Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών

Transcript

1 Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών Δυνάμεις κοπής στο φρεζάρισμα Απόκριση εκτός συντονισμού Απόκριση σε συντονισμό Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons και δημιουργήθηκε στο πλαίσιο του Έργου των Ανοικτών Ακαδημαϊκών Μαθημάτων από την Μονάδα Υλοποίησης του ΕΜΠ. Για υλικό που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς. Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ

3 Συνάρτηση διαπόκρισης Ιούλιος Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ 15 Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 2

4 Δυνάμεις στο φρεζάρισμα ίσια δόντια-1 Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 3

5 Προβολή δυνάμεων σε x, y F x = m i=1 (F t i cosφ i F n i sinφ i) = k s bc m i=1 (sin φ i cosφ i 0.3sin 2 φ i ) = m (sin 2φ i cos 2φ i ) k s bc 2 i=1 F y = m i=1 (F t i sinφ i F n i cosφ i) = k s bc m i=1 (sin 2 φ i 0.3sinφ i cosφ i ) = k s bc 2 i=1 m (1 cos 2φ i 0.3 sin 2φ i ) κάθε όρος i των παραπάνω αθροισμάτων συμμετέχει μόνο εφόσον φ s <φ i <φ e Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 4

6 Φρεζάρισμα με ίσια δόντια: m=1 & 3 Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 5

7 Συνισταμένη στο φρεζάρισμα εγκοπών με ίσια δόντια: m=4 & 3 Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 6

8 Φρεζάρισμα αυλακιού με m=4 Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 7

9 Σταθερότητα δύναμης φρεζαρίσματος αυλακιού με m=4 Τόξο επαφής: π, πρόωση ανά δόντι: c Πάντοτε 2 δόντια σε επαφή σε γωνία φ 1 και φ 2 =φ 1 +π/2, άρα sinφ 2 =cosφ 1 και cosφ 2 =-sinφ 1 ΔF t1 = k s Δb h 1 ΔF r1 =0.3 ΔF t1 με h=c sinφ 1 ΔF t2 = k s Δb h 2 ΔF r2 =0.3 ΔF t2 με h=c sinφ 2 ΔFx= k s Δb c (sinφ 1 cosφ 1 + sinφ 2 cosφ sin 2 φ sin 2 φ 2 )=k s Δb c (0+0.3) ΔFy= k s Δb c Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 8

10 Συνισταμένη στο φρεζάρισμα εγκοπών με 4 ίσια δόντια Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 9

11 φρεζάρισμα αυλακιού με 2 δόντια Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 10

12 Απόκριση σε συνθήκες συντονισμού κονδύλι δύο δοντιών για φρεζάρισμα αυλακιού k s =1000 N/mm 2 αξονικό βάθος κοπής b=10mm, πρόωση ανά δόντι c=0.1 mm, ταχύτητα ατράκτου n=7200rpm= 120 rev/sec. φυσική συχνότητα f n =240 Hz, δυσκαμψία k=1000 N/mm λόγος απόσβεσης ζ=0.04. Συχνότητα της δύναμης-διέγερσης ισούται με f n Η ακρίβεια των δύο επιφανειών του αυλακιού εξαρτάται από την απόκριση του εργαλείου κατά τη διεύθυνση y Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 11

13 F y = ½ k s b c (1 cos2φ 0.3 sin2φ)= 500 (1 cos2φ 0.3 sin2φ) δηλ. ένας σταθερός και δύο αρμονικοί όροι: F DC = 500 Ν F 1 = -500 cos2φ F 2 =-150 sin2φ Απόκριση: υπέρθεση των δύο ταλαντώσεων ίδιας συχνότητας Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 12

14 φρεζάρισμα αυλακιού με συντονισμό Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 13

15 Συνθήκες συντονισμού η μετατόπιση έπεται της διέγερσης κατά π/2 το cos(2φ) της F 1 δίνει cos(2φ-π/2)=cos(π/2-2φ)=sin(2φ) για την y 1 το sin(2φ) της F 2 δίνει sin(2φ-π/2)=-sin(π/2-2φ)=-cos(2φ) για την y 2 μέτρο συνάρτησης απόκρισης: 1/2kζ Α1= F1 /2kζ=500/( )= 6.25mm Α2=1.875mm αντίστοιχα Συχνότητα f=2 * 120= 240 Ηz Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 14

16 Σφάλμα θέσης αυλακιού y 1 =-6.25 sin2φ y 2 =1.875 cos2φ y DC =F DC /k=500/1000=0.5 mm Το σφάλμα θέσης μετράται στα Α και Β δηλ. για φ=0 και π. Για φ=0 το σφάλμα θέσης του αυλακιού είναι: δ= =2.375mm Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 15

17 Απόκριση σε συνθήκες μη συντονισμού δεν υπάρχουν συνθήκες συντονισμού f n =310 Hz ταχύτητα ατράκτου: 8400 rpm = 140 rev/sec συχνότητα διέλευσης δοντιού f=2 140=280 Hz F y = 500 (1 cos2πft 0.3 sin2πft) F DC = 500 Ν F 1 = -500 cos(2π 280 t) F 2 =-150 sin(2π 280 t) Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 16

18 Υπολογισμός απόκρισης εκτός συντονισμού Διαφορά φάσης απόκρισης ως προς διέγερση: φ=atan(-2ζr/(1-r 2 )) r=280/310= => φ=-38.11⁰ Λόγος πλατών απόκρισης-διέγερσης είναι: 1 Φ = k (1 r 2 ) 2 +4ζ 2 r 2 αντικαθιστώντας τις τιμές των k, ζ, r : Φ = Α 1 = =2.135mm Α 2 = =0.64mm Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 17

19 φρεζάρισμα εγκοπών με 2 δόντια εκτός συντονισμού Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 18

20 Επεξήγηση σχήματος Οι δυνάμεις και οι αποκρίσεις φαίνονται στο Σχήμα ως περιστρεφόμενα διανύσματα οι προβολές στον πραγματικό άξονα δίνουν τις στιγμιαίες τιμές. Για t=0 συναρτήσεις με θετικά συνημίτονα είναι στα θετικά του πραγματικού άξονα και αυτές με θετικά ημίτονα είναι στα αρνητικά του φανταστικού άξονα. Συνεπώς η F 1 (αρνητικά cos) είναι στα αρνητικά του πραγματικού άξονα και η απόκριση Y 1 ακολουθεί κατά 38.11⁰. η F 2 (αρνητικά sin) είναι στα θετικά του φανταστικού άξονα και η απόκριση Y 2 ακολουθεί κατά 38.11⁰. Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 19

21 Για t=0 Προβολές Υ1, Υ2 στον πραγματικό άξονα y 1 = cos(38.11⁰)=-1.68mm y 1 =0.64 cos(38.11⁰)=0.395mm. Συνολική μετατόπιση του κονδυλιού κατά y: δ= = mm Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 20

22 Δυνάμεις Ένα κονδύλι με ελικοειδή δόντια μπορεί να θεωρηθεί ως μια σειρά στοιχειωδών κονδυλιών δίσκων - το καθένα από τα οποία έχει ίσια δόντια. Η ανάλυση δυνάμεων που εφαρμόστηκε για κονδύλια με ίσια δόντια για αξονικό βάθος κοπής b εφαρμόζεται και σε κάθε στοιχειώδη κυκλικό δίσκο. Περιφερειακό φρεζάρισμα με γωνία εισόδου φ s γωνία εξόδου φ e πλάτος κοπής a και πρόωση ανά δόντι c. Πάχος αποβλήτου σε οποιαδήποτε θέση κατά μήκος του τόξου επαφής, h=c sinφ. Η γωνία έλικας των δοντιών είναι β. Το ανάπτυγμα κάθε δοντιού του εργαλείου είναι ευθύγραμμο τμήμα κλίσης β. Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 21

23 Φρεζάρισμα με ελικοειδές κονδύλι Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 22

24 Φρεζάρισμα με ελικοειδές κονδύλι-2 r Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 23

25 Ανάλυση στο επίπεδο ανάπτυγμα Κάθε ευθύγραμμο ανάπτυγμα δοντιού τμήμα κινείται με ταχύτητα v (περιφερειακή ταχύτητα κοπής του εργαλείου) Η θέση κάθε σημείου κοπής αποτυπώνεται βάσει της γωνίας φ, η οποία πολλαπλασιαζόμενη με την ακτίνα του εργαλείου r δίνει την αντίστοιχη απόσταση rφ. Η επαφή κάθε δοντιού εκτείνεται δυνητικά κατά μήκος γωνίας τύλιξης ψ, η οποία υπολογίζεται ως: ψ=b tanβ /r. Στην πραγματικότητα όμως, η επαφή του κάθε δοντιού περιορίζεται στο τμήμα της γωνίας ψ που βρίσκεται μεταξύ των γωνιών εισόδου και εξόδου φ s και φ e συμβολίζεται με συνεχή γραμμή σε αντίθεση με το υπόλοιπο που συμβολίζεται με διακεκομμένη Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 24

26 Κώδικας υπολογισμού δυνάμεων Γωνία βήματος φ p.=2π/m, όπου m ο αριθμός δοντιών. Για m=3 έστω ότι το 1 ο σημείο του δοντιού T 1 στο επίπεδο Α μόλις εισέρχεται στο υλικό, δηλ. φ a =φ s Κίνηση του T 1 έως γωνία φ a =φ s +φ p, δηλαδή μεταξύ γραμμών T 1s και T 1e Τα δόντια Τ 2 και Τ 3 κινούνται αντίστοιχα, είναι όμως μπροστά από το Τ 1 κατά φ p και 2φ p αντίστοιχα. Η κίνηση διακριτοποιείται σε κ στοιχειώδη γωνιακά βήματα Δφ Κάθε δόντι διακριτοποιείται σε ν γραμμικά τμήματα υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου ύψους Δb και βάσης Δψ. ΔF t και ΔF n κάθε τμήματος δοντιού: όπως για τα ίσια δόντια Οι προβολές κατά x και y αθροίζονται για όλα τα βήματα Δφ. Max αριθμός δοντιών που κόβουν ταυτόχρονα : int((φ c +ψ)/φ p )+1. Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 25

27 Φρεζάρισμα με ελικοειδές κονδύλι Λόγος μετωπικής βύθισης Αξονική βύθιση b=10,25,50 mm Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 26

28 Σταθερότητα δύναμης σε φρεζάρισμα με ελικοειδές κονδύλι περιφερειακό φρεζάρισμα υπάρχει συγκεκριμένο αξονικό βάθος κοπής b για το οποίο (και για ακέραια πολλαπλάσια του) η δύναμη κοπής είναι σταθερή Συνθήκη: φ p = ψ φ p =2π/m ψ=b tanβ /r Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 27

29 Αποτύπωση ταλάντωσης εργαλείου στην κατεργασμένη επιφάνεια Στην ιδανική περίπτωση κοπτικού εργαλείου απλής σημειακής επαφής η κυματομορφή της διέγερσης αναπαράγεται στην επιφάνεια του κατεργασμένου τεμαχίου. Όταν όμως το εργαλείο δεν καταλήγει σε κορυφή αλλά υπάρχει ακτίνα καμπυλότητας ή αντίστοιχα υπάρχει πεδίο φθοράς τότε υπάρχει διαφορά στο πλάτος των δύο κυματομορφών συνήθως το πλάτος της ταλάντωσης στο τεμάχιο είναι πολύ μικρότερο από αυτό του εργαλείου Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 28

30 Αποτύπωση ταλάντωσης εργαλείου απλής σημειακής επαφής Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 29

31 Αποτύπωση ταλάντωσης λειαντικού τροχού Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 30

32 Εξαναγκασμένη ταλάντωση λειαντικού τροχού κυλινδρικός τροχός διαμέτρου D ταλαντώνεται με πλάτος 2Α το κέντρο του τροχού βρίσκεται στην κατώτατη θέση δύο φορές σε κάθε περίοδο ορίζοντας έτσι ένα μήκος κύματος w η περιφέρεια του τροχού σε κάθε θέση αφήνει παραμένον υλικό στο τεμάχιο που έχει προφίλ κυκλικού τόξου. τα σχετικά τόξα στις δύο κατώτερες θέσεις τέμνονται σε σημείο με ύψος h (<2Α) πάνω από αυτές υπολογίζεται με χρήση του Πυθαγόρειου θεωρήματος Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 31

33 υπολογισμός (w/2) 2 + (D/2- h) 2 = (D/2) 2 επειδή το h είναι πολύ μικρό, h 2 =0, συνεπώς: h=w 2 /4/D Αν V είναι η ταχύτητα κίνησης του τροχού και f η συχνότητα της ταλάντωσης, τότε: w=v/f Συνδυασμός των δύο τελευταίων σχέσεων δίνει h=v 2 /f 2 /4/D Το ύψος της κυμάτωσης στο τεμάχιο είναι το ελάχιστο των 2A και h δηλ. min(2a,h). Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις εργαλειομηχανών 32

34 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Γ.Βοσνιάκος-ΕΡΓΑΛΕΙΟΜΗΧΑΝΕΣ