ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Αγγελίδης Π., Αναπλ. Καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Transcript

1 ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Αγγελίδης Π., Αναπλ. Καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ύλη βρίσκεται συνήθως σε μορφή: Στερεά, Ρευστή Υπάρχουν υλικά που έχουν συγχρόνως τις ιδιότητες και του ρευστού και του στερεού ( π.χ. η πίσσα). Συνήθως διακρίνουμε τα στερεά από τα ρευστά από τον τρόπο με τον οποίο παραμορφώνονται υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων. Ένα στερεό διατηρεί ένα συγκεκριμένο σχήμα, κάτω από την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων. Μια μεταβολή των δυνάμεων θα δημιουργήσει μια ελαστική παραμόρφωση, θα δημιουργήσει δηλαδή μία αλλαγή στο σχήμα του στερεού, αλλά η αλλαγή αυτή είναι ορισμένη και θεωρητικά ανεξάρτητη του χρόνου. Αντίθετα ένα ρευστό διακρίνεται από την ευκολία με την οποία αλλάζει «σχήμα» συνέχεια, σαν συνάρτηση του χρόνου, από την επίδρασηεξωτερικών δυνάμεων (πχ ίδιο βάρος), οσωνδήποτε μικρών. Η συνεχής παραμόρφωση ενός ρευστού, σαν συνάρτηση του χρόνου, δημιουργεί την έννοια της κίνησης του ρευστού δηλαδή τη ροή.

3 Η μελέτη της παραμόρφωσης όλων γενικά των υλικών αποτελεί το αντικείμενο της ρεολογίας, όπου γίνεται μια συστηματική ταξινόμηση των υλικών σε «απλά» στερεά, σε «απλά» ρευστά, ιξωδοελαστικά υλικά κ.λπ. Τα πιο συνηθισμένα ρευστά στη φύση είναι το νερό (υγρό) και οαέρας(αέριο). Η πυκνότητα των υγρών είναι συνήθως πολύ μεγαλύτερη από την πυκνότητα των αερίων, αλλά αυτή η διαφορά δεν συνεπάγεται διαφορά στις εξισώσεις που περιγράφουν την κινηματική και δυναμική των υγρών και των αερίων. Επειδή τον Πολιτικό Μηχανικό τον ενδιαφέρει κυρίως το νερό, η Ρευστομηχανική του νερού έχει ονομασθεί Υδραυλική (Hydraulics).

4 Με την κατασκευή όμως υψηλών κτιρίων, μεγάλων κρεμαστών γεφυρών, μεγάλων ανοιγμάτων σε οικοδομικά βιομηχανικά κτίρια, και ο αέρας ενδιαφέρει τον Πολιτικό Μηχανικό για τον προσδιορισμό των δυνάμεων (στατικών και δυναμικών) λόγω ανεμοπίεσης. Επί πλέον στις εγκαταστάσεις επεξεργασίας λυμάτων, ο αέρας διαδραματίζει σημαντικό ρόλο. Οι βασικές εξισώσεις που παρουσιάζονται ισχύουν για όλα τα ρευστά, (νερό, αέρα κ.λπ. «γραμμικά» ρευστά), με την προϋπόθεση (που ισχύει για εφαρμογές Πολιτικού Μηχανικού), ότι η ταχύτητα των αερίων είναι πολύ χαμηλότερη από την ταχύτητα του ήχου (π.χ. μικρότερη από 50 m/s).

5 Ο επιστημονικός αυτός χώρος της μελέτης της κινηματικής και δυναμικής των ρευστών καλείται ρευστομηχανική (Fluid Mechanics). Αξίζει να υπενθυμίσουμε ότι οι ιδιότητες των στερεών, υγρών ή αερίων συνδέονται άμεσα με τη μοριακή δομή και τη φύση των δυνάμεων που εξασκούνται μεταξύ μορίων. Οι ελκτικές δυνάμεις μεταξύ των μορίων ενός αερίου είναι πολύ αδύνατες, πράγμα που συνεπάγεται την ανυπαρξία μιας διάταξης των μορίων. Στα στερεά τα μόρια είναι μόνιμα διαταγμένα, ενώ στα υγρά είναι μερικώς διαταγμένα.

6 ΤΟ ΡΕΥΣΤΟ ΣΑΝ ΣΥΝΕΧΕΣ ΥΛΙΚΟ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΙΞΩΔΟΥΣ Tα μόρια ενός ρευστού χωρίζονται μεταξύ τους από «κενά» διαστήματα που είναι πολύ μεγαλύτερα από τα ίδια τα μόρια. Τα μόρια ενός ρευστού, φαινομενικά ακίνητου, βρίσκονται σε τυχαία κίνηση, έτσι που οι ταχύτητες δυο μορίων, όσο κοντά και αν βρίσκονται να παρουσιάζουν γενικά μεγάλες διαφορές. Oι ταχύτητες δυο μορίων που βρίσκονται πολύ κοντά, μπορεί να μεταβάλλονται με ένα τυχαίο τρόπο σαν συνάρτηση του χρόνου. Συνεπώς, μια μοριακή, ασυνεχής θεώρηση των κινήσεων των ρευστών απαιτεί κοπιαστικές στατιστικές μεθόδους, που στην περίπτωση των υγρών δεν οδηγούν σε πρακτικά και εφαρμόσιμα αποτελέσματα. Από τεχνικής πλευράς σπάνια μας ενδιαφέρει η κίνηση ενός μορίου. Όταν εξετάζουμε τη ροή μέσα σε ένα κλειστό αγωγό υπό πίεση (π.χ. στα δίκτυα ύδρευσης) μας ενδιαφέρει να βρούμε την παροχή δηλ. την μέση ταχύτητα των δις. μορίων μιας διατομής.

7 Ας εξετάσουμε τι γίνεται όταν μετράμε την ταχύτητα του νερού σε ένα σημείο, μέσα σε ένα ανοικτό αγωγό (π.χ. ποτάμια ή δίκτυα άρδευσης). Ας υποθέσουμε ότι χρησιμοποιούμε ένα πολύ μικρό όργανο μέτρησης της ταχύτητας και ότι μετράμε την ταχύτητα ενός πολύ μικρού όγκου νερού τυπικής διάστασης 10-3 cm δηλαδή τυπικού όγκου 10-9 cm 3. Είναι εύκολο να υπολογισθεί, ότι ο ελάχιστος αυτός όγκος περιέχει περισσότερα από μόρια αέρος (με κανονικές συνθήκες πίεσης και θερμοκρασίας) και ακόμη περισσότερα μόρια νερού. Ένας τόσο μεγάλος αριθμός μορίων δίνει μια πολύ καλή μέση τιμή της κίνησης του ρευστού στο μετρούμενο σημείο, ανεξάρτητα από την τυχαία κίνηση του καθενός μορίου ξεχωριστά. Αυτό φυσικά ισχύει όχι μόνο για την ταχύτητα, αλλά και για κάθε άλλη ιδιότητα του ρευστού.

8 Π.χ. ας δούμε την περίπτωση ενός ηρεμούντος ομοιογενούς και ομοιόμορφου ρευστού (π.χ. ένα κλειστό δοχείο αέρος, το οποίο έχει ταραχθεί αρκετά) και ας εξετάσουμε πως μεταβάλλεται ο λόγος του αριθμού των μορίων Ν, τα οποία περιέχονται σε ένα όγκο V, προς τον όγκο V στον οποίο περιέχονται. Για εξαιρετικά μικρούς όγκους V, (της τάξης του όγκου μερικών μορίων) ο αριθμός α (όπου α = Ν/ V)θα μεταβάλλεται πάρα πολύ σαν συνάρτηση του V, εξ αιτίας της τυχαίας διάταξης των μορίων και εξ αιτίας του γεγονότος ότι σε τόσο μικρούς όγκους V βρίσκονται γενικά λίγα μόρια. Έτσι είναι δύσκολο να υπάρχει μια «σταθερή» μέση τιμή.

9 Με την αύξηση του όγκου V, αυξάνεται ο αριθμός των μορίων Ν, έτσι που πέρα από ένα όγκο Vο (π.χ. της τάξης cm 3 ) υπάρχει μια μέση τιμή ανεξάρτητα του V.

10 Η υπόθεση του συνεχούς ρευστού βασίζεται στην παραδοχή ότι το ρευστό αποτελείται από μια συνεχή ακολουθία μικρών στοιχειωδών όγκων Vo. Υποθέτουμε ότι οι όγκοι αυτοί είναι αρκετά μικροί, έτσι που στη μαθηματική ανάλυση να θεωρηθούν σημεία. Κατά συνέπεια όταν αναφερόμαστε στην ταχύτητα u(x,y,z) στο σημείο με συντεταγμένες x,y,z θα εννοούμε ότι η ταχύτητα αυτή είναι η ταχύτητα κάποιου μικρού όγκου του ρευστού Vο που περικλείει το μαθηματικό σημείο x,y,z. Υποτίθεται επίσης ότι όλες οι φυσικές ποσότητες, οι οποίες συνδέονται με τον όγκο Vο είναι συνεχείς συναρτήσεις των συντεταγμένων x,y,z π.χ. ηταχύτηταu(x,y,z) η θερμοκρασία Τ(x,y,z) κ.λπ. είναι συνεχείς συναρτήσεις των συντεταγμένων x,y,z. Οι υποθέσεις αυτές είναι εμπειρικές και χρησιμεύουν σημαντικά στην απλούστευση της θεωρητικής αντιμετώπισης της μηχανικής των ρευστών. Παραπλήσιες υποθέσεις γίνονται και σε ένα άλλο κεφάλαιο των υλικών, στη μηχανική των στερεών.

11 Πυκνότητα (density) ρ είναι η μάζα ανά μονάδα όγκου. Μαζα kg ρ =, m 3 Ογκο Η πυκνότητα εξαρτάται επίσης από τη θερμοκρασία του νερού και την πίεση, κάτω από την οποία βρίσκεται το νερό. ρ = ρ (Ρ,Τ) Η παραπάνω εξίσωση καλείται εξίσωση κατάστασης. Τα ρευστά για τα οποία η εξίσωση κατάστασης γίνεται: ρ = ρ (Ρ), καλούνται βαροτροπικά. Τα ρευστά για τα οποία η εξίσωση κατάστασης εκφυλίζεται στην ρ = σταθερό, ονομάζονται ασυμπίεστα ρευστά. Γιατοπλείστοντωνπεριπτώσεωνκαιτωνπρακτικώνπροβλημάτων το νερό θεωρείται ασυμπίεστο, αλλά υπάρχουν και περιπτώσεις (π.χ. ρευστομηχανική των βαθέων υδάτων των θαλασσών) όπου πρέπει κανείς να θεωρήσει το νερό σαν συμπιεστό.

12 Ειδικό βάρος γ είναι το βάρος ανά μονάδα όγκου. Βαρος kn γ =, m 3 Ογκο Επειδή βάρος= μάζα Χ επιτάχυνση βαρύτητας γ=ρvg/v=ρg Νερό με ρ=1000kg/m³ έχει έτσι ειδικό βάρος γ=9.81[kn/m³] Kilonewton: 1[kN]=1000[kg]x1[m/s²]

13 ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΙΞΩΔΟΥΣ Για να χαρακτηρίσουμε την αντίσταση που δέχεται ένα αντικείμενο κινούμενο μέσα σε κάποιο ρευστό ή για τον χαρακτηρισμό της ευκολίας με την οποία παραμορφώνονται τα ρευστά εισάγεται μια φυσική ιδιότητα που λέγεται δυναμικό ιξώδες και συμβολίζεται διεθνώς με το ελληνικό γράμμα μ, και έχει διαστάσεις μάζα/ (μήκος και χρόνος). Αν η πλάκα κινείται με σταθερή ταχύτητα Uo και η δύναμη που εφαρμόζουμε πάνω σε αυτή είναι F, τότε η διατμητική τάση τ που ασκείται πάνω στην επιφάνεια της πλάκας σε επαφή με το υγρό είναι: τ =F/ S

14 Το ρευστό σε επαφή με την πλάκα προσφύεται πάνω σε αυτή και κινείται με ταχύτητα Uο, ενώ το ρευστό σε επαφή με τον ακίνητο πυθμένα είναι ακίνητο. Η ενδιάμεση κατανομή της ταχύτητάς του μεταβάλλεται γραμμικά από 0 σε Uo δηλαδή: U(y) / y = Uo / h Αξιωματικά ορίζουμε το ιξώδες μ του ρευστού από την ακόλουθη σχέση : τ = μ Uo/ h = μ du / dy

15 Το ιξώδες μ, όπως αναφέρθηκε, έχει διαστάσεις μάζα/μήκος-χρόνο και εξαρτάται από τη θερμοκρασία. Για τον αέρα και με κανονικές συνθήκες θερμοκρασίας και πίεσης, μ= gr/cm-sec και για το νερό μ= gr/cm-sec Πολλές φορές αντί του ιξώδους μ, χρησιμοποιούμε το πηλίκο μ/ρ που το παριστάνουμε διεθνώς με το ελληνικό γράμμα ν, και το ονομάζουμε κινηματικό ιξώδες και έχει διαστάσεις (μήκος) 2 /χρόνος. κινηματικο ιξωδες = ν = Μεταβολή του ιξώδους με τη θερμοκρασία. Το ιξώδες μ των υγρών ελαττώνεται με την αύξηση της θερμοκρασίας, σε αντίθεση με αυτό των αερίων που αυξάνεται με την άνοδο της θερμοκρασίας. μ ρ 1 μ= μ 0 1 at+bt 2 + όπου t θερμοκρασία σε 0 C, μ 0 =το ιξώδες σε μηδέν θερμοκρασία σε 0 C, a και b είναι σταθερές

16 Η προηγούμενη σχέση δεν ισχύει για κάθε ρευστό αλλά για ρευστά που χαρακτηρίζονται ως Νευτώνεια, όπως το νερό, τα περισσότερα λάδια κ.λπ. Μη Νευτώνεια (η μη γραμμικά ρευστά) βρίσκονται κυρίως στη χημική βιομηχανία, ενώ στα αντικείμενα του Πολιτικού Μηχανικού συμπεριφέρονται σαν μη γραμμικά ρευστά η ροή μίγματος νερού με ιλύ ή με φερτά υλικά (βιολογικοί καθαρισμοί, πλημμύρα ποταμού με έντονη στερεομεταφορά, κ.λπ.). Τα μη Νευτώνεια ρευστά χαρακτηρίζονται από περισσότερους του ενός συντελεστές ιξώδους. Ως μη Νευτώνειο ρευστό συμπεριφέρεται επίσης μίγμα αέρα και σωματιδίων. Στο μάθημα αυτό περιοριζόμαστε στα Νευτώνεια ρευστά.

17 ΣΤΡΩΤΗ ΚΑΙ ΤΥΡΒΩΔΗΣ ΡΟΗ Δύο είναι οι δυνατοί τύποι ροής: η στρωτή(laminar) ροή η τυρβώδης (turbulent) ροή Η διάκριση των δυο αυτών τύπων ροής γίνεται με βάση τη μακροσκοπική συμπεριφορά της ροής. Η στρωτή ροή (laminar flow) πήρε το όνομα της από το γεγονός ότι όταν η ροή είναι στρωτή το ρευστό ρέει σε στρώσεις (laminae), ενώ η μεταφορά ύλης ή ορμής μεταξύ γειτονικών στρώσεων γίνεται αποκλειστικά με μηχανισμούς μοριακής διάχυσης. Αν διοχετεύσουμε με κατάλληλο τρόπο μια λεπτή στρώση χρώματος σε μια στρωτή ροή, τότε η στρώση αυτή παραμένει σε μια λεπτή γραμμή κατά τη διάρκεια της ροής, καθόσον η μοριακή διάχυση είναι μια διεργασία πολύ αργή.

18 ΣΤΡΩΤΗ ΚΑΙ ΤΥΡΒΩΔΗΣ ΡΟΗ Φωτογραφία των πειραμάτων της διοχέτευσης από λεπτό ακροφύσιο μελάνης μέσα σε γυάλινο κυλινδρικό σωλήνα. Η στρωτή ροή (laminar flow) χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι το μελάνι εμφανίζεται σαν τεντωμένο νήμα. Με την αύξηση της παροχής και την εμφάνιση αριθμού Reynolds πάνω από 2000, εμφανίζεται αστάθεια και μετάπτωση της ροής σε τυρβώδη

19 Από την άλλη μεριά, αν εισάγουμε μια λεπτή στρώση χρώματος μέσα σε μια τυρβώδη ροή διαχέεται ταχέως σε όλο το πεδίο ροής. Αν τώρα η ροή είναι στρωτή ή τυρβώδης εξαρτάται από τη χαρακτηριστική ταχύτητα της ροής, τη χαρακτηριστική γραμμική διάταξη (γεωμετρία) και τις ιδιότητες του ρευστού (εκφραζόμενες δια του κινηματικού ιξώδους ν) Ο Reynolds (1883) εισήγαγε την αδιάστατη παράμετρο (σήμερα γνωστή ως αριθμό του Reynolds) Αριθμός Reynolds Re = VD v

20 Π.χ. στην περίπτωση ροής μέσα σε σωλήνα κυκλικής διατομής διαμέτρου D η φύση της ροής (στρωτή ή τυρβώδης) καθορίζεται από τον αδιάστατο αριθμό Reynolds, Re = U D / ν όπου U η ταχύτητα της ροής και ν το κινηματικό ιξώδες του ρευστού. Για Re < 2000 η ροή μέσα στον σωλήνα είναι στρωτή και δια Re > 2000 η ροή είναι «συχνά» τυρβώδης. Γράφουμε συχνά γιατί η μετάπτωση μιας στρωτής ροής σε τυρβώδη είναι ένα πολυσύνθετο φαινόμενο όπου εισέρχονται πολλοί παράγοντες. Γενικά για σωλήνα για Re < 2000 η ροή είναι πάντα στρωτή και για Re > 5000 η ροή είναι πάντα τυρβώδης. Έχουν όμως αναφερθεί πειράματα σε σωλήνα όπου έχουν ληφθεί ιδιαίτερα μέτρα για την εξασφάλιση απουσίας κραδασμών (π.χ. μακριά από κατοικημένες περιοχές), όπου η μετάπτωση της ροής από στρωτή σε τυρβώδη συμβαίνει σε αρκετά υψηλότερους αριθμούς Reynolds π.χ. πάνω από Για άλλες γεωμετρίες (π.χ. ροή σε ανοικτό αγωγό), ο χαρακτηριστικός αριθμός Reynolds για τυρβώδη ροή παίρνει άλλες τιμές.

21 Μπορούμε γενικά να πούμε για την στρωτή ροή ότι οι διανομές των ταχυτήτων και των πιέσεων είναι ανεξάρτητες του χρόνου, αρκεί οι συνθήκες στα όρια να είναι (και αυτές) μακροσκοπικά ανεξάρτητες του χρόνου. Σε αντιδιαστολή με τη στρωτή ροή, στην τυρβώδη ροή οι ταχύτητες και οι πιέσεις μεταβάλλονται συνεχώς (και με τρόπο «χαώδη») με το χρόνο, παρά το γεγονός ότι οι μακροσκοπικές οριακές συνθήκες διατηρούνται σταθερές. Αν και οι συνήθεις εφαρμογές αναφέρονται σε προβλήματα τυρβώδους ροής (π.χ. ροή σε ποτάμια), η μεγαλύτερη ποσότητα των νερών στον πλανήτη (π.χ. θαλάσσια ρεύματα σε μεγάλο βάθος, ροή του νερού στο υπόγειο έδαφος) βρίσκεται σε στρωτή ροή.

22 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΞΑΣΚΟΥΜΕΝΕΣ ΣΕ ΕΝΑ ΡΕΥΣΤΟ Ας θεωρήσουμε ένα ρευστό το οποίο βρίσκεται σε στρωτή ροή και ας απομονώσουμε θεωρητικά έναν όγκο V(t) Η πιο γνωστή δύναμη η οποία εξασκείται στον όγκο V(t) είναι η δύναμη βαρύτητας με μέτρο ρgv όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας (9.81 m/ sec) Η δύναμη αυτή εξασκείται στο κέντρο μάζας του όγκου V(t) και καλείται δύναμη όγκου, σε αντιδιαστολή με τις δυνάμεις επιφάνειας που θα αναπτυχθούν στη συνέχεια. Aν στο ρευστό εξασκούνται και άλλες δυνάμεις (π.χ. μαγνητικές, φυγόκεντρες κ.λπ.) τότε προστίθενται και οι επί πλέον δυνάμεις όγκου που εξασκούνται.

23 Στην επιφάνεια S(t) αναπτύσσονται δυνάμεις οι οποίες γενικά οφείλονται στην ύπαρξη του ρευστού που περιβάλλει τον όγκο V(t). Η ύπαρξη των δυνάμεων αυτών οφείλεται κατά ένα μέρος στην ανταλλαγή ορμής λόγω της μετακίνησης των μορίων του ρευστού μέσα από την επιφάνεια που περικλείει τον όγκο V(t) και έχουν μοριακή προέλευση. Εξ αιτίας ακριβώς της μοριακής προέλευσης τους, οι δυνάμεις αυτές είναι συγκεντρωμένες στην επιφάνεια S(t) του όγκου V(t) και καλούνται επιφανειακές δυνάμεις. Η έννοια του ιξώδους είναι συνυφασμένη με την ύπαρξη των δυνάμεων αυτών. Οι επιφανειακές δυνάμεις θα προσδιορισθούν στη συνέχεια από το πεδίοταχυτήτωντηςροήςκαιτοιξώδες, χωρίς να χρειασθεί να διευκρινισθεί ο ακριβής μηχανισμός της μοριακής προέλευσής τους.

24 Ας θεωρήσουμε πάνω στην επιφάνεια που περικλείει τον όγκο V(t) μια μικρή επιφάνεια δς και έστω nxt (,) το μοναδιαίο διάνυσμα, το κάθετο στην επιφάνεια δς. d F είναι η επιφανειακή δύναμη η οποία εξασκείται στο κέντρο βάρους της δς και μπορεί να έχει οποιαδήποτε κατεύθυνση σε σχέση με το μοναδιαίο διάνυσμα. H κατεύθυνση της δύναμης έχει άμεση σχέση με την κάθε συγκεκριμένη περίπτωση ροής. Επί πλέον, όταν το ρευστό δεν κινείται, τότε οι διευθύνσεις των δύο παραπάνω διανυσμάτων συμπίπτουν.

25 Μια από τις βασικότερες έννοιες της μηχανικής των ρευστών είναι η τάση σε μια στοιχειώδη μικρή επιφάνεια δs στο σημείο x τη χρονική στιγμή t, η οποία ορίζεται ως: Σ (n,x, t ) =df / δς Κατά συνέπεια η τάση είναι μια δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας, που εξασκείται από το ρευστό που περιβάλλει τον στοιχειώδη όγκο V(t). Δεχόμαστε, συμβατικά ότι η «θετική» διεύθυνση του μοναδιαίου διανύσματος, που εξασκείται στην επιφάνεια δς του στοιχειώδους όγκου V(t), είναι από τον όγκο V(t) προς το περιβάλλον ρευστό. Συνεπώς, θετική τάση σημαίνει εφελκυσμό, ενώ αρνητική σημαίνει συμπίεση.

26 Θεώρημα γνωστό και από τη μηχανική του στερεού σώματος: για να γνωρίζουμε την τάση στο σημείο Μ σε μια τυχούσα στοιχειώδη επιφάνεια δς, που διέρχεται από το Μ, αρκεί να γνωρίζουμε τις τάσεις οι οποίες αναπτύσσονται σε τρεις, αμοιβαία, κάθετες επιφάνειες, που διέρχονται από το σημείο Μ. Σ( xt,) είναι η τάση, δηλαδή είναι διάνυσμα και συνεπώς έχει σε κάποιο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων τρεις συνιστώσες. nxt (,) είναι το μοναδιαίο διάνυσμα και έχει και αυτό τρεις συνιστώσες στο Καρτεσιανό σύστημα. σ ij είναι ο τανυστής τάσεων, που είναι μια παράσταση με δυο ελεύθερους δείκτες (i,j=1,2,3) για το σημείο Μ του ρευστού (σε κάποια χρονική στιγμή t) Σ i ( n ) =σ ij n j Οτανυστης των τάσεων(stress tensor) σ ij περιγράφει την εντατική κατάσταση στο απειροστό στοιχείο του ρευστού

27 Από φυσικής πλευράς ο τανυστής τάσεων σ ij δείχνει την i- προβολή της δύναμης, η οποία εξασκείται σε μια μοναδιαία επιφάνεια κάθετη στην j-διεύθυνση. Οι τάσεις σ ij είναι θετικές όταν πάνω στην παρειά με την απειροστά πιο μεγάλη συντεταγμένη έχουν την διεύθυνση των αξόνων συντεταγμένων ή όταν έχουν την αντίθετη διεύθυνση των αξόνων συντεταγμένων στην άλλη, παράλληλη, πλευρά του απειροστού κύβου. Οι τρεις συνιστώσες σ xx, σ yy, σ zz του τανυστού τάσεων, ονομάζονται ορθές τάσεις, γιατί κάθε μια από αυτές δίνει το μέτρο της συνιστώσας της δύναμης που ασκείται κάθετα στην αντίστοιχη υπό μελέτη επίπεδη επιφάνεια του ρευστού. Αντίθετα, οι υπόλοιπες έξη συνιστώσες του τανυστού τάσεων καλούνται εφαπτομενικές (ή διατμητικές) τάσεις, γιατί αποτελούν τις συνιστώσες του διανύσματος της τάσης που βρίσκονται στο επίπεδο της υπό μελέτη νοητής στοιχειώδους επιφάνειας του ρευστού.

28 Η ορθή τάση σε μια πλευρά του παραλληλεπίπεδου θεωρείται θετική, όταν η διεύθυνσή της είναι η ίδια με τη διεύθυνση του μοναδιαίου διανύσματος, που είναι κάθετο στην αντίστοιχη πλευρά και διευθύνεται έξω από το παραλληλεπίπεδο. Κατά συνέπεια, θετική ορθή τάση δείχνει ότι ο απειροστός όγκος του ρευστού «εφελκύεται». Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ο τανυστής των τάσεων ενός ρευστού είναι συμμετρικός σ σ σ σ σ σ σ σ σ xx xy xz xy yy yz xz yz zz

29 Είναι γνωστό από την θεωρία των πινάκων, ότι ένας συμμετρικός πίνακας μπορεί πάντα να μετασχηματισθεί σ ένα άλλο πίνακα όπου οι μη διαγώνιοι όροι μηδενίζονται. Από φυσικής πλευράς αυτό σημαίνει ότι για κάθε τανυστή τάσεων μπορεί να βρεθούν τρία επίπεδα τέτοια, ώστε η διατμητική τάση στα επίπεδα αυτά να είναι μηδενική. Δείχνεται στη θεωρία των πινάκων, ότι τα τρία αυτά επίπεδα είναι αμοιβαία κάθετα μεταξύ τους. Τα κάθετα διανύσματα στα τρία αυτά επίπεδα ορίζουν τρεις διευθύνσεις, οι οποίες καλούνται κύριοι άξονες του τανυστού των τάσεων. Οτανυστήςτωντάσεων, αναφερόμενος στους κύριους άξονες του, παρουσιάζεται με την μορφή του πίνακα: σ σ σ 3

30 ΤΑΝΥΣΤΗΣ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΗΡΕΜΟΥΝΤΟΣ ΡΕΥΣΤΟΥ Ας απομονώσουμε ένα πολύ μικρό, στοιχειώδη όγκο από το ακίνητο ρευστό και συγκεκριμένα ας υποθέσουμε ότι ο όγκος αυτός είναι μια πολύ μικρή σφαίρα. Διαλέγουμε σαν άξονες συντεταγμένων τις κύριες διευθύνσεις του τανυστού τάσεων σ ij. Υποθέτουμε επίσης ότι η ακτίνα της σφαίρας αυτής τείνει στο μηδέν, οπότε ο τανυστης σ ij είναι ταυτόσημος σε κάθε σημείο της επιφάνειας της σφαίρας. Κατά συνέπεια, ο τανυστης τάσεων για κάθε σημείο της επιφάνειας της σφαίρας, αναφερόμενος στις κύριες διευθύνσεις τους, γράφεται υπό τη διαγώνιο μορφή: σ σ σ 3

31 Έστω σ 1 + σ 2 + σ 3 =3Α, οπότε ο παραπάνω πίνακας μπορεί να γραφεί με τη μορφή: σ σ σ 3 = A 0 0 σ1 A A σ2 A A 0 0 σ3 A Ο πρώτος από τους δυο αυτούς πίνακες παρουσιάζει σφαιρική συμμετρία και από φυσικής πλευράς φανερώνει ομοιόμορφη συμπίεση χωρίς όμως να προκαλεί, εξ αιτίας της συμμετρίας, κίνηση του ρευστού. Ο δεύτερος από τους πίνακες είναι η απόκλιση του τανυστού τάσεων από την ισότροπη μορφή. Είναι φανερό, ότι οι διαγώνιοι όροι του πίνακα αυτού έχουν μηδενικό άθροισμα και κατά συνέπεια, τουλάχιστον ένας από τους διαγώνιους αυτούς όρους έχει θετικό πρόσημο (εφελκυσμός) και τουλάχιστον ένας άλλος έχει αρνητικό πρόσημο (συμπίεση).

32 Κατά συνέπεια η σφαίρα θα τείνει να γίνει ένα ελλειψοειδές, οπότε θα δημιουργηθεί μια κίνηση (παραμόρφωση) του σφαιρικού όγκου. Αυτό όμως είναι αντίθετο με την αρχική υπόθεση ότι το ρευστό είναι ακίνητο. Κατά συνέπεια σ 1 = σ 2 = σ 3 = Α Συνηθίζεται να γράφουμε τον τανυστή τάσεων ενός ρευστού που ηρεμεί, με την μορφή: σ ij =-pδ ij Η τάση του ρευστού σε μια οποιαδήποτε επιφάνεια που περνάει από το σημείο Μ, είναι κάθετη στην αντίστοιχη επιφάνεια, με μέτρο -p.

33 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΗ ΤΑΣΗ Μέσα στο σώμα ενός υγρού ένα μόριο έλκεται με τον ίδιο τρόπο προς όλες τις κατευθύνσεις από τα άλλα μόρια που το περιβάλλουν, αλλά στην επιφάνεια ανάμεσα στο υγρό και τον αέρα δεν είναι σε ισορροπία. Η επιφάνεια του υγρού συμπεριφέρεται σα να είναι μια ελαστική μεμβράνη που βρίσκεται υπό πίεση. Ως επιφανειακή τάση σ ορίζουμε τη δύναμη που δρα ανά μονάδα μήκους σε μια υποτιθέμενη γραμμή σε μια επιφάνεια υγρού. Η επιφανειακή τάση είναι υπεύθυνη για την ιδιότητα των τριχοειδών που προκαλεί την άνοδο ενός υγρού σε ένα λεπτό σωλήνα όταν το χαμηλότερο άκρο του είναι ανεστραμμένο σε ένα υγρό που βρέχει το σωλήνα. Η επιφανειακή τάση ανυψώνει το νερό (εδαφική υγρασία) από την στάθμη του υπόγειου υδροφόρου ορίζοντα προς τα πάνω μέσα στους πόρους του εδάφους.

34 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΗ ΤΑΣΗ Εάν θ είναι η γωνία επαφής ανάμεσα στο υγρό και το στερεό σε ένα σωλήνα, η έλξη προς τα πάνω λόγω της επιφανειακής τάσης σ, είναι ίση με σπdcosθ, όπου d είναι η διάμετρος του σωλήνα π 2 π 2 βάρος του υγρού που ανέβηκε = ρg d Δh σπdcos θ= ρg d Δh 4 Δ h = 4 σ c o s ρ g d θ Η γωνία θ θεωρείται συνήθως μηδέν για το νερό Η ιδιότητα των τριχοειδών είναι μια πηγή λαθών στους σωλήνες μετρήσεων. Γιατονερόσεένασωλήναμεδιάμετρο6mmτο ύψος h είναι 4.5 mm, ενώ για τον υδράργυρο η ανάλογη ποσότητα είναι -1.5 mm. 4

35 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Στις περισσότερες περιπτώσεις ένα υγρό θεωρείται ως ασυμπίεστο. Όταν όμως πραγματοποιείται μεγάλη αλλαγή της πίεσης, η συμπιεστότητά του γίνεται σημαντική και εκφράζεται από το μέτρο ελαστικότητάς του. Η αλλαγή του όγκου του νερού (ελαστικότητα) λόγω της πίεσης υπολογίζεται από τον γνωστό νόμο του Hook της μηχανικής: όπου: Δp=μεταβολή πίεσης [kn/m²] Δp = E w ΔV V ΔV=μεταβολή όγκου [m³] V=αρχικός όγκος [m³] Εw=σταθερά ελαστικότητας νερού= [ kn m 2 ] Παρατηρούμε ότι το μέτρο (σταθερά) ελαστικότητας του νερού είναι 100 φορές μεγαλύτερο του χάλυβα. Το νερό συνεπώς θεωρείται ασυμπίεστο και μόνο σε ελάχιστες περιπτώσεις χρειάζεται να λάβουμε υπόψη μας την ελαστικότητα (συμπιεστότητα) του, όπως: α) προβλήματα σε μεγάλα βάθη θάλασσας, β) προβλήματα που έχουν να κάνουν με το απότομα σταμάτημα της ροής σε μακρείς αγωγούς που μεταφέρουν νερό

36 ΜΕΤΑΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΥΓΡΑΣ ΦΑΣΗΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ ΣΕ ΑΕΡΙΑ Αν διατηρώντας σταθερή τη θερμοκρασία στο νερό, η απόλυτη πίεση πέσει κάτω από μια ορισμένη τιμή, τότε το νερό βράζει, δηλαδή γίνεται μετάπτωση της υγρής φάσης του νερού σε αέρια, και έχουμε δημιουργία φυσαλίδων (υδρατμών). Αυτή η πίεση ονομάζεται πίεση βρασμού και εξαρτάται από την θερμοκρασία Θερμοκρασία [ C] Πίεση Βρασμού απόλ.τιμή [kn/m²] 0,6 2,3 7,4 19,9 47,4 101,3 Μια μέση τιμή της ατμοσφαιρικής πίεσης είναι, Ρatm=101.3 ΚN/m². Αυτό σημαίνει ότι σε συνθήκες ατμοσφαιρικής πίεσης το νερό βράζει στους 100 C.

37 Θερμοκρασία [ C] Πίεση Βρασμού απόλ.τιμή [kn/m²] 0,6 2,3 7,4 19,9 47,4 101,3 Για να βράσει νερό στους 0 C, απαιτείται μια απόλυτη πίεση 0.6 kn/m², δηλαδή απαιτείται μια υποπίεση (κάτω από την ατμοσφαιρική πίεση) περίπου 100kN/m². Υπάρχουν πολλά προβλήματα στην υδραυλική και στα υδραυλικά έργα όπου λόγω της ροής δημιουργούνται σε ορισμένες περιοχές της ροής πιέσεις πολύ χαμηλές, με αποτέλεσμα να έχουμε τοπικά φαινόμενα «βρασμού» του νερού, με σοβαρές καταστροφικές συνέπειες (φαινόμενο σπηλαίωσης, cavitation).

38 ΘΕΡΜΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ Όπως τα περισσότερα υλικά, το νερό διαστέλλεται με αύξηση της θερμοκρασίας. Μια ιδιαίτερη περίπτωση είναι η περιοχή ανάμεσα στους 0 C και 4 C, στην οποία μια αύξηση της θερμοκρασίας προκαλεί μείωση του όγκου. Επίσης με μείωση της θερμοκρασίας και τη δημιουργία πάγου, έχουμε αύξηση του όγκου κατά 10%. Για θερμοκρασίες άνω των 4 C ισχύει : ΔV=β.V.ΔΤ όπου : ΔV =Μεταβολή όγκου V = Αρχικός όγκος ΔT =Μεταβολή θερμοκρασίας 5 β = Συντελεστής διαστολής (μέση τιμή )= [ 1 C] Ο συντελεστής διαστολής β εξαρτάται από τη θερμοκρασία και υπάρχουν προβλήματα που πρέπει αυτή η εξάρτηση να λαμβάνεται υπόψη.