ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΤΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΤΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών στις Επιστήμες της Εκπαίδευση και της Αγωγής Κατεύθυνση: «Διδακτική των Θετικών Επιστημών: Εκπαιδευτικά Προγράμματα, Αξιολόγηση και Τεχνολογίες της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στην Εκπαίδευση» ιπλωματική εργασία ΘΕΜΑ: Η χρήση των εξωτερικών αναπαραστάσεων στα σύνθετα προβλήματα Συγκριτική Θεώρηση παλιού και νέου Αναλυτικού Προγράμματος Σπουδών Μεταπτυχιακή φοιτήτρια: Λουμάκου Μαριάνθη Επιβλέπων καθηγητής: Ζαχάρος Κωνσταντίνος ΠΑΤΡΑ 2010

2 1

3 Ευχαριστώ: ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Τον Επίκουρο Καθηγητή και επιβλέποντα της εργασίας κ. Ζαχάρο Κωνσταντίνο για τις χρήσιμες υποδείξεις του και τις συμβουλές του κατά την εκπόνηση της διπλωματικής μου εργασίας. Όλους τους καθηγητές του μεταπτυχιακού προγράμματος οι οποίοι με τις γνώσεις τους με βοήθησαν να στοχαστώ και να προβληματιστώ πάνω στη διδακτική των θετικών επιστημών, να διευρύνω τις γνώσεις μου αλλά και τον τρόπο σκέψης μου. Το σύζυγο και τα παιδιά μου για την υπομονή, κατανόηση και την αμέριστη συμπαράστασή τους 2

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Ι Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ΕΙΚΟΝΑ ΩΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Η ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗ ΩΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΑ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΩΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ - ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑΤΑ...35 ΜΕΡΟΣ ΙΙ...37 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ...37 ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ...51 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΘΕΤΟΣ ΑΞΟΝΑΣ ΤΑΞΗ Α ΤΑΞΗ Β ΤΑΞΗ Γ ΤΑΞΗ Δ ΤΑΞΗ Ε ΟΡΙΖΟΝΤΙΟΣ ΑΞΟΝΑΣ...81 ΜΕΡΟΣ ΙV...89 ΓΕΝΙΚΟΣ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ...89 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ανθρώπινη σκέψη χαρακτηρίζεται από τη χρήση πολλών ειδών αναπαραστάσεων για την ίδια έννοια και από τη δυνατότητα προσφυγής σε πολλαπλά συστήματα αναπαράστασης. Κατά συνέπεια, η εκπαιδευτική πράξη, η οποία είναι μία από τις εκφράσεις της ανθρώπινης σκέψης, χαρακτηρίζεται από τη χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων με στόχο την απόδοση ιδεών με διαφορετικούς τρόπους. Η Μαθηματική Εκπαίδευση ως αναπόσπαστο μέρος της εκπαιδευτικής πράξης, που περιλαμβάνει σύνολα ιδεών και εννοιών, αποτελεί επίσης τομέα της ανθρώπινης δραστηριότητας και σκέψης, ο οποίος χαρακτηρίζεται από τη χρήση πολλαπλών αναπαραστάσεων. Ένα σημαντικό θέμα που απασχολεί τη Διδακτική των Μαθηματικών είναι η συνεισφορά της μαθηματικής εκπαίδευσης και του εκπαιδευτικού στη διαδικασία της κατανόησης των μαθηματικών εννοιών και γενικότερα στην ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης, ενώ πρωταρχικό σκοπό της διδασκαλίας αποτελεί η ανάπτυξη της ικανότητας των μαθητών να επιλύουν προβλήματα. Βασικό εργαλείο της Σύγχρονης Διδακτικής των Μαθηματικών αποτελεί η ιδέα της αναπαράστασης η οποία κυριαρχεί σε όλη την έκταση της Θεωρίας της Γνώσης και της Γνωστικής Ψυχολογίας (Billman 1999) Οι ιδέες γύρω από τις αναπαραστάσεις στην έρευνα, τη διδασκαλία και τη μάθηση των μαθηματικών έχουν αναπτυχθεί τα τελευταία χρόνια καθώς ο ρόλος και η χρήση τους έχουν αποτελέσει αντικείμενο μελέτης και εκτενούς συζήτησης στη μαθηματική κοινότητα. Ο λόγος για τον οποίο δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στην έννοια αυτή στο χώρο της διδακτικής των μαθηματικών είναι ότι οι αναπαραστάσεις θεωρούνται σύμφυτες με τα μαθηματικά (Dufur Janvier et al, 1987). Υπάρχουν περιπτώσεις όπου οι αναπαραστάσεις είναι τόσο στενά δεμένες με μία μαθηματική έννοια, ώστε είναι δύσκολο να γίνει κατανοητή η έννοια χωρίς τη χρήση της συγκεκριμένης αναπαράστασης. Η σημασία των τρόπων αναπαράστασης της γνώσης για την κατασκευή νοητικών εικόνων και εννοιολογικών σχημάτων φαίνεται να αποκτά όλο και μεγαλύτερη σημασία στη σημερινή κοινωνική και εκπαιδευτική πραγματικότητα. Ζούμε σε έναν οπτικό κόσμο, όπου η τηλεόραση, ο κινηματογράφος, οι φωτογραφίες επίμονα, σταθερά μας κατακλύζουν με εικόνες της πραγματικότητας όπου κι αν βρεθούμε. 4

6 Οι αναπαραστάσεις που χρησιμοποιούνται στη μαθησιακή διαδικασία καθορίζουν σε σημαντικό βαθμό τα όσα μαθαίνει ο μαθητής και το πόσο εύκολα επιτυγχάνεται η κατανόηση των εννοιών στα μαθηματικά. Ως εκ τούτου, λειτουργούν ως χρήσιμα εργαλεία για την οικοδόμηση της μαθηματικής γνώσης, την εννοιολογική κατανόηση και την επικοινωνία μαθηματικών εννοιών αλλά και την ανάπτυξη των ικανοτήτων των μαθητών να ερμηνεύουν μαθηματικές πληροφορίες που παρουσιάζονται σε διαφορετικά συστήματα αναπαράστασης, να οργανώνουν, να καταγράφουν και να μεταδίδουν μαθηματικές ιδέες με λόγια, εικόνες, γραφικές παραστάσεις, πίνακες ή σύμβολα (Greeno & Hall, 1997). Ο ρόλος αυτός αποκτά ιδιαίτερο ενδιαφέρον, όταν αναφερόμαστε στα σχολικά βιβλία αφού, αυτά εξακολουθούν να έχουν το κύριο βάρος στη μαθησιακή και διδακτική διαδικασία τόσο σε διάφορες χώρες, όσο και στην Ελλάδα ιδιαίτερα. Στην παρούσα εργασία θα καταγράψουμε τους τύπους εξωτερικής αναπαράστασης και τη συχνότητα εμφάνισής τους στα σύνθετα προβλήματα στα κεφάλαια που αναφέρονται στις πράξεις των ακεραίων αριθμών. Θα μελετηθούν τα σχολικά εγχειρίδια (βιβλία μαθητή, τετράδια εργασιών και βιβλία του δασκάλου) του παλιού και του νένου Αναλυτικού Προγράμματος Σπουδών. Η εργασία έχει δομηθεί σε τέσσερα (4) μέρη: Στο πρώτο μέρος με τίτλο Θεωρητικό πλαίσιο γίνεται προσπάθεια να αποσαφηνιστούν οι όροι «αναπαράσταση» και «εξωτερικές αναπαραστάσεις» γενικά και στο χώρο των μαθηματικών ειδικότερα. Στο δεύτερο μέρος με τίτλο Μεθοδολογία περιγράφεται ο ερευνητικός σχεδιασμός και ο τρόπος επεξεργασίας των εμπειρικών δεδομένων Στο τρίτο μέρος, Αποτελέσματα της έρευνας, παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της επεξεργασίας των δεδομένων σε δύο άξονες (οριζόντιος και κάθετος) Η εργασία ολοκληρώνεται με το τέταρτο μέρος Γενικός σχολιασμός των αποτελεσμάτων Συμπεράσματα στο οποίο γίνεται προσπάθεια σύνοψης και γενικού σχολιασμού των αποτελεσμάτων που παρατέθηκαν στο 3 ο μέρος και εξαγωγή συμπερασμάτων. 5

7 ΜΕΡΟΣ Ι 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ Ο όρος «αναπαράσταση» μεταφράζεται σε διάφορα λεξικά με τον όρο «απεικόνιση» (Νεοελληνικό Λεξικό Πατάκη), «αποτύπωση έργου, πράγματος ή γεγονότος, «εικαστική ή γραφική παράσταση γεγονότος ή κατασκευής που δεν υπάρχει ή που δεν έχει πλέον τη μορφή που είχε» (Λεξικό της Κοινής Ελληνικής). Με τον όρο «αναπαράσταση» έχουν ασχοληθεί αρκετές επιστήμες, όπως η Ψυχολογία, η Παιδαγωγική, η Τέχνη αλλά και τα Μαθηματικά και μελετάται υπό διαφορετικά πρίσματα αν και είναι μία έννοια δύσκολη και ασαφής. Η έννοια της αναπαράστασης εμφανίζεται μέσα σε μια πληθώρα ορισμών και εκτιμήσεων, αφού η διαπραγμάτευσή της ξεπερνά κατά πολύ τα πλαίσια της διδασκαλίας και μάθησης κι ακόμα εκείνα του ανθρώπου. Χρησιμοποιείται για να περιγραφούν γενικότερα νοήμονα συστήματα, όπως είναι τα τεχνήματα της Τεχνητής Νοημοσύνης, αλλά και οι δυνατότητες άλλων βιολογικών συστημάτων εκτός του ανθρώπου. Κατά τον Palmer (1977) μία αναπαράσταση είναι ένας σχηματισμός (configuration) ο οποίος ολοκληρωτικά ή εν μέρει συνδέεται, αντιστοιχεί, αλληλεπιδρά, συμβολίζει, «αναπαριστά» κάτι άλλο. Επικρατέστερος ορισμός μπορεί να θεωρηθεί αυτός που δίνεται από τον Kaput (1987), σύμφωνα με τον οποίο ο όρος «αναπαράσταση» αναφέρεται σε ένα νοητικό σύμβολο ή έννοια (signified and referenced concept), το οποίο αντιπροσωπεύει ένα συγκεκριμένο υλικό σύμβολο και εμπεριέχει ένα σύνολο νοητικών δραστηριοτήτων και πρακτικών και ως έννοια περιλαμβάνει πέντε ολότητες: 1. την ολότητα που αναπαρίσταται 2. την ολότητα που αναπαριστά 3. τις συγκεκριμένες πτυχές της ολότητας της αναπαράστασης που αναπαρίστανται 4. τις συγκεκριμένες πτυχές της ολότητας που αναπαριστά, οι οποίες σχηματίζουν την αναπαράσταση και 5. την αντιστοιχία ανάμεσα στις δύο ολότητες Πρόκειται δηλαδή, για ένα σχηματισμό από χαρακτήρες, εικόνες, διακριτά αντικείμενα κλπ. τα οποία συμβολίζουν ή «αναπαριστάνουν» κάτι άλλο. Ο ορισμός αυτός δεν εστιάζεται στη σχέση που συνδέει ένα αντικείμενο με την αναπαράστασή 6

8 του αλλά δίνει περισσότερες δυνατότητες στην αναπαράσταση παρά στο ίδιο το αντικείμενο. Θεωρεί με άλλα λόγια ότι η αναπαράσταση είναι αυτόνομη και ανεξάρτητη από το αντικείμενο που παριστά και το άτομο μπορεί να την τροποποιήσει και να την επεξεργαστεί χωρίς περιορισμούς. Ο Vergnaud (1998) θεωρεί την αναπαράσταση μια δύσκολη έννοια και αναφέρει ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο λόγοι που καθιστούν τις αναπαραστάσεις σημαντικό θέμα για επιστημονική μελέτη. Ο πρώτος, είναι ότι χρησιμοποιούμε την αναπαράσταση ως έκφραση των εσωτερικών εικόνων, των χειρονομιών και των λέξεων. Ο δεύτερος, είναι ότι οι λέξεις και τα σύμβολα που χρησιμοποιούμε στην επικοινωνία δεν αναφέρονται άμεσα στην πραγματικότητα, αλλά αντιπροσωπεύουν τις οντότητες: αντικείμενα, ιδιότητες, σχέσεις, διαδικασίες, ενέργειες και κατασκευάσματα, για τα οποία δεν υπάρχει καμία αυτόματη συμφωνία μεταξύ δύο ατόμων. Η έννοια της αναπαράστασης αποτελεί ένα βοηθητικό θεωρητικό εργαλείο για το χαρακτηρισμό των γνωστικών διαδικασιών στη μάθηση των μαθηματικών και αυτό γιατί η περιγραφή του τρόπου εξέλιξης των συστημάτων αναπαράστασης στο χρόνο περιλαμβάνει τόσο σημειωτικές πράξεις, μέσω των οποίων οι αναπαραστάσεις αποκτούν συγκεκριμένο νόημα, όσο και τη δομική εξέλιξη νέων συστημάτων, τα οποία οικοδομούνται πάνω στις βάσεις που παρέχουν τα προϋπάρχοντα συστήματα αναπαράστασης (Goldin & Kaput, 1996). Οι γνωστικοί ψυχολόγοι πιστεύουν πως ο τρόπος με τον οποίο ένας οργανισμός αποκτά πληροφορίες από το περιβάλλον εξαρτάται από τρεις βασικές ικανότητες: α. Την ικανότητα αναπαράστασης του περιβάλλοντος β. Την ικανότητα του χειρισμού και αλλαγών αυτών των αναπαραστάσεων και γ. Την ικανότητα αξιοποίησης των αποτελεσμάτων της γνωστικής διαδικασίας Οι περισσότεροι θεωρούν το νου ως ένα σύστημα που οικοδομεί και χειρίζεται σύμβολα. Προσπαθούν με αυτό τον τρόπο να κατανοήσουν πώς αναπαρίστανται και χρησιμοποιούνται τα σύμβολα αυτά και πώς σχετίζονται με την ανθρώπινη δραστηριότητα, ιδιαίτερα τη νοητική (Βοσνιάδου, 2002) Οι Markman & Dietrich (2000) θεωρούν ως αναπαράσταση τις ενδιάμεσες καταστάσεις (mediating states), που διαμορφώνονται στο εσωτερικό ενός συστήματος που χρησιμοποιεί πληροφορίες για να επιτύχει ή να διευρύνει τους στόχους του και που περιέχουν πληροφορίες για την τρέχουσα κατάσταση του περιβάλλοντος με το οποίο αλληλεπιδρά το σύστημα και υφίστανται αλλαγές επηρεαζόμενες από και επηρεάζοντας το περιβάλλον. 7

9 Ο Randall (1993) υποστηρίζει ότι η αναπαράσταση μπορεί να γίνει κατανοητή μέσα από ένα πενταπλό πρίσμα: - ως υποκατάστατο για το αντικείμενο που αναπαρίσταται - ως συζήτηση για τον τρόπο με τον οποίο σκεφτόμαστε για τον κόσμο - ως αποσπασματική θεωρία της σκέψης - ως μέσο οργάνωσης πληροφοριών χρήσιμων για την εξαγωγή συμπερασμάτων και - ως μέσο έκφρασης. Οι Perkins & Ungers (1994) αναφέρουν ότι οι αναπαραστάσεις είναι τα «σύμβολα σε κάθε συμβολικό σύστημα, τα οποία χρησιμοποιούνται για να ονομάσουν (denote) ή να εξηγήσουν (exemplify)». Τα σύμβολα και τα συμβολικά συστήματα υποστηρίζουν τη γνωστική δραστηριότητα με τη μείωση του γνωστικού φορτίου μειώνοντας όλα όσα το άτομο πρέπει να σκεφτεί για να εκτελέσει μια δραστηριότητα, αποσαφηνίζοντας το χώρο του προβλήματος και αποκαλύπτοντας άμεσες έννοιες. Έτσι τα σύμβολα ή τα συμβολικά συστήματα βοηθούν το άτομο να λύσει ένα πρόβλημα ή παρέχουν μια εξήγηση, πρόβλεψη, ή δικαιολογία. Σύμφωνα με τον Billmann (1999) η κατανόηση, που είναι ο συνδυασμός αντίληψης και ενέργειας, βασίζεται στην αναπαράσταση της πληροφορίας και στην ενέργεια του υποκειμένου σ αυτή και θεωρεί ότι δεν υπάρχει κατανόηση χωρίς αναπαράσταση. Η αναπαράσταση αναφέρεται από τους Pape & Tchoshanov (2001) ως μία εσωτερική αφαίρεση μαθηματικών ιδεών ή γνωστικών σχημάτων. Είναι ένα προϊόν μιας διανοητικής ενέργειας, από την οποία το άτομο (ή ομάδα ατόμων) ξαναφτιάχνει το πραγματικό, το οποίο αντιμετωπίζει και του προσδίδει μια ορισμένη σημασία. Ορίζεται, επίσης, ως μία νοητική δομή, η οποία καθορίζεται από διάφορα εργαλεία όπως πίνακες, σχήματα, εξισώσεις και γραφικές παραστάσεις και από τον τρόπο που αυτά χρησιμοποιούνται για την παρουσίαση μαθηματικών ιδεών και εννοιών. Οι αναπαραστάσεις για τους Coulombe & Berenson (2001) αποτελούν έναν τρόπο μοντελοποίησης μαθηματικών, έναν τρόπο για να δείξουν οι μαθητές τη σκέψη τους για τα μαθηματικά. Οι αναπαραστάσεις είναι δυναμικά εργαλεία για τη σκέψη. Κάνουν τις μαθηματικές ιδέες πιο συγκεκριμένες και διαθέσιμες για στοχασμό. Υποστηρίζουν και επεκτείνουν τον συλλογισμό, βοηθούν τους μαθητές να επικεντρωθούν σε βασικά χαρακτηριστικά των μαθηματικών καταστάσεων, να αναγνωρίσουν τα κοινά μαθηματικά στοιχεία διαφόρων καταστάσεων (Fennell & Rowan, 2001). 8

10 Παράλληλα, δίνουν στους μαθητές χρήσιμα εργαλεία για την οικοδόμηση της κατανόησης, την επικοινωνία της πληροφορίας και την απόδειξη του συλλογισμού (Greeno & Hall, 1997). Κανένας όμως ορισμός από τους παραπάνω δεν είναι ικανοποιητικός. Η αιτία είναι πως κάθε αναπαράσταση δεν μπορεί να θεωρηθεί μεμονωμένα, καθώς οι αναπαραστάσεις ανήκουν σε εξαιρετικά δομημένα συστήματα και είτε έχουν ένα υποκειμενικό χαρακτήρα είτε ένα πιο συμβατικό και πολιτισμικό (Goldin & Kaput, 1996). Αυτά τα συστήματα ονομάζονται συμβολικά σχήματα (Kaput, 1987) ή αναπαραστατικά συστήματα (Goldin, 1987; Lesh, Landau & Hamilton, 1983). 2. ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Προκειμένου να αναφερθούμε στη διάκριση των αναπαραστάσεων και στα αναπαραστασιακά συστήματα θα δεχθούμε αφενός μεν, ότι η έννοια της αναπαράστασης, όπως έχει ορισθεί από τον Palmer (1977) και αναφέρεται από τον Kapur (1987a), αποτελείται από δύο συναφείς αλλά και ξεχωριστές οντότητες: η μία ονομάσθηκε αναπαριστώμενος κόσμος και η άλλη αναπαριστών κόσμος. Αφετέρου δε, ότι οι αναπαραστάσεις ανήκουν σε δομικά πολύπλοκα συστήματα: προσωπικά ή πολιτισμικά και συμβατικά. Ένα συμβολικό σχήμα ή αναπαραστατικό σύστημα (Goldin 1987; Kaput 1987) μπορεί να κατανοηθεί ως μια οντότητα που αποτελείται από πρωταρχικούς (primitive) χαρακτήρες ή σημεία τα οποία συνήθως (αλλά όχι πάντα) είναι διακριτά όπως για παράδειγμα η ομιλούμενη γλώσσα, τα γράμματα του αλφαβήτου, τα αριθμητικά ψηφία κλπ. Κατ επέκταση, σύμφωνα με τον ορισμό του kaput (1987) οι αναπαραστάσεις μπορεί να είναι: I. νοερές (πχ. οπτικές αναμνήσεις) II. φυσικές (πχ. φωτογραφίες) και III. σημειωτικές (πχ. γλώσσα, σχέδια). Ο Laird (1983) διακρίνει τρεις τύπους αναπαράστασης: 1. Προτασιακές (γραπτές προτάσεις της φυσικής γλώσσας) 2. Νοητικά μοντέλα (δομημένα ανάλογα με τον κόσμο) 3. Νοητικές εικόνες (αντιλήψεις των μοντέλων από μία οπτική γωνία) 9

11 Οι Lesh, Βehr & Post (1987b) διαχώρισαν τα αναπαραστασιακά συστήματα στα «διαφανή» (transparent) και «αδιαφανή» (opaque). Τα διαφανή, είναι τα συστήματα αναπαράστασης που έχουν ακριβώς το ίδιο νόημα με την έννοια ή τη δομή που αναπαριστούν. Στα διαφανή αναπαραστασιακά συστήματα τίποτε περισσότερο ή λιγότερο δεν υπονοείται πέρα από τις ιδέες ή τις δομές που αναπαριστώνται. Τα αδιαφανή συστήματα αναπαράστασης είναι τα συστήματα που δίνουν έμφαση σε κάποιες έννοιες ή δομές, ενώ κάποιες άλλες δεν φωτίζονται αλλά βρίσκονται κρυμμένες πίσω από άλλες. Ένα αδιαφανές σύστημα είναι δυνατό να έχει κάποιες ιδιότητες πέρα από τις ιδιότητες των υποκείμενων εννοιών και δομών, ενώ ταυτόχρονα, είναι δυνατόν να παραλείπει κάποιες άλλες. Κατά τον Bruner (1996) στη διάρκεια της ανάπτυξης του παιδιού εμφανίζονται τρία είδη αναπαραστάσεων που συνδέονται εξελικτικά - η πραξιακή / ενεργητική αναπαράσταση (enactive) (δράση, πχ. διάφορες κινήσεις) - η εικονιστική αναπαράσταση (iconic) (νοερές εικόνες, όχι λεπτομέρειες αλλά κάποια πολύ χρήσιμα χαρακτηριστικά). - και η συμβολική (symbolic) (ο τρόπος αναπαράστασης εμπειριών στη μνήμη γίνεται μέσω γλωσσικών ή άλλων συμβόλων. Ένα σύμβολο είναι μια λέξη ή ένα σημάδι που δεν μοιάζει καθόλου με το αντικείμενο ή την ενέργεια που παριστάνει) Η φάση της πραξιακής / ενεργητικής αναπαράστασης αφορά το πρώτο στάδιο γνωστικής ανάπτυξης το οποίο συμπίπτει με την αισθησιοκινητική περίοδο του Πιαζέ αναφέρεται δηλαδή, στην ικανότητα των παιδιών να απαντούν σε ερωτήσεις μόνο σε σχέση με προηγούμενες πρακτικές εμπειρίες τους. Στο στάδιο αυτό η αναπαράσταση της εμπειρίας γίνεται μέσω κινητικών ενεργειών δηλαδή η ταυτότητα ενός αντικειμένου, η έννοιά του αναπαριστάνονται με τις πράξεις που μπορεί να πραγματοποιήσει κάποιος με αυτό. Η εικονική φάση αποτελεί το δεύτερο κατά σειρά στάδιο γνωστικής ανάπτυξης στο οποίο γίνεται αναπαράσταση της εξωτερικής πραγματικότητας μέσω εσωτερικών πνευματικών εικόνων στη φύση. Είναι ένας ευέλικτος τρόπος συμβολισμού του κόσμου, που επιτρέπει την αντιμετώπιση των πραγμάτων και των γεγονότων με ένα εσωτερικό αντίγραφο με τη μορφή της πνευματικής παράστασης χωρίς να είναι απαραίτητη η προσφυγή στις άμεσες 10

12 αισθητηριακές και κινητικές εμπειρίες. Κατά συνέπεια χαρακτηρίζεται από απαντήσεις που αφορούν σε νοητικές εικόνες φυσικών αντικειμένων ή σε έναν εσωτερικό χώρο σχημάτων ή δομών. Τέλος, η συμβολική αναπαράσταση αποτελεί το τρίτο στάδιο γνωστικής ανάπτυξης, στο οποίο η αναπαράσταση της εξωτερικής πραγματικότητας γίνεται με αφηρημένα σύμβολα. Τα σύμβολα αυτά είναι απαλλαγμένα από κάθε τοποχρονικό προσδιορισμό, επιτρέπουν το συνδυασμό τους σε άπειρες παραλλαγές, το άτομο μπορεί να τα χειρίζεται εσωτερικά και το νόημά τους πρέπει να εκφραστεί ή να οριστεί. Η γλώσσα αποτελεί την καθαρότερη μορφή συμβολικής αναπαράστασης. Σύμφωνα με τους Goldin & Janvier (1998) ο όρος «αναπαράσταση» ή «συστήματα αναπαράστασης» περιλαμβάνει τα εξής: α. εξωτερικές φυσικές ενσωματώσεις, δηλαδή, οποιαδήποτε δομημένη φυσική κατάσταση ή σύνολο καταστάσεων εξωτερικών προς το άτομο, οι οποίες μπορούν να περιγραφούν με τη χρήση μαθηματικών ή να θεωρηθούν ενσωματώσεις μιας μαθηματικής έννοιας. β. Εξωτερικές γλωσσικές ενσωματώσεις, όπου δίνεται έμφαση στα συντακτικά και σημασιολογικά δομικά χαρακτηριστικά της γλώσσας που χρησιμοποιείται για τη δημιουργία μαθηματικών προβλημάτων και τη συζήτηση των μαθηματικών. γ. Τυπικές μαθηματικές κατασκευές ή συστήματα κατασκευών, που αναπαριστούν καταστάσεις μέσω της χρήσης συμβόλων, τα οποία συνήθως υπακούουν σε συγκεκριμένα αξιώματα ή είναι σύμφωνα με ακριβείς ορισμούς. Όταν αναφερόμαστε στα σύμβολα ή σημεία, εννοούμε τα τεχνητά σημεία που χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουν κάτι. Το σύμβολο επιλέγεται αυθαίρετα ανάμεσα σε πολλές πιθανές επιλογές, για να υποδηλώσει κάτι άλλο. Η έμφαση βρίσκεται σε ένα περιβάλλον προβλήματος εξωτερικό προς το υποκείμενο δ. Εσωτερικές γνωστικές αναπαραστάσεις, την ύπαρξη των οποίων συμπεραίνουμε με τη συμπεριφορά. Πρόκειται για εσωτερικές, γνωστικές διαμορφώσεις των υποκειμένων και για συστήματα γνωστικής αναπαράστασης, με μια ευρύτερη έννοια, ως κατασκευές που υποβοηθούν την περιγραφή των διαδικασιών μάθησης και επίλυση προβλήματος στα μαθηματικά. Μία βασική διάκριση που επισημαίνεται στην περιοχή των αναπαραστάσεων και στηρίζεται σε πρόσφατα συμπεράσματα ερευνών από έναν σημαντικό αριθμό ερευνητών (Goldin & Shteingold, 2001; Dettori & Lemut, 1995; Dyfour Janvier, Bednarz, & Belanger, 1987) πάνω στην έννοια της αναπαράστασης οδηγούν στη 11

13 διάκριση ανάμεσα στο υλικό σύμβολο, το σημαίνον (signifier), και την έννοια, η οποία αναπαρίσταται με το σύμβολο, σημαινόμενο (signified). Το γεγονός, ότι ένα σύμβολο αντιστοιχεί σε μία έννοια του νου, οδηγεί, με τη σειρά του στη διάκριση ανάμεσα στις: - εσωτερικές (νοητικές) αναπαραστάσεις (internal representation) και - εξωτερικές (σημειωτικές) αναπαραστάσεις (external representation) Τέλος, οι Goldin & Kaput (1996) διακρίνουν τα εσωτερικά και τα εξωτερικά συστήματα αναπαράστασης και υποστηρίζουν ότι η διάκριση αυτή είναι ουσιαστικής σημασίας για την ψυχολογία και τη μάθηση των μαθηματικών ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Ως εσωτερικές αναπαραστάσεις ορίζεται το σύνολο των νοητικών εικόνων, σκέψεων και εκφράσεων που επιτρέπουν στο άτομο να συνδέεται με τα δεδομένα, να ξεχωρίζει τα κύρια στοιχεία από τα δευτερεύοντα, να συνδέει γνώση από διαφορετικά θέματα και χρόνους, να βρίσκει δυνατότητες και εναλλακτικούς τρόπους, να αναλύει και να συνδέει βήματα της λογικής. Ο Janvier (1987c) θεωρεί τις αναπαραστάσεις εσωτερικές κατασκευές που αντιστοιχούν σε κάποια εξωτερική διάταξη πραγμάτων που μπορούν να έχουν μία εικόνα, να είναι δηλαδή παρατηρήσιμα και προϊόν νοητικής δραστηριότητας μέσω της οποίας ανασυντάσσεται η πραγματικότητα που αντιμετωπίζουμε. Το άτομο δεν περιμένει απλώς να αποτυπωθούν οι επιδράσεις του περιβάλλοντός του στο μυαλό του αλλά προσπαθεί ενεργητικά να το ερμηνεύσει και να το κατανοήσει. Το ερμηνεύει νοητικά, χτίζει ένα μοντέλο του κόσμου στο μυαλό του, ένα σύστημα εσωτερικών αναπαραστάσεων, το κινητοποιεί όταν θέλει να προβλέψει γεγονότα ή όταν αντιμετωπίζει κάποιο πρόβλημα και πάντα με τον δικό του προσωπικό τρόπο (Janvier, 1987a). Σύμφωνα με τους Dufour Janvier et al. (1987) ο όρος εσωτερικές / νοητικές αναπαραστάσεις αναφέρεται σε «νοητικές εικόνες που κατασκευάζουν τα υποκείμενα, για να αναπαραστήσουν την εξωτερική πραγματικότητα (βρισκόμαστε στο πεδίο του «σημαινόμενου»). Οι εσωτερικές αναπαραστάσεις, είναι πιο ασαφής, επειδή δεν μπορούν να παρατηρηθούν άμεσα αλλά γίνονται αντιληπτές μόνο από παρατηρήσεις της εξωτερικής συμπεριφοράς των υποκειμένων (Goldin & Kaput, 1996). Σύμφωνα, δε, 12

14 με τις αρχές του οικοδομισμού, οι νοητικές αναπαραστάσεις έχουν δυναμικό χαρακτήρα αφού δεν πρόκειται για καταχωρήσεις που ανακαλούνται από κάποιο αρχείο, αλλά για παραγωγικές διαδικασίες που ενεργοποιούνται (Von Flascrsfeld, 1987b) Ο Kaput (1991), αντίστοιχα, θεωρεί ότι οι εσωτερικές αναπαραστάσεις είναι αποτέλεσμα προϋπαρχουσών γνώσεων και εμπειριών, που μορφοποιούν και προσδίδουν συγκεκριμένες σημασίες στις αντίστοιχες εξωτερικές αναπαραστάσεις. Σύμφωνα με τον Πόρποδα (1991) οι εσωτερικές αναπαραστάσεις αφορούν την αναπαράσταση των πληροφοριών που προσλαμβάνονται από κάθε άτομο στο μνημονικό του σύστημα έτσι ώστε να είναι δυνατή η συγκράτηση και επεξεργασία τους. Με τον τρόπο αυτό το άτομο επιτυγχάνει την κατανόηση και ερμηνεία του κόσμου, την ανάπτυξη νέων γνωστικών δομών και τη σωστή αντιμετώπιση και λύση των διαφόρων προβλημάτων. Οι εσωτερικές αναπαραστάσεις, έχουν μεγάλη σημασία για την εκμάθηση των μαθηματικών και της μαθηματικής σκέψης. Οι παραστάσεις που σχηματίζει καθένας στο μυαλό του για μια έννοια ή ένα σύμβολο είναι διαφορετικές και καθορίζουν τον ατομικό τρόπο κατάκτησης της έννοιας. Όσο πιο πλούσιες είναι οι αναπαραστάσεις που έχει ο μαθητής τόσο πιο κατανοητή είναι η έννοια και αντίστροφα. Ως εξωτερικές αναπαραστάσεις ορίζονται οι αναπαραστάσεις προς όλους τους εξωτερικούς φορείς (σύμβολα, διαγράμματα, σχήματα κλπ) οι οποίοι έχουν στόχο να αναπαραστήσουν μία συγκεκριμένη μαθηματική ή άλλη «πραγματικότητα» (βρισκόμαστε στο πεδίο του «σημαίνοντος») (Janvier, 1987). Σύμφωνα με τους Lesh, Βehr & Post (1987) οι εξωτερικές αναπαραστάσεις είναι οι εξωτερικές δηλώσεις ή καλύτερα «οι παρατηρήσιμες ενσωματώσεις των εσωτερικών εννοιολογικών δομών των μαθητών» δηλαδή, οι εκδηλώσεις του τρόπου με τον οποίο έχουν κατανοήσει τις έννοιες οι μαθητές. Δρουν ως ερεθισμοί στις αισθήσεις και συνίστανται από διαγράμματα, πίνακες, γραφικές παραστάσεις, διάφορα μοντέλα, γραφικά των Η/Υ καθώς και τυπικά σύμβολα και άλλες παραστάσεις της γλώσσας των Μαθηματικών. Οι Eysenck et al. (1995) αναφέρουν ως εξωτερική αναπαράσταση κάθε σημειογραφία ή σημείο ή σειρά συμβόλων που «αναπαριστά» κάτι σε μας. Αυτό σημαίνει ότι βρίσκεται στη θέση κάποιου πράγματος κατά την απουσία αυτού. Στο χώρο των μαθηματικών αναπαραστάσεις μπορεί να θεωρηθούν: 13

15 α. οι εσωτερικές αφαιρέσεις των μαθηματικών ιδεών ή γνωστικών σχημάτων που αναπτύσσονται από κάποιον που μαθαίνει μέσα από την εμπειρία, β. οι εξωτερικές εκδηλώσεις των μαθηματικών εννοιών που «λειτουργούν ως ερεθίσματα στις αισθήσεις» και μας βοηθούν να καταλάβουμε αυτές τις έννοιες (αριθμοί, γραφήματα, πίνακες, διαγράμματα) (Janvier, Girardon & Morand, 1993). Τέλος, ο Duval (2000) υποστηρίζει ότι οι σημειολογικές αναπαραστάσεις αποτελούν το μοναδικό μέσο με το οποίο μπορούμε να προσεγγίσουμε τα μαθηματικά αντικείμενα ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Ιδιαίτερα σημαντική για αποτελεσματική διδασκαλία και μάθηση είναι η αμφίδρομη σχέση αλληλεπίδρασης ανάμεσα στις εσωτερικές και τις εξωτερικές αναπαραστάσεις (Goldin & Shteingold, 2001) η οποία αποτελεί ένα πολυσυζητημένο θέμα στο χώρο των αναπαραστάσεων και οι απόψεις των ερευνητών στα μαθηματικά και τη μαθηματική εκπαίδευση διαφέρουν. Από τη μια μεριά μια ομάδα ερευνητών (Mitchell, 1994; Wileman, 1980) υποστηρίζει τη θεωρία της «εικόνας», ότι δεν υπάρχει δηλαδή διαφορά ανάμεσα στις εξωτερικές και εσωτερικές (νοητικές) αναπαραστάσεις καθώς μια νοητική αναπαράσταση είναι ισοδύναμη με αυτό που αναπαριστά. Κατά συνέπεια όταν οι μαθητές χειρίζονται κάποιο διδακτικό υλικό οικοδομούν την αναγκαία απεικόνιση ανάμεσα στο χειρισμό αυτού του υλικού και την εσωτερική αφαίρεση της μαθηματικής έννοιας που εμπεριέχεται. Από την άλλη μεριά κάποιοι άλλοι ερευνητές πιστεύουν ότι η ανάπτυξη της σκέψης των μαθητών συνδέεται με την ικανότητά τους να λειτουργούν με νοητικές εικόνες (πχ. να βλέπουν, να φαντάζονται και να σκιτσάρουν την ιδέα τους). Αυτό σημαίνει ότι η ανάπτυξη της κατανόησης των μαθητών με τη χρήση των αναπαραστάσεων σχετίζεται με την ικανότητά τους να εργαστούν με αναπαραστάσεις (πχ. να οπτικοποιήσουν με αναπαραστάσεις τους εαυτούς τους). Μια λογική υπόθεση που υποστηρίζεται είναι ότι η φύση των εσωτερικών αναπαραστάσεων επηρεάζεται και περιορίζεται ή εξαρτάται από την εξωτερική κατάσταση που αναπαρίσταται. Με άλλα λόγια, η μορφή των εξωτερικών αναπαραστάσεων, με τις οποίες αλληλεπιδρούν τα υποκείμενα, επηρεάζει τον τρόπο 14

16 που αναπαριστούν μια έννοια ή σχέση εξωτερικά. Αντίθετα, ο Piaget ( 1967) θεωρεί ότι η κατεύθυνση της αιτιώδους σχέσης είναι αντίστροφη, έτσι που η κατανόηση των παιδιών και η χρήση εξωτερικών αναπαραστάσεων εξαρτάται από την ανάπτυξη των εσωτερικών αναπαραστάσεων. Ο Skemp (1982) αναφέρει ότι η τυπική κατανόηση των μαθηματικών απαιτεί τη σύνδεση του μαθηματικού συμβολισμού και σημειογραφίας με σχετικές μαθηματικές ιδέες. Καθώς όλη η επικοινωνία, είτε προφορική, είτε γραπτή γίνεται με σύμβολα, αρχικά κινείται προς ένα συμβολικό σύστημα ενώ στη συνέχεια για να γίνει κατανοητή, πρέπει να συνδεθεί με την κατάλληλη εννοιολογική δομή. Αυτό απαιτεί: α. η εννοιολογική δομή να είναι πιο ισχυρή από το συμβολικό σύστημα και β. οι συνδέσεις ανάμεσα στο συμβολικό σύστημα και στην εννοιολογική δομή να είναι αρκετά ισχυρές έτσι ώστε τα εισερχόμενα να κινηθούν εύκολα από το πρώτο στο δεύτερο. Εάν η εννοιολογική δομή είναι απούσα ή αδύνατη τα εισερχόμενα θα αφομοιωθούν από το συμβολικό σύστημα. Αυτό στην πορεία δημιουργεί προβλήματα καθώς η μάθηση σε αυτό το επίπεδο είναι βραχύχρονη. Τα δύο είδη των αναπαραστάσεων κατά τις Dettori & Lemut (1995) συνδέονται με μια σύνδεση που εξαρτάται από την ικανότητα του ατόμου να εκφραστεί μέσα από τις εξωτερικές αναπαραστάσεις και από την αποτελεσματικότητα των εσωτερικών αναπαραστάσεών του. Υπάρχει αλληλοσύνδεση μεταξύ των δύο ειδών αναπαραστάσεων, διότι η παραγωγή κάποιας εξωτερικής αναπαράστασης στηρίζεται σε κάποια ιδέα και η επαφή με μια εξωτερική αναπαράσταση ρίχνει φως σε κάποια εσωτερική. Για να σκεφτούμε, δηλαδή, και να κατανοήσουμε μαθηματικές ιδέες είναι αναγκαία η εσωτερική αναπαράσταση τους. Εξαιτίας της φύσης τους, ωστόσο, οι εσωτερικές αναπαραστάσεις δεν είναι άμεσα παρατηρήσιμες. Η ύπαρξη και η δομή τους υποδηλώνεται από την εξωτερική συμπεριφορά των υποκειμένων κυρίως με βάση την αλληλεπίδραση τους με εξωτερικές αναπαραστάσεις ( Hiebert & Carpenter, 1988). Οι Dettori & Lemut (1995) αναφέρουν ότι οι εξωτερικές αναπαραστάσεις: εισήγαγαν ή ξαναέδωσαν σημασία σε λειτουργίες εισήγαγαν νέες υψηλότερου επιπέδου στρατηγικές επίλυσης βοήθησαν τους μαθητές στην αναγνώριση και διόρθωση λαθών συνέδεσαν την προβληματική κατάσταση με τη μαθηματική της μοντελοποίηση 15

17 Οι Hiebert & Carpenter, (1992) υποστηρίζουν ότι από τη μια, το άτομο εξωτερικεύει ενέργειες που πηγάζουν από εσωτερικές δομές. Από την άλλη, το άτομο εσωτερικεύει πράξεις μέσα από την αλληλεπίδρασή του με εξωτερικές φυσικές δομές ενός συμβολικού συστήματος διαβάζοντας, ερμηνεύοντας λέξεις και προτάσεις, ερμηνεύοντας εξισώσεις και γραφικές παραστάσεις. Δηλαδή, η σχέση αλληλεπίδρασης ανάμεσα στις εσωτερικές και τις εξωτερικές αναπαραστάσεις είναι αμφίδρομη (Goldin & Kaput, 1996; Kaput, 1998), όπως φαίνεται στο διάγραμμα 1. Εσωτερικές Νοητικές Αναπαραστάσεις Αλληλεπιδράσεις Εξωτερικές Φυσικές Αναπαραστάσεις Διάγραμμα 1: Σχέση αλληλεπίδρασης ανάμεσα στις εσωτερικές και τις εξωτερικές αναπαραστάσεις Πολύ συχνά οι αμφίδρομες αλληλεπιδράσεις ανάμεσα στις εσωτερικές και τις εξωτερικές αναπαραστάσεις συμβαίνουν ταυτόχρονα. Ο τρόπος με τον οποίο το άτομο αντιλαμβάνεται και ερμηνεύει μια εξωτερική αναπαράσταση βασίζεται στις νοητικές αναπαραστάσεις που έχει ήδη οικοδομήσει ως αποτέλεσμα προηγούμενων εμπειριών και γνώσεων (Hiebert & Carpenter, 1992). Οι ερμηνείες που αποδίδονται από το υποκείμενο στις εξωτερικές αναπαραστάσεις βρίσκονται σε στενή συνάφεια και εξαρτώνται από τις αντίστοιχες εσωτερικές. Οι εσωτερικές αναπαραστάσεις είναι αποτέλεσμα προϋπαρχουσών γνώσεων και εμπειριών, που μορφοποιούν και προσδίδουν συγκεκριμένες σημασίες στις αντίστοιχες εξωτερικές αναπαραστάσεις (Kaput, 1991). Κατά συνέπεια, η κατανόηση μιας μαθηματικής έννοιας μπορεί να γίνει αντιληπτή με αναφορά σε εσωτερικά συνεχώς αναπτυσσόμενα και δομημένα δίκτυα αναπαραστάσεων (Hiebert & Carpenter, 1992). Οι Lesh, Post, & Behr (1987) υποστηρίζουν ότι για την παρουσίαση και την επικοινωνία μαθηματικών ιδεών χρειάζεται η εξωτερική αναπαράσταση τους με ένα ή περισσότερους τρόπους ( λεκτικά, με σύμβολα, εικόνες, με χειριστικά αντικείμενα). Ο τρόπος με τον οποίο οι μαθητές αντιμετωπίζουν ή παράγουν μια εξωτερική αναπαράσταση αποκαλύπτει στοιχεία για το πώς οι μαθητές έχουν αναπαραστήσει αυτές τις πληροφορίες εσωτερικά ( Hiebert & Carpenter, 1988) 16

18 Η ερμηνεία, όμως, των εξωτερικών αναπαραστάσεων και των σχέσεων αναπαράστασης δεν είναι αντικειμενική και απόλυτη, αλλά εξαρτάται από τις εσωτερικές αναπαραστάσεις των ατόμων που δίνουν την ερμηνεία (Goldin & Kaput, 1996). Οι ίδιοι ερευνητές υποστηρίζουν ότι δεν πρέπει να αντιμετωπίζουμε ξεχωριστά τις εσωτερικές από τις εξωτερικές αναπαραστάσεις καθώς όσο πιο οργανωμένο και σταθερό είναι το εξωτερικό σύστημα αναπαράστασης τόσο πιο δομημένο και συνεκτικό είναι το εσωτερικό σύστημα αναπαράστασης και το αντίστροφο. Παράλληλα, αναφερόμενοι στις σχέσεις μεταξύ των εσωτερικών και εξωτερικών μετασχηματισμών, θεωρούν ότι όταν ένας εξωτερικός σχηματισμός αναπαριστά κάποιον άλλον, τότε υπάρχει μεταξύ τους μια οριζόντια σχέση, ενώ όταν αναφερόμαστε στην αντιστοιχία ενός εξωτερικού και ενός εσωτερικού σχηματισμού, τότε πρόκειται για μια κάθετη σχέση πάντα σε αναφορά με το διάγραμμα 1. Σύμφωνα με μία από τις βασικές αρχές του οικοδομισμού μία αναπαράσταση δεν αναπαριστά από μόνη της, αλλά χρειάζεται ερμηνεία και για να ερμηνευθεί πρέπει να υπάρχει το άτομο που θα την ερμηνεύσει. Το κάθε άτομο αντιλαμβάνεται και ερμηνεύει μια εξωτερική αναπαράσταση με βάση τις νοητικές αναπαραστάσεις που έχει ήδη οικοδομήσει ως αποτέλεσμα προηγούμενων γνώσεων και εμπειριών. Η ερμηνεία, ωστόσο, μπορεί να επέλθει και με το συνδυασμό επιμέρους γνωστών στοιχείων με αποτέλεσμα να οικοδομηθεί μία νέα έννοια. Κατά την Κολέζα (2003) µια αναπαράσταση δεν χαρακτηρίζεται εξωτερική ή εσωτερική απλά και μόνο από τη µορφή της, αλλά από τον τρόπο που δηµιουργείται και το ρόλο που καλείται να παίξει στην κατασκευή της γνώσης. Για παράδειγμα ένα σχήµα ή ένα διάγραµµα δεν είναι απαραίτητα εξωτερική αναπαράσταση, αλλά μπορεί να υφίσταται και ως νοητική εικόνα, προϊόν εσωτερίκευσης µιας εξωτερικής σηµειωτικής αναπαράστασης. Οι νοητικές αυτές εικόνες σε ένα δεύτερο επίπεδο αφαίρεσης µπορούν να λειτουργήσουν ως «ευρετικό πεδίο» για τη σύλληψη, την κατανόηση, ή την επεξήγηση συνθετότερων εννοιών. Οι Lesh et al. (1987 υποστηρίζουν ότι η αποτελεσματικότητα των μαθητών στην επίλυση μαθηματικών προβλημάτων εξαρτάται από την ικανότητα μετάβασης από μια αναπαράσταση σε μια άλλη. Αντίθετα, ο Duval (2006) θεωρεί ότι η μετάβαση από μια αναπαράσταση σε μια άλλη ενέχει δυσκολίες για τους μαθητές και εστιάζει στις μαθηματικές έννοιες και σχετικές αναπαραστάσεις. Ο ίδιος θεωρεί τεχνητή τη διάκριση ανάμεσα σε 17

19 εσωτερικές και εξωτερικές αναπαραστάσεις και προσπαθεί να ερμηνεύσει πώς μια αναπαράσταση «μεταφράζεται» σε μία άλλη (είτε εσωτερικά είτε εξωτερικά). Παράλληλα, διακρίνει τρεις βασικούς παράγοντες που συντελούν στις ιδιαιτερότητες που χαρακτηρίζουν τη μάθηση των μαθηματικών: 1. Τον κυρίαρχο ρόλο των σημειολογικών αναπαραστάσεων, αφού ιστορικά δύσκολα κανείς μπορεί να αμφισβητήσει ότι αποτέλεσαν έναν βασικό όρο στην ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης. 2. Το γνωστικό παράδοξο της πρόσβασης στα μαθηματικά αντικείμενα τα οποία μπορούν να γίνουν καταληπτά μόνο μέσω των αναπαραστάσεων 3. την ευρεία ποικιλία των σημειολογικών αναπαραστάσεων που χρησιμοποιούνται στις μαθηματικές δραστηριότητες όπως αυτές στον τομέα της επίλυσης προβλημάτων. 3. ΕΞΩΤΕΡΙΚΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Η επίλυση προβλήματος θεωρείται μια από τις σημαντικότερες περιοχές των μαθηματικών σε όλες τις βαθμίδες τις εκπαίδευσης. Για να οδηγηθεί ο μαθητής στην ορθή λύση του προβλήματος, σημαντικό ρόλο διαδραματίζει και ο τρόπος ο οποίος παρουσιάζεται το πρόβλημα σ αυτόν, γι αυτό και η χρήση αναπαραστάσεων ως μέσων για την επίλυση προβλημάτων έχει απασχολήσει ερευνητές της διδακτικής των μαθηματικών. Μία από τις βασικές παραδοχές της θεωρίας των αναπαραστάσεων, όπως προαναφέρθηκε, είναι ότι οι εξωτερικές και εσωτερικές αναπαραστάσεις βρίσκονται σε συνεχή σχέση και αλληλεπίδραση (Cifarelli, 1998). Ως εκ τούτου, η αξιοποίηση των κατάλληλων εξωτερικών αναπαραστάσεων κατά την ΕΜΠ είναι δυνατό να οδηγήσει στην ανάπτυξη πλούσιων εσωτερικών αναπαραστάσεων που χρησιμοποιούνται ως βάση κατά την επίλυση μαθηματικού προβλήματος (Diezmann & English, 2001) O Schoenfeld (1992) αναφέρει ότι ο όρος «επίλυση μαθηματικού προβλήματος» (ΕΜΠ) έχει χρησιμοποιηθεί με ποικίλα νοήματα, τα οποία αρχίζουν από την απλή εκτέλεση πράξεων από μνήμης και φτάνουν μέχρι τη δημιουργία μαθηματικών από τον επαγγελματία επιστήμονα. 18

20 Σύμφωνα με τους Mayer & Hegarty (1996) η επίλυση μαθηματικών προβλημάτων ορίζεται ως μια σειρά από νοητικές διεργασίες που κλείνουν το χάσμα ανάμεσα στην αρχική δοθείσα και την επιδιωκόμενη τελική κατάσταση. Οι Charles et al. (1992) επισημαίνουν ότι πρόκειται για μια εξαιρετικά πολύπλοκη διαδικασία, εφόσον περιλαμβάνει την ανάκληση γνωστικών σχημάτων και γεγονότων, τη χρήση ποικίλων δεξιοτήτων και διαδικασιών, την αξιολόγηση της σκέψης και τον έλεγχο του βαθμού προόδου κατά την πορεία επίλυσης του προβλήματος. Ο Polya (1985) θεωρεί την ΕΜΠ ως τέχνη και δεξιότητα που μπορεί να διδαχθεί και να αναπτυχθεί με τη μίμηση και την άσκηση. Ο ίδιος προτείνει μια σειρά από ερωτήσεις ερεθίσματα με τις οποίες ο διδάσκων μπορεί να οδηγεί το μαθητή να αποκτήσει και να εφαρμόζει στρατηγικές προς επίλυση προβλήματος και διακρίνει τέσσερα στάδια κατά τη διαδικασία επίλυσης: κατανόηση του προβλήματος κατάστρωση σχεδίου επίλυσης του προβλήματος εκτέλεση του σχεδίου και αναδρομική διερεύνηση Στο στάδιο της κατανόησης η κατάσταση περιγράφεται λεκτικά, ώστε να γίνει μια εσωτερική αναπαράστασή της. Κατά την κατάστρωση σχεδίου επίλυσης κατασκευάζεται από τους μαθητές ένα κατάλληλο μαθηματικό μοντέλο με βάση τα στοιχεία και τις σχέσεις που περιγράφονται από το κείμενο του προβλήματος. Στο τρίτο στάδιο εκτελούνται οι πράξεις που περιλαμβάνονται στο μαθηματικό μοντέλο του προηγούμενου σταδίου ώστε να καταλήξουμε σε κάποιο μαθηματικό αποτέλεσμα και τέλος στο τέταρτο στάδιο ερμηνεύεται το αποτέλεσμα σε σχέση με την αρχική κατάσταση και αξιολογούνται οι λύσεις της κατάστασης που περιγράφεται στο πλαίσιο του προβλήματος. Από το αρχικό κιόλας στάδιο της κατανόησης του προβλήματος, η λεκτική περιγραφή του προβλήματος σε συνδυασμό με τις εξωτερικές αναπαραστάσεις που τυχόν θα το συνοδεύουν συμβάλουν σημαντικά στην προσπάθεια επίλυσης του. Οι Mayer & Hegarty (1996) περιγράφοντας τα στάδια από τα οποία περνά η επίλυση ενός προβλήματος τονίζουν τη σημασία των αναπαραστάσεων στη διαδικασία αυτή. Συγκεκριμένα: 19

21 Το πρώτο στάδιο αποτελεί η μετάφραση των εξωτερικών αναπαραστάσεων, δηλαδή η μετατροπή των στοιχείων του προβλήματος, σε νοητική αναπαράσταση. Το δεύτερο στάδιο είναι η ολοκλήρωση, δηλαδή ο συνδυασμός όλων των επιμέρους αναπαραστάσεων σε μια περιεκτική, συνολική νοητική εικόνα του προβλήματος Το τρίτο στάδιο είναι ο σχεδιασμός, δηλαδή η επινόηση και ο έλεγχος ενός σχεδίου επίλυσης μιας στρατηγικής προσέγγισης των ζητούμενων. Στο στάδιο αυτό, οι μαθητές χρησιμοποιούν εξωτερικές αναπαραστάσεις (π.χ. σύμβολα, διαγράμματα) τα οποία θα τους βοηθήσουν να οδηγηθούν στη λύση. Τελικό στάδιο στην επίλυση ενός προβλήματος αποτελεί η εκτέλεση, δηλαδή η μετατροπή του σχεδίου σε συγκεκριμένες αριθμητικές πράξεις και η εύρεση του αποτελέσματος. Αντίστοιχα, ο Duval (2006) αναφέρει ότι η επεξεργασία και η μετάφραση των αναπαραστάσεων εφαρμόζεται στην πράξη κατά τη διαδικασία της επίλυσης προβλήματος η οποία, σύμφωνα με τον ερευνητή διέρχεται από τρεις φάσεις: 1 η φάση: Εκφώνηση του προβλήματος. Η εκφώνηση πρέπει να προσεγγίζεται με πολύ διαφορετικό τρόπο από άλλα κείμενα καθημερινής γλώσσας αφού επιβάλει τη συνύπαρξη δύο διαφορετικών περιγραφών: η μία αναφέρεται σε ένα σενάριο της καθημερινής ζωής και η άλλη περιλαμβάνει ζευγάρια εκφράσεων που φέρουν αριθμητικά δεδομένα. 2 η φάση: Επεξεργασία μέσω μετάφρασης ή μετασχηματισμού. Οι μαθητές μεταφράζουν τη λεκτική περιγραφή του προβλήματος σε άλλου είδους αναπαράσταση, που θα τους βοηθήσει να οδηγηθούν στη λύση. 3 η φάση: Συμβολική Επεξεργασία. Η φάση αυτή αναφέρεται στη συμβολική επεξεργασία της λύσης που προτείνεται για το πρόβλημα, εκτελούνται δηλαδή, οι αριθμητικές πράξεις και οι υπολογισμοί που θα οδηγήσουν στην τελική απάντηση. Οι Lesh et al. (1987a) εξέτασαν το ρόλο των αναπαραστάσεων στη μάθηση των μαθηματικών και την επίλυση προβλήματος δίνοντας ιδιαίτερη έμφαση στις μεταφράσεις από το ένα σύστημα αναπαράστασης στο άλλο και στους μετασχηματισμούς μέσα στο ίδιο σύστημα. Οι ίδιοι ερευνητές διαπίστωσαν δυσκολίες μετάφρασης από το ένα σύστημα αναπαράστασης στο άλλο, καθώς οι μετασχηματισμοί μέσα στο ίδιο σύστημα αποτελούν σημαντικούς παράγοντες, οι 20

22 οποίοι επηρεάζουν τόσο τη μάθηση των μαθηματικών όσο και την επίδοση των μαθητών στην επίλυση προβλήματος. Σύμφωνα με τον Janvier (1987b) η ιδανική μέθοδος για τη μάθηση των μαθηματικών θα ήταν η χρήση διαφορετικών αναπαραστάσεων του ίδιου αντικειμένου. Ιδιαίτερα, δε, σημαντική για την επίλυση μαθηματικού προβλήματος είναι η ικανότητα μετάφρασης από το ένα σύστημα αναπαράστασης μιας έννοιας στο άλλο. Πιο συγκεκριμένα, ως ικανότητα «μετάφρασης αναπαραστάσεων», ο Janvier (1987a) ορίζει την ψυχολογική διαδικασία μέσω της οποίας το άτομο μεταφέρεται απλά από ένα σύστημα αναπαράστασης στο άλλο και αποτελεί σημαντικό κριτήριο αξιολόγησης για την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών και παράλληλα αποτελεσματικό μέσο επίλυσης μαθηματικού προβλήματος. Όσο κι αν το πέρασμα αυτό φαίνεται φυσικό, για μερικές περιπτώσεις, ώστε να χαρακτηρίζεται ως φυσική ερμηνεία (Duval, 1987), στα μαθηματικά αποτελεί μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες, επίλυσης μαθηματικού προβλήματος. Μία μετάφραση περιλαμβάνει δύο μορφές αναπαράστασης: την «πηγή» (αρχική αναπαράσταση) και το «στόχο» (τελική αναπαράσταση) (Janvier, 1987a). Οι αρχικές συνθήκες αποτελούν το ερέθισμα που τροφοδοτεί με πληροφορίες το υποκείμενο και η τελική αναπαράσταση αποτελεί τη στόχευση της «μετάφρασης» (Lesh, et al., 1987).Όπως επισημαίνουν οι ίδιοι ερευνητές, προκειμένου να πραγματοποιηθεί άμεσα και σωστά μια μετάφραση είναι απαραίτητο να επιλεγούν και να αξιοποιηθούν τα στοιχεία της πηγής που είναι απαραίτητα για να δημιουργηθεί ο στόχος. Ο τρόπος «ανάγνωσης» της αρχικής μορφής του προβλήματος οφείλει να βρίσκεται σε στενή συνάφεια με τη μορφή της τελικής αναπαράστασης. Από την άλλη, η ικανότητα «ανάγνωσης» και ερμηνείας της τελικής αναπαράστασης από το μαθητή δεν είναι μια φυσική συνέπεια της γνωστικής ωρίμανσής του, αλλά εξαρτάται κυρίως από μια εμπρόθετη και συστηματική διδακτική παρέμβαση (Saljo, 1991). Η μεγάλη σημασία των αναπαστάσεων κατά την επίλυση προβλημάτων αναγνωρίζεται κατά το σχεδιασµό των εθνικών επιπέδων εκπαίδευσης και αξιολόγησης για τα µαθηµατικά στην Αµερική από το National Council of Teachers of Mathematics (NCTM 2000). Στο κείμενο του 2000 τονίζεται ιδιαίτερα η χρήση των ακόλουθων μαθηματικών διαδικασιών στα σχολικά μαθηματικά: Λύση προβλημάτων, Αιτιολόγηση, Συνδέσεις, Επικοινωνία και Αναπαραστάσεις. Τόσο το NCTM όσο και το National Rerearch Council (NRC, 1996) επισημαίνουν ότι οι μαθητές θα πρέπει να είναι ικανοί να χρησιμοποιήσουν διάφορες μορφές 21

23 αναπαραστάσεων με ευχέρεια, να ερευνούν και να επικοινωνούν για φαινόμενα του πραγματικού κόσμου. Συγκεκριμένα, όλοι οι μαθητές καλούνται να γίνουν ικανοί: (α) να δημιουργούν και να χρησιμοποιούν αναπαραστάσεις για να οργανώσουν, καταγράψουν και επικοινωνήσουν μαθηματικές ιδέες (β) να επιλέγουν, να εφαρμόζουν και να µεταφράζουν ανάµεσα σε διαφορετικές αναπαραστάσεις µε στόχο την κατανόηση και επίλυση µιας προβληµατικής κατάστασης, (γ) να χρησιµοποιούν αναπαραστάσεις στη µοντελοποίηση και ερµηνεία φυσικών, κοινωνικών και µαθηµατικών φαινοµένων. Οι αναπαραστάσεις που αναφέρονται σε κάθε μια από αυτές τις δηλώσεις μπορεί να θεωρηθούν ως εσωτερικά, γνωστικά σχήματα ή εξωτερικοποιήσεις αυτών των νοητικών δομών. Αυτό σημαίνει ότι οι μαθητές μπορούν να διατυπώσουν εσωτερικές αναπαραστάσεις για να οργανώσουν μαθηματικές ιδέες ή να λύσουν προβλήματα καθώς επίσης να παράγουν εξωτερικές αναπαραστάσεις για να διεκπεραιώσουν τις ίδιες διαδικασίες (Pape & Tchoshanov, 2001) Αν, λοιπόν, θεωρήσουμε ότι στόχοι της διδακτικής παρέμβασης μπορεί να είναι: - η οικοδόμηση και ανάπτυξη ισχυρών και διαφορετικών συστημάτων εσωτερικής αναπαράστασης και - η σύνδεση ανάμεσα στις εξωτερικές αναπαραστάσεις ώστε να ενισχυθεί η διαδικασία μετάφρασης από μια εξωτερική αναπαράσταση σε άλλη, πρέπει να αναφερθούμε στη διάκριση μεταξύ των εξωτερικών συστημάτων αναπαράστασης, ως προς τον αυτόνομο ή βοηθητικό χαρακτήρα τους στην έκφραση ενός μαθηματικού αντικειμένου κατά τη διαδικασία επίλυσης μαθηματικού προβλήματος. 22

24 4. ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Κατά την άποψη του Goldin όπως αναφέρει η Τζεκάκη (2007) υπάρχουν τρία διαφορετικά στάδια σημειωτικής ανάπτυξης. Στο πρώτο στάδιο, ένα αυθόρμητο σημειωτικό στάδιο, τα χαρακτηριστικά της παράστασης σε ένα νέο αναπαραστατικό σύστημα επηρεάζονται σημαντικά από την πιο πρόσφατη αναπαράσταση. Σε μια εξέλιξή του τα στοιχεία αυτά εξακολουθούν να υπάρχουν αλλά εμπλουτίζονται και από νέα στοιχεία. Το τελικό στάδιο είναι ένα αυτόνομο στάδιο στο οποίο η αναπαράσταση μπορεί να λειτουργήσει ως ένα εντελώς νέο πλαίσιο. Στα πλαίσια της χρήσης αναπαραστάσεων στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος, μια σημαντική διάκριση που θα πρέπει να γίνει είναι αυτή μεταξύ των όρων: κύριες και βοηθητικές αναπαραστάσεις. Οι κύριες αναπαραστάσεις είναι απαραίτητες για την επίλυση του προβλήματος, εφόσον μέσα από αυτές εκφράζεται οποιαδήποτε πληροφορία σε σχέση με το πρόβλημα. Είναι αυτόνομες και ανεξάρτητες από το αντικείμενο που παριστούν και το άτομο μπορεί να τις τροποποιήσει και να τις επεξεργαστεί χωρίς περιορισμούς. Η λεκτική περιγραφή του προβλήματος θεωρείται κύρια αναπαράσταση. Οι βοηθητικές αναπαραστάσεις δεν είναι απαραίτητες για την επίλυση προβλήματος, αλλά μπορούν να βοηθήσουν σημαντικά τη διαδικασία επίλυσης. Στις βοηθητικές αναπαραστάσεις για την επίλυση μαθηματικού προβλήματος εντάσσονται οι εικόνες, οι γραφικές παραστάσεις, οι πίνακες, τα δενδροδιαγράμματα, τα διαγράμματα Vergnaud και Marshall, η αριθμητική γραμμή κ.α ( Γαγάτσης, 2004) Ο Dreyfus (1995) χωρίζει τις εξωτερικές αναπαραστάσεις σε εικονικά συστήματα και σε προτασιακά συστήματα. Τα πρώτα περιλαμβάνουν φωτογραφίες, εικόνες, μαθηματικά αντικείμενα με κάποια σχέση ή χωρίς καμία σχέση με την πραγματικότητα, όπως πχ. τα διαγράμματα, ενώ τα δεύτερα περιλαμβάνουν τη φυσική γλώσσα, τα αλγεβρικά συστήματα και τις γλώσσες προγραμματισμού Οι Eysenck et al. (1995) διακρίνουν τις εξωτερικές αναπαραστάσεις σε: γραμματικές σημειογραφίες (τυπικές λέξεις) και γραφικές σημειογραφίες (εικόνες και διαγράμματα) Τα δύο αυτά είδη διαφέρουν σημαντικά. Οι εικόνες και τα διαγράμματα είναι πιο κοντά στον κόσμο επειδή η δομή τους μοιάζει με τη δομή του κόσμου. Αυτή η δομική 23

25 ομοιότητα συχνά ορίζεται αναλογική. Οι γλωσσικές περιγραφές τυπικά δεν έχουν αυτή την αναλογική ιδιότητα καθώς η σχέση ανάμεσα σε ένα γλωσσικό σύμβολο και αυτό που αναπαριστά είναι αυθαίρετη. Σε σχέση με τη μάθηση των Μαθηματικών και την επίλυση προβλήματος οι Lesh, Βehr & Post (1987) διακρίνουν πέντε διαφορετικά είδη συστημάτων εξωτερικών αναπαραστάσεων: 1. Κείμενα, στα οποία η γνώση είναι οργανωμένη με βάση γεγονότα της καθημερινής ζωής και τα οποία αποτελούν το πλαίσιο για την ερμηνεία και επίλυση άλλων καταστάσεων προβλήματος. 2. Χειριστικά αντικείμενα / μοντέλα, όπως είναι οι κύβοι αριθμητικής, οι ράβδοι κλασμάτων, η αριθμητική γραμμή, οι κύβοι Dienes, όπου τα επιμέρους στοιχεία του συστήματος / μοντέλου δεν έχουν νόημα αυτά καθ αυτά, ωστόσο οι σχέσεις και οι λειτουργίες που προκύπτουν από το χειρισμό και συνδυασμό των επιμέρους στοιχείων ταιριάζουν με πολλές καταστάσεις της καθημερινής ζωής. 3. Εικόνες και διαγράμματα στατικά εικονικά μοντέλα τα οποία, όπως και τα χειριστικά μοντέλα, είναι δυνατό να εσωτερικευθούν ως νοητικές εικόνες, 4. Γλώσσες συμπεριλαμβανομένων και των εξειδικευμένων γλωσσών, που σχετίζονται με τα διάφορα επιμέρους πεδία (πχ. Μαθηματική λογική), 5. Γραπτά σύμβολα τα οποία, όπως και οι γλώσσες, είναι δυνατόν να περιλαμβάνουν εξειδικευμένες προτάσεις και φράσεις καθώς επίσης συνηθισμένες προτάσεις και φράσεις στην ομιλούμενη γλώσσα (διάγραμμα 1) Στατικές εικόνες Χειριστικά αντικείμενα Γραπτά σύμβολα Κείμενα Γλώσσες Διάγραμμα 2: Συστήματα εξωτερικών αναπαραστάσεων 24

26 Η παραπάνω καταγραφή μπορούμε να πούμε ότι θέτει ένα σημαντικό πρόβλημα: Παρουσιάζει σε μια ομαδοποίηση διάφορα συστήματα εξωτερικών αναπαραστάσεων με βάση τον τρόπο παραγωγής τους και όχι με βάση τη λειτουργία τους σε ένα μαθηματικό πρόβλημα ή σε ένα μαθηματικό κείμενο γενικότερα. Ο Schnotz (2002) κατηγοριοποιεί τις αναπαραστάσεις σε: Περιγραφικές και Εικονικές Οι περιγραφικές έχουν αυθαίρετη δομή και σχετίζονται με τα αντικείμενα στα οποία αναφέρονται βάσει συμβάσεων. Τέτοιες είναι τα κείμενα και οι μαθηματικές εξισώσεις. Αντίστοιχα, οι εικονικές περιλαμβάνουν εικονικά σημεία, τα οποία σχετίζονται με το περιεχόμενο που αναπαριστούν μέσω κοινών δομικών στοιχείων, όπως η ομοιότητα, σε συγκεκριμένο ή αφηρημένο επίπεδο. Εικονικές αναπαραστάσεις θεωρούνται οι εικόνες και τα διαγράμματα. Οι διάφορες εξωτερικές αναπαραστάσεις, όπως προαναφέρθηκαν κωδικοποιούν τις ίδιες δοµές µιας έννοιας µε ξεχωριστό τρόπο. Η αναγνώριση των δοµών αυτών ανάµεσα στις διαφορετικές αναπαραστάσεις µπορεί να βοηθήσει τους µαθητές στην κατανόηση της έννοιας. Ο Duval (1987) υποστηρίζει ότι κάθε πεδίο αναπαράστασης χαρακτηρίζεται από διαφορετικές δυνατότητες. Η φύση ενός σηµειωτικού πεδίου που επιλέγεται για την αναπαράσταση ενός περιεχοµένου - αντικειμένου, έννοιας, προβληµατικής κατάστασης- προβάλλει ιδιαίτερες πληροφορίες και στοιχεία του περιεχοµένου που αναπαριστά. Για παράδειγµα, τα γραφήµατα αποκαλύπτουν τη µεταβολή που κρύβεται μέσα σε µια εξίσωση. Οι πίνακες διευκολύνουν το χρήστη στην αναγνώριση µοτίβων (Cox & Brna 1995, Kaput 1989). Η χρήση διαγραµµάτων διευκολύνει τις διεργασίες αναζήτησης και αναγνώρισης, µειώνοντας το απαιτούµενο µνηµονικό φορτίο και βοηθώντας το χρήστη να επικεντρώνεται περισσότερο στα αντικείµενα και τις σχέσεις τους (Larkin & Simon 1987). Ωστόσο, η όσο το δυνατόν πληρέστερη κατανόηση µιας έννοιας βασίζεται στο συνδυασµό δύο τουλάχιστον πεδίων αναπαράστασης Η διαδικασία μετάφρασης από μια εξωτερική αναπαράσταση σε άλλη στοχεύει στην ενίσχυση της σύνδεσης ανάμεσα στις εξωτερικές αναπαραστάσεις και βοηθά το μαθητή στο να αναγνωρίσει 25

27 διάφορες πτυχές της έννοιας, να αποβάλει την εξάρτησή του από συγκεκριμένους φορμαλισμούς και να αντιμετωπίζει ευχερέστερα προβληματικές καταστάσεις. Οι εξωτερικές αναπαραστάσεις θεωρούνται αναπόσπαστο μέρος του μαθήματος των μαθηματικών και κατέχουν ιδιαίτερο ρόλο τη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος. Ο ρόλος αυτός αποκτά ιδιαίτερο ενδιαφέρον όταν αναφερόμαστε στα σχολικά βιβλία αφού, αυτά εξακολουθούν να έχουν το κύριο βάρος στη μαθησιακή και διδακτική διαδικασία. Σύμφωνα με τον Janvier (1987) στα σχολικά βιβλία περιέχονται διάφορα είδη αναπαραστάσεων, με σκοπό την προώθηση της κατανόησης, όπως οι εικόνες, οι πίνακες, οι γραφικές παραστάσεις, οι συμβολικές εκφράσεις και η αριθμογραμμή που απαιτούν διαφορετικούς τρόπους μετάφρασης και επεξεργασίας από τους μαθητές. Σκόπιμη, λοιπόν, θεωρείται, η αναφορά σε κάθε είδος εξωτερικής αναπαράστασης που περιέχεται στα βιβλία των Μαθηματικών του Δημοτικού Σχολείου Η ΕΙΚΟΝΑ ΩΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Η χρήση της εικόνας ως βοηθητικής αναπαράστασης στην επίλυση προβλήματος και στην κατανόηση μαθηματικών εννοιών, διαδραματίζει σημαντικό ρόλο στη μαθηματική εκπαίδευση ως μέσο υποστήριξης της σκέψης, της επικοινωνίας και της μετάδοσης μαθηματικών ιδεών, καθώς τα σύγχρονα βιβλία και διδακτικά υλικά περιλαμβάνουν περισσότερες εικόνες παρά ποτέ προηγουμένως. (Schnotz, 2002; Carney & Levin, 2002). Οι εικόνες, όπως και τα μαθηματικά κείμενα, είναι από τα πιο συνηθισμένα είδη εξωτερικών αναπαραστάσεων που χρησιμοποιούνται στη διδασκαλία των μαθηματικών Μεγάλοι µαθηµατικοί παιδαγωγοί, όπως ο Poincare (1963), εισηγήθηκαν ότι η χρήση τους αποτελεί απαραίτητο στοιχείο στην επίλυση µαθηµατικού προβλήµατος και υποστήριξαν τη χρήση οπτικών αναπαραστάσεων από τους µαθητές στην επίλυση δικών τους προβληµάτων. Παρόλα αυτά δεν έχει παρατηρηθεί μέχρι σήμερα σημαντική ενασχόληση των ερευνητών με τη λειτουργία της εικόνας στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος. Μία προσπάθεια για μελέτη του ρόλου της εικόνας στην επεξεργασία των κειμένων 26

28 γενικότερα, έγινε από τους Carney & Levin (2002) οι οποίοι προτείνουν πέντε λειτουργίες της εικόνας στην επεξεργασία ενός κειμένου: 1. διακοσμητική 2. αναπαραστατική 3. οργανωτική 4. μεταφραστική 5. μετασχηματιστική Οι διακοσμητικές εικόνες απλά διακοσμούν τη σελίδα, έχοντας μικρή ή καθόλου σχέση με το περιεχόμενο του κειμένου. Οι αναπαραστατικές εικόνες αναπαριστούν μέρος ή ολόκληρο το περιεχόμενο του κειμένου και αποτελούν το πιο συνηθισμένο είδος εικονογράφησης. Οι οργανωτικές εικόνες παρέχουν ένα χρήσιμο δομικό πλαίσιο για την ανάκληση του περιεχομένου του κειμένου. Οι μεταφραστικές εικόνες βοηθούν τους αναγνώστες να ξεδιαλύνουν το νόημα σε δύσκολα κείμενα και τέλος, οι μετασχηματιστικές εικόνες περιλαμβάνουν «μνημονικά συστατικά» τα οποία είναι σχεδιασμένα για να ενισχύουν την απομνημόνευση των πληροφοριών του κειμένου. Με βάση την ταξινόμηση των Carney & Levin (2002), ο Γαγάτσης (2004) προτείνει μια αντίστοιχη ταξινόμηση και εισηγείται ότι οι εικόνες έχουν τις εξής τέσσερις λειτουργίες στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος: α. Διακοσμητικές β. βοηθητικές αναπαραστατικές γ. βοηθητικές οργανωτικές και δ. πληροφοριακές Οι διακοσμητικές εικόνες δεν παρέχουν πληροφορίες στους μαθητές για τη λύση του προβλήματος, αλλά αποτελούν καθαρά διακοσμητικό στοιχείο. Για παράδειγμα, μια εικόνα ενός λεωφορείου σε ένα πρόβλημα που αναφέρεται στον αριθμό των επιβατών που ανέβηκαν ή κατέβηκαν από το λεωφορείο σε διάφορες στάσεις έχει διακοσμητική λειτουργία, καθώς δεν σχετίζεται με την επίλυση του προβλήματος. Οι βοηθητικές αναπαραστατικές εικόνες αναπαριστούν ολόκληρο ή μέρος του περιεχομένου του προβλήματος, αλλά δεν είναι απαραίτητες για την επίλυσή του. Οι μαθητές μπορούν να βοηθηθούν από την εικόνα για να αντιληφθούν τη δομή του προβλήματος, αλλά μπορούν και να την αγνοήσουν και να λύσουν το πρόβλημα με δική τους στρατηγική. Οι βοηθητικές οργανωτικές εικόνες βοηθούν τους μαθητές να λύσουν το πρόβλημα καθοδηγώντας τους να σχεδιάσουν ή να γράψουν κάτι. Όπως και στην περίπτωση των 27