Παρεμβολή πραγματικού χρόνου σε συστήματα CNC

Transcript

1 Παρεμβολή πραγματικού χρόνου σε συστήματα CNC Γραμμική Κυκλική Spline Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Παρεμβολή πραγματικού χρόνου σε συστήματα CNC

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons και δημιουργήθηκε στο πλαίσιο του Έργου των Ανοικτών Ακαδημαϊκών Μαθημάτων από την Μονάδα Υλοποίησης του ΕΜΠ. Για υλικό που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς. Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ

3 Γραμμική παρεμβολή 2

4 Γραμμική παρεμβολή x t = x k Δt = x s + 0 t fx t dt y t = y k Δt = y s + 0 t fy t dt Η πρόωση f (και οι συνιστώσες f x και f y ) και το διάστημα παρεμβολής T i μεταβάλλονται με το χρόνο κατά την επιτάχυνση και την επιβράδυνση, (βλ. δημιουργία εντολών κίνησης) 3

5 4

6 Αναδρομικός αλγόριθμος παρεμβολής k x k = x s + j=1 f x j T i j = x s + k 1 j=1 f x j T i j + f x k T i k ή αλλιώς: x k = x k 1 + f x k T i k όπου f x k = Δx με Δx = x e x s T i (k) N Συνεπώς x k = x s + k Δx = x k 1 + Δx 5

7 k y k = y s + j=1 f y j T i j = y s + k 1 j=1 f y j T i j + f y k T i k ή αλλιώς: y k = y k 1 + f y k T i k όπου f y k = Δy T i (k) με Δy = y e y s N Συνεπώς y k = y s + k Δy = y k 1 + Δy 6

8 Παράδειγμα - δεδομένα Ν010 G01 G90 X24 Y32 F1000 P s (5,6) P e (24,32) f=1000 counts/sec A=D=50000 counts/sec 2 T min = sec Τραπεζοειδές προφίλ ταχύτητας 7

9 Παράδειγμα - υπολογισμοί δx = x e x s = 19 δy = y e y s = 26 L = δx 2 + δy 2 = 32 Δu = f T min = 2 N = L Δu = 16 N 1 = N 3 = f 2 2 A Δu = 5 Δx = δx N = Δy = δy N =

10 Παράδειγμα - αποτέλεσμα 9

11 Κυκλική παρεμβολή 10

12 Περιορισμός βήματος Μήκος κυκλικού τόξου τροχιά L = R θ e θ s = R θ t Το τόξο πρέπει να διαιρεθεί σε Ν τμήματα Το μήκος καθενός είναι Δu (γωνιακό Δθ) Σφάλμα χορδής < ανάλυσης συστήματος (1) ce = R 1 cos Δθ 2 1 άρα: Δθ 2 arc cos R 1 R -> επιλέγουμε το ήμισυ 11

13 Σφάλμα χορδής 12

14 μήκος χορδής: Δu = R Δθ Η κυκλική τροχιά διαιρείται σε N 1, N 2, N 3 τμήματα βάσει τραπεζοειδούς ταχύτητας ταχύτητα f [counts/s) εφαπτομενικά στο τόξο Δu διανύεται σε διάστημα T i ω = f R θ t = ω t = f R t 13

15 Συντεταγμένες σημείων τόξου x t = R cos θ t = R cos f R t y t = R sin θ(t) = R sin f R t Ταχύτητες f χ = dx dt = f R R sin f R t f y = dy dt = f R R cos f R t = f R = f R x(t) y t 14

16 Επαναληπτικός αλγόριθμος Για δύο σημεία P n και P n+1 στο τόξο που απέχουν Δθ x n = R cos θ s + n Δθ x n+1 = R cos Θ s + n + 1 Δθ = R cos θ s + n Δθ + Δθ = R cos θ s + n Δθ cos Δθ - R sin θ s + n Δθ sin Δθ Αναπτύσσουμε τα γινόμενα cosa cosb = ½ (sin (a+b)-sin(a-b)) sina sinb = ½ (cos(a-b)-cos(a+b)) 15

17 Τελικά x n+1 = R cos θ s + n Δθ cos Δθ R 2 cos θ s + n 1 Δθ + R 2 cos θ s + n + 1 Δθ Και αντικαθιστώντας R cos θ s + n Δθ = x n κλπ x n+1 = x n cos Δθ 1 2 x n x n+1 Και ομοίως: x n+1 = 2 x n cos Δθ x n 1 y n+1 = 2 y n cos Δθ y n 1 16

18 Παράδειγμα - δεδομένα Ν10 G90GO3 X90 Y-90 I-90 JO P e (90, 90) P s 180, 0 f = 1000 counts s A = D = counts s 2 τραπεζοειδές προφίλ ταχύτητας Τ min = 2 msec F

19 Παράδειγμα - υπολογισμοί R = θ s = 0 θ e = θ t = I 2 + J 2 = 90 counts 3π 2 = Δθ = 2 arc cos R 1 = ΟΧΙ ΤΟ ΗΜΙΣΥ!!! R Δu = R Δθ = N 1 N 3 = N = θ t Δθ = 16 f 2 2 A Δu = 5 18

20 19

21 παράδειγμα - αποτελέσματα 20

22 Παρεμβολή spline Spline ορίζεται από n σημεία κόμβους (P 1,P 2,..., P n ). Το τμήμα που συνδέει κόμβους P i και P i+1, : S qi = A qi u 5 + B qi u 4 + C qi u 3 + D qi u 2 + E qi u 1 + F qi όπου q: x, y, z, u 0, l i, και A qi κλπ είναι διανύσματα συντελεστών για κάθε συντεταγμένη q 21

23 22

24 Παρεμβολή spline δεδομένα Οι συντελεστές A,B,C,D,E,F, τα μήκη l, i η πρόωση f, η μέγιστη επιτάχυνση και επιβράδυνση, και η 1 η παράγωγος τους (αν είναι απαραίτητο). 23

25 Παρεμβολή spline υλοποίηση Δημιουργούνται βηματικές εντολές κίνησης με βάση την εξίσωση της spline, μεταβάλλοντας το u ως πολλαπλάσιο του βήματος δu=l i /Ν: u=0, 2δu, 3δu,..., Nδu. Ο αριθμός των διαστημάτων Ν 1, Ν 2, Ν 3 για τραπεζοειδές προφίλ ταχύτητας προσδιορίζεται όπως στην περίπτωση των άλλων ειδών παρεμβολής. 24

26 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ