ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αµπελόκηποι, Αθήνα Τηλ.: ,"

Γλυκερία Θάλεια Βασιλείου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ε ΟΥΑΡ ΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Τηλ.: , ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 Τηλ.: , ΣΜΑΡΑΓ Α ΣΑΡΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ, MSC, ΥΠΟΨΗΦΙΑ Ι ΑΚΤΩΡ ΕΜΠ Ε ΟΥΑΡ ΟΣ ΛΑΓΑΝΑΣ, Ph.D KENTΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Τηλ.: εν ε ιτρέ εται η ολική ή µερική αναδηµοσίευση του κειµένου ή των σχηµάτων χωρίς την γρα τή άδεια του συγγραφέα. 1

3 Τηλ.: , Σωµατίδιο κινείται στο επίπεδο y µε ταχύτητα υ= k ˆi + n ˆj, όπου κ και n γνωστές σταθερές. Να βρεθούν: (α) Η εξίσωση της τροχιάς (β) Η ακτίνα καµπυλότητας σαν συνάρτηση του χρόνου (α) Το διάνυσµα της ταχύτητας γράφεται: υ= υ ˆ ˆ i+ υy j Συνεπώς: d υ = k = k d = kdt = k t d t d y t υy = n = n d y= n dt d y= n k t dt y= n k d t Άρα: nk y= t, όπου t= k Συνεπώς η εξίσωση της τροχιάς είναι: n y= k (β) Η ακτίνα καµπυλότητας, θα βρεθεί από την σχέση που µας δίνει την κεντροµόλο επιτάχυνση α n που είναι η συνιστώσα της επιτάχυνσης που είναι κάθετη στην α t που είναι η εφαπτοµενική (επιτρόχια) επιτάχυνση. Ως γνωστόν, οι σχέσεις που µας δίνουν την επιτρόχια επιτάχυνση, την κεντροµόλο επιτάχυνση καθώς και το µέτρο της επιτάχυνσης είναι αντίστοιχα: dυ υ α = t, αn dt = R, όπου R: ακτίνα καµπυλότητας και το µέτρο της επιτάχυνσης εξίσωση της ταχύτητας που είναι η υ= k ˆi + n ˆj, έχουµε: υ = ɺ + yɺ όπου ɺ = k και yɺ = n = n k t Αντικαθιστώντας προκύπτει: α= α + α. Από την n t υ = k + n k t = k (1+ n t ) υ= k 1+ n t Εποµένως, αντικαθιστώντας στις σχέσεις που µας δίνουν την επιτρόχια επιτάχυνση και την κεντροµόλο έχουµε: dυ 1 n k t αt = = k n t= d t 1+ n t 1+ n t

4 Τηλ.: , ( + ) υ k 1 n t αn = = R R Άρα το µέτρο της επιτάχυνσης θα είναι: n k t k (1+ n t ) α= α + α α= + 1+ n t R Επίσης το διάνυσµα της επιτάχυνσης γράφεται: dυ α= = n ɺ ˆj = n k ˆj d t Εποµένως, έχουµε ότι α = n k. Από τις σχέσεις αυτές έχουµε: 4 4 n t n k R ( + ) 4 4 n k t k 1 n t = + 1+ n t R ( + ) 3 k 1 n t =, όπου n ( + ) t= k 3 k 1 n /k = = + 3/ ( ) ( ) R R 1 n /k k /n n Όχηµα µε νερό (πυκνότητα ρ) που αρχικά έχει µάζα Μ αρχίζει να ολισθαίνει σε λείο κεκλιµένο επίπεδο που σχηµατίζει γωνία φ µε το οριζόντιο. Από µια οπή στο πίσω µέρος του οχήµατος τρέχει νερό µε σταθερή ταχύτητα u ως προς το δοχείο και φορά πάντα αντίθετη της ταχύτητάς του. Η 3 παροχή του νερού είναι Π (cm /s). Υπολογίστε την επιτάχυνση και την ταχύτητα του οχήµατος σαν συνάρτηση του χρόνου. Ο νόµος του Νεύτωνα για συστήµατα µεταβλητής µάζας γράφεται ως εξής: dυ dm F= m uσχ dt dt Το δοχείο κινείται υπό την επίδραση της συνιστώσας του βάρους του B, όπου 3 B = mg sin φ.

5 Η παροχή νερού είναι: ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ Τηλ.: , dv Π(cm s) = dt Ο ρυθµός µεταβολής της µάζας είναι: dm d( ρv) dv = = ρ = Πρ dt dt dt Οπότε, m( t) M 0 t ( ) ( ) dm= Π ρ dt m t M= Πρt m t = M Π ρt Συνεπώς: dυ dm m( t) g sin φ= m( t) ( u) dt dt Το ( u) οφείλεται στο ότι η ταχύτητα του νερού είναι αντίθετη της φοράς κίνησης του δοχείου. Άρα: ( ) ( ) dυ M Πρt g sin φ= M Πρt Πρu dt Η επιτάχυνση θα είναι: dυ Πρu α= = g sin φ+ dt M Πρt Για την ταχύτητα ολοκληρώνοντας έχουµε: u( t) t t Πρu Πρu dυ= g sin φ dt+ dt dυ= g sin φ dt+ dt M Πρt M Πρt M Πρt υ( t) = g sin φ t u ln M Έστω δύο συµπαγείς, οµογενείς κύλινδροι, οι οποίοι έχουν ίδιες µάζες Μ και ακτίνες R 1 και R αντίστοιχα (R1< R ) και δύνανται να περιστρέφονται χωρίς τριβή γύρω από τον άξονά τους. Στους κυλίνδρους στερεώνεται αντίστοιχα το ένα άκρο µη εκτατού και αβαρούς νήµατος το οποίο περιελίσσεται και καταλήγει να συγκρατεί µία ίδια µάζα m για κάθε περίπτωση. 1 (α) Αποδείξτε την ροπή αδράνειας συµπαγούς κυλίνδρου Iκ = MR (β) Με ποια επιτάχυνση a θα κατέβει η κάθε µάζα m όταν αφεθεί ελεύθερος ο κάθε κύλινδρος; (γ) Ποια είναι η αντίστοιχη γωνιακή τους επιτάχυνση; (δ) Σχολιάστε τα αποτελέσµατά σας στο (β) και (γ). 4

6 Τηλ.: , (α) Η ροπή αδρανείας ενός στερεού σώµατος υπολογίζεται ως εξής: I = ( m ) r dm όπου dm η µάζα στοιχειώδους κυλινδρικού φλοιού εσωτερικής ακτίνας r και εξωτερικής r+ dr. Μ Ειδικότερα dm= ρdv= ρ πr h dr, µε ρ= λόγω της οµοιογένειας του κυλίνδρου. Συνεπώς: πr h R = = 3 I r ρ πr h dr πρh r dr 0 0 R R R I= πρh = ρπr h = M 4 (β) Για τον κύλινδρο ακτίνας R 1, έχουµε: Εξίσωση µεταφορικής κίνησης F= m α1 mg T1 = m α1 4 Εξίσωση εριστροφικής κίνησης dω 1 dυ 1 1 τ= I T R = M R T = Mα dt dt R R Αντικαθιστώντας στην πρώτη σχέση έχουµε: 1 1 mg mg M α1= m α1 α1 m+ M = mg α1 = m+ M mg Οµοίως α = m+ M ( ) 5 ( ) υ1 αt υ (γ) Έχουµε ότι υ1= α1t. Όµως ω1= εποµένως ω1=. Οµοίως υ = αt και ω =, R1 R1 R αt εποµένως ω =, διότι α1 = α = α. Συγκρίνοντας τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει: R ω > ω 1

7 Τηλ.: , Η κίνηση της µάζας m είναι η ίδια. Συνεπώς, ο πρώτος κύλινδρος στρέφεται πιο γρήγορα λόγω της µικρότερης ακτίνας του. Σε λεία οριζόντια επιφάνεια βρίσκεται καρότσι µάζας Μ, πάνω στο οποίο είναι τοποθετηµένο απλό εκκρεµές µήκους l και µάζας m. Βρείτε την περίοδο ταλάντωσης του συστήµατος. Έχουµε το σύστηµα σωµάτων Μ, m. Η θέση του κέντρου µάζας θα είναι: cm My+ m = M+ m Για το σύστηµα των σωµάτων, η εξίσωση κίνησης στο CM θα είναι: Όµως: Άρα, η εξίσωση κίνησης γράφεται: ( ) ( ) M+ m ɺɺ = F M+ m ɺɺ = T sin φ cm εξωτ cm mg mg= T cos φ T= cosφ sin φ mg M+ m ɺɺ cm = mg M+ m ɺɺ cm mg sin φ M+ m ɺɺ cm + cm = 0 cos φ l ( ) ( ) ( ) mg ɺɺ + cm = cm 0 l ( M+ m) Παρατηρούµε ότι καταλήξαµε σε εξίσωση ταλάντωσης µε περίοδο π T= όπου Ω mg Ω = + l ( M m) 6

8 Τηλ.: , Συνεπώς: π T= T= π mg l ( M+ m) ( M+ m) mg l ύο ράβδοι, µήκους l 0 η κάθε µία, κινούνται σε παράλληλες ευθείες µε ταχύτητες που έχουν το ίδιο µέτρο u και αντίθετες φορές σε σχέση µε το σύστηµα του εργαστηρίου. Ποιο είναι το µήκος της µίας ράβδου σύµφωνα µε παρατηρητή που κινείται µαζί µε την άλλη; K O K' Έστω K το ιδιοσύστηµα της πρώτης ράβδου που κινείται µε ταχύτητα ˆ ui, Ο το σύστηµα του εργαστηρίου και Κ η υπό εξέταση ράβδος. Θέλουµε να βρούµε µε ποια ταχύτητα βλέπει ο K να κινείται η Κ. Η κίνηση πραγµατοποιείται µόνο επί του άξονα. Ο µετασχηµατισµός Lorentz για τις ταχύτητες δίνει: όπου u v u = uv 1 c u η ταχύτητα της Κ ως προς K, u η ταχύτητα της Κ ως προς Ο, v η ταχύτητα του K ως προς Ο. Είναι: u = u, v= u 7

9 Τηλ.: , Συνδυάζοντας παίρνουµε: u u = 1 + u /c Αν l 0 το µήκος της ράβδου στο σύστηµα ηρεµίας της, τότε ο παρατηρητής K θα µετρήσει, λόγω συστολής µήκους: u 1 u /c l' = l = l 1 /c γ = 1+ u /c l 1+ u /c 8

10 Τηλ.: , Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά Ι, ΙΙ Φυσική Στερεάς Κατάστασης Ανάλυση Ι, ΙΙ Πυρηνική Φυσική & Στοιχειώδη Σωµάτια ΜΜΦ Ι, ΙΙ Σύγχρονη Φυσική Πιθανότητες Στατιστική Ειδική Σχετικότητα Φυσική Ι, II, III, IV Χηµεία Πρακτικά Χηµείας Mηχανική Ι, ΙΙ Ηλεκτρονική Ι, ΙΙ Ηλεκτροµαγνητισµός I, II Πρακτικά Ηλεκτρονικής Κβαντοµηχανική Ι, ΙΙ Συστήµατα Τηλε ικοινωνιών Στατιστική Φυσική Υ ολογιστές Ε ιλογές H σίγουρη λύση ου οδηγεί στο τυχίο 9

Σχετικά έγγραφα

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: , ,

ΚΕΝΤΡΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΧΗΜΕΙΑΣ ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Λεωφ. Κηφισίας 56, Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: , , ΕΔΟΥΑΡΔΟΥ ΛΑΓΑΝΑ Ph.D. Αμπελόκηποι Αθήνα Τηλ.: 0 69 97 985, 77 98 044, www.edlag.gr ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τηλ.: 0 69 97 985, e-mail: edlag@otenet.gr, www.edlag.gr ΣΜΑΡΑΓΔΑ ΣΑΡΑΝΤΟΠΟΥΛΟΥ, MSC,