ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδημαϊκό έτος Καθηγητές: Σ. Πνευματικός Α. Μπούντης

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 00- Μάθημα: ΜΗΧΑΝΙΚΗ Καθηγητές: Σ Πνευματικός Α Μπούντης Θέμα Μελέτης 5:η νευτώνεια διατύπωση των νόμων της κίνησης Σχόλια & Απαντήσεις & Προβληματισμοί Οι νόμοι της κίνησης στο βιβλίο του Νεύτωνα Ο Νεύτωνας διατύπωσε τους νόμους της Κλασικής Μηχανικής βασισμένος στην έννοια της δύναμης Από φυσική άποψη η δύναμη εισάγεται ως πρωταρχική έννοια που εκφράζει το αίτιο της μεταβολής της κίνησης και από μαθηματική άποψη δηλώνεται ως διανυσματική συνάρτηση ορισμένη στο χώρο των θέσεων και ταχυτήτων με τιμές στο χώρο των θέσεων: F: Ο ος νόμος αποτελεί τη νευτώνεια πρόταση αξιωματικής εισαγωγής των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς και ανταποκρίνεται στη γαλιλαϊκή αρχή της σχετικότητας Στην Κλασική Μηχανική, τα συστήματα αναφοράς έχουν καθαρά χωρικά χαρακτηριστικά και για τον προσδιορισμό της κίνησης ο χρόνος υπεισέρχεται παραμετρικά και η μέτρησή του είναι παντού ίδια, όπως το είχε υποδείξει ο Νεύτωνας Τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς χαρακτηρίζονται με το ότι, αν σε ένα σώμα δεν ασκείται δύναμη ή αν η συνισταμένη των ασκούμενων σε αυτό δυνάμεων είναι μηδενική τότε, σε αυτά τα συστήματα αναφοράς, η καταγραφόμενη ταχύτητά του είναι σταθερή, χωρίς να γίνεται διάκριση από την κατάσταση ακινησίας Τα συστήματα αναφοράς στα οποία δεν ισχύει αυτή η αξιωματική απαίτηση δεν ανήκουν στην κλάση των

2 αδρανειακών συστημάτων αναφοράς Όταν ένας παρατηρητής τοποθετημένος σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς βρίσκει ότι ένα σώμα ηρεμεί τότε ένας άλλος παρατηρητής, τοποθετημένος σε οποιοδήποτε άλλο αδρανειακό σύστημα αναφοράς, δηλαδή κινούμενο ευθύγραμμα ομαλά ως προς το πρώτο, βρίσκει ότι το ίδιο σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα, άρα και οι δυο, βασιζόμενοι σε αυτόν το νόμο, συμπεραίνουν ότι δεν ασκείται επάνω του δύναμη Ο Νεύτωνας, στο κείμενό του, περιγράφει αυτή την αξιωματική απαίτηση και από την περιγραφή του προκύπτει ότι ο όρος αδρανειακή κίνηση συμπεριλαμβάνει τη μεταφορική και τη περιστροφική κίνηση των σωμάτων: Τα βλήματα διατηρούν την κίνησή τους εφόσον δεν επιβραδύνονται από την αντίσταση του αέρα ή δεν ωθούνται προς τα κάτω από τη δύναμη της βαρύτητας Μια σβούρα, τα μέρη της οποίας με τη συνοχή τους εκτρέπονται συνεχώς από τις ευθύγραμμες κινήσεις, δεν παύει να περιστρέφεται εκτός αν επιβραδυνθεί από τον αέρα Τα μεγαλύτερα σώματα, των πλανητών και των κομητών, ενώ βρίσκουν πιο μικρή αντίσταση σε πιο ελεύθερους χώρους, διατηρούν την κίνησή τους, μεταφορική και στροφική μαζί, για πολύ μεγαλύτερο χρόνο Το να πούμε λοιπόν ότι ένα σώμα κινείται με σταθερή ή όχι ταχύτητα είναι ασαφές αφού τα συστατικά του στοιχεία ίσως έχουν διαφορετικές από αυτό ταχύτητες και επιταχύνσεις Ο Νεύτωνας όμως είχε προβλέψει την κάλυψη αυτού του νομοθετικού κενού με τον τρίτο νόμο του, ο οποίος στην πραγματικότητα βρίσκεται πίσω από τον πρώτο νόμο, αλλά πίσω και από τον δεύτερο νόμο Συνεπώς, μπορούμε να διατυπώσουμε τον πρώτο νόμο ως εξής: Κάθε υλικό σημείο στο οποίο δεν ασκείται δύναμη ή αν η συνισταμένη των ασκούμενων σε αυτό δυνάμεων είναι μηδενική, στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς διατηρείται σε κατάσταση ακινησίας ή εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση: F 0 x = σταθερό Ο ος νόμος προϋποθέτει την ύπαρξη των αδρανειακών συστημάτων αναφοράς που εισάγονται από τον πρώτο νόμο και δηλώνει ότι, σε οποιοδήποτε αδρανειακό σύστημα αναφοράς, η καταγραφόμενη επιτάχυνση ενός σώματος είναι ανάλογη της ασκούμενης σε αυτό δύναμης Συνεπώς, μπορούμε να διατυπώσουμε τον δεύτερο νόμο ως εξής: Στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς, η δύναμη που ασκείται σε ένα υλικό σημείο προκαλεί ανάλογη επιτάχυνση και η κίνησή του διέπεται από τη θεμελιώδη εξίσωση: d x = F( xx, ) που αποσυντίθεται στις συνιστώσες διαφορικές εξισώσεις: d x = F( xx, ), d x = F( xx, ), d x3 = F( 3 xx, ) Ο νόμος αυτός υποδεικνύει επιπλέον το διανυσματικό χαρακτήρα της δύναμης και καθορίζει τη μάζα ως συντελεστή αναλογίας της δύναμης προς την επιτάχυνση Έως την εποχή του

3 Νεύτωνα, η έννοια της μάζας ως ποσότητα της ύλης (quanttas aterae) που περιέχεται σε ένα σώμα παρέμενε ασαφής τουλάχιστο ως προς τη μετρησιμότητά της Πάντως, ήταν αντιληπτό ότι η μάζα αποτελεί μέτρο της αδράνειας της ύλης και για το λόγο αυτό καλείται αδρανειακή μάζα και θεωρείται σταθερή μη επηρεαζόμενη από την ταχύτητα του σώματος Εντούτοις, ο ορισμός αυτής της έννοιας και η δυσκολία αποσαφήνισής της προκάλεσαν μακρόχρονες αντιπαραθέσεις και επιστημολογικούς προβληματισμούς Η θεμελιώδης εξίσωση της κίνησης δεν βρίσκεται σε αντίφαση με τον πρώτο νόμο αφού στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς ισχύει: F 0 d x 0 3 = xt () = xo + vt o, xo, vo Ο 3 ος νόμος εισάγει τις δυνάμεις αλληλεπίδρασης που ασκούνται μεταξύ των σωμάτων, δηλώνοντας ότι μεταξύ δυο σωμάτων ασκούνται αμοιβαίες αντίρροπες δυνάμεις ίδιου μέτρου Έτσι, υλικά σημεία που συγκροτούν ένα σύστημα αλληλεπιδρούν ανά δύο μεταξύ τους με αμοιβαίες αντίρροπες δυνάμεις ίδιου μέτρου και, αν f j είναι η ασκούμενη δύναμη στο -οστό υλικό σημείο από το j-οστό υλικό σημείο, ισχύει: f + f =0 j j Συνεπώς, η συνολικά ασκούμενη δύναμη στο -οστό υλικό σημείο από τα υπόλοιπα υλικά σημεία του συστήματος προσμετράται ως εξής: f = fj = f j e j j= j= j j όπου e j δηλώνει το μοναδιαίο διάνυσμα του προσανατολισμένου άξονα που ορίζεται από το -οστό προς το j-οστό υλικό σημείο και fj = f j το μέτρο της δύναμης αλληλεπίδρασης fj = fj Αν στα υλικά σημεία ενός συστήματος δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις αλλά μόνο οι εσωτερικές δυνάμεις αλληλεπίδρασης, λέμε ότι πρόκειται για κλειστό σύστημα Στην πραγματικότητα δεν υπάρχουν κλειστά συστήματα αφού όλα τα σώματα αλληλεπιδρούν μεταξύ τους με δυνάμεις, ακόμη και αν αυτές είναι πρακτικά αμελητέες Όμως, η θεώρηση κλειστών συστημάτων προσφέρει εννοιολογική και πρακτική δυνατότητα διαχωρισμού ενός συστήματος από το υπόλοιπο περιβάλλον και προκύπτει η πλέον σημαντική συνέπεια του τρίτου νόμου, η άλληλοαναίρεση των δυνάμεων αλληλεπίδρασης στο εσωτερικό κάθε συστήματος: f = f = 0 j = = j= j

4 Εσωτερικές δυνάμεις αλληλεπίδρασης σε ένα κλειστό σύστημα υλικών σημείων Ο τρίτος νόμος, παρότι απλός στη διατύπωσή του, εννοιολογικά δεν είναι τόσο ευνόητος Πρόκειται για νόμο δυνάμεων και όχι για νόμο κίνησης όπως οι δυο πρώτοι, τουλάχιστο άμεσα Ο νόμος αυτός προκάλεσε μια σειρά εννοιολογικών δυσχερειών όπως αυτή που αφορά στη δράση μιας δύναμης από απόσταση και στην πρόκληση αντίστοιχης αντίδρασης Αφού οι δυνάμεις δεν δρουν ακαριαία στο χώρο, οφείλουμε να αναρωτηθούμε για το τι συμβαίνει στο ενδιάμεσο χρονικό διάστημα έως ότου ένα σώμα αντιδράσει στην παρουσία ενός άλλου υπακούοντας σε αυτό το νόμο Πάντως, η πλέον σημαντική συνέπειά του είναι η αλληλοαναίρεση των δυνάμεων αλληλεπίδρασης στο εσωτερικό κάθε συστήματος Η πηγή και η δράση των εσωτερικών δυνάμεων το αίτιο και το αποτέλεσμα βρίσκονται μέσα στο θεωρούμενο σύστημα, ενώ οι εξωτερικές δυνάμεις που δρουν στο σύστημα έχουν την προέλευσή τους έξω από αυτό Όμως, μια εξωτερική δύναμη που δρα σε ένα σύστημα, σε κάποια από τα συστατικά του στοιχεία, μπορεί να είναι εσωτερική δύναμη άλλου συστήματος! Ο Νεύτωνας είχε γράψει: Σε κάθε δράση υπάρχει πάντα μια ίση αντίδραση και αυτό σημαίνει ότι για κάθε δύναμη στη φύση υπάρχει πάντα μια ίση και αντίθετη δύναμη Ένα σύστημα στο οποίο δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις, σύμφωνα με τον πρώτο νόμο, κινείται χωρίς επιτάχυνση, άρα η συνισταμένη των εσωτερικών δυνάμεων είναι μηδενική Αυτό σημαίνει ότι πίσω από τον πρώτο νόμο βρίσκεται ο τρίτος νόμος, όπως επίσης βρίσκεται πίσω και από τον δεύτερο νόμο Ο πρώτος και δεύτερος νόμος δεν επαρκούν χωρίς τον τρίτο νόμο, γιατί το να πούμε ότι ένα σώμα κινείται με σταθερή ή όχι ταχύτητα είναι ασαφές αφού τα συστατικά του στοιχεία ίσως έχουν διαφορετικές από αυτό ταχύτητες και επιταχύνσεις Η ασάφεια αίρεται όταν αναδιατυπώσουμε τους νόμους αναφερόμενοι στο αδρανειακό κέντρο των σωμάτων

5 Ένα σύστημα υλικών σημείων με αντίστοιχες προσαρτημένες μάζες, =,,, θα αναφέρεται πλέον με τον όρο σύστημα σημειακών μαζών και κάθε σημειακή μάζα θα εντοπίζεται στον ευκλείδειο χώρο, κάθε χρονική στιγμή, με το διάνυσμα θέσης r () t, =,, Η συνολική μάζα του συστήματος προσμετράται ως εξής: = + + Τo αδρανειακό κέντρο ή κέντρο μάζας ενός συστήματος σημειακών μαζών είναι έννοια ενδογενής, δηλαδή ανεξάρτητη από την επιλογή της αρχής ως προς την οποία θεωρούνται τα διανύσματα θέσης των σημειακών μαζών και περιγράφεται ως η μέση θέση τους συνολικής μάζας του συστήματος Το διάνυσμα θέσης του είναι ο σταθμικός μέσος των διανυσμάτων θέσης των σημειακών μαζών του συστήματος με σταθμικούς συντελεστές /, =,, : rt () = r () t = Στην πραγματικότητα, στο αδρανειακό κέντρο δεν υπάρχει μάζα ούτε ασκείται δύναμη, όμως είναι το μοναδικό σημείο με το οποίο προσομοιώνεται η μέση κίνηση ολόκληρου του συστήματος, σα να ήταν συγκεντρωμένη εκεί όλη η μάζα του και σα να ασκούνταν εκεί αθροισμένες όλες οι δυνάμεις που ασκούνται τους σημειακές του μάζες Στο αδρανειακό κέντρο προσαρτάται η ταχύτητα και η επιτάχυνση: rt () = r () t = και rt () = r () t = Το αδρανειακό κέντρο ενός κλειστού συστήματος σημειακών μαζών

6 Αν σε κάθε σημειακή μάζα ασκείται μια εξωτερική δύναμη f, =,,, η συνολική εξωτερική δύναμη που ασκείται στο σύστημα προσμετράται ως εξής: F = + + f f f Ο τρίτος νόμος του Νεύτωνα υποδεικνύει την αλληλοαναίρεση των εσωτερικών δυνάμεων του συστήματος και έτσι οι δυο πρώτοι νόμοι μπορούν να αναδιατυπωθούν στα αδρανειακά συστήματα αναφοράς ως εξής: - Όταν η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στις σημειακές μάζες ενός συστήματος είναι μηδενική, το αδρανειακό του κέντρο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση - Η συνισταμένη των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στις σημειακές μάζες ενός συστήματος και η επιτάχυνση του αδρανειακού του κέντρου σχετίζονται ως εξής: rt () = F Μια αξιοσημείωτη ιδιότητα που θα αξιοποιηθεί λίγο αργότερα υποδεικνύει ότι σε ένα σύστημα αναφοράς επικεντρωμένο στο αδρανειακό κέντρο προκύπτει: r () t = r() t r() t, =,,, r () t = 0 = r () t = 0 = Διάνυσμα θέσης ενός υλικού σημείου ως προς το αδρανειακό κέντρο του συστήματος