ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ
|
|
- Πλάτων Ρόκας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΜΑΘΗΜΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Πρώτα απ όλα θέλουμε να βρούμε και να εξηγήσουμε έναν ορισμό που να ταιριάζει όσο το δυνατό καλύτερα στα φυσικά φαινόμενα Και η πεποίθησή μας θα ενισχυθεί κυρίως εφόσον τα πειραματικά ευρήματα συμφωνούν με τις ιδιότητες που αποδείξαμε μία προς μία ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Η απόδοση μαθηματικής υπόστασης στην έννοια της κίνησης στο φυσικό χώρο απαιτεί τη θεώρηση ενός σημειακού γεωμετρικού προτύπου που καλούμε υλικό σημείο και η κίνηση ενός υλικού σημείου εκφράζεται μαθηματικά στον ευκλείδειο χώρο ως συνεχής απεικόνιση ορισμένη στο χρονικό άξονα ή σ ένα διάστημά του: x :I Κάθε χρονική στιγμή το υλικό σημείο καταλαμβάνει μια συγκεκριμένη θέση στο χώρο η οποία προσδιορίζεται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες του ευκλείδειου συστήματος αναφοράς και υποδεικνύεται από το διάνυσμα θέσης: x() x (), x (), x () 1 2 Η τροχιά της κίνησης αναπαρίσταται με την προσανατολισμένη καμπύλη που ορίζεται από την εικόνα αυτής της απεικόνισης στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο και το γράφημά της εκφράζει την εξέλιξη της κίνησης στον αριθμητικό χώρο-χρόνο
2 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στιγμιότυπα της χωροχρονικής εξέλιξης μιας ελικοειδούς κίνησης Οι τροχιές που καταγράφονται στον ευκλείδειο χώρο δεν είναι απαραίτητα λείες, όμως για να οριστεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση του υλικού σημείου χρειάζεται οι συνιστώσες συναρτήσεις της θέσης του να είναι τουλάχιστο δυο φορές παραγωγίσιμες με συνεχείς παραγώγους: x :I, i 1, 2, i Η ταχύτητα με την οποία το υλικό σημείο διανύει την τροχιά του εκφράζεται, τη χρονική στιγμή I, με το εφαπτόμενο διάνυσμα στο σημείο x() : x () x (), x (), x () x 1 2 () και, την ίδια στιγμή, η επιτάχυνση εκφράζεται με το διάνυσμα: x () x1(), x2(), x () x () Τα διανύσματα θέσης, ταχύτητας, επιτάχυνσης μιας κίνησης στον ευκλείδειο χώρο ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ
3 ΜΑΘΗΜΑ ο : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 19 Κάθε χρονική στιγμή, το διάνυσμα της επιτάχυνσης αποσυντίθεται στην επιτρόχια και την κεντρομόλο συνιστώσα του: x () () () όπου () x () και () x () Αποσύνθεση της επιτάχυνσης στην επιτρόχια και στην κεντρομόλο συνιστώσα της Αν η κεντρομόλος συνιστώσα της επιτάχυνσης είναι μηδενική: 0, τότε η τροχιά είναι ευθύγραμμη και αν επιπλέον η επιτρόχια συνιστώσα της είναι επίσης μηδενική: 0, τότε η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλή: x() x v ( x v, x v, x v ), x, v Η κεντρομόλος επιτάχυνση προκαλεί καμπύλωση της τροχιάς, ενώ η επιτρόχια επιτάχυνση επιδρά αποτρεπτικά στην καμπύλωσή της Με την προϋπόθεση μη μηδενισμού της ταχύτητας, η καμπυλότητα της τροχιάς προσμετράται κάθε στιγμή από την τιμή της συνάρτησης: x() x() :I, () x ( ) Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της καμπυλότητας τόσο εντονότερη είναι η καμπύλωση της τροχιάς και η κίνηση είναι ευθύγραμμη μόνο όταν η καμπυλότητα είναι παντού μηδενική Κάθε χρονική στιγμή, εφόσον η καμπυλότητα δεν μηδενίζεται, ορίζεται η στρέψη της τροχιάς που προσμετράται κάθε στιγμή από την τιμή της συνάρτησης: :I, x () x(), x() () 2 x() x() ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ
4 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Όσο μεγαλύτερη είναι η απόλυτη τιμή της στρέψης τόσο εντονότερη είναι η εκτροπή της τροχιάς από το να είναι επίπεδη και η κίνηση είναι επίπεδη μόνο όταν η στρέψη είναι παντού μηδενική Η καμπυλότητα και η στρέψη είναι ενδογενή γεωμετρικά χαρακτηριστικά κάθε τροχιάς που δεν εξαρτώνται από την επιλογή της παραμέτρησής της στον ευκλείδειο χώρο Τα χαρακτηριστικά αυτά εμπεριέχονται στο τρίεδρο Frene της τροχιάς, δηλαδή στο θετικά προσανατολισμένο τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων που, κάθε στιγμή, προσαρτάται στο αντίστοιχο σημείο της τροχιάς και, εφόσον εκεί δεν μηδενίζεται η καμπυλότητα, ορίζεται από τα μοναδιαία διανύσματα: x () x() x() T( ), N( ) B( ) T( ), B( ) = x ( ) x () x () Τρίεδρο Frene σε κάποιο σημείο μιας τροχιάς στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο Η έκφραση των συναρτήσεων που προσμετρούν την καμπυλότητα και τη στρέψη μιας τροχιάς σε κάθε σημείο της προκύπτει με μεταχρονισμό του χρονικού άξονα, δηλαδή με κατάλληλη αναπαραμέτρηση της αριθμητικής του διαβάθμισης Ο μεταχρονισμός δεν επηρεάζει τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της τροχιάς και ορίζεται από την αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση των αντίστοιχων χρονικών διαστημάτων: s :II, s(), όπου, λαμβάνοντας υπόψη το μήκος του διανυθέντος τμήματος της τροχιάς από μια αρχική στιγμή έως μια δεδομένη στιγμή, θέτουμε: s( ) x ( u) du Η αμφιμονοσήμαντη αυτή απεικόνιση είναι αμφιδιαφορίσιμη, δηλαδή η ίδια και η αντίστροφή της είναι διαφορίσιμες, με την προϋπόθεση μη μηδενισμού της ταχύτητας Όταν εξετάζουμε μια κίνηση στον ευκλείδειο χώρο: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ
5 ΜΑΘΗΜΑ ο : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 21 x :I, x() x1(), x2(), x(), ο μεταχρονισμός του χρονικού άξονα οδηγεί στη μεταχρονισμένη κίνηση: όπου x:i, ( ) 1( ), 2( ), ( ) x x x x, x( ) x( s( )) x ( ), I Μεταχρονισμός του χρονικού άξονα και το τρίεδρο Frene σε αντίστοιχο σημείο της τροχιάς Ο μεταχρονισμός του χρονικού άξονα δεν επηρεάζει τη διεύθυνση της ταχύτητας αλλά αλλοιώνει την αριθμητική τιμή της ως εξής: dx i d( xi s ) dxi ds d d d d, i 1, 2, Συνεπώς, η ταχύτητα της μεταχρονισμένης κίνησης έχει σταθερό μοναδιαίο μέτρο: ds d d d x( u) du x( ) x ( ) x ( ) d / ds 1 και η σταθερότητα αυτή επιβάλλει το μηδενισμό της επιτρόχιας επιτάχυνσης, άρα: x( ) x ( ), I * * Η ορθογωνιότητα ταχύτητας και επιτάχυνσης ισχύει μόνο όταν το μέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό: x ( ), x ( ) 1 d x ( ), x ( d ) 0 x ( ), x ( ) 0 x( ) x ( ), I ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ
6 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Η καμπυλότητα της τροχιάς είναι λογικό να οριστεί με τη συνάρτηση που, κάθε μεταχρονισμένη στιγμή, αποδίδει στο αντίστοιχο σημείο της τροχιάς το μέτρο της επιτάχυνσης της μεταχρονισμένης κίνησης: :I, ( ) x ( ) Με την προϋπόθεση μη μηδενισμού της καμπυλότητας, ορίζεται το τρίεδρο Frene της μεταχρονισμένης κίνησης ως το θετικά προσανατολισμένο ορθοκανονικό σύστημα των μοναδιαίων διανυσμάτων: T( ) x ( ), 1 N( ) T( ), B( ) T( ) N( ) ( ) Ας σημειωθεί ότι: B( ) N( ), I * Η στρέψη της τροχιάς είναι λογικό να οριστεί με τη συνάρτηση που, κάθε μεταχρονισμένη στιγμή, αποδίδει στο αντίστοιχο σημείο της τροχιάς την αριθμητική τιμή: :I, ( ) B( ) / N ( ) Τώρα, κάθε στιγμή της κανονικής διαβάθμισης του χρόνου, μπορεί να οριστεί στο αντίστοιχο σημείο της τροχιάς η καμπυλότητα, η στρέψη και το τρίεδρο Frene : :I, (): (()) s και :I, (): ( s()), T( ): T ( s( )), N( ): N ( s( )), B( ) : B ( s( )), I Οι συναρτήσεις και, αντίστοιχα και, δεν ορίζονται απαραίτητα στο ίδιο διάστημα του χρόνου όμως οι τιμές τους είναι ίδιες σε κάθε σημείο x() x( ) * Η συγραμμικότητα αυτή που επιτρέπει τον ορισμό της στρέψης προκύπτει από το ότι: B( ) B ( ) και B( ) T( ) και οι σχέσεις αυτές προκύπτουν ως εξής: B d ( ) 1 B ( ), B ( ) 1 ( ), B B ( ) 0 B ( ), B ( ) 0, I, d d B ( ),T( ) 0 B ( ),T( ) 0 B ( ),T ( ) B ( ),T ( ) 0 d B ( ),T ( ) B ( ),T ( ) B ( ), ( ) N ( ) 0, I ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ
7 ΜΑΘΗΜΑ ο : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 2 Το τρίεδρο Frene που προσαρτάται σε κάθε σημείο μιας τροχιάς παρέχει σημαντικές πληροφορίες για τη συμπεριφορά της κίνησης στο χώρο, πριν την εκδήλωσή της, οι οποίες δεν είναι ορατές από το ευκλείδειο σύστημα αναφοράς Κάθε χρονική στιγμή, το πρώτο μοναδιαίο διάνυσμά του υποδεικνύει την κατεύθυνση της τροχιάς, το δεύτερο υποδεικνύει την κατεύθυνση εκτροπής της από την ευθύγραμμη πορεία και το τρίτο υποδεικνύει την κατεύθυνση εκτροπής της από την επίπεδη πορεία Ο ρυθμός αυτής της εκτροπής μπορεί να αναγνωστεί στον ακόλουθο πίνακα: Όταν επανέλθουμε στην κανονική διαβάθμιση του χρόνου τότε απαιτείται η εισαγωγή ενός διορθωτικού συντελεστή, του μέτρου της ταχύτητας (): x () : T() 0 () 0 T() N() () () 0 () N() B() 0 () 0 B() Στο μεταχρονισμένο πίνακα, η πρώτη και η τελευταία γραμμή δίνουν αντίστοιχα τον ορισμό της καμπυλότητας και της στρέψης της τροχιάς και στην κανονική διαβάθμιση του χρόνου προκύπτει: και B() () () N() T() () () N() Η ενδιάμεση γραμμή του μεταχρονισμένου πίνακα * δίνει μια αξιοσημείωτη πληροφορία η οποία στην κανονική διαβάθμιση του χρόνου εκφράζεται ως εξής: N () () () T() () () B() Οι πληροφορίες αυτές υποδεικνύουν την έκφραση που αποκτούν τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στο σύστημα αξόνων του τριέδρου Frene: x () ()T() και x 2 () ()T() () ()N() * Η απόδειξη αυτής της σχέσης προκύπτει από την κλασική ορθοκανονική ανάπτυξη ενός διανύσματος σε μια ορθοκανονική βάση του ευκλείδειου χώρου: V V,T TV,N NV,BB ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ
8 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Η έκφραση της ταχύτητας είναι αναμενόμενη, όμως στην έκφραση της επιτάχυνσης εμφανίζονται δυο όροι, ο πρώτος που υποδεικνύει το ρυθμό μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας και ο δεύτερος που υποδεικνύει το ρυθμό εκτροπής της διεύθυνσής της από την ευθύγραμμη πορεία Όταν το μέτρο της ταχύτητας είναι σταθερό τότε ισχύει: x 2 () () ()N() Αποσύνθεση της επιτάχυνσης στην επιτρόχια και στην κεντρομόλο συνιστώσα της το τρίεδρο Frene Η υπολογιστική διαδικασία μεταχρονισμού του χρόνου είναι γενικά περίπλοκη και έτσι αναδεικνύεται η πρακτική αξία των τύπων που δόθηκαν στην αρχή της ενότητας: x() x() () x ( ) x() x(), x() και () 2 x ( ) x ( ) * * Η απόδειξη αυτών των τύπων προκύπτει από την ορθοκανονική ανάπτυξη της ταχύτητας και της επιτάχυνσης στο τρίεδρο Frene: x () ()T() και x 2 () ()T() () ()N() Αρκεί ένα απλός υπολογισμός: () () () () x x x x() x( ) x( ) x x () () ()B() () () () x() x() x ( ) και d 2 2 x () ()T() () ()N() () ()N() () () ()B() d άρα 2 6 x () x(), x() () () () και x() x () () () x() x(), x() ( ) x x ( ) () 2 ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ
9 ΜΑΘΗΜΑ ο : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 25 Παραδείγματα υπολογισμού της καμπυλότητας και της στρέψης τροχιών Η τροχιά της κυκλικής ελικοειδούς κίνησης στο χώρο διαγράφεται στην επιφάνεια ενός κυλίνδρου κυκλικής βάσης έτσι ώστε ο φορέας της ταχύτητάς της να διατηρεί σταθερή γωνία με τον άξονα του κυλίνδρου Θεωρώντας το σύστημα αναφοράς στον ευκλείδειο χώρο, έτσι ώστε ο κατακόρυφος άξονάς του να συμπίπτει με τον άξονα του κυλίνδρου, η ομαλή κυκλική ελικοειδής κίνηση ορίζεται ως εξής: x :, () cs, sin, Η ταχύτητά της έχει σταθερό μέτρο: x a a b, a0, b 0 x () a sin, a cs, b x a b v, 2 2 ( ) άρα η επιτάχυνσή της έχει μόνο κεντρομόλο συνιστώσα: x () a cs, a sin,0 x ( ) a Με απευθείας εφαρμογή των τύπων της καμπυλότητας και της στρέψης προκύπτει: και () a () b 2 2 a b, 2 2 a b 1 T( ) a sin, a cs, b, v 1 N( ) cs, sin,0 B( ) b sin, b cs, a v a a, () 0 () 0 Τρίεδρο Frene κυκλικών ελικοειδών τροχιών στον ευκλείδειο χώρο ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ
10 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στην περίπτωση της κυκλικής ελικοειδούς κίνησης ο μεταχρονισμός είναι απλός: 0 s() v d v και θέτοντας s() προκύπτει η μεταχρονισμένη κίνηση: x :, ( ) ( / ) cs( / ), sin( / ), / x x v a v a v b v Όπως είναι αναμενόμενο η ταχύτητά της έχει σταθερό μοναδιαίο μέτρο: 1 x ( ) asin( / v ), cs( a / v), b v και η επιτάχυνσή της έχει μόνο κεντρομόλο συνιστώσα: 1 x ( ) acs( / v ), sin( a / v), 0 v 2 που το μέτρο της υποδεικνύει την καμπυλότητα της τροχιάς σε κάθε σημείο της: (): ( ) x ( ) a 2 2 a b Το τρίεδρο Frene ορίζεται σε κάθε σημείο της τροχιάς από τα μοναδιαία διανύσματα: και από τη σχέση 1 T( ) x( ) asin( / v ), acs( / v ), b, v 1 N( ) x( ) cs( / v ), sin( / v),0, ( ) 1 B( ) T( ) N( ) bsin( / v ), cs( b / v), a v B( ) ( )N( ), προκύπτει η στρέψη της τροχιάς σε κάθε σημείο της: (): ( ) b 2 2 a b * * Στην περίπτωση b 0, η στρέψη είναι μηδενική και προκύπτει η καμπυλότητα () 1/ a, άρα πρόκειται για επίπεδη κυκλική τροχιά ακτίνας a και το τρίεδρο Frene εκφυλίζεται σε δυο ορθογώνιους άξονες ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ
11 ΜΑΘΗΜΑ ο : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 27 Αν η τροχιά της ελικοειδούς κίνησης διαγράφεται στην επιφάνεια ενός κυλίνδρου του οποίου η βάση δεν είναι απαραίτητα κυκλική και ο φορέας της ταχύτητας διατηρεί σταθερή γωνία προς ένα δεδομένο σταθερό άξονα στο χώρο, τότε η καμπυλότητα και η στρέψη δεν είναι πλέον σταθερές αλλά ο λόγος τους είναι σταθερός Η σταθερότητα αυτής της γωνίας προφανώς δεν επηρεάζεται από το μεταχρονισμό της διαβάθμισης του χρονικού άξονα: s ( ) x ( u) du Θεωρώντας τη σταθερή γωνία που ορίζεται από το μοναδιαίο διάνυσμα του άξονα περιέλιξης της τροχιάς και το μοναδιαίο διάνυσμα της ταχύτητας της μεταχρονισμένης κίνησης προκύπτει: x ( ), cs, I Από μια αρχική στιγμή έως μια στιγμή του μεταχρονισμένου χρονικού άξονα, η ανύψωση της τροχιάς στην κατεύθυνση του άξονα περιέλιξης προσμετράται ως εξής: και h( ) x( ) x( ), dh ( ) x ( ), T ( ), T ( ), cs d Ο ρυθμός ανύψωσης της τροχιάς είναι λοιπόν σταθερός, άρα: h ( ) cs και στην κανονική διαβάθμιση του χρόνου προκύπτει: hs (()) s ()cs Η ανύψωση μιας ελικοειδούς τροχιάς στον ευκλείδειο χώρο ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ
12 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α : ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Ο σταθερός άξονας περιέλιξης της ελικοειδούς τροχιάς είναι ορθογώνιος προς το μοναδιαίο διάνυσμα N( ) του συστήματος αναφοράς Frene, άρα περιέχεται στο επίπεδο που ορίζεται κάθε στιγμή από τα δυο άλλα μοναδιαία διανύσματα T( ) και B( ) : T( ), cs T( ), ( ) () N( ), 0 Από την ορθοκανονική ανάπτυξη στο σύστημα αναφοράς Frene: προκύπτει:,t() T (),N() N (),B() B() cs T() sin B() και παραγωγίζοντας και εφαρμόζοντας τους τύπους Frene προκύπτει: ()sin ()cs άρα ο λόγος της καμπυλότητας προς τη στρέψη είναι σταθερός: () / () g Αντίστροφα, αν ο λόγος της καμπυλότητας προς τη στρέψη μιας τροχιάς είναι σταθερός τότε πρόκειται για ελικοειδή τροχιά Πράγματι, επιλέγοντας μια γωνία τέτοια ώστε g () / (), ορίζεται κάθε χρονική στιγμή το διάνυσμα: και προκύπτει: V( ) cs T( ) sin B( ) V( ) ( )cs ( )sin N( ) = 0 Συνεπώς, το διάνυσμα αυτό διατηρείται σταθερό στην πάροδο του χρόνου και ορίζει ένα σταθερό άξονα μέσα στο χώρο γύρω από τον οποίον περιελίσσεται ελικοειδώς η τροχιά, αφού το διάνυσμα της ταχύτητάς της διατηρεί σταθερή γωνία με το μοναδιαίο διάνυσμα V/ V αυτού του άξονα: T( ), cs Άρα, οι ελικοειδείς τροχιές χαρακτηρίζονται από τη σταθερότητα του λόγου της στρέψης προς την καμπυλότητα με την προϋπόθεση μη μηδενισμού τους και όταν στρέψη και καμπυλότητα είναι σταθερές τότε πρόκειται για κυκλικές ελικοειδείς τροχιές ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ
13 ΜΑΘΗΜΑ ο : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ 29 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΓΙΑ ΤΙΣ ΤΡΟΧΙΕΣ ΚΑΙ ΤΙΣ ΤΑΧΥΤΗΤΕΣ Ερωτήματα ενός μαθηματικού προς ένα φυσικό: 1 Σχεδίασα στην ακόλουθη εικόνα την τροχιά στο χώρο και την εξέλιξη στο χώρο-χρόνο μιας ευθύγραμμης παλινδρομικής κίνησης και μιας κυκλικής κίνησης Μπορείς να βγάλεις κάποια συμπεράσματα για την ταχύτητα και την επιτάχυνση αυτών των κινήσεων; 2 Έχεις πειστεί για το ότι οι γαλιλαϊκοί μετασχηματισμοί διατηρούν αναλλοίωτη τη στρέψη και την καμπυλότητα των τροχιών; Έχεις πειστεί για το ότι ο μεταχρονισμός του χρονικού άξονα δεν επηρεάζει τη στρέψη και την καμπυλότητα των τροχιών; Ερωτήματα ενός φυσικού προς ένα μαθηματικό: 1 Ο Νεύτωνας, στη νεαρή του ηλικία, προσπαθούσε να εντοπίσει σε κάθε σημείο μιας τροχιάς το αντίστοιχο κέντρο της καμπυλότητάς της ταυτίζοντάς την τοπικά με το τόξο ενός κύκλου Πώς εντοπίζονται σήμερα αυτά τα κέντρα καμπυλότητας και τι σηματοδοτεί ο γεωμετρικός τους τόπος για μια τροχιά; Θα ήθελα να δω μερικά απλά παραδείγματα 2 Έχεις αντιληφθεί ποιες φυσικές πληροφορίες εμπεριέχει το τρίεδρο Frene μιας τροχιάς; Με το μηχανικό κατασκεύασμα που φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα προσπαθώ να αναδείξω την εξέλιξη στο χώρο-χρόνο μιας ταλαντωτικής κίνησης Μπορείς να βγάλεις κάποιο συμπέρασμα για την ταχύτητα και την επιτάχυνσή της; ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ, Σ Ν ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ
ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ
ΜΑΘΗΜΑ 4: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Στη φύση δεν υπάρχει ίσως τίποτε παλαιότερο από την κίνηση και οι φιλόσοφοι έχουν γράψει για αυτήν βιβλία που δεν είναι ούτε λίγα ούτε μικρά ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ
ΜΑΘΗΜΑ 4: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Στη φύση δεν υπάρχει ίσως τίποτε παλαιότερο από την κίνηση και οι φιλόσοφοι έχουν γράψει για αυτήν βιβλία που δεν είναι ούτε λίγα ούτε μικρά ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 010-11 Μάθημα: ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητές: Σ Πνευματικός Α Μπούντης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Τα φροντιστήρια γίνονται κάθε Δευτέρα 1100-100 και κάθε
Διαβάστε περισσότεραΟΙ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ
ΜΑΘΗΜΑ : ΟΙ ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Simplici: Αυτό πραγματικά δεν μπορώ να το κατανοήσω Salviati: Θα το κατανοήσεις όταν σου δείξω που βρίσκεται το σφάλμα σου ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Ο Γαλιλαίος,
Διαβάστε περισσότεραΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΡΟΣ Α ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ. ΘΕΜΑΤΑ Α ΠΡΟΟΔΟΥ (Νοέμβριος 2011) 2 o2.
ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητής: Σ ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΜΕΡΟΣ Α ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ Α ΠΡΟΟΔΟΥ (Νοέμβριος 011) 1 Από τους ακόλουθους μετασχηματισμούς του αριθμητικού χωρο-χρόνου εντοπίστε
Διαβάστε περισσότεραΗ ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles
Διαβάστε περισσότεραΗ ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ 2: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles
Διαβάστε περισσότεραΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 0 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής: Σ Πνευματικός Μάθημα ο ΤΡΟΧΙΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΤΩΝ ΘΕΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΩΝ Η Κλασική Μηχανική, ως ορθολογική
Διαβάστε περισσότερα14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών.
14 η εβδομάδα (26/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 28, 29 και 30. Έγινε επανάληψη στη Θεωρία Καμπυλών και στη Θεωρία Επιφανειών. 13 η εβδομάδα (16/01/2017 & 19/01/2017) Ασυμπτωτική διεύθυνση και ασυμπτωτικό
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδημαϊκό έτος Καθηγητές: Σ. Πνευματικός Α. Μπούντης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 00- Μάθημα: ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητές: Σ Πνευματικός Α Μπούντης Θέμα Μελέτης 5:η νευτώνεια διατύπωση των νόμων της κίνησης Σχόλια & Απαντήσεις & Προβληματισμοί
Διαβάστε περισσότεραΑκτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα
Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα Εξ ορισμού, ένας κύκλος έχει συγκεκριμένη και σταθερή καμπυλότητα σε όλα τα σημεία του ίση με 1/R όπου R η ακτίνα του.
Διαβάστε περισσότεραn xt ( ) ( x( t),..., x( t)) U n, , i 1,..., n. Έτσι, η εξέλιξη του συστήματος των χημικών ουσιών διέπεται από το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων:
ΜΑΘΗΜΑ 1: ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ Ας θεωρήσουμε ως παράδειγμα ένα σύστημα χημικών ουσιών που υπεισέρχονται σε μια χημική αντίδραση. Η στιγμιαία κατάσταση κάθε ουσίας χαρακτηρίζεται
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ
ΜΑΘΗΜΑ 5: ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ Salviati: Εκεί που δεν μας βοηθούν οι αισθήσεις πρέπει να παρέμβει η λογική, γιατί μόνο αυτή θα επιτρέψει να εξηγήσουμε τα φαινόμενα ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Η μαθηματική
Διαβάστε περισσότεραΗ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ
ΜΑΘΗΜΑ 5: Η ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ Ο ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΜΟΣ Salviati: Εκεί όπου δεν μας βοηθούν οι αισθήσεις πρέπει να παρέμβει η λογική, γιατί μόνο αυτή θα επιτρέψει να εξηγήσουμε τα φαινόμενα ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ ΔΙΑΛΟΓΟΙ Η
Διαβάστε περισσότεραΗ επιτάχυνση και ο ρόλος της.
Η επιτάχυνση και ο ρόλος της. Το μέγεθος «επιτάχυνση» το συναντήσαμε κατά τη διδασκαλία στην Α Λυκείου, όπου και ορίσθηκε με βάση την εξίσωση: t Όπου η παραπάνω μαθηματική εξίσωση μας λέει ότι η επιτάχυνση:
Διαβάστε περισσότεραΟ ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ Ο ΧΡΟΝΟΣ
Ο ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ Ο ΧΡΟΝΟΣ. Γενικές αρχές. Η αντιληπτική μας ικανότητα του Φυσικού Χώρου, μας οδηγεί στον προσδιορισμό των σημείων του, μέσω τριών ανεξαρτήτων παραμέτρων. Είναι, λοιπόν, αποδεκτή η απεικόνισή
Διαβάστε περισσότεραΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Δυο κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι και βαθμονομημένοι άξονες A Α Έστω σημείο Α στο επίπεδο Η θέση του προσδιορίζεται από τις προβολές στους άξονες A, A 0 A Η
Διαβάστε περισσότεραΗμερολόγιο μαθήματος
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤPΙΑ Ι ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2018 19 Τμήμα Α Διδάσκων: Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης Website URL: http://stamata.webpages.auth.gr/geometry/ Ημερολόγιο
Διαβάστε περισσότεραΗ Επιτάχυνση. η τα- χύτητά του ( Σχήμα 1 ). Από τον ορισμό της ταχύτητας θα ισχύει (3)
Η Επιτάχυνση η τα- Έστω r ( t ) ( t ) i ( t ) j z ( t ) k το διάνυσμα θέσης του κινητού Μ και ( t ) χύτητά του ( Σχήμα 1 ). Από τον ορισμό της ταχύτητας θα ισχύει r ( t ) r ( t ) ή πιο απλά (1) t t Άρα
Διαβάστε περισσότεραΣχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής.
ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 55 Σχόλιο. Κατασκευή των τροχιών της δισδιάστατης γραμμικής δυναμικής. Η δισδιάστατη γραμμική δυναμική ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο από ένα σύστημα
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ. 4. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα του υπερβολικού παραβολειδούς. 5. Να βρεθεί η κάθετη καμπυλότητα της ελικοειδούς επιφάνειας.
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α.Π.Θ. ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΙΙ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2018 19 Kαθηγητής Στυλιανός Σταματάκης URL: http://stamata.webpages.auth.gr/geometry/ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εξεταστεί πώς αλλάζει
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΜΕΡΟΣ Β.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 0- ΜΑΘΗΜΑ: Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΜΕΡΟΣ Β ΠΕΔΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΗΝ Μάθημα ο Στην Κλασική Μηχανική, ένα πεδίο δυνάμεων ορίζεται στον τρισδιάστατο ευκλείδειο
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 19//013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 υ (m/s) Σώμα μάζας m = 1Kg κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά
Διαβάστε περισσότεραΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ
ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα
Διαβάστε περισσότερα1. Κίνηση Υλικού Σημείου
1. Κίνηση Υλικού Σημείου Εισαγωγή στην Φυσική της Γ λυκείου Τροχιά: Ονομάζεται η γραμμή που συνδέει τις διαδοχικές θέσεις του κινητού. Οι κινήσεις ανάλογα με το είδος της τροχιάς διακρίνονται σε: 1. Ευθύγραμμες
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Στην εκτέλεση πέναλτι, ο ποδοσφαιριστής κτυπά ακίνητη μπάλα, με σκοπό να της δώσει ταχύτητα και κατεύθυνση ώστε να σκοράρει. Υπό προϋποθέσεις, η εκτέλεση μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Προπτυχιακό Μάθημα - Ακαδημαϊκό έτος * Καθηγητές: Σ. Πνευματικός - Α. Μπούντης ΕΙΣΑΓΩΓΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Προπτυχιακό Μάθημα - Ακαδημαϊκό έτος 2010-11 * Καθηγητές: Σ. Πνευματικός - Α. Μπούντης ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο όρος δυναμικό σύστημα δηλώνει κάθε σύστημα, φυσικό,
Διαβάστε περισσότεραΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Κεφ. 1, Κινηματική υλικού σημείου Κλασική Μηχανική, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 10 Απριλίου 2012 1. Αν το διάνυσμα θέσης υλικού σημείου είναι: r(t) = [ln(t
Διαβάστε περισσότεραv = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΉΣ Ι ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, 9 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 019 ΚΏΣΤΑΣ ΒΕΛΛΙΔΗΣ, cvellid@phys.uoa.r, 10 77 6895 ΘΕΜΑ 1: Σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα u κατά µήκος οριζόντιας ράβδου που περιστρέφεται
Διαβάστε περισσότεραds ds ds = τ b k t (3)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Στην εκτέλεση πέναλτι, ο ποδοσφαιριστής κτυπά ακίνητη μπάλα, με σκοπό να της δώσει ταχύτητα και κατεύθυνση ώστε να σκοράρει. Υπό προϋποθέσεις, η εκτέλεση μπορεί να ιδωθεί
Διαβάστε περισσότεραΗ μέθοδος του κινουμένου τριάκμου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ειδίκευση Θεωρητικών Μαθηματικών Σ Σταματάκη Η μέθοδος του κινουμένου τριάκμου Σημειώσεις
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /0 Έστω r rx, y, z, I a, b συνάρτηση C τάξης και r r r x y z Nα αποδείξετε ότι: d dr r (α) r r, I r r r d dr d r (β) r r, I dr (γ) Αν r 0, για κάθε I κάθε I d (δ)
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Εικόνα: Στην εκτέλεση πέναλτι, ο ποδοσφαιριστής κτυπά ακίνητη μπάλα, με σκοπό να της δώσει ταχύτητα και κατεύθυνση ώστε να σκοράρει. Υπό προϋποθέσεις, η εκτέλεση μπορεί να ιδωθεί ως κίνηση σε δυο (αντί
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6
ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6 ΜΑΘΗΜΑ : ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Θεωρούμε ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές εκφρασμένο στις καρτεσιανές συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,
Διαβάστε περισσότεραΟμαλή Κυκλική Κίνηση 1. Γίνεται με σταθερή ακτίνα (Το διάνυσμα θέσης έχει σταθερό μέτρο και περιστρέφεται γύρω από σταθερό σημείο.
Ομαλή Κυκλική Κίνηση 1. Γίνεται με σταθερή ακτίνα (Το διάνυσμα θέσης έχει σταθερό μέτρο και περιστρέφεται γύρω από σταθερό σημείο. 1 3 υ υ 1 1. Το μέτρο της ταχύτητας του υλικού σημείου είναι σταθερό.
Διαβάστε περισσότεραΟΡΜΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ
ΜΑΘΗΜΑ 7: ΟΡΜΗ, ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ, ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Sagredo: Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι η ορμή ενός σώματος σε πτώση διπλασιάζεται όταν αυτό πέφτει από διπλάσιο ύψος Salvat: Είναι πολύ παρήγορο που είχα τέτοιο
Διαβάστε περισσότεραΜπερδέματα πάνω στην κεντρομόλο και επιτρόχια επιτάχυνση.
Μπερδέματα πάνω στην κεντρομόλο και επιτρόχια επιτάχυνση. Τις προηγούµενες µέρες έγινε στο δίκτυο µια συζήτηση µε θέµα «Πόση είναι η κεντροµόλος επιτάχυνση;» Θεωρώ αναγκαίο να διατυπώσω µε απλό τρόπο κάποια
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;).
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 1 Τμήμα Α Ακ.Έτος: 6-7 Διδάσκων Σ.Ε.Π. : Τρύφων Δάρας ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Μία συνάρτηση της μορφής r ():[ aβ, ] (αντίστοιχα r ():[, ] aβ ) λέμε ότι παριστάνει
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑ 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ
ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑ 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ 1. Σώμα μάζας m=15/π Kg εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας R=20/π m με φορά αντίθετη απ τους δείκτες του ρολογιού. Αν το σώμα
Διαβάστε περισσότερα1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.
1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση-Μάθημα 12 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών-καμπύλες-πολικές συντεταγμένες
Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας και Διοίκησης Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γ. Καραγιώργος ykarag@aegean.gr Ανασκόπηση-Μάθημα 12 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών-καμπύλες-πολικές συντεταγμένες Στο δωδέκατο μάθημα (24/10/2018)
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος a) Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο P (5,,3) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα iˆ+ 4ˆj kˆ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 Διαστάσεις
Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε και 3 Διαστάσεις Κίνηση υλικού σημείου στο επίπεδο ( -D) και στο χώρο (3 -D). Ορισμός διανυσμάτων για την μελέτη της -D 3-D κίνησης: Θέση, Μετατόπιση Μέση και στιγμιαία ταχύτητα Μέση
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΕΚΤΑΣΗΣ ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ ΠΑΤΕΡΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ. Καθ. Βλάσης Κουµούσης
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης Θεωρία Κελυφών Βασικές αρχές (διαφορική γεωµετρία) Καµπύλη στο χώρο Μοναδιαίο Εφαπτοµενικό ιάνυσµα
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μηχανική Στερεού Σώματος - Κύλιση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής αντιμετωπίζαμε κάθε σώμα που μελετούσαμε την κίνηση του ως υλικό
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Ερωτήσεις 1. Στην ομαλή κυκλική κίνηση, α. Το μέτρο της ταχύτητας διατηρείται σταθερό. β. Η ταχύτητα διατηρείται σταθερή. γ. Το διάνυσμα της ταχύτητας υ έχει την
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης
(Με ιδέες και υλικό από ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης από παλαιότερες διαφάνειες του κ. Καραμπαρμπούνη) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 5 6 6 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ Μέση και Στιγμιαία Ταχύτητα Επιτάχυνση Διαφορικές
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 7: ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ
ΜΑΘΗΜΑ 7: ΟΡΜΗ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ Sagredo: Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι η ορμή ενός σώματος σε πτώση διπλασιάζεται όταν αυτό πέφτει από διπλάσιο ύψος Salvat: Είναι πολύ παρήγορο που είχα τέτοιο σύντροφο στην πλάνη,
Διαβάστε περισσότερα2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση
2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς
Παράρτημα Ι 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Ας θεωρήσουμε μια κυκλική στεφάνη ακτίνας a η οποία κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε μια ευθεία (για ευκολία υποθέστε ότι η ευθεία είναι ο
Διαβάστε περισσότερα10. Παραγώγιση διανυσµάτων
Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 51 10 Παραγώγιση διανυσµάτων 101 Παράγωγος διανυσµατικής συνάρτησης Αν οι συνιστώσες ενός διανύσµατος = είναι συνεχείς συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου Ερώτηµα 2
Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου 2000 Ερώτηµα 1 Βα), και, Οι εξισώσεις κίνησης είναι, Έχουµε δύο ασύζευκτους αρµονικούς ταλαντωτές συχνότητας Η Χαµιλτονιανή αυτή θα µπορούσε να περιγράφει µικρές
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε
Διαβάστε περισσότεραΜέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.
Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Κεφ. 2, Δυναμική υλικού σημείου Κλασική Μηχανική, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 29 Μαΐου 2012 1. Στο υλικό σημείο A ασκούνται οι δυνάμεις F 1 και F2 των οποίων
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT
ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΜΕΣΩ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ CLAIRAUT Αρβανιτογεώργος Ανδρέας Πατέρας Ιωάννης ΓΕΩΔΑΙΣΙΑΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Στόχος Εργασίας Η εύρεση των γεωδαισιακών καμπυλών πάνω σε μια επιφάνεια.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις
Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,
Διαβάστε περισσότεραΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ. t 1 (x 1,y 1 ) Η αρχή ενός οποιουδήποτε ορθογωνίου xy συστήματος συντεταγμένων
ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ 1 ( 1, 1 ) ορθογωνίου συστήματος r1 1 1 ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ (, ) ορθογωνίου συστήματος r ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ 3 ( 3, 3 ) ορθογωνίου συστήματος r3 3 3 ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ 4 ( 4, 4
Διαβάστε περισσότερακαι αναζητούμε τις λύσεις του:
ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 3. ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ Η γραμμική δυναμική που ορίζεται στο ευκλείδειο επίπεδο εκφράζεται με ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με
Διαβάστε περισσότερα14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες.
14 η εβδομάδα (27/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 39, 41 και 42. Έγινε επανάληψη και λύθηκαν ερωτήματα και απορίες. 13 η εβδομάδα (20/01/2017) Έγιναν οι ασκήσεις 31, 32, 33, 34, 36 και 37 11 η 12 η εβδομάδα
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Κλασικής Μηχανικής, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 19 Απριλίου 2013 Κεφάλαιο Ι 1. Να γραφεί το διάνυσμα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης υλικού σημείου σε
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ
Σχολικό Έτος 016-017 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ Α. ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ Οριζόντια βολή, ονομάζουμε την εκτόξευση ενός σώματος από ύψος h από το έδαφος, με οριζόντια ταχύτητα u o, όταν στο σώμα επιδρά
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΜΕΛΙΩ ΕΙΣ ΑΡΧΕΣ «Η φιλοσοφία της φύσης είναι γραµµένη σε εκείνο το µεγάλο βιβλίο που βρίσκεται συνεχώς µπροστά στα µάτια µας, εννοώ το Σύµπαν εν µπορούµε όµως να το κατανοήσουµε χωρίς να µάθουµε
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία
71 Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία Ενότητα: Λσμένα Παραδείγματα Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών 71 72 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότεραΣφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης
Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους
Διαβάστε περισσότερα = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z
Οκτώβριος 2017 Ν. Τράκας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα: κατεύθυνση (διεύθυνση και ϕορά) και μέτρο. Συμβολισμός: A ή A. Αναπαράσταση μέσω των συνιστωσών του: A = (A x, A y ) σε 2-διαστάσεις και
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΧΑΡΑΞΕΩΝ 3
ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΧΑΡΑΞΕΩΝ 3 Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστημίου Δυτικής Αττικής 3ο εξάμηνο http://eclass.uniwa.gr Αποτυπώσεις
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου
Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Θέμα 1 ο Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 να επιλέξετε τη μια σωστή απάντηση: 1. Όταν ένα σώμα ισορροπεί τότε: i. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις
Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.
Χώρος Διανύσματα Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων. Καρτεσιανές συντεταγμένες και διανύσματα στο χώρο. Στο σύστημα καρτεσιανών (ή ορθογώνιων) συντεταγμένων κάθε
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 2015
ΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 15 Ct 1. Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται σε ευθεία γραμμή είναι a At Be, όπου Α, B, C είναι θετικές ποσότητες. Η αρχική ταχύτητα του σώματος είναι
Διαβάστε περισσότεραENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ
ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική Ι 20 Οκτωβρίου 2011
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική Ι 20 Οκτωβρίου 20 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέμα Α: (α) Να υπολογίσετε το βαρυτικό δυναμικό σε απόσταση r από το κέντρο ευθύγραμμης ράβδου
Διαβάστε περισσότεραΜηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης
Μηχανική Στερεού Ασκήσεις Εμπέδωσης Όπου χρειάζεται, θεωρείστε δεδομένο ότι g = 10m/s 2. 1. Μία ράβδος ΟΑ, μήκους L = 0,5m, περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που περνάει από το ένα άκρο της Ο, με σταθερή
Διαβάστε περισσότεραΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ
ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ Οι δακτύλιοι του Κρόνου είναι ένα σύστημα πλανητικών δακτυλίων γύρω από αυτόν. Αποτελούνται από αμέτρητα σωματίδια των οποίων το μέγεθος κυμαίνεται από μm μέχρι m, με
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ DIALOGVS DE SYSTEMATE MVNDI "Dialg spra i due massimi sisemi del mnd" 16 «Η φιλοσοφία της φύσης είναι γραμμένη σε εκείνο το μεγάλο βιβλίο που βρίσκεται
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2012-13 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής: Σ. Πνευματικός ΘΕΜΑΤΑ ΜΕΛΕΤΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΥ Μάθημα 2 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΟΥΣ
Διαβάστε περισσότερα5 η Εβδομάδα Έργο και κινητική ενέργεια. Ομαλή κυκλική κίνηση Έργο δύναμης Κινητική ενέργεια Θεώρημα έργου ενέργειας
5 η Εβδομάδα Έργο και κινητική ενέργεια Ομαλή κυκλική κίνηση Έργο δύναμης Κινητική ενέργεια Θεώρημα έργου ενέργειας Ομαλή κυκλική κίνηση Κίνηση σωματίου σε κύκλο με ταχύτητα σταθερού μέτρου. Επιτάχυνση
Διαβάστε περισσότεραΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ
ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της
Διαβάστε περισσότεραΣ 1 γράφεται ως. διάνυσµα στο Σ 2 γράφεται ως. Σ 2 y Σ 1
Στη συνέχεια θεωρούµε ένα τυχαίο διάνυσµα Σ 1 γράφεται ως, το οποίο στο σύστηµα Το ίδιο διάνυσµα µπορεί να γραφεί στο Σ 1 ως ένας άλλος συνδυασµός τριών γραµµικώς ανεξαρτήτων διανυσµάτων (τα οποία αποτελούν
Διαβάστε περισσότερα( () () ()) () () ()
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t ( t z( t t I = [ a b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι: d 1 1
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,,
ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 06 0 07 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Πολικές Συντεταγμένες Κυλινδρικές Συντεταγμένες Σφαιρικές Συντεταγμένες Στοιχειώδεις Όγκοι ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραΗ άσκηση μιας ιστορίας
Η άσκηση μιας ιστορίας Η άσκηση (Σχολικό βιβλίο Φυσικής Α Λυκείου Άσκηση 14 / Σελίδα 158) «Ένα όχημα έχει λάστιχα διαμέτρου 0,8 m. Βρείτε την ταχύτητα και την κεντρομόλο επιτάχυνση ενός σημείου στο πέλμα
Διαβάστε περισσότεραΜια μεταβαλλόμενη κυκλική κίνηση. Φ.Ε.
Μια μεταβαλλόμενη κυκλική κίνηση. Φ.Ε. ) Ένα σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή ασκείται πάνω του μια οριζόντια σταερή δύναμη F, όπως στο σχήμα. i) Σε ποια διεύυνση α κινηεί το σώμα;
Διαβάστε περισσότεραΗ ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ, ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ, ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 011 1 ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Καθηγητής: Σ. Πνευματικός Μάθημα 1 ο Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ, ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ, ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Κάθε επιστημονική
Διαβάστε περισσότεραΚλασικη ιαφορικη Γεωµετρια
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Τρίτη Εργασία, 2018-19 Επιφάνειες Εξάσκηση µε ϐασικούς υπολογισµούς κινούµενης
Διαβάστε περισσότερα2 ο Μάθημα Κίνηση στο επίπεδο
ο Μάθημα Κίνηση στο επίπεδο Διανύσματα διάνυσμα θέσης διάνυσμα μετατόπισης σώματος διάνυσμα ταχύτητας διάνυσμα επιτάχυνσης κίνηση βλήματος ανάλυση κίνησής του σε οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα ομαλή
Διαβάστε περισσότεραmu l mu l Άσκηση Μ3 Μαθηματικό εκκρεμές Ορισμός
Άσκηση Μ3 Μαθηματικό εκκρεμές Ορισμός Μαθηματικό εκκρεμές ονομάζεται μια σημειακή μάζα, η οποία είναι αναρτημένη σε νήμα. Το ίδιο το νήμα δεν έχει δική του μάζα και το οποίο εξάλλου δεν μπορεί να επιμηκυνθεί.
Διαβάστε περισσότερα2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης
Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική
Διαβάστε περισσότεραX u, X u. Z = X u. W EG F 2 (X v F E X u). X u, X v X v, X v
Κεφάλαιο 6 Το Θαυμαστό Θεώρημα Σύνοψη Στο Κεφάλαιο αυτό αποδεικνύουμε ένα από τα δύο κεντρικά θεωρήματα της θεωρίας επιφανειών το άλλο είναι το Θεώρημα των auss-bonnet. Το θεώρημα αυτό είναι γνωστό ως
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 2ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Ποιες από τις επόμενες καμπύλες παριστάνουν ευθείες γραμμές; r ( ) 8,, ˆ ˆ r ˆ () i 7 j+ k r ( )
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :
Διαβάστε περισσότεραΤα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΚΛΟΣ
ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 03-03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΚΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΒΓ=ΑΓ ΑΒ ΑΜ= ΑΒ+ΑΓ ( ) u= x i+ y j= ( x, y) u = x + y y λ =, x 0 u x Συντεταγμένες
Διαβάστε περισσότερα