ΤΕΠΑΚ, Τμήμα Πολιτικών Μηχ. / Τοπογράφων Μηχ. και Μηχ. Γεωπληροφορικής

Transcript

1 ΤΕΠΑΚ, Τμήμα Πολιτικών Μηχ. / Τοπογράφων Μηχ. και Μηχ. Γεωπληροφορικής Μάθημα 6ου Εξαμήνου: Δορυφορική Γεωδαισία (Ακαδ. Έτος ) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ... ΕΞΑΜΗΝΟ... Άσκηση ετοιμότητας για το Ενδιάμεσο Διαγώνισμα Διάρκεια 11 Επιλέξτε και απαντήστε σε δύο από τα ακόλουθα θέματα τα οποία είναι ισοδύναμα. ΘΕΜΑ 1 (α) Θεωρήστε το ουράνιο ισημερινό επίπεδο και το επίπεδο μιας δορυφορικής τροχιάς όπως φαίνονται στο σχήμα. Δείξτε στο σχήμα ή/και εξηγήστε με απλά λόγια Ποιοι είναι οι άξονες Χ, Υ, Ζ του αδρανειακού συστήματος αναφοράς ο άξονας Χ διέρχεται από το σημείο εαρινής ισημερίας γ, ο άξονας Υ είναι κάθετος στον άξονα Χ στο ισημερινό επίπεδο, και ο άξονας Ζ είναι κάθετος στο επίπεδο ΧΥ. Το περίγειο και το απόγειο σημείο Τα σημεία ανάβασης (το σημείο τομής του ισημερινού επιπέδου και της τροχιάς όπου ο δορυφόρος ανέρχεται από το νότιο ημισφαίριο στο βόρειο) και κατάβασης του δορυφόρου (αντίστοιχα το σημείο τομής του ισημερινού επιπέδου και της τροχιάς όπου ο δορυφόρος κατέρχεται από το βόρειο ημισφαίριο στο νότιο)

2 Ποια είναι η γραμμή των αψίδων (η γραμμή μεταξύ των σημείων του περίγειου και του απόγειου) και ποιά η γραμμή των συνδέσμων (η γραμμή μεταξύ των σημείων ανάβασης και κατάβασης) Τα μεγέθη που καθορίζουν το μέγεθος της τροχιάς (ο μεγάλος ημιάξονας a και η εκκεντρότητα e, ή a και η επιπλάτυνση f, ή το a και ο μικρός ημιάξονας b) Τα μεγέθη που καθορίσουν τον προσανατολισμό της τροχιάς στο χώρο (η κλίση της τροχιάς i και η ορθή αναφορά Ω) Τα μεγέθη που περιγράφουν τη θέση του δορυφόρου κατά την κίνηση του στη τροχιά (μια από τις ανωμαλίες συνήθως η Μέση Ανωμαλία Μ, ή η έκκεντρη ανωμαλία Ε ή η αληθής ανωμαλία f) (β) Εξηγήστε ποιες είναι οι κύριες υποθέσεις που κάνουμε στη Δορυφορική Γεωδαισία προκειμένου να περιγραφεί η τροχιά ενός δορυφόρου με Κεπλέρια στοιχεία. Πως αντιμετωπίζεται η περίπτωση της περιγραφής μιας πραγματικής δορυφορικής τροχιάς σε σχέση με την (κεπλέρια) κανονική τροχιά; Εάν δίνονται το διάνυσμα θέσης r(tο) και το διάνυσμα της ταχύτητας ν(tο) ενός δορυφόρου σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή tο, περιγράψτε με απλά λόγια πως θα υπολογίσουμε τα Κεπλέρια τροχιακά στοιχεία και τα διανύσματα θέσης r(t) και ταχύτητας ν(t) σε μια άλλη χρονική στιγμή t. Γενικά, η κίνηση του δορυφόρου μπορεί να μελετηθεί ευκολότερα κάνοντας τη παραδοχή ότι ο δορυφόρος κινείται σε μια κανονική τροχιά γύρω από μια ιδανική Γη, όπου ισχύουν οι εξής υποθέσεις: Η Γη είναι τελείως σφαιρική και η μάζα της είναι συγκεντρωμένη στο κέντρο της Ο δορυφόρος θεωρείται ότι έχει αμελητέα μάζα (σε σχέση με τη μάζα της Γης) Δεν υπάρχει ατμόσφαιρα και ο δορυφόρος κινείται στο κενό Δεν υπάρχουν διαταρακτικές δυνάμεις ασκούμενες στο δορυφόρο, οι οποίες οφείλονται στην επίδραση του Ηλίου, της Σελήνης ή των πλανητών, καθώς και οποιασδήποτε άλλης μορφής ακτινοβολίες. Η τροχιά των δορυφόρων μπορεί να υπολογιστεί με τη βοήθεια μίας κανονικής τροχιάς στην οποία κατόπιν επιφέρουμε μικρές μεταβολές (γνώστες σαν διαταράξεις ή perturbations) που λαμβάνουν υπόψη την απόκλιση του πραγματικού πεδίου βαρύτητας της Γης από το πεδίο βαρύτητας της «ιδανικής» σφαιρικής Γης, και εξ αιτίας των άλλων διαταρακτικών δυνάμεων (π.χ. ατμοσφαιρικές τριβές, παλίρροιες, κ.ά.). Περιγραμματικά θα ακολουθήσουμε τα βήματα: [r(tο),ν(tο)] [a,e,i,ω,ω,μ(to)] [a,e,i,ω,ω,μ(t)= Μ(to)+n(t-to)] [r(tο),ν(tο)] (γ) Αποδείξτε ότι για τις παραγώγους των στοιχειωδών πινάκων στροφών R 1 (θ), R 2 (θ), R 3 (θ) που χρησιμοποιούνται στη δορυφορική Γεωδαισία για τις μετατροπές μεταξύ διαφόρων συστημάτων αναφοράς ισχύει, για κάθε ένα από τους πίνακες στροφής γύρω από τους τρεις άξονες i = 1,2,3 όπου [ ] 1 1 [ Rk( θ) ] = [ ik ] Rk( θ) = Rk( θ)[ ik ] θ 1 = 1 i1 = [ i2 ] i3 1 [ = ] 1

3 Παράδειγμα 1 R 1( θ ) = cosθ sinθ, sin θ cosθ R1 ( θ ) θ = sin θ cos θ cos θ sin θ [ i k x] R1 ( θ ) = cosθ sinθ sinθ = cosθ R1 ( θ ) θ ΘΕΜΑ 2 Απαντήστε με συντομία στις ακόλουθες ερωτήσεις: Τι δυνάμεις πρέπει να ασκούνται σε ένα δορυφόρο στο διάστημα, αφού έχει τεθεί σε τροχιά, για να διατηρεί την κίνηση του με σταθερή ταχύτητα; Η ύπαρξη οποιασδήποτε εξωτερικής (διαταρακτικής) δύναμης θα προκαλούσε επιτάχυνση του δορυφόρου (βάσει του 2 ου νόμου της κίνησης του Νεύτωνα) και συνεπώς μη σταθερή ταχύτητα. Άρα στον δορυφόρο δεν ασκούνται διαταρακτικές δυνάμεις. Υποθέστε ότι ξαφνικά, εξαφανιζόταν η ελκτική δύναμη που ασκεί ο Ήλιος στη Γη. Τι θα συνέβαινε στη Γη στη συγκεκριμένη περίπτωση; Η Γη θα συνέχιζε μια ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή ταχύτητα ίση με την τελευταία ταχύτητα που είχε τη στιγμή που εξαφανίστηκε η ελκτική δύναμη του Ήλιου. Υποθέστε ότι το διαστημικό τηλεσκόπιο Hubble ανακάλυψε ένα αστεροειδή που κινείται γύρω από τον Ήλιο με περίοδο περιφοράς 5 έτη. Σε τι απόσταση σε Αστρονομικές Μονάδες απέχει η αστεροειδής από τον Ήλιο. Εξηγήστε το συλλογισμό σας. Σύμφωνα με τον 3 ο νόμου του Κέπλερ θα ισχύει Τ 2 = a 3 όπου η περίοδος περιφοράς T δίνεται σε έτη και ο μεγάλος ημιάξονας a της ελλειπτικής τροχιάς σε αστρονομικές μονάδες α = (Τ 2 ) 1/3 = (5 2 ) 1/3 = 13.6 AU Οι γεωστατικοί δορυφόροι περιστρέφονται σε κυκλική τροχιά γύρω από τη Γη με τέτοια ταχύτητα που ο χρόνος μιας πλήρους περιστροφής τους γύρω από τη Γη είναι ίσος με την ταχύτητα περιστροφής της Γης (δηλαδή 24 hrs). Σε τι ύψος πάνω από την επιφάνεια τοποθετούνται τέτοιοι δορυφόροι? Ποια είναι η ελκτική δύναμη που ασκείται από τη Γη σε ένα τέτοιο δορυφόρο μάζας 1 kg. Ποια θα ήταν η ελκτική δύναμη που θα ασκούσε η Γη στον ίδιο δορυφόρο όταν αυτός ήταν ακόμα στη Γη πριν την εκτόξευση του; Γιατί δεν τοποθετούμε ανάλογους γεωσύγχρονους δορυφόρους να περιστρέφονται γύρω από τη Γη στο επίπεδο ενός παράλληλου, π.χ. φ=35 ο (όπως φαίνεται ενδεικτικά στο προηγούμενο σχήμα)? Κάτι τέτοιο δεν θα ήταν πιο αποδοτικό για την Κύπρο, παρά να γίνεται χρήση ενός γεωστατικού δορυφόρου σε τροχιά στο επίπεδο το

4 ισημερινού? Εξηγήστε. Θεωρείστε ότι η σταθερά της παγκόσμιας έλξης είναι G = x 1-11 N m 2 / kg 2 = m 3 kg -1 s -2 και η βαρυτική σταθερά είναι μ = GM = kg 3 s -2. Για τους γεωστατικούς δορυφόρους έχουμε περίοδο περιφοράς Τ=24 hrs=864 sec η γωνιακή ταχύτητας τους είναι ν = 2π r / T, όπου r είναι η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς τους. Η κεντρομόλος δύναμη που ασκείται σε αυτούς είναι F C = m ν 2 / r και ισούται με την ελκτική δύναμη της Γης F G = GM m / r 2 (από το νόμο της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα) r 3 = (G M / 4π 2 ) Τ 2 (αυτός είναι ο 3 ος νόμος του Κέπλερ) = = 7.54 x 1 22 m 3 r = 4225 km F G = GM m / r 2 = N. Στην επιφάνεια της Γης ο δορυφόρος θα δέχεται ελκτική δύναμη F = 98 Ν. Όλοι οι δορυφόροι έχουν επίπεδες τροχιές που διέρχονται από το κέντρο της Γης ΔΕΝ γίνεται να μπει ο δορυφόρος σε τροχιά που να διέρχεται από τον παράλληλο με φ=35 ο. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται η μάζα m sat (σε kg), η ακτίνα r της κυκλικής τροχιάς (σε km) και η περίοδος περιστροφής T γύρω από τη Γη (σε sec) τριών τεχνητών δορυφόρων. Υπολογίστε από τα συγκεκριμένα στοιχεία το βάρος της Γης. Εξηγήστε το συλλογισμό σας. Ποιο είναι το βάρος του δορυφόρου (από την οπτική γωνία της Γης)? Από την πλευρά του δορυφόρου, ποιο είναι το βάρος της Γης? JASON-1 INT L SPACE Hubble Space GRACE-1 STATION Telescope m sat r T Χρειάζονται τα ακόλουθα βήματα: 1. Από την επιβατική ακτίνα της τροχιάς του δορυφόρου r, και τη κυκλική ταχύτητα του δορυφόρου v=2π r / T μπορούμε να υπολογίσουμε τη κεντρομόλο επιτάχυνση a centripetal που ασκείται στο δορυφόρο a centripetal = v 2 Satellite r 2. Από τη κεντρομόλο επιτάχυνση a centripetal και τη μάζα του δορυφόρου μπορεί να υπολογιστεί η κεντρομόλος δύναμη, F centripetal, από το 2 ο νόμο της κίνησης του Νεύτωνα F centripetal = m sat a centripetal. 3. η κεντρομόλος δύναμη, F centripetal, ισούται με την ελκτική δύναμη της βαρύτητας μεταξύ του δορυφόρου και της Γης, η οποία είναι συνάρτηση της μάζας του δορυφόρου και της απόστασης του δορυφόρου από το κέντρο της Γης r, F gravity = G m sat m Earth / r 2 = m sat a centripetal m Earth Υποθέστε ότι ένας πλανήτης με μάζα 1 φορές μεγαλύτερη από τη μάζα της Γης περιστρεφόταν γύρω από τον Ήλιο στην ίδια απόσταση με εκείνη της Γης από τον Ήλιο

5 (δηλ. απόσταση μιας Αστρονομικής Μονάδας). Πόσο μικρότερη ή μεγαλύτερη από την αντίστοιχη της Γης θα ήταν η ασκούμενη σε αυτόν ελκτική δύναμη από τον Ήλιο. F H-πλανήτης = (G M H Μ πλανήτης ) / (r H-πλανήτης ) 2 F H-Γη = (G M H Μ Γη ) / (r H-Γη ) 2 (F H-πλανήτης )/( F H-Γη ) = [ Μ πλανήτης (r H-πλανήτης ) 2 ] / [ Μ Γη (r H-Γη ) 2 ] και επειδή (r H-πλανήτης ) = (r H-Γη ) F H-πλανήτης = 1 F H-Γη ΘΕΜΑ 3 (α) Περιγράψτε τα τρία τμήματα του συστήματος GPS και αναφερθείτε ιδιαίτερα στα βασικά χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες του δορυφορικού σχηματισμού του συστήματος GPS, συμπεριλαμβάνοντας και μια σύντομη αναφορά στον τρόπο με τον οποίο γίνεται η αναγνώριση κάθε δορυφόρου στην πράξη κατά τη διάρκεια των μετρήσεων. (β) Εξηγήστε γιατί ο δορυφορικός σχηματισμός GPS είναι σχεδιασμένος με τρόπο που τουλάχιστον 4 δορυφόροι να είναι ορατοί από κάθε σημείο στη Γη; Εξηγήστε σε τι ακριβώς συνίσταται μια μέτρηση της απόστασης δορυφόρου-δέκτη με το GPS και πως διαφέρει μια ανάλογη μέτρηση με ένα δορυφορικό λέιζερ; Γιατί ο εντοπισμός της θέσης ενός σημείου απαιτεί τρεις ταυτόχρονες μετρήσεις από διαφορετικούς δορυφόρους προκειμένου να γίνει μια οπισθοτομία στο χώρο, άλλα και η μέτρηση από ένα τέταρτο δορυφόρο για την επίλυση και ενός επιπλέον αγνώστου που είναι το σφάλμα του χρονομέτρου του δέκτη σε σχέση με τα χρονόμετρα των δορυφόρων. (γ) Ποιες συχνότητες χρησιμοποιούνται στα σήματα των δορυφόρων GPS και πως συνδέονται μεταξύ τους, ώστε να δημιουργηθούν μετρήσεις κώδικα και φάσης του φέροντος κύματος από κάθε δορυφόρο; Τι ακριβώς είναι οι κώδικες ψευδοτυχαίου θορύβου; Εξηγήστε τι άλλες πληροφορίες μεταδίδονται στους δέκτες επιπλέον των κωδικών ψευδοτυχαίου θορύβου που εκπέμπονται από τους δορυφόρους GPS. Η βασική συχνότητα που χρησιμοποιείται από το GPS είναι fo = 1.23 ΜΗz. Όλες οι άλλες συχνότητες είναι πολλαπλάσια της συχνότητας fo, π.χ. f L1 = 154 x f o, f L2 = 12 x f o, (δ) Πως αποκαλείται η διαδικασία δημιουργίας των κωδικών Gold που χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία κωδίκων ψευδοτυχαίου θορύβου; Εξηγήστε πως θα λειτουργούσε η εν λόγω διαδικασία σε μια μνήμη 1 στοιχείων του υποτιθέμενου κώδικα 1+x 4 +x 9 που αρχικά θα αποτελείτο από τις τιμές Ποια θα ήταν τα στοιχεία της συγκεκριμένης μνήμης μετά από 12 βήματα και ποιος θα ήταν ο κώδικας Gold που θα έχει σχηματιστεί στο τέλος των 12 βημάτων; Δυαδικά αθροίσματα: +1 = 1, 1+=1, +=, 1+1= Αρχική κατάσταση της μνήμης

6 1 ο βήμα διαδικασίας ο βήμα διαδικασίας ο βήμα διαδικασίας ο βήμα διαδικασίας ο βήμα διαδικασίας ο βήμα διαδικασίας ο βήμα διαδικασίας ο βήμα διαδικασίας ο βήμα διαδικασίας ο βήμα διαδικασίας ο βήμα διαδικασίας ο βήμα διαδικασίας Στην τελευταία γραμμή τα 1 πρώτα στοιχεία δείχνουν τις τιμές των στοιχείων της αυτοτροφοδοτούμενης μνήμης. Στο τέλος των δώδεκα βημάτων η κώδικας που θα έχει σχηματιστεί θα είναι (δ) Εάν σας δοθεί το παρακάτω απόσπασμα από το αρχείο (σε μορφή RINEX) της τροχιακής εφημερίδας του δορυφόρου GPS-13, απομονώστε τα Κεπλέρια στοιχεία της τροχιάς με τα οποία θα μπορούσατε να υπολογίσετε τη θέση του δορυφόρου σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή των μετρήσεων. Navigation File: D D-1.D+.D+.275D D D D D D D D D D D D D D D D-9.D+.12D+4.D+.7D+1.D D-8.256D D+6.D+.D+.D+ Κατά σειρά από τα αριστερά προς τα δεξιά και από τις γραμμές από πάνω προς τα κάτω, τα Κεπλέρια στοιχεία που δίνονται είναι σημειωμένα με το κίτρινο χρώμα και είναι η Μέση Ανωμαλία Μ(to) το 4 ο στοιχείο στην 2 η γραμμή, η εκκεντρότητα e το 2 ο στοιχείο στη 3 η σειρά, η τετραγωνική ρίζα του μεγάλου ημιάξονα a το 4 ο στοιχείο στη 3 η σειρά, η Ορθή Αναφορά Ω το 3 ο στοιχείο στην 4 η γραμμή, η κλίση της τροχιάς i το 1 ο στοιχείο στην 5 η γραμμή, και το όρισμα του περίγειου ω το 2 ο στοιχείο στην 5 η γραμμή. Ο χρόνος to = [ ] = [Έτος, Μήνας, Μέρα, Ώρα, Λεπτά, Δευτερόλεπτα] είναι η εποχή αναφοράς των τροχιακών στοιχείων.