Φυσικά μεγέθη στα 3 ανάλογα συστήματα

Transcript

1 Φυσικά μεγέθη στα 3 ανάλογα συστήματα ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΜΗΧΑΝΙΚΟ ΑΚΟΥΣΤΙΚΟ ΚΙΝΗΤΗΡΙΑ ΔΥΝΑΜΗ V, ηλ. ΤΑΣΗ (=ηλεκτρεγερτική δύναμη) F, μηχ. ΔΥΝΑΜΗ p, ακ. ΠΙΕΣΗ ΡΟΗ I, ηλ. ρεύμα v, μηχ. ταχύτητα Uακ., ακ. ταχύτητα όγκου στήλης αέρα ΜΕΤΑΒΟΛΗ Q, φορτίο x, μετατόπιση Χ, μεταβολή όγκου στήλης αέρα

2 Στοιχεία ισοδύναμων συστημάτων ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΑΝΤΙΣΤΑΤΗΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΜΗΧΑΝΙΚΟ ΑΚΟΥΣΤΙΚΟ R(e), Αντίσταση c(m), Αποσβεστήρας Ra, Αντίσταση (σύμβολο) (μέγεθος, αντίσταση) ( δύναμη ) (ισχύς) (ενέργεια)

3 ΑΔΡΑΝΕΙΑ L(e), Aυτεπαγωγή M(m), μάζα Ma, Αντίδραση (συντ/στής) (=μάζα στήλης αέρα) (σύμβολο) (μέγεθος) ( δύναμη ) (σύνθετη αντίσταση) (ενέργεια)

4 ΕΝΔΟΤΙΚΟΤΗΤ C(e), χωρητικότητα Cm=1/, ενδοτικότητα Ca, Υποχωρητικότητα Α (1/σκληρότητα) (σύμβολο) (μέγεθος) ( δύναμη ) (σύνθετη αντίσταση) (ενέργεια) ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΕΜΠΕΔΗΣΗ (σύνθετη)

5 Μηχανικό ανάλογο εξισώσεις (αγνοούμε τη δύναμη της βαρύτητας από το σύστημα μπορούμε κάλλιστα να το φανταστούμε στο οριζόντιο επίπεδο) Για να καταστρώσουμε τη διαφορική εξίσωση που διέπει την ταλάντωση του μηχανικού συστήματος μάζα-ελατήριο με απόσβεση, βασιζόμαστε στο δεύτερο νόμο του Νεύτωνα (Fολ=m*a). Oι δυνάμεις που ασκούνται είναι οι ακόλουθες: (1) (α) από την τριβή, δηλαδή από το στοιχείο της απόσβεσης c, (αντίθετη της κίνησης) θα είναι: () (β) από το ελατήριο (ως δύναμη επαναφοράς, αντίθετη της κίνησης) θα είναι: (3) (γ) Σύμφωνα με το ο νόμο του Νεύτωνα: (4) (1),(),(3),(4) => <=> Αντί να προσπαθήσουμε να βρούμε τη λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης ου βαθμού, μπορούμε να βρούμε τη συνολική σύνθετη αντίσταση (εμπέδηση) του συστήματος, η οποία όταν ελαχιστοποιείται (συγκεκριμένη συχνότητα) γνωρίζουμε ότι το σύστημα βρίσκεται σε συντονισμό.

6 Γνωρίζουμε ότι Θεωρώντας αρμονική διέγερση (στην εκθετική της μορφή), η έκφραση της ταχύτητας διευκολύνει τις πράξεις, καθώς τόσο η πρώτη παράγωγος όσο και το ολοκλήρωμά της καταλήγουν σε μια έκφραση που περιλαμβάνει την ίδια την ταχύτητα! Για το σκοπό αυτό κρατάμε την αρχική μορφή της παραπάνω εξίσωσης σύμφωνα με την οποία: (5) Τώρα θα προσπαθήσουμε να εκφράσουμε τόσο το όσο και το ως προς το. Θεωρώντας ότι έχουμε αρμονική διέγερση τέτοια ώστε το σύστημα μάζας/ελατηρίου να ταλαντώνεται με αρμονικό τρόπο, δηλαδή να κινείται με ταχύτητα ημιτονικής μορφής, δηλαδή στην εκθετική του μορφή 1, - η 1η παράγωγος της ταχύτητας θα είναι: - το ολοκλήρωμα θα είναι: (6) (7) (5), (6), (7) => Έχουμε: 1 Σύμφωνα με τον τύπο του Euler:

7 Γνωρίζουμε ότι => Η εμπέδηση (σύνθετη αντίσταση) είναι, το μέτρο της και η γωνία (διαφορά φάσης) ανάμεσα στη δύναμη και την ταχύτητα:. Η εμπέδηση καταλαβαίνουμε εύκολα ότι ελαχιστοποιείται όταν το φανταστικό της μέρος μηδενιστεί, δηλαδή όταν ωm και φ=, δηλαδή η ταχύτητα και η δύναμη ω γίνονται συμφασικά και τότε έχουμε συντονισμό, δηλαδή το πλάτος της ταλάντωσης μεγιστοποιείται (v=vmax). Η συχνότητα στην οποία συμβαίνει αυτό ονομάζεται συχνότητα συντονισμού και υπολογίζεται από το ω m= ω ω = m ω = ω m = (8) m 1 f = m

8 Ποιότητα (οξύτητα) συντονισμού υπολογισμός H οξύτητα του συντονισμού είναι ένα στοιχείο που μας ενδιαφέρει πολύ, επειδή καθορίζει τη λεγόμενη επιλεκτικότητα του κυκλώματος. Γενικά ένα κύκλωμα χαρακτηρίζεται επιλεκτικό, αν για μια μικρή μεταβολή των συχνοτήτων Δω γύρω από τη συχνότητα συντονισμού ω προκύπτει μεγάλη μεταβολή Δu του πλάτους της ταχύτητας u, οπότε η καμπύλη (ω-u ) είναι οξύτατη. Ως μέτρο της οξύτητας του συντονισμού παίρνουμε τη διαφορά των τιμών ω1 και ω της συχνότητας που αντιστοιχούν σε τιμές ισχύος ίσες με το μισό της ισχύος στη συχνότητα συντονισμού. Οι συχνότητες αυτές ονομάζονται σημεία μισής ισχύος ή συχνότητες μισής ισχύος και σε αυτές αντιστοιχούν τιμές ρεύματος ίσες με. Η διαφορά ω-ω1 ονομάζεται εύρος ζώνης της καμπύλης συντονισμού (bandwidth) ή ζώνη διέλευσης. Το μέγεθος εκείνο που χαρακτηρίζει την επιλεκτικότητα του κυκλώματος, δηλαδή την οξύτητα της καμπύλης συντονισμού, ονομάζεται παράγοντας ποιότητας Q και δίνεται από τη σχέση: (13) Γνωρίζουμε πώς σχετίζεται η συχνότητα συντονισμού με τα στοιχεία του κυκλώματος ω = m, οπότε αν βρούμε έναν τρόπο να εκφράσουμε και τη διαφορά ω-ω1 σε σχέση με τα στοιχεία του κυκλώματος, μπορούμε να καταλήξουμε σε μια εξίσωση που θα συσχετίζει τον παράγοντα ποιότητας αποκλειστικά με τα στοιχεία του κυκλώματος. Θα αποδείξουμε λοιπόν τώρα τις σχέσεις που συνδέουν τα σημεία μισής ισχύος, με τα στοιχεία του κυκλώματος. Είναι γνωστό ότι σε τυχαία συχνότητα ω ισχύει:, ενώ στη συχνότητα συντονισμού ω ισχύει: F. F. u = = Z F. u max = c c + mω ω

9 Στα σημεία μισής ισχύος ο λόγος = F. c F. c + mω ω umax u γίνεται ίσως με => Είναι λογικό να περιμένουμε συχνότητες, αφού σε μια κωδωνοειδή καμπύλη, περιμένουμε σημεία (συχνότητες) να έχουν τη μισή ισχύ από το μέγιστο (εκατέρωθεν της κορυφής) => (14.1) (14.) Από την πρόσθεση και αφαίρεση των παραπάνω εξισώσεων κατά μέρη παίρνουμε: ( ) mω1 mω + = ω ω 1 ω1ω = (14.3) m Γνωρίζουμε όμως ότι ω = ω1ω = ω (14.4) m

10 ( ) mω 1 + mω = c ω ω 1 Όμως είδαμε (14.3.) ότι ω1ω = => m c ω ω 1 = (14.5.) m Από (13), (8), (14.5) =>