[ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ] Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Transcript

1 Γ Λυκείου ο ΓΕΛ Χανίων - Γ Λυκείου 0-0 Μ Παπαγρηγοράκης 4 ΓΕΛ Χανίων [ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ] Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

2 Γενικές Συνδιαστικές Ασκήσεις σε Ανάλυση - Στατιστική 7-

3 Μπαρλας θεμα 70/80Μπαρλας θεμα 7/80 Μπαρλας θεμα 74/8 70 Δίνεται η συνάρτηση αντίστοιχα ενός δείγματος τιμών 4 ο ΓΕΛ Χανίων - Γ Λυκείου 0-0 ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΕΣ : ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 005 s 004 f(x) = x x, x R και x, s η μέση τιμή και η τυπικά απόκλιση 005 x Α) Αν η κλίση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της M,f() είναι μεγαλύτερη από την κλίση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της N0,f(0), να δείξετε ότι το δείγμα είναι ομοιογενές Β) Αν ο συντελεστής μεταβολής CV είναι ίσος με, να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγι- 004 στο και ένα τοπικό ελάχιστο Γ) Αν η εφαπτομένης της C f το σημείο της M,f() είναι κάθετη στην ευθεία ε: x 00y 00 0 και η διασπορά του δείγματος είναι ίση με 5, να βρεθεί η μέση τιμή x του δείγματος 70 Σε μία ερώτηση απάντησαν ν φοιτητές σε χρόνους t,t,,tν αντιστοίχως Θεωρούμε τη συνάρτηση f x t x t x t x με x R, η οποία παρουσιάζει ελάχιστο στο x, ίσο με 8 ν Α) Να βρείτε τη μέση τιμή των t,t,,tν Β) Να αποδείξετε ότι f0 4ν Γ) Να βρείτε το μικρότερο πλήθος ν ώστε το δείγμα t,t,,tν να είναι ομοιογενές Δ) Αν ισχύει ν i i t 48, να βρείτε το πλήθος ντων φοιτητών 70 Ένα σύρμα μήκους 00 cm, το κόβουμε σε 00 κομμάτια με μήκη,,, 00 Έστω η συνάρτηση f x x x x 00 Α) Να βρείτε τη μέση τιμή των μηκών,,, 00 Β) Να αποδείξετε ότι f 00s Γ) Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και να βρείτε τις θέσεις ακροτάτων Δ) Αν ο συντελεστής μεταβολής των,,, 00 είναι 5%, να βρείτε την εφαπτομένη της καμπύλης f που είναι παράλληλη στον άξονα xx 704 Συμπληρώνουμε το σύνολο των αριθμών, 9,, 7 με κ επιπλέον παρατηρήσεις με τιμή 0 Α) Να αποδείξετε ότι η μέση τιμή x των κ 4 αριθμών είναι ίση με τη μέση τιμή των τεσσάρων αριθμών Β) Να αποδείξετε ότι Γ) Αν k4 4 (t i x) (t i x) i i s είναι η διακύμανση των τεσσάρων αριθμών και s είναι η διακύμανση των κ 4 αριθμών, να βρεί- 4 s τε την s και να αποδείξετε ότι s k 4 Δ) Να αποδείξετε ότι το σύνολο, 9,, 7, δεν είναι ομοιογενές και να βρείτε πόσες παρατηρήσεις με τιμή 0 χρειάζεται να προσθέσουμε σε αυτό, ώστε να γίνει ομοιογενές με συντελεστή μεταβολής 0% 705 Έστω η συνάρτηση fxx και τα σημεία της καμπύλης f, A,A,,A 0 με τετμημένες x,x,,x 0 Α) Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα Β) Αν η τυπική απόκλιση των τετμημένων των σημείων A,A,,A 0 είναι s και x, να βρείτε τη μέση τιμή των τεταγμένων τους Γ) Αν η μέση τιμή των x,x,,x 0 είναι x, να βρείτε τη μέση τιμή των εφαπτομένων των γωνιών που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες στη καμπύλη f στα σημεία A,A,,A 0 Δ) Αν x x x0, το εύρος των x,x,,x 0 είναι 5 και x x 5, να βρείτε το εύρος των τεταγμένων των σημείων A,A,,A 0 0

4 Μπαρλας θεμα 69/8 Γενικές Συνδιαστικές Ασκήσεις σε Ανάλυση - Στατιστική 706 Έστω x, η μέση τιμή των παρατηρήσεων t,t,,t ν ενός δείγματος και η συνάρτηση fxx x Α) Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα Β) Να αποδείξετε ότι ft ft ft νs ν Γ) Να αποδείξετε ότι f t f t f t 0 ν 707 Δίνεται η συνάρτηση fx x Α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να τη μελετήσετε ως προς τη μονοτονία Mx,f(x) από την αρχή των αξόνων είναι OM 4 x Γ) Έστω ότι τα σημεία A,A,,A 9 ανήκουν στην καμπύλη της f και έχουν τετμημένες x,x,,x 9 αντίστοιχα Β) Να αποδείξετε ότι η απόσταση του σημείου α) Αν 0 x x x9 και η διάμεσος των x,x,,x 9 είναι, να αποδείξετε ότι fx6 4 β) Αν η μέση τιμή των x,x,,x 9 είναι μηδέν και η τυπική απόκλισή των, ένα, να βρείτε τη μέση τιμή των τετραγώνων των αποστάσεων των σημείων A,A,,A 9 από την αρχή των αξόνων Θεωρούμε τη συνάρτηση f με τύπο fx x lnκαι τα σημεία Mx,f(x ), Mx,f(x ),, Mνx ν,f(x ν) της γραφικής της παράστασης, µε 0 x x xν Αν η μέση τιμή των τετμημένων των σημείων M,M,,M ν είναι ίση με 40 A) Βρείτε τη μέση τιμή των συντελεστών διεύθυνσης των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f στα σημεία M,M,,M ν Β) Αν σημείων M,M,,M ν x 40 x 40 x ν, να βρείτε την τυπική απόκλιση των τετμημένων των ν Γ) Αν ν x x 80 να βρείτε το εύρος του δείγματος των τεταγμένων των σημείων M,M,,M ν x 709 Δίνεται η συνάρτηση fx e x Α) Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία Β) Έστω τα σημεία A,A,A,,A 7 με τετμημένες x, x, x,, x 7 με x x x x7 Γ) Αν η διάμεσος των τετμημένων A,A,A,,A 7 είναι δ να βρείτε τη διάμεσο των τεταγμένων τους Δ) Αν x και x7 0 να βρείτε τo εύρος των τεταγμένων των σημείων A,A,A,,A 7 f( h) 70 Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο R με limf(x) και lim Αν x h0 x,y, x,y,, h x 0,y 0, είναι 0 σημεία της εφαπτομένης της συνάρτησης f στο xo και ισχύει x x x x0 60, να βρείτε τη μέση τιμή y των τεταγμένων των 0 σημείων 7 Έστω δείγμα θετικών παρατηρήσεων 009, x,x,,x και η συνάρτηση f με παράγωγο f x x sx CV όπου s, CV η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής μεταβολής αντίστοιχα του παραπάνω δείγματος s 5 Η μικρότερη παρατήρηση του παραπάνω δείγματος είναι μεγαλύτερη του και η θέση τοπικού μεγίστου είναι ίση με το μισό της θέσης τοπικού ελαχίστου Α να δείξετε ότι x Β Άν η ευθεία ε : y xείναι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη i Να δείξετε ότι s 4 ii Να βρείτε τη μέση τιμή των τεταγμένων των σημείων x,y, x,y,, x 009,y009 της εφαπτομένης (ε) iii Να βρείτε τη μέση τιμή των τετραγώνων των τετμημένων των παραπάνω σημείων 7-

5 4 ο ΓΕΛ Χανίων - Γ Λυκείου Θεωρούμε το δείγμα λ, λ 5, λ, λ, 7 με λ 0 το οποίο έχει διάμεσο δ Α) Δείξτε ότι x λ, λ 0λ 64 s 5 Β) Αν λ 8 και R το εύρος του δείγματος, δείξτε ότι : R 8 0s Γ) Αν λ θετικός ακέραιος τότε : α) Δείξτε ότι για κάθε λ 5 ισχύει : δ λ Δ) Δείξτε ότι για κάθε λ 0 β) Για λ 5 να βρείτε την τυπική απόκλιση του δείγματος ln s(λ) ισχύει : 7 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και ισχύουν: lim fx - και x Αν ε είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο xo, τότε: f h lim 4 h0 h Α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε Β) Αν είναι η μέση τιμή των τετμημένων x i, i,,,, 40, 40 σημείων της παραπάνω εφαπτομένης να εξετάσετε αν το δείγμα τον αντίστοιχων τεταγμένων είναι ομοιογενές Δίνεται ότι s x είναι το ακρότατο της συνάρτησης g x lnx ln x, x 0 74 Έστω μεταβλητή Χ με παρατηρήσεις t,t,,t ν, μέση τιμή x 0, a R, και η συνάρτηση x t t tν xν, 0 x gx x 4 αx ν, x A) Αν η g είναι συνεχής στο x0, να αποδείξετε ότι α B) Αν η γραφική παράσταση της g διέρχεται από το σημείο Α(,0), να αποδείξετε ότι ν ti 00 i Γ) Αν ν i t f, όπου f i οι σχετικές συχνότητες των παρατηρήσεων, να βρεθεί το πλήθος ν του δείγματος i i 75 Οι χρόνοι σε min που χρειάζονται οι μαθητές μιας γειτονιάς να πάνε στο σχολείο τους έχουν ομαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους με αντίστοιχες συχνότητες 6, 0, 7 και 7 4, όπου x,x,x,x 4 τα κέντρα των αντίστοιχων κλάσεων Έστω ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x0 7 με τιμή f 7 4 Α Να αποδείξετε ότι το πλάτος των κλάσεων είναι c= Θεωρούμε τη συνάρτηση fx 6x x 0x x 7x x 7x x Β Να βρείτε τις συχνότητες f i Γ Να βρείτε την τυπική απόκλιση Δ Να εξετάσετε το δείγμα ως προς την ομοιογένεια α f x x x α xα, xr, α 0 76 Δίνεται η συνάρτηση Αν οι εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f στα σημεία x,x είναι παράλληλες στον xx,τότε: Α Να βρείτε τα x,x Β Να υπολογίσετε την μέση τιμή των αριθμών f0, f x και f x Γ Έστω CV ο συντελεστής μεταβολής των f0, f x, f x και CV ο συντελεστής μεταβολής που προκύπτει όταν αυξήσουμε καθένα από αυτούς τους όρους κατά, να βρείτε την τιμή του α 0 ώστε CV CV καθώς και για την τιμή του α που βρήκατε να κρίνετε ποιο δείγμα έχει μεγαλύτερη ομοιογένεια

6 Γενικές Συνδιαστικές Ασκήσεις σε Ανάλυση - Στατιστική ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 77 Έστω Ω,,,4,5,6,7,8 δειγματικός χώρος που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα Εκλέγουμε 7 τυχαία ένα απλό ενδεχόμενο λ Ω Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με: fx 4x λx λ x005λ, x R και g συνεχής στο x 0 με 5g 0 lim g x Θεωρούμε τα ενδεχόμενα x0 Α: «Η C f έχει στο σημείο της Κ,f εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία «η»: ψ 0» και 7 Β: με ΡΒ g 0 Ακόμη ισχύει: ΡΑ Β Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα μόνο από τα ενδεχόμενα Α και Β Μπαρλας Θέμα Δίνεται η συνάρτηση fxlnx x, x 0 και τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω Α Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία Β Αν A και A B να αποδείξετε ότι: Γ Αν η εφαπτομένη στη καμπύλη της f στο xo θετικών ημιαξόνων τότε: α) να βρείτε την πιθανότητα PA β) να αποδείξετε ότι P(A) ln P(A) P(B) P(B) P(A) είναι παράλληλη στη διχοτόμο της γωνίας των f P(A B) ln(4e) για A B ΑΠ: Γ) i) PA 0,5, ii) A B A 79 Θεωρούμε τα ασυμβίβαστα ανά δύο ενδεχόμενα Α,Β και Γ, διάφορα του κενού, του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, ώστε P(Α) Ρ(Β) Ρ(Γ) Οι πιθανότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων Α,Β και Γ, ικανοποιούν τις σχέσεις P(A) P(B) P(B) P(A) και PAB P(Γ) 0, Α) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων A, B και Γ Β) x 0P(B)x Να εξετάσετε αν υπάρχει το όριο lim x x 5P(A) 70 λ Έστω Ω 0,,, ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με πιθανότητες Pλ, λ,, 6λ Α) Υπολογίσετε την πιθανότητα P0 x x efx Β) Έστω η συνάρτηση fx και τα ενδεχόμενα A λ Ω :lim λ λ x Και e x x x f o να βρείτε τις PA,PB,PA B Β λ Ω: η κλίση της εφαπτομενης της C στο x είναι λ 4λ 6 Μπαρλας θεμα 7/80 Οριζοντες μαρτιος Σε ένα εκτροφείο αλόγων υπάρχουν 4ν θηλυκά και ν ν 4 αρσενικά άλογα με ν Ν* Επιλέγουμε στην τύχη ένα άλογο Να βρείτε πόσα θηλυκά και πόσα αρσενικά άλογα υπάρχουν στο εκτροφείο έτσι ώστε η πιθανότητα το άλογο που επιλέξαμε να είναι θηλυκό, να είναι η μέγιστη Ποιά η πιθανότητα αυτή ; 7 Έστω η συνάρτηση fx αx βx με α,,, 4, 5, 6 και β, 5, 7 Επιλέγουμε τυχαία δύο αριθμούς α και β Να προσδιορίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α και Β όπου Α) Α Η συνάρτηση f έχει ακρότατο στο σημείο Αx o,fx o, με xo, Β) Α Η συνάρτηση f έχει στο σημείο Β,f() εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα xx οριζοντες μάρτιος Έστω Ω,,,4,5,6,7,8,9 ένας δειγματικός χώρος ο οποίος αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα Επιλέγουμε ένα απλό ενδεχόμενο λ Ω Να βρείτε την πιθανότητα η εξίσωση x 4xλ 0 να έχει πραγματικές ρίζες 7-5

7 4 ο ΓΕΛ Χανίων - Γ Λυκείου Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω και η συνάρτηση f, συνεχής στο xo 0, για την οποία ισχύει lim f(x) 6f(0)- Αν PA είναι ίση με το του εμβαδού του χωρίου, το οποίο σχηματίζει σε ένα x0 ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων με τον άξονα xx, PB f0, και PA 5 B, να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου Γ να πραγματοποιθεί ένα απο τα Α και Β 75 Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω,,,4,5,6,7,8 με πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων που ικανοποιούν τις σχέσεις: Ρ Ρ Ρ5 Ρ7 Ρ Ρ4 Ρ6 Ρ8 και τα ενδεχόμενα ΑαΩ/ η εξίσωση x αx4 0 έχει πραγματικές ρίζες} Β λ Ω/ g x x λ 5λ x, xr παρουσιάζει ακρότατο σημείο x0 Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των Α, Β και να αποδείξετε ότι τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ασυμβίβαστα η συνάρτηση Δίνονται οι συναρτήσεις f,g με f(x) 4x x x 00 και g(x) x x x 009 και ο δειγματι- κός χώρος Ω ενός πειράματος τύχης A) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων των C,C f g στο κοινό τους σημείο B) Αν τα A, B είναι ενδεχόμενα του Ω με P(A) P(B), με πιθανότητες τις θέσεις των τοπικών ακροτάτων της 7 f και P(A B), τότε: PA B 0 α) Να αποδείξετε ότι β) Να βρείτε την πιθανότητα να μην πραγματοποιείται κανένα από τα A,B γ) Να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα A,B x 77 Α) Να εξετάσετε τη συνάρτηση fx e x, x R ως προς τη μονοτονία Β) Έστω τα ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω Να αποδείξετε ότι: PA PB α) Αν A B τότε PBe PA e β) Αν PA τότε f P(AB) e αx βx 78 Δίνεται η συνάρτηση f(x) x με xr Α) Αν η εφαπτομένη της C f στο σημείο της A,f() είναι η ευθεία ε: y 7x, να βρείτε τα α,β Ν* α β α-β 8α-β Β) Έστω Ω ={ α,,, }, δειγματικός χώρος που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, όπου τα α,β έχουν τις τιμές που προκύπτουν από το ερώτημα Α) θεωρούμε την συνάρτηση 4 g(x) x (λ )x x 00 με xr, λ Ω, και το ενδεχόμενο E λ Ω/ η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο R Nα βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου E 79 Έστω A και B δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, για τα οποία ισχύουν, PB και PA B, όπου x 0, PA x x x x x Α Να υπολογίσετε οι πιθανότητες των ενδεχομένων A B, B A Β Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της PA B, όταν x Γ Να βρείτε, αν υπάρχει, τη μεγαλύτερη τιμή της PA B και A B

8 Γενικές Συνδιαστικές Ασκήσεις σε Ανάλυση - Στατιστική 70 Έστω A,B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Αν A B τότε: Α) Να αποδείξετε ότι: PA B PA B PB A PB 0 Β) Έστω Ω,,,5 ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, A,B είναι δύο ενδεχόμενα του Ω ώστε A B και το B να περιέχει εκείνα τα στοιχεία του Ω που είναι θέσεις τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f(x) PA BPA BPB APB6x 4 x x 4 α) να υπολογιστεί η PB β) Nα βρεθεί ο α R ώστε η συνάρτηση P(B)( x) f(x) x x 5α αν 0 x αν x να είναι συνεχής στο xo 7 Δίνεται η συνάρτηση f xp(a) x 7P(A) x xln x PB, x 0 και PA, PB 0ι πιθανότητες των ενδεχομένων A, B αντίστοιχα ενός δειγματικού χώρου Ω Α) Να βρείτε την f x Β) Να βρείτε την PA αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της f έχει για x εφαπτομένη παράλληλη στον xx 55 Γ) Αν PA, f να αποδείξετε ότι ΡΒ και ότι τα ενδεχόμενα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα 6 4 Δ) Να αποδείξετε ότι PA B 7 Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R τέτοια ώστε f x P(A) fx P(B) x PA B PA B με A,B μη κενά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο παράλληλη στην ευθεία y x τότε: Α) Να αποδείξετε ότι PA B 0 Β) Αν το σημείο K0, 4 ανήκει στη γραφική παράσταση της f, να αποδείξετε ότι PA f x P(A) f x P(B) 8 Γ) Αν lim x x P(A), να αποδείξετε ότι PA B και PB 7 Έστω το ενδεχόμενο Α και Α το αντίθετο του, με PA PA Δίνεται ακόμα η συνάρτηση λ f(x) x x x, με λ 0 6 Α) Να αποδείξετε ότι PA και PA Β) Να βρείτε την f(x) και την f(x) να αποδείξετε ότι λ Δ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα να βρείτε το είδος της μονοτονίας της παραγώγου της συνάρτησης f καθώς επίσης και τα ακρότατα της παραγώγου Ε) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες PΑ και PA Γ) Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατα για x PA και x PA 5 6 είναι 74 'Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και Α, Β ενδεχόμενα του Ω τέτοια ώστε Α Β Έστω PA,PB οι πιθανότητες των Α, Β και η συνάρτηση 7 f(x) x - x x 005 Αν στα σημεία x PA και x PB οι εφαπτόμενες στη καμπύλη της f είναι παράλληλες στον άξονα xx τότε: Α) Να βρείτε τις πιθανότητες PA,PB, PA B, PA B, PA B, PB A Γ) Να δείξετε ότι τα ενδεχόμενα A και B δεν είναι ασυμβίβαστα 7-7

9 75 'Εστω Ω, 5, α, αα απλών ενδεχομένων: Α 4 ο ΓΕΛ Χανίων - Γ Λυκείου 0-0, δειγματικός χώρος, ενός πειράματος τύχης, όπου α R, με πιθανότητες x P x α 5, x Ω Nα προσδιοριστούν οι τιμές που μπορεί να πάρει ο αριθμός α Β Για την τιμή του α για την οποία η πιθανότητα Ρα παίρνει τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή, να βρεθούν: οι τιμές των στοιχείων του Ω καθώς και οι πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω Γ Να βρεθεί η ακέραια τιμή του α για την οποία γίνεται μέγιστη η διαφορά πιθανοτήτων: P α P 76 Έστω ο δειγματικός χώρος Ω ω,ω,,ω ενός πειράματος τύχης και η συνάρτηση f x P(ω ) x P(ω ) x P(ω ) x Α) Να βρείτε τη μέση τιμή των αριθμών P(ω ),P(ω ),,P(ω 00) Β) Να αποδείξετε ότι f 00s 00, όπου s είναι η τυπική απόκλιση των P(ω ),P(ω ),,P(ω 00) Γ) Αν η ευθεία y είναι εφαπτομένη της καμπύλης της f, να βρείτε το συντελεστή μεταβολής των αριθ- 75 μών P(ω ),P(ω ),,P(ω 00) 77 Δίνεται η συνάρτηση fx x x, Α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Β) Αν οι τετμημένες των σημείων Ax,f(x ) Ax,f(x ),, A x,f(x ) έχουν μέση τιμή x και τυπική απόκλιση s να βρείτε τη μέση τιμή των συντελεστών διεύθυνσης των εφαπτόμενων στην καμπύλη της f στα σημεία A,A,,A 0 Γ) Αν A, B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με PA να αποδείξετε ότι 8f P(A B) 0 78 Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω,,,,0 για τα στοιχεία του οποίου ισχύει P P P P4 P5, P9 P0 P και P5 P6 P7 P8 του Ω ισχύει A x Ω /x 7x 0 0, AB,4,5, Β Α, 8 Για τα ενδεχόμενα Α και Β και το ενδεχόμενο 4 x Γ λω/lim λ 9λ 0λ x x 5x Α) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των στοιχείων του Ω Β) Να γράψετε τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ με αναγραφή των στοιχείων τους και να βρείτε τις πιθανότητες τους Γ) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων A Γ, Γ B, AB α 79 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο fx x βxμε α, βs,,,4 Α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη xo Β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: π A η εφαπτομένη σχηματίζει με τον άξονα xxγωνία 4 Β η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο, Γ πραγματοποιείναι ακριβώς ένα από τα Α και Β Γ) Αν τα ενδεχόμενα Α, Β πραγματοποιούνται συγχρόνως, να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα

10 Γενικές Συνδιαστικές Ασκήσεις σε Ανάλυση - Στατιστική 740 Θεωρούμε Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ώστε ΡΑ ΡΒ και P(A) P(B) P(A B) P(A) P(B) Α) Έστω ρ η πιθανότητα πραγματοποίησης μόνο του Α ή μόνο του Β Να βρεθεί ελάχιστη τιμή της ρ Β) Να αποδειχθεί ότι η πιθανότητα ρ πραγματοποίησης και των δυο ενδεχόμενων Α και Β είναι ίση με την πιθανότητα ρ να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα δυο Γ) να βρεθούν οι τιμές ρ και ρ όταν η ρ γίνεται ελάχιστη 4 74 Δίνεται η συνάρτηση fxx 4x 4x Α) Να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f Β) Έστω Ω 0,,,,ν ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με πιθανότητες στοιχειωδών ενδεχομένων Ρκ, κ 0,,,,ν κ 00 α) Να αποδείξετε ότι ΝΩ 0 β) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Εκ Ω/η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο κ γ) Έστω Ω f Ω, το σύνολο τιμών της f στο Ω Σε τυχαία επιλογή ενός στοιχείου του Ω, να βρείτε την πιθανότητα αυτό να είναι τοπικό ακρότατο της f ν 74 Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Αν ΡΑ ν, ν ΡΒ 7 ν 7 όπου ο ν είναι θετικός ακέραιος, τότε: Α) Να βρείτε ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο ν Β) Αν τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα, να βρείτε την τιμή του ν Γ) Να βρείτε για ποια τιμή του ν η πιθανότητα ΡΑ Β ν ΡΑ Β, ν 7 γίνεται μέγιστη, καθώς και τη μέγιστη τιμή της 74 Έστω οι συναρτήσεις f, g με τύπους ημx x+ -6 f(x) = e + ημx+4 και g(x)= x - Α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f, g Β) Να μελετήσετε την συνέχεια της g στο xo Γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f στο xo 0 Δ) Να αποδείξετε ότι limg(x) = f0 x 5 Ε) Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, με PA limgx και PB x f(0) να αποδείξετε ότι: α) Τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα 0 4 β) PA B 744 Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και η συνάρτηση fx4x x x, x R Α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Β) Αν η συνάρτηση παρουσιάζει στο x PA τοπικό ελάχιστο ίσο με PA B και στο x PB παρουσιάζει τοπικό μέγιστο, να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων του Ω Χ: Πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α, Β Ψ: Πραγματοποιείται μόνο το Α Ζ: Πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα Α, Β Κ: Δεν πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα Α, Β Λ: Πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα Α, Β ή δεν πραγματοποιείται κανένα από τα δύο 7-9

11 4 ο ΓΕΛ Χανίων - Γ Λυκείου Έστω Ω,,, 4, 5 ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης Για τις πιθανότητες των στοιχειωδών P() P() P() P(4) P(5) ενδεχομένων του Ω ισχύει: Α) βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων του Ω μx Β) Θεωρούμε τη συνάρτηση fx e, x R, μ Ω Α μω:f (0) Α) να βρεθούν τα ενδεχόμενα Α και Β Β) Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων Α Β, ΑΒ, Α Β και τα ενδεχόμενα Α μ Ω: f (0) f (0) f(0) 0 και 746 Έστω Ω,,, 4, 5 ο δχ ενός πειράματος τύχης με P P P και P P4 P5 Α Να βρείτε τις πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων του Ω Β Έστω η συνάρτηση f(x) x - - και τα ενδεχόμενα f(x) και B κ Ω:oρυθμόςμεταβολής τηςf στο x 0 = είναι κ -5κ +7 x A κ Ω:lim x- κ - κ Γ) Να παραστήσετε με αναγραφή τα ενδεχόμενα Α και Β Δ) Να βρείτε τις πιθανότητες ΡΑ, ΡΒ, ΡΑ Β, ΡΑ Β Ε) Να δείξετε ότι τα ενδεχόμενα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα 747 Έστω Α και Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Θεωρούμε και τη συνάρτηση f x P B x P A P A x P B x A) Να βρείτε τα PA και PB f x P Ω B) Να βρείτε το όριο lim xp x 4 της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το M(, ) Γ) Αν η PA B ισούται με τη θέση ελαχίστου της f, τότε: α) να αποδείξετε ότι PAB β) να βρείτε την πιθανότητα PA B γ) να βρείτε την πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα A, B ή να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα A, B 748 Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω,,,4,5,6,7,8 ενός πειράματος τύχης ο οποίος περιέχει απλά και ισοπίθανα ενδεχόμενα Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α,Β του δειγματικού χώρου Ω τέτοια, ώστε: ΑΒ,5 και ΑΒ,,,5,6,8 Α,,,5,8 Θεωρούμε τη συνάρτηση A) Να αποδείξετε ότι f(x) x x 5x 008, με x R Ρ(ΒΑ) και 4 Ρ(Β) B) Αν για το ενδεχόμενο Γ του δειγματικού χώρου Ω ισχύει Ρ(Γ) 8 να αποδείξετε ότι Ρ(ΑΓ) Γ) Θεωρούμε το ενδεχόμενο Δ του δειγματικού χώρου Ω με Δ x Ω : η εφαπτομένη της f είναι παράλληλη στον άξονα x'x α) Να υπολογίσετε την πιθανότητα Ρ(Δ) β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου να συμβαίνει μόνον ένα από τα ενδεχόμενα Β και Δ δ) Αν για το ενδεχόμενο Κ του δειγματικού χώρου Ω γνωρίζουμε ότι: τα ενδεχόμενα Α και Κ είναι f(x) 5 ασυμβίβαστα, Ρ(Κ) lim, να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου να συμβαίνει ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Β και Κ x6 x 4x 60

12 749 Έστω η συνάρτηση fx x Γενικές Συνδιαστικές Ασκήσεις σε Ανάλυση - Στατιστική, x R Α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε, της C f στο σημείο A,f() Β) Να βρείτε το σημείο M της εφαπτομένης ε το οποίο απέχει ελάχιστη απόσταση από το σημείο B0,0 Γ) Έστω Kx,y, Kx,y,, Kνx ν,y ν σημεία της εφαπτομένης ε Αν η μέση τιμή y των τεταγμένων των σημείων είναι, να βρείτε τη μέση τιμή x των τετμημένων τους Ε) Έστω η ευθεία η παράλληλη στην εφαπτομένη ε η οποία διέρχεται από το σημείο 0, κ 4, όπου κ είναι στοιχείο του δειγματικού χώρου Ω 0,,,,0 ο οποίος αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Δ: η ευθεία η να διέρχεται από το σημείο B0,0 750 Έστω Α,Β δύο μη ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με μη μηδενικές πιθανότητες ΡΑ, ΡΒ αντίστοιχα, για τις οποίες ισχύουν: ΡΑ ΒΒΑ & ΡΑΡΒ, xr 5 x Α) Να ορίσετε τη συνάρτηση gxρα Β Β) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής τής ΡΑ Β ως προς x όταν x 0 Γ) Ποια η μέγιστη τιμή τής ΡΑ Β ; Δ) Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Γ : «Πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα Α, Β ή δεν πραγματοποιείται κανένα απ αυτά», όταν η ΡΑ Β παίρνει τη μέγιστη τιμή της 75 Έστω A, B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και η συνάρτηση 5 f(x) x x [P(A B) ]x, x R όπου P(A B) η πιθανότητα του ενδεχομένου A B 6 Οι παρατηρήσεις 0,, PB, PA B, PA B έχουν μέση τιμή x και διάμεσο δ 5 5 A Να βρείτε τις πιθανότητες P(A) και P(B) B Να αποδείξετε ότι P(A B) 5 5 Γ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα Δ Αν f() 0, να βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα απο τα ενδεχόμενα A και B 75 Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω,,,4,5,6,7,8 ενός πειράματος τύχης ο οποίος περιέχει απλά και ισοπίθανα ενδεχόμενα Θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α,Β του δειγματικού χώρου Ω τέτοια, ώστε: Α,,,5,8, και ΑΒ,,,5,6,8 Α Β,5 Θεωρούμε τη συνάρτηση f x x x 5x 008, με x R P B A 4 A) Να αποδείξετε ότι και PB B) Αν για το ενδεχόμενο Γ του δειγματικού χώρου Ω ισχύει P Γ να αποδείξετε ότι ΡΑ Γ Γ) Έστω το ενδεχόμενο Δ του Ω με Δ x Ω : η εφαπτομένη της f είναι παράλληλη στον x'x α) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ΡΔ β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου να συμβαίνει μόνον ένα από τα ενδεχόμενα Β και Δ Δ) Αν για το ενδεχόμενο Κ του δειγματικού χώρου Ω γνωρίζουμε ότι: τα ενδεχόμενα Α και Κ είναι ασυμβίβαστα, fx 5 ΡΚ lim x6 x 4x 60 να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου να συμβαίνει ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Β και Κ 7-

13 4 ο ΓΕΛ Χανίων - Γ Λυκείου 0-0 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΑΝΑΛΥΣΗ 75 Έστω Α ένα ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω και P A, P, PΩ οι παρατηρήσεις ενός δείγματος Α Να βρείτε την μέση τιμή και τη διάμεσο των παρατηρήσεων 8 8 Β Να αποδείξετε ότι: s P(A) PA, 4 Γ Αν PA να αποδείξετε ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές Μια ομάδα μαθητών ποδοσφαίρου από τις τρείς τάξεις ενός σχολείου ακολουθεί την κανονική κατανομή σε σχέση με την ηλικία των παιδιών Οι ηλικίες σήμερα έχουν CV 6,5% ενώ πριν από χρόνια είχαμε CV 0% Α) Να βρεθεί η μέση σημερινή ηλικία των παιδιών της ομάδας Β) Πριν πόσα χρόνια από σήμερα οι ηλικίες των μαθητών είχαν για πρώτη φορά ομοιογένεια; Γ) Να αποδείξετε ότι ο τύπος της διακύμανσης μπορεί να πάρει τη μορφή s ti x ν Δ) Αν το άθροισμα των τετραγώνων των σημερινών ηλικιών των μαθητών είναι 540, να βρείτε πόσοι μαθητές απαρτίζουν την ομάδα ποδοσφαίρου 755 Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι και έστω Ω ο δειγματικός χώρος Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α= {α Ω: η μέση τιμή του δείγματος : α,5 α,7 α,, 7α είναι ίση με -} Β= { β Ω: η διάμεσος του δείγματος : 4, β, 0,, 6, 4 είναι ίση με,5} Γ= {δ Ω: η εξίσωση Δ= {ε Ω: x 4xδ 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες} η συνάρτηση Ε= {γ Ω: η επικρατούσα τιμή του δείγματος : ν i g(x) x ε 5ε x 0 παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 }, 6, γ 5γ, 9, 5,, γ, γ 4 είναι ίση με 6} 756 Σε κάποια σχολική τάξη πήραμε ένα δείγμα μαθητών και το εξετάσαμε ως προς το βάρος τους Διαπιστώσαμε ότι το βάρος τους κυμαίνεται από 45 kg έως 75 kg και η κατανομή των βαρών τους είναι περίπου κανονική Α Να βρείτε τη μέση τιμή, τη διάμεσο και το εύρος του δείγματος Β Να βρείτε τη διασπορά των βαρών τους Γ Να εξετάσετε εάν το δείγμα είναι ομοιογενές Αν το άθροισμα όλων των βαρών είναι 800kg να βρείτε το μέγεθος του δείγματος Ε Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, ποια είναι η πιθανότητα το βάρος του να είναι μεταξύ 50kg και 60kg ; 757 Σ ένα συρτάρι υπάρχουν ανακατεμένα 50 γραπτά μαθηματικών για τις τρεις τάξεις του λυκείου Τα 40 γραπτά είναι της Α τάξης, τα 90 της Β τάξης και τα υπόλοιπα είναι της Γ τάξης Αν το 0% των γραπτών της Α τάξης, το 0% των γραπτών της Β και το 5% των γραπτών της Γ τάξης είναι κάτω από τη βάση τότε: Α) Να κατασκευαστεί πίνακας συχνοτήτων των τριών τάξεων του λυκείου για τα γραπτά που είναι βαθμολογημένα κάτω από τη βάση και να σχεδιαστεί το αντίστοιχο ραβδόγραμμα των επί τοις % σχετικών συχνοτήτων επί του πλήθους των γραπτών που είναι κάτω από τη βάση Β) Παίρνουμε στην τύχη ένα γραπτό από το συρτάρι Να βρείτε τις πιθανότητες: α) Το γραπτό έχει βαθμό κάτω από τη βάση β) Το γραπτό είναι μαθητή της Α τάξης γ) Το γραπτό είναι μαθητή της Β τάξης και είναι βαθμολογημένο πάνω από τη βάση δ) Το γραπτό είναι μαθητή της Α ή της Γ τάξης και είναι βαθμολογημένο πάνω από τη βάση 758 Α) Σε ένα σύνολο ν παρατηρήσεων με τιμές διαφορετικές του 5 και μέση τιμή x, προσθέτουμε παρατηρήσεις με τιμή 5 και η μέση τιμή των παρατηρήσεων γίνεται ίση με 4 Αν επιλεγεί τυχαία μια παρατήρηση από το σύνολο, να αποδείξετε ότι η πιθανότητα να έχει τιμή 5 είναι 0,5 Β) Σε ένα σύνολο ν παρατηρήσεων με τιμές διαφορετικές του, προσθέτουμε 40 παρατηρήσεις με τιμή και η μέση τιμή των παρατηρήσεων γίνεται ίση με, Αν η πιθανότητα να επιλέξουμε στην τύχη από το σύνολο μια παρατήρηση με τιμή είναι 0,8, να βρείτε τη μέση τιμή x των v παρατηρήσεων του αρχικού συνόλου

14 Γενικές Συνδιαστικές Ασκήσεις σε Ανάλυση - Στατιστική 759 Σε μια βιοτεχνία έχουμε 00 ρούχα άσπρα και μαύρα από τα οποία μερικά είναι παντελόνια και τα άλλα είναι σακάκια και δεν υπάρχει άλλο είδος ρούχου Αν υπάρχουν 50 άσπρα σακάκια, η πιθανότητα να επιλέξουμε ο στην τύχη σακάκι είναι 40% και η γωνία του κυκλικού διαγράμματος που αντιστοιχεί στα μαύρα ρούχα είναι 90 τότε Α) Να κάνετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων για τη μεταβλητή Χ:"είδος ρούχου ως προς το χρώμα και την κατηγορία» και να παραστήσετε την πιο πάνω κατανομή στο επίπεδο με όποιο τρόπο θέλετε Β) Να βρείτε τις πιθανότητες να αγοράσει: α) σακάκι ή μαύρο ρούχο β) σακάκι και άσπρο ρούχο γ) ή μόνο παντελόνι ή μόνο άσπρο ρούχο 760 Σε μια ερευνά αγοράς έχει καταρτιστεί κατάλογος με κ νέα προϊόντα x,x,,x κ Στην έρευνα παίρνουν μέρος v άτομα με κ v Από τα αποτελέσματα διαπιστώσαμε ότι το προϊόν x προτιμήθηκε από 6 άτομα, ότι η συχνότητα του προϊόντος x είναι ν και ότι το ποσοστό επί τοις εκατό της προτίμησης κάθε προϊόντος x είναι v 55 (00λ i) % Α) Να βρεθεί το πλήθος των προϊόντων Β) Να βρεθεί το πλήθος των ατόμων που πήραν μέρος στην ερευνά Γ) Επιλέγουμε στη τύχη ένα άτομο, να βρεθεί ποια είναι η πιθανότητα να έχει προτιμήσει το προϊόν x κ ή το προϊόν x 76 Σε ένα δείγμα v ατόμων βρέθηκαν κ άτομα που ήταν κάτοχοι αυτοκινήτου, λ άτομα που ήταν κάτοχοι μοτοσικλέτας, μ άτομα που ήταν κάτοχοι αυτοκινήτου και μοτοσικλέτας και ρ άτομα που ήταν κάτοχοι αυτοκινήτου ή μοτοσικλέτας Α) Αν το πλήθος των κατόχων μοτοσικλέτας είναι διπλάσιο από το πλήθος των κατόχων αυτοκινήτου και η διάμεσος δ των αριθμών κ, λ, μ, ρ είναι ίση με 5, να βρεθεί η μέση τιμή τους και το πλήθος κατόχων αυτοκινήτου και μοτοσικλέτας αντίστοιχα 0 Β) Αν ο συντελεστής μεταβολής CV των αριθμών κ, λ, μ, ρ είναι να βρεθούν οι αριθμοί μ και ρ 6 Γ) Αν η πιθανότητα ένα άτομο που επιλέγεται τυχαία από το παραπάνω δείγμα να είναι κάτοχος μόνο αυτοκι- 5 νήτου ισούται με να βρεθεί το πλήθος των ατόμων του δείγματος και η πιθανότητα των ενδεχομένων 50 Α: ένα άτομο να μην είναι κάτοχος αυτοκινήτου και μοτοσικλέτας συγχρόνως Β: ένα άτομο να μην είναι κάτοχος αυτοκινήτου ή μοτοσικλέτας 76 Έστω Ω 0,,, ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με P P P και A 0, ένα ενδεχόμενο του Ω με PA Α) Να βρείτε τις πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων του Ω Β) Δίνονται οι παρακάτω παρατηρήσεις μιας μεταβλητής X :,, 4, 4, 4, λ, λ,5 Δίνονται τα ενδεχόμε- 7 να Β, Γ του δειγματικού χώρου Ω όπου: B λ Ω: η μέση τιμή είναι x, Γ λ Ω: η διάμεσος είναι δ> α) Να γράψετε με αναγραφή των στοιχείων τα ενδεχόμενα Β και Γ β) Να βρείτε τις πιθανότητες ΡΒ, ΡΒ Γ ΡΒ Γ ΡΓ,, γ) Είναι τα ενδεχόμενα Β και Γ είναι ασυμβίβαστα 76 Έστω δειγματικός χώρος Ω,,,, v 8 ενός πειράματος τύχης με v ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα Δίνεται ότι η διάμεσος των απλών αυτών ενδεχομένων είναι δ 8,5 Θεωρούμε τους αριθμούς α,α,α,4α,5α με α 0 Α) Να βρεθεί το μέγεθος του δείγματος Β) Να βρεθεί η τυπική απόκλιση s των αριθμών αυτών Γ) Έστω A Ω, όπου Α α Ω/s 0 Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου A 7-

15 4 ο ΓΕΛ Χανίων - Γ Λυκείου Σε ένα κυκλικό διάγραμμα παρουσιάζονται οι τιμές x, x, x, x 4 μια μεταβλητής x Η γωνία του τόξου της τιμής x είναι o 54 και η συχνότητα της x είναι, να βρείτε το πλήθος των παρατηρήσεων, τις πιθανό- Px,Px, Px,Px 4 η πιθανότητα να επιλεγεί η αντίστοιχη τιμή Α) Να βρείτε την πιθανότητα Px Β) Αν Px 0,5 και η συχνότητα της x είναι v 6 τητες Px και Px 4 και να κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραμμα 765 Έστω ο δειγματικός χώρος Ω ω,ω,,ω v 4 Επιλέγουμε στην τύχη μια παρατήρηση και έστω ν ενός πειράματος τύχης, ν P(ω ),P(ω ),,P(ω ) οι παρατηρή- σεις ενός δείγματος και η συνάρτηση fxx 9 Δίνεται ότι η μέση τιμή των P(ω ),P(ω ),,P(ω ν ) είναι 9 Α) Να βρείτε το πλήθος των απλών ενδεχομένων Β) Να αποδείξετε ότι για τη διάμεσο δ των αριθμών P(ω ),P(ω ),,P(ω ν ) ισχύει ότι δ 0,, να βρείτε το συντελεστή μεταβολής των P(ω ),P(ω ),,P(ω ν ) Γ) Αν fp(ω ) fp(ω ) fp(ω ) ν x i ν i 766 Δίνονται Α, Β δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου και η συνεχής συνάρ- x xp(a) P(A ) αν x0,, τηση f(x) x P(B) αν x Στο διπλανό πίνακα δίνονται οι τιµές µιας µεταβλητής Χ µε τις αντίστοιχες συχνότητές τους µε x Να βρείτε τις P(A), P(B) PA PB PA 6PB 4 PΩ 767 Ο χρόνος εργασίας των υπαλλήλων μιας εταιρείας που εργάζονται από 5 έως 0 χρόνια έχει ταξινομηθεί σε 5 ισοπλατείς κλάσεις Τα μόνα διαθέσιμα στοιχεία που έχουμε είναι τα εξής: Α Το πολύγωνο συχνοτήτων που δείχνει τα χρόνια εργασίας έχει εμβαδόν 80 Β η ο Η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στην 4 κλάση είναι 5 Γ ης ης Η συχνότητα (αριθμός υπαλλήλων) της κλάσης είναι 4 πλάσια από αυτήν της κλάσης Δ η Η σχετική συχνότητα των υπαλλήλων που αντιστοιχούν στην κλάση είναι 0% Ε Ο αριθμός των υπαλλήλων που εργάζονται τουλάχιστον 5 χρόνια είναι 40 Στ) Να βρείτε τις συχνότητες v i, f%, i N i, F% i Ζ) Να σχεδιάσετε το ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων f% i Η) Αν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός των ανδρών σε κάθε κλάση είναι ίσος με αυτόν των γυναικών, να βρεθεί η πιθανότητα, αν επιλέξουμε κάποιον τυχαία, να είναι άνδρας ή να πάρει σύνταξη στα επόμενα 0 χρόνια (Για να πάρει κάποιος σύνταξη χρειάζονται 0 χρόνια υπηρεσίας) 768 Μια εταιρεία παράγει ημερησίως 5 προϊόντα τύπου Α, ν προϊόντα τύπου Β και κ προϊόντα τύπου Γ Επιλέγουμε τυχαία ένα προϊόν της εταιρείας Η πιθανότητα να είναι τύπου Β είναι και η πιθανότητα να είναι τύπου Γ είναι Αν οι τιμές πώλησης όλων των προϊόντων της εταιρείας έχουν τυπική απόκλιση s και οι μέσες τιμές 6 πώλησης των προϊόντων τύπου A και B είναι 00 και 00 αντίστοιχα, να βρεθούν : Α) Το πλήθος των προϊόντων τύπου B και Γ Β) Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της τυπικής απόκλισης s των τιμών πώλησης ώστε ο συντελεστής μεταβολής του δείγματος να είναι 0 % και η μέση τιμή πώλησης του προϊόντος Γ να κυμαίνεται από 00 έως 00 Γ) Αν η εταιρεία αποφασίσει να διακόψει την παραγωγή του προϊόντος τύπου Α και να αυξήσει την παραγωγή του προϊόντος τύπου Γ κατά 00 % πόση πρέπει να είναι η νέα μέση τιμή πώλησης του προϊόντος τύπου Γ ώστε ο συντελεστής μεταβολής να παραμείνει 0 % και η τυπική απόκλιση όλων των προϊόντων να είναι 0

16 Γενικές Συνδιαστικές Ασκήσεις σε Ανάλυση - Στατιστική 769 x xp(a ) P(A) αν x Έστω A, B δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου και η συνάρτηση f(x) x P(B) αν x η οποία είναι συνεχής στο xo Α) Να αποδείξετε ότι P(A) P(B) Β) Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των αριθμών: P(A), P(B), P(AB), P(A B) ΑΠ: X δ 4, 770 Μια μεταβλητή παίρνει τις τιμές,, 4,, 6,, x Α) 6x 6x 66 να αποδείξετε ότι η διακύμανση των παρατηρήσεων είναι s 49 Β) να βρείτε την τιμή του x ώστε οι παρατηρήσεις να έχουν όσο γίνεται μικρότερη διασπορά Γ) Αν το x παίρνει τιμές από το σύνολο Ω 50, 49, 48,, 48, 49, 50 να βρείτε την πιθανότητα του ενδε- χομένου Α: «η τυπική απόκλιση είναι μεγαλύτερη από Α η τυπική απόκλιση είναι μεγαλύτερη απο x, 0 x x8, x 4 77 Δίνεται η συνάρτηση: gx που η γραφική της παράσταση είναι το πολύγωνο συχνο-, 4 x 6 x 0, 6 x 0 τήτων της βαθμολογίας στην ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ μιας ομάδας φοιτητών, ομαδοποιημένη σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους Α) Να υπολογίσετε το μέγεθος του δείγματος καθώς και την μέση τιμή Χ της βαθμολογίας των φοιτητών Β) Αν επιλέξουμε τυχαία έναν φοιτητή, ποια η πιθανότητα να έχει γράψει βαθμό τουλάχιστον 4,5 Γ) Αν ο καθηγητής αυξήσει τη βαθμολογία κάθε φοιτητή κατά 0,0 μονάδες, να βρείτε το ποσοστό των φοιτητών που θα περάσουν το μάθημα λόγω της αύξησης αυτής Δ) Αν η τυπική απόκλιση της αρχικής βαθμολογίας είναι, να ελέγξετε αν ο καθηγητής μπορεί να κάνει το δείγμα ομοιογενές αυξάνοντας την βαθμολογία κάθε φοιτητή (Βάση βαθμολογίας: 5 μονάδες) 7-5

17 4 ο ΓΕΛ Χανίων - Γ Λυκείου Μελετήσαμε ένα δείγμα 800 οικογενειών ως προς το πλήθος των παιδιών της οικογένειας Μερικά από τα αποτελέσματα φαίνονται στο παρακάτω κυκλικό διάγραμμα Α Να συμπληρώσετε τον πίνακα που ακολουθεί Β Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο Γ Επιλέγουμε τυχαία μια οικογένεια 0 παιδιά παιδί Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α «Η οικογένεια έχει τουλάχιστον δύο παιδιά» Β «Η οικογένεια έχει το πολύ δύο παιδιά» Δ Επιλέγουμε τυχαία ένα παιδί από τις οικογένειες του δείγματος Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: «Το παιδί έχει έναν μόνον αδελφό» «Το παιδί έχει τουλάχιστον έναν αδελφό» «Το παιδί έχει το πολύ έναν αδελφό» Ο πίνακας που θα συμπληρωθεί είναι ο εξής: παιδιά 7 ο παιδιά 50% Αριθμός παιδιών πλήθος οικογενειών σχετική συχνότητα t Επίκεντρη γωνία α αθροιστική συχνότητα Ν i σχετική αθροιστική συχνότητα F% i 0 7 ο 0,50 60 Σύνολο 800,00 60 ο Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για τον αριθμό των αδελφών τους Οι απαντήσεις που πήραμε είναι: 0,,,, 4, 5 Αν ν, ν, ν, ν 4, ν 5, ν 6 είναι οι αντίστοιχες συχνότητές τους και γνωρίζετε επίσης ότι: η πιθανότητα να έχουν πέντε αδέλφια είναι 0, 0 o ο αριθμός ν αντιστοιχεί σε γωνία 7 σε κυκλικό διάγραμμα x 4 ο αριθμός ν 4 ισούται με το lim x 4 x η διάμεσος και η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι,5 α) Να κάνετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων β) Ποια η πιθανότητα αν επιλέξουμε τυχαία έναν μαθητή η οικογένειά του να έχει παιδιά γ) Να βρείτε το συντελεστή μεταβλητότητας του παραπάνω δείγματος 774 Οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ομαδοποιήθηκαν σε 5 ισοπλατείς κλάσεις και προέκυψε ο παρακάτω πίνακας Παίρνουμε μια τιμή τυχαία Αν η πιθανότητα να ανήκει στην η κλάση είναι Ρ, τότε: 4 Α) Να βρείτε το ποσοστό των τιμών που βρίσκονται στο διάστημα 9 έως 8 Β) Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διακύμανση των παραπάνω τιμών της μεταβλητής Χ Γ) α) Να εξετάσετε αν οι παραπάνω τιμές αποτελούν ομοιογενές δείγμα β) Αν στην κάθε μια από τις παραπάνω τιμές προσθέσουμε 4,4 μονάδες, τότε το νέο δείγμα είναι ομοιογενές: Δίνεται: 7,84 5,8 775 Δίνονται οι αριθμοί : 0, x, lnx, ln x, x Α) Να βρείτε του αριθμούς ώστε αυτοί να έχουν μέγιστη μέση τιμή και μετά τη διάμεσο και την τυπική απόκλιση αυτών Β) 'Έστω x και Ω δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης που έχει ως στοιχεία τους παραπάνω αριθμούς Αν Ρν v, ν,, η συνάρτηση πιθανότητας Να βρείτε την πιθανότητα Ρ 0

18 Γενικές Συνδιαστικές Ασκήσεις σε Ανάλυση - Στατιστική 776 Οι μαθητές μιας τάξης ενός Λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά με το πόσα αδέρφια έχουν και από τις απαντήσεις τους προέκυψε ο παρακάτω πίνακας Οι αριθμοί α και β είναι οι τιμές του τοπικού ελάχιστου και του τοπικού μέγιστου αντίστοιχα της συνάρτησης f(x) x x 7 Α) Να αποδείξετε ότι α 5 και β 9 Αριθμός αδερφιών x i Αριθμός μαθητών v i 0 α β 8 Β) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή του αριθμού των αδερφιών που έχουν οι μαθητές της τάξης Γ) Να υπολογίσετε τη διάμεσο Δ) Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή από την τάξη Αν γνωρίζουμε ότι στην τάξη δεν υπάρχουν αδέρφια, να βρείτε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων: Α : «ο μαθητής που επιλέξαμε να έχει το πολύ δύο αδέρφια» Β : «η οικογένεια του μαθητή που επιλέξαμε να έχει τουλάχιστον δύο παιδιά» 777 Έστω ο δειγματικός χώρος Ω και δύο ενδεχόμενά του A, B, με PA PB Έστω οι παρατηρήσεις PA, PB, PA B, PA B Α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσό τους Β) Να αποδείξετε ότι η διακύμανσή τους είναι s P A B P A B 8 Γ) Να αποδείξετε ότι η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο A είναι ίση με s Κλάσεις 0, 8 90 Σύνολο Τις ελάχιστες θερμοκρασίες για 00 συνεχείς ημέρες τις ομαδοποιήσαμε σε πέντε κλάσεις πλάτους c όπως φαίνεται στο διπλανό πίνακα Έστω ότι η διάμεσος είναι και η μέση τιμή Α) να βρείτε το πλάτος c των κλάσεων Β) Να συμπληρώσετε τον πίνακα Γ) Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές Δ) Επιλέγουμε τυχαία μια ημέρα Να βρείτε την πιθανότητα να o είχε ελάχιστη θερμοκρασία μικρότερη από 5 C, x i - Συνολο ν i 6 0 f% i F% i Στο διπλανό πίνακα δίνονται οι βαθμολογίες φοιτητών σε μια εξεταστική περίοδο στο μάθημα της Στατιστικής Να βρείτε τα α,β σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις Α) Όταν ο μέσος όρος των βαθμών είναι 5,7 Β) Αν η διάμεσος είναι 5 Γ) Ώστε κατά την τυχαία επιλογή ενός φοιτητή, η πιθανότητα να έγραψε από έως 8, να είναι 7 0, f i 0, 0,,4 0, 4,6 α 6,8 0,5 8,0 β Συνολο 780 Έστω X μια ποσοτική μεταβλητή ως προς την οποία εξετάζουμε ένα δείγμα μεγέθους ν και x,x,,x ν οι παρατηρήσεις με μέση τιμή x και τυπική απόκλιση s Θεωρούμε τη συνάρτηση g x 4x x x0 s, x R Αν η gx παρουσιάζει για x ελάχιστο το g τότε: Α Να βρείτε τη μέση τιμή x και την τυπική απόκλιση s Β Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές Γ Επιλέγουμε στην τύχη μια παρατήρηση από τις ν παρατηρήσεις Ποια η πιθανότητα να βρίσκεται μεταξύ,7 και, αν η κατανομή θεωρηθεί κανονική; Δ Αυξάνουμε κάθε παρατήρηση κατά την ίδια ποσότητα λ 0 Να βρείτε την μικρότερη τιμή του λ ώστε το δείγμα να είναι ομοιογενές 7-7