Υπολογισμός ορίου συνάρτησης όταν x ±

Transcript

1 6 Υπολογισός ορίου συνάρτησης όταν ± Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν οι τιές ιας συνάρτησης αυξάνονται απεριόριστα όταν το αυξάνεται απεριόριστα, λέε ότι το όριο της συνάρτησης στο + είναι το + και γράφουε συβολικά: f + Αν οι τιές ιας συνάρτησης ειώνονται απεριόριστα όταν το αυξάνεται απεριόριστα, λέε ότι το όριο της συνάρτησης στο + είναι το και γράφουε συβολικά: f Αν οι τιές ιας συνάρτησης αυξάνονται απεριόριστα όταν το ειώνεται απεριόριστα, λέε ότι το όριο της συνάρτησης στο είναι το + και γράφουε συβολικά : f + Αν οι τιές ιας συνάρτησης ειώνονται απεριόριστα όταν το ειώνεται απεριόριστα, λέε ότι το όριο της συνάρτησης στο είναι το και γράφουε συβολικά : f ( )

2 88. Υπολογισός όριου συνάρτησης Δίνουε παρακάτω τα όρια στο + και βασικών συναρτήσεων. Σχόλιο Αν γνωρίζουε τις γραφικές παραστάσεις των εκθετικών και λογαριθικών συναρτήσεων δεν είναι απαραίτητο να απονηονεύσουε τα αντίστοιχα όρια που αναφέρονται στον παραπάνω πίνακα. Β. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Ο υπολογισός των ορίων στο άπειρο γίνεται ε τους ίδιους κανόνες ε τους οποίους υπολογίζουε όρια σε πραγατικό αριθό, εφόσον οι οριακές πράξεις που παρουσιάζονται είναι επιτρεπτές. Θυίζουε τις η επιτρεπτές πράξεις που σχετίζονται ε το ±. ±, ( ) + ( + ), ( + ) ( + ), 0 ( ± ), ( + ) 0, + ± Ακόη πρέπει να έχουε υπόψη ας ότι για τα όρια στο άπειρο πολυωνυικής και ρητής συνάρτησης ισχύουν : ( ) α + α + + α α α ν ν ν ν ν ν 0 ν ν ± ± ± ν +, αν > 0 αν +, αν < 0, αν > 0, ν: περιττος, α ν + ν > 0, ν:αρτιος αν +, αν < 0, ν: περιττος, αν < 0, ν:αρτιος

3 Υπολογισός όριου συνάρτησης 89. α + α + + α α α ν ν ν ν ν 0 ν ν ν ± β + β β ± 0 β β ± + + αν +, αν ν >, > 0 β αν α, αν ν, 0 ν ν > < β β 0, αν ν < α ν, αν ν β αν, αν ν >, > 0, ν : περιττός β α + ν, αν ν >, > 0, ν : άρτιος β αν α, αν ν, 0, ν : περιττός ν ν + > < β β αν, αν ν >, < 0, ν : άρτιος β 0, αν ν < α ν, αν ν β Παράδειγα Να υπολογίσετε τα επόενα όρια i. ( ) + + ii i. ( ) ( 5 ) 5 ( 5) ii Σχόλιο Για τα όρια ρητών συναρτήσεων στο άπειρο ισχύει ότι : Αν ο βαθός του αριθητή είναι εγαλύτερος απο το βαθό του παρονοαστή τότε το όριο είναι η πεπερασένο ( ± ). Αν ο βαθός του αριθητή είναι ικρότερος απο το βαθό του παρονοαστή τότε το όριο είναι ηδέν.

4 90. Υπολογισός όριου συνάρτησης Αν ο βαθός του αριθητή είναι ίσος ε το βαθό του παρονοαστή τότε το όριο είναι ίσο ε το πηλίκο των συντελεστών των εγιστοβάθιων όρων. Αν f ± ν + τότε f ± 6 Είναι ,διότι : Όριο ρίζας + και f > 0 κοντά στο ± Ο τυπικός τρόπος προσδιορισού του ορίου είναι η εξαγωγή ως κοινού παράγοντα της εγαλύτερης δύναης του. Έτσι για το ( 6 ) παρατηρούε ότι : 6 4 +, οπότε παρουσιάζεται η απροσδιόριστη ορφή ( + ) ( + ) οπότε Είναι και διότι, όταν + είναι > 0, άρα και Παράδειγα im +, 4 im > 0. Να υπολογιστεί το όριο : ( 4 ) Έχουε απροσδιοριστία ( + ) ( + ) και δεν πορούε να εφαρόσουε την ιδιότητα του α- θροίσατος ορίων. Με εξαγωγή ως κοινού παράγοντα του, έχουε : , διότι im + και 4 7 im <

5 Υπολογισός όριου συνάρτησης 9. Παράδειγα Να υπολογίσετε τα επόενα όρια : i. ( 9 ) + + ii. ( 4 ) + + iii. ( 4 ) + + iv. ( 4 ) i. Είναι: , διότι im ( ) + και im > 0 ii. Με εξαγωγή ως κοινού παράγοντα της εγαλύτερης δύναης του έχουε : Παρατηρήστε ότι καταλήξαε σε απροσδιοριστία και εποένως το όριο αυτό δεν υπολογίζεται ε τη έθοδο της εξαγωγής του κοινού παράγοντα που αναφέραε προηγουένως. Για να άρουε την απροσδιοριστία σ αυτή την περίπτωση χρησιοποιούε τη έθοδο της συζυγούς παράστασης. Μετατρέπουε έτσι την απροσδιόριστη ορφή ( ) σε. Είναι ( 4 ) iii. Είναι ( 4 ) ( ) + iv. Είναι ( 4 ) ( )

6 9. Υπολογισός όριου συνάρτησης Όρια ε απόλυτες τιές Παράδειγα 4 Να υπολογίσετε τα επόενα όρια : + i. ( ) ii. ( + 5 ) iii. + 4 i. Σύφωνα ε την ιδιότητα : Aν f ή, τοτε f ± 5 είναι ( + ) και ( ) + + και επειδή ± +, παίρνουε : ii. Δεν πορούε να εφαρόσουε την ιδιότητα της διαφοράς των ορίων αφού προκύπτει η απροσδιόριστη ορφή +. Γι αυτό πρέπει να απαλλαγούε από τα απόλυτα και στη συνέχεια να εφαρόσουε ιδιότητες ορίων. Για να απαλλαγούε απο τα απόλυτα πρέπει να γνωρίζουε το πρόσηο της παράστασης που βρίσκεται έσα σ αυτά. Όταν το όριο της παράστασης που βρίσκεται έσα σε απόλυτο είναι θετικός αριθός ή το + για + τότε η παράσταση θα είναι θετική κοντά στο + ή στο. ( ή στο 0 αν υπολογίζουε όριο σε πραγατικό αριθό) , οπότε + > 0, κοντά στο + και συνεπώς είναι: Είναι: Επίσης ( ) , οπότε < 0, κοντά στο + και συνεπώς είναι: ( ) Άρα iii. Επειδή είναι ( ) ( ), είναι οπότε ( ) και συνεπώς < 0στην περιοχή του +,

7 Υπολογισός όριου συνάρτησης Όρια ε τριγωνοετρικούς αριθούς.είναι ηµ 0 ± διότι, όταν ± τότε 0 οπότε Όοια συν. ± ηµ ηµ y ηµ 0 0. ± y 0 ηµ. Επίσης 0 διότι, ± ηµ ηµ και 0 ± ± ηµ. Ισχύει ηµ διότι, ηµ y ± ηµ ± ± y 0 y ηµ Θυίζουε ότι : και γενικότερα ε * ν Ν είναι: 0 +, ν > ν, ν η 0,ν < + > ν, ν >,περιττός,ν 0,ν < ν ν ν η, ν,άρτιος ± ± ± η η η η η 0 0 ν ν ν και ± ± ± ± 4. Δεν υπάρχουν τα όρια : η και ± συν. ± Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση Να βρείτε το όριο της συνάρτησης f για τις διάφορες τιές του πραγατικού λ, αν και f λ +.

8 94. Υπολογισός όριου συνάρτησης Είναι f λ λ + 4 λ Επειδή ( ) + και 4 λ λ , διακρίνουε τις περιπτώσεις : i. Αν + λ > 0 λ > τότε f ( ) ( + )( +λ ) + ii. Αν λ 0 λ f + +λ + < < τότε iii. Αν + λ 0 λ τότε έχουε απροσδιοριστία 0 ( + ) Για λ - : f 4 ( ) ( ) ( + ) f. 4 Άρα Συνοψίζοντας τα παραπάνω συπεράσατα έχουε : f Άσκηση g, αν λ < +, αν λ >, αν λ 4 Αν f και, να βρείτε το f g Θέτουε u και h f u τότε είναι : ( ) g h f g ( )( )( ) Επειδή ( )( )( )

9 Υπολογισός όριου συνάρτησης 95. ( + 5)( ) ( + 5)( ) προκύπτει : () f u 5 g h u h Άσκηση Να υπολογίσετε το όριο : e Είναι e e e διότι αν 0 < α < : α + και ν +, αν ο ν είναι άρτιος. Άσκηση 4 f Έστω συνάρτηση f: ( 0, + ) Rγια την οποία ισχύουν im και f im ( f ) + 4. Να βρείτε το R ώστε το im. f + + f Πρέπει να εφανίσουε την και την f, διότι είναι τα όνα όρια που γνωρίζουε. Έτσι το όριο γράφεται: f f + + f + im im im + + f ( ) f + + f Άρα

10 96. Υπολογισός όριου συνάρτησης Δ. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια : + + i. + ii. ( ) iii. ( ) iv. ( 9 ) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια : i. ( 9 ) ii. ( ) iii. ( ) Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια : i ii Να υπολογίσετε για τις διάφορες τιές του το f ( ) αν : f µ. (Απ: Είναι f Αν < 5 im f Αν για τη συνάρτηση f ισχύει : f να βρείτε το ( f ). 7 Αν > 5 im f. Αν 5 im f ) + + για κάθε διάφορο απο το ηδέν, 6. Έστω f συνάρτηση ορισένη στο ( 0, + ) και τέτοια ώστε να ισχύουν: f, f 0 και f. Να βρείτε το f f. Απ :

11 Υπολογισός όριου συνάρτησης Αν ισχύει f και ( 5f + 4), να βρείτε το + + f 4 0 f Να βρεθούν τα α, β,γ ώστε :. + + α + β + γ 0. (Απ: α, β 0, γ ) Ε. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ Α. Έστω f ( κ+ ) n n+ n( ) ώστε το im f Β. Αν,, κ. Να προσδιοριστεί ο κ R να είναι πραγατικός αριθός. f im 5 να βρεθεί το f f ( ) f 4 im. (Απ.: κ ) (Απ.:Ισχύει: f ( 4) f ( 4) f ( 8) f ( 7) f ( 9) f ( ) f ( 4) 5. Άρα im 5 ) f f( 8) f( 7) f( 9) f( ) f f

12