H ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΤΩΝ ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑ 8: H ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΤΩΝ ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Η φύση εμφανίζει τις αδρανειακές της δυνάμεις σε όσους εκτρέπονται από την ευθύγραμμη ομαλή πορεία Ο Γαλιλαίος πρώτος αναφέρθηκε στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς δίνοντας την περιγραφή τους στους Διαλόγους του Λίγο αργότερα, ο Νεύτωνας, στις Μαθηματικές Αρχές της Φυσικής Φιλοσοφίας, έδωσε το χαρακτηρισμό τους με τον πρώτο νόμο και με τον δεύτερο νόμο έδωσε την εξίσωση που διέπει την κίνηση των σωμάτων όπως αυτή ισχύει στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς Η αλήθεια είναι ότι στη φύση δεν υπάρχουν αδρανειακά συστήματα αναφοράς, αφού είναι αδύνατη η παντελής απομόνωση ενός σώματος από εξωτερικές επιδράσεις ώστε να διαπιστωθεί η απόλυτη ισχύς του πρώτου νόμου Αυτός άλλωστε είναι ο λόγος που τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς εισάγονται αξιωματικά από την Γαλιλαϊκή Αρχή της Σχετικότητας Εντούτοις, στην πράξη, μπορούμε να εκλάβουμε με εξαιρετική προσέγγιση ένα σύστημα αναφοράς ως αδρανειακό εφόσον η επιτάχυνσή του ως προς ένα θεωρητικά αδρανειακό σύστημα αναφοράς είναι κατά πολύ μικρότερη από τις επιταχύνσεις των υπό εξέταση αντικειμένων Ο παρατηρητής που βρίσκεται σε ένα οποιοδήποτε αδρανειακό σύστημα αναφοράς δηλώνει ότι αν σε ένα σώμα δεν ασκείται δύναμη τότε το αδρανειακό του κέντρο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ή είναι ακίνητο Όμως, ο παρατηρητής που βρίσκεται σε ένα μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς διαφωνεί λέγοντας ότι η κίνηση αυτή δεν είναι ομαλή και επομένως κάποια δύναμη άγνωστης προέλευσης ασκείται στο σώμα

2 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Ο παρατηρητής που πετάει την μπάλα και εκείνος που τρέχει κάτω από αυτήν αποδίδουν στην κίνησή της διαφορετικές θέσεις και ταχύτητες αλλά ίδια επιτάχυνση και ίδιο νόμο της δύναμης (Το σύστημα αναφοράς κινείται ευθύγραμμα ομαλά ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς ) Τα μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς δεν εκτελούν ευθύγραμμη ομαλή κίνηση ως προς κάποιο αδρανειακό σύστημα αναφοράς και η εκτροπή τους από την αδρανειακή φυσική κατάσταση, που είναι η ευθύγραμμη ομαλή κίνηση, προκαλεί την εμφάνιση των παράδοξων αυτών δυνάμεων που καλούνται αδρανειακές δυνάμεις Δεν πρόκειται για πραγματικές δυνάμεις αφού δεν προέρχονται από την αλληλεπίδραση σωμάτων και αυτός είναι ο λόγος που ο αδρανειακός παρατηρητής αδυνατεί να ερμηνεύσει την προέλευσή τους Εντούτοις, αντιλαμβάνεται τις συνέπειές τους και υφίσταται τις επιπτώσεις τους όταν το σύστημά του εγκαταλείψει την ευθύγραμμη ομαλή πορεία οπότε παύει να ανήκει στην κλάση των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς Όταν ένας ανελκυστήρας, εγκαταλείποντας την κατάσταση ακινησίας ή την ομαλή κίνηση, επιταχύνεται ή επιβραδύνεται τότε ο εξωτερικός αδρανειακός παρατηρητής διαπιστώνει τις επιπτώσεις που υφίσταται όποιος βρίσκεται στον ανελκυστήρα και αντιλαμβάνεται τη διαφοροποίηση τους όταν η επιτάχυνσή του ανελκυστήρα είναι μικρότερη ή μεγαλύτερη από εκείνη της βαρύτητας Ο παρατηρητής που βρίσκεται στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς παρατηρεί τις συνέπειες των αδρανειακών δυνάμεων τις οποίες υφίσταται εκείνος που βρίσκεται στο μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

3 ΜΑΘΗΜΑ 8 ο : Η ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΤΩΝ ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 83 Όταν το αυτοκίνητό σας ξεκινά απότομα σε μια ευθεία πορεία αισθάνεστε να ασκείται επάνω σας μια αδρανειακή δύναμη που σας σπρώχνει προς τα πίσω στο κάθισμά σας Η εμφάνισή της δεν οφείλεται στην αλληλεπίδραση δυο σωμάτων αλλά στην εκτροπή του αυτοκινήτου από την αδρανειακή του κατάσταση Ο εξωτερικός παρατηρητής δεν μπορεί να ερμηνεύσει την ύπαρξή της αλλά αντιλαμβάνεται το φαινόμενο αδράνειας, δηλαδή ότι συμπαρασύρεστε από το κάθισμα στη μη ομαλή κίνηση του αυτοκινήτου Αν το αυτοκίνητό εγκαταλείψει την ευθύγραμμη πορεία τότε θα αισθανθείτε μια άλλη αδρανειακή δύναμη να σας σπρώχνει προς την εξωτερική πλευρά της στροφής Και αν κατά τη διάρκεια της στροφής δοθεί στο αυτοκίνητό σας επιτάχυνση τότε μια ακόμη αδρανειακή δύναμη θα κάνει την εμφάνισή της Και αν επιπλέον κατά τη διάρκεια της στροφής κινείστε στο εσωτερικό του αυτοκινήτου τότε θα κάνει την εμφάνισή της μια ακόμη αδρανειακή δύναμη, συνήθως ανεπαίσθητη αλλά πάντως υπαρκτή Ο παρατηρητής που βρίσκεται στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς παρατηρεί τις συνέπειες των αδρανειακών δυνάμεων όταν το αυτοκίνητό εγκαταλείπει την ευθύγραμμη πορεία Με μαθηματική συλλογιστική θα δείξουμε την ύπαρξη των αδρανειακών δυνάμεων που πρέπει να συμπεριλαμβάνονται στην εξίσωση της κίνησης μιας σημειακής μάζας όπως καταγράφεται στα μη αδρανειακά συστήματα αναφοράς Κατόπιν θα δώσουμε τη φυσική τους ερμηνεία και θα περιγράψουμε μια σειρά φαινομένων από τη φυσική πραγματικότητα στα οποία οι επιπτώσεις τους είναι καθοριστικές Πρώτα, θα θεωρήσουμε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς και ένα άλλο σύστημα αναφοράς που την αρχική στιγμή της παρατήρησης ταυτίζεται με το αδρανειακό σύστημα και με την πάροδο του χρόνου περιστρέφεται στο χώρο διατηρώντας την αρχή του ταυτισμένη με την αρχή του αδρανειακού συστήματος Προφανώς, σε κάθε ένα από αυτά τα συστήματα αναφοράς η ταχύτητα της σημειακής μάζας καταγράφεται διαφορετικά και αυτό σημαίνει ότι κατά την υπολογιστική διαδικασία ο τελεστής της διανυσματικής παραγώγισης δίνει διαφορετικά αποτελέσματα ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

4 84 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Ο αδρανειακός παρατηρητής βλέπει την ορθοκανονική βάση e 1(), e (), e 3() του μη αδρανειακού συστήματος αναφοράς να περιστρέφεται στο χώρο με την πάροδο του χρόνου και παραγωγίζοντας με τον δικό του τελεστή θεωρεί τις εξής εκφράσεις: d e 1() a1() e 1() a() e () a3() e 3(), d e () b1() e 1() b() e () b3() e 3(), d e 3() c1() e 1() c() e () c3() e 3() Το αδρανειακό και το περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς με τις ορθοκανονικές τους βάσεις Με απλούς συνδυαστικούς υπολογισμούς προσδιορίζονται οι σχέσεις των συντελεστών αυτής της αποσύνθεσης και εισάγοντας νέους συμβολισμούς προκύπτει: * d e 1() 0 e1( ) 3( ) e( ) ( ) e3( ), d e () 3() e1() 0 e() 1() e3(), d e 3() () e1() 1() e() 0 e3() * Μετά τους υπολογισμούς και τον προσδιορισμό των συσχετισμών των συντελεστών θέτουμε: 1(): b3() c(), 1 3 (): c () a (), 3(): a() b1() ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

5 ΜΑΘΗΜΑ 8 ο : Η ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΤΩΝ ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 85 Το συμπέρασμα αυτής της υπολογιστικής διαδικασίας συνοψίζεται ως εξής: * d e i () () ei (), i 1,, 3, και έτσι ορίζεται η γωνιακή ταχύτητα του περιστρεφόμενου συστήματος αναφοράς ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς : () (), (), () 1 3 Επίσης, εισάγοντας τον τελεστή γωνιακής ταχύτητας: 0 3( ) ( ) L () 3() 0 1() () 1() 0 καταλήγουμε στη σχέση: 3 L () (), Αν ένα οποιοδήποτε διάνυσμα αποσυντεθεί στην ορθοκανονική βάση του περιστρεφόμενου συστήματος αναφοράς: προκύπτει: 3 () () e() i1 d d d e d e () () () 3 3 () i() i() () i i() i1 i1 i i * Ο υπολογισμός που οδήγησε στον προσδιορισμό των συντελεστών εκτελέστηκε λαμβάνοντας υπόψη ότι: d i j e i(), e i() 1 e i(), e i() 0 d e i() d e i() d e i() e i(),, e i() 0 e i(), 0, d i j e i(), e j() 0 e i(), e j() 0 d e j() d e () () i d e j d e i () e i(),, ej() 0 e i(), ej(), ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

6 86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Συνεπώς, οι τελεστές παραγώγισης στο αδρανειακό και στο περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς σχετίζονται ως εξής: d d () Όμως, οι δυο αυτοί τελεστές δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα όταν παραγωγίσουν το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας του περιστρεφόμενου συστήματος αναφοράς ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς και έτσι προκύπτει η γωνιακή επιτάχυνση: d () d() (): Όταν λοιπόν μια σημειακή μάζα κινείται στο χώρο τότε οι καταγραφές της ταχύτητάς της στα δυο συστήματα αναφοράς σχετίζονται ως εξής: dr() dr() () r() και αν η σημειακή μάζα παραμένει ακίνητη στο περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς: dr() () r() Ο συσχετισμός των καταγραφών της επιτάχυνσης της σημειακής μάζας στα δυο συστήματα αναφοράς προσδιορίζεται με έναν απλό υπολογισμό: () () () () () r() () () r() dr dr dr και αν η σημειακή μάζα παραμένει ακίνητη στο περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς: () () () r() () r() d r Άρα, στο περιστρεφόμενο μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς, η εξίσωση της κίνησης της σημειακής μάζας διατυπώνεται ως εξής: d r() d r () m F m() () r() m() m () r() ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

7 ΜΑΘΗΜΑ 8 ο : Η ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΤΩΝ ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 87 και η εξίσωση αυτή συνοψίζεται συμβολικά ως εξής: () m F F F F d r Αν με την πάροδο του χρόνου η αρχή O του περιστρεφόμενου συστήματος αναφοράς δεν παραμένει ταυτισμένη με την αρχή O του αδρανειακού συστήματος αναφοράς τότε σε αυτή την εξίσωση εμφανίζεται ένας επιπλέον όρος Πράγματι, θεωρώντας στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς το διάνυσμα που κάθε χρονική στιγμή υποδεικνύει τη θέση της αρχής του μη αδρανειακού συστήματος αναφοράς προκύπτει: r () OO() r() Συνεπώς, από την παραγώγιση στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς προκύπτει: d r() d d OO() d r() ( OO () r () ) () r() d r() d OO() d d r () ( () r() ) d OO() d r () d r () () () r() () () r() Ο αδρανειακός παρατηρητής και ο μη αδρανειακός παρατηρητής αποδίδουν στην κίνηση των σωμάτων διαφορετικές θέσεις και ταχύτητες αλλά και διαφορετικές επιταχύνσεις (Το σύστημα αναφοράς εκτελεί περιστροφική και μεταφορική κίνηση ως προς το αδρανειακό σύστημα ) ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

8 88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Άρα, στο μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς προκύπτει η εξίσωση της κίνησης: () m F F F F F d r Οι επιπλέον όροι που υπεισέρχονται σε αυτή την εξίσωση της κίνησης ορίζουν τις αδρανειακές δυνάμεις και η εμφάνισή τους οφείλεται στην εκτροπή του συστήματος αναφοράς από την ομαλή ευθύγραμμη πορεία: Φυγόκεντρη δύναμη (κεντρομόλος δύναμη με θετικό πρόσημο) που εμφανίζεται σε κάθε περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς: F m() () r() Δύναμη Crilis που εμφανίζεται όταν η σημειακή μάζα δεν είναι ακίνητη ως προς το περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς: F m( ) r ( ) Δύναμη Euler που εμφανίζεται όταν η γωνιακή ταχύτητα του περιστρεφόμενου συστήματος αναφοράς δεν είναι σταθερή: F m () r() Δύναμη d Alember που εμφανίζεται όταν η αρχή του περιστρεφόμενου συστήματος αναφοράς επιταχύνεται ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς: d OO () F = m Η εκτροπή του συστήματος αναφοράς από την ομαλή ευθύγραμμη πορεία προκαλεί την εμφάνιση αδρανειακών δυνάμεων ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

9 ΜΑΘΗΜΑ 8 ο : Η ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΤΩΝ ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 89 Οι αδρανειακές δυνάμεις δεν προκύπτουν από την αλληλεπίδραση σωμάτων όπως οι πραγματικές δυνάμεις και η εμφάνισή τους οφείλεται στην εκτροπή του συστήματος αναφοράς από την ομαλή ευθύγραμμη πορεία που ακολουθούν τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς Όταν το σύστημα αναφοράς περιστρέφεται στο χώρο τότε κάνει την εμφάνισή της η φυγόκεντρη δύναμη η οποία, κάθε στιγμή, είναι κάθετη στο φορέα της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής και, όπως δηλώνει ο μη αδρανειακός παρατηρητής, ασκείται σε κάθε σημειακή μάζα με φορά εξωτερική ως προς τον άξονα περιστροφής: m () () F r() Η δίνη της υδάτινης μάζας προκαλεί την εμφάνιση φυγόκεντρης δύναμης που δημιουργεί κενό στο κέντρο και υπερυψώνει την επιφάνεια στα άκρα Αν η σημειακή μάζα κινείται στο περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς τότε εμφανίζεται επιπλέον η δύναμη Crilis η οποία, κάθε στιγμή, είναι κάθετη στο φορέα της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής και στο φορέα της ταχύτητας της σημειακής μάζας όπως αυτή καταγράφεται στο περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς: F m( ) v ( ) Αν σταθείτε επάνω σε μια περιστρεφόμενη πλατφόρμα θα αισθανθείτε τη φυγόκεντρη δύναμη να σας σπρώχνει, κάθετα προς τον άξονα περιστροφής, μακριά από το κέντρο Και αν περπατήσετε ευθύγραμμα προς το κέντρο θα αισθανθείτε μια απροσδόκητη δύναμη να εκτρέπει το βηματισμό σας αντίθετα προς τη φορά περιστροφής της πλατφόρμας Αν ρίξετε ένα λείο αντικείμενο, πχ ένα κομμάτι πάγου, έτσι ώστε να γλιστρήσει επάνω στη λεία επιφάνεια της περιστρεφόμενης πλατφόρμας, κατά τη γνώμη σας, ποια θα είναι η τροχιά του; Αν βρίσκεστε στο έδαφος, στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς, θα πείτε με βεβαιότητα ότι αφού οι τριβές είναι αμελητέες και δεν ασκούνται ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

10 90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ δυνάμεις ο πάγος, με σταθερή ταχύτητα, θα κατευθυνθεί ευθύγραμμα προς το κέντρο, όπως επιβάλλει ο νόμος της αδράνειας Όμως, ο παρατηρητής που βρίσκεται στο περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς, στο κέντρο της περιστρεφόμενης πλατφόρμας, βλέπει και δηλώνει ότι η τροχιά δεν είναι ευθύγραμμη Άλλωστε, τα ίχνη του πάγου θα σας δείξουν ότι η διαδρομή του είναι καμπύλη Η φυγόκεντρη δύναμη δεν είναι ικανή να προκαλέσει καμπύλωση της τροχιάς γιατί, αν υπήρχε μόνο αυτή, ο πάγος θα κατευθυνόταν ευθύγραμμα προς το κέντρο και κάποια στιγμή, ανακάμπτοντας, θα επέστρεφε ευθύγραμμα έως ότου εκβληθεί φυγόκεντρα από αυτή Ποια είναι αυτή η δύναμη που καμπυλώνει την τροχιά; Ο μη αδρανειακός παρατηρητής ξέρει ότι πρόκειται για τη δύναμη Crilis Αν η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της πλατφόρμας δεν είναι σταθερή τότε θα εμφανιστεί και η δύναμη Euler : F m () r() Κατά τη διαδρομή σας επάνω στη περιστρεφόμενη πλατφόρμα η δύναμη Crilis θα σας εκτρέψει από την ευθύγραμμη πορεία Δύναμη Crilis Κίνηση από το κέντρο προς την περιφέρεια σe περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

11 ΜΑΘΗΜΑ 8 ο : Η ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΤΩΝ ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 91 Αδρανειακές δυνάμεις που προκαλούνται από την περιστροφή της γης Στη φύση δεν υπάρχει ένα αληθινά αδρανειακό σύστημα αναφοράς, αφού η απόλυτη απομόνωση ενός σώματος από εξωτερικές επιδράσεις είναι αδύνατη ώστε να διαπιστωθεί η πλήρης ισχύς του νόμου της αδράνειας Στην πράξη, ένα σύστημα αναφοράς εκλαμβάνεται ως αδρανειακό εφόσον η επιτάχυνσή του ως προς ένα θεωρητικό αδρανειακό σύστημα είναι κατά πολύ μικρότερη από τις επιταχύνσεις των υπό εξέταση αντικειμένων Παρότι το ηλιακό μας σύστημα δεν είναι απλανές μέσα στον γαλαξία του, ένα ηλιοκεντρικό σύστημα αναφοράς, που διατηρεί τις διευθύνσεις των αξόνων του σταθερές ως προς τρεις δεδομένους αστέρες, μπορεί να εκληφθεί ως κατά προσέγγιση αδρανειακό προκειμένου να μελετηθούν οι κινήσεις των ουρανίων σωμάτων, όχι όμως αυτών που κινούνται στον υπόλοιπο γαλαξία Επίσης, παρότι η γη περιφέρεται γύρω από τον ήλιο, ένα γεωκεντρικό σύστημα αναφοράς, που διατηρεί σταθερές τις διευθύνσεις των αξόνων του ως προς τους άξονες ενός ηλιοκεντρικού αδρανειακού συστήματος, εκλαμβάνεται με ικανοποιητική προσέγγιση ως αδρανειακό * Όμως η γη, ενώ περιφέρεται γύρω από τον ήλιο, περιστρέφεται γύρω από τον εαυτό της, από τη δύση προς την ανατολή, και αυτή η περιστροφική κίνηση προκαλεί την εμφάνιση αδρανειακών δυνάμεων που κάνουν αισθητή την παρουσία τους στο περιβάλλον της Ηλιοκεντρικό και γεωκεντρικό σύστημα αναφοράς * Η επιφάνεια της γης έχει μέση επιτρόχια επιτάχυνση 0,07 / m s ως προς ένα ηλιοκεντρικό σύστημα, περίπου το 3 της επιτάχυνσης της βαρύτητας Στην πράξη πρέπει να αποφασίσουμε αν αυτό το μέτρο είναι αρκετά μικρό ώστε ένα γεωκεντρικό σύστημα να εκληφθεί με ικανοποιητική προσέγγιση ως αδρανειακό Όταν εξετάζουμε κινήσεις μέσα στο ηλιακό σύστημα με επιτρόχιες επιταχύνσεις μικρότερες από αυτή της γης τότε το γεωκεντρικό σύστημα δεν ανταποκρίνεται στις αδρανειακές απαιτήσεις και προσφεύγουμε σε ηλιοκεντρικό σύστημα ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

12 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Για τη μελέτη των αδρανειακών δυνάμεων που προκαλούνται από την αυτοπεριστροφή της γης και τις επιπτώσεις τους στην επιφάνειά και στο περιβάλλον της, θεωρούμε ένα γεωκεντρικό αδρανειακό σύστημα αναφοράς του οποίου ο τρίτος άξονας ταυτίζεται με τον άξονα περιστροφής της γης Επίσης, θεωρούμε ένα γεωκεντρικό σύστημα αναφοράς, περιστρεφόμενο και ενσωματωμένο στη γη, του οποίου ο τρίτος άξονας ταυτίζεται και αυτός με τον άξονα περιστροφής της γης Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της γης, δηλαδή η γωνιακή ταχύτητα του συστήματος αναφοράς ως προς το γεωκεντρικό αδρανειακό σύστημα αναφοράς, είναι πρακτικά σταθερή: * (0,0, ), / 4 60 rad /sec Το αδρανειακό γεωκεντρικό σύστημα αναφοράς και το μη αδρανειακό γεωκεντρικό σύστημα αναφοράς Η σταθερότητα της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της γης δεν αφήνει περιθώριο εκδήλωσης της αδρανειακής δύναμης Euler, αλλά σε κάθε σώμα μάζας m που βρίσκεται στην επιφάνεια ή στο περιβάλλον της γης ασκείται η φυγόκεντρη δύναμη: m F r() Ο φορέας της είναι κάθετος στον άξονα περιστροφής της γης και το μέτρο της είναι μηδενικό στους πόλους και παίρνει μέγιστη τιμή στον ισημερινό, ενώ σε γεωγραφικό πλάτος λ στην επιφάνεια της γης υπολογίζεται ως εξής: F m Rcs * Κάθε αντικείμενο, όπου και αν βρίσκεται στην επιφάνεια της γης, περιστρέφεται μαζί της με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ολοκληρώνοντας μια πλήρη περιστροφή σε ένα 4ωρο, συγκεκριμένα σε 3 ώρες, 56 λεπτά και 4 δευτερόλεπτα Όμως, η γραμμική ταχύτητά του εξαρτάται από το γεωγραφικό πλάτος της τοποθεσίας του Σε μια πλήρη περιστροφή της γης, αν το αντικείμενο βρίσκεται στον ισημερινό διαγράφει περιφέρεια περιμέτρου km Άρα, όσο πιο κοντά βρίσκεται στον ισημερινό τόσο μεγαλύτερη είναι η γραμμική ταχύτητά του και συγκεκριμένα στον ισημερινό είναι 464 m/s και στους πόλους είναι μηδενική ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

13 ΜΑΘΗΜΑ 8 ο : Η ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΤΩΝ ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 93 Η φυγόκεντρη δύναμη υπεισέρχεται στον υπολογισμό του βάρους των σωμάτων που βρίσκονται στην επιφάνεια ή στο περιβάλλον της γης Συγκεκριμένα, το βάρος κάθε σώματος ορίζεται από τη συνισταμένη της ελκτικής δύναμης που του ασκεί η γη και της φυγόκεντρης δύναμης που προκαλείται από την αυτοπεριστροφή της Συνεπώς, ο άξονας του βάρους εκτρέπεται από το κέντρο της γης, εκτός από τους πόλους και τον ισημερινό Όμως, στην πράξη, η φυγόκεντρη δύναμη εκμηδενίζεται μπροστά στην ελκτική δύναμη και έτσι το βάρος πρακτικά λογίζεται κάθετο στην επιφάνεια της γης * Η βαρυτική και η φυγόκεντρη δύναμη που ασκούνται σε μια σημειακή μάζα στην επιφάνεια της γης Αν ένα σώμα κινείται στην επιφάνεια ή στο περιβάλλον της γης τότε εμφανίζεται και η δύναμη Crilis που είναι κάθετη στον άξονα περιστροφής της γης και στο φορέα της ταχύτητας του σώματος ως προς το περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς : F mv ( ) Οι αδρανειακές δυνάμεις Crilis, σημειωμένες με κόκκινα βέλη, προκαλούν εκτροπή στην αναμενόμενη πορεία των σωμάτων που κινούνται στο περιβάλλον ή στην επιφάνεια της γης, προς τα δεξιά τους στο βόρειο ημισφαίριο και προς τα αριστερά τους στο νότιο ημισφαίριο * Ο Νεύτωνας στα κείμενά του είχε ήδη πει ότι η γη δεν είναι απόλυτα σφαιρική αλλά πεπλατυσμένη στους πόλους Η φυγόκεντρη δύναμη είναι ισχυρότερη στον ισημερινό από ότι στους πόλους και η ελκτική δύναμη της γης είναι ισχυρότερη στους πόλους από ότι στον ισημερινό Το αποδιδόμενο βάρος στα σώματα είναι περίπου 5% μικρότερο στον ισημερινό από ότι στους πόλους ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

14 94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Προκειμένου να μελετήσουμε σε μια περιοχή της γης τα φαινόμενα που προκαλούνται από τη δύναμη Crilis, θεωρούμε ένα σύστημα αναφοράς, τοποθετημένο σε γεωγραφικό πλάτος λ στην επιφάνεια της γης, έτσι ώστε ο τρίτος άξονας να είναι κάθετος στην επιφάνεια της γης, ο δεύτερος άξονας να είναι εφαπτόμενος στον αντίστοιχο μεσημβρινό με φορά προς βορρά και ο πρώτος άξονας να είναι εφαπτόμενος στον αντίστοιχο παράλληλο με φορά προς την ανατολή, όπως η φορά περιστροφής της γης Σε αυτό το τοπικό μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς, η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της γης και το βάρος των σωμάτων εκφράζονται ως εξής: 0, cs, sin και mg 0,0, mg Το τοπικό μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς στην επιφάνεια της γης Όταν ένα σώμα κινείται στο περιβάλλον ή στην επιφάνεια της γης υπό την επίδραση μιας πραγματικής δύναμης τότε η εξίσωση της κίνησης του αδρανειακού του κέντρου καταγράφεται στο τοπικό μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς ως εξής: () m F F F F d x Στην πραγματική δύναμη που ασκείται στο σώμα περιλαμβάνεται και το βάρος του: F mg f Η σταθερότητα της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της γης δεν αφήνει περιθώριο εμφάνισης της δύναμης Euler Επίσης, η δύναμη D Alember που προκαλείται από την περιφορά του τοπικού συστήματος αναφοράς σε έναν παράλληλο κύκλο προς τον ισημερινό, ταυτίζεται με την κεντρομόλο δύναμη που προκαλείται από την περιστροφή της γης και ασκείται σε κάθε σημείο της επιφάνειας της: dr () F m m R() ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

15 ΜΑΘΗΜΑ 8 ο : Η ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΤΩΝ ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 95 Το αδρανειακό κέντρο του κινούμενου σώματος εντοπίζεται κάθε στιγμή, αφενός στο γεωκεντρικό αδρανειακό σύστημα αναφοράς και αφετέρου στο τοπικό μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς, με τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης και προκύπτει η σχέση: x()= R () x() Συνεπώς, ένας απλός υπολογισμός υποδεικνύει ότι: d x() d R() d x() d R() d x () x() d x() d R () d x () d x () () x Άρα, στο τοπικό σύστημα αναφοράς η εξίσωση της κίνησης εκφράζεται ως εξής: d x() d x() d R () m m m m x() mv () F m R ( ) m x( ) mv ( ) f mg m x() m v () και με την ενσωμάτωση της φυγόκεντρης δύναμης στο βάρος προκύπτει: d x() m f mg m ( ) v Στο τοπικό σύστημα αναφοράς καταγράφεται η ταχύτητα του κινούμενου σώματος v ( v, v, v ) και με έναν υπολογισμό προκύπτει η έκφραση της δύναμης Crilis: 1 3 F mv ( ) m v sinv cs, v sinv cs Άρα, στο τοπικό σύστημα αναφοράς που είναι τοποθετημένο στην επιφάνεια της γης, σε γεωγραφικό πλάτος λ, η παρατηρούμενη κίνηση διέπεται από την εξίσωση: mx () 0 sin cs x () f mx () m sin 0 0 x () f mx 3() cs 0 0 x 3() f 3 mg ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

16 96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Παράδειγμα 1 Η εκτροπή από την κατακόρυφο κατά την ελεύθερη πτώση Ο Νεύτωνας είχε ισχυριστεί ότι η πορεία των σωμάτων κατά την ελεύθερη πτώση τους υπό την επίδραση της βαρύτητας δεν είναι κατακόρυφη και η εκτροπή αυτή οφείλεται στην περιστροφική κίνηση της γης γύρω από τον άξονά της Έναν αιώνα αργότερα, το 1803, ο Laplace και ο Gauss τεκμηρίωσαν θεωρητικά τον ισχυρισμός του και υπολόγισαν την απόκλιση από την κατακόρυφο Ο Ferdinand Reich, το 1831, ρίχνοντας αντικείμενα σε πηγάδι ορυχείου βάθους 158,5 m, στο Freiberg της Σαξονίας, σε γεωγραφικό πλάτος λ=50 ο 55, επιβεβαίωσε τα θεωρητικά αποτελέσματα διαπιστώνοντας μέση ανατολική απόκλιση,8 cm από την κατακόρυφο Ο Gusave Crilis, το 1835, διαπίστωσε την ύπαρξη απρόσμενων όρων στις εξισώσεις που διέπουν την κίνηση των σωμάτων σε περιστρεφόμενα συστήματα αναφοράς και απέδωσε στους όρους αυτούς το αίτιο της απόκλισης από την κατακόρυφο Έτσι, επιβεβαιώθηκε ο ισχυρισμός του Νεύτωνα και αποκαλύφτηκε η δύναμη Crilis: F m v ( ) Οι πειραματικές μετρήσεις συνεχίστηκαν, είτε στο βόρειο είτε στο νότιο ημισφαίριο της γης, δίνοντας πάντα ανατολική εκτροπή εξαρτόμενη από το γεωγραφικό πλάτος, όπως ακριβώς είχε προβλεφθεί από τον Crilis Η μεγαλύτερη εκτροπή προκαλείται στον ισημερινό, ενώ στους πόλους δεν υπάρχει εκτροπή αφού εκεί η ταχύτητα των σωμάτων κατά την ελεύθερη πτώση και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της γης είναι συγγραμμικές * Στο Πάνθεον των Παρισίων, σε γεωγραφικό πλάτος λ=48 ο 5, ο Camille Flammarin, το 1903, κατά την ελεύθερη πτώση χαλύβδινων σφαιρών από ύψος 68 m, διαπίστωσε μέση ανατολική απόκλιση 7,6 mm από την κατακόρυφο με προβλεπόμενη θεωρητική τιμή 8 mm Ανατολική εκτροπή των σωμάτων κατά την ελεύθερη πτώση τους στην επιφάνεια της γης * 5 Ακτίνα της γης: R km km - Μέτρο γωνιακής ταχύτητας της γης: 7,9 10 rad/s Γεωγραφικό πλάτος: Πάτρα 38 ο 14 β, Αθήνα 37 ο 58 β, Παρίσι 48 ο 48 β, Μόσχα 55 ο 45 β, Μελβούρνη 37 ο 47 ν Γεωγραφικό μήκος: Πάτρα 1 ο 47 α, Αθήνα 3 ο 46 α, Παρίσι ο 0 α, Μόσχα 37 ο 36 α, Μελβούρνη 144 ο 58 α ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

17 ΜΑΘΗΜΑ 8 ο : Η ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΤΩΝ ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 97 Στο τοπικό μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς, τοποθετημένο σε γεωγραφικό πλάτος λ στην επιφάνεια της γης, η εξίσωση της κίνησης του αδρανειακού κέντρου ενός σώματος που αφήνεται σε ελεύθερη πτώση διατυπώνεται ως εξής: d x () d x () m mg m Η εξίσωση αυτή εκφράζεται ως σύστημα τριών γραμμικών διαφορικών εξισώσεων: x() 0 sin cs x () x () sin 0 0 x () 0 x 3() cs 0 0 x 3 () g Η γενική μέθοδος επίλυσης των συστημάτων γραμμικών διαφορικών εξισώσεων είναι γνωστή * Όμως εδώ, χωρίς κοπιώδεις υπολογισμούς, μπορούμε να φτάσουμε με εξαιρετική προσέγγιση στη λύση εφαρμόζοντας μια απλή μέθοδο διαταραχής Η ιδέα συνίσταται στο να εκληφθεί το τοπικό σύστημα αναφοράς ως αδρανειακό και η δύναμη Crilis να θεωρηθεί ως όρος διαταραχής στη νευτώνεια μορφή της εξίσωσης της κίνησης Λαμβάνοντας υπόψη ότι η δύναμη Crilis είναι 1000 φορές μικρότερη από τη δύναμη της βαρύτητας, θέτουμε αντί της ταχύτητας v () την ταχύτητα g, με μηδαμινό σφάλμα, οπότε η εξίσωση της κίνησης θα διατυπωθεί ως εξής: x() g g Έτσι, στο τοπικό μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς προκύπτει: x 1() gcs x () 0 x() g 3 x 1() g cs x () 0 x () g 3 1 x () g cs x 3 x () x x () g x 3 3 Συνεπώς, κατά την ελεύθερη πτώση ενός σώματος υπό την επίδραση του βάρους του σε γεωγραφικό πλάτος λ, από ύψος h: x3, η δύναμη Crilis προκαλεί ανατολική εκτροπή από την κατακόρυφο η οποία υπολογίζεται ως εξής: cs 3/ x1 ( h) 1/ 3g * - Βλ Παράρτημα 5 ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

18 98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Παράδειγμα Το εκκρεμές του Fucaul στο Πάνθεον των Παρισίων O Jean Bernard Lén Fucaul, το 1851, αναρτώντας στο Πάνθεον των Παρισίων το περίφημο εκκρεμές, διαπίστωσε τη στροφική μετατόπιση του επιπέδου ταλάντωσής του, αποδεικνύοντας έτσι ότι η γη πράγματι περιστρέφεται γύρω από τον εαυτό της Το εκκρεμές του Fucaul στο Πάνθεον των Παρισίων - Μάρτιος 1851 Το εκκρεμές είχε προσδεθεί σε δοκό, στο άνω δώμα ύψους 67m, με λεπτό ατσάλινο νήμα διατομής 1,4 mm και το εσωτερικό της χάλκινης σφαίρας ήταν γεμάτο από λιωμένο μολύβι έτσι ώστε να αποκτηθεί μάζα m=8 kg Στο κάτω μέρος της σφαίρας υπήρχε μια ακίδα που κατά την κίνηση του εκκρεμούς άφηνε το ίχνος της στο έδαφος επάνω σε άμμο Η ταλάντωση είχε μέγιστο πλάτος 6 m και περίοδο 16,5 s και μπροστά στα έκπληκτα μάτια των παριστάμενων το επίπεδο ταλάντωσης του εκκρεμούς άρχισε να περιστρέφεται διαγράφοντας σε μια ώρα γωνία 113 ο και συμπληρώνοντας πλήρη κύκλο σε 31 ώρες και 47 λεπτά Αλλά, ήταν το επίπεδο ταλάντωσης του εκκρεμούς που περιστρεφόταν ή ήταν η γη μαζί με τους παριστάμενους παρατηρητές; Το εκκρεμές του Fucaul έχει μικρή γωνία απόκλισης από την κατακόρυφο, ο ή 3 ο, οπότε η ακίδα του κινείται πρακτικά στο οριζόντιο επίπεδο του τοπικού συστήματος αναφοράς που είναι τοποθετημένο στο συγκεκριμένο γεωγραφικό πλάτος Η κινητήρια δύναμη προκύπτει από τη συνισταμένη του βάρους του και της τάσης του νήματος και η εξίσωση της κίνησης διατυπώνεται στο τοπικό σύστημα αναφοράς ως εξής: d x() d x () m Tmgm ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

19 ΜΑΘΗΜΑ 8 ο : Η ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΤΩΝ ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 99 Το εκκρεμές του Fucaul στην επιφάνεια της γης Η εξίσωση αυτή εκφράζεται ως σύστημα τριών διαφορικών εξισώσεων: mx 1() 0 sin cs x 1() T1 mx () m sin 0 0 x () T mx () cs 0 0 x () T mg Η τάση του νήματος εκφράζεται στο τοπικό σύστημα αναφοράς ως εξής: * T xt/, xt/,txt/, T= T, 1 3 και η μικρή απόκλιση του εκκρεμούς από την κατακόρυφο υποδεικνύει ότι: mx 1() 0 sin cs x 1() x 1()T/ mx () m sin 0 0 x () x ()T/ mx () cs 0 0 x () Tmg 3 3 Οι δυνάμεις που ασκούνται στο εκκρεμές του Fucaul * Από την ομοιότητα των τριγώνων προκύπτει: (T 1,T ) = ( x 1, x )T και T3T( x 3)/ ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

20 100 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Επίσης, η μικρή απόκλιση του εκκρεμούς καθιστά πρακτικά αμελητέα την κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας και της επιτάχυνσής του, άρα η εξίσωση της κίνησης θα εκφραστεί στο τοπικό σύστημα αναφοράς ως εξής: mx () 0 sin cs x () x()t/ mx () m sin 0 0 x () x ()T/ 0 cs Tmg Η ανυπαρξία κατακόρυφης κίνησης υποδεικνύει ότι η τρίτη συνιστώσα της δύναμης Crilis υπακούει στην ακόλουθη συνθήκη: T mgm cs x ( ) Συνεπώς, η κίνηση της ακίδας του εκκρεμούς διέπεται από τις εξισώσεις ( g / ): x 1() sin x () x 1() cs x 1() x 1()/ x() sin x () x() cs x() x ()/ 1 1 Αν η γη δεν περιστρεφόταν ( 0 ), οι εξισώσεις αυτές υποδεικνύουν ότι η ακίδα του εκκρεμούς θα διέγραφε στο έδαφος ελλείψεις καθορισμένες από τις αρχικές συνθήκες: 1 x 1() x 1()=0 x () x ()=0 x 1() a1cs( 1) x () acs( ) Σχηματική παράσταση του ίχνους που αφήνει στο δάπεδο η ακίδα του εκκρεμούς του Fucaul Στο πείραμα, το επίπεδο ταλάντωσης του εκκρεμούς περιστρεφόταν αργά γύρω από τον κατακόρυφο άξονα και έτσι, σε κάθε παλινδρόμηση, η ακίδα μετατοπιζόταν πριν προλάβει να ολοκληρώσει την έλλειψη ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

21 ΜΑΘΗΜΑ 8 ο : Η ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΤΩΝ ΑΔΡΑΝΕΙΑΚΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 101 Ο Fucaul ήξερε ότι οι επιπλέον όροι που εμφανίζονται στις εξισώσεις του εκκρεμούς του προδίκαζαν ότι η ακίδα δεν θα διέγραφε έλλειψη στο τοπικό σύστημα αναφοράς Όμως, οι μη γραμμικοί όροι είναι πρακτικά αμελητέοι και δεν επηρεάζουν την κίνηση της ακίδας στο οριζόντιο επίπεδο του τοπικού συστήματος αναφοράς Πράγματι, το μήκος του νήματός του εκκρεμούς είναι μεγάλο και η μικρή γωνία απόκλισης από την κατακόρυφο προκαλεί μικρό πλάτος και μικρή ταχύτητα στις ταλαντώσεις και έτσι, η συχνότητα περιστροφής της γης είναι πολύ μικρή συγκριτικά με τη συχνότητα της ταλάντωσης του εκκρεμούς Άρα, στην πράξη, οι εξισώσεις της κίνησης του εκκρεμούς εκφράζονται ως εξής ( sin ): x 1() x () x 1() 0 x () x 1() x () 0 Ξέρουμε να λύνουμε με γενική μέθοδο αυτές τις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις * και επιπλέον, θέτοντας z x 1 ix, μπορούμε να οδηγηθούμε στο μιγαδικό επίπεδο και να καταλήξουμε στη λύση τους διαμέσου της μιγαδικής διαφορικής εξίσωσης: z i z z () () () 0 Αλλά, οι αστρονόμοι γνωρίζουν μια απλή μέθοδο που οδηγεί απευθείας στη λύση των εξισώσεων του Fucaul Θεωρούν ένα σύστημα αναφοράς του οποίου ο τρίτος άξονας είναι ταυτισμένος με τον αντίστοιχο άξονα του τοπικού συστήματος αναφοράς και το οποίο περιστρέφεται γύρω από αυτόν με γωνιακή ταχύτητα: sin Περιστροφή του συστήματος αναφοράς ως προς το τοπικό σύστημα αναφοράς * - Βλ Παράρτημα 5 ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ

22 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Οι συντεταγμένες του περιστρεφόμενου συστήματος αναφοράς σχετίζονται με τις συντεταγμένες του τοπικού συστήματος αναφοράς ως εξής: x cs 1 x 1, x cs x, x 3 x 3 Το περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς προκαλεί τις δικές του αδρανειακές δυνάμεις, τη φυγόκεντρη δύναμη που εντάσσεται στην ελκτική δύναμη της γης και τη δύναμη Crilis η οποία αλληλοαναιρείται με εκείνη που εμφανίζεται στο τοπικό σύστημα αναφοράς Έτσι, στο περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς η κίνηση της ακίδας του εκκρεμούς διέπεται από τις εξισώσεις: x 1() x 1()=0 x () x ()=0 x 1() a1cs( 1) x () acs( ) Άρα, στο τοπικό σύστημα αναφοράς οι λύσεις εκφράζονται ως εξής: x 1() x 1()cs a1cs( 1)cs x () x ()cs a cs( )cs και προκύπτει η τροχιά της ακίδας του εκκρεμούς: x() cs a cs( ), a cs( ) 1 1 Αν την αρχική στιγμή 0 η ακίδα του εκκρεμούς βρίσκεται πρακτικά πάνω στον πρώτο άξονα του τοπικού συστήματος αναφοράς σε απόσταση x (0) x 1 από την αρχή των αξόνων και το εκκρεμές αφεθεί ελεύθερα, τότε προκύπτει a1 x και 1 0 Συνεπώς: x() xcscs 1 Επίσης, θα ισχύει x (0) 0, οπότε / και αν x (0) x (0) τότε θα προκύψει x x x οπότε a x /, άρα: (0) (0) x() x( / )cssin Άρα, η τροχιά που θα διαγράψει στο έδαφος η ακίδα του εκκρεμούς ορίζεται ως εξής: x() x cs cs, ( / )sin * * Έχουμε θέσει: ( sin, g / ) ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ