμα ( ) F 0 w g (0) Για την τροχαλία ( ) τ ( ) ( ) ( ) () (0)+() g 60 g / s 7 υ =υ αρχ +α (t t αρχ ) 0+60/7 0,6=0+36/7=06/7/s K K , Σχόλια. Όταν το σχοινί είναι περασμένο και όχι τυλιγμένο δεν παίζει ρόλο από πού θα κοπεί. Το σχοινί θα χαλαρώσει σε όλη την έκτασή του είτε κοπεί από τη μεριά της τροχαλίας και του κυλίνδρου είτε από τη μεριά της τροχαλίας και του σώματος.. Όταν το σχοινί είναι τυλιγμένο στην τροχαλία τότε παίζει ρόλο από πού κόβεται το σχοινί. Αν κοπεί από τη μεριά που συνδέει την τροχαλία και τον κύλινδρο, τότε από τη μεριά του σώματος και της τροχαλίας συνεχίζει να μένει τεντωμένο και η εξέλιξη είναι όπως αυτή του ερωτήματος vi. 5

6 Αναλυτικά: Αν κοπεί από τη μεριά του σώματος και της τροχαλίας, τότε το σχοινί θα μείνει τεντωμένο και η τροχαλία και ο κύλινδρος θα επιβραδυνθούν. Αυτό συμβαίνει διότι: Το σύστημα τροχαλία κύλινδρος δεν μπορεί να επιταχυνθεί καθώς μετά το κόψιμο του νήματος στην τροχαλία δεν υπάρχει αριστερόστροη ροπή ή κάποιο άλλο αίτιο να το θέσει σε επιταχυνόμενη κίνηση. Ο κύλινδρος σε καμία περίπτωση δεν μπορεί να κινηθεί ομαλά δεδομένου ότι υπάρχει πάντα ροπή από την τριβή. Ούτε όμως και η τροχαλία. Αν υποτεθεί ότι το σχοινί λυγίζει τότε η τροχαλία θα στραεί ομαλά και ο κύλινδρος θα επιβραδύνεται. Η τροχαλία στρεόμενη ομαλά θα τυλίγει περισσότερο σχοινί από όσο λυγίζει ο κύλινδρος με την κίνησή του και έτσι το νήμα θα μένει συνεχώς τεντωμένο. Επομένως υπάρχει ροπή από την τάση του νήματος στην τροχαλία και δεν ικανοποιείται Στ=0. Για να λυγίσει το σχοινί θα πρέπει να επιταχυνθεί προς τα πάνω στρεόμενος αριστερόστροα από την στατική τριβή. άτι τέτοιο θα σήμαινε ότι η τριβή θα είναι προς τα πάνω για να επιταχύνει μεταορικά τον κύλινδρο αλλά θα είχε σαν αποτέλεσμα να επιβραδύνεται στροικά, που είναι άτοπο. Ενώ αν η τριβή ήταν προς τα κάτω θα επιταχυνόταν στροικά και θα επιβραδυνόταν μεταορικά που δεν δύναται να συμβεί και πάλι. Έτσι λοιπόν μένει μόνο να επιβραδυνθεί. Αν υποθέσουμε ότι το νήμα είναι τεντωμένο και τα σώματα επιβραδύνονται τότε αλλάζει η στατική τριβή στον κύλινδρο και είναι προς τα εμπρός για να επιβραδύνεται στροικά. Στην περίπτωση αυτή επειδή είναι πολλές ορές τυλιγμένο το νήμα, η τροχαλία στρέεται επιβραδυνόμενα και τυλίγεται σχοινί σε αυτή χωρίς να λυγίζει το σχοινί. Το σχοινί είναι μη εκτατό και προκύπτει α =α γ Για την τροχαλία Τ = ½ M α γ Τ= ½M α () ( ) ( ) Για τον κύλινδρο στροικά () () Τ στ = ½M α () Τ στ = ½ M α γ α γ ω T T T στ ω Α w x υ α γ α Από την () και τη () προκύπτει Τ=Τ στ. w w μεταορικά ( ) ց F M a w T M x, x (3) ()+()+(3) Μ gημ() = ½M α +½M α +Μ α α = Μ gημ()/(,5μ +0,5Μ )=gημ()/ (4) 6

7 Για να μη λυγίσει το σχοινί Τ 0. Από την () και τη (4) προκύπτει Τ=Μ g ημ()/4 >0 Με αντικατάσταση προκύπτει α =,5/s, Τ στ =,5 και Τ=,5 Από όπου αίνεται ότι μπορεί ο κύλινδρος να συνεχίσει να ανέρχεται κυλιόμενος και το νήμα να μένει τεντωμένο. Μάλιστα ενεργειακά συμβαίνει το εξής: Η κινητική ενέργεια της τροχαλίας θα εμανιστεί ως αύξηση βαρυτικής δυναμικής του κυλίνδρου όταν τα σώματα θα σταματήσουν ταυτόχρονα να κινούνται. Ο ενεργειακός μηχανισμός γίνεται μέσω των τάσεων. Συνεπώς αν έπρεπε να κόψουμε ένα σχοινί και θέλαμε να ανέλθει ο κύλινδρος πιο ψηλά θα επιλέγαμε να κοπεί το σχοινί που συνδέει την τροχαλία και το σώμα. Χ. Αγριόδημας chagriodias@ahoo.gr chagriodias@gail.co 7