Δυναμική εργαλειομηχανών

Transcript

1 Δυναμική εργαλειομηχανών Θεωρία μηχανικών ταλαντώσεων Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις Παραδείγματα στο φρεζάρισμα Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Δυναμική Εργαλειομηχανών

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons και δημιουργήθηκε στο πλαίσιο του Έργου των Ανοικτών Ακαδημαϊκών Μαθημάτων από την Μονάδα Υλοποίησης του ΕΜΠ. Για υλικό που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς. Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ

3 Μηχανικές ταλαντώσεις είδη Ι Φυσικές ή ελεύθερες Δεν ασκείται εξωτερική δύναμη στο σύστημα Αποσβένυνται με το χρόνο Έχουν μικρή σημασία λόγω μεταβατικότητας Εξαναγκασμένες Ασκείται περιοδική εξωτερική δύναμη F=F o sin 2πft Απόκριση (μετατόπιση) Χ=Χ ο sin (2πft+φ) Χ ο εξαρτάται από το λόγο f/f n Έχουν σημασία στην αποπεράτωση σε περιοχή συντονισμού Στη λείανση δημιουργούν κυμάτωση στην επιφάνεια Στο φρεζάρισμα με ελικοειδή δόντια δημιουργούν μη επιπεδότητα Στο φρεζάρισμα γενικά δημιουργούν υπερ- ή υπο- κοπή. Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Δυναμική Εργαλειομηχανών 2

4 Μηχανικές ταλαντώσεις είδη ΙΙ Αυτοσυντηρούμενες αυτοδιεγειρόμενες Δημιουργούνται χωρίς ανεξάρτητη εξωτερική δύναμη. Το πλάτος τους αυξάνει με το χρόνο μέχρι να σταθεροποιηθεί λόγω μη γραμμικότητας (τριβής / απόσβεσης). Η συχνότητα τους είναι κοντά στη φυσική συχνότητα. Υπάρχει κάποια πηγή ενέργειας από όπου προέρχεται η εσωτερική του συστήματος δύναμη που διατηρεί την ταλάντωση. Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Δυναμική Εργαλειομηχανών 3

5 Μηχανικές ταλαντώσεις ελεύθερες εξαναγκασμένες Αυτο-διεγειρόμενες / αυτο-συντηρούμενες Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Δυναμική Εργαλειομηχανών 4

6 Αρμονικές μεταβλητές x 1 =A cos ωt x 2 =A sin ωt Ίδιες κυματομορφές Διαφορά φάσης φ=π/2 επειδή sinωt=cos(ωt-π/2) A : πλάτος της κίνησης ω=2πf : κυκλική συχνότητα (rad/sec) f : συχνότητα κίνησης (Hz) Μια αρμονική συνάρτηση μπορεί να είναι cos ή sin ή συνδυασμός αυτών. εξαρτάται από την κατάσταση σε t=0 εξαρτάται από το πότε ξεκίνησε η καταγραφή (καθυστέρηση φάσης) Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Δυναμική Εργαλειομηχανών 5

7 Αρμονικές συναρτήσεις στο μιγαδικό επίπεδο Διάνυσμα μέτρου Α περιστρέφεται με κυκλ συχνότητα ω Χ = Α e jωt = A (cos ωt + j sin ωt) Αν η αρχή των χρόνων συμπίπτει με φάση φ τότε A e j(ωt+φ) = A e jφ e jωt = X e jωt με X = Α e jφ μιγαδικό πλάτος Γενικά μια αρμονική συνάρτηση εκφράζεται x= X e jωt Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Δυναμική Εργαλειομηχανών 6

8 Συνάρτηση μεταφοράς για 1 Βαθμό Ελευθερίας -Ι F=F 0 e jωt m x cx kx (1) αγνοώντας μεταβατικές λύσεις, η λύση που προκύπτει είναι της μορφής : x=x e jωt F Παραγωγίζοντας και αντικαθιστώντας στην (1) και λύνοντας ως προς Χ προκύπτει : X = F 0 / [k m ω 2 + j cω] Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Δυναμική Εργαλειομηχανών 7

9 Συνάρτηση μεταφοράς πλάτος εξόδου προς πλάτος εισόδου Φ = X / F 0 = 1 / [k m ω 2 + j cω] με k/m= ω n2 τετράγωνο της φυσικής συχνότητας c / 2 (k m) 1/2 = ζ λόγος απόσβεσης Φ = X / F 0 = = (1/k) / [1 ω 2 / ω n2 + 2j ζ ω/ ω n ] ή, αντίστοιχα, και με f αντί ω, γιατί f/ f n = ω/ω n =p Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Δυναμική Εργαλειομηχανών 8

10 Συνάρτηση μεταφοράς για 1 Βαθμό Ελευθερίας -ΙΙ Φ = X / F 0 = (1/k) / [1 p 2 + 2j ζ p] Φ = (1/k) / [(1 p 2 ) ζ 2 p 2 ] ½ φ = arc tan [-2ζ p / (1-p 2 )] Re [Φ] = (1/k) (1-p 2 ) / [(1-p 2 ) 2 + 4ζ 2 p 2 ) Im [Φ] = -(1/k) (2 ζ p ) / [(1-p 2 ) 2 + 4ζ 2 p 2 ) Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Δυναμική Εργαλειομηχανών 9

11 Ιδιότητες της Φ - I Για p=0 Φ = Re(Φ) = 1/k Για p=1 Φ =0 Ακρότατα της Re(Φ) Re[Φ] max =1/ 4kζ(1-ζ) Για p=(1+2ζ) 1/2 1+ζ Re[Φ] min =-1/ 4kζ(1+ζ) Για p=(1-2ζ) 1/2 1-ζ Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Δυναμική Εργαλειομηχανών 10

12 Ιδιότητες της Φ - II Για p=1 Συντονισμός φ=π/2 Φ=Im[Φ]= -j/2kζ ελάχιστη τιμή Ακριβέστερα, Φ max =1/2kζ όταν p=(1-ζ 2 ) 1/2 Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Δυναμική Εργαλειομηχανών 11

13 Εναλλακτική απεκόνιση στο μιγαδικό επίπεδο Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Δυναμική Εργαλειομηχανών 12

14 Συνάρτηση μεταφοράς συστήματος με 2 ΒΕ Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Δυναμική Εργαλειομηχανών 13

15 Συνάρτηση μεταφοράς συστήματος με 2 ΒΕ Δύο τρόποι ταλάντωσης ανεξάρτητοι μεταξύ τους σε δύο διευθύνσεις Αντιπροσωπευτικό μοντέλο ράβδου με διατομή παραλληλογράμμο και μάζα στο άκρο k 1 =E a 3 b / 4 l 3 k 2 =E a b 3 / 4 l 3 Δύναμη στην κατεύθυνση Υ δίνει ταλαντώσεις κατά Χ1 και Χ2 με ίδια συχνότητα f, αλλά με διαφορετικά πλάτη και διαφορές φάσης αναφορικά με τη δύναμη. λόγω διαφορετικών φυσικών συχνοτήτων ω=k/m με k διαφορετικά για τις Χ1 και Χ2. Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Δυναμική Εργαλειομηχανών 14

16 Συνάρτηση διαπόκρισης - γενικά Εύρεση ταλάντωσης κατά y όταν η δύναμη ασκείται σε άλλη διεύθυνση Υ = Χ 1 cos α 1 + Χ 2 cos α 2 Προβολή των δύο ταλαντώσεων στη διεύθυνση y Συνάρτηση απόκρισης στις διευθύνσεις 1 και 2 Φ 1 =Χ 1 / F 1 όπου F 1 = F cos (α 1 -β) Χ 1 = Φ 2 =Χ 2 / F 2 όπου F 2 = F cos (α 2 -β) Χ 2 = Υ=F [Φ 1 cos(α 1 -β) cos α 1 + Φ 2 cos(α 2 -β) cos α 2 ] =F (Φ 1 u 1 + Φ 2 u 2 ) Φ= Φ 1 u 1 + Φ 2 u Φ n u n συνάρτηση διαπόκρισης Re(Φ)= Re(Φ 1 ) u 1 + Re(Φ 2 ) u Re(Φ n ) u n u i : παράγοντας κατεύθυνσης i Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Δυναμική Εργαλειομηχανών 15

17 Συνάρτηση διαπόκρισης - παράδειγμα Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Δυναμική Εργαλειομηχανών 16

18 Εφαρμογή Παρατηρήσεις στο περιφερειακό φρεζάρισμα μεταβαλλόμενο πάχος αποβλήτου άρα μεταβαλλόμενη δύναμη κοπής Αντίρροπο και ομόρροπο φρεζάρισμα η στιγμιαία τιμή της δύναμης εξαρτάται από τη γωνία τουλάχιστον ένα δόντι είναι σε επαφή με το τεμάχιο απλή περίπτωση συνήθως, περισσότερα από 1 δόντια είναι σε επαφή με το τεμάχιο το καθένα τους δίνει μια δύναμη κοπής. Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Δυναμική Εργαλειομηχανών 17

19 Δυνάμεις σε κονδύλια 2 ευθέων οδόντων Σε αντίρροπο φρεζάρισμα Η τελική επιφάνεια δημιουργείται από το δόντι στο σημείο Α το κονδύλι παραμορφώνεται μετατοπίζεται λόγω δύναμης κοπής προς το τεμάχιο Πάχος αποβλήτου, δύναμη και παραμόρφωση : 0 στο Α Πάχος αποβλήτου και παραμόρφωση μέγιστα στο Β, αλλά τότε δεν υπάρχει δόντι στο Α για να δημιουργήσει επιφάνεια δεν υπάρχουν συνέπειες στην ακρίβεια Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Δυναμική Εργαλειομηχανών 18

20 Δυνάμεις σε κονδύλια 4 ευθέων οδόντων Όταν 2 δόντια κόβουν ταυτόχρονα η παραμόρφωση λόγω της δύναμης στο Β αποτυπώνεται στη δημιουργούμενη επιφάνεια στο Α Συνήθης παραμόρφωση κονδυλιού Για αντίρροπο φρεζάρισμα : προς το τεμάχιο (υπο-διάστατο) Για ομόρροπο φρεζάρισμα : μακριά από το τεμάχιο (υπερ-διάστατο) 2 δόντια καλύτερα από 4 αλλά στην πράξη δεν είναι ευθύγραμμα! αντίρροπο ομόρροπο Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Δυναμική Εργαλειομηχανών 19

21 Δύναμη στο περιφερειακό φρεζάρισμα Προκύπτει σαν άθροισμα των δυνάμεων σε κάθε δόντι που κόβει Κάθε επιμέρους δύναμη δοντιού εκφράζεται ως διανυσματικό άθροισμα εφαπτομενικής F t και ακτινικής F n συνιστώσας (συνήθως F t /F n =3.3) F t = K s b c sin φ b το (αξονικό) πλάτος κοπής c η πρόωση ανά δόντι K s η ειδική δύναμη κοπής φ η γωνία θέσης του δοντιού (φ εισόδου φ φ εξόδου ) Γίνεται προβολή των F t και F n στις διευθύνσεις Χ (οριζόντια) και Υ (κατακόρυφη) και δημιουργούνται διαγράμματα που δείχνουν αρμονική συνάρτηση (δύναμη) διέγερσης του κονδυλίου. Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Δυναμική Εργαλειομηχανών 20

22 Δύναμη κατά Χ και Υ σε περιφερειακό φρεζάρισμα Για ελικοειδή δόντια η γεωμετρία είναι πολυπλοκότερη, αλλά η φιλοσοφία άθροισης των δυνάμεων είναι η ίδια! Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Δυναμική Εργαλειομηχανών 21

23 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ