Το έργο και η ισχύς της δύναμης

Transcript

1 Το έργο και η ισχύς της δύναμης Ο κύλινδρος του σχήματος μάζας m=3kg και ακτίνας R=0,1m έρει στην επιάνειά του πολλές ορές τυλιγμένο ιδανικό νήμα και ισορροπεί ασκώντας κατάλληλη δύναμη 0 στο άκρο του σχοινιού σχηματίζοντας γωνία με τον άξονα x x όπως αίνεται στο σχήμα. Για τη γωνία ισχύει ημ=0,6 και συν=0,8. i) Να βρείτε την τιμή του μέτρου της δύναμης 0 και της τριβής που αναπτύσσεται μεταξύ του κυλίνδρου και του κεκλιμένου επιπέδου. O x Κάποια στιγμή που εωρείται t=0 ασκείται δύναμη μέτρου =0N, χωρίς να αλλάξει η αρχική διεύυνση και ο κύλινδρος ανέρχεται προς τα πάνω χωρίς να ολισαίνει. ii) Να βρεεί η επιτάχυνση a A του άκρου του σχοινιού. iii) Την χρονική στιγμή t=1s να βρεεί το έργο που έχει προσέρει η δύναμη. iv) Να βρεεί η ισχύς της δύναμης την χρονική στιγμή t=s. v) ν η τιμή της οριακής τριβής εωρείται ίδια με την τιμή της τριβής ολίσησης και ο συντελεστής οριακής τριβής είναι μ=1.5 να βρεεί το μέτρο της μέγιστης δύναμης που μπορεί να ασκηεί ώστε ο κύλινδρος να κυλίεται. Δίνεται το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g =10m/s και η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του I = ½ m R. ε=1/3 18,4 ο πάντηση i) Επειδή το σχοινί είναι αβαρές η τάση του νήματος Τ είναι ίση με τη δύναμη που ασκείται στο άκρο του σχοινιού. πό την στροική ισορροπία περί το κέντρο Ο προκύπτει: ( ) 0 RT R 0 T (1) (O) 0 0 πό την μεταορική ισορροπία στον άξονα x x προκύπτει: ( ) ր (1) 0 T w 0 x 0, x x mg (1 ) mg mg , 6 0 (1 ) mg ,8 0 =10N w x T Ο w N x w (+) x T. Σχήμα 1 και από τη σχέση (1) η στατική τριβή ισούται με T στ =10Ν 1

2 πό την μεταορική ισορροπία στον άξονα προκύπτει: ( ) 0 N w 0 mg 0 mg mg 1 0, 0 N=18N ii) Θεωρούμε την κίνηση του κυλίνδρου ως σύνετη. Μια μεταορική με ταχύτητα και μια στροική γύρω από άξονα που περνά από το κέντρο μάζας με γωνιακή ταχύτητα. Ο τροχός κυλίεται και κάε στιγμή ισχύει υ =ωr και α =α γ R () ( ) ր x 0 x T wx ma mg ma (3) ( ) 0 N w 0 mg 0 mg πό όπου προκύπτει () I RT R mr a T ma (5) (4) (3)+(5) (1+συν) mgημ =1,5mα a (1 ) mg 0(1 0,8) 30 0, 6 4 m / s 1,5m 1,5 3 (5) T στ =14Ν α γ =α /R=40r/s Επειδή το σχοινί είναι μη εκτατό κάε στιγμή όλα του τα σημεία έχουν ίδιο μέτρο ταχύτητας και επιτάχυνσης δηλ. α =α. a a 3,6 Ο A α =4 3,6 m/s Σχήμα 4 0,6, ,8 7, 3 που αντιστοιχεί σε γωνία 18,4 ο (για την ακρίβεια =18, ο, μάλιστα το τετράπλευρο που σχηματίζει η και η είναι ρόμβος και ισχύει =/)

3 iii) Εαρμόζουμε το εώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας. Η στατική τριβή δεν μετατοπίζει το σημείο εαρμογής της και δεν παράγει έργο. υ =α t υ =4t, S.I. x = ½ α t x =t, S.I. ω=α γ t ω=40t S.I. για t=1s: υ 1s =4m/s για t=1s: x 1s = m για t=1s: ω 1s =40r/s Κ τελ Κ αρχ = W +W B +W Tστ +W N ½ m υ +½ ½ m R ω 0= W mgημ x +0+0 ½ 3 4 +½ ½ 3 0,1 40 = W , = W 36 W =7J iv) Η ισχύς της δύναμης ισούται με το άροισμα των ισχύων που έχει ως δύναμη στη μεταορική κίνηση και ως ροπή στη στροική κίνηση. για t=s: υ s =8m/s για t=s: ω s =80r/s υ γ,περ =ωr=8m/s P = μετ + στρ P = x υ + R ω P = ,1 80 P =88Watt v) Η μέγιστη δύναμη που μπορεί να ασκηεί στον κύλινδρο για να μην χαεί η επαή του με το δάπεδο είναι όταν οριακά μηδενίζεται η κάετη δύναμη N. πό την ισορροπία στον άξονα η δύναμη N από τη σχέση (4) προκύπτει: mg 4 0,6 (6) Για να μην χάνεται η επαή με το δάπεδο α πρέπει: 0 4 0, N (7) max πό τη σχέση (3) και (5) του ερωτήματος ii) προκύπτει: mg ( ) mg T 3 6 0,4 (8) Για να κυλίεται α πρέπει η τιμή της στατικής τριβής να μην υπερβαίνει την οριακή τιμή της που εωρούμε ότι είναι ίση με την τριβή ολίσησης. (6),(8) T N 6 0, 4 1,5(4 0, 6 ) 6 0, , 9 3

4 30 1,3 30 1,3 max 3N (9) Η συναλήευση των σχέσεων (7) και (9) δίνει max 3N Σχόλια 1. Στο ερώτημα iii) στο έργο της δύναμης α μπορούσαμε να κάνουμε επιπλέον και τα εξής: τρόπος Η δύναμη έχει δυϊκό ρόλο μεταέρει και στρέει τον κύλινδρο. Το έργο της μπορεί να βρεεί ως το άροισμα του έργου που έχει ως ροπή στη στροική κίνηση και ως δύναμη στη μεταορική κίνηση. x = ½ α t x = t S.I. για t=1s: x 1s =m Δ= ½ α γ t Δ= 0t S.I. για t=1s: Δ= ½ 40 1 =0rad W =W μετ +W τ W = x x + R Δ W = ,1 0 W =7J Στην πραγματικότητα αντικαιστούμε ισοδύναμα τη δύναμη με μια ίση δύναμη που να ασκείται στο κέντρο μάζας του κυλίνδρου και μια ροπή ζεύγους μέτρου τ = R. Τότε το έργο της εκράζει τη μεταορική κινητική ενέργεια του κυλίνδρου: Κ μετ = W ʹ = x συν ο ενώ το έργο της ροπής τ τη στροική κινητική του ενέργεια: Κ περ = W τ = τ Δ = R Δ Γ τρόπος H μετατόπιση του άκρου A του σχοινιού είναι: s = ½ α t s = ½ 4 3,6 1 s = 3,6 m και το έργο της ισούται με: w = s A συν w =0 w =7J 3,6 συν18, ο l x συν s A x x Δ τρόπος Η μετατόπιση s του σημείου εαρμογής της δύναμης μπορεί να βρεεί ως συνισταμένη των Σχήμα 3 4

5 μετατοπίσεων l κατά τη διεύυνση που ξετυλίχτηκε το νήμα και διεύυνση που μετατοπίστηκε το κέντρο μάζας. x κατά τη Η προβολή της πάνω στο ορέα της δύναμης έχει μέτρο l+x συν και το ζητούμενο έργο είναι: W = (l+x συν) W =0(+ 0,8) W =7J Ή W sa W ( l x ) W l x W l 0 x W ( l x ) W 7J. Για τον υπολογισμό της ισχύος εναλλακτικά α μπορούσε κάποιος να κάνει τα εξής: B τρόπος υ =α t υ =4 3,6 t S.I. για t=s: υ,s =8 3,6 m/s P = υ A συν 0 8 3,6 συν18, ο P =88Watt Γ τρόπος Η ταχύτητα του σημείου εαρμογής της δύναμης μπορεί να βρεεί ως συνισταμένη των ταχυτήτων κατά τη διεύυνση που ξετυλίχτηκε το νήμα και κατά τη διεύυνση που μετατοπίστηκε το κέντρο μάζας. Η προβολή της πάνω στο ορέα της δύναμης έχει μέτρο υ γ +υ συν και η ζητούμενη ισχύ είναι: υ συν P = (υ γ +υ συν) P =0(8+8 0,8) W =88watt Ή ( ) 0 A ( ) 0 (8 8 0,8) 88Watt Σχήμα 4 Χ. γριόδημας chagriodimas@ahoo.gr chagriodimas@gmail.com 5