HMY 102 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Transcript

1 HMY Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Δρ. Σταύρος Ιεζεκιήλ Green Park, Γραφείο Τηλ. 899 Διάλεξη 9 Το κύκλωμα ένα σύστημα δεύτερης τάξης V V Από τις προηγούμενες διαλέξεις και φροντιστήρια Βηματική απόκριση ( & ) i() i() () Ο διακόπτης κλείνει όταν () V V τ τ 3τ 4τ / G ( ) V e ( ) / V e V i( ) e / Time V i( ) / e / τ τ 3τ 4τ Time Φυσική απόκριση ( & ) Α V Β i() () V ( ) V e τ τ 3τ 4τ Time / V i( ) e / Στα πιο πάνω κυκλώματα, η γενική λύση έχει την μορφή x( ) x x( ) x f / x x e f Αρχική τιμή της μεταβλητής x του κυκλώματος Ο διακόπτης είναι στη θέση Α για μεγάλο χρονικό διάστημα. Κατά τη χρονική στιγμή =, ο διακόπτης συνδέεται με τον κόμβο Β. Ι Α Β () i () I / i ( ) I e / τ τ 3τ 4τ Time ( ) I e / 3 x ( ) x f Τελική τιμή της μεταβλητής x του κυκλώματος (σταθερή κατάσταση) Σταθερά χρόνου 4

2 Φυσική απόκριση () i Q co φυσική συχνότητα i Q in I i in I Q IVI i Q co V co V co Q /V 5 IV apacior: urren lea olage by 9 VI Inucor: Volage lea curren by 9 6 Το κύκλωμα αρμονικός ταλαντωτής Μάζαελατήριο Mapring Εκκρεμές Penulum Διάλεξη 9 Το κύκλωμα Θέματα της διάλεξης Kύκλωμα hp:// 7 Το κύκλωμα Απόσβεση Χαρακτηριστική εξίσωση 8

3 Απόσβεση (amping) Στην πραγματικότητα, όλα τα συστήματα περιλαμβάνουν κάποιες απώλειες (loe). Οι απώλειες αυτές οδηγούν σε απόσβεση (amping). Για τον ταλαντωτή, θα υπάρξουν ωμικές απώλειες. Έτσι, το μοντέλο μας πρέπει να περιλαμβάνει μια αντίσταση. i αποσβεστήρας Μετά από μία αρχική μετατόπιση από τη θέση ισορροπίας, η μάζα θα ταλαντώνεται. Λόγω της απώλειας, το πλάτος της ταλάντωσης θα αποσυντεθεί στο μηδέν στη σταθερή κατάσταση Νόμο τάσης του Kirchhoff 9 Φυσική απόκριση ( σε σειρά) i i Ο διακόπτης είναι ανοικτός μέχρι =. Το αρχικό φορτίο στον πυκνωτή είναι. i Λύνουμε: Δοκιμαστική λύση: e Tο είναι μιγαδικός αριθμός. (Είναι η μεταβλητή aplace.) e e e j Δεύτερης τάξης διαφορική εξίσωση () () Χαρακτηριστική εξίσωση σε σειρά haraceriic euaion erie (3)

4 Φυσική απόκριση (παράλληλο ) ( ) Χ i ( ) ( ) = αρχική τάση στα άκρα του i( ) = αρχικό ρεύμα του Λύνουμε: Δοκιμαστική λύση: e i( ) Ο νόμος ρεύματος του Kirchhoff εφαρμόζεται στον κόμβο Α (4) Χαρακτηριστική εξίσωση παράλληλο haraceriic euaion parallel (5) 3 4 Δεύτερης τάξης διαφορική εξίσωση Χαρακτηριστική εξίσωση σε σειρά παράλληλο σε σειρά παράλληλο Οι παραπάνω εξισώσεις έχουν την ίδια μαθηματική μορφή Οι παραπάνω εξισώσεις έχουν την ίδια μαθηματική μορφή x x x (6) (6) Δοκιμαστική λύση: x x e συχνότητα Neper γωνιακή συχνότητα συντονισμού Θα δείτε ότι υπάρχουν δύο τμήματα στη λύση, π.χ. x xe xe Καθορίζει την εξασθένηση των ταλαντώσεων Καθορίζει τη συχνότητα των ταλαντώσεων 5 6

5 Η εξίσωση Είναι πολύ σημαντική εξίσωση στον τομέα της ηλεκτρολογίας, διότι περιγράφει τη συμπεριφορά πολλών συστημάτων. Θα το δούμε και πάλι στο μάθημα Συστήματα και Σήματα, όπου θα είναι στην πιο κάτω μορφή περιγράφει ένα σύστημα δεύτερης τάξης (econorer yem) Λύνοντας την χαρακτηριστική εξίσωση (6), μας δίνει τις χαρακτηριστικές ρίζες (characeriic roo). 4 4 (7) συντελεστής αποσβέσεως (amping facor) Έτσι, οι δύο ρίζες είναι (8) (9) και η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι x xe xe () 7 όπου οι συντελεστές x & x βρίσκονται από τις οριακές συνθήκες. 8 Όταν δεν υπάρχει αντίσταση, καταλήγουμε στο κύκλωμα Οι τρεις βασικές λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης j j Όταν έχουμε αντίσταση Όταν έχουμε έναν όρο της μορφής τότε γνωρίζουμε ότι ο όρος εντός της τετραγωνικής ρίζας μπορεί να είναι θετικός, μηδέν ή αρνητικός. σε σειρά θετικός παράλληλο G j φανταστικός 9

6 Πρώτη περίπτωση υπεραπόσβεση (oerampe) Καμία ταλάντωση. Η λύση μειώνεται εκθετικά. Δύο πραγματικές (αλλά διαφορετικές) αρνητικές ρίζες Ειδικότερα, εάν η συχνότητα Neper (απόσβεση) είναι πολύ μεγαλύτερη από την συχνότητα συντονισμού, έχουμε x x exp x exp x x exp exp αργή πτώση γρήγορη πτώση e 4 Παράδειγµα: 3 6 e Δεύτερη περίπτωση Κρίσιμη απόσβεση (criical amping) Δύο πραγματικές αρνητικές ρίζες με την ίδια τιμή Volage (V) Time () Πώς μπορούμε να ερμηνεύσουμε αυτό το αποτέλεσμα; Εξετάζουμε και πάλι την διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης Επειδή έχουμε x x x x x x 3 4

7 x x x x Ae x A e x e x x x x x A e x y y x y x A B e x x A Be Και πάλι βλέπουμε ότι υπάρχει μια εκθετική πτώση. y Ae x Ae x Η σταθερά χρόνου ισούται με 5 6 Παράδειγµα: Τρίτη περίπτωση υπό απόσβεση (unerampe) 3 Δυο μιγαδικές ρίζες Volage (V) Time () j j x x e j j xe e xe x e j * αποσβόµενη γωνιακή συχνότητα (ampe angular freuency). j 8

8 x x e j xe e xe x e j Σε αυτήν την περίπτωση έχουµε ταλάντωση (ocillaion) η οποία έχει απόσβεση µε εκθετική µορφή. e j co j in Το α ονοµάζεται συντελεστής απόσβεσης (amping facor) αφού καθορίζει πόσο γρήγορα µειώνεται η ταλάντωση. Εάν το α = η ταλάντωση γίνεται µε γωνιακή συχνότητα ω. Εάν το α η ταλάντωση γίνεται µε γωνιακή συχνότητα ω. x e e e B e ( x co [( x x )co j( x x )in ] [ B co B in ] co B e jx in x in co jx in ) B x x x & B j( x ) Παράδειγµα: υπό απόσβεση κρίσιμη απόσβεση σε σειρά 6 υπέρ απόσβεση 4 Φθίνουσα ταλάντωση (αποσβηνόμενη ταλάντωση) Dampe ocillaion Volage (V) Time () 3

9 33