HMY 102 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Transcript

1 HMY Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Διάλεξη 8 Το κύκλωμα C και απλή αρμονική ταλάντωση Δρ. Σταύρος Ιεζεκιήλ iezeiel@ucy.ac.cy Green Par, Γραφείο Τηλ. 899 Θέματα της διάλεξης Απλοί αρμονικοί ταλαντωτές Το κύκλωμα C Διάλεξη 8 Το κύκλωμα C και απλή αρμονική ταλάντωση Το εκκρεμές του Foucal Απλοί αρμονικοί ταλαντωτές Θα αρχίσουμε με την ανάλυση της απλής αρμονικής κίνησης (iple haronic oion). Σύστημα μάζαςελατηρίου Η μάζα τοποθετείται σε μια επιφάνεια χωρίς τριβή U. of Monana Μάζαελατήριο Mapring H. Chriiaen, K.U.euven (Wiipedia) Εκκρεμές Pendulu Από το νόμο του Hooe, το ελατήριο τραβά ή ωθεί τη μάζα με μια δύναμη ανάλογη με τη μετατόπιση από την ισορροπία: F x Δεύτερος νόμος του Newon: F a x x () Εξίσωση της απλής αρμονικής κίνησης Harvard 3 4

2 x x Το εκκρεμές Εφαπτόμενη δύναμη: F g inθ F a Αυτή είναι μια γραμμική διαφορική εξίσωση. Στην πραγματικότητα, τα περισσότερα συστήματα δεν είναι γραμμικά παραδείγματος χάριν, ο νόμος του Hooe δεν ισχύει έξω από τα ελαστικά όρια. g inθ Εντούτοις, πολλά συστήματα είναι σχεδόν γραμμικά, και έτσι η εξίσωση της απλής αρμονικής κίνησης βρίσκεται σε πολλά φυσικά και κατασκευασμένα συστήματα. μήκος τόξου g inθ () Αυτή δεν είναι μια γραμμική διαφορική εξίσωση. 5 6 Γενικά, το εκκρεμές δεν είναι ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής. Η προσέγγιση των μικρών γωνιών 3 5 θ θ inθ θ... 3! 5! x Εάν θ << Έτσι εάν << τότε inθ θ έχουμε: gθ θ Σύστημα μάζαςελατηρίου g Το εκκρεμές d u ω u (4) Η γενική μορφή της εξίσωσης της απλής αρμονικής κίνησης. gθ g (3) Εξίσωση της απλής αρμονικής κίνησης 7 8

3 Επίλυση της εξίσωσης της απλής αρμονικής κίνησης Επιλέγουμε το σύστημα μάζαςελατηρίου για να παρουσιάσουμε την τεχνική x Υποθέτουμε ότι η κίνηση είναι ημιτονοειδής. Έτσι μια δοκιμαστική λύση είναι: Έτσι μια λύση είναι: π x x coω ω T π ω (Είναι μοναδική αυτή η λύση;) x x coω dx x x ω inω & ω coω ω x Θέση και ταχύτητα: x x coω dx v xω inω 9 ω x x ω (5) Η θέση και η ταχύτητα έχουν μια διαφορά φάσης 9 Harvard Ενέργεια Η ενέργεια διατηρείται: Το ελατήριο αποθηκεύει ενέργεια όποτε τεντώνεται ή συμπιέζεται S x x Μια κινούμενη μάζα έχει κινητική ενέργεια co ω (6) S x co ω x (co ω in ω) S K x (8) K v xω in ω K x in ω Harvard ω K x in ω (7) S K x

4 Η γενική λύση Εάν υποθέσουμε ότι οι ταλαντώσεις είναι ημιτονοειδείς, θα μπορούσαμε επίσης να επιλέξουμε ως λύση: x x inω Δεδομένου ότι η εξίσωση της κίνησης είναι δεύτερης τάξης, η λύση πρέπει να έχει δύο μέρη: x x a co ω binω (9) x( ) a coω binω Μπορούμε να βρούμε τους συντελεστές εάν ξέρουμε τους αρχικούς όρους. x x v x () a co bin a dx v( ) aω inω bω coω v () aω in bω co bω 3 4 v x x coω inω ω () Μιγαδικοί αριθμοί Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε τους μιγαδικούς αριθμούς για να λύσουμε την εξίσωση ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή: θ e j coθ j inθ Η γενική μορφή της εξίσωσης της απλής αρμονικής κίνησης. d u d u ω u ω u () Στην πραγματικότητα, η γραμμικότητα σημαίνει ότι η γενική λύση είναι: u Ae όπου το Α είναι ένας μιγαδικός αριθμός: u Ae ± jω ± jω A a jb ( a jb)(coω ± j inω) a coω ± binω j( bcoω ± a inω) (3) (4) Υποθέστε ότι η λύση είναι εκθετική: 5 U u U e U U u e u d u ω u d U ω & U ± jω u e ± jω () 6 Το πραγματικό μέρος είναι η πραγματική λύση Αυτή είναι η τεχνική που χρησιμοποιούμε για να αναλύσουμε κυκλώματα εναλλασσόμενου ρεύματος. Αντιπροσωπεύουμε τις τάσεις και το ρεύμα χρησιμοποιώντας τους μιγαδικούς αριθμούς (δηλ. phaor), συνειδητοποιώντας ότι η φυσική λύση είναι το πραγματικό μέρος.

5 Ανάλυση του κυκλώματος C Μπορούμε να αποθηκεύουν ενέργεια σε έναν πυκνωτή, με τη μορφή του ηλεκτρικού πεδίου. Πηνία και πυκνωτές v i v( ) i dτ (5) φορτίο C C v i di v d ( ) (6) Πλήρως φορτισμένο πυκνωτή 7 8 Στη συνέχεια, μπορεί να εκφορτιστεί ο πυκνωτής από τη σύνδεσή του με μία αντίσταση. Στο παρακάτω κύκλωμα, και οι δύο διακόπτες είναι αρχικά ανοικτοί. Σε κάποια χρονική στιγμή, ο διακόπτης SW κλείνει και ο πυκνωτής είναι φορτισμένος. Ο διακόπτης SW στη συνέχεια ανοίγεται, και ο διακόπτης SW κλείνει και παραμένει κλειστός. Τι θα συμβεί μετά; V R SW C SW v() Αρχικά, ο πυκνωτής εκφορτίζεται. Αλλά επειδή δεν υπάρχει αντίσταση στο κύκλωμα, δεν θα υπάρξει απορρόφηση της ενέργειας. Στο κύκλωμα C, η αποθηκευμένη ενέργεια από τον πυκνωτή θα μεταφερθεί στο πηνίο. Τι θα συμβεί στη συνέχεια; 9

6 αποθηκευμένο μαγνητικό πεδίο Σε ένα κύκλωμα C η ενέργεια ταλαντεύεται μεταξύ του πυκνωτή (ηλεκτρικό πεδίο) και το πηνίο (μαγνητικό πεδίο) αποθηκευμένο ηλεκτρικό πεδίο Το κύκλωμα C αρμονικός ταλαντωτής Το κύκλωμα C Μάζαελατήριο Mapring Εκκρεμές Pendulu v C C i v KV: v C v v C C (Η πολικότητα παρουσιάζεται στο διάγραμμα) Kύκλωμα C hp:// 3 4 di d v d C (7)

7 Αν συγκρίνουμε με τα μηχανικά συστήματα, το κύκλωμα C θα ταλαντωθεί d C (7) x Δοκιμαστική λύση e (8) Σύστημα μάζαςελατηρίου g Το εκκρεμές d C Το κύκλωμα C d u ω u Η γενική μορφή της εξίσωσης της απλής αρμονικής κίνησης. Αντικαθιστώντας την (8) σε (7) e e C C ± j (9) C 5 6 j C j C ( ) e e d ( ) e e i Η αρχική τιμή του φορτίου είναι ( ) Q () () j j Q C C Q jω jω ( ) e e ( e e ) ω C (3) Από την () ( ) Q () Η αρχική τιμή του ρεύματος είναι μηδέν, άρα από την () ( ) i e Από το θεώρημα του de Moivre e [ co( ω ) j in( ω ) ] [ co( ω ) j in( ω ) ] ( ) jω jω ω co ( ) Q co( ω ) (4) Από την () Q 7 ( ) Qω in( ω ) i (5) 8

8 Ενέργεια Η ενέργεια που αποθηκεύεται από ένα πηνίο είναι Η ενέργεια που αποθηκεύεται από έναν πυκνωτή είναι i U B Cv U U Συνολική ενέργεια C v U C U B i Q ω in U Q co C C ( ω ) ( ω ) (5) (6) 9 U U B U Q in C Q C Q ω in ( ω ) Q co ( ω ) C ( ω ) Q co ( ω ) C ω C ( ω ) co ( ω ) in 3