Χωρητικότητα διαύλου

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Χωρητικότητα διαύλου"

Όλυμπος Ηλιόπουλος
9 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Χωρητικότητα διαύλου

2 Τηλεπικοινωνιακοί δίαυλοι

3 Τηλεπικοινωνιακοί δίαυλοι Οι τηλεπικοινωνιακοί δίαυλοι μπορεί να μεταφέρουν ή αποθηκεύουν πληροφορία Ενσύρματοι (διπλαγωγοί, ομοαξωνικά καλώδια, κυματοδηγοί, ) Ασύρματοι (ελεύθερος χώρος) Οπτικοί (οπτικές ίνες) Ακουστικοί (υποβρύχιοι) Αποθήκευσης (μαγνητικοί δίσκοι, ταινίες DAT, CD) Χαρακτηρίζονται από μια σχέση εισόδου-εξόδου

Ασύρματοι (ελεύθερος χώρος) Οπτικοί (οπτικές ίνες) Ακουστικοί (υποβρύχιοι)

4 Παραμορφώσεις Υπάρχουν πολλοί λόγοι για τους οποίους η έξοδος ενός διαύλου είναι διαφορετική από την είσοδο Εξασθένιση Μη γραμμικότητα Περιορισμένο εύρος ζώνης Διαλείψεις (fadig) Διάδοση πολλαπλών διαδρομών Θόρυβος

είσοδο Εξασθένιση Μη γραμμικότητα Περιορισμένο εύρος

5 Μοντέλο διαύλου Συνήθως, η είσοδος και η έξοδος είναι κυματομορφές Λόγω διαλείψεων και θορύβου Η σχέση εισόδου-εξόδου είναι στοχαστική Το εύρος ζώνης κάθε πραγματικού διαύλου είναι περιορισμένο Η δειγματοληψία καθιστά ένα δίαυλο συνεχούς χρόνου ισοδύναμο με δίαυλο διακριτού χρόνου Διακριτός δίαυλος (discrete chael) Οι τιμές εισόδου και εξόδου σε δίαυλο διακριτού χρόνου είναι πεπεραμένες ή αριθμήσιμες

δειγματοληψία καθιστά ένα δίαυλο συνεχούς χρόνου ισοδύναμο με δίαυλο διακριτού χρόνου Διακριτός

6 Μοντέλο διακριτού διαύλου Αλφάβητο εισόδου Χ Αλφάβητο εξόδου Υ x x x 1 N p( y x) y y y 1 N Ηέξοδοςy i εν γένει εξαρτάται από την τρέχουσα είσοδο x i και από την ακολουθία των προηγούμενων εισόδων (διασυμβολική παρεμβολή) Οδίαυλοςέχειμνήμη

εξαρτάται από την τρέχουσα είσοδο x i και από την ακολουθία

7 Μοντέλο διαύλου χωρίς μνήμη Διακριτός δίαυλος χωρίς μνήμη (memoryless) p( y x) = p( yi xi) i= 1 Δυαδικός συμμετρικός δίαυλος p(0 0) = 1 ε p(1 0) p(0 1) ε = ε = ε = πιθανότητα διασταύρωσης (λάθους) p(1 1) = 1 ε

8 Δίαυλος AWGN Η πιθανότητα λάθους σε δίαυλο AWGN με πολική σηματοδοσία είναι ( ) E b ε = p(1 0) = p(0 1) = Q SNRc = Q N0 E b η ενέργεια bit

9 Χωρητικότητα διαύλου Είναι δυνατή η αξιόπιστη μετάδοση (δηλαδή, με πιθανότητα σφάλματος μικρότερη από δεδομένη τιμή) πληροφορίας σε δίαυλο με θόρυβο αρκεί ο ρυθμός μετάδοσης να είναι μικρότερος από μια τιμή αποκαλούμενη χωρητικότητα διαύλου (Shao 1948) Ο βασικός περιορισμός που εισάγει ο θόρυβος στον δίαυλο επικοινωνίας δεν τίθεται στην αξιοπιστία μετάδοσης αλλά στο ρυθμό μετάδοσης

μικρότερος από μια τιμή αποκαλούμενη χωρητικότητα διαύλου (Shao 1948) Ο βασικός περιορισμός που

10 Παράδειγμα Εάν ο δέκτης λάβει α, δεν ξέρει κατά πόσο στάλθηκε α ή δ α α Εάν συμφωνηθεί να στέλνονται μόνο τα α ή γ, τότε ο δέκτης εάν λάβει α ή β ξέρει ότι στάλθηκε το α Αντίστοιχα, εάν λάβει γ ή δ, ξέρει ότι στάλθηκε το γ β γ β γ δ 1 δ

τότε ο δέκτης εάν λάβει α ή β ξέρει ότι στάλθηκε το α

11 Επέκταση διαύλου Εάν ο δίαυλος είναι δυαδικός συμμετρικός, μπορούμε να εφαρμόσουμε την ίδια ιδέα, στον εκτεταμένο δίαυλο Η -στη επέκταση δέχεται έχει ως εισόδους-εξόδους δυαδικά μπλοκ μήκους X = {0,1} Y = {0,1} x p( y x) y

στον εκτεταμένο δίαυλο Η -στη επέκταση δέχεται έχει ως

12 Ακολουθίες που διαφέρουν Για μεγάλο, η έξοδος θα διαφέρει από την είσοδο με πολύ μεγάλη πιθανότητα σε ε θέσεις Ο αριθμός δυνατών ακολουθιών που διαφέρουν με μια ακολουθία μήκους σε θέσεις ε είναι H b ( ε )! exp( ) H ε b π ( ) = log (1 )log(1 ) ε ε ε ε ε

δυνατών ακολουθιών που διαφέρουν με μια ακολουθία μήκους σε

13 Μη επικαλυπτόμενες ακολουθίες H b ( ε ) Για κάθε μπλοκ εισόδου υπάρχουν πιθανές ακολουθίες εξόδου Ο συνολικός αριθμός πιθανών ακολουθιών εξόδου (τυπικές ακολουθίες) είναι H ( Y ) Ο μέγιστος αριθμός ακολουθιών εισόδου που δεν παράγουν επικαλυπτόμενες ακολουθίες εξόδου είναι M H ( Y ) = = Hb ( ε ) ( H( Y) H ( ε )) και αντιστοιχούν σε ρυθμό μετάδοσης log M R = = H( Y) Hb( ε ) b

μέγιστος αριθμός ακολουθιών εισόδου που δεν παράγουν επικαλυπτόμενες ακολουθίες εξόδου είναι M

14 Μέγιστος ρυθμός Αρκεί να μεγιστοποιήσουμε την H(Y) Για δυαδικό συμμετρικό δίαυλο R = 1 H ( ε) b Η χειρότερη επίδοση αντιστοιχεί σε ε=1/, οπότε ο ρυθμός R=0

15 Θεώρημα κωδικοποίησης διαύλου με θόρυβο Η χωρητικότητα ενός διακριτού διαύλου χωρίς μνήμη είναι C = max I( X; Y) p( x) όπου I(X;Y) είναι η αμοιβαία πληροφορία μεταξύ της εισόδου και της εξόδου Εάν ο ρυθμός μετάδοσης R<C, τότε για κάθε δ>0 υπάρχει κώδικας με μήκος αρκετά μεγάλο, ώστε η πιθανότητα σφάλματος να είναι μικρότερη από δ Εάν R>C, η πιθανότητα σφάλματος για οποιονδήποτε κώδικα οποιουδήποτε μήκους απομακρύνεται από το μηδέν

R<C, τότε για κάθε δ>0 υπάρχει κώδικας με μήκος αρκετά μεγάλο, ώστε η πιθανότητα σφάλματος να είναι

16 Χωρητικότητα Γκαουσιανού διαύλου διακριτού χρόνου

17 Περιορισμός ισχύος Ένας γκαουσιανός δίαυλος με περιορισμένη ισχύ εισόδου μπορεί να περιγραφεί από την σχέση Y = X + Z Z είναι κανονική τυχαία μεταβλητή μηδενικής μέσης τιμής και μεταβλητότητας P N Ο περιορισμός ισχύος σημαίνει ότι για οποιαδήποτε ακολουθία μήκους 1 xi i = 1 P

κανονική τυχαία μεταβλητή μηδενικής μέσης τιμής και μεταβλητότητας P

18 Επίδραση του θορύβου Για μεγάλο, από τον νόμο μεγάλων αριθμών, 1 1 zi = ( yi xi) PN i= 1 i= 1 που σημαίνει ότι με πιθανότητα ένα το y θα βρίσκεται μέσα σε -διάστατη υπερ-σφαίρα ακτίνας με κέντρο το x P N y x P N

19 Περιορισμός ισχύος στην έξοδο Λόγω της ανεξαρτησίας μεταξύ της εισόδου και του θορύβου και του περιορισμού ισχύος 1 y P P i N + = i 1 που σημαίνει ότι με πιθανότητα 1 οι ακολουθίες εξόδου y θα βρίσκονται μέσα σε -διάστατη υπερ-σφαίρα ακτίνας P ( + P) με κέντρο την N αρχή των αξόνων y P ( + P) N

σημαίνει ότι με πιθανότητα 1 οι ακολουθίες εξόδου y θα βρίσκονται μέσα σε

20 Χωρητικότητα Γκαουσιανού διαύλου διακριτού χρόνου Επειδή το πλήθος των σφαιρών ακτίνας P N που μπορούμε να στοιβάξουμε σε σφαίρα ακτίνας είναι προσεγγιστικά ο λόγος των όγκων τους Το πλήθος των μηνυμάτων που μπορούν να μεταδοθούν αξιόπιστα είναι P ( + P N ) M ( ( )) N K P P P+ PN K PN + = = ( P ) N = 1+ P P N

προσεγγιστικά ο λόγος των όγκων τους Το πλήθος των μηνυμάτων που μπορούν να

21 Χωρητικότητα Γκαουσιανού διαύλου διακριτού χρόνου Άρα η χωρητικότητα, bit/σύμβολο, είναι C 1 1 P 1 P = log M = log 1+ = log 1+ PN PN

22 Χωρητικότητα Γκαουσιανού διαύλου συνεχούς χρόνου Δειγματοληπτούμε στο ρυθμό Nyquist οπότε 1 P C = log 1 + bit/δείγμα NW 0 και για ρυθμό μετάδοσης W C = Wlog 1+ όπου N P NW 0 W 0 PN = df = WN0 W bit/sec

23 Όρια στις επικοινωνίες

24 Ανταλλαγή ισχύος μετάδοσης και εύρους ζώνης Υπάρχει δυνατότητα ανταλλαγής μεταξύ ισχύος μετάδοσης και εύρους ζώνης Η μείωση της μιας παραμέτρου (P) μπορεί να αντισταθμιστεί από αύξηση της άλλης (W) Η αύξηση της χωρητικότητας συναρτήσει της ισχύος είναι αργή (λογαριθμική συνάρτηση) Για να αυξηθεί η ανοσία στον θόρυβο οι στάθμες κβάντισης πρέπει να απέχουν μεγάλη ισχύς Η χωρητικότητα μπορεί να αυξηθεί σε οποιαδήποτε τιμή με την αύξηση της ισχύος

25 Μέγιστη χωρητικότητα Η επίδραση του εύρους ζώνης είναι διαφορετική: αυξάνοντας το W Μεταδίδουμε περισσότερα δείγματα Μεγαλώνουμε τον θόρυβο στην είσοδο του δέκτη Όταν το εύρος ζώνης W τείνει στο άπειρο P P limc= log e= 1.44 N N W 0 0 Οριακή χωρητικότητα

26 Όρια λειτουργίας Επειδή R<C σε οποιοδήποτε πραγματικό σύστημα ήισοδύναμα όπου R < Wlog 1+ P NW E b r< log 1+ r N 0 R r = = φασματικόςρυθμός bit W P Eb = =ενέργεια bit R 0

27 Όρια λειτουργίας οπότε που οδηγεί στο απόλυτο ελάχιστο για αξιόπιστη επικοινωνία E N b 0 E N b r 1 > r 0 mi = l = dB

28 Σχέση με την κωδικοποίηση πηγής Αφού ο ρυθμός μετάδοσης πρέπει να είναι μικρότερος της χωρητικότητας διαύλου, για ικανοποιητική μετάδοση με παραμόρφωση D πρέπει RD ( ) < C Η συνάρτηση ρυθμού-παραμόρφωσης για γκαουσιανή πηγή με φασματική πυκνότητα ισχύος Α είναι AW A, f < W W log, D< AW SX ( f) = R( D) = D 0, αλλιώς 0, αλλιώς

29 Μετάδοση με παραμόρφωση D Εξισώνοντας τον ρυθμό μετάδοσης για παραμόρφωση D (σε σήμα εύρους ζώνης W) με την χωρητικότητα διαύλου (για εύρος ζώνης μετάδοσης Β) λαμβάνουμε P AW Blog 1+ = Wlog( ) NB 0 D

30 Λόγος σήματος προς θόρυβο ΟλόγοςB/W καλείται παράγων διεύρυνσης του εύρους ζώνης AW SQNR = = 1+ D P NB 0 Στο βέλτιστο σύστημα, λόγοςσήματοςπρος θόρυβο στην έξοδο αυξάνει εκθετικά ως προς τη διεύρυνση του εύρους ζώνης B W

31 Μετάδοση με PCM Στο σύστημα PCM Ηπαραμόρφωσηείναιτοάθροισματων παραμορφώσεων λόγω κβαντισμού και σφαλμάτων D total q b d όπου = σ + Pσ R R= νw, B= = νw x x x 4 σ xmax xmax q = = ν ν 1 max max max q = = =, σ BW / d xmaxp ν ν e

32 Σηματοθορυβική σχέση στο PCM Η σηματοθορυβική σχέση είναι SNR max 3x 3 = = B B W W x (4P + 4 ) (4P + 4 ) e e S x όπου P e Q = Q ( SNR ) ( SNR ) c c πολική / μονοπολική

33 Επίδοση PCM Το SNR για μικρές πιθανότητες σφάλματος αυξάνει εκθετικά ως προς τον παράγοντα διεύρυνσης του εύρους ζώνης Η PCM χρησιμοποιεί αποδοτικά το διαθέσιμο εύρος ζώνης! Η FM εμφανίζει μια παρόμοια ιδιότητα ανταλλαγής εύρουςζώνηςπροςισχύεκπομπής, αλλά η αντίστοιχη εξάρτηση είναι τετραγωνική ως προς παράγοντα διεύρυνσης του εύρους ζώνης Η FM δεν είναι τόσο αποδοτική όσο η PCM

Σχετικά έγγραφα

β) κίνημα στο Γουδί: σχολ. βιβλ σελ 86-87 «το 1909 μέσω της Βουλής».

ΙΣΤΟΡΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2014 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. α) αγροτική μεταρρύθμιση: σχολ. βιβλ. σελ 42 «καθώς. κοινωνικές συνθήκες». β) κίνημα στο Γουδί: σχολ. βιβλ σελ 86-87 «το 1909 μέσω της Βουλής». γ) Συνθήκη