παράστασης ενός συνόλου λέγεται «παράσταση του συνόλου µε περιγραφή των στοιχείων του».

Transcript

1 Η θεωρί της Α Λυκείου Ε. ΣΥΝΟΛΑ Τι λέγετι σύνολο; Σύνολο είνι κάθε συλλογή ντικειµένων, που προέρχοντι πό την εµπειρί µς ή τη δινόησή µς, είνι κλά ορισµέν κι δικρίνοντι το έν πό το άλλο. Τ ντικείµεν υτά, που ποτελούν το σύνολο, ονοµάζοντι στοιχεί ή µέλη του συνόλου πράδειγµ: µε Ν συµολίζουµε το σύνολο των φυσικών ριθµών, µε Ζ το σύνολο των κερίων ριθµών, µε Q το σύνολο των ρητών ριθµών κι µε το σύνολο των πργµτικών ριθµών. Τ σύµολ κι Γι ν δηλώσουµε ότι το x είνι στοιχείο του συνόλου Α, γράφουµε x Α κι διάζουµε «το x νήκει στο Α», ενώ γι ν δηλώσουµε ότι το x δεν είνι στοιχείο του συνόλου Α γράφουµε x Α κι διάζουµε «το x δεν νήκει στο Α». Γι πράδειγµ Πράστση συνόλου Γι ν πρστήσουµε έν σύνολο χρησιµοποιούµε συνήθως ένν πό τους πρκάτω τρόπους: ) Ότν δίνοντι όλ τ στοιχεί του κι είνι λίγ σε πλήθος, τότε γράφουµε τ στοιχεί υτά µετξύ δύο γκίστρων, χωρίζοντς τ µε το κόµµ κι λέγετι «πράστση του συνόλου µε νγρφή των στοιχείων του». ) Αν πό έν σύνολο Ω επιλέγουµε εκείν τ στοιχεί του, που έχουν µι ορισµένη ιδιότητ Ι, τότε φτιάχνουµε έν νέο σύνολο που συµολίζετι µε:{x Ω x έχει την ιδιότητ Ι} κι διάζετι «Το σύνολο των x D, όπου x έχει την ιδιότητ Ι». Ο πρπάνω τρόπος πράστσης ενός συνόλου λέγετι «πράστση του συνόλου µε περιγρφή των στοιχείων του». Ίσ σύνολ ύο σύνολ Α κι Β λέγοντι ίσ, ότν έχουν τ ίδι κριώς στοιχεί. Με άλλ λόγι: «ύο σύνολ Α κι Β λέγοντι ίσ, ότν κάθε στοιχείο του Α είνι κι στοιχείο του Β κι ντιστρόφως κάθε στοιχείο του Β είνι κι στοιχείο του Α». Στην περίπτωση υτή γράφουµε Α = Β. Υποσύνολ συνόλου Έν σύνολο Α λέγετι υποσύνολο ενός συνόλου Β, ότν κάθε στοιχείο του Α είνι κι στοιχείο του Β. Στην περίπτωση υτή γράφουµε Α Β. Άµεσες συνέπειες του ορισµού είνι οι: i) Α Α, γι κάθε σύνολο Α.

2 ii) Αν Α Β κι Β Γ, τότε Α Γ. iii) Αν Α Β κι Β Α, τότε Α = Β. Το κενό σύνολο Κενό σύνολο είνι το σύνολο που δεν έχει στοιχεί κι συµολίζετι µε ή { }. ιγράµµτ Venn Μι εποπτική προυσίση των συνόλων κι των µετξύ τους σχέσεων γίνετι µε τ διγράµµτ Venn. Το σικό σύνολο συµολίζετι µε το εσωτερικό ενός ορθογωνίου, ενώ κάθε υποσύνολο ενός σικού συνόλου πριστάνετι µε το εσωτερικό µις κλειστής κµπύλης που περιέχετι στο εσωτερικό του ορθογωνίου. Αν Α Β, τότε το Α πριστάνετι µε το εσωτερικό µις κλειστής κµπύλης που περιέχετι στο εσωτερικό της κλειστής κµπύλης που πριστάνει το Β. Πράξεις µε σύνολ Ένωση δύο υποσυνόλων Α, Β ενός σικού συνόλου Ω λέγετι το σύνολο των στοιχείων του Ω που νήκουν τουλάχιστον σε έν πό τ σύνολ Α κι Β κι συµολίζετι µε Α Β. ηλδή είνι: Α Β = {x Ω x Α κι x Β} Τοµή δύο υποσυνόλων Α, Β ενός σικού συνόλου Ω λέγετι το σύνολο των στοιχείων του Ω που νήκουν κι στ δύο σύνολ Α, Β κι συµολίζετι µε Α Β

3 ηλδή είνι: Α Β = {x Ω x Α κι x Β} Στην περίπτωση που δύο σύνολ Α κι Β δεν έχουν κοινά στοιχεί, δηλδή ότν Α Β =, τ δύο σύνολ λέγοντι ξέν µετξύ τους. Συµπλήρωµ ενός υποσυνόλου Α ενός σικού συνόλου Ω λέγετι το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν νήκουν στο Α κι συµολίζετι µε Α. ηλδή είνι: Α = {x Ω x Α} 1.ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Πείρµ τύχης (random experiment) ονοµάζετι το πείρµ του οποίου δεν µπορούµε εκ των προτέρων ν προλέψουµε το ποτέλεσµ, µολονότι επνλµάνετι (φινοµενικά τουλάχιστον) κάτω πό τις ίδιες συνθήκες. ειγµτικός ΧώροςΤο σύνολο των δυντών ποτελεσµάτων λέγετι δειγµτικός χώρος (sample space) κι συµολίζετι συνήθως µε το γράµµ Ω. Αν δηλδήω 1,ω,...,ω κ είνι τ δυντά ποτελέσµτ ενός πειράµτος τύχης, τότε ο δειγµτικός χώρος του πειράµτος θ είνι το σύνολο:ω={ω 1,ω,...,ω κ }. Ενδεχόµεν Το σύνολο που έχει ως στοιχεί έν ή περισσότερ ποτελέσµτ ενός πειράµτος τύχης λέγετιενδεχόµενο (event) ή γεγονός. Ο ίδιος ο δειγµτικός χώρος Ω ενός πειράµτος θεωρείτι ότι είνι ενδεχόµενο, το οποίο µάλιστ πργµτοποιείτι πάντοτε, φού όποιο κι ν είνι το ποτέλεσµ του πειράµτος θ νήκει στοω. Γι υτό το Ω λέγετι έιο ενδεχόµενο. εχόµστε κόµ ως ενδεχόµενο κι το κενό σύνολο που δεν πργµτοποιείτι σε κµιά εκτέλεση του πειράµτος τύχης. Γι υτό λέµε ότι το είνι το δύντο ενδεχόµενο. Το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχοµένου Α θ το συµολίζουµε µε N(Α) Πράξεις µε Ενδεχόµεν ν Α κι Β είνι δύο ενδεχόµεν, έχουµε: Το ενδεχόµενο A B, που διάζετι Α τοµή Β ή Α κι Β κι πργµτοποιείτι, ότν πργµτοποιούντι συγχρόνως τ Α κι Β.

4 Το ενδεχόµενο Α Β, που διάζετι Α ένωση Β ή Α ή Β κι πργµτοποιείτι, ότν πργµτοποιείτι έν τουλάχιστον πό τ Α, Β. Το ενδεχόµενο A', που διάζετι όχι Α ή συµπληρωµτικό του Α κι πργµτοποιείτι, ότν δεν πργµτοποιείτι το Α. Το A' λέγετι κι ντίθετο του Α. Το ενδεχόµενο A - B, που διάζετι διφορά του Β πό το Α κι πργµτοποιείτι, ότν πργµτοποιείτι το Α λλά όχι το Β. Είνι εύκολο ν δούµε ότι A-B = A B'. ιάφορες σχέσεις γι ενδεχόµεν Α κι Β διτυπωµένες στην κοινή γλώσσ, κι διτυπωµένες στη γλώσσ των συνόλων. Το ενδεχόµενο Α πργµτοποιείτι Συµολικά ω Α

5 Το ενδεχόµενο Α δεν πργµτοποιείτι Συµολικά ω Α' (ή ω Α) Έν τουλάχιστον πό τ Α κι Β πργµτοποιείτι Συµολικά ω A B Πργµτοποιούντι µφότερ τ Α κι Β Συµολικά ω A B εν πργµτοποιείτι κνέν πό τ Α κι Β Συµολικά ω (Α Β)' Πργµτοποιείτι µόνο το Α Συµολικά ω A - B (ή ω A B ') Η πργµτοποίηση του Α συνεπάγετι την πργµτοποίηση του Β Συµολικά Α B Ασυµίστ Ενδεχόµεν ύο ενδεχόµεν Α κι Β λέγοντι συµίστ, ότν A B=. ύο συµίστ ενδεχόµεν λέγοντι επίσης ξέν µετξύ τους ή µοιίως ποκλειόµεν. 1. ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Κλσικός Ορισµός Πιθνότητς σε έν πείρµ µε ισοπίθν στοιχειώδη ποτελέσµτ ορίζουµε ως πιθνότητ του ενδεχοµένου Α τον ριθµό: Από τον προηγούµενο ορισµό προκύπτει άµεσ ότι: 3. Γι κάθε ενδεχόµενο Α ισχύει 0 P(A) 1, φού το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχοµένου είνι ίσο ή µικρότερο πό το πλήθος των στοιχείων του δειγµτικού χώρου. Κνόνες Λογισµού των Πιθνοτήτων

6 1. Γι οποιδήποτε συµίστ µετξύ τους ενδεχόµεν Α κι Β ισχύει: P(A B)=P(A)P(B) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αν N(A)=κ κι N(Β)=λ, τότε το Α Β έχει κλ στοιχεί, γιτί λλιώς τ Α κι Β δε θ ήτν συµίστ. ηλδή, έχουµε N(A Β)=κλ= N(A)N(Β). Ν(A U Β) Ν(Α) Ν(Β) Ν(Α) Ν(Β) Εποµένως: Ρ (Α U Β) = = = = Ρ(Α) Ρ(Β) Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω) Η ιδιότητ υτή είνι γνωστή ως πλός προσθετικός νόµος (simply additive law) κι ισχύει κι γι περισσότερ πό δύο ενδεχόµεν. Έτσι, ν τ ενδεχόµεν Α, Β κι Γ είνι νά δύο συµίστ θ έχουµε P(A B Γ)=P(A)P(B)P(Γ).. Γι δύο συµπληρωµτικά ενδεχόµεν Α κι Α' ισχύει: P(A')=1 - P(A) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Επειδή A A'=, δηλδή τ Α κι A' είνι συµίστ, έχουµε διδοχικά, σύµφων µε τον πλό προσθετικό νόµο:p(a A')=P(A)P(A') άρ P(Ω)=P(A)P(A') άρ 1=P(A)P(A'). Οπότε P(A')=1-P(A). 3. Γι δύο ενδεχόµεν Α κι Β ενός δειγµτικού χώρου Ω ισχύει: P(A B)=P(A)P(B)-P(A B)

7 ΑΠΟ ΕΙΞΗ Γι δυο ενδεχόµεν Α κι Β έχουµε N(A B)=N(A)N(B)-N(A B), (1) φού στο άθροισµ N(A)N(B) το πλήθος των στοιχείων του A B υπολογίζετι δυο φορές. Αν διιρέσουµε τ µέλη της (1) µε N(Ω) έχουµε: κι εποµένωςp(a B)=P(A)P(B)-P(A B) Η ιδιότητ υτή είνι γνωστή ως προσθετικός νόµος (additive law). 4. Αν A B, τότε P(A) P(B) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Επειδή A B έχουµε διδοχικά: N(A) N(B) N(A) N(Ω) N(Β) N(Ω) Ρ(Α) Ρ(Β) 5. Γι δύο ενδεχόµεν Α κι Β ενός δειγµτικού χώρου Ω ισχύει:p(a-b)=p(a)-p(a B) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Επειδή τ ενδεχόµεν A-B κι A B είνι συµίστ κι

8 (A-B) (A B)=A, έχουµε:p(a)=p(a-b)p(a B) Άρ P(A-B)=P(A)-P(A B).ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ οι πργµτικοί ριθµοί ποτελούντι πό τους ρητούς κι τουςάρρητους ριθµούς κι πριστάνοντι µε τ σηµεί ενός άξον, του άξον των πργµτικών ριθµών. Θυµίζουµε ότι: Κάθε ρητός ριθµός έχει (ή µπορεί ν πάρει) κλσµτική µορφή, δηλδή τη µορφή, όπου, κέριοι, µε 0. Κάθε ρητός ριθµός µπορεί ν γρφεί ως δεκδικός ή περιοδικός δεκδικός κι, ντιστρόφως, κάθε δεκδικός ή περιοδικός δεκδικός µπορεί ν πάρει κλσµτική µορφή. Μπορούµε δηλδή ν πούµε ότι οι ρητοί ριθµοί ποτελούντι πό τους δεκδικούς κι τους περιοδικούς δεκδικούς ριθµούς. Οι ριθµοί που δεν µπορούν ν γρφούν µε τη µορφή, όπου, κέριοι, µε 0 κι δηλ. ούτε ως δεκδικοί ούτε ως περιοδικοί δεκδικοί λέγοντι άρρητοι ριθµοί. Πράξεις Στους πργµτικούς ριθµούς ορίστηκν οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισµού κι, µε τη οήθειά τους, η φίρεση κι η διίρεση. Γι την πρόσθεση κι τον πολλπλσισµό ισχύουν οι ιδιότητες που νφέροντι στον επόµενο πίνκ, οι οποίες κι ποτελούν τη άση του λγερικού λογισµού. Ιδιότητ Πρόσθεση Πολλπλσισµός Αντιµετθετική = = Προσετιριστική ( γ) = ( ) γ (γ) = ()γ Ουδέτερο Στοιχείο 0 = 1 = Αντίθετος/Αντίστροφος Αριθµού (-) = 0 = 1, 0 Επιµεριστική ( γ) = γ Η φίρεση κι η διίρεση ορίζοντι µε τη οήθει της πρόσθεσης κι του πολλπλσισµού ντιστοίχως ως εξής: - = (-) Γι τις τέσσερις πράξεις κι την ισότητ ισχύουν κι οι κόλουθες ιδιότητες που είνι γνωστές πό το Γυµνάσιο:

9 1. ( = κι γ = δ ) γ = δ δηλδή, δυο ισότητες µπορούµε ν τις προσθέσουµε κτά µέλη.. ( = κι γ = δ) γ = δ δηλδή, δυο ισότητες µπορούµε ν τις πολλπλσιάσουµε κτά µέλη. 3. = γ = γ δηλδή, µπορούµε κι στ δυο µέλη µις ισότητς ν προσθέσουµε ή ν φιρέσουµε τον ίδιο ριθµό. 4. Αν γ 0, τότε: = γ = γ δηλδή, µπορούµε κι τ δυο µέλη µις ισότητς ν τ πολλπλσιάσουµε ή ν τ διιρέσουµε µε τον ίδιο µη µηδενικό ριθµό. 5. = 0 = 0 ή = 0 δηλδή, το γινόµενο δύο πργµτικών ριθµών είνι ίσο µε το µηδέν, ν κι µόνο ν ένς τουλάχιστον πό τους ριθµούς είνι ίσος µε το µηδέν. Άµεση συνέπει της ιδιότητς υτής είνι η κόλουθη: 0 0 κι 0 ΣΧΟΛΙΟ Ότν πό την ισότητ γ = γ ή πό την ισότητ γ = γ µετίνουµε στην ισότητ =, τότε λέµε ότι διγράφουµε τον ίδιο προσθετέο ή τον ίδιο πράγοντ ντιστοίχως. Όµως στην περίπτωση που διγράφουµε τον ίδιο πράγοντ πρέπει ν ελέγχουµε µήπως ο πράγοντς υτός είνι ίσος µε µηδέν, οπότε ενδέχετι ν οδηγηθούµε σε λάθος, όπως συµίνει στο κόλουθο πράδειγµ. Έστω = 1. Τότε έχουµε διδοχικά: = 1 = 1 = - 1 = -1 ( 1)( - 1) = ( - 1) 1 1 = 1 = 0 Όµως έχουµε κι = 1, οπότε το 1 θ είνι ίσο µε το 0. Οδηγηθήκµε στο λνθσµένο υτό συµπέρσµ, διότι στην ισότητ ( 1)( - 1) = ( - 1) 1 διγράψµε τον πράγοντ ( - 1) ο οποίος, λόγω της υπόθεσης, ήτν ίσος µε µηδέν. υνάµεις Αν ο είνι πργµτικός ριθµός κι ο ν φυσικός, τότε ορίζουµε : ν =, γι ν>1 κι 1 =, γι ν = 1. ν πράγοντες

10 Αν επιπλέον είνι 0, τότε ορίζουµε : 0 ν 1 = 1 κι = ν Αξιοσηµείωτες τυτότητες ( ) = ( - ) = - - = ( ) ( - ) ( ) 3 = ( - ) 3 = =( ) ( - ) 3-3 =( - ) ( ) ( γ ) = γ - γ γ Μέθοδοι πόδειξης Α) Ευθεί Απόδειξη 1 o ) Έστω ότι γι τρεις πργµτικούς ριθµούς, κι γ ισχύει η συνθήκη γ = 0 κι θέλουµε ν ποδείξουµε ότι 3 3 γ 3 = 3γ, δηλδή έστω ότι θέλουµε ν ποδείξουµε τη συνεπγωγή:«αν γ = 0, τότε 3 3 γ 3 = 3γ». Επειδή γ = 0, είνι = -( γ), οπότε θ έχουµε: 3 3 γ 3 = [-( γ)] 3 3 γ 3 = -( γ ) 3 3 γ 3 = γ - 3γ - γ 3 3 γ 3 = - 3 o ) Γι ν ποδείξουµε ότι ένς ισχυρισµός είνι ληθής, µερικές φορές µε διδοχικούς µετσχηµτισµούς κτλήγουµε σε ένν λογικά ισοδύνµο ισχυρισµό που είνι ληθής. Έτσι συµπερίνουµε ότι κι ο ρχικός ισχυρισµός είνι ληθής. Γι πράδειγµ, έστω ότι γι τους πργµτικούς ριθµούς,, x, y θέλουµε ν ποδείξουµε την τυτότητ:( )(x y ) = (x y) (y - x) Έχουµε διδοχικά: ( )( x y ) = (x y) (y - x) x y x y = x xy y y - xy x x y x y = x y x y, που ισχύει. 3 ο ) Γι ν ποδείξουµε ότι ένς ισχυρισµός δεν είνι πάντ ληθής, ρκεί ν ρούµε έν πράδειγµ γι το οποίο ο συγκεκριµένος ισχυρισµός δεν ισχύει ή, όπως λέµε, ρκεί ν ρούµε ένντιπράδειγµ. Έτσι ο ισχυρισµός «γι κάθε >0 ισχύει >» δεν είνι ληθής, φού 1 1 γι = έχουµε =, δηλδή <. 4 Β) Μέθοδος της Απγωγής σε Άτοπο Έστω ότι θέλουµε ν ποδείξουµε τον ισχυρισµό: «Αν το τετράγωνο ενός κερίου ριθµού είνι άρτιος, τότε κι ο ριθµός υτός είνι άρτιος», δηλδή «Αν ο είνι άρτιος ριθµός, τότε κι ο είνι άρτιος ριθµός» Γι την πόδειξη του ισχυρισµού υτού σκεπτόµστε ως εξής: Έστω ότι ο δεν είνι άρτιος. Τότε ο θ είνι περιττός, δηλδή θ έχει τη µορφή = κ 1, όπου κ κέριος, οπότε θ έχουµε: = ( κ 1) = 4κ 4κ 1 =(κ κ) 1 = λ 1 (όπου λ = κ κ).

11 ηλδή = λ 1, λ Ζ, που σηµίνει ότι ο είνι περιττός. Αυτό όµως έρχετι σε ντίθεση µε την υπόθεση ότι ο είνι άρτιος. Εποµένως, η πρδοχή ότι δεν είνι άρτιος είνι λνθσµένη. Άρ ο είνι άρτιος. Στην πρπάνω πόδειξη υποθέσµε ότι δεν ισχύει υτό που θέλµε ν ποδείξουµε κι χρησιµοποιώντς ληθείς προτάσεις φθάσµε σε έν συµπέρσµ που έρχετι σε ντίθεση µε υτό που γνωρίζουµε ότι ισχύει. Οδηγηθήκµε όπως λέµε σε άτοπο.. ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Έννοι της διάτξης ΟΡΙΣΜΟΣ Ένς ριθµός λέµε ότι είνι µεγλύτερος πό ένν ριθµό, κι γράφουµε >, ότν η διφορά - είνι θετικός ριθµός. Στην περίπτωση υτή λέµε επίσης ότι ο είνι µικρότερος του κι γράφουµε < Από τον πρπάνω ορισµό προκύπτει µέσως ότι: Κάθε θετικός ριθµός είνι µεγλύτερος πό το µηδέν. Κάθε ρνητικός ριθµός είνι µικρότερος πό το µηδέν. Έτσι ο ρχικός ορισµός γράφετι ισοδύνµ: > - > 0 Γεωµετρικά η νισότητ > σηµίνει ότι, πάνω στον άξον των πργµτικών ο ριθµός είνι δεξιότερ πό τον. Αν γι τους ριθµούς κι ισχύει > ή =, τότε γράφουµε κι διάζουµε: «µεγλύτερος ή ίσος του». Ιδιότητες των νισοτήτων 1. (>0 κι >0) > 0 κι ( < 0 κι < 0) < 0., οµόσηµοι > 0 > 0 > 0 κι, ετερόσηµοι < 0 < 0

12 3. 0, γι κάθε (Η ισότητ ισχύει µόνο ότν = 0) Άρ ν = 0 = 0 κι = 0 κι ν 0 0 ή 0 4. ( > κι > γ) > γ 5. > γ > γ 6. Αν γ > 0, τότε: > γ > γ 7. Αν γ < 0, τότε: > γ < γ 8. ( > κι γ > δ ) γ > δ 9. Γι θετικούς ριθµούς,, γ, δ ισχύει η συνεπγωγή: ( > κι γ > δ ) γ > δ 10. Γενικότερ ( 1 > 1 κι > κι κι ν > ν ) 1... ν > 1... ν 11. Αν, επιπλέον, τ µέλη των νισοτήτων είνι θετικοί ριθµοί, τότε: ( 1 > 1 κι > κι κι ν > ν ) 1... ν > 1... ν (*) 1. Γι θετικούς ριθµούς, κι θετικό κέριο ν ισχύει η ισοδυνµί: > ν > ν ΑΠΟ ΕΙΞΗ Έστω >. Τότε, πό τη (*), γι 1 = =... = ν = > 0 κι 1 = =... = ν = > 0,προκύπτει ότι: ν > ν. Γι την πόδειξη του ντιστρόφου θ χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο της πγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι ν > ν κι. Τότε:ν ήτν =, πό τον ορισµό της ισότητς θ είχµε ν = ν (άτοπο), ενώ ν ήτν <, θ είχµε ν < ν (άτοπο). Άρ, >. 13. Γι θετικούς ριθµούς, κι θετικό κέριο ν ισχύει η ισοδυνµί: = ν = ν ΑΠΟ ΕΙΞΗ Έστω =. Τότε, πό τον ορισµό της ισότητς προκύπτει, όπως είπµε κι προηγουµένως, ότι ν = ν Γι την πόδειξη του ντιστρόφου θ χρησιµοποιήσουµε τη µέθοδο της πγωγής σε άτοπο. Έστω λοιπόν ότι ν = ν κι. Τότε: ν ήτν >, λόγω της (4), θ είχµε ν > ν (άτοπο), ενώ ν ήτν <, λόγω της (4), θ είχµε ν < ν (άτοπο). Άρ, =. ιστήµτ ΙΑΣΤΗΜΑ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ x [, ] x [, )

13 < x (, ] < x (, ) x [, ) x > (, ) x (-, ] x < (-, ).3 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Η πόλυτη τιµή ενός πργµτικού ριθµού συµολίζετι µε κι ορίζετι πό τον τύπο: ηλδή: Η πόλυτη τιµή θετικού ριθµού είνι ο ίδιος ο ριθµός. Η πόλυτη τιµή ρνητικού ριθµού είνι ο ντίθετός του. 0 = 0 Ιδιότητες των πόλυτων τιµών 1. = - 0. κι - 3. Αν θ>0, τότε: x = θ x = θ ή x = -θ 4. x = x = ή x = - 5. = 6. = ΑΠΟ ΕΙΞΗ

14 Επειδή κι τ δύο µέλη της ισότητς = είνι µη ρνητικοί ριθµοί, έχουµε διδοχικά: = = ( ) = ( ) =,που ισχύει. 7. = 8. ΑΠΟ ΕΙΞΗ Επειδή κι τ δύο µέλη της νισότητς < είνι µη ρνητικοί ριθµοί, έχουµε διδοχικά: ( ) ( ), που ισχύει. Είνι φνερό ότι η ισότητ = ισχύει ν κι µόνο ν 0, δηλδή ν κι µόνο ν οι ριθµοί κι είνι οµόσηµοι ή ένς τουλάχιστον πό υτούς είνι ίσος µε µηδέν. ΣΧΟΛΙΟ Η ισότητ = ισχύει κι γι περισσότερους πράγοντες. Συγκεκριµέν: 1... ν = 1... ν Στην ειδική µάλιστ περίπτωση που είνι 1 = =... = ν =, έχουµε: ν = ν Η νισότητ ισχύει κι γι περισσότερους προσθετέους. Συγκεκριµέν: 1... ν 1... ν Απόστση δυο ριθµών Aς θεωρήσουµε δυο ριθµούς κι που πριστάνοντι πάνω στον άξον µε τ σηµεί Α κι Β ντιστοίχως. Το µήκος του τµήµτος ΑΒ λέγετι πόστση των ριθµών κι, συµολίζετι µε d(,) κι είνι ίση µε -. Είνι δηλδή: d (, ) = - Προφνώς ισχύει d (, ) = d (, ). Στην περίπτωση µάλιστ που είνι <, τότε η πόστση των κι είνι ίση µε - κι λέγετι µήκος του διστήµτος [, ]. Μέσον τµήµτος Ας θεωρήσουµε τώρ έν διάστηµ [, ] κι ς ονοµάσουµε Α κι Β τ σηµεί που πριστάνουν στον άξον τ άκρ κι ντιστοίχως.

15 Αν Μ (x 0 ) είνι το µέσον του τµήµτος AB, τότε έχουµε (MA) = (MB) d(x 0, ) = d(x 0, ) x 0 - = x 0 - x 0 - = - x 0, (φού < x 0 <) x 0 = x 0 = Ο ριθµός που ντιστοιχεί στο µέσον Μ του τµήµτος ΑΒ λέγετι κέντρο του διστήµτος [, ] ο ριθµός ρ = λέγετι κτίν του [, ]. Ως µήκος, κέντρο κι κτίν των διστηµάτων (, ), [, ) κι (, ] ορίζουµε το µήκος, το κέντρο κι την κτίν του διστήµτος [, ]. Έστω τώρ ότι θέλουµε ν ρούµε τους πργµτικούς ριθµούς x γι τους οποίους ισχύει x - 3 <. Από τον ορισµό της πόστσης έχουµε: x - 3 < d (x,3)< 3 - <x<3 x (3 -, 3 ) Γενικά: Γι x 0 κι ρ>0, ισχύει: x - x 0 <ρ x (x 0 - ρ, x 0 ρ) x 0 - ρ<x<x 0 ρ ηλδή, οι ριθµοί x που ικνοποιούν τη σχέση x -x 0 <ρ είνι τ σηµεί του διστήµτος (x 0 - ρ, x 0 ρ) που έχει κέντρο το x 0 κι κτίν ρ. Στην ειδική περίπτωση που είνι x 0 = 0, έχουµε: x <ρ x (-ρ, ρ) -ρ<x<ρ.

16 Γι πράδειγµ x < x (-, ) -<x<. Έστω, τώρ, ότι θέλουµε ν ρούµε τους πργµτικούς ριθµούς x γι τους οποίους ισχύει x - 3 >. Από τον ορισµό της πόστσης έχουµε: x - 3 > d (x,3)> x < 3 - ή x > 3 x (-, 3 - ) (3, ). Γενικά:Γι x 0 κι ρ>0,ισχύει: x - x 0 <ρ x (-, x 0 - ρ) (x 0 ρ, ) x<x 0 - ρ ή x>x 0 ρ ηλδή οι ριθµοί x που ικνοποιούν τη σχέση x - x 0 >ρ ντιστοιχούν σε σηµεί Μ(x) του άξον x x που πέχουν πό το σηµείο Κ(x 0 ) πόστση µεγλύτερη του ρ. Στην ειδική περίπτωση που είνι x 0 = 0, έχουµε: x >ρ x<-ρ ή x>ρ Γι πράδειγµ: x > x<- ή x>..4 ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Τετργωνική ρίζ µη ρνητικού ριθµού ΟΡΙΣΜΟΣ H τετργωνική ρίζ ενός µη ρνητικού ριθµού συµολίζετι µε κι είνι ο µη ρνητικός ριθµός που, ότν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον. Άρ ν >0, η πριστάνει τη µη ρνητική λύση της εξίσωσης x =. Ιδιότητες

17 ν-οστή ρίζ µη ρνητικού ριθµού ΟΡΙΣΜΟΣ Η ν-οστή ρίζ ενός µη ρνητικού ριθµού συµολίζετι µε ριθµός(1) που, ότν υψωθεί στην ν, δίνει τον. κι είνι ο µη ρνητικός Ορίζουµε Άρ ν 0, τότε η πριστάνει τη µη ρνητική λύση της εξίσωσης x ν =. Ιδιότητες των ριζών 1. Αν 0, τότε: ( ) ν ν ν ν = κι = ν ν. Αν 0 κι ν άρτιος, τότε: = Αν, 0, τότε: 3. ν ν = ν ΑΠΟ ΕΙΞΗ Έχουµε: ν ν ν ν = ν ν ν = ν ν 4. = ν κι µε 0 ν µ ν µ ν 5. = ΑΠΟ ΕΙΞΗ Έχουµε: ν ν ( ) ( ) ( ν ) ( ν ) = = ( ν ν ) µ µν µν µ ν µ ν µ µ ν µ ν ν = = = = ν που ισχύει που ισχύει. 6. νρ µρ ν µ = ΑΠΟ ΕΙΞΗ Έχουµε: 7. γι µη ρνητικούς ριθµούς 1,,..., κ ισχύει: 8. Στην ειδική µάλιστ περίπτωση που είνι 1 = =... = κ = >0, ισχύει: 9. γι, 0 έχουµε υνάµεις µε ρητό εκθέτη ΟΡΙΣΜΟΣ Αν >0, µ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουµε: Με τη οήθει των ιδιοτήτων των ριζών ποδεικνύετι ότι οι ιδιότητες των δυνάµεων µε κέριο εκθέτη ισχύουν κι γι δυνάµεις µε ρητό εκθέτη. 3.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ

18 Η Εξίσωση x = 0 Α) x = 0 x - = - x = - ικρίνουµε τώρ τις περιπτώσεις: Αν 0 τότε: x = - Άρ, ν 0 η εξίσωση έχει κριώς µί λύση, την. Αν = 0, τότε η εξίσωση x = - γίνετι 0x = -, η οποί: i. ν είνι 0 δεν έχει λύση κι γι υτό λέµε ότι είνι δύντη, ενώ ii. ν είνι = 0 έχει τη µορφή 0x = 0 κι ληθεύει γι κάθε πργµτικό ριθµό x δηλδή είνι τυτότητ. Η λύση της εξίσωσης x = 0 κι γενικά κάθε εξίσωσης λέγετι κι ρίζ υτής. Β) Αν οι συντελεστές κι της εξίσωσης x = 0 εκφράζοντι µε τη οήθει γρµµάτων τότε τ γράµµτ υτά λέγοντι πράµετροι, η εξίσωση λέγετι πρµετρική κι η εργσί που κάνουµε γι την εύρεση του πλήθους των ριζών της λέγετι διερεύνηση. Γι πράδειγµ η εξίσωση (λ - 1)x - λ 1 = 0, λ έχει πράµετρο το λ κι γράφετι ισοδύνµ (λ - 1)x - λ 1 = 0 (λ - 1)x = λ 1 (λ 1)(λ - 1)x = λ 1 Εποµένως Αν λ -1 κι λ 1, η εξίσωση έχει µονδική λύση, την Αν λ = -1, η εξίσωση γίνετι 0x = - κι είνι δύντη. Αν λ = 1, η εξίσωση γίνετι 0x = 0 κι είνι τυτότητ. 3.1 Εξισώσεις που νάγοντι σε εξισώσεις 1ου θµού Με πργοντοποίηση µορφής ( 1 χ 1 ) ( χ ) ( 3 χ 3 ) ( ν χ ν ) =0 οπότε ( 1 χ 1 ) =0 ή ( χ ) =0 ή ( 3 χ 3 ) =0 ή ή ( ν χ ν ) =0 Κλσµτικές Με πόλυτες τιµές της µορφής f(x) = g(x) Οπότε λύνουµε τις f(x) = g(x) ή f(x) = - g(x) κι της µορφής f(x) = g(x) Οπότε µε g(x) 0 συνληθεύουµε µε τις f(x) = g(x) ή f(x) = - g(x) 3. Η ΕΞΙΣΩΣΗ x ν = Η εξίσωση x ν =, µε >0 κι ν περιττό φυσικό ριθµό, έχει κριώς µι λύση την ν Η εξίσωση x ν =, µε <0 κι ν περιττό φυσικό ριθµό, έχει κριώς µι λύση την - ν Η εξίσωση x ν =, µε >0 κι ν άρτιο φυσικό ριθµό, έχει κριώς δύο λύσεις τις

19 ν κι - ν Η εξίσωση x ν =, µε <0 κι ν άρτιο φυσικό ριθµό, είνι δύντη Αν ο ν περιττός τότε η εξίσωση x ν = ν έχει µονδική λύση, την x = Αν ο ν άρτιος τότε η εξίσωση x ν = ν έχει δύο λύσεις, τις x 1 = κι x = ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση x x γ = 0, 0 (1) Έχουµε: διιρούµε µε που είνι 0 χ χ γ = 0 χ χ χ χ = 4 γ 4 χ γ χ = 0 χ 4γ = 4 χ = γ χ χ Αν θέσουµε = - 4γ, τότε η τελευτί εξίσωση γίνετι: χ = () 4 ικρίνουµε τώρ τις εξής περιπτώσεις: = γ Αν > 0, τότε έχουµε: δηλδή Εποµένως η εξίσωση (), άρ κι η ισοδύνµή της (1), έχει δύο λύσεις άνισες τις: Γι συντοµί οι λύσεις υτές γράφοντι. Αν = 0, τότε η εξίσωση () γράφετι: χ = 0 χ χ = 0 χ = 0 ή χ = 0 χ = ή χ = Στην περίπτωση υτή λέµε ότι η εξίσωση έχει διπλή ρίζ την χ = Αν <0, τότε η εξίσωση (), άρ κι η ισοδύνµή της (1), δεν έχει πργµτικές ρίζες, δηλδή είνι δύντη στο. Η λγερική πράστση = - 4γ, πό την τιµή της οποίς εξρτάτι το πλήθος των ριζών της εξίσωσης x x γ = 0, 0, ονοµάζετι δικρίνουσ υτής. Τ πρπάνω συµπεράσµτ συνοψίζοντι στον κόλουθο πίνκ: = - 4γ Η εξίσωση x x γ = 0, 0

20 > 0 Έχει δύο ρίζες άνισες τις = 0 Έχει µι διπλή ρίζ τη < 0 Είνι δύντη στο. τύποι Vieta Αν µε S συµολίσουµε το άθροισµ x 1 x κι µε P το γινόµενο x 1 x, τότε έχουµε τους τύπους: Η εξίσωση x x γ = 0, µε την οήθει των τύπων του Vieta, µετσχηµτίζετι ως εξής: διιρούµε µε που είνι 0 χ χ γ = 0 χ χ = 0 χ (χ1 χ )χ χ1χ = 0 χ Sχ P = 0 Η τελευτί µορφή της εξίσωσης x x γ = 0 µς δίνει τη δυντότητ ν την κτσκευάσουµε, ότν γνωρίζουµε το άθροισµ κι το γινόµενο των ριζών της. Εξισώσεις που νάγοντι σε εξισώσεις ου θµού Μορφής (f(χ)) f (χ) γ=0 µε 0 που γίνετι f (χ) f (χ) γ=0 δευτέρου θµού µε άγνωστο κτρχή το f (χ) Κλσµτικές Μορφής (f(x)) (f(x)) γ = 0 δευτέρου θµού µε άγνωστο κτρχή το f(x) ιτετράγωνες µορφής (f(x)) ν (f(x)) ν γ = 0 δευτέρου θµού µε άγνωστο κτρχή το (f(x)) ν 4ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ου ΒΑΘΜΟΥ Οι νισώσεις: x >0 κι x <0 γ x > 0 x - >- x >- ικρίνουµε τώρ τις εξής περιπτώσεις: χ Αν >0, τότε: χ > > χ > χ Αν <0, τότε: χ > < χ < Προσοχή λλάζει η φορά Αν = 0, τότε η νίσωση γίνετι 0x>-, η οποί

21 ληθεύει γι κάθε x, ν είνι >0, είνι δύντη, ν είνι <0. Ανισώσεις µε πόλυτες τιµές µε τη οήθει της ιδιότητς x < ρ -ρ < x < ρ ή της x - x ο <ρ x ο - ρ<x<x ο ρ µε τη οήθει της ιδιότητς x > ρ x < -ρ ή x > ρ 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Μορφές τριωνύµου Η πράστση x x γ, 0 λέγετι τριώνυµο ου θµού ή, πιο πλά, τριώνυµο. Η δικρίνουσ της ντίστοιχης εξίσωσης x x γ = 0 λέγετι κι δικρίνουσ του τριωνύµου. Οι ρίζες της εξίσωσης x x γ = 0, δηλδή οι ονοµάζοντι κι ρίζες του τριωνύµου. Το τριώνυµο x x γ, 0 µετσχηµτίζετι ως εξής: = = = 4 4γ χ 4 γ 4 χ χ ) γ χ (χ γ χ χ Εποµένως: = 4 χ γ χ χ (1) ικρίνουµε τώρ τις εξής περιπτώσεις: >0. Τότε ισχύει, οπότε έχουµε: = = = = χ χ χ χ χ 4 χ γ χ χ Εποµένως: x x γ = (x - x 1 )(x - x ), όπου x 1, x οι ρίζες του τριωνύµου. Άρ, ότν >0, τότε το τριώνυµο µεττρέπετι σε γινόµενο του επί δύο πρωτοάθµιους πράγοντες. = 0. Τότε πό την ισότητ (1) έχουµε: χ γ χ χ = Άρ, ότν = 0, τότε το τριώνυµο µεττρέπετι σε γινόµενο του επί έν τέλειο τετράγωνο. <0. Τότε ισχύει = -, οπότε έχουµε: = 4 χ γ χ χ

22 Επειδή γι κάθε x, η πράστση µέσ στην γκύλη είνι θετική, το τριώνυµο δεν νλύετι σε γινόµενο πρωτοάθµιων πργόντων. Πρόσηµο των τιµών του τριωνύµου Γι ν µελετήσουµε το πρόσηµο των τιµών του τριωνύµου x x γ, 0, θ χρησιµοποιήσουµε τις µορφές του νάλογ µε τη δικρίνουσ. Αν >0, τότε, όπως είδµε προηγουµένως, ισχύει: x x γ = (x - x 1 )(x - x ), όπου x 1, x οι ρίζες του τριωνύµου Υποθέτουµε ότι x 1 <x κι τοποθετούµε τις ρίζες σε ένν άξον. Πρτηρούµε ότι: Αν x < x 1 < x (Σχήµ), τότε x - x 1 < 0 κι x - x < 0, οπότε (x - x 1 )(x - x ) > 0. Εποµένως, λόγω της (1), το τριώνυµο είνι οµόσηµο του. Αν x 1 < x < x (Σχήµ), τότε x - x 1 > 0 κι x - x < 0, οπότε (x - x 1 )(x - x ) < 0. Εποµένως, λόγω της (1), το τριώνυµο είνι ετερόσηµο του Αν x 1 < x < x (Σχήµ), τότε x - x 1 > 0 κι x - x > 0, οπότε (x - x 1 )(x - x ) > 0. Εποµένως, λόγω της (1), το τριώνυµο είνι οµόσηµο του Αν = 0, τότε ισχύει: χ χ γ = χ Εποµένως, το τριώνυµο είνι οµόσηµο του γι κάθε πργµτικό χ, ενώ µηδενίζετι γι χ = Αν <0, τότε ισχύει: χ χ γ = χ 4 Όµως η πράστση µέσ στην γκύλη είνι θετική γι κάθε πργµτικό ριθµό x. Εποµένως το τριώνυµο είνι οµόσηµο του σε όλο το. Τ πρπάνω συνοψίζοντι στον πίνκ: Το τριώνυµο x x γ, 0 γίνετι: Ετερόσηµο του, µόνο ότν είνι >0 κι γι τις τιµές του x, που ρίσκοντι µετξύ των ριζών. Μηδέν, ότν η τιµή του x είνι κάποι πό τις ρίζες του τριωνύµου. Οµόσηµο του σε κάθε άλλη περίπτωση. Αρ γι ν είνι έν τριώνυµο θετικό ΠΑΝΤΟΤΕ πρέπει <0 κι >0 γι ν είνι έν τριώνυµο ρνητικό ΠΑΝΤΟΤΕ πρέπει <0 κι <0 Ανισώσεις της µορφής χ χ γ > 0 ή χ χ γ < 0 Βρίσκουµε το πρόσηµο του τριωνύµου χ χ γ κι κρτάµε το διάστηµ στο οποίο γίνετι >0 ή <0 ντίστοιχ Πρόοδοι 5.1 Ακολουθίες

23 Γενικά κολουθί πργµτικών ριθµών είνι µι ντιστοίχιση των φυσικών ριθµών 1,,3,,ν, στους πργµτικούς ριθµούς. Ο ριθµός στον οποίο ντιστοιχεί ο 1 κλείτι πρώτος όρος της κολουθίς κι τον συµολίζουµε συνήθως µε 1, ο ριθµός στον οποίο ντιστοιχεί ο κλείτιδεύτερος όρος της κολουθίς κι τον συµολίζουµε συνήθως µε κ.λ.π. Γενικά ο ριθµός στον οποίο ντιστοιχεί ένς φυσικός ριθµός ν κλείτι ν-οστός ή γενικός όρος της κολουθίς κι το συµολίζουµε συνήθως µε ν. ηλδή, 1 1,, 3 3,, ν ν, Την κολουθί υτή τη συµολίζουµε ( ν ). Ακολουθίες που ορίζοντι νδροµικά γι ν ορίζετι µι κολουθί νδροµικά, πιτείτι ν γνωρίζουµε: i. Τον νδροµικό της τύπο πχ ν = ν1 ν κι ii. Όσους ρχικούς όρους µς χρειάζοντι, ώστε ο νδροµικός τύπος ν ρχίσει ν δίνει όρους. 5. Αριθµητική πρόοδος Μι κολουθί λέγετι ριθµητική πρόοδος, ν κάθε όρος της προκύπτει πό τον προηγούµενό του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε ριθµού. Τον ριθµό υτό τον συµολίζουµε µε ω κι τον λέµε διφορά της προόδου. Εποµένως, η κολουθί (ν) είνι ριθµητική πρόοδος µε διφορά ω, ν κι µόνο ν ισχύει: O νος όρος µις ριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο 1 κι διφορά ω είνι ν = 1 (ν-1)ω Απόδειξη Από τον ορισµό της ριθµητικής προόδου έχουµε: Προσθέτοντς κτά µέλη της ν υτές ισότητες κι εφρµόζοντς την ιδιότητ της διγρφής ρίσκουµε ν = 1 (ν-1)ω Αριθµητικός µέσος Αν πάρουµε τρεις διδοχικούς όρους,, γ µις ριθµητικής προόδου µε διφορά ω, τότε ισχύει: Αλλά κι ντιστρόφως, ν γι τρεις ριθµούς,, γ ισχύει τότε έχουµε που σηµίνει ότι οι,, γ είνι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου. Ο λέγετι ριθµητικός µέσος των κι γ Αποδείξµε λοιπόν ότι: Τρεις ριθµοί,,γ είνι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου ν κι µόνο ν ισχύει Άθροισµ ν διδοχικών όρων ριθµητικής προόδου Το άθροισµ των πρώτων ν όρων ριθµητικής προόδου (ν) µε διφορά ω είνι

24 5.3 Γεωµετρική πρόοδος Μι κολουθί λέγετι γεωµετρική πρόοδος, ν κάθε όρος της προκύπτει πό τον προηγούµενο µε πολλπλσισµό επί τον ίδιο πάντοτε µη µηδενικό ριθµό. Τον ριθµό υτό τον συµολίζουµε µε λ κι τον λέµε λόγο της προόδου. Σε µι γεωµετρική πρόοδο ( ν ) υποθέτουµε πάντ ότι 1 # 0, οπότε, φού είνι κι λ 0, ισχύει ν 0 γι κάθε v *. Εποµένως, η κολουθί ( ν ) είνι γεωµετρική πρόοδος µε λόγο λ, ν κι µόνο ν ισχύει: Ο νος όρος µις γεωµετρικής προόδου µε πρώτο όρο 1 κι λόγο λ είνι ν = 1 λ ν -1 Απόδειξη Από τον ορισµό της γεωµετρικής προόδου έχουµε: Πολλπλσιάζοντς κτά µέλη τις ν υτές ισότητες κι εφρµόζοντς την ιδιότητ της της διγρφής, ρίσκουµε ν = 1 λ ν-1 Γεωµετρικός µέσος Αν πάρουµε τρεις διδοχικούς όρους,, γ µις γεωµετρικής προόδου µε λόγο λ, τότε ισχύει Αλλά κι ντιστρόφως, ν γι τρεις ριθµούς,, γ 0 ισχύει = γ, τότε που σηµίνει ότι οι,, γ είνι διδοχικοί όροι µις γεωµετρικής προόδου. Ο θετικός ριθµός λέγετι γεωµετρικός µέσος των κι γ. Αποδείξµε λοιπόν ότι: Τρεις µη µηδενικοί ριθµοί,, γ είνι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου,ν κι µόνο ν ισχύει = γ Άθροισµ ν διδοχικών όρων γεωµετρικής προόδου Το άθροισµ των πρώτων ν όρων µις γεωµετρικής προόδου (ν) µε λόγο λ 1 είνι ΑΠΟ ΕΙΞΗ Έστω (1) Πολλπλσιάζουµε τ µέλη της (1) µε το λόγο λ κι έχουµε () Αφιρούµε πό τ µέλη της () τ µέλη της (1) κι έχουµε:

25 Εποµένως, φού λ 1, έχουµε: Πρτήρηση: Στην περίπτωση που ο λόγος της προόδου είνι λ-1, τότε το άθροισµ των όρων της είνι S v = ν 1 φού όλοι οι όροι της προόδου είνι ίσοι µε 1.