Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών Προπτυχιακή εργασία: "Μια εισαγωγή στις μερικές διαφορικές εξισώσεις της μαθηματικής φυσικής" Ελεάνα Ζήκα Α.Μ.: 3/67 Επιβλέπων καθηγητής: Χουσιάδας Κωνσταντίνος Σάμος, Νοέμβριος

2 Ευχαριστίες Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Χουσιάδα Κωνσταντίνο για την ευκαιρία που μου έδωσε να ασχοληθώ με αυτό το θέμα στην προπτυχιακή μου εργασία και για την υποστήριξη που μου παρείχε καθ όλη την διάρκεια της συγγραφής αυτής. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω το Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου, στο οποίο ήρθα για πρώτη φορά σε επαφή με τις έννοιες που αναπτύσσονται εδώ καθώς και με τα γνωστικά αντικείμενα που διδάχτηκα για την επιστήμη των Μαθηματικών από πολλούς καθηγητές του Πανεπιστημίου. Ελεάνα Ζήκα Οκτώβριος

3 Περιεχόμενα Εισαγωγή... 5 Δομή της εργασίας... 8 Κεφάλαιο Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις... 9 Α. Αρχικές συνθήκες ή συνθήκες Cauchy Β. Συνθήκες Dirichle ή Συνοριακές... Γραμμικότητα και μη γραμμικότητα... Επαλληλία... Ασκήσεις.... Εξισώσεις Διάχυσης... 8 Νόμοι διατήρησης... 8 Νόμοι διατήρησης σε πολλές διαστάσεις... 9 Καταστατικές εξισώσεις... Παράδειγμα. (Εξίσωση Διάχυσης)... Παράδειγμα : (Εξίσωση θερμότητας)... Παράδειγμα 3: (Αντίδρασης-Διάχυσης)... Η Εξίσωση της θερμότητας... Ασκήσεις....3 Εξισώσεις Ισορροπίας... 7 Η εξίσωση Laplace... 7 Ολοκληρωτικές Ταυτότητες... 8 Βασικές ιδιότητες... 8 Ασκήσεις Αναπτύγματα σε ιδιοσυναρτήσεις... 3 Η μέθοδος Fourier Ασκήσεις Ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί... 5 Κεφάλαιο Ολοκληρωτικές εξισώσεις Συναρτήσεις Gree Φυσική ερμηνεία της συνάρτησης Gree Κατανομές Κεφάλαιο Κυματικά φαινόμενα... 7 Κυματική Διάδοση... 7 Γραμμικά κύματα... 7 Μη γραμμικά κύματα Χρόνος θραύσεως Εξίσωση Burgers Η εξίσωση KdV (Koreweg-de Vries) Νόμοι Διατήρησης... 8 Σχεδόν Γραμμικές Εξισώσεις Μηχανική Συνεχών Μέσων Κινηματική ροή Διατήρηση μάζας Διατήρηση ορμής Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 3

4 Θερμοδυναμική... 9 Διατήρηση ενέργειας Η κυματική εξίσωση... 9 Ο τύπος D Alember... 9 Κεφάλαιο Σφαιρικά Μέσα Αρχή του Huyges Εισαγωγή Παρατηρήσεις πάνω στην αρχή του Huyges: Αρχή του Duhamel... 5 Το μη ομογενές πρόβλημα και η αρχή του Duhamel... 5 Συμπεράσματα... 8 Παράρτημα... Α. Λαπλασιανή σε κυλινδρικές συντεταγμένες... Β. Λαπλασιανή σε σφαιρικές συντεταγμένες... Βιβλιογραφία... 4 Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 4

5 Εισαγωγή Η μελέτη των μερικών διαφορικών εξισώσεων είναι μία από τις θεμελιώδεις περιοχές των εφαρμοσμένων μαθηματικών. Ασχολείται κυρίως με: Την διερεύνηση της ύπαρξης και της μοναδικότητας των λύσεων τους Την ευστάθεια των λύσεων τους σε μικρές διαταραχές Μεθόδους κατασκευής λύσεων Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε κυρίως με τις μεθόδους κατασκευής των λύσεων. Στόχος μας είναι να παρουσιάσουμε τις μερικές διαφορικές εξισώσεις τόσο από την πλευρά των εφαρμογών τους όσο και των μεθόδων επίλυσης τους. Μερική διαφορική εξίσωση (ΜΔΕ), είναι κάθε εξίσωση, που περικλείει (άγνωστη) συνάρτηση δύο ή περισσότερων μεταβλητών και μερικές παραγωγούς αυτή πρώτης ή α- νώτερης τάξης. Ενδεικτικά αναφέρουμε μερικές από τις πιο γνωστές μερικές διαφορικές εξισώσεις:. Εξίσωση Δυναμικού (Laplace): N u ( ) =, D, N. Εξίσωση θερμότητας σε μια διάσταση: u (,) = a u (,), >, D, a> 3. Κυματική εξίσωση σε δύο διαστάσεις: u ( y,, ) = c ( u ( y,, ) + uyy ( y,, )), >,( y, ) D, c> 4. Εξίσωση Laplace στις 3 διαστάσεις και σε σφαιρικές συντεταγμένες: coφ π π urr + ur + u + u + u =,( r, φθ, ) (, r ) (, π) (, ) r r φφ r φ r si φ θθ Το πεδίο ορισμού D θεωρείτε ως ένα ανοικτό και συνεκτικό υποσύνολο του Ν, Ν. Τάξη μιας ΜΔΕ, είναι η τάξη της μεγαλύτερης μερικής παραγωγού που παρουσιάζεται στην εξίσωση. Βαθμός μιας ΜΔΕ, είναι η δύναμη στην οποία είναι υψωμένη η μεγαλύτερη τάξης παράγωγος. Γραμμική ΜΔΕ, είναι εκείνη η εξίσωση της οποίας όλοι οι όροι είναι πρώτου βαθμού ως προς την άγνωστη συνάρτηση και τις παραγωγούς αυτής. Ομογενής γραμμική ΜΔΕ, είναι η εξίσωση της οποίας κάθε Όρος περιέχει, είτε την άγνωστη συνάρτηση ή κάποια από τις μερικές παραγώγους αυτής. Για την μελέτη των μερικών διαφορικών εξισώσεων υπάρχουν πολλές μέθοδοι και τεχνικές, οι σημαντικότερες από τις οποίες μπορούν να θεωρηθούν πως είναι οι:. Χωρισμός μεταβλητών. Αλλαγή συστήματος Συντεταγμένων (πολικές, σφαιρικές, κυλινδρικές) 3. Ανάπτυγμα ιδιοσυναρτήσεων 4. Ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί (μετασχηματισμοί Fourier, Laplace, Hakel- Legedre, Hermie,Jacobi, Hilber) 5. Ολοκληρωτικές Εξισώσεις- Συναρτήσεις Gree 6. Μέθοδος Διαταραχών 7. Αριθμητικές Μέθοδοι Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 5

6 Στο πεδίο των διαφορικών εξισώσεων, ένα Πρόβλημα Συνοριακών Τιμών (ΠΣΤ) α- ποτελείται από μια διαφορική εξίσωση (ή ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων) που υπακούει σε συγκεκριμένους περιορισμούς, στα σύνορα ενός χωρίου όπου ορίζεται το πρόβλημα, οι οποίοι ονομάζονται συνοριακές συνθήκες. Η λύση ενός προβλήματος συνοριακών τιμών συνίσταται στη εύρεση λύσης των διαφορικών αυτών εξισώσεων, η οποία να υπακούει στις συνοριακές συνθήκες. Προβλήματα συνοριακών τιμών απαντώνται σε διάφορους κλάδους της Φυσικής, όπου προβλήματα περιγράφονται με διαφορικές εξισώσεις που υπακούουν σε συνοριακές συνθήκες. Για να είναι χρήσιμο σε εφαρμογές, ένα πρόβλημα συνοριακών τιμών πρέπει να είναι «καλώς τοποθετημένο». Αυτό σημαίνει ότι με βάση τα δεδομένα του προβλήματος, πρέπει να υπάρχει μια μοναδική λύση, η οποία να εξαρτάται με τρόπο συνεχή από τα δεδομένα καθώς και από τις παραμέτρους του προβλήματος. Μεγάλος όγκος θεωρητικής δουλειάς, στο πεδίο των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (Μ.Δ.Ε), αφορά στην επίλυση Π.Σ.Τ που ανακύπτουν από επιστημονικές και τεχνολογικές εφαρμογές, και οι οποίες συνιστούν από μαθηματική άποψη προβλήματα «καλώς τοποθετημένα». Μεταξύ των πρώτων προβλημάτων συνοριακών τιμών που μελετήθηκαν είναι το πρόβλημα του Dirichle, που αφορά στην εύρεση συναρτήσεων οι οποίες αποτελούν λύση της εξίσωσης Laplace, του Ηλεκτρομαγνητισμού, η λύση του οποίου δόθηκε μέσω της γνωστής ως «αρχή του Dirichle». Από τα παραπάνω γίνεται κατανοητό ότι η γνώση επίλυσης προβλημάτων συνοριακών τιμών είναι σημαντική και απαραίτητη για την επίλυση πλήθους προβλημάτων της φυσικής και ιδιαίτερα της Mηχανικής. Εκτός των προβλημάτων που ήδη αναφέρθηκαν παραπάνω, η μεθοδολογία αυτή είναι χρήσιμη για την επίλυση προβλημάτων αντοχής των κατασκευών και πρόβλεψης της α- στοχίας τους. Στο σημείο αυτό είναι σημαντικό να διατυπώσουμε μια διάκριση μεταξύ ενός προβλήματος αρχικών τιμών και ενός προβλήματος συνοριακών τιμών: Το Πρόβλημα των Αρχικών Τιμών και το Πρόβλημα των Συνοριακών Τιμών: Η διαφορά μεταξύ ενός προβλήματος αρχικών τιμών και ενός προβλήματος συνοριακών τιμών είναι ότι ένα Πρόβλημα Αρχικών Τιμών (Π.Α.Τ) ορίζεται με συνθήκες που προσδιορίζουν την εξαρτημένη μεταβλητή της εξίσωσης, u (,)(και των παραγώγων της), στο κάτω άκρο ενός χρονικού διαστήματος, [ ab, ] δηλαδή στην αρχική τιμή του χρόνου = a. Από την άλλη μεριά, ένα Π.Σ.Τ έχει τις συνθήκες του καθορισμένες στα ά- κρα μιας χωρικής, ανεξάρτητης μεταβλητής του προβλήματος. Για παράδειγμα, αν οι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι ο χρόνος, και ο χώρος που μεταβάλλεται στο κλειστό διάστημα [, L ] σε ένα Π.Α.Τ. καθορίζονται οι τιμές της u (,) και των παραγώγων της για όλα τα [, L] τη χρονική στιγμή =, ενώ σε ένα Π.Σ.Τ οι τιμές της u (,) καθορίζονται στο = και =L, για όλα τα. Υπάρχουν και Π.Α.Σ.Τ, για παράδειγμα, αν μελετάμε τη θερμοκρασία μιας ράβδου σιδήρου, της οποίας το ένα άκρο έχει (για κάθε ) θερμοκρασία ίση με T ενώ το άλλο άκρο έχει (για κάθε ) θερμοκρασία ίση με T, αυτό αποτελεί ένα Π.Σ.Τ. Αντίθετα, αν Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 6

7 έχουμε αρχικά επιβάλλει στη ράβδο θερμοκρασία u (,) = f( ) και εξετάζουμε την μετέπειτα εξέλιξη της θερμοκρασίας της, u (,) αυτό συνιστά ένα Π.Α.Τ. Τύποι Προβλημάτων Συνοριακών Τιμών: Αν σε ένα σύνορο δίνεται η τιμή της παραγώγου της εξαρτημένης μεταβλητής του προβλήματος, τότε η συνθήκη ονομάζεται συνθήκη Neuma. Για παράδειγμα, εάν στο ένα άκρο μιας σιδερένιας ράβδου, =, υπάρχει ένας θερμαντήρας, ο οποίος προσφέρει θερμότητα στη ράβδο με ρυθμό u (, ) = g ( ) αυτό θα αποτελούσε μία συνθήκη Neuma. Αν στο σύνορο είναι γνωστή η ίδια η τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής, τότε αυτό λέγεται συνοριακή συνθήκη τύπου Dirichle. Για παράδειγμα, εάν στο άκρο = μιας ράβδου η θερμοκρασία είναι πάντα u(, ) =, τότε αυτό αποτελεί μια συνθήκη τύπου Dirichle. Αν το πρόβλημα προσδιορίζεται από ένα συνδυασμό συνοριακών τιμών για την συνάρτηση u (,) και αρχικών συνθηκών της μορφής u (,) = f( ),το πρόβλημα καλείται γενικά και τύπου Cauchy. Μια άλλη διάκριση των Π.Σ.Τ είναι αυτή που γίνεται με βάση τον τύπο του διαφορικού τελεστή που το περιγράφει. Για παράδειγμα, για ένα ελλειπτικό τελεστή αναφερόμαστε σε ελλειπτικά Π.Σ.Τ (όπως π.χ. συμβαίνει με τον τελεστή Laplace), ενώ υπερβολικό τελεστή έχουμε στα λεγόμενα υπερβολικά Π.Σ.Τ (όπως είναι η εξίσωση κύματος). Αυτές οι κατηγορίες στη συνέχεια υποδιαιρούνται σε γραμμικά και μη γραμμικά Προβλήματα Συνοριακών Τιμών. Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 7

8 Δομή της εργασίας Στην εργασία αυτή θα ασχολούμαι με την μελέτη των συνοριακών προβλημάτων και τους τρόπους επίλυσης τους. Πιο αναλυτικά: Στο ο κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με μοντέλα διαφορικών εξισώσεων, εξισώσεις διάχυσης, τους νόμους διατήρησης, τις καταστατικές εξισώσεις, καθώς και την εξίσωση θερμότητας. Επιπλέον, θα αναλύσουμε εξισώσεις ισορροπίας, την εξίσωση Laplace, όπως και διάφορες ολοκληρωτικές ταυτότητες μαζί με τις βασικές τους ταυτότητες. Ακόμα, θα γίνει αναφορά στην μέθοδο Fourier και στους ολοκληρωτικούς μετασχηματισμούς (Laplace, Fourier). Στο ο κεφάλαιο, θα αναλύσουμε τις ολοκληρωτικές εξισώσεις και τις συναρτήσεις Gree, κάνοντας αναφορά στις εξισώσεις Volerra, και Fred Holm. Τέλος, θα εισάγουμε την έννοια των κατανομών καθώς και την επίλυση διαφορικών εξισώσεων βάσει αυτών και θα λύσουμε διάφορα ελλειπτικά προβλήματα. Στο 3 ο κεφάλαιο, θα αναλύσουμε διάφορα κυματικά φαινόμενα σε συνεχή μέσα (εξίσωση Burgers, Koreweg-de Vries, τύπος D Alember) και θα κάνουμε αναφορά στην 3 δυναμική των αερίων (μέθοδος Riema), καθώς και στην κίνηση των ρευστών στον. Αξίζει να αναφέρουμε ότι στο τέλος κάθε κεφαλαίου θα παραθέσουμε κάποιες λυμένες ασκήσεις βασισμένες σε όσα έχουμε αναλύσει. Στο 4 ο κεφάλαιο, θα κάνουμε μια μικρή αναφορά στην αρχή Duhamel, και στην μέθοδο Huyges. Στο τέλος κάθε κεφαλαίου θα παραθέσουμε κάποιες ασκήσεις που αφορούν τα όσα αναφέρθηκαν στην θεωρία. Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 8

9 Κεφάλαιο. Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Μια ΣΔΕ δεύτερης τάξης είναι μια εξίσωση της μορφής Fyyy= (,,, ), όπου η ανεξάρτητη μεταβλητή ανήκει σε ένα διάστημα Ι. Μια λύση της εξίσωσης αυτής είναι μια συνάρτηση y() δυο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη στο Ι, τέτοια ώστε να ικανοποιεί την ταυτότητα F (, y ( ), y ( ), y ( )) =, I. Η λύση y είναι μια συνάρτηση που παριστάνει την κατάσταση του συστήματος και η διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση που περιγράφει την εξέλιξη αυτής της κατάστασης στο χρόνο. Πολλά προβλήματα όμως δεν είναι δυνατόν να περιγραφούν από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις γιατί η κατάσταση του συστήματος εξαρτάται από περισσότερες από μια μεταβλητές (χρόνο και χώρο). Για παράδειγμα, η θερμοκρασία u μιας ράβδου μήκους l εξαρτάται από την θέση στη ράβδο και το χρόνο που έχει παρέλθει από την χρονική στιγμή κατά την οποία εφαρμόστηκαν οι αρχικές συνθήκες. Γενικά, μια ΜΔΕ δεύτερης τάξης για μια συνάρτηση u= u (,) δυο ανεξάρτητων μεταβλητών,, είναι μια εξίσωση της μορφής Guuu (,,,, u, u, u ) = (.) για (,) σε κάποιο χωρίο D του. Μια λύση της (,) είναι μια συνάρτηση u= u (,) στο D, δυο φόρες συνεχώς παραγωγίσιμη ως προς και στο D, η οποία αν αντικατασταθεί στην (.) μας δίνει μια ταυτότητα στον D. Το χωρίο D θα αναφέρεται ως χώροχρονικό χωρίο, ενώ τα προβλήματα που περιέχουν ως ανεξάρτητη μεταβλητή το, λέγονται προβλήματα εξέλιξης. Προβλήματα στα οποία υπάρχουν δυο χωρικές συντεταγμένες, y θα ονομάζονται προβλήματα ισορροπίας ή προβλήματα μόνιμης κατάστασης. Συνήθως τα φαινόμενα, τα οποία περιγράφονται από μια μερική διαφορική εξίσωση επιβάλλουν κάποιους πρόσθετους περιορισμούς, που πρέπει να ικανοποιεί η λύση. Οι περιορισμοί αυτοί χωρίζονται στις ακόλουθες μεγάλες κατηγορίες: Α. Αρχικές συνθήκες ή συνθήκες Cauchy. Τιμές της άγνωστης συνάρτησης u (,),πιθανόν και της u (,), όπου < <, δίνονται στο σημείο =, δηλαδή την αρχή μελέτης του εξεταζομένου φαινομένου. Για παράδειγμα, το ακόλουθο πρόβλημα αποτελεί ένα πρόβλημα αρχικών τιμών (ΠΑΤ), u (,) = u (,), D, > u (,) = f( ), D u (,) = g ( ), D όπου D (, ) είναι το πεδίο ορισμού της u (,) και f( ), g ( ) οι δοσμένες συναρτήσεις στο D, N. N Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 9

10 Β. Συνθήκες Dirichle ή Συνοριακές Εδώ η άγνωστη συνάρτηση u (,) έχει προκαθοριστεί στο σύνορο D του πεδίου ορισμού του D, u (,) = u (,), D, > u (,) = f(,), D, > N με f( ) ορισμένη στο D (, + ) και D, N. Αξίζει να σημειώσουμε ότι η μερική διαφορική της μορφής (.), μπορεί να γενικευθεί προς πολλές κατευθύνσεις. Όπως θα δούμε υπάρχουν τρεις θεμελιώδεις τύποι μερικών διαφορικών εξισώσεων- αυτές που περιγράφουν φαινόμενα διάχυσης, (παραβολικού τύπου), αυτές που περιγράφουν κυματικά φαινόμενα (υπερβολικού τύπου) και αυτές που περιγράφουν φαινόμενα καταστάσεων ισορροπίας (ελλειπτικού τύπου). Γραμμικότητα και μη γραμμικότητα Θεωρούμε ότι η μερικη εξίσωση (.) ορίζει έναν διαφορικό τελεστή L που δρα στην άγνωστη συνάρτηση u (,) και γράφουμε την () ως Lu (,) = f(,),(,) Dή Lu = f,(, ) D (.) Υποθέτουμε ότι η f στο δεύτερο μέλος είναι γνωστή συνάρτηση. Αν f = στο D, τότε η (.) λέγεται ομογενής, αλλιώς μη-ομογενής. Η εξίσωση της θερμότητας, u = ku μπορεί να γραφτεί στην μορφή Lu =, όπου L είναι ο διαφορικός τελεστής με μερικές παραγωγούς k και είναι ομογενής. Η ΜΔΕ uu + u si ( ) = γράφεται και Lu = si, όπου ο διαφορικός τελεστής L ορίζεται από την σχέση Lu = uu + u. ως ( ) Η εξίσωση αυτή προφανώς είναι μη ομογενής. Θα λέμε ότι η ΜΔΕ (.) είναι γραμμική αν ο τελεστής L έχει τις ιδιότητες: (i) L( u + w) = Lu + Lw και (ii) L( cu) = clu, όπου u, w είναι συναρτήσεις και η c σταθερά. Εάν η (.) δεν είναι γραμμική, τότε λέγεται μη-γραμμική. Παράδειγμα : Η εξίσωση θερμότητας είναι γραμμική. Πράγματι, L( u+ w) = ( u+ w) k( u+ w) και = u + w ku kw = Lu + Lw L( cu) = ( cu) k( cu) = cu cku = clu Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα

11 αφού, ενώ Παράδειγμα : Η διαφορική της μορφής uu u si ( ) L( u+ w) = ( u+ w)( u+ w) + ( u+ w) = uu + wu + uw + ww + u + w + =, είναι μη γραμμική, Lu + Lw = uu + u + ww + w L( u + w) Γενικότερα μπορούμε να γράψουμε μια εξίσωση δεύτερης τάξης στην μορφή: au (,) + bu (,) + cu (,) + d(,) u+ eu (,) + g(,) u= f(,),(,) D (.3) όπου abcdeg,,,,,, f είναι δεδομένες συναρτήσεις συνεχείς στο D. Εάν κάποιος από τους συντελεστές a,..., g εξαρτάται από την u, θα λέμε ότι η εξίσωση είναι σχεδόν γραμμική. Θα λέμε ότι η (.3) είναι υπερβολική, παραβολική ή ελλειπτική σε ένα χωριό D αν η παράσταση b (,) 4(,)(,) ac είναι θετική, μηδέν ή αρνητική, αντίστοιχα, στο χωρίο αυτό. Για παράδειγμα, η εξίσωση θερμότητας u ku = έχει b παραβολική σε όλο τον χώρο. 4ac =, άρα είναι Επαλληλία Έστω Lu = μια ομογενής γραμμική εξίσωση και έστω u, u δυο συναρτήσεις που αποτελούν λύσεις της. Τότε, προφανως u+ u είναι λύση της, όπως και η cu. Μέσω επαγωγικής απόδειξης μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι ο γραμμικός συνδυασμός cu cu είναι επίσης λύση. Αυτή είναι η αρχή της επαλληλίας για γραμμικές, μη ο- μογενείς εξισώσεις. Έστω τώρα ua (,, ) μια οικογένεια λύσεων στο χωρίο D, όπου α μια πραγματική μεταβλητή που ανήκει στο διάστημα Γ. Δηλαδή, υποθέτουμε ότι η ua (,, ) είναι λύση της εξίσωσης Lu =, για κάθε a Γ. Κατασκευάζουμε τότε, φορμαλιστικά, την συνάρτηση u (, ) = cauada ( ) (,, ) Γ όπου ca ( ) είναι μια συνάρτηση που παριστάνει ένα συνεχές σύνολο συντελεστών, το ανάλογο των c, c,... c.θα έχουμε τις ισότητες Lu = L c( a) u(,, a) da = c( a) Lu(,, a) da = c( a)da = με την u να είναι η λύση της Lu =. Γ Γ Γ Ασκήσεις. Βρείτε με ολοκλήρωση την γενική λύση των παρακάτω μερικών διαφορικών εξισώσεων και εκφράστε την μέσω αυθαίρετων συναρτήσεων: 3 = (), όπου f() μια αυ- (α) u = ΛΥΣΗ: Ολοκληρώνουμε ως προς και παίρνουμε: θαίρετη συνάρτηση. u f Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα

12 (β) u = 6y ΛΥΣΗ: 6 Ολοκληρώνουμε μια φορά ως προς και παίρνουμε: u = y+ f( y), όπου f( y ) μια αυθαίρετη συνάρτηση δεύτερη ολοκλήρωση ως προς έχουμε: 3 u d = (3 y + f ( y )) d u (, y ) u = y + f ( y ) + g ( y ), όπου ( ) g y μια δεύτερη αυθαίρετη συνάρτηση. (γ) uy + uy = y ΛΥΣΗ: Θέτουμε uy = w και η αρχική εξίσωση γίνεται: ( ) y y w + w = y w [ ] + w = y w + w = w =. Ολοκληρώνοντας ως προς και θεωρώντας το y ως παράμετρο προκύπτει: y yl + f( y) [ w] d = d w y l f ( y) w(, ) = + =, όπου f( y ) αυθαίρετη σταθερά. Αντικαθιστώντας στην αρχική, η λύση θα πάρει την τελική της μορφή ως: yl + f( y) uy = και ολοκληρώνοντας ως προς y, με παράμετρο, θα έχουμε: uydy = ( y l f ( y )) dy g ( ) + + u(, y) = y l dy f ( y) dy g( ) + + y l u(, y) = + f ( y) dy + g( ) όπου f( y), g ( ) αυθαίρετες σταθερές. (δ) uy + u = ΛΥΣΗ: Η αρχική εξίσωση, γίνεται: uy + u = uy + u = και ολοκληρώνοντας ως προς, θεωρώντας ως παράμετρο το y, έχουμε: u d y + u d = d u u f y + = + ( y ) (.4) όπου f( y ) μια αυθαίρετη σταθερά. Η παραπάνω εξίσωση αποτελεί μια ΣΔΕ πρώτης τάξης ως προς u. Επιλύοντας την ομογενή της θα έχουμε: u + u = u = u και η λύση της θα είναι u = he ( ) y με y y h ( ) αυθαίρετη συνάρτηση ως προς. Η μερική λύση θα έχει την μορφή: u = hye (, ) y και με αντικατάσταση στην (.4), παίρνουμε: Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα

13 ( u ) + u = + f( y) y y ( ) y he + he = + f ( y) y y y y hye he + he = + f ( y),όπου h hy (, ) y hye = + f ( y) y hy = ( + f ( y)) e Ολοκληρώνοντας ως προς y, παίρνουμε: y y y hydy = e dy + f ( y ) e dy h h (, y ) = e + F ( y ), όπου F( y) = f ( y) e y dy αυθαίρετη συνάρτηση ως προς y. Αντικαθιστώντας στην μερική λύση της u : y y y u = ( e + F( y)) e u = + F( y) e. Επομένως, η γενική λύση της εξίσωσης, θα είναι: y uy (, ) = u( y, ) + u( y, ) uy (, ) = he ( ) + + Fye ( ) y. Να βρείτε χωρία όπου οι παρακάτω εξισώσεις είναι υπερβολικές, ελλειπτικές ή παραβολικές. ΛΥΣΗ: (i)αναζητάμε χωρίο όπου η u + u = είναι υπερβολική, ελλειπτική, ή παραβολική. Βάσει θεωρίας η γενική μορφή της γραμμικής ΜΔΕ δεύτερης τάξεως είναι: a(, )u + b(, )u + c(, )u + d(, )u + e(, )u + g(, )u = f (, ) (.5) όπου a,b,c,d,e,g, f συνεχείς στο χωρίο D. Για να ελέγξουμε αν είναι υπερβολική, ελλειπτική, ή παραβολική, ελέγχουμε την ποσότητα b (, ) 4a(, )c(, ) αν είναι θετική, αρνητική ή μηδέν. >, < Ισχύει: b (, ) 4a(, )c(, ) = 4 = 4 <, > =, = Οπότε είναι: υπερβολική, όταν (, ) (, ) (θετική) παραβολικά, όταν (, ) { } (μηδέν) ελλειπτική, όταν (, ) (, + ) (αρνητική) (ii) Για την εξίσωση: u u =, u = u(, ) Ομοίως a(, ) =, c(, ) =, b(, ) =, και άρα έχουμε: b (, ) 4a(, )c(, ) = 4 ( ) = 4 >, Επομένως, η εξίσωση είναι υπερβολική στο (, ) Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 3

14 (iii) Για την εξίσωση: Εδώ a(, ) =, u + ( + )u u = e, u = u(, ) e(, ) = ( + ), d(, ) = και b (, ) 4a(, )c(, ) = 4 = Επομένως, η εξίσωση είναι παραβολική στο (, ) f (, ) = e και άρα έχουμε: (iv) Η εξίσωση u uyy = f (,y ), u = u(, ) Εδώ a(,y )uyy + b(,y )uy + c(,y )u + d(,y )uy + e(,y )u + g(,y )u = f (, y ) οπότε c(, y ) =, a(, y ) = και b(, y ) =. Άρα έχουμε b (,y ) 4a(,y )c(,y ) = 4 = 4 <. Άρα η εξίσωση είναι ελλειπτική στο (,y ) 3. Με εισαγωγή των πολικών συντεταγμένων να βρείτε την γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης: yu u =. y = rcosθ y = rsiθ ΛΥΣΗ: Υπολογίζοντας τις ποσότητες u και u y, από τον κανόνα της αλυσίδας θα έχουμε: u u y u u r u θ = = + r θ u u r u θ = = + y r y θ y Όπου οι μερικές παραγωγοί των r, θ ως προς και y, θα είναι: y = + = cosθ + siθ r r r y y y = + = rsiθ + rcosθ θ θ θ y y Με την χρήση πινάκων και της Ιακωβιανής, J, θα έχουμε: r cosθ siθ =, όπου rsiθ rcosθ θ y J cosθ siθ = rsiθ rcosθ με ορίζουσα de( ) cos si J = r θ + r θ = r. Οπότε προκύπτει: Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 4

15 siθ r siθ = = [ r cosθ si θ ] = cosθ r r r θ r r θ r cosθ θ cosθ r cosθ = = [cosθ + r si θ ] = + siθ y r r θ r r θ r r siθ θ Άρα έχουμε: u siθ u cosθ u u rsi θ{cos θ } = rcos θ{ + si θ } r r θ r θ r u u cos θ u u siθ cosθ si θ = + siθ cosθ r r θ r θ r (si cos u θ + θ ) = r θ u= ur () Αντικαθιστώντας στην αρχική εξίσωση θα έχουμε: u y u y y + u = + f( y) e + e u = e ( + f( y)) y y y y y y ( eu) = e( + f( y)) eu= e( + f( y)) dy+ g ( ) y Λύνοντας ως προς u έχουμε y y y u(, y) = e e ( + f ( y)) dy + e g( ) y y y y y u(, y) = e e + e e f( y) dy+ e g( ) y y y u(, y) = + e g( ) + e e f( y) dy 4. Να εξετάσετε την γραμμικότητα ή μη των παρακάτω εξισώσεων: (i) uu + 3u = Θεωρούμε τον τελεστή L( u) = uu + 3u και έτσι η μερική διαφορική εξίσωση μπορεί να γραφεί ως Lu ( ) =. Εξετάζοντας την γραμμικότητα της θα πάρουμε: L( u+ w) = ( u+ w) ( u+ w) + 3 ( u+ w) = ( u + w )( u + w ) + 3u + 3w = uu + uw + 3u + wu + w w + 3w και Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 5

16 Lu + Lw = uu + 3u + w w + 3w και έτσι L( u + w) Lu + Lw, και άρα δεν είναι γραμμική. (ii) u u = Θεωρούμε, ομοίως και εδώ τον τελεστή Lu = u u και ελέγχουμε αν ο Lu = είναι γραμμικός: L( u+ w) = ( u+ w) ( u+ w) = u + w u w = ( u u ) + ( w w ) = Lu + Lw και L( cu) = ( cu) ( cu) = cu cu, c R = cl( u) Επομένως, ισχύουν οι συνθήκες γραμμικότητας. (iii) eu u= cos Ομοίως, θεωρούμε τον τελεστή Lu = e u u και εξετάζουμε αν ο Lu = cos ικανοποιεί τις συνθήκες γραμμικότητας. Έχουμε: L( u+ w) = e ( u+ w) ( u+ w) = e( u + w ) u w = Lu + Lw και L( cu) = e ( cu) ( cu) = e cu ( cu), c R = c( eu u) = clu και είναι γραμμική. (iv) u + u = si Ομοίως, θεωρούμε Lu = si, παίρνουμε: Lu u u = + και εξετάζοντας την γραμμικότητα του τελεστή L( u+ w) = ( u+ w) + ( u+ w) = u w u w u Lu + Lw = u + u + w + w + + και όχι γραμμική. οπότε L( u w) Lu Lw Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 6

17 5. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης u = u που είναι της μορφής u (,) = U() z, όπου z =. ΛΥΣΗ: Υπολογίζουμε τις ποσότητες u, u, u για την μορφή που μας δίνει το πρόβλημα, επομένως θα έχουμε: u(,) = U ()( z ) = U ()( z ) = U () z ( ) = 3 U () z = U () z 3 () () (, ) ( )( ) U z και (, ) ( )( ) U u = U z = u = U z z =. Αντικαθιστώντας στη αρχική μας εξίσωση, προκύπτει: U ( z) = U ( z) U ( z) + U ( z) = 3 3 U ( z) + U ( z) = z U ( z) + U ( z) = η οποία είναι μια γραμμική ΣΔΕ δεύτερης τάξης. Για να την λύσουμε θέτουμε wz ( ) = U ( z), οπότε η εξίσωση γίνεται: z w'( z) + wz ( ) =, (.5) z dz 4 με ολοκληρωτικό παράγοντα µ ( z) = e = e. Πολλαπλασιάζοντας και τα μέλη της εξίσωσης (.5) με µ ( z) προκύπτει: z z z z z z z z d = + = = = w'( ze ) wze ( ) w'( ze ) wz ( )( e )' [ e wz ( )] wz ( ) Ce dz όπου C είναι μία σταθερά. Τελικά καταλήγουμε στην λύση της μορφής: όπου C είναι μία δεύτερη σταθερά. z z 4 4 U'( z) = Ce U( z) = C e dz+ C Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 7

18 . Εξισώσεις Διάχυσης Νόμοι διατήρησης Είναι εξισώσεις που εκφράζουν το γεγονός ότι διατηρείται το ισοζύγιο μιας ποσότητας καθ όλη την διάρκεια μιας διαδικασίας. Για παράδειγμα έχουμε τον πρώτο θερμοδυναμική νόμο, βάσει του οποίου η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας ενός δεδομένου συστήματος είναι ίση με την ολική θερμότητα που προσφέρεται στο σύστημα συν το έργο που παράγεται. Ανάλογοι νόμοι διατήρησης υπάρχουν και στις βιοεπιστήμες, όπως είναι για τον ρυθμό μεταβολής του πληθυσμού ενός συγκεκριμένου είδους ζώων σε κάποιον ορισμένο χώρο ο οποίος ισούται με τον ρυθμό των γεννήσεων μείον τον ρυθμό των θανάτων συν το ρυθμό μετανάστευσης προς η από αυτό. Μαθηματικά, οι νόμοι διατήρησης εκφράζονται ως εξισώσεις οι οποίες θεωρούνται πλέον ως εξισώσεις που διέπουν το φαινόμενο ή εξισώσεις κίνησης της συγκεκριμένης διαδικασίας και υπαγορεύουν τον τρόπο με τον οποίο η διαδικασία αυτή εξελίσσεται χρονικά. Εδώ θα αναλύσουμε τον νόμο διατήρησης σε μια διάσταση. Θεωρούμε, λοιπόν το μέγεθος u= u (,) το οποίο εξαρτάται από μια χωρική μεταβλητή R και από τον χρόνο >. Υποθέτουμε ότι u παριστάνει την πυκνότητα ή στην συγκέντρωση κάποιας ποσότητας και εκφράζεται σε μονάδες αυτής της ποσότητας ανά μονάδα όγκου. Η ποσότητα αυτή θα μπορούσε να αποτελέσει έναν πληθυσμό, μια μάζα, ή και ενέργεια. Το u μεταβάλλεται μόνο ως προς μια κατεύθυνση (χωρική) την οποία θα συμβολίζουμε με. Ε- πιπλέον φανταζόμαστε ότι το u κατανέμεται σε έναν σωλήνα σταθερής διατομής και εμβαδού A και υποθέτουμε ότι το u είναι σταθερό σε κάθε διατομή του σωλήνα και ότι μεταβάλλεται μόνο κατά την κατεύθυνση. Θεωρούμε τώρα ένα αυθαίρετο τμήμα του σωλήνα, το οποίο παριστάνουμε με το διάστημα I= [ ab, ]. Τότε η συνολική τιμή της ποσότητας μέσα στο I κατά την χρονική στιγμή θα είναι b I = u(,) Ad. a Υποθέτουμε τώρα ότι μέσα στο σωλήνα έχουμε κίνηση της ποσότητας αυτής κατά την διεύθυνση του άξονα. Ορίζουμε ως ροή (ή συνάρτηση ροής) της u στο σημείο, κατά την στιγμή, την βαθμωτή συνάρτηση φ(,) που παριστάνει το ποσό της u που διέρχεται από την διατομή του σωλήνα στο σημείο κατά την χρονική στιγμή, ανά μονάδα χρόνου και ανά μονάδα επιφάνειας. Θα θεωρούμε ότι το φ είναι θετικό αν η ροη είναι κατά τη θετική φορά του άξονα και αρνητικό αν είναι κατά την αρνητική. Επομένως, την στιγμή, ο συνολικός ρυθμός ροής του μεγέθους u προς το εσωτερικό I θα είναι ίσος με τον ρυθμό που το μέγεθος εισέρχεται στο =a μείον τον ρυθμό με τον όποιο εξέρχεται =b. Δηλαδή, I=Αφ(,) a Aφ (,) b Τέλος η ποσότητα u μπορεί να παράγεται ή να καταστρέφεται μέσα στο I εξαιτίας κάποιας εσωτερικής ή εξωτερικής αιτίας ή πηγής. Συμβολίζοντας με f(,,u) την συνάρτηση πηγής, αυτή θα εκφράζει τον ρυθμό με τον οποίο η uι αναπαράγεται ή καταστρέφεται στο σημείο κατά την στιγμή, ανά μονάδα όγκου. Δεδομένης της f υπολογίζουμε τον συνολικό ρυθμό παραγωγής του u στο Ι με ολοκλήρωση: b f( u,, (, )) Ad. a Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 8

19 Βάσει νόμου διατήρησης, για κάθε διάστημα Ι θα ισχύει: «Ο χρονικός ρυθμός μεταβολής της ολικής ποσότητας στο Ι=(συνολικός ρυθμός με τον οποίο η ποσότητα ρέει μέσα στο Ι)+(Ρυθμός με τον οποίο η ποσότητα παράγεται μέσα στο Ι)». Δηλαδή, b b d u (,) d = φ(,) a φ(,) b + f (,, u ) d d (.6) a a Η (.6), ονομάζεται νόμος διατήρησης σε ολοκληρωτική μορφή και ισχύει ακόμη και αν οι u,φ και f δεν είναι ομαλές συναρτήσεις. Εφαρμόζοντας το θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμού, b φ (,) d = φ(,) b φ(,) a a b b d u (,) d = u (,) d d a a και υποθέτοντας ότι οι συναρτήσεις u,φ είναι ομαλές και η f είναι συνεχής, το παραπάνω σύστημα εξισώσεων, μέσω και του νόμου διατήρησης () θα μας δώσει: b [ u(, ) + φ (, ) f( u,, )] d=, I= [ ab, ] (.7) a Επειδή η (.7) ισχύει για κάθε διάστημα ολοκλήρωσης Ι, μπορεί να γραφτεί και στην μορφή: u + φ = f( u,, ), R, > (.8) Η εξίσωση (.8) είναι μια Μ.Δ.Ε. η οποία αποτελεί ένα νόμο διατήρησης σε διαφορική μορφή. Ο Όρος φ λέγεται όρος ροής και η συνάρτηση f όρος αντίδρασης ή όρος αύξησης ή αλληλεπίδρασης. Αξίζει να σημειώσουμε ότι όταν στην εξίσωση υπάρχει η συνάρτηση f τότε η (.8) θα αποτελεί ένα νόμο διατήρησης με πηγές. Νόμοι διατήρησης σε πολλές διαστάσεις 3 Στον χώρο R, συμβολίζουμε με = (,, 3) ένα σημείο του και υποθέτουμε ότι η u= u (,) είναι μια βαθμωτή συνάρτηση πυκνότητας που περιγράφει το ποσό ανά μονάδα όγκου κάποιου μεγέθους που μας ενδιαφέρει και το οποίο κατανέμεται σε κάποιο χωρίο 3 του R. Έστω V το χωρίο αυτό και το σύνορο του V. Τότε: (Συνολικό πόσο στο V)= u (,) d V 3 όπου d = ddd3 είναι ο στοιχειώδης όγκος στον R. Εάν με f(,, u ) συμβολίσουμε τον όρο πηγής, τότε θα έχουμε: (Ρυθμός παραγωγής της u λόγω πηγών)= f (,, u ) d V Επειδή στις τρεις διαστάσεις η ροή λαμβάνει χώρα σε οποιαδήποτε κατεύθυνση, θα την περιγράψουμε με μια διανυσματική συνάρτηση φ (,). Αν με () συμβολίσουμε το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στην επιφάνεια V με φορά προς τα έξω, τότε η συνολική ροή θα δίνεται από το επιφανειακό ολοκλήρωμα φ(,) () ds, όπου ds είναι η στοιχειώδης επιφάνεια του συνόρου V. Τελικά, συνδυάζοντας τον νόμο διατήρησης για το u V θα πάρουμε: d ud ds fd d = V φ + V (.9) V Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 9

20 Το αρνητικό πρόσημο δηλώνει ότι η ροη προς τα έξω ελαττώνει το ρυθμό μεταβολής της u στο V. Κάνοντας χρήση του θεωρήματος απόκλισης ( ή Gauss) φd = φ ds (.) V V όπου div είναι ο τελεστής απόκλισης, η (.9), γίνεται: u d = divφ d + fd V V και λόγω της αυθαίρετης επιλογής του V, καταλήγουμε στην διαφορική εξίσωση της μορφής: u + divφ = f (,, u), V, > (.) η οποία αποτελεί το τρισδιάστατο ανάλογο της (.8) που αποδείξαμε παραπάνω. Καταστατικές εξισώσεις Εξισώσεις που περιγράφουν υποθέσεις που βασίζονται στις φυσικές ιδιότητες του μέσου, ονομάζονται καταστατικές εξισώσεις ή εξισώσεις κατάστασης. Παράδειγμα. (Εξίσωση Διάχυσης) Υποθέτουμε ότι f = και ότι ισχύει ο νόμος διατήρησης στη μια διάσταση u + φ =, R, > (.) και έστω ότι ισχύει η βασική καταστατική εξίσωση (νόμος του Fick) φ (,) = Du (,) (.) Η σταθερά D ονομάζεται σταθερά διάχυσης. Οι εξισώσεις (.) και (.) αποτελούν ένα ζεύγος ΜΔΕ για τους αγνώστους φ και u. Συνδυάζοντας τες καταλήγουμε στον τύπο u Du = (.3) για την άγνωστη πυκνότητα u, ο όποιος αποτελεί την εξίσωση διάχυσης και περιγράφει συστήματα στα οποία έχουμε διατήρηση και στα οποία η ροή καθορίζεται από τον νόμο του Fick. Ο Όρος Du, λέγεται Όρος διάχυσης. Παράδειγμα : (Εξίσωση θερμότητας) Σε ένα ομογενές μέσο πυκνότητας ρ και ειδικής θερμότητας C η πυκνότητα ενέργειας δίνεται από την σχέση u (,) = CρT(,), όπου Τ είναι η θερμοκρασία. Στην περίπτωση αυτή ο νόμος διατήρησης είναι CρT + φ = και ο νόμος του Fick είναι της μορφής φ = KT (,) (), όπου Κ είναι ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας. Έτσι προκύπτει ότι η θερμοκρασία Τ ικανοποιεί την ΜΔΕ: K CρT KT = T kt =, k = (.4) Cρ Η εξίσωση (.4) ονομάζεται εξίσωση θερμότητας και η σταθερά k, συντελεστής θερμικής διάχυσης. Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα

21 Παράδειγμα 3: (Αντίδρασης-Διάχυσης) Για f (υπάρχουν πηγές) και ο νόμος διατήρησης είναι: u + φ = f(,, u) και σε συνδυασμό με τον νόμο του Fick (.), προκύπτει η εξίσωση: u Du = f (,, u) η οποία αποτελεί την εξίσωση αντίδρασης- διάχυσης. Η Εξίσωση της θερμότητας Θεωρούμε ράβδο μήκους l και σταθερής διατομής εμβαδού Α. Η θερμοκρασία θα ι- κανοποιεί την μονοδιάστατη εξίσωση θερμότητας u ku =, < < l, > όπου k ο συντελεστής θερμικής διάχυσης. Μια αρχική συνθήκη στο σημείο = θα είναι της μορφής u (,) = f( ),< < l όπου f() είναι η δεδομένη αρχική κατανομή της θερμοκρασίας. Οι συνοριακές συνθήκες θα ορίζονται u(, ) = g ( ) ul (, ) = h ( ), > όπου g και h είναι δεδομένες συναρτήσεις. Αξίζει να σημειωθεί ότι, υποθέτοντας πως το ένα άκρο της ράβδου είναι θερμικά μονωμένο, οι συνοριακές συνθήκες θα πάρουν την μορφή: u (, ) =, > η οποία είναι γνωστή ως συνθήκη μονωμένου άκρου. Ανακεφαλαιώνοντας, με τον όρο πρόβλημα αρχικών- συνοριακών τιμών για την εξίσωση θερμότητας, εννοούμε ένα πρόβλημα στο όποιο μας ζητείται να λύσουμε κάποια μορφή της εξίσωσης θερμότητας, κάτω από κάποιες αρχικές-συνοριακές συνθήκες. Σε μερικές περιπτώσεις βέβαια απαιτείται οι βοηθητικές συνθήκες να δίνονται με τέτοιο τρόπο ώστε η λύση του προβλήματος να είναι μοναδική. Για τον λόγο αυτό, διατυπώνουμε το παρακάτω θεώρημα μοναδικότητας της λύσης: «Το πρόβλημα αρχικών και συνοριακών τιμών: u ku =, < < l,< < T u (,) f( ), l = < < (.3) u(, ) = g ( ), < < T ul (, ) = h ( ), < < T όπου f C[, l] και gh, C[, T], έχει μοναδική λύση u(,) στο ορθογώνιο R: l, T, T >». Εκτός από τα ερωτήματα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης είναι σημαντική η διερεύνηση της συνεχούς εξάρτησης της λύσης από τα αρχικά και συνοριακά δεδομένα. Η ιδιότητα αυτή ονομάζεται ευστάθεια λύσης. Εάν λοιπόν, ένα πρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών ικανοποιεί τις τρεις αυτές ι- διότητες: (ι) ύπαρξης, (ιι) μοναδικότητας, και (ιιι) ευστάθειας, Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα

22 θα λέγεται ότι το πρόβλημα αυτό είναι καλά τοποθετημένο ή καλά διατυπωμένο. Ασκήσεις. Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο της ενέργειας l () (,) E = w d, με E ( ) καιe() = (.4) για να αποδείξετε ότι η λύση του προβλήματος αρχικών-συνοριακών τιμών: u = ku, < < l,< < T u (, ) = < < T (.5) u (, l) = g ( ) u (,) = f( ),< < l όπου k >, έχει μοναδική λύση για κάθε Τ>. ΛΥΣΗ: Υποθέτουμε ότι η λύση δεν είναι μοναδική, όποτε θα υπάρχουν u(,) και u(,) με u(,) u(,) που να την ικανοποιούν. Θέτουμε τη διαφορά τους w (,): = u(,) u(,) η οποία θα ικανοποιεί το (.5) εφόσον αυτό είναι γραμμικό. Οπότε θα δημιουργηθεί ένα ισοδύναμο πρόβλημα (.6) της μορφής: w = kw, < < l,< < T w(, ) = u (, ) u (, ) = < < T (.6) w (,) l = g () g () = w (,) =,< < l Αρκεί να δείξουμε ότι w=. Για την απόδειξη αυτή θα εισάγουμε το ολοκλήρωμα ενέργειας που μας δίνεται και υπολογίζοντας την παράγωγο θα έχουμε: l l l '() (,) (,) (,) (,) (,) l kwlw (, ) ( l, ) kw (,) w(,) k w ( d, ) l k w (,) d Ε = ww d= kww k w d= = = = l για k>. Άρα η συνάρτηση ενέργειας θα είναι φθίνουσα και λόγω (.4), E () = και συνε- πώς w d = w (,) = u (,) = u (,),δηλαδή η λύση θα είναι μοναδική. Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα

23 . Μια ομογενής ράβδος (ρ,c,k σταθερές) έχει επιφάνεια διατομής Α(), <<l. Υ- ποθέστε ότι η μεταβολή της A() ως συνάρτηση του είναι μικρή, έτσι ώστε να ισχύει η υπόθεση ότι η θερμοκρασία παραμένει σταθερή σε κάθε διατομή. Υποθέστε επίσης ότι δεν υπάρχουν πηγές και ότι η συνάρτηση ροής είναι ίση με Ku (,). Από έναν κατάλληλο νόμο διατήρησης βρείτε μια διαφορική εξίσωση για τη θερμοκρασία u (,) στην οποία να λαμβάνεται υπόψη και η μεταβολή της επιφάνειας διατομής της ράβδου. ΛΥΣΗ: Στο πρόβλημα δεν υπάρχουν πηγές όποτε f και για την συνάρτηση ροής φ (,) θα έχουμε: φ (,) = Ku(,). Αναζητάμε ένα νόμο διατήρησης για την u (,) έτσι ώστε να κατασκευάσουμε μια μερική διαφορική εξίσωση. Έχουμε (ρ, C, K: σταθερές), με ρ: πυκνότητα, C: ειδική θερμότητα και Κ: συντελεστή θερμικής αγωγιμότητας. Θεωρούμε πάνω στη ράβδο ένα τυχαίο διάστημα Ι=[α,b] με a b. Τότε: [ συνολικό ποσό θερμότητας της ράβδου ]= ρcu(,) A() d (.7) και για τη ροή θερμότητας στο άκρο α: φ(,) a Aa (), ενώ για το άκρο b: φ(,) b Ab (). Ε- πομένως ο ρυθμός μεταβολής της ροής θερμότητας στο χωριό Ι θα είναι: φ(,) a A() a φ(,) b A() b (.8) Επειδή δεν υπάρχουν πηγές, από τον νόμο διατήρησης για το u, σε κάθε διάστημα Ι θα ισχύει: [ ρυθμος μεταβολης συνολικής ποσότητας στο Ι ]=[ ρυθμό μεταβολής στο Ι ] b α ή d d b b b b A() ρcu(,) d = φ(,) a A() a d φ(,) b A() b d = a a a = AρCu (,) d = [ A()(,) φ ] d = a b = ( A'()(,) φ + A () φ (,)) d= a b a b b b φ = Ku AρCu (, ) d = A'( )( Ku (, )) d A( )( Ku (, )) d. a a a b b b AρCu (, ) d A'( )( Ku (, )) d A( )( Ku (, )) d = a a a και επειδή το Ι είναι τυχαίο διάστημα πάνω στη ράβδο και η συνάρτηση u(,) είναι ομαλή, η παραπάνω ποσότητα γίνεται: AρCu(,) KA'() u(,) KAu () (,) = AρCu(, ) = K[ A'( u ) + Au ( ) ] [ ρca( )] u (, ) = [ KA'( )] u (, ) + [ KA( )] u (, ) Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 3

24 η οποία αποτελεί την ζητούμενη μορφή διαφορικής εξίσωσης για την θερμοκρασία u(,), με Α: διατομή της ράβδου και (ρ,c,k:σταθερές). 3. Μετατρέψτε το πρόβλημα αρχικών συνοριακών τιμών σε ένα πρόβλημα με ομογενείς συνοριακές συνθήκες: u u = u (,) f( ) =, u(, ) = g ( ) ul (,) = h () < < l, > < < l > ΛΥΣΗ: Θέλουμε με κατάλληλο μετασχηματισμό να μετατρέψουμε τις μη-ομογενείς συνοριακές συνθήκες σε ομογενείς. Για το λόγο αυτό θα εισάγουμε έναν κατάλληλο μετασχηματισμό, δημιουργώντας ένα πρόβλημα ομογενών συνοριακών τιμών ισοδύναμο με το αρχικό. Θέτουμε: u (,) = w (,) v (,) w (,) = u (,) v (,) A () B () Όπου v (,) = + B (), με Α(), B() αυθαίρετες συναρτήσεις ως προς την l μεταβλητή. Τότε το αρχικό μας πρόβλημα μετασχηματίζεται στο: A () B () w (,) = u (,) [ + B ()] l w(, ) = u(, ) B ( ) A() B() όπου f ( ) = f( ) [ + B()] wl (,) = ul (,) A () l w (,) = u (,) v (,) = f ( ) οπότε τελικά το πρόβλημα γίνεται: Ισχύει από συνοριακές συνθήκες ότι u(, ) = B ( ) ul (,) = A () w (,) = u (,) v (,) w(, ) = wl (,) = w (,) = f ( ) A'( ) B'( ) u = w v = w + B'( ) l A () B () Παραγωγίζοντας: u = w v = w l u = w Αντικαθιστώντας στην αρχική εξίσωση θα έχουμε: (.9) Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 4

25 A'() B'() w w = + B'( ) l w(, ) = wl (,) = w (,) = f ( ) < < l > 4. Θεωρήστε το πρόβλημα αρχικών τιμών: u ku = q( ), < < l, > u (, ) A, = > u (,) l = B, > u (,) = f( ),< < l Να βρεθεί κατάλληλη συνθήκη που να πληροί τα δεδομένα και έτσι ώστε να υπάρχει ανεξάρτητη λύση. ΛΥΣΗ: Δίνοντας μια φυσική ερμηνεία για το παραπάνω πρόβλημα αρχικών τιμών, παρατηρούμε ότι η ύπαρξη της συνάρτησης q() μας πληροφορεί ότι στο πρόβλημα υπάρχουν πηγές, ενώ η θερμική ροή στο = είναι Α και στο =l, είναι Β. Ακόμα, στην εξίσωση θερμότητας θέτουμε φ (,) = ku, η οποία παριστάνει την ροή θερμότητας στο σημείο την στιγμή. Για τα άκρα θα έχουμε: φ(, ) = ku (, ) = ka φ(,) l = ku (,) l = kb Θέλουμε η λύση u(,) να είναι χρονικά ανεξάρτητη, δηλαδή u (,) =. Επομένως, από τον νόμο διατήρησης σε ολοκληρωτική μορφή, θα πάρουμε: l l = φ φ + l l l φ l l u (,) d (,) (,) l q() d u (,) d = (,) d + q() d d = ka + kb + q( ) d l k( A B) = q( ) d l A B = q( ) d k η οποία αποτελεί την ζητούμενη συνθήκη. Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 5

26 5. Να λυθεί το πρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών: u ku =, >, > u(, ), = > u( +, ) =, > u (,) =, > για την εξίσωση θερμότητας, υποθέτοντας ότι η λύση είναι της μορφής u (, ) = Y( z), z=. k ΛΥΣΗ: Υποθέτοντας ότι η λύση είναι στην παραπάνω μορφή, υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους στο και και παίρνουμε: / u (, ) = Y '( z) = Y '( z) ( k ) k u (, ) = Y '( z) 3/ k u (, ) = Y '( z) k k u (, ) = Y '( z) k k Y'( z) u (,) = k k Y'( z) u (,) = z k Ακόμα, Y'( z) u(, ) = Y'( z) = ( ) = Y'( z) k k k Y''( z) Y''( z) u (, ) = Y''( z) = ( ) = k k k k Αντικαθιστώντας προκύπτει: Y''( z) Y'( zz ) = k Y'( z ) = ky''( z) k k k z Y '( z) ky ''( z) = z ky ''( z) + Y '( z) = η οποία είναι μια ΣΔΕ ης τάξης. Για την επίλυση της, θέτουμε Y'( z) = az ( ) και θα πάρει την μορφή: Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 6

27 z z z ka '( z) + a( z) = ka ' + a = ka ' = a da z k = a kda = zadz dz z z kl a = + c l a = + c, 4k a( z) = Ce Y '( z) = Ce z 4k z 4k c όπου C = e σταθερά ολοκλήρωσης z z 4k 4k Ολοκληρώνοντας ως προς z έχουμε: Y ( z) = Ce dz + C Y ( z) = C e dz + C λύση που ζητάμε. η.3 Εξισώσεις Ισορροπίας Η εξίσωση Laplace Είναι μια από τις βασικότερες εξισώσεις ισορροπίας ελλειπτικού τύπου. Παρακάτω θα αναλύσουμε την εξίσωση αυτή στις τρεις διαστάσεις. Θεωρούμε τον βασικό νόμο διάχυσης σε ένα χωριό V u + divφ = f (,, u), V, > (.) 3 με φ διανυσματική συνάρτηση ροής και = (,, 3) ένα σημείο του R. Υποθέτουμε ότι ισχύει ο νομός του Fick σε τρεις διαστάσεις, φ = Dgradu, όπου D η σταθερά διάχυσης και θεωρώντας divgrad =, όπου + + η Λαπλασιανη, η εξίσωση 3 (.) γίνεται: u D u= f( u,, ), V, > (.) Υποθέτοντας ότι στο χωριό δεν υπάρχουν πηγές, f=, αναζητάμε λύσεις ισορροπίας u= u ( ) που εξαρτώνται μόνο από το και όχι από τον χρόνο. Τέτοιου είδους λύσεις ικανοποιούν την εξίσωση Laplace, u =, V (.) Εάν υπάρχουν πηγές, τότε οι λύσεις ισορροπίας ικανοποιούν την εξίσωση Poisso: f u = F( ), V, όπου F (.3) D Αξίζει να σημειωθεί ότι η εξίσωση Laplace είναι σημαντική στην μηχανική των ρευστών, καθώς και σε πολλούς άλλους τομείς εφαρμογών. Οι λύσεις της εξίσωσης αυτής ο- νομάζονται αρμόνικες συναρτήσεις. Προκύπτει εύκολα το ερώτημα για το τι είδους συνοριακές συνθήκες θα χρησιμοποιήσουμε για την επίλυση της εξίσωσης. Από τα παραπάνω φαίνεται ότι χρειάζονται μόνο συνθήκες στο σύνορο V του χωρίου, οι οποίες είναι τύπου Dirichle: u= g ( ), V (.4) Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 7

28 όπου g μια δεδομένη συνάρτηση. Υπάρχει και η περίπτωση η συνθήκη να αφορά την κάθετη παράγωγο της u στο σύνορο, η οποία θα ονομάζεται συνοριακή συνθήκη Neuma, u = g ( ), V (.5) u όπου είναι το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα που δίνεται από τον τύπο = gradu. Εάν g()= τότε το άκρο ονομάζεται μονωμένο. Ολοκληρωτικές Ταυτότητες Σε πολλές εφαρμογές η επίλυση ενός προβλήματος διευκολύνεται από την χρήση των κυλινδρικών και σφαιρικών συντεταγμένων. Αυτές θα δίνονται από τους τύπους = rcosθ = rsiφcosθ y = rsiθ για τις κυλινδρικές και y = rsiφsiθ για τις σφαιρικές, όπου θ είναι η πολική γωνία και φ είναι η αζιμούθια γωνία. Με εφαρμογή του κανόνα της αλυσίδας, z = z z = rcosφ μπορούμε να γράψουμε την Λαπλασιανή σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες, αντίστοιχα, ως: u = urr + ur + u u θθ + zz r r και u= ( ru) (si ) r + φu u φ + θθ r r r siφ φ r si φ Βασικές ιδιότητες Θεώρημα : Έστω h συνεχής συνάρτηση στο V και f συνεχής στο. Αν το πρόβλημα Dirichle έχει λύση u C ( ) C ( ), τότε αυτή θα είναι μοναδική. Θεώρημα : Έστω g συνεχής στο V και f συνεχής στο. Εάν το πρόβλημα Neuma u { u = f, V} και = g, V έχει μια λύση u C ( ) C ( ), τότε αναγκαστικά: fd = gds. V V Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 8

29 Ασκήσεις u w. Αποδείξτε την σχέση w d = u d + uw V V V kds k, κάνοντας χρήση του k τύπου u d = u V V k ds (.6) k όπου u είναι η βαθμωτή συνάρτηση και k είναι η k-οστή συνιστώσα του εξωτερικού μοναδιαίου κάθετου διανύσματος. ΛΥΣΗ Από τον τύπο (.6) πολλαπλασιάζοντας και τα μέλη με w, και ολοκληρώνοντας κατά παράγοντες, θα έχουμε: u ( uw) u w w( ) d = w( uk ) ds d = wd + u d (.7) V V V V V k k k k Από τις (.6) και (.7), προκύπτει: u w u w w d + u d = wu ds w d = u d + wu ds V V V k V V V k k k k k και αποδείχτηκε το ζητούμενο.. Κάνοντας χρήση του θεωρήματος απόκλισης να αποδείξετε τους τύπους Gree: w u w + u w d = u ds V w u u wd = w ud + ( u w ) ds ( ) V V V V ΛΥΣΗ: Για τον πρώτο τύπο, από το θεώρημα απόκλισης θα έχουμε: Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 9

30 V w u ds = u wds = V = ( u w) d = V { w+ w ( u) } = { u } d = V = u w + u w d { } V όπου η Λαπλασιανη, με για το θεώρημα. = + + = 3 και div ο τελεστής απόκλισης Με παρόμοιο τρόπο, για τον δεύτερο τύπο Gree θα έχουμε: V w u ( u w ) ds = { u grad( w) w grad( u)} ds = V = { u grad( w) w grad( u)} ds = V = div( u grad( w) w grad( u)) d = V = [ grad( u) grad( w) + u div( grad( w)) grad( w) grad( u) w div( grad( u))] d V = ( grad( u) grad( w) + u w grad( w) grad( u) w u) d = V = u wd w ud V όπου Δ η Λαπλασιανη. Επομένως, και αποδείχτηκε το ζητούμενο. V w u ( u w ) ds + w ud = u wd V V V 3. Θεωρήστε το πρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών για την τρισδιάστατη εξίσωση θερμότητας 3 u k u= ρ(, ), V, > u (,) = g(,), V, > (.8) 3 u (,) = f( ), V Όπου οι ρ,g και f είναι συνεχείς. Αποδείξτε με την μέθοδο της ενέργειας ότι η λύση είναι μοναδική, υποθέτοντας εύλογες συνθήκες ομαλότητας για την u. Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 3

31 ΛΥΣΗ: Για να αποδείξουμε ότι η λύση είναι μοναδική, υποθέτουμε ότι θα υπάρχουν λύσεις διαφορετικές μεταξύ τους, έστω u(,) και u(,). Θέτουμε τότε μια νέα συνάρτηση w (,) u(,) u(,), η οποία θα πρέπει να ικανοποιεί το (.8). Έτσι θα έχουμε: 3 w k w=, V w (, ) =, V (.9) 3 w (,) =, V Ορίζουμε το ολοκλήρωμα ενέργειας ως E( ): = w (, ) d το οποίο είναι μηαρνητικό, δηλαδή E () και E () =. Επιπλέον, E () = ww d = wk wd = k w wd = kw w k w d V V V V V E () = k w d V E () < Δηλαδή η Ε() είναι φθίνουσα και λόγω των σχέσεων E ( ), E() = συμπεραίνουμε ότι Ε()=. Επομένως, w στο V και τότε u(,) = u(,) και άρα η λύση είναι μοναδική. V 3 4. Έστω q > και συνεχής στο, f συνεχής στο και g συνεχής στο V. Αποδείξτε ότι το πρόβλημα συνοριακών τιμών u qu ( ) = f( ), V u (.3) = g ( ), V μπορεί να έχει το πολύ μία λύση στο σύνολο C ( ) C ( V). ΛΥΣΗ: Υποθέτουμε ότι το πρόβλημα έχει λύσεις διαφορετικές, τις u (,) = u και u(,) = u. Τότε ορίζουμε τον μετασχηματισμό w (,) = u u και το οποίο θα πρέπει να ικανοποιεί το πρόβλημα (.3). Θα έχουμε: w qw ( ) =, V w =, V Οπότε: w = q( ) w wd = w= grad ( w) q( ) wd grad( w) ds = q( ) wd V V V V w ds = q ( ) wd q ( ) wd =, V V V V Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 3

32 Επειδή q()> και συνεχής στο θα έχουμε: w (,) u(,) = u(,) και έτσι η λύση θα είναι μοναδική!!.4 Αναπτύγματα σε ιδιοσυναρτήσεις Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε την επίλυση προβλήματος με την μέθοδο Fourier. Εισάγοντας την εξίσωση της μορφής Au = λu (), όπου u R μια τετριμμένη λύση. Οι τιμές του λ για τις οποίες θα υπάρχει τέτοια λύση u ονομάζονται ιδιοτιμές και οι αντίστοιχες λύσεις u, ιδιοδιανύσματα. Θεωρούμε δυο ιδιοδιανύσματα κάθετα ανά δυο ee =, i j και καθένα από αυτά έχει μέτρο ee i i=, αποτελώντας βάση του γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός των: i j R και έτσι κάθε ιδιοδιανισμα u μπορεί να u= ce i i με ci = eu i οι συντεταγμένες του u ως προς την ορθοκανονική βάση. Χρησιμοποιούμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανυσματα για την επίλυση προβλημάτων: Au = µ u + f (*) όπου f είναι δεδομένο διάνυσμα και η μ γνωστή σταθερά διαφορετική από τις ιδιοτιμές του πίνακα Α. Για την f μέσω ιδιοσυναρτήσεων θα έχουμε f i= = fe i i όπου fi = fei γνωστοί συντελεστές. Αντικαθιστώντας στην (*) θα έχουμε: i= A( ce) = µ ce + fe cae = ( µ c + f ) e i i i i i i i i i i i i= i= i= i= i= Aei= λ ei ι cλ e = ( µ c + f ) e i i i i i i i= i= Εξισώνοντας τους συντελεστές των γραμμικώς ανεξάρτητων ιδιοδιανυσμάτων e i, βρίσκουμε ότι cλ = µ c + f, i =,...,. Λύνοντας ως προς τους αγνώστους συντελεστές c i, έχουμε ότι: i i i i Και έτσι η λύση της (*) θα μας δώσει: fi ci =, ι =,..., λ µ ι u = f i ei. i= λ i µ i Ανάλογη διαδικασία ακλουθούμε και στην περίπτωση των διαφορικών τελεστών για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Για παράδειγμα, θεωρούμε τον διαφορικό τελεστή Α d της δεύτερης παραγώγου και το πρόβλημα ιδιωτιών παίρνει την μορφή: d d φ = λφ, a< < b d φ( a) = φ( b) = Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 3

33 και θα ονομάζεται πρόβλημα ιδιοτιμών διαφορικού τελεστή. Χαρακτηριστική περίπτωση διαφορικών τελεστών είναι οι τελεστές Surm-Liouville. Ένας τελεστής Surm-Liouville Α είναι ένας διαφορικός τελεστής δεύτερης τάξης του ό- ποιου η δράση σε μια συνάρτηση φ ορίζεται ως: Αφ ( p ( ) φ ) + q ( ) φ( ) Το πεδίο ορισμού του τελεστή Α θα είναι το σύνολο όλων των συναρτήσεων φ=φ() στον C [ ab, ] που πληρούν τις συνοριακές συνθήκες aφα ( ) + aφ ( α) =, βφ ( b) + βφ ( b) = όπου a + a και β + β. Οι συναρτήσεις p,q καθώς και οι παράγωγοι τους είναι συνεχείς στο κλειστό διάστημα [α,b]. Τότε το πρόβλημα ονομάζεται κανονικό πρόβλημα Surm-Liouville: ( p ( ) φ ) + q ( ) φ = λφ, α b aφα ( ) + aφ ( α) = (S-L) βφ ( b) + βφ ( b) = Ο τελεστής Α ονομάζεται γραμμικός, αφού ικανοποιεί τις ιδιότητες γραμμικότητας. Όταν η συνάρτηση p μηδενίζεται σε κάποιο σημείο του [α,b] ή το [a,b] είναι άπειρο, το πρόβλημα ονομάζεται μη-κανονικό ή ιδιόμορφο. Ορίζουμε ως εσωτερικό γινόμενο δυο συναρτήσεων φ, ψ τον πραγματικό αριθμό. με νόρμα τον αριθμό φ : ( φφ, ) =. ( ) b φψ, φ( ) ψ( ) d α Εάν κάθε συνάρτηση φ την διαιρέσουμε με την νόρμα της θα πάρουμε μια άλλη φ νόρμα της μορφής υ =, υ =. Θα λέμε ότι οι συναρτήσεις φ,ψ είναι ορθογώνιες στο διάστημα [α,b], όταν (φ,ψ)=. φ Εάν για μια συνάρτηση φ έχουμε φ <, τότε θα λέμε ότι η φ είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη στο [α,b]. Το σύνολο των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων θα συμβολίζεται με L [ ab., ] Θα λέμε ότι μια σειρά τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων a ( ) φ συγκλίνει στην φ() στον L [ ab,, ] όταν b φ N = a φ =, καθώς N, δηλαδή: N N φ( ) αφ ( ) d a = Διατυπώνουμε το εξής θεώρημα για το πρόβλημα Surm-Liouville: «() Υπάρχει άπειρο πλήθος ιδιοτιμών λ, =,,... οι οποίες είναι πραγματικές και τέτοιες ώστε lim λ =. () Οι ιδιοσυναρτήσεις που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι ορθογώνιες. (3) Το σύνολο των ορθοκανονικών ιδιοσυναρτήσεων φ, φ, φ 3,... είναι πλήρες υπό την έννοια ότι κάθε τετραγωνικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση f μπορεί να γραφτεί κατά μο- Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 33

34 ναδικό τρόπο ως f( ) = f φ ( ), όπου η σειρά συγκλίνει στην f στον = συντελεστές δίνονται από τους τύπους f = ( f, φ ), =,,...» Η μέθοδος Fourier Στη μέθοδο αυτή υποθέτουμε ότι η λύση u(,), γράφεται στην μορφή = L [ ab, ] και οι u (,) = c() φ ( ) (.3) όπου οι συντελεστές c () είναι άγνωστοι. Ο πρώτος τύπος προβλήματος που θα εξετάσουμε έχει την γενική μορφή u = ( pu ( ) ) + qu ( ) + F(, ), a< < b, > aua (,) au (,) a, + = > (.3) βub (,) + βu (,) b =, > u (,) = f( ), a< < b Για την επίλυση του προβλήματος, υποθέτουμε ότι το (.3) γράφεται στην μορφή T () Aφ ( ) =. Ο μόνος τρόπος να ισχύει αυτή η ισότητα είναι και τα δυο μέλη της να είναι ίσα με μια σταθερά, έστω λ. Τότε θα πρέπει να ισχύει ότι Aφ ( ) = λφ( ) που είναι η T () φ( ) διαφορική εξίσωση Surm-Liouville. Αντικαθιστώντας την u (,) = T () φ( ) στις συνοριακές συνθήκες του (**) θα καταλήξουμε στις συνοριακές συνθήκες της μορφής aφα ( ) + aφ ( α) =. βφ ( b) + βφ ( b) = ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ: Αρχικά υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές και τις αντίστοιχες ιδιοσυναρτησεις του προβλήματος. Στη συνέχεια υποθέτουμε ότι η λύση είναι της μορφής u (,) = c() φ ( ), όπου οι συντελεστές c () πρέπει να προσδιοριστούν κατάλληλα. = Υποθέτουμε ακόμα ότι ο δεδομένος όρος πηγής F μπορεί να γράφει στην μορφή αναπτύγματος ιδιοσυναρτήσεων, δηλαδή ότι F(,) = F() φ ( ), όπου F () είναι οι συντελε- b στές Fourier της F που δίνονται από τον τύπο F () = F(,) φ ( ) d. Αντικαθιστώντας τώρα στην (.3) θα πάρουμε: = a Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 34

35 c () φ ( ) = A( c () φ ( )) + F () φ ( ) = = = = c () Aφ ( ) + F () φ ( ) = = = c () λφ ( ) + F () φ ( ) = = = ( λ c () + F ()) φ ( ) = Εξισώνοντας τους συντελεστές των ιδιοσυναρτησεων, καταλήγουμε στις ακόλουθες ΣΔΕ για τους αγνώστους συντελεστές c () : c () = λ c () + F (), =,,... η οποία είναι πρώτης τάξης και δίνει λύση της μορφής: λ λ( τ) ( ) = () + ( τ) τ, =,,... c c e e F d Θέτουμε = στην (.3) και από την αρχική συνθήκη θα πάρουμε: u (,) = f( ) = c() φ( ) Επομένως τα c () είναι οι συντελεστές Fourier της συνάρτησης f() και δίνονται από τον τύπο: c() = ( f, φ) Συνεπώς η λύση θα είναι της μορφής: λ λ( τ) u (,) = ( f, φ) e + e F() τ dτ φ() = Παράδειγμα : Θεωρείστε το ΠΑΣΤ: u = u,< < l u(, ), = > ul (, ) =, > u (,) = f( ),< < l το οποίο περιγράφει την ροή θερμότητας σε μια ράβδο μήκους l, τα άκρα της οποίας διατηρούνται σε μηδενική θερμοκρασία. Η συνάρτηση f ορίζει την αρχική κατανομή θερμοκρασίας. Λόγω αλλαγής μεταβλητών, μπορούμε να πάρουμε την σταθερά διάχυσης k ίση με την μονάδα. Εδώ το αντίστοιχο πρόβλημα S-L, είναι το φ = λφ,< < l φ() = φ( l) = Οι ιδιοτιμές του και οι ορθοκανονικές ιδιοσυναρτήσεις του θα είναι: = π π λ =, φ = si, =,,... l l l Βάσει των παραπάνω, μετά από αντικατάσταση, η λύση του προβλήματος θα γίνει: Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 35

36 l πξ π u (, ) = f( ξ)si si f( ξ) dξ l = l l Ασκήσεις. Χρησιμοποιείστε την μέθοδο Fourier για να βρείτε την λύση του ακόλουθου προβλήματος συνοριακών τιμών u + au= f( ), < < π (.33) u() = u( π ) =,π. Όπου η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ] ΛΥΣΗ: Θα αναπτύξουμε τις λύσεις ως προς τις ιδιοσυναρτήσεις του Surm-Liouville: φ + λφ = φ() = φ( l) = Δηλαδή η γενική λύση του προβλήματος θα έχει την μορφή φ( ) = C cos( λ) + C si( λ) Και από τις συνθήκες θα προκύπτει ότι φ () = C = οπότε η λύση θα έχει την C π μορφή φ( ) = C si( λ) από όπου φ( l) = l λ = π λ =,,,... = l οι ιδιοτιμές του προβλήματος, οι οποίες αντιστοιχούν στις ιδιοσυναρτήσεις της μορφής π φ = Csi( ), =,,... l Θεωρούμε τώρα Au = λu, όπου Au u + a u και από Fourier θα έχουμε: u + ( a λ) u =, < < π (.34) u() = u( π ) = ένα πρόβλημα ισοδύναμο με το αρχικό (.33). Αναζητάμε την λύση του (.34): Θεωρούμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της εξίσωσης w + ( λ a ) = w=± i( λ a ) και έτσι η γενική λύση του προβλήματος θα είναι της μορφής: u( ) = C si( λ a ) + C cos( λ a ) και από τις συνοριακές συνθήκες ε- παληθεύοντας θα έχουμε: u() = Ccos() = C C = οπότε η u() γίνεται u = C a και από την δεύτερη συνοριακή συνθήκη στο π, προκύπτει ( ) si( λ ) u C a a C ( π) = si( π λ ) = si( π λ ) = π λ a = π = λ a = λ a = λ = + a λ = + a,,,... Προπτυχιακή εργασία: Ελεάνα Ζήκα 36