ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚH ΕΡΓΑΣIΑ. του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΓΕΝΙΚΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚH ΕΡΓΑΣIΑ του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών ΘΕΟΔΩΡΟΥ Π. ΚΑΤΣΙΒΑ Αριθμός Μητρώου: 6193 «ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΓΙΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΤΡΟΧΙΑΣ ΜΙΚΡΟΔΟΡΥΦΟΡΟΥ UPSAT*» Επιβλέπων: Δρ.-Μηχ. Νικόλαος Κούσουλας, Καθηγητής Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: No. Πάτρα, Ιούλιος 2012 * University of Patras Satellite

2

3 ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η Διπλωματική Εργασία με θέμα «ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΓΙΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΤΡΟΧΙΑΣ ΜΙΚΡΟΔΟΡΥΦΟΡΟΥ UPSAT» Του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΟΥ ΚΑΤΣΙΒΑ Α.Μ.: 6193 Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις.../../2012 Ο Επιβλέπων Ο Διευθυντής του Τομέα Νικόλαος Κούσουλας Καθηγητής Νικόλαος Κούσουλας Καθηγητής

4

5 Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Θέμα: «ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΓΙΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΤΡΟΧΙΑΣ ΜΙΚΡΟΔΟΡΥΦΟΡΟΥ UPSAT» Φοιτητής: Θεόδωρος Κατσίβας του Παναγιώτου Επιβλέπων: Δρ.-Μηχ. Νικόλαος Κούσουλας, Καθηγητής Περίληψη Η παρούσα διπλωματική εργασία πραγματεύεται την μελέτη και τον σχεδιασμό της υπολογιστικής υποστήριξης και συγκεκριμένα της προσομοίωση της δυναμικής του συστήματος του UPSat, ενός δορυφόρου τύπου Cubesat. Η εργασία αυτή εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Γενικής Ηλεκτροτεχνίας του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών. Αρχικά γίνεται αναφορά στο σύστημα του δορυφόρου και στα επιμέρους υποσυστήματα από τα οποία αποτελείται. Περιγράφεται το περιβάλλον στο οποίο θα βρεθεί και παρατίθενται πληροφορίες για την τροχιά του. Στη συνέχεια, γίνεται μία ανάλυση στο σύστημα ελέγχου θέσης και περιγράφονται οι πιθανές μέθοδοι σταθεροποίησης του δορυφόρου. Παρουσιάζεται επίσης η επιλογή της μεθόδου και των ενεργοποιητών του συστήματος. Κατόπιν, γίνεται η ανάλυση του μαθηματικού μοντέλου του συστήματος τόσο ως προς τρείς διαστάσεις, όσο και ως προς δύο, αφού πρώτα αναφέρονται κάποια χρήσιμα εργαλεία για την εξαγωγή του. Τέλος, παρουσιάζεται η υλοποίηση της προσομοίωσης του επιλεγμένου μοντέλου, τα αποτελέσματα και τα συμπεράσματα που βγήκαν από την διαδικασία αυτή.

6

7 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στη παρούσα διπλωματική εργασία γίνεται η μελέτη και ο σχεδιασμός της υπολογιστικής υποστήριξης και συγκεκριμένα της προσομοίωση της δυναμικής του συστήματος του UPSat, ενός δορυφόρου τύπου Cubesat. Η εργασία αυτή εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Γενικής Ηλεκτροτεχνίας του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών. Σκοπός της εργασίας είναι η υλοποίηση της προσομοίωσης της δυναμικής του δορυφόρου UPSat, με τη χρήση του γραφικού περιβάλλοντος Simulink. Απώτερος στόχος είναι να καταστεί δυνατή η μελέτη του συστήματος και η κατανόηση της συμπεριφοράς του. Αναλυτικά, στο κεφάλαιο 1 γίνεται η παρουσίαση του δορυφόρου UPSat και αναφέρονται τα μέρη από τα οποία αποτελείται. Στη συνέχεια, περιγράφονται οι διαστημικές συνθήκες τις οποίες θα αντιμετωπίσει. Τέλος, αναφέρονται οι βασικές τροχιές ενός δορυφόρου, οι παράμετροι που τις χαρακτηρίζουν ενώ αναλύεται η τροχιά στην οποία θα βρεθεί ο UPSat. Στο κεφάλαιο 2 μελετάται το σύστημα ελέγχου θέσης. Γίνεται αναφορά σε ορισμούς και βασικές παραμέτρους και παρουσιάζονται τα είδη αισθητήρων που έχουν χρησιμοποιηθεί κατά καιρούς σε αποστολές δορυφόρων τύπου Cubesat. Κατόπιν, αναλύονται οι μέθοδοι σταθεροποίησης καθώς και η επιλογή της μεθόδου του μαγνητικού ελέγχου. Περιγράφεται επίσης και η λειτουργία των πηνίων ως ενεργοποιητές του συστήματος ελέγχου. Στη συνέχεια, στο κεφάλαιο 3, αφού γίνει μια αναφορά σε συστήματα συντεταγμένων και τεχνικές παραμετροποίησης της θέσης, παρατίθεται το μαθηματικό μοντέλο της δυναμικής του συστήματος του δορυφόρου και περιγράφονται οι διαταραχές οι οποίες επιδρούν στο σύστημα. Παρουσιάζεται επίσης και το μοντέλο του δορυφόρου όταν αυτός αναλύεται στις δύο διαστάσεις. Με βάση το τελευταίο μαθηματικό μοντέλο γίνεται η προσομοίωση σε περιβάλλον Simulink, η οποία παρουσιάζεται αναλυτικά στο κεφάλαιο 4. Ιδιαίτερο βάρος δίνεται στην μοντελοποίηση του 1

8 γεωμαγνητικού πεδίου, η οποία πραγματοποιείται με τη χρήση πινάκων αντιστοιχίας (lookup tables). Παρατίθενται επίσης αποτελέσματα της προσομοίωσης και διάφορα συμπεράσματα τα οποία εξήχθησαν από την όλη διαδικασία. Τέλος καταγράφεται η βιβλιογραφία που χρησιμοποιήθηκε. Σε αυτό το σημείο, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα της διπλωματικής μου εργασίας, Καθηγητή ρ.-μηχ. Νικόλαο Κούσουλα, για την άριστη συνεργασία και την σημαντική βοήθεια που μου παρείχε. Ένα πολύ μεγάλο ευχαριστώ επίσης στην οικογένειά μου, στις φίλες και στους φίλους μου. 2

9 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Διάστημα και Τεχνητοί Δορυφόροι Εισαγωγή... Κατηγορίες δορυφόρων... Cubesat... UPSat... Μέρη του δορυφόρου Δομή της κατασκευής του δορυφόρου Σύστημα τροφοδοσίας ηλεκτρικής ισχύος (PSU) Σύστημα επικοινωνιών Σύστημα κεντρικού υπολογιστή πτήσης (OBC) Σύστημα προσδιορισμού και ελέγχου θέσης (ADCS) Σύστημα θερμικού ελέγχου Φορτίο Περιβάλλον του δορυφόρου Θερμοκρασία και πίεση Ακτινοβολία Μαγνητικό πεδίο της Γης Τροχιά δορυφόρου Γεωσύγχρονη τροχιά (GEO) Γεωστατική τροχιά Μέση γήινη τροχιά (MEO) Χαμηλή γήινη τροχιά (LEO) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Σύστημα Ελέγχου Θέσης Εισαγωγή... Περιγραφή του συστήματος προσδιορισμού και ελέγχου θέσης Ορισμοί και παράμετροι Έλεγχος αναφοράς Περιστροφικές γωνίες Αισθητήρες Μέθοδοι σταθεροποίησης Παθητικές μέθοδοι σταθεροποίησης Ενεργητικές μέθοδοι σταθεροποίησης Επιλογή μεθόδου σταθεροποίησης για τον δορυφόρο UPSat

10 2.6 Πηνία ως ενεργοποιητές του συστήματος ελέγχου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Το Μοντέλο του Συστήματος Εισαγωγή... Συστήματα συντεταγμένων Σύστημα συντεταγμένων ελέγχου Σύστημα συντεταγμένων σώματος Τροχιακό σύστημα συντεταγμένων Σύστημα συντεταγμένων αναφοράς Αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων Παραμετροποίηση θέσης Γωνίες Euler Τετράδα του Euler (quaternion) Μαθηματικό μοντέλο του συστήματος Δυναμική εξίσωση Κινηματική εξίσωση Ροπές διαταραχών Ροπή γήινου βαρυτικού πεδίου Ροπή αεροδυναμικής αντίστασης Ροπή ηλιακής ακτινοβολίας Άλλες εξωτερικές ροπές Μοντελοποίηση του γεωμαγνητικού πεδίου Δυναμική του συστήματος στις δύο διαστάσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Προσομοίωση του Συστήματος Εισαγωγή... Προσομοίωση συστημάτων... Κατασκευή της δυναμικής εξίσωσης σε περιβάλλον Simulink. Μοντελοποίηση του μαγνητικού πεδίου με τη χρήση Lookup table Εφαρμογή των πινάκων αντιστοιχίας Μέθοδοι εκτίμησης σημείων αναντιστοιχίας Ολοκλήρωση της προσομοίωσης και αποτελέσματα Συμπεράσματα ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

11 5

12 6

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗΤΟΙ ΔΟΡΥΦΟΡΟΙ 1.1 Εισαγωγή Ένας τεχνητός δορυφόρος είναι οποιαδήποτε κατασκευή που δημιουργήθηκε από τον άνθρωπο και τοποθετείται σε τροχιά γύρω από ένα ουράνιο σώμα. Όλα τα σώματα που είναι μέρη του ηλιακού συστήματός μας, συμπεριλαμβανομένης και της Γης, είναι δορυφόροι είτε του Ήλιου, είτε όπως η Σελήνη, δορυφόροι άλλων σωμάτων. Αυτοί οι δορυφόροι λέγονται φυσικοί δορυφόροι και διακρίνονται από τους τεχνητούς. Ο πρώτος τεχνητός δορυφόρος, ο Σπούτνικ 1, εκτοξεύθηκε από την Σοβιετική Ένωση στις 4 Οκτωβρίου Ήταν απλώς μία μεταλλική σφαίρα διαμέτρου μόλις 58 εκατοστών που περιβαλλόταν από τέσσερις κεραίες. Ωστόσο κατάφερε να μπει σε τροχιά γύρω από τη Γη και να αποσπάσει για πρώτη φορά πληροφορίες για τα ανώτερα στρώματα της ατμόσφαιρας και της ιονόσφαιρας. Λίγο αργότερα θα σταλθεί στο διάστημα ακόμη ένας τεχνητός δορυφόρος, ο Σπούτνικ 2. Στο εσωτερικό του εκτός από όργανα μετρήσεων υπάρχει και μια καμπίνα, στην οποία θα παραμείνει για έξι μέρες υπό συνθήκες έλλειψης βαρύτητας ένας σκύλος, η Λάικα, ο πρώτος ζωντανός οργανισμός στο διάστημα. Τον Φεβρουάριο του 1958, οι Ηνωμένες Πολιτείες Αμερικής εκτοξεύουν επιτυχώς τον Εξπλόρερ 1, εγκαινιάζοντας μια εποχή ανταγωνισμού για την κατάκτηση του διαστήματος. Από τότε χιλιάδες δορυφόροι έχουν τεθεί σε τροχιά γύρω από τη Γη, με έναν από τους σημαντικότερους να είναι ο Βοστόκ, ο οποίος τον Απρίλιο του 1961, μετέφερε τον Γιούρι Γκαγκάριν, τον πρώτο άνθρωπο που βρέθηκε στο διάστημα. Το ενδιαφέρον για την κατασκευή τεχνητών δορυφόρων γύρω από τη Γη είχε αρχίσει αρκετά 7

14 χρόνια πριν. Οι πρώτες αναφορές γίνονται τόσο σε επιστημονικά όσο και σε λογοτεχνικά έγγραφα. Η ανάπτυξη της πυραυλικής τεχνολογίας για στρατιωτικούς σκοπούς έθεσε τα θεμέλια για την κατασκευή δορυφορικής τεχνολογίας. Ήδη από το 1949, Αμερικάνοι και Σοβιετικοί έκαναν τις πρώτες δοκιμές, στηριζόμενοι κυρίως σε γερμανική πυραυλική τεχνολογία. Στις δεκαετίες του 1960 και 1970 η χρήση τεχνητών δορυφόρων γνώρισε μεγάλη ανάπτυξη. Σήμερα, βρίσκονται σε τροχιά γύρω από τη Γη χιλιάδες δορυφόροι. Οι δορυφόροι αυτοί προέρχονται από περισσότερες από 50 χώρες. Από αυτούς, μερικές εκατοντάδες είναι λειτουργήσιμοι ενώ οι υπόλοιποι βρίσκονται σε τροχιά γύρω από την Γη ως διαστημικά σκουπίδια. Τεχνητοί δορυφόροι έχουν τεθεί κατά καιρούς σε τροχιά γύρω από τους περισσότερους πλανήτες του ηλιακού συστήματος αλλά και γύρω από τη Σελήνη. Η ανάπτυξη της δορυφορικής τεχνολογίας είναι αποτέλεσμα της προσπάθειας του ανθρώπου για εξερεύνηση του διαστήματος. Είναι η δίψα του για γνώση και η ανάγκη του για βελτίωση των συνθηκών ζωής του, οι οποίες ανοίγουν νέους ορίζοντες και κάνουν αυτό που μερικά χρόνια πριν φαινόταν ανέφικτο, να γίνεται πραγματικότητα. 1.2 Κατηγορίες δορυφόρων Οι δορυφόροι κατηγοριοποιούνται συνήθως είτε ανάλογα με το μέγεθος και το βάρος τους, είτε ανάλογα με τον σκοπό λειτουργίας τους. Συγκεκριμένα, οι κατηγορίες δορυφόρων σύμφωνα με το βάρος τους είναι [3]: Μεγάλοι δορυφόροι (>1000kg) Μικροί δορυφόροι ( kg) Mini-δορυφόροι ( kg) Micro-δορυφόροι (10-100kg) Nano-δορυφόροι (1-10kg) Pico-δορυφόροι (0.1-1kg) Femto-δορυφόροι (<0.1kg) Η κατηγοριοποίηση των δορυφόρων, όπως είπαμε, μπορεί να γίνει και ανάλογα με τον σκοπό της αποστολής τους. Οι μετεωρολογικοί δορυφόροι συλλέγουν πληροφορίες για την ατμόσφαιρας της 8

15 Γης, τις οποίες αποστέλλουν στους επίγειους μετεωρολογικούς σταθμούς και από την επεξεργασία των στοιχείων αυτών, γίνεται δυνατή η καλύτερη πρόβλεψη του καιρού. Οι αστρονομικοί δορυφόροι είναι δορυφόροι εφοδιασμένοι με ειδικά όργανα για την εκτέλεση αστρονομικών παρατηρήσεων έξω από την ατμόσφαιρα της Γης. Με την χρησιμοποίησή τους αποφεύγονται οι παρεμβολές και οι περιορισμοί λόγω της γήινης ατμόσφαιρας, προσφέροντας δεδομένα πολύ καλύτερης ποιότητας από τα αντίστοιχα των επίγειων μετρήσεων. Το διαστημικό τηλεσκόπιο Χαμπλ είναι ένα παράδειγμα αστρονομικού δορυφόρου. Πολύ σημαντική κατηγορία δορυφόρων είναι και οι τηλεπικοινωνιακοί δορυφόροι, οι οποίοι επιτρέπουν την μεταφορά πληροφοριών από τη μία άκρη του κόσμου στην άλλη, ώστε το εμπόδιο της σφαιρικότητας της Γης να παραλείπεται. Οι δορυφόροι αυτοί, χρησιμεύουν στη τηλεφωνία (σταθερή και κινητή), την τηλεόραση, το ραδιόφωνο και το διαδίκτυο. Οι δορυφόροι προσανατολισμού και πλοήγησης βοηθούν στον προσανατολισμό πλοίων, αεροσκαφών και άλλων οχημάτων, καθώς και στην καθοδήγηση αυτών. Το παγκόσμιο σύστημα εντοπισμού θέσης (GPS) είναι ένα πλέγμα 30 περίπου τέτοιων δορυφόρων. Άλλες κατηγορίες δορυφόρων είναι οι δορυφόροι γεωπαρατήρησης και οι βιο-δορυφόροι. Οι μεν πρώτοι έχουν ως αποστολή την γεωφυσική παρατήρηση και την χαρτογράφηση της Γης. Οι δε βιοδορυφόροι είναι σχεδιασμένοι να μεταφέρουν ζωντανούς οργανισμούς για την διεξαγωγή επιστημονικών πειραμάτων. Τέλος, δορυφόροι χρησιμοποιούνται κατά κόρον για στρατιωτικούς σκοπούς καθώς και ως διαστημικοί σταθμοί, όπως για παράδειγμα ο Διεθνής Διαστημικός Σταθμός (International Space Station-ISS). 1.3 Cubesat O Cubesat είναι ένας τύπος δορυφόρου με συγκεκριμένο μέγεθος και διαστάσεις (Σχήμα 1.1). Πρόκειται για έναν pico-δορυφόρο, ο οποίος κατασκευάστηκε με σκοπό την διαστημική έρευνα. Το όνομά του προκύπτει από το κυβικό του σχήμα. Μία μονάδα Cubesat (1U) έχει μέγιστο μήκος πλευράς ίσο με 10 cm και το βάρος της δεν πρέπει να ξεπερνά το 1 κιλό (kg). Το Cubesat Project ξεκίνησε το 1999 ως συνεργασία δύο πανεπιστημίων, του California Polytechnic State University (Cal Poly) και του Stanford University, και αναπτύχθηκε για εκπαιδευτικούς σκοπούς. Κύριος εμπνευστής του ήταν ο καθηγητής Bob Twiggs και βασικός στόχος του εγχειρήματος αυτού ήταν, να γίνει η πρόσβαση στο διάστημα προσιτή σε μικρά φορτία, 9

16 Σχήμα 1.1 : Ο δορυφόρος Cubesat [5] προσφέροντας μια πρακτική, αξιόπιστη και οικονομική λύση [6][7]. Ιδιαίτερο χαρακτηριστικό του είναι ότι χρησιμοποιούνται για την κατασκευή του ηλεκτρονικά εξαρτήματα που βρίσκονται εύκολα στο εμπόριο, τα επονομαζόμενα COTS (commercial off the shelf). Ένας λόγος που υπάρχουν οι περιορισμοί στις διαστάσεις και το βάρος, είναι γιατί οι συγκεκριμένοι δορυφόροι εκτοξεύονται μέσα σε ειδικούς φορείς σταθερών διαστάσεων. Οι φορείς αυτοί ονομάζονται P-POD (Poly Picosatellite Orbital Deployer) και αναπτύχθηκαν από το πανεπιστήμιο Cal Poly, ειδικά για τους δορυφόρους Cubesat (Σχήμα 1.2). Σχήμα 1.2 : Ένας P-POD μηχανισμός ως φορέας τριών Cubesat [7] 10

17 Οι δορυφόροι Cubesat τοποθετούνται μέσα στους P-POD φορείς και μεταφέρονται στο διάστημα με πυραύλους, ως δευτερεύων ή τριτεύων φορτίο. Αφού το ωφέλιμο μέρος του πυραύλου, το οποίο περιέχει και το φορτίο του, μπει σε τροχιά, οι μηχανισμοί P-POD αφήνονται ελεύθεροι. Λίγο αργότερα, οι μηχανισμοί αυτοί ανοίγουν και οι δορυφόροι Cubesat βγαίνουν στο διάστημα. Η διαδικασία ανάπτυξης του δορυφόρου σε διαστημικές συνθήκες συνεχίζεται με την έναρξη λειτουργίας του λίγα λεπτά αργότερα ενώ ταυτόχρονα γίνεται προσπάθεια για ανάσχεση των συνεχών περιστροφών του. Μόλις επιτευχθεί, επιχειρείται η πρώτη μετάδοση σήματος από τον δορυφόρο και η επικοινωνία του με τον σταθμό βάσης. Ο δορυφόρος θα λάβει πληροφορίες για την τροχιά του και την θέση του και θα ξεκινήσει την αποστολή του [9]. Οι φάσεις αυτές φαίνονται και στο παρακάτω σχήμα (Σχήμα 1.3). Ένας συνηθισμένος Cubesat δορυφόρος αναμένεται να έχει ενεργή ζωή ενός χρόνου. Αφού ολοκληρώσει την αποστολή του, παραμένει σε τροχιά ως διαστημικό σκουπίδι για μερικά χρόνια ακόμα, έως ότου κλείσει τον κύκλο ζωής του, με το να καεί κατά την επανείσοδό του στην ατμόσφαιρα, εξαιτίας της βαρυτικής έλξης της Γης. Σχήμα 1.3: Τα πρώτα στάδια ζωής ενός δορυφόρου Cubesat [9] Βασικό πλεονέκτημα του εγχειρήματος του Cubesat είναι η οικονομική δυνατότητα εκτόξευσης που δίνεται σε μικρούς δορυφόρους, κάτι το οποίο θα ήταν απαγορευτικό υπό κανονικές συνθήκες. Το γεγονός αυτό σε συνδυασμό με το σχετικά χαμηλό κόστος κατασκευής, έχει καταστήσει τον Cubesat ιδανική λύση για πανεπιστήμια, τα οποία επιζητούν μια οικονομική, με γρήγορη ανάπτυξη επιστημονική έρευνα γύρω από την διαστημική και δορυφορική τεχνολογία. Συγκεκριμένα, το κόστος 11

18 εκτόξευσης για έναν μεγάλο δορυφόρο αγγίζει τα μερικά δεκάδες εκατομμύρια. Απεναντίας, το κόστος για την κατασκευή και την εκτόξευση ενός Cubesat κυμαίνεται από μέχρι δολάρια [6]. Τον Ιούνιο του 2003 τα πρώτα έξι Cubesat διαφόρων πανεπιστημίων εκτοξεύθηκαν στο διάστημα. Έκτοτε έχουν ασχοληθεί με την τεχνολογία Cubesat ιδιωτικές εταιρείες, κυβερνητικές οργανώσεις και δεκάδες πανεπιστήμια από όλο τον κόσμο. 1.4 UPSat Ο UPSat (University of Patras Satellite) είναι ένας τεχνητός δορυφόρος τύπου Cubesat, η ανάπτυξη του οποίου ξεκίνησε σαν ιδέα από το Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Αεροναυπηγών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών και συγκεκριμένα από το Εργαστήριο Εφαρμοσμένης Μηχανικής. Είναι η πρώτη προσπάθεια κατασκευής ελληνικού δορυφόρου από ελληνικό πανεπιστήμιο. Η συμμετοχή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ξεκίνησε στα μέσα του 2008 από πρωτοβουλία κάποιων φοιτητών και των δύο τμημάτων, οι οποίοι αποτέλεσαν τον συνδετικό κρίκο αυτής της συνεργασίας. Το επόμενο διάστημα ξεκίνησε η μελέτη των υποσυστημάτων του δορυφόρου στα πλαίσια ανάθεσης διπλωματικών εργασιών στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. H μελέτη και κατασκευή του UPSat έχει ως κύριο σκοπό την ενασχόληση των φοιτητών με την τεχνολογία διαστήματος όχι μόνο σε θεωρητικό αλλά κυρίως σε πρακτικό επίπεδο. Επιπλέον, οι φοιτητές που ασχολούνται με τα διάφορα υποσυστήματα θα πρέπει να βρίσκονται σε συνεχή συνεργασία και επικοινωνία ώστε ο δορυφόρος να λειτουργεί υποδειγματικά και σύμφωνα με τις προδιαγραφές που έχουν αποφασιστεί. Απώτερος σκοπός του εγχειρήματος είναι η κατασκευή ενός λειτουργικού δορυφόρου, ο οποίος να μπορεί να τεθεί σε τροχιά και να φέρει σε πέρας την αποστολή για την οποία κατασκευάστηκε. 1.5 Μέρη του δορυφόρου Ο Cubesat, όπως και κάθε δορυφόρος, αποτελείται από επιμέρους υποσυστήματα, τα οποία όλα μαζί συνθέτουν το σύστημα του δορυφόρου. Η λειτουργία και η συνεργασία των υποσυστημάτων μεταξύ τους είναι απαραίτητη για μία επιτυχή αποστολή. Παρακάτω γίνεται μια αναφορά στα 12

19 υποσυστήματα του δορυφόρου. Στο σχήμα 1.5 φαίνεται ένα μπλοκ διάγραμμα που παρουσιάζει τα επιμέρους υποσυστήματα αυτά και την εσωτερική τους διασύνδεση Δομή της κατασκευής του δορυφόρου Η μελέτη της δομής του δορυφόρου είναι πολύ σημαντικό κομμάτι για την επίτευξη της κατασκευής του. Το υποσύστημα αυτό περιλαμβάνει τη μελέτη, τον σχεδιασμό και την ανάλυση του σκελετού του δορυφόρου καθώς και των διαφόρων μηχανισμών για την ανάπτυξη κεραιών ή φωτοβολταϊκών συστοιχιών. Η δομή αυτή θα φιλοξενήσει τα υπόλοιπα υποσυστήματα του δορυφόρου. Σχήμα 1.4: Δομή δορυφόρου Cubesat κατασκευασμένη από αλουμίνιο [11] Όπως προαναφέρθηκε, ο UPSat πρέπει να ικανοποιήσει συγκεκριμένους περιορισμούς σε μάζα και μέγεθος. Οι διαστάσεις του δορυφόρου θα είναι 10x10x10 cm και το βάρος του δεν πρέπει να ξεπερνάει το 1 kg. Για αυτό το λόγο, για την κατασκευή του σκελετού χρησιμοποιούνται ελαφριά υλικά. Υπόψη λαμβάνονται επίσης και οι συνθήκες κάτω από τις οποίες θα βρεθεί η κατασκευή. Συγκεκριμένα, ο δορυφόρος θα αντιμετωπίσει ακραίες θερμοκρασίες μεταξύ -40 και 80 βαθμούς Κελσίου, μεγάλες επιταχύνσεις και έντονες δονήσεις κατά τη διάρκεια της εκτόξευσης, ακτινοβολία και συνθήκες κενού κατά τη διάρκεια της παραμονής του στο διάστημα. Θα πρέπει δηλαδή η επιλογή του υλικού να είναι τέτοια ώστε να προστατεύει την κατασκευή από μηχανικές καταπονήσεις και να παρέχει στα υπόλοιπα υποσυστήματα θερμική προστασία. Υλικά όπως το αλουμίνιο, το ατσάλι, το 13

20 μαγνήσιο και τα ανθρακονήματα χρησιμοποιούνται συχνά σε αντίστοιχες αποστολές, αφού πληρούν τα κριτήρια για χαμηλό βάρος και ανθεκτικότητα. Για την κατασκευή του UPSat, έγινε μελέτη δομής κατασκευασμένης εξολοκλήρου από σύνθετα υλικά (Τ300_5208 Carbon/Epoxy). Ένα από τα ενδιαφέροντα στοιχεία που βγήκαν από τη μελέτη αυτή ήταν, ότι ύστερα από την σύγκριση της με μια ήδη πιστοποιημένη δομή από αλουμίνιο, η μάζα της δομής του δορυφόρου από σύνθετα υλικά ήταν μειωμένη κατά 58% σε σχέση με την μάζα της δομής από αλουμίνιο, με την ίδια δυσκαμψία [12]. Στη δομή του δορυφόρου περιλαμβάνεται και ο μηχανισμός κίνησης ηλιακών συλλεκτών. Τα φωτοβολταϊκά κύτταρα που χρησιμοποιούνται στους δορυφόρους είναι τοποθετημένα είτε στις πλευρές του δορυφόρου, είτε σε ειδικούς μηχανισμούς, οι οποίοι κατευθύνουν τις φωτοβολταϊκές συστοιχίες προς την κατεύθυνση του Ήλιου, με σκοπό την αύξηση της προσπίπτουσας ακτινοβολίας και συνεπώς και της αποδιδόμενης ισχύος στο σύστημα. Για τον δορυφόρο UPSat έχει γίνει ειδική μελέτη για τέτοιου είδους μηχανισμό [13]. Ο μηχανισμός αυτός απαιτεί ηλεκτρική τροφοδοσία για λίγα δευτερόλεπτα από τη στιγμή που θα δοθεί η συγκεκριμένη εντολή, ενώ στη συνέχεια υπάρχει μηχανικό κλείδωμα και διακοπή της τροφοδοσίας του Σύστημα τροφοδοσίας ηλεκτρικής ισχύος (PSU) [14] Το σύστημα τροφοδοσίας ηλεκτρικής ισχύος (Power Supply Unit) έχει ως σκοπό την παραγωγή, αποθήκευση, ρύθμιση και διανομή της απαιτούμενης ισχύος στα διάφορα υποσυστήματα του δορυφόρου. Στα παραπάνω πρέπει να προστεθεί και η προστασία του συστήματος από σημαντικά σφάλματα και η αποθήκευση δεδομένων για χρήση από τον κεντρικό υπολογιστή. Τα βασικά στοιχεία ενός συστήματος τροφοδοσίας είναι τα φωτοβολταϊκά κύτταρα, οι μπαταρίες, οι ρυθμιστές για τη φόρτιση και την εκφόρτιση των μπαταριών, οι ρυθμιστές για τη ρύθμιση του επιπέδου τάσης, διακόπτες, ασφάλειες και φυσικά η καλωδίωση. Στο σύστημα μπορούν να προστεθούν και άλλα εξαρτήματα ανάλογα με το σκοπό της αποστολής. Για την παραγωγή της απαιτούμενης ηλεκτρικής ισχύος μπορούν να χρησιμοποιηθούν συσσωρευτές (μπαταρίες), κυψέλες καυσίμου (fuel cells), φωτοβολταϊκά κύτταρα, ηλιακοί συγκεντρωτές, πυρηνική-θερμοηλεκτρική ενέργεια, πυρηνική-χημική ενέργεια, ενέργεια από ραδιοϊσότοπα. Οι απαιτήσεις ισχύος, ο σκοπός αλλά κυρίως η διάρκεια της αποστολής είναι οι σημαντικότεροι παράγοντες στους οποίους στηρίζεται η επιλογή της μονάδας παραγωγής ισχύος. Στους μεγάλους δορυφόρους συνήθως επιλέγονται δύο ή και περισσότερες μονάδες παραγωγής ισχύος. 14

21 Στο σύστημα τροφοδοσίας ηλεκτρικής ισχύος του δορυφόρου UPSat, όπως προαναφέρθηκε, γίνεται χρήση φωτοβολταϊκών κυττάρων ειδικά για διαστημικές εφαρμογές για την παραγωγή της απαιτούμενης ηλεκτρικής ισχύος. Για την αποθήκευση χρησιμοποιούνται μπαταρίες ιόντων λιθίου (ή πολυμερών) Σύστημα επικοινωνιών (COM) Το σύστημα επικοινωνιών (Communications System) αποτελείται από τον πομποδέκτη που βρίσκεται επάνω στον δορυφόρο και τον σταθμό βάσης στη Γη. Βασικό καθήκον του συστήματος είναι η ασύρματη μεταφορά δεδομένων. Η επικοινωνία όλων των υπόλοιπων υποσυστημάτων γίνεται μέσω του συστήματος επικοινωνιών. Πρωταρχική αποστολή του είναι η εκπομπή του σήματος με το οποίο ο σταθμός βάσης θα εντοπίσει τον δορυφόρο και ακολουθεί η μετάδοση της τηλεμετρίας προς τον σταθμό βάσης και η λήψη εντολών από αυτόν. Τα δεδομένα που ανταλλάσσονται μπορούν να είναι είτε καταγεγραμμένα σε κάποια μνήμη, είτε πραγματικού χρόνου. Όσο αφορά την κεραία, που χρησιμοποιείται ως πομποδέκτης, μπορεί να είναι πτυσσόμενη ή όχι, ενώ πολλές αποστολές έχουν χρησιμοποιήσει κεραία εντοπισμού ως κεραία βάσης, η οποία ακολουθεί την κίνηση του δορυφόρου στον ουρανό Σύστημα κεντρικού υπολογιστή πτήσης (OBC) Η μονάδα του κεντρικού υπολογιστή πτήσης (On Board Computer) είναι ο εγκέφαλος του δορυφόρου. Το σύστημα διαχείρισης δεδομένων (Data Handling System-DHS) τρέχει το λειτουργικό σύστημα στον κεντρικό υπολογιστή, ελέγχοντας την επικοινωνία μεταξύ των επιμέρους υποσυστημάτων ενώ είναι υπεύθυνο και για την διαχείριση και αποθήκευση στοιχείων που αφορούν το σχέδιο πτήσης. Τα στοιχεία αυτά επεξεργάζονται μετέπειτα από τον σταθμό βάσης και εξάγονται χρήσιμα συμπεράσματα για την λειτουργική κατάσταση του δορυφόρου. Ο υπολογιστής πτήσης αποτελείται από μια κεντρική μονάδα επεξεργασίας (CPU) και μνήμες RAM και ROM Σύστημα προσδιορισμού και ελέγχου θέσης (ADCS) Το σύστημα προσδιορισμού και ελέγχου θέσης (Attitude Determination and Control System) είναι υπεύθυνο να κρατάει την θέση (attitude) του δορυφόρου μέσα στα επιθυμητά όρια, τα οποία θέτει ο χειριστής μέσω του ελέγχου θέσης (Attitude Control -AC) καθώς επίσης και να γνωρίζει την θέση του δορυφόρου σε πραγματικό χρόνο μέσω του προσδιορισμού θέσης (Attitude Determination-AD). 15

22 Ως θέση εννοούμε τον προσανατολισμό του καθορισμένου συστήματος συντεταγμένων του δορυφόρου σε σχέση με ένα καθορισμένο εξωτερικό σύστημα συντεταγμένων, στην περίπτωσή μας, της Γης. Η λειτουργία αυτού του συστήματος είναι πολύ σημαντική, καθώς παρέχει την απαιτούμενη ακρίβεια προσανατολισμού, που απαιτείται από τις κεραίες, τα φωτοβολταϊκά κύτταρα και τους διάφορους αισθητήρες. Βασικά στοιχεία του συστήματος αυτού είναι οι αισθητήρες και οι ενεργοποιητές. Ο δορυφόρος προσδιορίζει τη θέση του μέσω των μετρήσεων που λαμβάνει από τους αισθητήρες του και την συγκρίνει με την επιθυμητή θέση που έχει δοθεί από τον χειριστή. Σε περίπτωση απόκλισης γίνεται προσπάθεια να την προσεγγίσει με την βοήθεια των ενεργοποιητών που διαθέτει, οι οποίοι δημιουργούν μια ροπή ικανή να κινήσει τον δορυφόρο. Ως ενεργοποιητές μπορούν να χρησιμοποιηθούν επιγραμματικά: Πηνία Τροχοί αντίδρασης Προωθητές Για τον δορυφόρο UPSat, ως ενεργοποιητές, έχουν επιλεγεί τρία πηνία, τα οποία διαρρεόμενα από ρεύμα δημιουργούν ένα μαγνητικό πεδίο, το οποίο αλληλεπιδρά με το μαγνητικό πεδίο της Γης δημιουργώντας κατά αυτόν τον τρόπο ροπές ελέγχου. Στο επόμενο κεφάλαιο γίνεται εκτενέστερη ανάλυση τόσο για την λειτουργία των πηνίων ως ενεργοποιητές, όσο και για τους λόγους που μας οδήγησαν στην επιλογή τους Σύστημα θερμικού ελέγχου Το σύστημα θερμικού ελέγχου (Thermal Control System) είναι υπεύθυνο για την διατήρηση της θερμοκρασίας των επιμέρους υποσυστημάτων μέσα στα επιθυμητά όρια. Η θερμική προστασία γίνεται με διάφορους τρόπους ανάλογα με τα επιθυμητά όρια διατήρησης θερμοκρασίας, τις εξωτερικές συνθήκες που επικρατούν στην τροχιά που βρίσκεται ο δορυφόρος και το μέγεθός του. Τυπικά εξαρτήματα που χρησιμοποιούνται για αυτό το σκοπό είναι ψυκτικά, περσίδες, θερμικές επενδύσεις πολλών στρωμάτων, μονωτικές ταινίες, θερμαστές, θερμοστάτες, αισθητήρες θερμοκρασίας και ηλεκτρονικά ελέγχου. Τα θερμίστορς χρησιμοποιούνται ευρέως ως αισθητήρες θερμοκρασίας Φορτίο Αρκετές ομάδες κατασκευής Cubesat χρησιμοποιούν τον δορυφόρο ως μέσο για την 16

23 εκπλήρωση κάποιας αποστολής στο διάστημα. Για παράδειγμα, κάποιοι από τους δορυφόρους αυτούς φέρουν κάμερες για την φωτογράφιση της Γης ή όργανα μέτρησης για την συλλογή δεδομένων για επιστημονικούς σκοπούς. Το φορτίο που φέρει ο κάθε δορυφόρος θεωρείται ξεχωριστό υποσύστημα και είναι αναγκαία η μελέτη εγκατάστασης καθώς πρέπει να ληφθούν υπόψη, οι ανάγκες του όσο αφορά τον χώρο στη μνήμη του υπολογιστή πτήσης για την αποθήκευση δεδομένων αλλά και η ενεργειακή του κατανάλωση. Η τοποθέτηση τυχόν φορτίου, αυξάνει την πολυπλοκότητα, δεδομένων των περιορισμών σε χώρο και βάρος στον δορυφόρο. Σχήμα 1.5: Μπλοκ διάγραμμα που παρουσιάζει τα επιμέρους υποσυστήματα του δορυφόρου και την εσωτερική τους διασύνδεση [8] 17

24 1.6 Περιβάλλον του δορυφόρου Ένα αντικείμενο που βρίσκεται σε τροχιά γύρω από τη Γη, υπόκειται σε ένα περίπλοκο φυσικό περιβάλλον το οποίο περιλαμβάνει συστήματα φορτισμένων σωματιδίων, υψηλή ενεργειακή ακτινοβολία, παρουσία απειροελάχιστου οξυγόνου και γεωφυσικά φαινόμενα όπως το βαρυτικό και το μαγνητικό πεδίο της Γης. Τα περισσότερα από αυτά τα στοιχεία επηρεάζουν μέρη του δορυφόρου, από τη δομή του μέχρι τα ηλεκτρονικά του συστήματα. Έχουν επίδραση όμως και στη δυναμική του δορυφόρου, όπως θα δούμε σε επόμενο κεφάλαιο. Ένας δορυφόρος σε τροχιά είναι κατά προσέγγιση ένα σύστημα αρκετά ελεύθερο από εξωτερικές ροπές, συγκρινόμενο πάντα με αντίστοιχα συστήματα στη Γη. Παρόλα αυτά, λαμβάνουν χώρα πολλές διαταραχές, με την αντιστάθμιση των οποίων είναι επιφορτισμένο το σύστημα ελέγχου θέσης. Εκτός από το φυσικό περιβάλλον, διαστημικά σκουπίδια και μικρομετεωρίτες, συνθέτουν την ολική εικόνα που θα συναντήσει ο δορυφόρος [15] Θερμοκρασία και πίεση Όσο απομακρυνόμαστε από τη Γη, η ατμόσφαιρα γίνεται ολοένα και πιο αραιή. Μετά τα 100 km η πυκνότητα της ατμόσφαιρας μειώνεται εκθετικά και φτάνει πρακτικά σε συνθήκες κενού. Σε αυτές τις συνθήκες η πίεση είναι πολύ χαμηλή ενώ η εξωτερική θερμοκρασία μπορεί να φτάσει σε τιμές αρκετά υψηλές. Ενδεικτικά, η θερμοκρασία στην επιφάνεια του δορυφόρου μεταβάλλεται δραματικά ανάλογα με την τροχιακή του θέση και μπορεί να κυμανθεί από -25 οc όταν ο δορυφόρος βρίσκεται στην μη φωτιζόμενη από τον Ήλιο πλευρά της Γης, μέχρι και 85 οc στην πλευρά της Γης που βλέπει τον Ήλιο [16]. Έτσι, θα πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι τα στοιχεία που χρησιμοποιούνται αντέχουν σε αυτές τις συνθήκες και δεν θα καταστραφούν από το φαινόμενο της εξάτμισης. Εξαιτίας των συνθηκών κενού, δημιουργείται επίσης το πρόβλημα της δυσκολίας αποβολής θερμότητας. Κάθε σύστημα που βρίσκεται στη Γη το πετυχαίνει αυτό, με το να μεταφέρει θερμότητα προς την ατμόσφαιρα. Είναι πρόβλημα που αφορά κυρίως τα ηλεκτρονικά μέρη του δορυφόρου Ακτινοβολία Όσο λιγότερη ατμόσφαιρα συναντάει ο δορυφόρος, τόσο λιγότερη προστασία απολαμβάνει από την ακτινοβολία. Στο διάστημα υπάρχουν δύο ειδών ακτινοβολίες που επηρεάζουν έναν τεχνητό δορυφόρο. Η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία και ακτινοβολία από σωματίδια. Το μεγαλύτερο ποσοστό της ακτινοβολίας προέρχεται από τον Ήλιο, αλλά και η σωματιδιακή ακτινοβολία από το μαγνητικό 18

25 πεδίο της Γης συμβάλλει σημαντικά. Εξίσου σημαντική είναι και η κοσμική ακτινοβολία, μία κατηγορία ακτινοβολίας που αποτελείται από σωματίδια υψηλών ενεργειών, τα οποία παράγονται σε κάποιο μέρος του Σύμπαντος, μακριά από τη Γη. Η σωματιδιακή ακτινοβολία από το μαγνητικό πεδίο προέρχεται ουσιαστικά από τον Ήλιο και περιορίζεται γύρω από το μαγνητικό πεδίο της Γης διατεταγμένη σε ζώνες, οι οποίες ονομάζονται ζώνες Van Aalen. Η ακτινοβολία περιέχεται κυρίως σε αυτές τις ζώνες, εκτός των οποίων θεωρούμε ότι η ακτινοβολία είναι ελάχιστη. Σε κοντινή από τη Γη τροχιά ο δορυφόρος δεν επηρεάζεται πολύ από αυτές τις ζώνες οι οποίες ξεκινάνε σε απόσταση περίπου 1-2 φορές την ακτίνα της Γης (r=6371km) [14]. Και τα δύο είδη ακτινοβολίας, σωματιδιακή και η ηλεκτρομαγνητική, υποβαθμίζουν την λειτουργία των ηλεκτρονικών με την πάροδο του χρόνου. Γι αυτό το λόγο τα ηλεκτρονικά που χρησιμοποιούνται σε τέτοιες αποστολές περνάνε ειδικές δοκιμασίες για την εξακρίβωση της αντοχής τους. Η προστασία των ηλεκτρονικών γίνεται με την θωράκισή του δορυφόρου με κάποιο υλικό ανθεκτικό στη ακτινοβολία, συνήθως αλουμίνιο. Η ακτινοβολία προκαλεί συνήθως σφάλματα στις λογικές συσκευές, δηλαδή στα ολοκληρωμένα κυκλώματα [14] Μαγνητικό πεδίο της Γης Το γεωμαγνητικό πεδίο είναι το μαγνητικό πεδίο το οποίο εκτείνεται από τον εσωτερικό πυρήνα της Γης μέχρι εκεί που συναντάμε τον ηλιακό άνεμο, ένα στρώμα σωματιδίων από τον Ήλιο. Προστατεύει τη Γη τόσο από κοσμικές ακτινοβολίες όσο και από τον προαναφερθέντα ηλιακό άνεμο. Πρόκειται για ένα χρονικά μεταβαλλόμενο πεδίο, με την έντασή του να είναι μεγαλύτερη κοντά στους μαγνητικούς πόλους της Γης και μικρότερη γύρω από τον ισημερινό. Η ευθεία που ενώνει τους μαγνητικούς πόλους αυτούς ονομάζεται μαγνητικός άξονας της Γης. Να σημειωθεί, ότι οι μαγνητικοί πόλοι της Γης, όπως φαίνεται και στο σχήμα 1.6, δεν ταυτίζονται με τους γεωγραφικούς της πόλους, αφού ο μαγνητικός άξονας σχηματίζει με τον γεωγραφικό άξονα γωνία θ που μεταβάλλεται χρονικά. Οι μαγνητικές γραμμές του γήινου μαγνητικού πεδίου έχουν φορά από το νότιο γεωγραφικό πόλο (βόρειο μαγνητικό) προς τον βόρειο γεωγραφικό πόλο της Γης (νότιο μαγνητικό). Σε τροχιές κοντινές στη Γη, θα μπορούσαμε να παρομοιάσουμε το γεωμαγνητικό πεδίο με ένα ισχυρό μαγνητικό δίπολο και τον δορυφόρο ως έναν μαγνήτη [8]. 19

26 Σχήμα 1.6: Η Γη ως ένας τεράστιος μαγνήτης [17] 1.7 Τροχιά δορυφόρου Όταν εκτοξεύεται ένας δορυφόρος, τοποθετείται σε τροχιά γύρω από τη Γη. Η βαρυτική δύναμη της Γης κρατάει τον δορυφόρο σε ένα συγκεκριμένο μονοπάτι ενώ αυτός γυρίζει γύρω από αυτή. Το μονοπάτι αυτό ονομάζεται τροχιά. Επειδή μάλιστα η συγκεκριμένη τροχιά έχει ως σημείο αναφοράς τη Γη, ονομάζεται γεωκεντρική τροχιά, για να ξεχωρίζει από τροχιές γύρω από τον Ήλιο ή άλλα σώματα. Η τροχιά ενός δορυφόρου μπορεί να είναι κυκλική ή ελλειπτική. Στην πρώτη περίπτωση, η απόσταση του δορυφόρου από τη Γη είναι σταθερή, ενώ στη δεύτερη περίπτωση η απόσταση αλλάζει συνεχώς. Κάθε τροχιά προσδιορίζεται από κάποιες παραμέτρους και συγκεκριμένα από τα στοιχεία Κέπλερ. Τα στοιχεία αυτά, τα οποία περιγράφουν το σχήμα και τον προσανατολισμό της τροχιάς καθώς και τη θέση του κινούμενο στη τροχιά αντικειμένου, είναι τα εξής [10]: Κεντρικός ημιάξονας (α) Εκκεντρικότητα (e) Κλίση (i) 20

27 Μήκος ανερχόμενου κόμβου (Ω) Γωνιακή απόσταση περιγείου (ω) Μέση ανωμαλία (Mo) Τα δύο στοιχεία Κέπλερ που περιγράφουν το σχήμα της τροχιάς είναι ο κεντρικός ημιάξονας και η εκκεντρικότητα. Ο κεντρικός ημιάξονας ορίζεται ως η μισή απόσταση μεταξύ περιγείου και απογείου. Το απόγειο είναι η μέγιστη απόσταση του δορυφόρου από τη Γη ενώ το περίγειο είναι η ελάχιστη απόσταση. Έτσι, το μέγεθος της τροχιάς περιγράφεται από τον κεντρικό ημιάξονα. Η εκκεντρικότητα από την άλλη, περιγράφει την απόκλιση της τροχιάς από ένα κύκλο. Συγκεκριμένα, εκκεντρικότητα ίση με μηδέν συνεπάγεται κυκλική τροχιά. Οι ελλειπτικές τροχιές έχουν εκκεντρικότητα με τιμές από 0 έως 1, με πιο ελλειπτικές τις τροχιές αυτές των οποίων η εκκεντρικότητα προσεγγίζει την μονάδα. Τέλος, για εκκεντρικότητα ίση με 1, έχουμε πλέον παραβολική τροχιά. Για να παραμείνει ο δορυφόρος σε τροχιά γύρω από τη Γη, η εκκεντρικότητα δεν πρέπει να ξεπεράσει τη μονάδα. Σχήμα 1.7: Στοιχεία Κέπλερ και άλλα χαρακτηριστικά γεωκεντρικής τροχιάς [10][18] Ο προσανατολισμός της τροχιάς περιγράφεται από τρείς γωνίες: την κλίση, το μήκος του ανερχόμενου κόμβου και την γωνιακή απόσταση περιγείου. Η κλίση είναι η γωνία μεταξύ του ισημερινού και της τροχιάς. Το μήκος του ανερχόμενου κόμβου είναι η γωνία μεταξύ του ανερχόμενου 21

28 κόμβου της τροχιάς και του ισημερινού. Ο ανερχόμενος κόμβος είναι το σημείο όπου η τροχιά συναντάει τον ισημερινό, από νότο προς τον βορρά. Η γωνιακή απόσταση περιγείου είναι η γωνία μεταξύ περιγείου και ανερχόμενου κόμβου στη κατεύθυνση της κίνησης του δορυφόρου. Τέλος η θέση ενός δορυφόρου σε μια τροχιά δίνεται από την πραγματική ανωμαλία, η οποία είναι η γωνία μεταξύ περιγείου και θέσης του δορυφόρου σε μια συγκεκριμένη στιγμή. Η μέση ανωμαλία, η οποία ανήκει στα στοιχεία Κέπλερ, περιγράφει τη θέση του δορυφόρου κατά τον ίδιο τρόπο αλλά υπό την υπόθεση ότι η τροχιά είναι κυκλική. Χρησιμοποιώντας τη μέση και όχι την πραγματική ανωμαλία, είναι πιο εύκολο να υπολογιστεί η θέση του δορυφόρου σε μια μελλοντική εποχή. Στο σχήμα 1.7 φαίνονται κάποια από τα στοιχεία Κέπλερ αλλά και άλλα χαρακτηριστικά όπως το περίγειο και το απόγειο μιας τροχιάς. Γενικά, μπορούμε επίσης να κατηγοριοποιήσουμε τους δορυφόρους ανάλογα με το είδος της τροχιάς στην οποία τοποθετούνται. Η βασική διάκριση μεταξύ των τροχιών γίνεται με βάση την απόστασή τους από την επιφάνεια της Γης. Πρέπει να σημειωθεί ότι για τη αποφυγή προβλημάτων παρεμβολών και συγκρούσεων, έχει οριστεί το ποιος θα χρησιμοποιεί δορυφόρους, σε ποια τροχιά και συχνότητα, με διάφορες κυβερνητικές και διακρατικές συμφωνίες. Ο οργανισμός που είναι υπεύθυνος για τον έλεγχο των θέσεων των δορυφόρων, ονομάζεται NORAD (North American Aerospace Defence Command). Παρακάτω παρατίθενται μερικές από τις βασικές τροχιές, οι οποίες φαίνονται και στο σχήμα 1.8. Στο ίδιο σχήμα, συνοψίζονται κάποιες πληροφορίες για τις τροχιές αυτές, όπως η απόστασή τους από την επιφάνεια της Γης, η περίοδος, η ακτίνα και η ταχύτητα της τροχιάς τους. Επίσης διακρίνονται και κάποια παραδείγματα δορυφόρων, όπως ο Διεθνής Διαστημικός Σταθμός, το τηλεσκόπιο Χαμπλ και το δίκτυο δορυφόρων GPS, σε ποιές τροχιές βρίσκονται Γεωσύγχρονη τροχιά (GEO) Η γεωσύγχρονη τροχιά είναι μια τροχιά με περίοδο μιας αστρικής μέρας (23 ώρες 56 λεπτά και 4 δευτερόλεπτα) περίπου ίση δηλαδή με την περίοδο περιστροφής της Γης γύρω από τον εαυτό της [19]. Είναι σχεδόν κυκλική και βρίσκεται σε απόσταση km από την επιφάνεια της Γης. Ένας δορυφόρος που τοποθετείται σε αυτή την τροχιά κινείται από τη δύση προς την ανατολή. Είναι συγχρονισμένος δηλαδή με το ρυθμό και την κατεύθυνση περιστροφής της Γης. Πρακτικά παραμένει σταθερός ως προς τη Γη και βλέπει συνεχώς την ίδια περιοχή της. Η κλίση ως προς τον ισημερινό μπορεί να κυμαίνεται από 0 έως 90ο. 22

29 Οι περισσότεροι δορυφόροι επικοινωνιών τοποθετούνται σε αυτή την τροχιά, καθώς με τρείς μόνο δορυφόρους, με διαφορά 120ο μεταξύ τους, μπορεί να καλυφθεί όλη η επιφάνεια της Γης. Για την επικοινωνία με δορυφόρους σε τροχιά GEO απαιτείται η χρήση κατευθυντικών κεραιών, κάτι που δε θεωρείται απαραίτητα μειονέκτημα αφού έτσι κι αλλιώς χρησιμοποιούνται από τους σταθμούς βάσης για διάφορους σκοπούς. Ένας δορυφόρος σε αυτή τη τροχιά εξασφαλίζει συνεχή κάλυψη ως αναμεταδότης σε πραγματικό χρόνο για την περιοχή ορατότητάς του, καλύπτοντας περίπου το 43% της επιφάνειας της γης [20] Γεωστατική τροχιά Η γεωστατική τροχιά (Geostationary Earth Orbit) είναι ειδική περίπτωση της γεωσύγχρονης. Είναι απόλυτα κυκλική με την ίδια σταθερή απόσταση από τη Γη και την ίδια περίοδο περιστροφής. Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της, που τη διαφοροποιεί από τη γεωσύγχρονη, είναι η μηδενική κλίση της ως προς τον ισημερινό της Γης. Πλεονέκτημα αυτής της τροχιάς είναι η ευκολία στην επικοινωνία του δορυφόρου με το σταθμό βάσης καθώς είναι σε συνεχή οπτική επαφή. Μειονέκτημα αποτελεί η αναγκαιότητα για χρήση περισσότερων καυσίμων όχι μόνο για να φτάσει ο δορυφόρος στην τροχιά αλλά και για να τη διατηρήσει. Επίσης, επειδή ο αριθμός των δορυφόρων σε αυτή την τροχιά έχει αυξηθεί τα τελευταία χρόνια, είναι δύσκολη η τοποθέτηση του δορυφόρου χωρίς να υπάρχει παρεμβολή στις ραδιοσυχνότητες από γειτονικούς δορυφόρους [14] Μέση γήινη τροχιά (MEO) Η μέση γήινη τροχιά (Medium Earth Orbit-MEO) είναι αυτή που βρίσκεται ανάμεσα στην γεωσύγχρονη και στην τροχιά χαμηλής γήινης απόστασης (LEO). Μπορεί να είναι είτε κυκλική είτε ελλειπτική. Η απόσταση από την επιφάνεια της Γης κυμαίνεται συνήθως από 2000 km έως km. Μέσα σε αυτή την περιοχή βρίσκονται ζώνες ακτινοβολίας οι οποίες πρέπει να αποφεύγονται ώστε να μην επηρεάζονται τα υποσυστήματα του δορυφόρου. Σε τροχιά MEO βρίσκονται όλοι οι δορυφόροι του παγκόσμιου συστήματος εντοπισμού θέσης (GPS). Οι δορυφόροι αυτής της περιοχής ολοκληρώνουν μια πλήρη περιστροφή σε διάστημα 2 έως 24 ωρών [14] Χαμηλή γήινη τροχιά (LEO) Η χαμηλή γήινη τροχιά (Low Earth Orbit), πρόκειται για μια τροχιά της οποίας η απόσταση από την επιφάνεια της Γης κυμαίνεται από 160 έως 2000 χιλιόμετρα. Η πλειοψηφία των τεχνητών 23

30 δορυφόρων βρίσκεται σε αυτή τη τροχιά. Είναι περίπου κυκλική. Οι δορυφόροι που τοποθετούνται στη συγκεκριμένη τροχιά είναι συνήθως μικρότερου μεγέθους και απλούστερης κατασκευής από αυτούς που τοποθετούνται σε μεγαλύτερες αποστάσεις ενώ η επικοινωνία με αυτούς γίνεται με πολύ μικρές καθυστερήσεις. Το κόστος εκτόξευσης δορυφόρου σε τροχιά LEO είναι πολύ μικρότερο συγκριτικά με την τοποθέτηση μεγάλων δορυφόρων σε τροχιές MEO ή GEO. Εκτός από τα πλεονεκτήματα τοποθέτησης του δορυφόρου σε τροχιά LEO υπάρχουν και μειονεκτήματα τα οποία πρέπει να ληφθούν υπόψη. Λόγω της μικρής απόστασης από τη Γη οι συγκεκριμένοι δορυφόροι δεν είναι κατάλληλοι για επικοινωνιακές ζεύξεις καθώς το κομμάτι της επιφάνειας της Γης που καλύπτουν είναι πολύ μικρό σε σχέση με δορυφόρους που είναι τοποθετημένοι σε τροχιά GEO. Για την ίδια κάλυψη απαιτούνται δεκάδες δορυφόροι οι οποίοι πρέπει να έχουν στραμμένες τις κεραίες τους σε συγκεκριμένα σημεία, διαδικασία η οποία είναι ενεργοβόρος και συνεπώς δαπανηρή. Ένα άλλο πρόβλημα για τους δορυφόρους της συγκεκριμένης τροχιάς είναι η ατμοσφαιρική τριβή. Η ατμόσφαιρα της Γης μειώνεται σταδιακά και μετά από κάποια απόσταση θεωρούμε ότι βρισκόμαστε πρακτικά σε συνθήκες κενού. Εάν ο δορυφόρος βρίσκεται σε μικρή απόσταση από τη Γη, κάτω από 500 χιλιόμετρα περίπου, τότε λόγω της μεγάλης ταχύτητας που θα έχει αναπτύξει και λόγω της παρουσίας αερίων της θερμόσφαιρας δημιουργείται τριβή η οποία καταπονεί τον δορυφόρο. Επίσης σε τροχιά μικρής απόστασης υπάρχει μεγαλύτερος κίνδυνος σύγκρουσης με διάφορα αντικείμενα τα οποία θα επηρεάσουν τη λειτουργία του δορυφόρου. Παράδειγμα τεχνητού δορυφόρου που βρίσκεται σε τροχιά LEO είναι ο ιεθνής ιαστημικός Σταθμός, ο οποίος βρίσκεται σε κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη. Η απόσταση από τη Γη αλλάζει κατά καιρούς και κυμαίνεται από 278 έως 460 χιλιόμετρα. Η περίοδος τροχιάς του είναι 91 λεπτά περίπου. Λόγω της ατμοσφαιρικής τριβής η απόσταση του ISS μειώνεται συνεχώς από τη Γη και για αυτό το λόγο πρέπει κατά διαστήματα να ενεργοποιούνται προωθητές οι οποίοι τον επανατοποθετούν στη σωστή τροχιά. Ο δορυφόρος UPSat θα τοποθετηθεί σε τροχιά LEO της οποίας η απόσταση δεν έχει καθοριστεί ακόμα και θα εξαρτηθεί κυρίως από την αποστολή στην οποία θα ενταχθεί. Οι συνήθεις τροχιές για δορυφόρους τύπου Cubesat κυμαίνονται από 300 έως και 700 χιλιόμετρα από την επιφάνεια της Γης ενώ η κλίση ως προς τον ισημερινό με τη οποία τοποθετούνται παίρνει τιμές από 0 έως και 90 μοίρες και εξαρτάται από την περιοχή την οποία επιθυμούμε να καλύψουμε. 24

31 Σχήμα 1.8: Βασικές κυκλικές τροχιές γύρω από τη Γη [21] 25

32 26

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΘΕΣΗΣ 2.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται μια γενική περιγραφή του συστήματος ελέγχου θέσης. Παρατίθενται τα βασικότερα στοιχεία από τα οποία αποτελείται το σύστημα και αναλύονται κυρίως οι μέθοδοι σταθεροποίησης του δορυφόρου, καθώς και οι λόγοι που οδήγησαν στην επιλογή συγκεκριμένων ενεργοποιητών για τον UPSat. 2.2 Περιγραφή του συστήματος προσδιορισμού και ελέγχου θέσης Το σύστημα προσδιορισμού και ελέγχου θέσης κατέχει θεμελιώδη ρόλο στην λειτουργία ενός δορυφόρου, αφού αποτελεί ένα αναγκαίο κομμάτι τόσο για την επιβίωσή του όσο και για την ικανοποιητική επίτευξη της αποστολής του. Κάθε δορυφόρος κατά τη διάρκεια παραμονής του σε τροχιά, είναι σίγουρο ότι θα αναγκασθεί να στρέψει τον εαυτό του προς κάποιο σημείο αναφοράς. Για παράδειγμα, ο UPSat, προκειμένου να τροφοδοτηθεί με ενέργεια, θα πρέπει να μετατοπιστεί έτσι ώστε τα φωτοβολταϊκά του κύτταρα να στραφούν προς τον Ήλιο και μάλιστα με τέτοιο τρόπο ώστε να έχουμε την βέλτιστη απόδοση. Ακόμη ένα παράδειγμα από το οποίο φαίνεται η σημασία του συστήματος αυτού, είναι το γεγονός ότι ένας δορυφόρος ο οποίος φέρει φορτίο μια κάμερα, έχοντας σαν αποστολή την φωτογράφιση ενός μέρους της Γης, θα πρέπει να στραφεί με ακρίβεια προς το σημείο φωτογράφισης. Το σύστημα χωρίζεται σε δύο επιμέρους υποσυστήματα: το σύστημα ελέγχου θέσης (Attitude Control) και το σύστημα προσδιορισμού θέσης (Attitude Determination). 27

34 Η μεταστροφή του δορυφόρου και η διατήρηση της συγκεκριμένης θέσης μέσα στα επιτρεπτά όρια, είναι το βασικό καθήκον του συστήματος ελέγχου. Να υπενθυμίσουμε ότι ως θέση εννοούμε τον προσανατολισμό του καθορισμένου συστήματος συντεταγμένων του δορυφόρου σε σχέση με ενα καθορισμένο εξωτερικό σύστημα συντεταγμένων. Έτσι, μέσω του συστήματος ελέγχου, κάθε χρονική στιγμή ελέγχεται εάν ο δορυφόρος έχει την επιθυμητή θέση, η οποία έχει δοθεί από τον χειριστή. Εάν διαπιστωθεί απόκλιση μεταξύ επιθυμητής και τρέχουσας θέσης, το σύστημα ελέγχου χρησιμοποιώντας κάποια μέθοδο σταθεροποίησης και με τη βοήθεια των ενεργοποιητών του μεταβάλλει τη θέση του έτσι ώστε η απόκλιση να τείνει προς το μηδέν, προσεγγίζοντας την επιθυμητή θέση. Ένα αρκετά απλοποιημένο τέτοιο σύστημα ελέγχου, φαίνεται στο σχήμα 2.1. Η μελέτη και η κατασκευή του ελέγχου θέσης του UPSat, έγινε στα πλαίσια διπλωματικής εργασίας στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών [22]. Σχήμα 2.1: Απλοποιημένο σύστημα ελέγχου θέσης [23] Για να είναι εφικτός ο έλεγχος θέσης, είναι απαραίτητο να γνωρίζει το σύστημα ελέγχου την εκάστοτε θέση του δορυφόρου σε πραγματικό χρόνο. Με την εργασία αυτή είναι επιφορτισμένο το σύστημα προσδιορισμού θέσης. Ο δορυφόρος προσδιορίζει τη θέση του χρησιμοποιώντας μετρήσεις, τις οποίες εξάγει με την βοήθεια των αισθητήρων του. Ο υπολογισμός θέσης ολοκληρώνεται με τη χρησιμοποίηση μιας σειράς αλγορίθμων οι οποίοι επεξεργάζονται τα δεδομένα των αισθητήρων. Με το σύστημα προσδιορσιμού θέσης δε θα ασχοληθούμε εκτενέστερα στην παρούσα εργασία, εξαιρώντας μόνο μια μικρή ανάλυση για είδη αισθητήρων, που έχουν χρησιμοποιηθεί για δορυφόρους τύπου Cubesat. 28

35 2.3 Ορισμοί και παράμετροι Για να γίνει πιο κατανοητός ο έλεγχος θέσης, παρουσιάζονται παρακάτω μερικοί ορισμοί του ελέγχου αναφοράς και οι βασικές παράμετροι που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή περιστροφικών κινήσεων, όπως οι περιστροφικές γωνίες Έλεγχος αναφοράς Η μεταβολή θέσης γίνεται, όπως είδαμε, για να στραφεί ο δορυφόρος προς κάποιο σημείο αναφοράς. Στο παρακάτω σχήμα (Σχήμα 2.2) διακρίνονται τα βασικά διανύσματα και κάποιοι παράμετροι με την βοήθεια των οποίων επιτυγχάνεται ο έλεγχος θέσης ως προς κάποιο σημείο αναφοράς. Σχήμα 2.2: Παράμετροι ελέγχου αναφοράς [23] Η επιθυμητή θέση του δορυφόρου αντιπροσωπεύεται από ένα επιθυμητό διάνυσμα. Η εκτίμηση θέσης, την οποία μας δίνει το σύστημα προσδιορισμού θέσης, αντιστοιχεί σε ένα δεύτερο διάνυσμα, αυτό της εκτίμησης θέσης. Αντιθέτως, η πραγματική θέση δίνεται από ένα τρίτο διάνυσμα, το διάνυσμα πραγματικής θέσης. Ως περιεχόμενο των διανυσμάτων επιλέγονται διάφορες μεταβλητές του συστήματος, όπως θα δούμε και στο επόμενο κεφάλαιο. Η διαφορά μεταξύ του επιθυμητού διανύσματος και του διανύσματος πραγματικής θέσης, 29

36 ονομάζεται ακρίβεια αναφοράς (a). Η διαφορά μεταξύ του διανύσματος πραγματικής θέσης και του διανύσματος εκτίμησης θέσης, αποτελεί το σφάλμα γνώσης (k). Ακόμη, η διαφορά μεταξύ του διανύσματος εκτίμησης θέσης και του επιθυμητού διανύσματος, αποτελεί το σφάλμα ελέγχου (c). Τέλος, στο σχήμα 2.2 διακρίνονται και τα όρια ευστάθειας του συστήματος, αφού το διάνυσμα πραγματικής θέσης θα πρέπει να βρίσκεται μέσα στο εύρος s [23] Περιστροφικές γωνίες Σχήμα 2.3: Οι γωνίες περιστροφής: μεταβολής (roll), πρόνευσης (pitch) και εκτροπής (yaw) Στην επιστήμη της αεροδυναμικής η μεταβολή της κίνησης ενός στερεού σώματος, όπως ο δορυφόρος, αναλύεται ως μία μεταφορική και τρείς διαδοχικές περιστροφές στις τρείς διαστάσεις. Αυτό επιτυγχάνεται με τη βοήθεια τριών παραμέτρων, συγκεκριμένα τριών γωνιών περιστροφής. Οι γωνίες αυτές, όπως φαίνεται και στο σχήμα 2.3 είναι η γωνία μεταβολής (roll), η γωνία πρόνευσης (pitch) και η γωνία εκτροπής (yaw). Αν και η δυναμική του δορυφόρου αναλύεται στο επόμενο κεφάλαιο, γίνεται μια αναφορά στις βασικές αυτές γωνίες. Αρχικά ορίζεται ένα σύστημα συντεταγμένων για τον δορυφόρο (x ι, yι, zι ) συνήθως με κέντρο, 30

37 το κέντρο μάζας του δορυφόρου. Η γωνία μεταβολής είναι η γωνία περιστροφής του άξονα x ι, η γωνία πρόνευσης αντιστοιχεί στην περιστροφική γωνία ως προς τον άξονα y ι και τέλος η γωνία εκτροπής είναι η γωνία περιστροφής ως προς τον άξονα zι. 2.4 Αισθητήρες Για να επιτευχθεί έλεγχος ως προς τρείς άξονες είναι απαραίτητος ο προσδιορισμός της θέσης του δορυφόρου ως προς τρείς άξονες επίσης. Ο προσδιορισμός αυτός γίνεται με την βοήθεια των αισθητήρων, οι οποίοι ανάλογα με το είδος τους προσπαθούν να καθορίσουν τη θέση του δορυφόρου κάθε χρονική στιγμή. Συχνά, για να επιτευχθεί αυτό απαιτείται γνώση της αρχικής θέσης. Οι αισθητήρες δίνουν την θέση του δορυφόρου σε μορφή διανύσματος. Στις περισσότερες των περιπτώσεων, με μία μόνο μέτρηση η περιστροφή του περιστρεφόμενου διανύσματος παραμένει άγνωστη. Είναι απαραίτητο λοιπόν είτε να γίνουν δύο διαφορετικές μετρήσεις διανυσμάτων είτε να χρησιμοποιηθούν παρελθοντικές μετρήσεις. Ο πιο κοινός τρόπος να ενσωματωθεί στους υπολογισμούς το ιστορικό των μετρήσεων είναι η χρησιμοποίηση ενός φίλτρου Κάλμαν. Η διάκρισή των αισθητήρων μπορεί να γίνει σε αισθητήρες αναφοράς και αδρανειακούς αισθητήρες. Οι μεν πρώτοι καταγράφουν τη θέση του δορυφόρου σε σχέση με ένα γνωστό σημείο αναφοράς, ενώ οι δεύτεροι προσδιορίζουν τη θέση μετρώντας περιστροφικές ή μεταφορικές κινήσεις. Μερικές περιπτώσεις αισθητήρων που έχουν χρησιμοποιηθεί σε αποστολές δορυφόρων Cubesat είναι οι εξής: Αισθητήρες ορίζοντα Ηλιακοί αισθητήρες Ανιχνευτής αστερισμών Μαγνητόμετρα GPS Επιταχυνσιόμετρα Γυροσκόπιο Ο αισθητήρας ορίζοντα είναι ένα οπτικό όργανο το οποίο ανιχνεύει το υπέρυθρο φως της γήινης ατμόσφαιρας, το οποίο ξεχωρίζει σε σχέση με το ψυχρό διαστημικό περιβάλλον του 31

38 δορυφόρου. Αυτό το επιτυγχάνει χρησιμοποιώντας μια υπέρυθρη δίοδο και ένα φακό. Υπάρχουν δύο ειδών τέτοιου τύπου αισθητήρες, οι σαρωτές και οι διασταυρούμενων δεικτών. Αισθητήρες ορίζοντα τύπου σαρωτή που παρέχουν μεγάλη ακρίβεια στην μέτρηση, είναι σχετικά ακριβοί και μεγάλοι σε μέγεθος [24]. Γενικά, ο προσδιορισμός γίνεται μόνο ως προς δύο άξονες, για αυτό και επιβάλλεται η επιπλέον χρήση και άλλου τύπου αισθητήρων. Ο ηλιακός αισθητήρας είναι μια συσκευή η οποία δημιουργεί για τον υπολογισμό της θέσης ένα διάνυσμα με κατεύθυνση προς τον Ήλιο. Ένας τέτοιος αισθητήρας θα μπορούσε απλοϊκά να παρομοιαστεί με μια φωτοδίοδο, η οποία ανιχνεύει από που προέρχεται το περισσότερο φως, στη περίπτωσή μας το ηλιακό φως. Εξελιγμένα μοντέλα τέτοιων αισθητήρων, που προσφέρουν πολύ καλή ακρίβεια, είναι μεγάλα και βαριά [24]. Έτσι, πολλές φορές χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό του διανύσματος θέσης, μετρήσεις των ρευμάτων από τα ηλιακά πάνελ που είναι εγκατεστημένα στις πλευρές του δορυφόρου. Παρόλα αυτά είναι μια αξιόπιστη, απλή και φθηνή λύση με κύριο μειονέκτημα ότι δεν είναι πάντα ορατός ο Ήλιος από τον δορυφόρο. Για τον προσδιορισμό της θέσης του δορυφόρου χρησιμοποιείται συχνά και ο ανιχνευτής αστερισμών. Πρόκειται για μια κάμερα η οποία φωτογραφίζει θέσεις αστερισμών, για να ταυτοποιηθούν αργότερα μέσα από την σύγκρισή τους με ήδη υπάρχοντα στη μνήμη του κεντρικού υπολογιστή, πρότυπα αστερισμών. Η αναγνώριση τουλάχιστον δύο αστερισμών επαρκεί για να υπολογιστεί η θέση του οχήματος. Οι ανιχνευτές αστεριών, που απαιτούν υψηλή ευαισθησία, μπορεί να έχουν συγκεχυμένη λειτουργία λόγω του ηλιακού φωτός που αντανακλάται από το διαστημόπλοιο. Αν και προσφέρουν τον πιο ακριβή προσδιορισμό θέσης (0.001 deg) [23], αυξάνουν σημαντικά τον όγκο, το κόστος και την υπολογιστική πολυπλοκότητα. Το μαγνητόμετρο είναι μια συσκευή που ανιχνεύει το μαγνητικό πεδίο της Γης. Αποτελείται από τρείς ορθογώνια τοποθετημένα μεταξύ τους αισθητήρες, των οποίων οι μετρήσεις σε ένταση και κατεύθυνση του πεδίου συγκρίνονται με ένα πρότυπο γεωμαγνητικό χάρτη. Από την σύγκριση αυτή, εξάγεται ένα διάνυσμα θέσης. Το πιο διαδεδομένο μοντέλο γεωμαγνητικού χάρτη είναι το IGRF (International Geomagnetic Reference Field). Οι αισθητήρες αυτοί, μπορούν να χρησιμοποιηθούν μόνο σε τροχιές που βρίσκονται κοντά στην επιφάνεια της Γης, όπου το γεωμαγνητικό πεδίο είναι ισχυρό και καλά μοντελοποιημένο [24]. Είναι οικονομικοί αλλά δεν παρέχουν μεγάλη ακρίβεια (1 deg) [23]. Το δίκτυο δορυφόρων GPS μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό θέσης. Οι δορυφόροι του συστήματος ταξιδεύουν στη μέση γήινη τροχιά ενώ οι δορυφόροι Cubesat στη χαμηλή τροχιά. Η υψομετρική αυτή διαφορά επιτρέπει σε ένα GPS δέκτη να υπολογίσει τη θέση του. Τέσσερις 32

39 δορυφόροι του GPS είναι αρκετοί για το σκοπό αυτό. Προσφέρει μεγάλη ακρίβεια αλλά είναι δύσκολη η υλοποίηση για την περίπτωση των pico-δορυφόρων. Περιπτώσεις αδρανειακών αισθητήρων είναι τα επιταχυνσιόμετρα και το γυροσκόπιο. Το γυροσκόπιο μετράει την γωνιακή επιτάχυνση, η οποία εάν ολοκληρωθεί δύο φορές μας δίνει εκτίμηση για την θέση. Ο ακριβής υπολογισμός δεν είναι δυνατός, εξαιτίας ολισθήσεων στο γυροσκόπιο. Τα επιταχυνσιόμετρα με τη σειρά τους υπολογίζουν τις μεταφορικές επιταχύνσεις. Ο υπολογισμός θέσης γίνεται με τη βοήθεια του κεντρικού υπολογιστή πτήσης, κάτι το οποίο αυξάνει την υπολογιστική πολυπλοκότητα. 2.5 Μέθοδοι σταθεροποίησης Πρωταρχικός σκοπός του συστήματος ελέγχου θέσης είναι η σταθεροποίησή του δορυφόρου κατά τις πρώτες φάσεις λειτουργίας του στο διάστημα. Μόλις ο δορυφόρος αφεθεί από τον P-POD μηχανισμό, κινείται με διαρκείς περιστροφές και μεγάλες γωνιακές ταχύτητες. Για την ανάσχεση των περιστροφών αυτών είναι απαραίτητη η εφαρμογή ελέγχου μέσω μιας μεθόδου σταθεροποίησης. Η ίδια αυτή μέθοδος είναι ο βασικός παράγοντας στην διεκπεραίωση του αυτομάτου ελέγχου θέσης. Για την σταθεροποίηση της θέσης και τον έλεγχό της, υπάρχουν αρκετές τεχνικές. Οι τεχνικές αυτές διακρίνονται σε παθητικές και ενεργητικές Παθητικές μέθοδοι σταθεροποίησης Οι τεχνικές παθητικού ελέγχου εκμεταλλεύονται βασικές αρχές της φυσικής και δυνάμεις που επιδρούν στο δορυφόρο από το περιβάλλον του. Η εκμετάλλευση επιτυγχάνεται με τον σχεδιασμό του δορυφόρου έτσι ώστε να ενισχύεται η επίδραση μιας επιλεγμένης δύναμης ενώ μειώνεται η επίδραση όλων των υπολοίπων δυνάμεων. Χαρακτηριστικό των μεθόδων αυτών, οι οποίες ενδείκνυνται για μικρούς δορυφόρους, είναι ότι δεν απαιτούν ενεργειακή κατανάλωση. Ακόμη, δεν είναι αναγκαία η διαχείριση και οι υπολογισμοί δεδομένων, οπότε και ο προσδιορισμός ελέγχου είναι προαιρετικός. Δεν προσφέρουν μεγάλη ακρίβεια αναφοράς και ευστάθειας, για αυτό το λόγο χρησιμοποιούνται συνήθως σε αποστολές με χαμηλές απαιτήσεις σε αυτά τα χαρακτηριστικά. Παρόλα αυτά είναι απλές στην εφαρμογή τους και αρκετά οικονομικές. Τέλος, κοινό και βασικό χαρακτηριστικό των παθητικών μεθόδων είναι ότι η σταθεροποίηση γίνεται ως προς δύο άξονες [8]. Διάφορες παθητικές μέθοδοι είναι: 33

40 H εκμετάλλευση της κλίσης του βαρυτικού πεδίου της Γης (gravity gradient) H εκμετάλλευση του σπιν του δορυφόρου (spin stabilization) Oι παθητικοί μαγνήτες (passive magnets) Τα ηλιακά πανιά (solar sails) Η αεροδυναμική σταθεροποίηση (aerodynamic stabilization) H πρώτη από τις προαναφερθείσες μεθόδους χρησιμοποιεί την βαρυτική δύναμη της Γης για να σταθεροποιήσει τον δορυφόρο. Η λειτουργία της στηρίζεται στην κατανομή μάζας του δορυφόρου και συγκεκριμένα στο κέντρο βαρύτητας αυτού. Ο δορυφόρος, ο οποίος υπόκειται στο βαρυτικό πεδίο της Γης, υφίσταται μια ροπή που τείνει να ευθυγραμμίσει τον άξονά του με την ελάχιστη αδράνεια, με την κατεύθυνση του πεδίου. Η σταθεροποίηση, όπως προαναφέραμε, επιτυγχάνεται ως προς δύο άξονες και συγκεκριμένα ως προς τις γωνίες μεταβολής και πρόνευσης και όχι ως προς την γωνία εκτροπής. Το αν η μέθοδος αυτή θα έχει επίδραση στη σταθεροποίηση ή όχι, εξαρτάται από την θέση του κέντρου βαρύτητας. Για τον λόγο αυτό, τοποθετείται στο δορυφόρο μια επιπλέον μάζα, στη μορφή μιας ράβδου για παράδειγμα, η οποία μετατοπίζει το κέντρο βαρύτητας ούτως ώστε η δύναμη του βαρυτικού πεδίου να μπορεί να εκμεταλλευτεί ως παράγοντας σταθεροποίησης. Δημιουργείται όμως με αυτό το τρόπο πρόβλημα όσο αφορά την ανάπτυξη ενός τέτοιου μηχανισμού, λαμβάνοντας υπόψη τους περιορισμούς σε διαστασιολόγηση. Η ακρίβεια που παρέχει η μέθοδος αυτή είναι περίπου 1-5 deg [24]. Η εκμετάλλευση της ιδιοπεριστροφής του δορυφόρου μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν ο δορυφόρος περιστρέφεται ως προς τον άξονα με τη μεγαλύτερη ορμή αδράνειας. Με αυτό τον τρόπο, το γυροσκοπικό φαινόμενο θα μειώσει τις αυξομειώσεις των περιστροφών ως προς τους άλλους δύο άξονες. Η μέθοδος αυτή εξαρτάται από την κατανομή της αδρανειακής ορμής. Είναι πιο εφικτή η σταθεροποίηση όταν η ροπή του σπιν εφαρμόζεται σε έναν άξονα, χωρίς να επηρεάζει τους άλλους δύο. Έτσι, κατά τον σχεδιασμό ορίζεται ο ένας άξονας ως άξονας ιδιοπεριστροφής και η μάζα κατανέμεται στους άλλους δύο. Όσο αφορά την ακρίβεια αναφοράς, αυτή κυμαίνεται μεταξύ 0.1 και 1 deg [24]. Οι παθητικοί μαγνήτες σταθεροποιούν τον δορυφόρο με τη βοήθεια του μαγνητικού πεδίου της Γης. Ένα σετ μόνιμων μαγνητών ευθυγραμμίζουν τον δορυφόρο με το γεωμαγνητικό πεδίο και τον αναγκάζουν σε τροχιά, ακολουθώντας τις μαγνητικές γραμμές του πεδίου αυτού. Σε τροχιές με χαμηλή κλίση οι μαγνήτες τείνουν να στραφούν προς τον μαγνητικό βορρά της Γης, όπως ακριβώς κάνει η βελόνα μιας πυξίδας. Η τεχνική των παθητικών μαγνητών έχει ως βασικό μειονέκτημα, το γεγονός ότι 34

41 το μαγνητικό πεδίο των μαγνητών του δορυφόρου είναι αρκετά ισχυρό ώστε να επηρεάσει και να αδρανοποιήσει τυχόν μαγνητόμετρα που χρησιμοποιούνται ως αισθητήρες για τον προσδιορισμό της θέσης. Τα ηλιακά πανιά είναι μια μέθοδος η οποία χρησιμοποιεί την πίεση της ακτινοβολίας μιας πηγής φωτός, συνήθως του Ήλιου, για την προώθηση του δορυφόρου. Η λειτουργία της τεχνικής αυτής στηρίζεται στο ότι ειδικοί, πολύ λεπτοί καθρέφτες χρησιμοποιούν την ανάκλαση του φωτός για ώθηση. Η μέθοδος αυτή δεν έχει ικανοποιητικά αποτελέσματα για χαμηλές γήινες τροχιές κάτω από 800 km, ενώ και για τροχιές με μεγαλύτερο ύψος από αυτό, τα αποτελέσματα που μας δίνει είναι πολύ μικρές επιταχύνσεις που θέλουν μήνες για να μας δώσουν χρήσιμες ταχύτητες [25]. Επίσης, η ανάπτυξη των πανιών στο διάστημα είναι βασικό πρόβλημα για την περίπτωση ενός Cubesat. Η ατμοσφαιρική πυκνότητα μειώνεται εκθετικά όσο αυξάνεται η απόσταση από την επιφάνεια της Γης. Για χαμηλές γήινες τροχιές, γύρω στα 500 km, η ατμόσφαιρα είναι επαρκώς ικανή για να κινήσει έναν δορυφόρο. Η αεροδυναμική μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παροχή σταθεροποίησης, ευθυγραμμίζοντας τον δορυφόρο με το διάνυσμα της ταχύτητάς του. Η σταθεροποίηση γίνεται ως προς τις γωνίες πρόνευσης και εκτροπής, ενώ είναι αδύνατος ο έλεγχος ως προς τη γωνία μεταβολής [26] Ενεργητικές μέθοδοι σταθεροποίησης Οι ενεργητικές μέθοδοι σταθεροποίησης, σε αντίθεση με τις παθητικές, περιλαμβάνουν και την επενέργεια αυτομάτου ελέγχου με ανάδραση, για την σταθεροποίηση του δορυφόρου. Μέσω των αισθητήρων του δορυφόρου προσδιορίζεται η θέση του και εφαρμόζεται, εάν χρειάζεται, μια ροπή ελέγχου για να την αλλάξει, με σκοπό την απόκτηση της επιθυμητής θέσης. Η ροπή ελέγχου εφαρμόζεται από τους ενεργοποιητές. Κάποιες από τις τεχνικές αυτές είναι κατάλληλες για την εφαρμογή τους σε δορυφόρο Cubesat, αφού πληρούν τις κατασκευαστικές προϋποθέσεις. Η σταθεροποίηση του δορυφόρου μπορεί να γίνει και ως προς τους τρείς άξονες. Αυτό επιτυγχάνεται με τρείς ανεξάρτητους ενεργοποιητές, καθένας εκ των οποίων επιδρά σε ένα από τους άξονες του δορυφόρου. Τέτοιες μέθοδοι είναι οι εξής: Έλεγχος θέσης με τροχούς αντίδρασης ως ενεργοποιητές Έλεγχος θέσης με προωθητές ως ενεργοποιητές Μαγνητικός έλεγχος θέσης Η λειτουργία των τροχών αντίδρασης βασίζεται στην περιστροφική εκδοχή του τρίτου νόμου 35

42 Σχήμα 2.4: Τροχός αντίδρασης ως ενεργοποιητής για τον έλεγχο θέσης δορυφόρου Cubesat [27] του Νεύτωνα (δράση- αντίδραση). Στο εσωτερικό του δορυφόρου, όπως φαίνεται και στο σχήμα 2.4, τοποθετείται ένας τροχός. Όταν ο τροχός περιστρέφεται προς τη μία κατεύθυνση, ο δορυφόρος περιστρέφεται με την ίδια ορμή αλλά προς την ανάποδη κατεύθυνση. Ο δορυφόρος δηλαδή αντιδρά, εξού και η ονομασία των τροχών ως τροχοί αντίδρασης. Την ίδια φυσική αρχή χρησιμοποιούν και οι γάτες για να περιστραφούν στον αέρα. Η περιστροφή του τροχού γίνεται, τις περισσότερες φορές, με τη βοήθεια ενός ηλεκτρικού κινητήρα. Κατά αυτό τον τρόπο η περιστροφή του τροχού εξαρτάται από τις στροφές του κινητήρα. Η ροπή που παράγεται με τη σειρά της, εξαρτάται από την περιστροφή του τροχού αντίδρασης, κάνοντας έτσι εφικτό τον έλεγχο θέσης. Για σταθεροποίηση ως προς τρείς άξονες είναι αναγκαίοι τρείς τροχοί, ένας για κάθε άξονα. Η μέθοδος αυτή προσφέρει έναν γρήγορο έλεγχο με αρκετά ικανοποιητική ακρίβεια, αλλά η εφαρμογή της είναι ακριβή από οικονομικής απόψεως. Συχνά απαιτείται και η χρησιμοποίηση πηνίων ή προωθητών επιπρόσθετα, για τον περιορισμό της ορμής. Πολύ συχνή μέθοδος σταθεροποίησης, για μεγάλους δορυφόρους όμως, είναι η χρησιμοποίηση προωθητών ως ενεργοποιητές. Η αρχή λειτουργίας της μεθόδου στηρίζεται και αυτή στο νόμο του Νεύτωνα περί δράσης και αντίδρασης. Η ώση του δορυφόρου επιτυγχάνεται με την εκτίναξη αερίων 36

43 καυσίμων από ειδικά τοποθετημένα στον δορυφόρο ακροφύσια. Η εκτίναξη αυτή προς μια κατεύθυνση, αναγκάζει τον δορυφόρο να κινηθεί προς την ακριβώς αντίθετη. Ως καύσιμα χρησιμοποιούνται αναλώσιμα, όπως κρύο αέριο (φρέον, Ν2) ή υδροζίνη (Ν2Η4). Ο έλεγχος που μπορεί να λειτουργήσει είναι ο On-Off, ενώ αντιθέτως ο αναλογικός έλεγχος συνήθως δεν είναι εφικτός. Πρόκειται για μια τεχνική που προσφέρει γρήγορο και ικανό έλεγχο, με το κόστος βέβαια της αναγκαιότητας των καυσίμων. Επίσης, είναι αρκετά πολύπλοκη και οικονομικά δαπανηρή μέθοδος. Ο μαγνητικός έλεγχος θέσης πραγματοποιείται με την χρησιμοποίηση πηνίων, διαρρεόμενων από ρεύμα, ως ενεργοποιητές. Τα πηνία αυτά δημιουργούν μαγνητικό πεδίο στον δορυφόρο, το οποίο αλληλεπιδρά με αυτό της Γης και οι παραγόμενες μαγνητικές ροπές κάνουν τον δορυφόρο να κινηθεί ως προς κάποιο άξονα. Η ροπή που δημιουργείται είναι μέγιστη όταν το πηνίο και το γεωμαγνητικό πεδίο είναι παράλληλα ενώ στη περίπτωση που πηνίο και πεδίο είναι κάθετα μεταξύ τους, η ροπή δεν έχει καμία επίδραση. Ο έλεγχος μπορεί είναι ως προς τρείς άξονες, για αυτό και χρησιμοποιείται ένα σετ τριών ορθογώνιων μεταξύ τους πηνίων. Στο σχήμα 2.5 διακρίνεται η τοποθέτηση δύο τέτοιων πηνίων στις πλευρές του δορυφόρου. Σχήμα 2.5: Πηνία τοποθετημένα στις πλευρές δορυφόρου Cubesat για μαγνητικό έλεγχο θέσης [28] Η συγκεκριμένη μέθοδος χρησιμοποιείται συχνά για δορυφόρους σε χαμηλές ως προς τη Γη τροχιές. Αυτό ισχύει γιατί λόγω της απότομης μείωσης της έντασης του γεωμαγνητικού πεδίου όσο αυξάνουμε το ύψος, δηλαδή την απόσταση του δορυφόρου από την επιφάνεια της Γης, οι μηχανικές ροπές που δημιουργούνται από τα πηνία είναι μικρές σε μέγεθος. Οπότε, τα πηνία ως ενεργοποιητές δεν είναι κατάλληλα για μεγάλους δορυφόρους ή για δορυφόρους που λειτουργούν σε υψηλές γήινες 37

44 τροχιές [29]. Από την άλλη μεριά, εξαιτίας του μικρού κόστους, μικρού βάρους, και των μικρών σχετικά αναγκών τους σε ενεργειακή κατανάλωση, τα πηνία αποτελούν μια πολύ καλή λύση για μικρούς δορυφόρους που λειτουργούν σε χαμηλές γήινες τροχιές. Ο σχεδιασμός για την εφαρμογή της μεθόδου είναι σχετικά απλός. Είναι μια φθηνή μέθοδος με μικρή όμως ακρίβεια αναφοράς και με αργή απόκριση. Γενικά, τέτοια πηνία χρησιμοποιούνται όχι μόνο για έλεγχο θέσης, αλλά και για τον αποκορεσμό τροχών αντίδρασης σε περιπτώσεις που έχουν επιλεχθεί οι τροχοί ως μέθοδος σταθεροποίησης. Επίσης υπάρχει και η δυνατότητα να χρησιμοποιηθούν και ως αισθητήρες για την εξαγωγή της θέσης και την εξακρίβωση της τροχιακής τοποθεσίας [23]. Σε μια τέτοια περίπτωση, τα πηνία δεν μπορούν να λειτουργούν ως ενεργοποιητές και ως αισθητήρες την ίδια χρονική στιγμή Επιλογή μεθόδου σταθεροποίησης για τον δορυφόρο UPSat Η επιλογή της μεθόδου σταθεροποίησης του δορυφόρου γίνεται με βασικό κριτήριο τους περιορισμούς που έχουμε ως προς τον όγκο και την μάζα. Ως επακόλουθο των δυο αυτών κατασκευαστικών περιορισμών, στενεύουν και τα περιθώρια όσο αφορά την ενεργειακή κατανάλωση. Έχοντας υπόψη μας τα παραπάνω, εξετάζουμε τις διάφορες μεθόδους που αναφέρθηκαν. Αρχικά, οι παθητικές μέθοδοι φαίνονται αρκετά ελκυστικές. Πληρούν όλες τις προϋποθέσεις για μάζα και χώρο ενώ επιπροσθέτως δεν έχουν καθόλου ενεργειακές απαιτήσεις. Παρόλα αυτά, η σταθεροποίηση σε δυο άξονες που μας προσφέρουν, με όχι πολύ καλή ακρίβεια καθώς και η απουσία ελέγχου σε αυτές, μας οδηγεί στην μη επιλογή τους. Αναφέρθηκαν επίσης οι προωθητές, οι τροχοί αντίδρασης και τα πηνία ως προτάσεις για ενεργοποιητές ενεργητικών μεθόδων. Οι προωθητές είναι η πλέον ακατάλληλη επιλογή για εφαρμογή στον δορυφόρο UPSat. Αν και προσφέρουν γρήγορο έλεγχο, είναι δύσκολο να εφαρμοστούν κυρίως λόγω του οτι απαιτούν καύσιμα για να λειτουργήσουν, κάτι το οποίο προσθέτει βάρος και προσδίδει πολυπλοκότητα στην κατασκευή. Βασικός λόγος αποκλεισμού είναι επίσης και το μεγάλο κόστος. Η τυχόν εφαρμογή των τροχών αντίδρασης με τη σειρά της, προσφέρει μια γρήγορη και συνεχή ανάδραση. Στον αντίποδα, αυξάνει το κόστος και προσθέτει βάρος, αφού θα χρειαστούν τρεις τροχοί για τον έλεγχο. Δημιουργείται επίσης μεγάλο πρόβλημα και με την τοποθέτησή τους, αφού θα πρέπει οι τρείς τροχοί να τοποθετηθούν ορθογώνια μεταξύ τους, δεδομένου της έλλειψης χώρου στο εσωτερικό του δορυφόρου. Επίσης, όπως προαναφέρθηκε, στις περιπτώσεις που χρησιμοποιούνται οι τροχοί αυτοί, είναι αναγκαία η απόσβεση της ορμής, η οποία επιτυγχάνεται συνήθως με την 38

45 επιπρόσθετη χρησιμοποίηση κάποιας άλλης μεθόδου, όπως τα πηνία. Κατά κάποιο τρόπο δηλαδή, η χρησιμοποίηση των πηνίων είναι αναπόφευκτη. Η λύση των πηνίων είναι μια μέθοδος που χρησιμοποιείται συχνά για έλεγχο σε χαμηλές γήινες τροχιές, όπου και θα βρεθεί και ο δορυφόρος UPSat. Το χαμηλό κόστος, το μικρό βάρος και η μικρή ενέργεια που απαιτεί για την λειτουργία της, καθιστούν την μέθοδο άκρως ελκυστική. Επίσης, θετικό είναι ότι δεν υπάρχει μεγάλη δυσκολία στον σχεδιασμό και την εγκατάσταση των πηνίων. Από την άλλη μεριά όμως, η ακρίβεια αναφοράς που προσφέρει δεν είναι η καλύτερη δυνατή. Συγκεκριμένα, η απόκλιση σε ακρίβεια αναφοράς είναι 1-2 deg, την ίδια στιγμή που η μέθοδος των τροχών αντίδρασης έχει απόκλιση deg [24]. Παρόλα αυτά, ως μέθοδος σταθεροποίησης του δορυφόρου επιλέγεται η μέθοδος του μαγνητικού ελέγχου θέσης, αφού τα πλεονεκτήματα συγκριτικά με τα μειονέκτημα υπερτερούν. Παρακάτω παρουσιάζεται ένας πίνακας (πίνακας 1), στον οποίο συνοψίζονται τα βασικά χαρακτηριστικά των ενεργητικών μεθόδων, που αναλύθηκαν προηγουμένως. Ενεργητική μέθοδος σταθεροποίησης Ακρίβεια [23][24] Πλεονεκτήματα Μειονεκτήματα (deg) κόστος, μεγάλο βάρος, μεγάλη κατανάλωση, Τροχοί αντίδρασης γρήγορος έλεγχος απαιτεί επιπρόσθετο έλεγχο ορμής απαιτεί καύσιμα, Προωθητές 0.1 γρήγορος και ικανός κόστος, πολύπλοκη έλεγχος κατασκευή κατάλληλη για LEO, Πηνία 1-2 μικρό βάρος, μικρό αργός έλεγχος κόστος, χαμηλή κατανάλωση Πίνακας 1: Βασικά χαρακτηριστικά ενεργητικών μεθόδων σταθεροποίησης 39

46 2.6 Πηνία ως ενεργοποιητές του συστήματος ελέγχου Όπως είδαμε παραπάνω, ο μαγνητικός έλεγχος επιλέγεται ως μέθοδος σταθεροποίησης και τρία κάθετα μεταξύ τους οδηγούμενα από ρεύμα πηνία, ως ενεργοποιητές. Η αρχή λειτουργίας τους στηρίζεται στην θεωρία του ηλεκτρομαγνητισμού. Όταν ένας αγωγός διαρρέεται από ρεύμα, τότε γύρω από τον αγωγό δημιουργείται μαγνητικό πεδίο. Το μαγνητικό πεδίο, που δημιουργείται από τα τρία πηνία του δορυφόρου, προσπαθεί να αποκτήσει την ίδια διεύθυνση με το μαγνητικό πεδίο της Γης. Τείνει δηλαδή να ευθυγραμμίσει τους άξονές του με τους άξονες του γεωμαγνητικού πεδίου. Με αυτόν τον τρόπο δημιουργούνται ροπές ικανές να κινήσουν τον δορυφόρο. Η δυνάμεις που σχηματίζονται από το μαγνητικό πεδίο του δορυφόρου και δημιουργούν με τη σειρά τους τις ροπές, είναι δυνάμεις Lorentz και περιγράφονται από τη σχέση: F=L I B (2.1) όπου L το μήκος ενός αγωγού, Ι το ρεύμα που τον διαρρέει και B η ένταση του μαγνητικού πεδίου που δημιουργείται. Εάν m η μαγνητική ροπή, τότε οι μηχανικές ροπές που δημιουργούνται είναι της μορφής: T =m B (2.2) Η μαγνητική ροπή εξαρτάται από το μαγνητικό πεδίο του δορυφόρου, το οποίο με τη σειρά του εξαρτάται από το μέγεθος του ρεύματος που θα περάσει από το πηνίο. Έτσι, ανάλογα με τη τιμή του ρεύματος μπορούμε να ελέγξουμε την μηχανική ροπή και άρα την κίνηση του δορυφόρου. Η μαγνητική ροπή περιγράφεται από την σχέση: m=ncoil icoil Α coil (2.3) όπου ncoil ο αριθμός των σπειρών του πηνίου, i coil το ρεύμα που το διαρρέει και Acoil η επιφάνεια που καλύπτει. Το βασικό πρόβλημα που προκύπτει με τη χρήση των πηνίων ως ενεργοποιητές, είναι το γεγονός ότι το σύστημα καθίσταται πλέον υποενεργό (under-actuated). Ένα σκάφος σαν τον Cubesat 40

47 έχει τρείς περιστροφικούς βαθμούς ελευθερίας, αλλά οι ροπές μπορούν να δημιουργηθούν μόνο σε δύο από τους άξονές του και συγκεκριμένα ως προς τους άξονες που είναι κάθετοι στο διάνυσμα του γεωμαγνητικού πεδίου. Ουσιαστικά, δεν είναι δυνατός ο έλεγχος και ως προς τους τρείς άξονες την ίδια χρονική στιγμή παρά μόνο υπό προϋποθέσεις. Για να είναι ελέγξιμο το σύστημα, θα πρέπει η τροχιά να είναι επικλινής, αφού το διάνυσμα του γεωμαγνητικού πεδίου εναλλάσσεται στο διάστημα καθώς ο δορυφόρος κινείται στη τροχιά του [30]. Στο σχήμα 2.6 παρουσιάζεται το παραπάνω πρόβλημα. Η περιστροφή του δορυφόρου είναι εφικτή μόνο ως προς τους άξονες x και y και μη εφικτή ως προς τον άξονα z. Η μελέτη, ο σχεδιασμός και η κατασκευή των πηνίων δεν είναι αντικείμενο ανάλυσης της παρούσας διπλωματικής εργασίας [22]. Σχήμα 2.6: Ο μαγνητικός έλεγχος καθιστά το σύστημα υποενεργό [10] 41

48 42

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3.1 Εισαγωγή Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος. Αρχικά γίνεται αναφορά στα συστήματα συντεταγμένων και στον τρόπο παραμετροποίησης του συστήματος, τα οποία είναι αναγκαία για την εξαγωγή του μοντέλου. Στη συνέχεια, αναλύεται η δυναμική εξίσωση του συστήματος ενώ παρατίθεται και η εξίσωση της κινηματικής του. Επίσης, περιγράφονται οι διαταραχές που επιδρούν στο σύστημα με την μορφή εξωτερικών ροπών και επηρεάζουν την δυναμική του συστήματος. Ιδιαίτερη μνεία γίνεται στην προσπάθεια μοντελοποίησης του γεωμαγνητικού πεδίου. Τέλος, εξάγεται η μη γραμμική δυναμική εξίσωση του συστήματος, απλοποιημένη ως προς την ανάλυση στις δύο διαστάσεις. 3.2 Συστήματα συντεταγμένων Για τον καθορισμό της θέσης του δορυφόρου είναι απαραίτητος ο καθορισμός ενός συστήματος συντεταγμένων, ως πλαίσιο αναφοράς για το δορυφόρο. Το πλαίσιο αναφοράς, το οποίο χρησιμεύει στην αεροδιαστημική δυναμική, αποτελείται από μια τριάδα ορθογώνιων μεταξύ τους μοναδιαίων διανυσμάτων βάσης, την οποία μπορούμε να ορίσουμε ως F={ i, j, k }. Παρακάτω, παρατίθενται πέντε τέτοια συστήματα συντεταγμένων που χρησιμοποιούνται για την κατασκευή των μαθηματικών μοντέλων και τον σχεδιασμό του ελέγχου. 43

50 Σχήμα 3.1: Συστήματα συντεταγμένων του δορυφόρου [8] Σύστημα συντεταγμένων ελέγχου (Control Coordinate System) Το σύστημα αυτό είναι ένα δεξιόστροφα ορισμένο, ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, το οποίο στηρίζεται στους βασικούς άξονες της αδράνειας, ενώ το κέντρο του συμπίπτει με το κέντρο μάζας του δορυφόρου. Οι άξονές του (xc, yc, zc ) ορίζονται όπως φαίνεται στο σχήμα Σύστημα συντεταγμένων σώματος (Body Coordinate System) Το σύστημα αυτό είναι επίσης ένα δεξιόστροφα ορισμένο, ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, το οποίο όμως ταυτίζεται με τους γεωμετρικούς άξονες του δορυφόρου. Το κέντρο του συμπίπτει με το κέντρο μάζας του δορυφόρου. Οι άξονές του (xb, yb, zb ) φαίνονται στο σχήμα 3.1. Ο άξονας x συμπίπτει με τον άξονα του φορτίου, το οποίο στο παραπάνω σχήμα αντιστοιχεί σε μια κάμερα Τροχιακό σύστημα συντεταγμένων (Orbit Coordinate System) Όπως και τα προηγούμενα συστήματα και αυτό είναι δεξιόστροφα ορισμένο, με κέντρο το κέντρο μάζας του δορυφόρου. Στο σχήμα 3.1 φαίνονται οι άξονές του (xo, yo, zo ). Ο άξονας x έχει κατεύθυνση προς το κέντρο της Γης ενώ ο άξονας z είναι παράλληλος με την κατεύθυνση του τροχιακού επιπέδου. Ο άξονας y συμπληρώνει τον κανόνα του δεξιού χεριού για ένα καρτεσιανό 44

51 σύστημα συντεταγμένων και συμπίπτει με την διεύθυνση του διανύσματος της γωνιακής ταχύτητας, εάν υποθέσουμε ότι η τροχιά είναι απολύτως κυκλική [10] Σύστημα συντεταγμένων αναφοράς (Reference Coordinate System) Το σύστημα αυτό (xr, yr, zr ) έχει τα ίδια χαρακτηριστικά με τα παραπάνω συστήματα, μόνο που περιστρέφεται ολόκληρο, με σεβασμό ως προς ένα αρχικό σημείο. Ο άξονας x έχει πάντα κατεύθυνση προς το ναδίρ σημείο της Γης σχηματίζοντας μια γωνία με το επίπεδο του ισημερινού Αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων (Inertial Coordinate System) Πρόκειται για ένα αδρανειακό ορθογώνιο σύστημα, δεξιόστροφα ορισμένο, με κέντρο το κέντρο μάζας της Γης. Ο άξονας z είναι παράλληλος στον άξονα περιστροφής της Γης με κατεύθυνση προς τον βόρειο πόλο της. Ο x άξονας είναι παράλληλος με την ευθεία που ενώνει το κέντρο της Γης με τον ισημερινό, έχοντας κατεύθυνση προς τον ισημερινό. Στο σχήμα 3.1 διακρίνεται το σύστημα αυτό (xi, yi, zi ). Τέτοια αδρανειακά συστήματα που χρησιμοποιούνται, είναι το ECI (Earth Centered Inertial) και το ECEF (Earth Centered Earth Fixed). Το πρώτο είναι σταθερό και δεν επηρεάζεται από την περιστροφή της Γης. Το δεύτερο είναι ορισμένο έτσι ώστε να περιστρέφεται μαζί με την περιστροφή της Γης. Ο x άξονας του διαπερνάει το μηδενικό γεωγραφικό μήκος, δηλαδή τον μεσημβρινό του Γκρίνουιτς, ενώ ο z άξονάς του ταυτίζεται με τον άξονα περιστροφής της Γης. 3.3 Παραμετροποίηση θέσης Γωνίες Euler Όπως είδαμε εν ολίγοις στο προηγούμενο κεφάλαιο, η μεταστροφή ενός στερεού σώματος αναλύεται ως τρείς διαδοχικές περιστροφές στις τρείς διαστάσεις. Η συνολική μετατόπιση του σώματος περιγράφεται από έναν πίνακα μετασχηματισμού, ο οποίος περιέχει πληροφορίες για την κίνηση. Οι πληροφορίες αυτές, αποτυπώνονται με τη βοήθεια κάποιας μεθόδου παραμετροποίησης. Η πιο κοινή μέθοδος ίσως στον τομέα της δυναμικής, για τον καθορισμό ενός τέτοιου πίνακα περιστροφής, είναι οι γωνίες Euler. Πρόκειται για τρείς ανεξάρτητες ποσότητες οι οποίες βασίζονται στις περιστροφικές γωνίες μεταβολής, πρόνευσης και εκτροπής και χρησιμοποιούνται στην περιστροφική δυναμική και κινηματική για να περιγράψουν τον προσανατολισμό ενός σώματος σε 45

52 σχέση με ένα καθορισμένο πλαίσιο αναφοράς. Εάν θεωρήσουμε ένα σταθερό σύστημα συντεταγμένων (xa, ya, za ), όπως φαίνεται στο σχήμα 3.2, και ένα περιστρεφόμενο πλαίσιο (x B, yb, zb ), μπορούμε να καθορίσουμε τον προσανατολισμό του (xb, yb, zb ) σε σχέση με το πλαίσιο (xa, ya, za ) χρησιμοποιώντας τις τρείς γωνίες Euler (φ, θ, ψ). Οι γωνίες αυτές ορίζονται μέσω τριών επιτυχημένων περιστροφών. Αρχικά περιστρέφουμε τον άξονα z με γωνία φ. Στη συνέχεια, περιστρέφουμε τον άξονα y που προκύπτει μετά την πρώτη περιστροφή, με γωνία θ. Τέλος, περιστρέφουμε τον προκύπτοντα άξονα x υπό γωνία ψ. Οι διαδοχικές αυτές περιστροφές παρουσιάζονται στο Σχήμα 3.2. Σχήμα 3.2: Παρουσίαση γωνιών Euler Η καθεμία από τις περιστροφές είναι μια μετάβαση από ένα πλαίσιο αναφοράς σε ένα νέο και μπορεί να απεικονιστεί από ένα πίνακα μετασχηματισμού R. Ο συνολικός πίνακας μετάβασης προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό των επιμέρους πινάκων. Έτσι έχουμε ότι: R zyx =Rz, φ R y, θ R x, ψ = (3.1) Ο πρώτος πίνακας αντιστοιχεί στην εκτροπή, ο δεύτερος στην πρόνευση και ο τελευταίος στη μεταβολή. Ένα πλεονέκτημα που προσφέρει η συγκεκριμένη παραμετροποίηση είναι το γεγονός ότι εάν είναι γνωστές οι γωνίες φ, θ και ψ, τότε μπορεί να οριστεί ένας μοναδικός προσανατολισμός για 46

53 ένα σώμα, υπό μια προϋπόθεση όπως θα δούμε παρακάτω Τετράδα του Euler (quaternion) Υπολογιστικά, το βασικό πρόβλημα που προκύπτει από την παραπάνω παραμετροποίηση είναι η μη μοναδικότητα στην περιγραφή της κίνησης. Το πρόβλημα λύνεται με την χρήση του θεωρήματος Euler, σύμφωνα με το οποίο η θέση ενός σώματος ορίζεται μοναδικά από ένα διάνυσμα το οποίο περιέχει την διεύθυνση των αξόνων του σώματος αλλά και την βάθμωση που προσδιορίζει την γωνία περιστροφής ως προς τον κάποιο άξονα. Έτσι, με την βοήθεια της τετράδας του Euler, oυσιαστικά μπορούμε να περιγράψουμε στις τέσσερις διαστάσεις, έναν τρισδιάστατο χώρο [8]. Το διάνυσμα q ορίζεται ως εξής: T q=[q 1 q2 q3 q4 ] (3.2) q=iq 1+ jq 2+ kq 3+ q4 (3.3) ενώ ισχύει: με φ q1 =e1 sin( ) 2 (3.4) φ q2 =e 2 sin( ) 2 (3.5) φ q3 =e 3 sin ( ) 2 (3.6) φ q1 =cos ( ) 2 (3.7) 3.4 Μαθηματικό μοντέλο του συστήματος Δυναμική εξίσωση Ο τομέας της δυναμικής περιλαμβάνει την αναλυτική μελέτη της περιστρεφόμενης κίνησης ενός σχεδόν απαλλαγμένου από ροπές σώμα, στον τρισδιάστατο χώρο. Η δυναμική του συστήματος 47

54 βασίζεται στη δυναμική του στερεού σώματος. Για να γίνει η περιγραφή, μπορούμε να επιλέξουμε ως πλαίσια αναφοράς οποιαδήποτε από τα προαναφερθέντα. Ένα για το δορυφόρο και ένα σύστημα συντεταγμένων σε σχέση με το οποίο θα εκφραστεί το πρώτο. Για την περίπτωση του δορυφόρου Cubesat, η δυναμική εξίσωση μπορεί να εκφραστεί μέσω των εξισώσεων Euler [31]: Ι ω = ω Ιω+ Τ ctrl+ Τ dis (3.8) όπου ω є ℝ3 είναι το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας εκφρασμένο σε συντεταγμένες σώματος, I є ℝ 3x3 ο πίνακας αδράνειας, Tctrl є ℝ3 το διάνυσμα των ροπών του μαγνητικού ελέγχου και T dis є 3 ℝ το διάνυσμα των εξωτερικών ροπών που δρουν στο σύστημα ως διαταραχές. Ο πρώτος όρος του δεύτερου σκέλους της σχέσης 3.8 είναι ένα εξωτερικό γινόμενο, γνωστό και ως cross coupling. Ο όρος αυτός προκύπτει εξαιτίας του γεγονότος ότι η δυναμική περιγράφεται σε ένα περιστρεφόμενο πλαίσιο με σεβασμό σε ένα αδρανειακό σταθερό σύστημα συντεταγμένων. Μια εναλλακτική διατύπωση της δυναμικής εξίσωσης είναι [32]: Ι ω =S(ω) Ιω+ Τ ctrl + Τ dis (3.9) με τον πίνακα S(ω) να αντιστοιχεί: [ 0 ω z ω y S(ω)= ω z 0 ωx ω y ω x 0 ] (3.10) Από τη σχέση 2.2, η ροπή του μαγνητικού ελέγχου Tctrl ισοδυναμεί με: Τ ctrl =m b=β(b)m (3.11) με m є ℝ3 να είναι το διάνυσμα των μαγνητικών ροπών των τριών πηνίων, τα οποία χρησιμοποιούνται ως ενεργοποιητές στο σύστημα. To b є ℝ3 αντιπροσωπεύει το διάνυσμα, το οποίο σχηματίζεται με τα στοιχεία του μαγνητικού πεδίου της Γης εκφρασμένα σε συντεταγμένες σώματος. 48

55 Ισχύει ότι [33]: [ 0 b z b y B(b)= b z 0 bx b y b x 0 ] (3.12) Κινηματική εξίσωση Η κινηματική εξίσωση του συστήματος, ορίζεται με τη βοήθεια της παραμετροποίησης και συγκεκριμένα με την χρήση της τετράδας Euler. Οπότε [33]: 1 q = W (ω)q 2 (3.13) όπου q το διάνυσμα με τις παραμέτρους Euler, ενώ: [ 0 ω z ω y ω x ω z 0 ωx ωy W (ω)= ω y ω x 0 ωz ω x ω y ω z 0 ] (3.14) 3.5 Ροπές διαταραχών Στη δυναμική εξίσωση του συστήματος που περιγράψαμε, ο τελευταίος όρος της σχέσης 3.8 Tdis συμβολίζει ουσιαστικά τις διαταραχές, οι οποίες εμφανίζονται με τη μορφή μιας στιγμιαίας εξωτερικής ροπής. Η εξωτερική αυτή ροπή είναι άθροισμα επιμέρους εξωτερικών ροπών, που αντιστοιχούν σε διαταραχές προκαλούμενες από το περιβάλλον του δορυφόρου. Παρακάτω παρουσιάζονται οι βασικές από αυτές τις διαταραχές Ροπή γήινου βαρυτικού πεδίου Η ροπή του γήινου βαρυτικού πεδίου προκύπτει από το γεγονός ότι ο δορυφόρος βρίσκεται σε 49

56 ένα ανομοιόμορφο δυναμικό πεδίο, από το οποίο έλκεται. Η ροπή αυτή είναι μηδενική για απόλυτα συμμετρικούς δορυφόρους. Η κύρια αιτία της δημιουργίας της είναι η διακύμανση που χαρακτηρίζει το βαρυτικό πεδίο. Περιγράφεται από την σχέση [8]: Τ g g= 3μ [ Rcm I R cm ] R3cm (3.15) όπου μ ο συντελεστής βαρύτητας της Γης, R cm το μοναδιαίο διάνυσμα του ναδίρ και Ι η αδράνεια του δορυφόρου Ροπή αεροδυναμικής αντίστασης Αντίθετα με την κοινή αντίληψη ενός ιδανικού κενού στις διαστημικές τροχιές, σε χαμηλές τροχιές ως προς την Γη οι δορυφόροι βιώνουν δυνάμεις και ροπές, οι οποίες είναι αποτέλεσμα της αεροδυναμικής αντίστασης, μιας και ο δορυφόρος ταξιδεύει στο εξωτερικό όριο της γήινης ατμόσφαιρας, όπου η ατμοσφαιρική πυκνότητα είναι μεγαλύτερη από μηδέν. Η ροπή αυτή επηρεάζεται κυρίως από το ύψος της τροχιάς, τη δομή του δορυφόρου και την τοποθεσία του κέντρου μάζας του. Χαρακτηριστικό είναι ότι έχει επίδραση στον δορυφόρο, όταν υπάρχει απόκλιση μεταξύ του κέντρου μάζας του και του κέντρου βαρύτητάς του. Η ροπή της αεροδυναμικής αντίστασης που εμφανίζεται σε ένα δορυφόρο ο οποίος αποτελείται από n επιφάνειες, περιγράφεται από την σχέση [8]: 1 Τ aer= C d ρv 2 r s, i (n T V ) V Ai 2 i (3.16) όπου Cd είναι ο συντελεστής αεροδυναμικής αντίστασης. Ο συντελεστής αυτός παίρνει συνήθως τιμές από 2 έως 2.5. Η ατμοσφαιρική πυκνότητα συμβολίζεται με το ρ, r s,i είναι το διάνυσμα με αρχή το κέντρο μάζας του δορυφόρου και κατεύθυνση την i-οστή επιφάνεια A i, ενώ V είναι το μοναδιαίο διάνυσμα με διεύθυνση αυτή της μεταφορικής ταχύτητας και V είναι το μήκος του διανύσματος αυτού Ροπή ηλιακής ακτινοβολίας Ένας δορυφόρος που βρίσκεται στη χαμηλή γήινη τροχιά, υπόκειται σε ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία, η οποία δημιουργεί ροπή ως προς το κέντρο μάζας του. Η ακτινοβολία αυτή προέρχεται 50

57 από τρείς διαφορετικές πηγές. Η βασική πηγή είναι ο Ήλιος, ενώ σημαντικά συμβάλλουν η ακτινοβολία η οποία προέρχεται από την αντανάκλαση της ηλιακής ακτινοβολίας στην επιφάνεια της Γης, γνωστή και ως αλμπέντο, καθώς και η θερμική υπέρυθρη ακτινοβολία της Γης. Παρόλα αυτά η απευθείας από τον Ήλιο ακτινοβολία είναι αρκετά μεγαλύτερη από τις υπόλοιπες, για αυτό μόνο αυτή λαμβάνεται υπόψη. Οι παράγοντες που επηρεάζουν το μέγεθος της ροπής της ηλιακής ακτινοβολίας είναι η ένταση και η φασματική κατανομή του φωτός, η γεωμετρία του δορυφόρου, το μέγεθος της επιφάνειάς του και το υλικό από το οποίο είναι κατασκευασμένος, το οποίο καθορίζει και την ανακλαστικότητά του. Δεν έχει επίδραση στον δορυφόρο όταν δεν υπάρχει απόκλιση μεταξύ του κέντρου μάζας του και του κέντρου βαρύτητάς του. Η ροπή είναι ανεξάρτητη από την ταχύτητα του δορυφόρου και από το ύψος της τροχιάς, όχι όμως και από τη θέση του δορυφόρου σε σχέση με τον Ήλιο. Η παρακάτω σχέση μπορεί να περιγράψει την ροπή της ηλιακής ακτινοβολίας [10]: n S0 S A k Τ sol= (1+ r) r s, k ( n T S) c i k =1 (3.17) όπου r ο συντελεστής ανάκλασης, με τιμές από 0 (ολική απορρόφηση) έως 1 (πλήρης ανάκλαση). Το S 0 αντιστοιχεί στον ηλιακό συντελεστή, c είναι η ταχύτητα του φωτός, και r s,k είναι το διάνυσμα από το κέντρο μάζας του δορυφόρου μέχρι την k-οστή επιφάνεια Αk του δορυφόρου. Τέλος, S είναι το μοναδιαίο διάνυσμα από τον δορυφόρο προς τον Ήλιο Άλλες εξωτερικές ροπές Εκτός από τους παραπάνω κύριους λόγους που περιγράψαμε, υπάρχουν και άλλες αιτίες δημιουργίας μη επιθυμητών ροπών στο σύστημα του δορυφόρου. Μια από τις αιτίες αυτές είναι το υπολοειπόμενο μαγνητικό πεδίο του δορυφόρου, για το οποίο ευθύνονται τα ηλεκτρονικά σύστηματά του. Επίσης, ανεπιθύμητες ροπές μπορούν να δημιουργηθούν από την απότομη αλλαγή της κατανομής της μάζας, όπως για παράδειγμα κατά τη διάρκεια της ανάπτυξης κάποιας κεραίας ή των μηχανισμών με τα φωτοβολταϊκά κύτταρα αλλά και από άλλους αστάθμητους παράγοντες. 51

58 3.6 Μοντελοποίηση του γεωμαγνητικού πεδίου Το γεωμαγνητικό πεδίο περιγράφεται ευρέως ως ένα μαγνητικό δίπολο. Από μετρήσεις στην επιφάνεια της Γης, το πεδίο κυμαίνεται από οριζόντια προσανατολισμένο με πλάτος περίπου nt, μέχρι κάθετα προσανατολισμένο και πλάτος περίπου nt κοντά στους πόλους [24]. Γενικά η διακύμανσή του μεταβάλλεται ανάλογα με την χρονική στιγμή, αλλάζει όμως και στην κλίμακα του μήνα αλλά και παραπάνω, με έναν απρόβλεπτο τρόπο. Οι μεταβολές του πεδίου μπορούν να κατηγοριοποιηθούν σε ημερήσιες λόγω κίνησης σωματιδίων στην ιονόσφαιρα, μεταβολές από αστάθμητους παράγοντες, όπως οι μαγνητικές καταιγίδες και σε παροδικές οι οποίες κρατούν από δευτερόλεπτα μέχρι μέρες, όταν κάθε 27 μέρες η ενεργή ηλιακή περιοχή αντικρίζει τη Γη. Σχήμα 3.3: Ένταση του γεωμαγνητικού πεδίου στα πρότυπα του IGRF [34] Η μοντελοποίηση του μαγνητικού πεδίου είναι απαραίτητη για τον έλεγχο θέσης του 52

59 δορυφόρου. Αρκετά είναι τα μοντέλα του γεωμαγνητικού πεδίου με σημαντικότερα το Παγκόσμιο Μαγνητικό Μοντέλο (World Magnetic Model-WMM) και το Διεθνές Γεωμαγνητικό Πεδίο Αναφοράς (International Geomagnetic Reference Field-IGRF). Το IGRF, το οποίο χρησιμοποιείται ευρέως, είναι μια μαθηματική περιγραφή του κυρίως γεωμαγνητικού πεδίου. Είναι αποτέλεσμα μιας διεθνής προσπάθειας που καθοδηγήθηκε από την Παγκόσμια Ομοσπονδία Γεωμαγνητισμού και Αερονομίας (IAGA) και βασίζεται στην συνεργασία μεταξύ επιστημονικών ινστιτούτων και υπηρεσιών υπεύθυνων για την συλλογή και την έκδοση των δεδομένων του γεωμαγνητικού πεδίου. Η έκδοση των δεδομένων γίνεται κάθε 5 χρόνια. Ενδεικτικά, στο σχήμα 3.3 φαίνεται ένας χάρτης της Γης, ο οποίος εκδόθηκε το 2010 στα πρότυπα του IGRF, που δίνει την ένταση του γεωμαγνητικού πεδίου σε nt. Από μαθηματικής απόψεως, το μοντέλο αποτελείται από τους συντελεστές Gauss, οι οποίοι ορίζουν μια σφαιρική αρμονική διαστολή της βάθμωσης του μαγνητικού δυναμικού. Έτσι, έχουμε [17]: k n α n+1 V (r,θ, φ)=α ( ) (g m cos(mφ)+h m sin(mφ)) P m (θ) n n n n=1 r m=0 (3.18) όπου α η μέση ακτίνα της Γης ( km) και r, θ, φ οι πολικές συντεταγμένες. Συγκεκριμένα r η απόσταση από το κέντρο της Γης σε ακτίνια, το θ ισούται με 90 μειον το γεωγραφικό πλάτος, φ το γεωγραφικό μήκος και Pm n ο κανονικοποιημένος συντελεστής Schmidt βαθμού n και τάξης m. Στους συντελεστές Gauss αντιστοιχούν τα gm n και hm n. Το γεωμαγνητικό πεδίο είναι χρονικά μεταβαλλόμενο. Για τον έλεγχο θέσης, η βασική δυσκολία που αντιμετωπίζουμε είναι το γεγονός ότι ο δορυφόρος βλέπει ένα μαγνητικό πεδίο το οποίο παρουσιάζει μεταβολές εξαιτίας της περιστροφής της Γης, αλλά και λόγω της κίνησής του κατά μήκος της τροχιάς. Τελικώς, για να μπορεί να είναι εφικτός ο έλεγχος, γίνεται μια βασική παραδοχή. Θεωρούμε το γεωμαγνητικό πεδίο περιοδικό [29][33]. Με αυτόν τον τρόπο, μια προσέγγιση του πεδίου μπορεί να εξαχθεί με την βοήθεια της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων, η οποία εφαρμόζεται σε δεδομένα του μαθηματικού μοντέλου IGRF, από πέντε τροχιές [33]. Έτσι, έχουμε: b(t)=b0 + b1c cos (Ωt )+ b1s sin (Ωt)+ b2c cos(2ωt)+ b2s sin(2ωt) 53 (3.19)

60 Οι τροχιές που επιλέχθηκαν είχαν ως χαρακτηριστικό 87 ο κλίση και 450 km απόσταση από την επιφάνεια της Γης. Τα αποτελέσματα αυτής της προσομοίωσης φαίνονται στο σχήμα 3.4. Το γεωμαγνητικό πεδίο αναλύεται σε by(t), bx(t) και bz(t) αντίστοιχα. Η μεταβολή του πεδίου εξαιτίας της τροχιακής κίνησης επιδρά στους άξονες x και y του δορυφόρου, ενώ η μεταβολή του πεδίου λόγω της περιστροφής της Γης επιδρά στον άξονα z [33]. Σχήμα 3.4: Περιοδική προσέγγιση γεωμαγνητικού πεδίου [33] 3.7 Δυναμική του συστήματος στις δύο διαστάσεις Το μαθηματικό μοντέλο το οποίο περιγράψαμε μέχρι στιγμής, αντιστοιχεί σε μια τρισδιάστατη ανάλυση του συστήματος του δορυφόρου. Με βάση την μη γραμμική δυναμική εξίσωση της σχέσης 3.8, προκύπτει μια νέα δυναμική εξίσωση, όπως θα δούμε, από την εξέταση της κίνησης του 54

61 δορυφόρου ως προς δύο άξονες. Στο σχήμα 3.5 φαίνεται ο δορυφόρος σε καρτεσιανές συντεταγμένες. Το ίδιο σχήμα, αποτυπώνει και την διεξαγωγή του πειράματος, κατά το οποίο επιτεύχθηκε η περιστροφή του δορυφόρου και ο έλεγχος θέσης του ως προς έναν άξονα [22]. Για την λειτουργία του πειράματος, ομοίωμα του δορυφόρου βρέθηκε σε προσομοιωμένο μαγνητικό πεδίο, το οποίο δημιουργήθηκε με την βοήθεια δύο πηνίων Helmholtz. Για τον έλεγχο θέσης του δορυφόρου χρησιμοποιήθηκαν ως ενεργοποιητές, δύο ζεύγη πηνίων αντίστοιχα με αυτά της κανονικής αποστολής. Καθώς τα πηνία διαρέονται από ρεύμα, δημιουργούνται δύο μαγνητικές ροπές m F και mr για καθένα από τα πηνία. Το μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται από το ζεύγος πηνίων αλληλεπιδρά με τον μαγνητικό πεδίο των πηνίων Helmholtz, με αποτέλεσμα ο δορυφόρος να περιστρέφεται ως προς τον άξονα z, σχηματίζοντας την Euler γωνία φ μεταξύ του νέου και του αρχικού συστήματος συντεταγμένων. Συγκεκριμένα, για το διάνυσμα του μαγνητικού πεδίου ισχύει Σχήμα 3.5: Ο δορυφόρος σε δύο διαστάσεις 55 T Β=[Β x B y Bz ]

62 Από το σχήμα 3.5 έχουμε ότι: sin (φ)= m Fx m (3.20) F (3.21) m cos(φ)= Fy m F sin (φ)= m Ry m (3.22) R m cos(φ)= Rx m R (3.23) Με την βοήθεια των σχέσεων 3.20 έως 3.23 προκύπτει για τα διανύσματα των μαγνητικών ροπών ότι: και [] [ ] [] [ ] m Fx m F = m Fy m Fz m F sinφ = m F cosφ 0 m Rx m R = m Ry m Rz m R cosφ = m R sinφ 0 (3.24) (3.25) Έτσι, το άθροισμα των μαγνητικών ροπών προκύπτει: [ m F sinφ+ m R cosφ m tot =m R + m F = m F cosφ m R sinφ 0 ] 56 (3.26)

63 Από τη σχέση 3.11, το διάνυσμα της ροπής θα ισοδυναμεί με: [] Τx Τ = Τ y = m tot B Τz (3.27) Από το παραπάνω εξωτερικό γινόμενο μας ενδιαφέρει μόνο η ροπή ως προς τον άξονα z. Έτσι, με την χρήση της σχέσης 3.26 στην σχέση 3.27, προκύπτει ότι: Τ z =B y [ m F sin (φ)+ m R cos(φ)] B x [ m F cos (φ) m R sin (φ)] (3.28) Βασιζόμενοι στην σχέση της δυναμικής εξίσωσης 3.8, παραλείποντας τον cross coupling όρο και θεωρώντας ότι οι ροπές λόγω διαταραχών είναι αμελητέες, έχουμε: Ι φ =Τ ctrl I z φ =Τ z η οποία λόγω της σχέσης 3.28 συνεπάγεται ότι: φ = By B [ m F sin (φ)+ m R cos(φ)] x [ m F cos (φ) m R sin(φ)] Iz Iz (3.29) Η σχέση 3.29 αποτελεί την μη γραμμική, δυναμική εξίσωση του συστήματος του δορυφόρου για ανάλυση που έγινε σε δύο διαστάσεις. 57

64 58

65 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 4.1 Εισαγωγή Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται η παρουσίαση της υλοποίησης της προσομοίωσης του συστήματος που αναλύθηκε στα προηγούμενα κεφάλαια. Η προσομοίωση αυτή αποτελεί την υπολογιστική υποστήριξη του δορυφόρου UPSat. Αρχικά γίνεται μια εισαγωγή στην προσομοίωση συστημάτων και προσδιορίζεται το λογισμικό πακέτο μέσω του οποίου πετυχαίνεται η προσομοίωση. Στη συνέχεια, παρατίθενται η κατασκευή του μοντέλου της δυναμικής εξίσωσης, οι ρυθμίσεις του, τα αποτελέσματα της προσομοίωσης καθώς και κάποια χρήσιμα συμπεράσματα που εξήχθησαν από την διαδικασία. Σημαντικό βάρος δίνεται στην μοντελοποίηση του γεωμαγνητικού πεδίου, η οποία γίνεται με τη χρήση πινάκων αντιστοιχίας (lookup tables). 4.2 Προσομοίωση συστημάτων Η προσομοίωση μπορεί να οριστεί ως η αναπαράσταση μιας διαδικασίας του πραγματικού κόσμου. Με αυτό τον τρόπο, η κατανόηση της συμπεριφοράς και της λειτουργίας οποιασδήποτε διεργασίας μπορεί να αναλυθεί, κάτω από οποιεσδήποτε συνθήκες. Στην σύγχρονη μηχανική, η προσομοίωση είναι απαραίτητο εργαλείο και χρησιμοποιείται για την μελέτη και την βελτιστοποίηση της παραγόμενης τεχνολογίας. Στα πλαίσια αυτά, η προσομοίωση αποτελεί αναγκαία συνθήκη για την επιστήμη των συστημάτων και του αυτομάτου ελέγχου. Μια οποιαδήποτε διεργασία, αποτελώντας ένα σύστημα, μοντελοποιείται με την εξαγωγή μιας μαθηματικής σχέσης, η οποία περιγράφει τη φυσική της 59

66 συμπεριφορά. Με βάση το μαθηματικό αυτό μοντέλο είναι πλέον εφικτή η προσομοίωση της συμπεριφοράς του συστήματος σε ελεγχόμενες από τον χειριστή συνθήκες. Η διαδικασία που μόλις αναφέραμε, μπορεί να περιγραφεί από το σχήμα 4.1. Γενικότερα, ο τομέας της μοντελοποίησης ασχολείται με την εξαγωγή γνώσης από τη φυσική υπόσταση ενός συστήματος, την οποία γνώση φροντίζει να οργανώσει κατάλληλα, διατυπωμένη με σαφή τρόπο. Η τελική πληροφορία που μας δίνει είναι το μοντέλο του συστήματος. Ο τομέας της προσομοίωσης, με τη σειρά του, ασχολείται με την διεξαγωγή πειραμάτων στο μοντέλο αυτό, κάνοντας υποθέσεις για το πως το αντίστοιχο πραγματικό σύστημα θα συμπεριφερόταν, εάν τα σχεδόν ίδια πειράματα εκτελούνταν σε αυτό. Έτσι, η προσομοίωση είναι πολύ σημαντική για τα συστήματα αφού προτού εξεταστούν στον πραγματικό κόσμο, είναι εφικτή η εξαγωγή γνώσης και χρήσιμων συμπερασμάτων για αυτά, αποτελεσματικά και με ακρίβεια. Έχει επίσης νόημα για την ανάλυση και την πρόβλεψη συμπεριφοράς για συστήματα, στα οποία είτε είναι δύσκολο να εφαρμοστούν πειράματα είτε δεν έχουν κατασκευασθεί ακόμα. Σχήμα 4.1: Διαδικασία μοντελοποίησης και προσομοίωσης μιας φυσικής διεργασίας [36] Για το σύστημα του δορυφόρου η μοντελοποίησή του περιγράφηκε στο τρίτο κεφάλαιο ενώ η υλοποίηση της προσομοίωσής του ακολουθεί παρακάτω. Η προσομοίωση γίνεται σε περιβάλλον Simulink, εργαλείο του λογισμικού πακέτου Matlab. Προσφέρει ένα διαδραστικό γραφικό περιβάλλον και μια σειρά από προσαρμόσιμες μπλοκ βιβλιοθήκες για τον σχεδιασμό και την ανάλυση μοντελοποιημένων συστημάτων, συνεχούς αλλά και διακριτού χρόνου. Είναι προϊόν της Mathworks. 60

67 4.3 Κατασκευή της δυναμικής εξίσωσης σε περιβάλλον Simulink Όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, η δυναμική εξίσωση του συστήματος του δορυφόρου περιγράφεται από τη σχέση 3.8. Με βάση τη σχέση αυτή έγινε η εξαγωγή ενός δεύτερου μαθηματικού μοντέλου (σχέση 3.29), το οποίο αντιστοιχεί στην ανάλυση του συστήματος σε δύο διαστάσεις. Η μαθηματική σχέση, η οποία περιγράφει επίσης και το σύστημα της πειραματικής διάταξης που κατασκευάστηκε για τον ολοκληρωμένο σχεδιασμό του ελέγχου [22], αποτελεί το μοντέλο για το οποίο θα γίνουν οι προσομοιώσεις. Πρόκειται για μια μη γραμμική διαφορική εξίσωση, η οποία υπενθυμίζουμε περιγράφεται ως εξής: φ = By B [ m F sin (φ)+ m R cos (φ)] x [ m F cos(φ) m R sin(φ)] Iz Iz (4.1) όπου φ η γωνία Euler που σχηματίζεται μεταξύ του αρχικού και του μετατοπισμένου συστήματος συντεταγμένων, mf και mr οι μαγνητικές ροπές των πηνίων, Bx και By οι συνιστώσες του μαγνητικού πεδίου και Ιz η ροπή αδράνειας του δορυφόρου για τον άξονα z. Γενικά, για τον πίνακα με τις ροπές αδράνειας του δορυφόρου ισχύει [8]: [ ] (4.2) Ix 0 0 I= 0 I y Iz με 3 I x= kgm2, 3 I y = kgm2 και I z= kgm2. Για την κατασκευή της εξίσωσης θεωρούμε το μοντέλο ως σύστημα, με εισόδους τις μαγνητικές ροπές, τις συνιστώσες του μαγνητικού πεδίου Bx και By, καθώς και την γωνία φ. Ως έξοδο, όπως διακρίνεται και από την σχέση 4.1, παίρνουμε την δεύτερη παράγωγο της γωνίας φ, η οποία αντιστοιχεί και στη γωνιακή επιτάχυνση του δορυφόρου. Η εξίσωση χωρίστηκε σε κομμάτια και εισήχθη σε υποσυστήματα για καλύτερη εποπτεία. Αρχικά, κατασκευάστηκαν οι όροι των σχέσεων 4.3 και 4.4, οι οποίοι απεικονίζονται στα παρακάτω 61

68 σχήματα: m F sin(φ)+ m R cos(φ) (4.3) m F cos(φ) m R sin(φ) (4.4) Σχήμα 4.2: Η σχέση 4.3 στο Simulink (μπλοκ 1) Σχήμα 4.3: Η σχέση 4.4 στο Simulink (μπλοκ 2) Οι παραπάνω όροι περιέχονται ως μπλοκ υποσυστήματα σε ένα μεγαλύτερο υποσύστημα (main block), το οποίο διακρίνεται στο σχήμα 4.4. Η έξοδος του υποσυστήματος αυτού είναι η δεύτερη παράγωγος της γωνίας, η οποία εάν ολοκληρωθεί μία φορά μας δίνει την γωνιακή ταχύτητα. Η ολοκλήρωση της γωνιακής ταχύτητας, μας δίνει την ίδια την γωνία φ. Το συγκεκριμένο υποσύστημα αποτελεί την ολοκληρωμένη απεικόνιση της δυναμικής εξίσωσης

69 Σχήμα 4.4: Το εσωτερικό του κυρίως μπλοκ απεικονίζει την δυναμική εξίσωση του συστήματος 4.4 Μοντελοποίηση του μαγνητικού πεδίου με τη χρήση Lookup table Για την επίτευξη της προσομοίωσης, σύμφωνα με το μαθηματικό μοντέλο, χρειαζόμαστε δεδομένα για τα Bx και By, στοιχεία του μαγνητικού πεδίου. Σε αυτό το σημείο θα πρέπει να σημειωθεί, ότι για την πειραματική διάταξη το μαγνητικό πεδίο προσομοιώνεται με τη χρήση δύο μεγάλων Helmholtz πηνίων. Τα πηνία αυτά δημιουργούν σταθερό μαγνητικό πεδίο προς μία κατεύθυνση. Η τιμή του πεδίου εξαρτάται από το ρεύμα Ι που τα διαρρέει σύμφωνα με τη σχέση [37]: μo nι Β=( ) 5 R (4.5) όπου μο η μαγνητική διαπερατότητα του κενού και n, R γεωμετρικά χαρακτηριστικά των πηνίων. Το γεωμγνητικό πεδίο θα μπορούσε επίσης να προσομοιωθεί μέσω εφαρμογής μιας αναλυτικής μαθηματικής έκφρασής του, όπως είναι η σχέση 3.18 (μοντέλο IGRF), που περιγράφηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Περιληπτικά, η ένταση του πεδίου σε πολικές συντεταγμένες, θα μπορούσε να υπολογιστεί μέσω της μερικής παραγώγισης της σχέσης Ενδεικτικά [17]: 63

70 k Br = n V a n+2 = ( ) (n+1) (g m cos (mφ)+ h m sin (mφ)) P m (θ ) r n=1 r n n n m =0 (4.6) P m (θ) ( g mn cos (mφ )+ h mn sin(mφ)) θn m=0 (4.7) k Bθ = n+ 2 n 1 V a = ( ) r θ n=1 r k n 1 V 1 a n +2 Bφ = = ( ) m( g m cos (mφ)+h m sin(mφ)) P m (θ ) rsinθ φ sinθ n=1 r n n n m=0 (4.8) Οι συντελεστές που απαντώνται στις παραπάνω σχέσεις, αναφέρθηκαν στην παράγραφο 3.6. Από τις σχέσεις αυτές, με εφαρμογή κατάλληλου αλγορίθμου, μπορούν να προκύψουν οι εντάσεις του πεδίου σε γεωκεντρικές αδρανειακές συντεταγμένες [17]. Με δ να είναι το γεωγραφικό πλάτος και α ο αστρικός χρόνος, έχουμε για τα Bx και By : B x =( Br cosδ+ Bθ sinδ ) cosα Β φ sinα (4.9) B y =( B r cosδ+ Bθ sinδ) sinα Βφ cosα (4.10) Παρόλα αυτά, στην προσομοίωση που θα ακολουθήσει, για την μοντελοποίηση του χρονικά μεταβαλλόμενου μαγνητικού πεδίου προτιμήθηκε η χρησιμοποίηση πινάκων αντιστοιχίας (lookup tables). Για την εφαρμογή αυτή, χρησιμοποιήθηκαν δεδομένα που αντιστοιχούν σε συγκεκριμένες μετρήσεις του γεωμαγνητικού πεδίου. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιήθηκαν οι καμπύλες f1 (By, t) και f2 (Bx, t), οι οποίες φαίνονται στο σχήμα 3.4, του τρίτου κεφαλαίου. Πρόκειται, όπως προαναφέραμε, για μια απεικόνιση των συνιστωσών του γεωμαγνητικού πεδίου για τροχιά με ύψος 450 km και κλίση 87 μοίρες, υπό το πρίσμα της περιοδικής προσέγγισης. Παρατηρούμε ότι στις καμπύλες αυτές, ο ένας εκ των δύο αξόνων αντιστοιχεί στον αριθμό των τροχιών. Κατά τη διάρκεια μίας τροχιάς, το μαγνητικό πεδίο αλλάζει κατεύθυνση δύο φορές. Η περίοδος των ημιτονοειδών καμπυλών ισούται με μια τροχιακή περίοδο. Αναλυτικά, έγινε δειγματοληψία 51 σημείων για την καθεμία καμπύλη, από t=0 έως ο χρόνος να ισούται με τον χρόνο που αντιστοιχεί σε 5 τροχιές. Για ύψος 450 km, ο χρόνος της μίας τροχιάς 64

71 είναι περίπου ίσος με 5600 sec. Η προσομοίωση των δύο συνιστώσεων του γεωμαγνητικού πεδίου στο Simulink έγινε με την χρήση των δειγμάτων αυτών και συγκεκριμένα με την εισαγωγή αυτών σε πίνακες αντιστοιχίας, τους λεγόμενους lookup tables (LUT). Χρησιμοποιήθηκαν δύο τέτοιοι πίνακες, ένας για κάθε στοιχείο του μαγνητικού πεδίου (Bx και By), όπως φαίνεται και στο σχήμα Ένα lookup table μπλοκ χρησιμοποιεί έναν πίνακα δεδομένων με στοιχεία από την χαρτογράφηση μίας εισόδου, με σκοπό να δώσει ως έξοδο τιμές που προσεγγίζουν την μαθηματική συνάρτηση της εισόδου. Κατά τη διάρκεια της προσομοίωσης εκτελείται αναζήτηση στα στοιχεία του πίνακα, με σκοπό την ανάκτηση μίας τιμής εξόδου που αντιστοιχεί σε μια τιμή εισόδου. Εάν ο πίνακας δεν περιέχει την τιμή εισόδου, το μπλοκ δίνει ως έξοδο μια εκτίμηση, η οποία προσδιορίζεται από γειτονικές, γνωστές τιμές της τιμής εισόδου. Στην περίπτωσή μας, η επιλογή της θέσης του πίνακα γίνεται συνδέοντας τον χρόνο (clock) στην είσοδο των lookup tables (Σχήμα 4.11). Γενικά, με την χρησιμοποίηση των πινάκων αντιστοιχίας, στο υπό προσομοίωση μοντέλο μπορεί να μειωθεί αποτελεσματικά η ταχύτητα υπολογισμού καθώς και η υπολογιστική πολυπλοκότητα, σε αντίθεση με την χρήση μαθηματικών υπολογιστικών συναρτήσεων. Συνήθως προτιμούνται αντί των μαθηματικών συναρτήσεων, είτε όταν είναι απαιτητικός ο υπολογισμός μιας αναλυτικής έκφρασης της συνάρτησης, είτε όταν απουσιάζει αλλά η σχέση μπορεί να προσδιοριστεί εμπειρικά. Για την περίπτωση του γεωμαγνητικού πεδίου, όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, το IGRF αποτελεί την αναλυτική μαθηματική περιγραφή του. Όμως, τόσο η πολυπλοκότητα της περιγραφής όσο και η δυσκολία προσομοίωσής της σε μία εφαρμογή, αποτέλεσαν τους λόγους για τους οποίους επιλέχθηκε η χρήση των πιο απλών μα και συνάμα αποτελεσματικών πινάκων αντιστοιχίας Εφαρμογή των πινάκων αντιστοιχίας Το Simulink παρέχει μία ευρεία ποικιλία από lookup table μπλοκ, με το καθένα να προορίζεται για συγκεκριμένο τύπο εφαρμογών. Τα μπλοκ αυτά περιέχονται σε ειδική κατηγορία βιβλιοθήκης του λογισμικού (lookup tables block library) και καθιστούν δυνατή την κατασκευή συναρτήσεων πολλαπλών διαστάσεων. Η επιλογή συγκεκριμένου μπλοκ πίνακα γίνεται συνήθως με κριτήρια την διάσταση της συνάρτησης, το είδος των αριθμητικών δεδομένων και την επιθυμητή απόδοση, ομαλότητα και ακρίβεια των αποτελεσμάτων. Για τη συγκεκριμένη εφαρμογή επιλέχθηκαν πίνακες μίας διάστασης (1D LUT), μιας και οι συναρτήσεις που θέλουμε να προσεγγίσουμε είναι μονοδιάστατες, δίνοντας μας πληροφορίες για τις τιμές δύο συνιστώσεων του μαγνητικού πεδίου σε σχέση με το χρόνο. 65

72 Η εισαγωγή των στοιχείων της δειγματοληψίας γίνεται είτε μέσω του lookup table editor, που ανήκει στα εργαλεία του Simulink, είτε μέσω του block parameter dialog box, το οποίο ανοίγει πατώντας πάνω στο μπλοκ του πίνακα. Αν και δεν χρησιμοποιήθηκε στη παρούσα διπλωματική, υπάρχει ακόμη η δυνατότητα εισαγωγής των δεδομένων κατευθείαν από αρχείο excel, το οποίο διαβάζει ο πίνακας αντιστοιχίας. Σε κάθε περίπτωση είναι αναγκαίο να συμπληρωθούν τα σημεία δεικτών (breakpoints) και τα δεδομένα του πίνακα (table data). Κάθε σημείο breakpoint είναι ένας δείκτης των τιμών εισόδου για μια συγκεκριμένη διάσταση του πίνακα αναζήτησης. Το σύνολο των δεδομένων του πίνακα χρησιμεύει ως δείγμα αναπαράστασης μιας συνάρτησης στη βάση της αποτίμησης των σημείων δεικτών. Χρησιμοποιούνται δηλαδή για να συσχετιστούν οι τιμές εισόδου του πίνακα με τις τιμές εξόδου που επιστρέφονται. Σχήμα 4.5: Εισαγωγή των δεδομένων της καμπύλης Βy σε πίνακα αντιστοιχίας (lookup table) Στο σχήμα 4.5 φαίνεται η εισαγωγή των σημείων δεικτών της καμπύλης Βy σε πίνακα αντιστοιχίας. Οι τιμές εισόδου κυμαίνονται από 0 έως έχοντας βήμα 560, οι οποίες αντιστοιχούν σε 51 σημεία δείκτες ενώ στην τρίτη στήλη διακρίνονται οι τιμές του μαγνητικού πεδίου οι οποίες 66

73 πάρθηκαν από τη δειγματοληψία. Μιας και ως είσοδος του πίνακα έχει επιλεχθεί το ρολόι της προσομοίωσης, οι τιμές της εισόδου του αντιστοιχούν σε δευτερόλεπτα. Έτσι για παράδειγμα, όταν η είσοδος του πίνακα είναι 560 sec, η έξοδος θα είναι τα 15 μτ ενώ για είσοδο sec θα πάρουμε ως έξοδο τα 25 μτ. Ομοίως έγινε και το γέμισμα του πίνακα αντιστοιχίας για τα δεδομένα της καμπύλης Βx. Είναι κατανοητό πλέον τι γίνεται όταν η είσοδος του πίνακα αντιστοιχεί σε καθορισμένο δείκτη, ο οποίος με τη σειρά του αντιστοιχεί μία συγκεκριμένη τιμή εισόδου σε μία συγκεκριμένη τιμή εξόδου. Το ερώτημα που προκύπτει είναι το τι συμβαίνει στην περίπτωση που η τιμή εισόδου του πίνακα δεν αντιστοιχεί σε μια καθορισμένη αντιστοιχία εισόδου-εξόδου. Παρακάτω αναλύονται οι μέθοδοι υπολογισμού, τις οποίες χρησιμοποιεί το Simulink σε τέτοιες περιπτώσεις Μέθοδοι εκτίμησης σημείων αναντιστοιχίας Τα σημεία αναντιστοιχίας είναι δύο κατηγοριών. Πρόκειται για τιμές ενδιάμεσες των καθορισμένων δεικτών και για τιμές που βρίσκονται εκτός του καθορισμένου εύρους δεικτών. Στη πρώτη περίπτωση χρησιμοποιούνται μέθοδοι παρεμβολής (interpolation methods) ενώ στη δεύτερη, μέθοδοι προεκβολής (extrapolation methods). Στο μαθηματικό πεδίο της αριθμητικής ανάλυσης, η παρεμβολή αποτελεί μια μέθοδο κατασκευής νέων σημείων δεδομένων, μέσα στο εύρος ενός διακριτού συνόλου γνωστών σημείων. Στην περίπτωσή μας, ένας μονοδιάστατος πίνακας αντιστοιχίας μας δίνει την δυνατότητα να επιλέξουμε τη μέθοδο παρεμβολής που θα εφαρμοστεί. Συγκεκριμένα, οι επιλογές είναι τρείς και είναι οι εξής: επίπεδη προσέγγιση (flat) γραμμική μέθοδος παρεμβολής (linear) μέθοδος παρεμβολής cubic spline Η πρώτη τεχνική απενεργοποιεί την όποια μέθοδο παρεμβολής και χρησιμοποιεί συνήθως την τελευταία γνωστή τιμή δεδομένων έως ότου συναντήσει μία νέα γνωστή τιμή, δημιουργώντας έτσι μία σειρά από επίπεδα. Το αποτέλεσμα που μας δίνει, το οποίο φαίνεται και στο σχήμα 4.6, δεν είναι καθόλου ικανοποιητικό ως προς την ακρίβεια αν και υπολογιστικά είναι η πιο γρήγορη μέθοδος. 67

74 Σχήμα 4.6: Προσομοίωση του πεδίου Βy χρησιμοποιώντας επίπεδη προσέγγιση Η γραμμική μέθοδος παρεμβολής είναι από τις πιο απλές τεχνικές υπολογισμού ενδιάμεσων τιμών. Σύμφωνα με αυτή, δημιουργείται μια ευθεία που ενώνει τα δύο παρακείμενα σημεία δεικτών και επιστρέφει μία τιμή εξόδου υπολογισμένη με τη βοήθεια της ευθείας αυτής, η οποία είναι της μορφής y=αx+β. Στην περίπτωση της καμπύλης Βy για παράδειγμα, εάν ως είσοδος στον πίνακα τεθεί η τιμή 700 sec, η γραμμική μέθοδος παρεμβολής θα χρησιμοποιήσει τα παρακείμενα γνωστά σημεία (2)(560,15x10-5) και (3)(1120,40x10-5), για να επιστρέψει ως έξοδο μια τιμή ενδιάμεση των δεδομένων, μία τιμή δηλαδή μεταξύ 15 και 40 μτ (Σχήμα 4.5). Η μέθοδος παρεμβολής spline αποτελεί μία τεχνική η οποία χρησιμοποιεί για τον υπολογισμό των ενδιάμεσων τιμών, έναν ειδικό τύπο τμηματικού πολυωνύμου το οποίο καλείται spline. Ειδικότερα, στην cubic spline τεχνική, το πολυώνυμο αυτό περιέχει όρο υψωμένο στον κύβο. Έτσι, το τμηματικό πολυώνυμο αυτό, εφαρμοσμένο για τις δύο παρακείμενες τιμές δεικτών, επιστρέφει το σημείο του spline που αντιστοιχεί στη τιμή της εισόδου. Παρακάτω, στο σχήμα 4.7, φαίνονται τα αποτελέσματα της καμπύλης Βy για τις δύο αυτές μεθόδους. Συγκεκριμένα με μπλε χρώμα παρουσιάζεται η καμπύλη εξόδου του πίνακα αντιστοιχίας χρησιμοποιώντας τη μέθοδο cubic spline για τον υπολογισμό των ενδιάμεσων τιμών, ενώ με κόκκινο διακρίνεται η καμπύλη εξόδου του πίνακα για χρήση της γραμμικής μεθόδου παρεμβολής. Παρατηρούμε ότι κάθε μέθοδος προσφέρει διαφορετικά χαρακτηριστικά ως προς τον χρόνο 68

75 υπολογισμού και την ομαλότητα των αποτελεσμάτων. Αναλυτικά, η γραμμική παρεμβολή είναι υπολογιστικά γρηγορότερη αλλά προσφέρει λιγότερο ομαλό αποτέλεσμα σε σχέση με αυτό της μεθόδου cubic spline. Αν και ως προς την ομαλότητα και την ακρίβεια της καμπύλης έχουμε πλήρως ικανοποιητικά αποτελέσματα, ο χρόνος υπολογισμού αυξάνεται αρκετά, καθιστώντας την μέθοδο cubic spline ως την πιο αργή σε σχέση με τις άλλες δύο μεθόδους. Σχήμα 4.7: Η καμπύλη του πεδίου Βy με τη γραμμική και την cubic spline μέθοδο παρεμβολής Εκτός του υπολογισμού ενδιάμεσων τιμών, ο πίνακας αντιστοιχίας καλείται να υπολογίσει και να δώσει τιμή εξόδου για εισόδους εκτός του ορισμένου εύρους δεικτών. Στην περίπτωσή μας το εύρος είναι [0,28000]. Μιας και η επιλογή εισόδου γίνεται από το ρολόι της προσομοίωσης, δεν υπάρχει περίπτωση να δοθεί ως είσοδος τιμή μικρότερη του μηδενός. Είναι όμως πολύ πιθανό να τεθεί ως είσοδος τιμή μεγαλύτερη του 28000, η οποία αντιστοιχεί στο τελευταίο ορισμένο δείκτη. Για τον υπολογισμό τιμών εκτός του εύρους, το Simulink χρησιμοποιεί τη μέθοδο της προεκβολής. Οι διαθέσιμες από το λογισμικό τεχνικές είναι, όπως αντίστοιχα και για τον υπολογισμό των ενδιάμεσων τιμών, η γραμμική μέθοδος προεκβολής και η cubic spline τεχνική. Οι δύο αυτές μέθοδοι χρησιμοποιούν το τελευταίο ζεύγος σημείων δεικτών και με βάση μια ευθεία ή ένα τρίτου βαθμού πολυώνυμο τύπου spline αντίστοιχα, επιστρέφουν τιμές που αντιστοιχούν στις εισόδους. Στο 69

76 σχήμα 4.8 φαίνεται η γραφική απεικόνιση της καμπύλης Βy για 6 τροχιές (33600 sec). Κατά τη διάρκεια αυτής της προσομοίωσης, ο πίνακας αντιστοιχίας δέχεται ως είσοδο τιμές μεγαλύτερες από την μέγιστη ορισμένη. Με πράσινο χρώμα διακρίνεται το αποτέλεσμα της καμπύλης με τη χρήση μεθόδου cubic spline, με κόκκινο το αποτέλεσμα της χρήσης της γραμμικής μεθόδου και με μπλε το αποτέλεσμα της χρήσης της μεθόδου αποκοπής (clip method). Η τελευταία είναι η τρίτη επιλογή που μας προσφέρει το Simulink, σύμφωνα με την οποία απενεργοποιείται η όποια μέθοδος προεκβολής και ως επόμενη τιμή ο πίνακας επιστρέφει το στοιχείο του πίνακα που αντιστοιχεί στο τελευταίο σημείο δείκτη. Σχήμα 4.8: Η καμπύλη του πεδίου Βy με τη χρήση διαφόρων μεθόδων προεκβολής Όπως παρατηρούμε, καμία από τις παραπάνω μεθόδους δεν μας δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα. Το πρόβλημα λύνεται με τη χρησιμοποίηση της μαθηματικής συνάρτησης mod, πριν την είσοδο των πινάκων αντιστοιχίας, προσδίδοντας έτσι στις τιμές εισόδου μία περιοδικότητα (Σχήμα 4.11). Συγκεκριμένα, ο χρόνος από το ρολόι της προσομοίωσης διαιρείται μέσω της συνάρτησης mod με την μέγιστη καθορισμένη τιμή εισόδου (28000). Με αυτόν τον τρόπο για παράδειγμα, δίνεται ως είσοδος στον πίνακα η τιμή 1, αντί της τιμής 28001, η τιμή 2 αντί της τιμής και ούτω καθεξής. Πλέον δεν είναι απαραίτητη η χρησιμοποίηση μεθόδου προεκβολής, υπό την παραδοχή όμως μιας 70

77 σχετικής περιοδικότητας του γεωμαγνητικού πεδίου. Σχήμα 4.9: Γραφική απεικόνιση της καμπύλης του πεδίου Βx για 5 τροχιές Σχήμα 4.10: Γραφική απεικόνιση της καμπύλης του πεδίου Βy για 5 τροχιές 71

78 Τελικώς, στα παραπάνω σχήματα (4.9 και 4.10), παρουσιάζονται οι γραφικές παραστάσεις των καμπυλών Βy και Βx του μαγνητικού πεδίου για 5 τροχιές, αποτελέσματα που εξήχθησαν από την χρήση των πινάκων αντιστοιχίας χρησιμοποιώντας για τον υπολογισμό των ενδιάμεσων τιμών, την μέθοδο cubic spline. 4.5 Ολοκλήρωση της προσομοίωσης και αποτελέσματα Έχοντας πλέον μοντελοποιήσει ικανοποιητικά τα Βx και Βy του γεωμαγνητικού πεδίου, ολοκληρώνουμε τον σχεδιασμό του περιβάλλοντος προσομοίωσης της δυναμικής του δορυφόρου. Ο ολοκληρωμένος σχεδιασμός αποτυπώνεται στο σχήμα Σχήμα 4.11: Ολοκληρωμένος σχεδιασμός προσομοίωσης του συστήματος Όπως φαίνεται, η δυναμική εξίσωση του δορυφόρου περιλαμβάνεται στο κυρίως μπλοκ. Οι είσοδοι Βx και Βy του μπλοκ δίνονται από τους πίνακες αντιστοιχίας, ενώ υπάρχει η δυνατότητα επιλογής από τον χρήστη, των τιμών των μαγνητικών ροπών mf και mr. Την κατασκευή συμπληρώνουν μπλοκ γραφικών απεικονίσεων (sinks) για την απόκριση της γωνίας, της γωνιακής 72

79 ταχύτητας και επιτάχυνσης καθώς και των στοιχείων του μαγνητικού πεδίου. Μάλιστα, για την διευκόλυνση του χρήστη, χρησιμοποιούνται μπλοκ ( to workspace block) που αποθηκεύουν και μετατρέπουν σε διανύσματα τις τιμές όλων των παραπάνω στοιχείων καθώς ακόμη του χρόνου και του αριθμού τροχιών με σκοπό την διαχείριση των δεδομένων αυτών στον χώρο εργασίας του Μatlab. Αν και η μελέτη της συμπεριφοράς του συστήματος υπό συνθήκες δεν είναι αντικείμενο της εργασίας αυτής, παρατίθενται παρακάτω τα αποτελέσματα μιας προσομοίωσης για χρόνο ίσο με δύο τροχιές (11200 sec). Για τις μαγνητικές ροπές mf και mr επιλέγονται αντίστοιχα οι τιμές Αm2 και Αm2. Ως αρχική γωνία φ επιλέγεται η τιμή 10 deg, ενώ θεωρούμε ότι αρχικά το σώμα είναι ακίνητο, έχει δηλαδή γωνιακή ταχύτητα και επιτάχυνση ίσες με μηδέν. Σχήμα 4.12: Η απόκριση της γωνίας φ 73

80 Σχήμα 4.13: Η γωνιακή ταχύτητα ω Σχήμα 4.14: Η γωνιακή επιτάχυνση α 74