Μιχάλης ΚΛΟΥΒΑΣ 1, Χρήστος ΖΕΡΗΣ 2

Transcript

1 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος Αριθµητική ιερεύνηση της Επιφάνειας Αστοχίας του Σκυροδέµατος Παρουσία Εφελκυστικών Τάσεων A Numerical Investigation of the Failure Surface of Concrete in the Presence of Tensile Stresses Μιχάλης ΚΛΟΥΒΑΣ, Χρήστος ΖΕΡΗΣ Λέξεις κλειδιά: σκυρόδεµα; τριαξονική επιφάνεια αστοχίας, ανελαστική ανάλυση, εφελκυστικό κριτήριο αστοχίας, εφεκλυστική αντοχή. ΠΕΡΙΛΗΨΗ: ιερευνήθηκε η αξιοπιστία της ευρείας εφαρµογής επιφάνειας αστοχίας του σκυροδέµατος σε τριαξονικές καταπονήσεις των Willam & Warnke, στο λογισµικό ανάλυσης µε πεπερασµένα στοιχεία φορέων και κατασκευών από σκυρόδεµα, ANSYS. Η επίλυση έως την αστοχία προσοµοιωµάτων κύβου από άοπλο και οπλισµένο σκυρόδεµα, κατέδειξε ότι η αντοχή τους υποεκτιµάται όταν το σκυρόδεµα αστοχεί µε την ταυτόχρονη παρουσία εφελκυστικών κυρίων τάσεων, λόγω της απαραίτητης προσθήκης ενός τριαξονικού ορίου εφελκυστικής αντοχής, στο κριτήριο αστοχίας. Για την ορθή ενσωµάτωση του περιορισµού αυτού, προτείνεται τροποποίηση του κριτηρίου µέσω δύο πρόσθετων εκθετικών παραµέτρων, ώστε να υπολογίζεται µε αξιοπιστία η θλιπτική αστοχία, σε όλο το φάσµα των εντατικών καταστάσεων σε πρακτική εφαρµογή. Με ελαχιστοποίηση των σφαλµάτων συναρµογής, οι παράµετροι υπολογίζονται για διάφορες κατηγορίες σκυροδέµατος µε βάση τα χαρακτηριστικά της αντοχής του υλικού. ABSTRACΤ : The linear tension cutoff of the concrete failure surface proposed by Willam & Warnke is investigated, as implemented in ANSYS. It is shown that its implementation estimates erroneous compressive failure strengths, compared to theoretical failure surface estimates. A two parameter exponential expression is proposed that traces the theoretical failure surface, while, at the same time, matching the tensile and compressive capacity limits. In this way, failure stress states that closely match the surface over the entire stress range of interest in finite element analysis of concrete can be obtained. Following a statistical minimization procedure, the parameters are established over a range of concrete grades. :Ανχης Μηχανικού, Ε.Σ., Πολιτικός Μηχανικός ΕΜΠ, Υποψήφιος ιδάκτωρ Σχολής Πολιτικών Μηχανικών ΕΜΠ, clouvasm@hotmail.com Επίκουρος Καθηγητής, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, zeris@central.ntua.gr

2 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Κατά την ανάλυση των κατασκευών από οπλισµένο σκυρόδεµα µε τη µέθοδο των πεπρασµένων στοιχείων (ΠΣ) η αστοχία εµφανίζεται στο σηµείο ολοκλήρωσης Gauss point του εκάστοτε ΠΣ σε συνάρτηση µε τη δρώσα τριαξονική εντατική του κατάσταση. Η αστοχία, είτε προέρχεται από θλίψη είτε από εφελκυσµό, περιγράφεται σε κάθε σηµείο ενσωµάτωσης, µε γενικευµένες επιφάνειες αστοχίας, στο χώρο των κυρίων τάσεων. Από τις διάφορες επιφάνειες αστοχίας που έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία, η πενταπαραµετρική επιφάνεια των Willam & Warnke (975) είναι από τις πιο διαδεδοµένες και χρησιµοποιείται από αρκετούς κώδικες ΠΣ όπως το ANSYS (007), που εξετάζεται στην παρούσα. Στην περίπτωση ύπαρξης κυρίας εφελκυστικής τάσης κατά την εφαρµογή της επιφάνειας αστοχίας, είναι απαραίτητη η ενσωµάτωση ενός κριτηρίου εφελκυστικής αντοχής - tension cuttoff (Willam et al., 975), το οποίο περιορίζει την οριακή αντοχή στην πειραµατικά δεδοµένη εφελκυστική αντοχή του υλικού. Αναλύσεις πειραµατικών δοκιµών δοκών µε χρήση εναλλακτικών προσοµοιώσεων της επιφάνειας αστοχίας (Barbosa et al., 998, Yahya et al., 007) έδειξαν ότι η χρήση αυτού του κριτηρίου υποεκτιµά το φορτίο αστοχίας των στοιχείων, λόγω υποεκτίµησης της αστοχίας των ΠΣ τοπικά. Παρόµοια αποτελέσµατα λήφθηκαν και στην παρούσα, κατά την ανάλυση προσοµοιωµάτων απλών κύβων που περιγράφονται στην συνέχεια. Απαιτείται άρα µια ακριβέστερη διερεύνηση του εφελκυστικού κριτηρίου στον καθορισµό της θλιπτικής αντοχής. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΣΚΥΡΟ ΕΜΑ Για τον προσδιορισµό της επιφάνειας αστοχίας στα πλαίσια της θεωρίας της πλαστικότητας για το σκυρόδεµα, έχουν προταθεί κριτήρια αστοχίας αυξανόµενου βαθµού πολυπλοκότητας, όπως (Chen, 98, Kotsovos et al., 995): α) Τα διπαραµετρικά κριτήρια τύπου Mohr-Coulomb µε συµµετοχή των τιµών των ακραίων µόνο τάσεων σ και σ 3, ενώ αγνοείται η ενδιάµεση σ, και το κριτήριο των Drucker-Prager, µε βελτίωση της επιφάνειας στις περιοχές εναλλαγής της κλίσης της. β) Στις τριπαραµετρικές επιφάνειες αστοχίας εντάσσονται τα κριτήρια αστοχίας του Bresler-Pister (958) και η ελλειπτικού σχήµατος έκφραση των Willam & Warnke (975), µε το σχήµα της επιφάνειας να καθορίζεται από τρεις ανεξάρτητες πειραµατικές τιµές, η δε αστοχία να ελέγχεται από την τιµή της µέσης διατµητικής τάσης, όταν αυτή ξεπεράσει την αντίστοιχη τιµή της επιφάνειας αστοχίας.

3 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος γ) Στα τετραπαραµετρικά κριτήρια των Ottosen και Hsieh-Ting-Chen, η αστοχία εκφράζεται συναρτήσει των αναλλοίωτων του τανυστή των τάσεων I, J και της µέγιστης κυρίας τάσης σ. δ) Στα πενταπαραµετρικά κριτήρια, µε πλέον σύνηθες σε χρήση το τροποποιηµένο κριτήριο των Willam & Warnke (975) το οποίο αναπτύσσεται αναλυτικότερα στη συνέχεια. Βελτιώσεις στο κριτήριο αυτό πρότειναν οι Kang και Menétrey et al. (995) και Imran και Pantazopoulou (00) µεταξύ άλλων. Γενικά οι βελτιώσεις αναφέρονται στο σχήµα της τοµής της κωνοειδούς επιφάνειας, κάθετα στον ισοστατικό άξονα, καθώς και στην προσαρµογή της σε πειραµατικά δεδοµένα, ενώ στο γενικό της ανάπτυγµα η επιφάνεια παραµένει όπως αρχικά προτάθηκε από τους Willam & Warnke (975). ε) Πλέον πρόσφατα κριτήρια περιγράφουν την αστοχία του σκυροδέµατος µέσω σχέσης των συνιστωσών της τάσης και παραµόρφωσης σε µικροεπίπεδα µε διάφορους προσανατολισµούς (Meschke et al., 998, Ozbolt et al., 00). Το κριτήριο αστοχίας των Willam & Warnke (975) και η εφαρµογή του στον κώδικα ΠΣ ANSYS Σύµφωνα µε την θεωρία της ελαστικότητας, κάθε εντατική κατάσταση µπορεί να εκφραστεί ως άθροισµα µιας ορθής ή υδροστατικής τάσης (σ a ), και µιας µέσης διατµητικής ή αποκλίνουσας τάσης (τ α ). Η επιφάνεια αστοχίας των Willam & Warnke (975) στον τρισδιάστατο χώρο των τάσεων, είναι ένα κωνοειδές στερεό, µε καµπυλόγραµµους µεσηµβρινούς µη κυκλικής διατοµής και συµµετρία προς τον ισοτασικό άξονα. Η κορυφή του στερεού στο θετικό τµήµα του άξονα περιορίζεται από την εφελκυστική αντοχή του σκυροδέµατος, στη δε περιοχή µέγιστης θλίψης η επιφάνεια είναι κυλινδρική µη κυκλικής βάσης (Σχ. α). Στο χώρο των κυρίων τάσεων (σ, σ, σ 3 ), το κριτήριο εκφράζει την αστοχία µέσω σύγκρισης και εξίσωσης της µέσης διατµητική τάσης τ α (βλ. εξ. ()) δράση - µε το όριο της επιφάνειας αστοχίας r (σ α,θ) - αντοχή: [( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ ) ] τ = α 3 σ3 () 5 Για να ορισθεί η επιφάνεια, προσδιορίζονται µέσω πειραµατικών αποτελεσµάτων οι δύο παραβολικοί µεσηµβρινοί που διέρχονται από τους θετικούς και αρνητικούς ηµιάξονες των κυρίων τάσεων. Οι τοµές αυτών στους ηµιάξονες των κυρίων τάσεων r, και r (Σχ. β) περικλείουν την ελλειπτική επιφάνεια της εξ.: r r ( r r ) cosθ + r ( r r )[ 4( r r ) cos θ + 5r 4r r ] 4( r r ) cos θ + ( r r ) ( σ α, θ) = () cos 3 θ = (3) [ ( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) ] σ σ σ 3 3 3

4 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος (α) Σχήµα. Η επιφάνεια αστοχίας των Willam & Warnke (975): (α) Το αποκλίνον επίπεδο αφορά τις διατµητικές τάσεις και είναι κάθετο στον ισοτασικό άξονα. (β) Η επιφάνεια αστοχίας αποτελείται από έξι συµµετρικά τµήµατα ελλειπτικού σχήµατος. Επί πλέον µε την επιφάνεια αστοχίας, υιοθετείται και ένα όριο της αντοχής σε εφελκυσµό f ct (tension cuttoff), για τον περιορισµό της κύριας εφελκυστικής τάσης. Το όριο υλοποιείται είτε µε περιορισµό της εφελκυστικής σ (Chen, 98, Fang et al., 00) ή µε πλέον σύνθετες εκφράσεις (ANSYS, 007), όπου, διαχωρίζονται οι συνδυασµοί των τάσεων σε τέσσερις Περιοχές κυρίων τάσεων: α) Ι: και οι τρεις κύριες τάσεις είναι αρνητικές ( 0 σ σ σ 3) β) ΙΙ: µία κύρια τάση θετική και οι άλλες δύο αρνητικές ( σ 0 σ σ 3) γ) ΙΙΙ: δύο τάσεις είναι θετικές και η τρίτη αρνητική ( σ σ 0 σ 3) δ) ΙV: και οι τρεις κύριες τάσεις είναι θετικές ( σ σ σ 0) (β) 3 Στις Περιοχές τάσεων ΙΙ, ΙΙΙ όπου συνυπάρχει εφελκυσµός και θλίψη στις κύριες τάσεις, τροποποιούνται και οι δύο όροι του κριτήριου τ α /f c και r(σ α,θ), ως εξής: Περιοχή ΙΙ. Θεωρείται η θετική τάση σ µηδενική η δε επιρροή της λαµβάνεται υπόψη µέσω ενός πρόσθετου πολλαπλασιαστικού όρου (βλ. εξ. 4): ( r ) + ( )[ ( ) + ] r cosθ r r r 4 r r cos θ 5r 4r r 4( r r ) cos θ + ( r r ) σ r r = ΙΙ (σα, θ) (4) f t Αντίστοιχα, η µέση διατµητική τάση τ α δίδεται από την τροποποίηση της εξ. (). Η τροποποιηµένη µέση διατµητική αντοχή δίδεται από την εξ. (5). 4

5 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος [( σ σ ) + σ ] τιι α 3 + = f c 5 f c σ 3 (5) Περιοχή III. Απλοποιείται ο υπολογισµός της r ΙΙΙ (σ α,θ) περαιτέρω, αγνοώντας τις µη εκθετικές εκφράσεις, ενώ η µέση διατµητική τάση ισούται µε τ ΙΙΙα = σ,. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ ΑΣΤΟΧΙΑΣ Για τη διερεύνηση της επιφάνειας αστοχίας προσοµοιώθηκε κυβικό δοκίµιο οπλισµένου σκυροδέµατος, διαστάσεων 0,50m κάθε πλευρά, αποτελούµενο από 5 χωρικά ΠΣ τύπου SOLID 65 (ANSYS, 007). Στον κύβο επιβλήθηκαν κυλίσεις σε όλους τους κόµβους της κάτω παρειάς, ενώ δύο γωνιακοί κόµβοι δεσµεύθηκαν κατά µία ακόµα διεύθυνση ώστε να διασφαλίζεται ότι η επιβολή κατακόρυφης τάσης ή παραµόρφωσης συνεπάγεται οµοιόµορφη θλίψη σε όλα τα ΠΣ. Το σκυρόδεµα θεωρήθηκε ως ελαστοπλαστικό µε πολυγραµµική σχέση τάσεων παραµορφώσεων και µονοαξονική θλιπτική αντοχή (f c ) 0 MPa, ενώ ο οπλισµός είχε διγραµµικά χαρακτηριστικά µε αντοχή διαρροής (f y ) 500 MPa. Στο Σχ. α φαίνεται η µεταβολή των κατακόρυφων αντιδράσεων ( ύναµη P) και των µετατοπίσεων (δ) για επιβαλλόµενη παραµόρφωση ή οµοιόµορφη τάση. Με την επιβολή παραµορφώσεων το προσοµοίωµα αποκρίθηκε σύµφωνα µε τις µηχανικές ιδιότητες των υλικών, διατηρώντας σε όλα τα ΠΣ οµοιόµορφη εντατική κατάσταση έως την αστοχία: η αλλαγή κλίσης ταυτίζεται µε την αλλαγή κλίσης της σχέσης τάσεων παραµορφώσεων του χάλυβα η δε πτώση των αντιδράσεων παρουσιάζεται όταν αστοχεί το σκυρόδεµα. Η θλιπτική τάση του οπλισµού στο τέλος της φόρτισης και όταν το σκυρόδεµα έχει αστοχήσει φαίνεται το Σχ. β. Αντίθετα, κατά την επιβολή οµοιόµορφης τάσης σ z = -0MPa, η επίλυση του κύβου τερµατίστηκε σε ελάχιστη κύρια θλιπτική τάση στα σηµεία ενσωµάτωσης των ΠΣ µόλις 7 ΜΡα (η εντατική κατάσταση των ΠΣ στην αστοχία φαίνεται στο Σχ. γ, δ): αντίθετα µε την προηγούµενη περίπτωση, κατά την επιβαλλόµενη δύναµη µε παρουσία οπλισµού δηµιουργήθηκαν ανοµοιόµορφες εντατικές καταστάσεις µε παρουσία κύριων εφελκυστικών τάσεων στο εσωτερικό των ΠΣ, που ενεργοποίησαν το κριτήριο θλιπτικής αστοχίας υπό εφελκυσµό. Αυτό ενισχύεται και από το γεγονός ότι µε την αφαίρεση της επιρροής του εν λόγω κριτηρίου αστοχίας, η επίλυση τερµατίσθηκε κανονικά στα 0 ΜΡα. Με βάση τα παραπάνω αποτελέσµατα, για τη λεπτοµερέστερη διερεύνηση του εφελκυστικού κριτηρίου αστοχίας στην Περιοχή τάσεων ΙΙ, επιλέχθηκαν 5

6 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος (α) (β) (γ) Σχήµα. (α) καµπύλη P-δ για επιβολή φορτίου και µετατοπίσεων. (β) Τάση στον οπλισµό µετά την αστοχία του σκυροδέµατος σε δ =.0 mm, κατά την επιβολή παραµορφώσεων. (γ) Τάσεις στον οπλισµό και στο σκυρόδεµα στην αστοχία µε την επιβολή φορτίου. τυχαίοι συνδυασµοί των (σ, σ, σ 3 ), τέτοιοι ώστε: i) η κύρια τάση σ (εφελκυστική) να είναι πάντα µικρότερη από τη µέγιστη εφελκυστική αντοχή του υλικού f ct, έτσι ώστε να ισχύει το κριτήριο αστοχίας στη γενική του µορφή χωρίς τη χρήση του κριτηρίου αστοχίας σε εφελκυσµό,. ii) για τη δεύτερη κύρια τάση σ (θλιπτική) θεωρήθηκαν τιµές που να καλύπτουν όλο το εύρος δυνατών συνδυασµών στο πεδίο ορισµού [0, -f c ], ενώ iii) η τιµή της τρίτης θλιπτικής τάσης σ 3 προέκυψε από την ισότητα των εξ. και. Προέκυψαν έτσι συνδυασµοί τάσεων που βρίσκονται επί της γενικής επιφάνειας αστοχίας. Με δεδοµένα τα σηµεία αυτά, ελέγχθηκε η εφαρµογή του κριτηρίου, όπως αυτό τροποποιήθηκε Shear Strength Ασφαλής [r (σα,θ)] περιοχή Σχήµα. 3. Σηµεία καταπόνησης των οποίων υποεκτιµάται η αντοχή σύµφωνα µε το εφελκυστικό κριτήριο στην Αστοχία επιφάνεια αστοχίας των Willam & Warnke (975) Mean Deviatoric (Shear) Stress [τα] 6

7 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος για να συµπεριλάβει την αστοχία από τον εφελκυσµό στην Περιοχή ΙΙ σύµφωνα µε την εξ. 4. Στο Σχ. 3 απεικονίζονται: η αντοχή (εξ 4) και η δράση (εξ 5), σύµφωνα µε την εφαρµογή του εφελκυστικού κριτηρίου του ANSYS (007) για τους συνδυασµούς τάσεων που επελέγησαν. Παρατηρείται ότι ενώ τα τασικά σηµεία βρίσκονται επί της επιφάνειας αστοχίας κατά Willam et al. (975), όταν εφαρµόζεται το εφελκυστικό κριτήριο αστοχίας κατά ANSYS (007) τα σηµεία αυτά έχουν ήδη αστοχήσει. ηλαδή, παρουσία µικρών εφελκυστικών τάσεων που υπολείπονται της f ct, υποεκτιµάται η αντοχή του υλικού. ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟΥ ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΩΝ ΚΥΡΙΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Για την άρση της υποεκτίµησης της αντοχής του γραµµικού εφελκυστικού κριτηρίου, προστέθηκαν δύο παράµετροι α ΙΙ και b II, στον πολλαπλασιαστή της εξ. (4) ώστε να εξακολουθούν να τηρούνται οι συνθήκες στα όρια, για σ = 0 και σ = f ct, σύµφωνα µε την εξ. (6). Οι τιµές τους καθορίσθηκαν όπως παρακάτω. β ΙΙ α ΙΙ σ (6) ft Καθορισµός της βάσης δεδοµένων των κυρίων τάσεων Για τον προσδιορισµό των παραµέτρων a ΙΙ και b ΙΙ της Περιοχής τάσεων ΙΙ δηµιουργήθηκαν επτά βάσεις δεδοµένων κυρίων τάσεων σε αντιστοιχία µε τις κατηγορίες των σκυροδεµάτων C0 έως C50 κατά EC (004). Οµοίως, οι τιµές της µέγιστης θλιπτικής τάσης (f ck ) και της αντίστοιχης εφελκυστικής (f ctm ) δόθηκαν σύµφωνα µε τον Ευροκώδικα (EC, 004). Στην Περιοχή τάσεων ΙΙ, για κάθε κατηγορία σκυροδέµατος δηµιουργήθηκαν ζεύγη τάσεων σ και σ, µε τον περιορισµό ότι η τάση σ θα είναι θετική µε τιµή µικρότερη της µέγιστης εφελκυστικής αντοχής f ct. Με δεδοµένες τις αλγεβρικά µεγαλύτερες τάσεις σ και σ και σύµφωνα µε τη γενική µορφή της εξίσωσης της επιφάνειας αστοχίας, όπως περιγράφεται στην εξ. (), υπολογίσθηκε η τάση σ 3, έτσι ώστε η κάθε τριάδα κυρίων τάσεων να παριστά εντατικό σηµείο που βρίσκεται επάνω στην επιφάνεια αστοχίας του κριτηρίου στη γενική του µορφή. Το αποτέλεσµα είναι η δηµιουργία µιας βάσης δεδοµένων για την κάθε κατηγορία σκυροδέµατος που περιέχει σηµεία στον τρισδιάστατο χώρο των κυρίων τάσεων, τα οποία θα πρέπει να επαληθεύσουν την εξ. (7), όπου η 7

8 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος µέση ανηγµένη διατµητική αντοχή τ α /f c δίδεται από την εξ. (5) και η θ από τη εξ. (3). βιι ΙΙ τ ( ) + ( )[ ( ) + ] a σ α r r r cosθ r r r 4 r r cos θ 5r 4r r = (7) f ( ) + ( ) c ft 4 r r cos θ r r Υπολογισµός των παραµέτρων a και b στις Περιοχές ΙΙ και ΙΙΙ. Ο προσδιορισµός των παραµέτρων (a II, b II ) και (a III, b III ) έγινε µε τη χρήση της µη γραµµικής στατιστικής ανάλυσης. Με τον τρόπο αυτό, προσδιορίσθηκαν για κάθε κατηγορία σκυροδέµατος C0 C50 οι εν λόγω παράµετροι έτσι ώστε να ισχύει η ισότητα της εξ. (7), θεωρώντας ως ικανοποιητικό κριτήριο αποδοχής, η µικρότερη τιµή του τετραγώνου της διαφοράς σφάλµατος R µεταξύ των δύο εκτιµήσεων της αντοχής (κατά εξ. () και (7) αντίστοιχα), να λαµβάνει τιµές κατώτερες του 0,00, όπως φαίνεται στον Πίνακα. Πρέπει να σηµειωθεί ότι για τον ορισµό του f c MPa Πίνακας. Αποτελέσµατα Στατιστικής Ανάλυσης για τον προσδιορισµό των παραµέτρων α II, β II, α III και β III. f ct MPa α ΙΙ / β ΙΙ / α ΙΙI β ΙΙI R Μέγεθος είγµατος / Σηµεία που Αστόχησαν α * ΙΙ/α * ΙIΙ (α) Περιοχή τάσεων II β * ΙΙ/β * ΙIΙ Πλήθος Σηµείων που Αστόχησαν µετά τη ιόρθωση (%) / (3.5) / (.6) / (.7) / (.5) / (.4) / (.5) / (3.6) (β) Περιοχή τάσεων III / (4.0) / (.3) / (.4) / (.4) / (.0) / (0.8) / (0.8) 8

9 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος πεδίου ορισµού των τάσεων µε τρόπο που να καλύπτεται όλο το εύρος των τάσεων κατά στατιστικά ισοβαρή τρόπο, εξετάσθηκε αρχικά η επιρροή του βήµατος µεταβολής ( σ, σ ) και επιλέχθηκαν τα 0, ΜΡα και,0 ΜΡα, αντίστοιχα. Για όλες τις στατιστικές αναλύσεις ελαχιστοποίησης του σφάλµατος χρησιµοποιήθηκε το λογισµικό STATISTIKA (996). Για την αξιολόγηση των συντελεστών τέθηκε η παραδοχή ότι το τασικό σηµείο ανήκει στην επιφάνεια αστοχίας όταν η διαφορά της αδιαστατοποιηµένης δράσης (τ α /f c ) από την αντίστοιχη αντοχή r(σ α,θ) είναι µικρότερη από 0,%. Σύµφωνα µε την παραπάνω παραδοχή, στη στήλη «Μέγεθος είγµατος /Σηµεία που Αστόχησαν» του Πίνακα φαίνονται οι περιπτώσεις των τασικών σηµείων που έχουν αστοχήσει, σε σχέση µε το συνολικό αριθµό των σηµείων που εξετάσθηκαν ανά κατηγορία σκυροδέµατος. Για τη µετατόπιση των εν λόγω σηµείων στην περιοχή ασφαλείας ενσωµατώθηκαν επαυξητικοί και µειωτικοί, αντίστοιχα, συντελεστές ασφαλείας στους εκθέτες a II και b II, σύµφωνα µε την εξ. (8): a. ΙΙ = aii [ + f c /( 0 f c0) ] και bii = b ΙΙ /[ + f c /( 0 f c0) ] (8) Τα αποτελέσµατα των διορθωτικών αυτών συντελεστών ασφαλείας φαίνονται στην στήλη «Πλήθος Σηµείων που Αστόχησαν µετά την ιόρθωση, σε %»του Πίνακα. Failure Percendence 4.00% 3.00%.00%.00% Control of Safety Factors r(σα,θ).0 Χ r (σα,θ).0 r (σα,θ),03 r (σα,θ),04 r (σα,θ) Concrete Category 0.00% C45 Safety Line for r'=,04 Χ r (σα,θ) Strength r (σα,θ) Average Stress τα (α) (β) Σχήµα.4. Τροποποίηση της γραµµής ασφαλείας για ένταξη των σηµείων στην ασφαλή περιοχή. (α) Ποσοστό σηµείων που αστόχησαν (β) Απεικόνιση όλων των σηµείων στην ασφαλή περιοχή µετά από αυθαίρετη αύξηση της αντοχής κατά 4% (άρα σφάλµα εκτίµησης της αντοχής κάτω του 5%). Για να είναι οι συντελεστές αποδεκτοί σε όλες τις πρακτικές εφαρµογές Πολιτικού Μηχανικού πρέπει να εξασφαλισθεί ότι τα όποια σηµεία που βρίσκονται στην πλευρά της αστοχίας θα βρίσκονται εντός ενός αποδεκτού 9

10 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος πλαισίου απόκλισης από την επιφάνεια αστοχίας. Η απόκλιση αυτή καθορίσθηκε αυθαίρετα σε ποσοστό 5% της αντίστοιχης αντοχής, προσαύξηση που ικανοποιεί όλα τα σηµεία, όπως αποτιµάται γραφικά στο Σχ. 4β. Η επιρροή της προσθήκης των συντελεστών ασφαλείας σχηµατικά παρουσιάζεται για το σκυρόδεµα C45 στο Σχ. 4. Η ίδια µεθοδολογία εφαρµόσθηκε και στην επόµενη Περιοχή τάσεων ΙΙΙ (σ > σ > 0 > σ 3 ), τα δε αποτελέσµατα συνοπτικά παρουσιάζονται στον Πίνακα. (α) (β) (γ) Σχήµα. 5. Σύγκριση µεσηµβρινών µεταξύ θεωρητικής αστοχία και: (α), (β) αστοχίας λόγω εφαρµογής του γραµµικού εφελκυστικού κριτηρίου, και (γ) του τροποποιηµένου εφελκυστικού κριτηρίου. Επαλήθευση του τροποποιηµένου κριτηρίου για το σκυρόδεµα C35 Για τη συνεισφορά των υπολογισθέντων συντελεστών (α ΙΙ, β ΙΙ ), (α ΙΙΙ, β ΙΙΙ ) στην εκτίµηση της αντοχής του σκυροδέµατος, εξετάσθηκε αντιπροσωπευτικά η κατηγορία σκυροδέµατος C35. Για το σκοπό αυτό, ενοποιήθηκαν οι δύο βάσεις δεδοµένων των Περιοχών τάσεων ΙΙ και ΙΙΙ, µε συνολικό αριθµό 79 τασικών σηµείων, που βρίσκονται εκ καθορισµού επί της επιφάνειας αστοχίας. Από τις τριάδες των κυρίων τάσεων, υπολογίσθηκαν η ανηγµένη µέση ορθή τάση (ξ) και η διατµητική αντοχή πάνω στο αποκλίνον επίπεδο r(σ α, θ), σύµφωνα µε: i) την 0

11 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος επιφάνεια αστοχίας κατά Willam et al. (975), ii) την επιφάνεια αστοχίας µε το κριτήριο εφελκυστικής αντοχής κατά ANSYS (007) και, τέλος, iii) την προτεινόµενη στην παρούσα εργασία τροποποιηµένη επιφάνεια αστοχίας µε ενσωµατωµένο κριτήριο εφελκυστικής αντοχής. Η σύγκριση των σηµείων, για τα i) και ii) παραπάνω, φαίνεται στο Σχ. 5α, β, για τις Περιοχές ΙΙ και ΙΙΙ αντίστοιχα, µε προφανή την υποεκτίµηση της αντοχής του υλικού. Αντίθετα, η σύγκριση των σηµείων, για τα i) και iii), που φαίνεται στο Σχ. 5γ, χαρακτηρίζεται από ικανοποιητική εκτίµηση της αντοχής. Υπολογισµός των παραµέτρων για διαφορετικές κατηγορίες σκυροδέµατος Ο υπολογισµός των παραµέτρων α ΙΙ, β ΙΙ, α ΙΙΙ, β ΙΙΙ, µέσω της στατιστικής ανάλυσης µπορεί να επεκταθεί και σε ενδιάµεσες κατηγορίες αντοχής εκτός από τις επτά εξεταζόµενες (EC, 004), µέσω της εκπόνησης µαθηµατικών εκφράσεων για τον υπολογισµό των παραµέτρων ανάλογα µε τη θλιπτική αντοχή του σκυροδέµατος (f c ), ή, γενικότερα, µε το λόγο της θλιπτικής προς την εφελκυστική αντοχή του σκυροδέµατος (f c /f ct ). Ενδεικτικά συναρτήσει της θλιπτικής αντοχής οι συντελεστές δίνονται ανά Περιοχή τάσεων από τις εξ. (0) και (): α ΙΙ = 0,000f c - 0,067 f c +,0346 b II = - 0,0035 f c + 0,5 (0) α ΙΙΙ = - 0,0006 f c + 0,058 f c +,6 b IΙI = 0,0065 f c + 0,66 () ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η ενσωµάτωση εφελκυστικών κριτηρίων αστοχίας σε κάθε επιφάνεια αστοχίας είναι αναγκαία για την εξαίρεση εντατικών καταστάσεων που το σκυρόδεµα αδυνατεί να παραλάβει, εξ αιτίας των µηχανικών του χαρακτηριστικών. Η χρησιµοποίηση ενός γραµµικού εφελκυστικού κριτηρίου αστοχίας στην επιφάνεια αστοχίας των Willam & Warnke (975), παρά το γεγονός ότι εξασφαλίζει τη συνέχεια της επιφάνειας σε περιοχές συνύπαρξης εφελκυστικών και θλιπτικών κυρίων τάσεων υποεκτιµά τη θεωρητική αντοχή του υλικού στη διεύθυνση της κύριας θλιπτικής τάσης. Το κριτήριο τροποποιήθηκε µέσω της προσθήκης δύο εκθετικών παραµέτρων κατά τον υπολογισµό της αντοχής του υλικού, εξασφαλίζοντας τη συνέχεια χωρίς όµως πλέον να υποεκτιµάται η αντοχή του. Ο προσδιορισµός των παραµέτρων επιτεύχθηκε µέσω ελαχιστοποίησης σφάλµατος, µε σκοπό την καλύτερη δυνατή προσέγγιση της θεωρητικής επιφάνειας αστοχίας. Η αξιοπιστία των προτεινοµένων παραµέτρων αποδεικνύεται από το γεγονός ότι πλέον του 95% των σηµείων τριαξονικής έντασης που ικανοποιούν τα όρια αντοχής του

12 6ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, -3/0/ 009, Πάφος, Κύπρος σκυροδέµατος, αποκλίνουν από τη θεωρητική επιφάνεια αστοχίας λιγότερο του.0 της θεωρητικής αντοχής. ΑΝΑΦΟΡΕΣ [] ANSYS, (007), User s Manual, v., ANSYS Inc., Canonsburg, PA,USA. [] Chen W. F., (98), Plasticity in Reinforced Concrete, Mc Graw Hill Book Co., New York. [3] Bresler B. and K. Pister, (958), Strength of Concrete under Combined Stresses, Proc. of the American Conc. Inst., 55, 9, σελ [4] Willam K.J., Warnke E.P., (975), Constitutive Model for the Triaxial Behavior of Concrete, Concrete Structures Subjected to Tiaxial Stresses, Proc., IABSE, Bergamo, Italy, 974. [5] Barbosa A. F., G. O. Ribeiro, (998), Analysis of Reinforced Concrete Structures using ANSYS Nonlinear Concrete Model, in S. Idelsohn, E. Oñate, E. Dvorkin (Eds.), Computational Mechanics: New Trends and Applications, CIMNE, Barcelona, Spain. [6] Yahya S., K. Al-Darzi, (007), Effects of Concrete Nonlinear Modeling on the Analysis of Push-out Test by Finite Element Method, Jrnl of Applied Sciences, 7, 5, pp [7] Kotsovos M.D. and M.N. Pavlovic, (995), Structural concrete: Finite Element Analysis for Limit State Design, London, Thomas Telford. [8] Imran I. and S. Pantazopoulou, (996), Experimental study of plain concrete under triaxial stresses, ACI Materials Jrnl, 93, pp [9] Menétrey Ph., K.J. Willam, (995), Triaxial Failure Criterion for Concrete and its Generalization, ACI Structural Jrnl, 9, No. 3, pp [0] Meschke G., Lackner R. and Mang H.A., (998), An anisotropic elastoplastic-damage madel for plain concrete. International Journal for Numerical Methods in Eng., 4, 4, pp [] Ozbolt J., Li Y.J. and Kozar J., (00), Microplane model for concrete with relaxed Kinematic constraint, Jrnl of Solids and Struct., 38, pp [] Fang Z. and Harrison J.P, (00), Development of a local degradation approach to the modeling of the brittle fracture in heterogeneous rocks, International Journal of Rock Mechanics and Mining Science, 39, pp [3] EC, (004), CEN, pren-99--, Eurocode No., Design of Concrete Structures, Part : General Rules and Rules for Buildings, Brussels. [4] STATISTICA, (996), User s Manual Version 5, StatSoft Inc., Tulsa, USA.