ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ 6 Κ.Γ. Ευθυµιάδης, Αικ. Σιακαβάρα, Α.Π.Θ., Τµήµα Φυσικής, 6

2 . Το ρεύµα µετατόπισης προστέθηκε θεωρητικά από τον Maxwell στην εξίσωση του Apee ( B = µ j ) προκειµένου η τελευταία να είναι συνεπής µε την εξίσωση ρ συνέχειας του φορτίου ( j + = ). Για ποιόν λόγο κατά τη γνώµη σας δεν είχε παρατηρηθεί πειραµατικά έως τότε; Η δηµιουργία των µαγνητικών πεδίων στα πειράµατα εκείνης της εποχής περιοριζόταν από τους φυσικούς µαγνήτες ( ω = ) και από τους ηλεκτροµαγνήτες που διαρρέονταν από χαµηλής συχνότητας ρεύµατα. Η φύση και η διάδοση της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας ήταν άγνωστη. Το ρεύµα µετατόπισης στα αγώγιµα υλικά (δηλ. στο σύρµα των ηλεκτροµαγνητών) είναι αµελητέο σε σύγκριση µε το ρεύµα αγωγιµότητας στις χαµηλές συχνότητες (σελίδα 6 του βιβλίου). Συνεπώς ήταν αδύνατον να παρατηρηθεί και κατ επέκταση να µετρηθεί.. ύο οµοαξονικά απείρου µήκους σωληνοειδή πηνία έχουν το ίδιο µήκος, γραµµική πυκνότητα σπειρών και αντίστοιχα, διατοµή σπειρών και S (S S )και n n S διαρέονται από ρεύµατα σταθερής έντασης I και I. Τη χρονική στιγµή t= τα σωληνοειδή είναι τοποθετηµένα έτσι ώστε τµήµα µήκους x του µικρότερου ως προς τη διατοµή πηνίου να βρίσκεται µέσα στο άλλο. Με δεδοµένο ότι τα µαγνητικά πεδία που παράγονται είναι αντιπαράλληλα να υπολογιστούν τα εξής: α) Η απωστική δύναµη που ασκείται µεταξύ των πηνίων. β) Αν το µικρότερης διατοµής σωληνοειδές έχει µάζα και είναι ελεύθερο να κινηθεί, να υπολογιστεί ο χρόνος που απαιτείται για να εξέλθει από το χώρο του άλλου σωληνοειδούς. γ) Να υπολογιστεί η ενέργεια που προσέφεραν στο σύστηµα οι πηγές, µε τις οποίες είναι συνδεδεµένα τα σωληνοειδή, στο χρονικό διάστηµα από t= ώσπου το µικρότερο να εξέλθει τελείως από το χώρο του µεγαλύτερου. α) Τα δύο πηνία δηµιουργούν, ανεξάρτητα, στο εσωτερικό τους οµογενή µαγνητικά πεδία B = µ ni και B = µ ni, τα οποία σύµφωνα µε τα δεδοµένα είναι αντιπαράλληλα. Η ενέργεια του µαγνητικού πεδίου στο σύστηµα των δύο πηνίων όταν γενικά τµήµα x του µικρότερου βρίσκεται στο εσωτερικό του µεγαλύτερου είναι: > U = [BS( x) + BS( x) + B(S S)x + (B B)Sx] = [BS+ BS BBSx] µ µ Η δύναµη που ασκείται µεταξύ των δύο πηνίων προκύπτει από τη σχέση du BBS F = U= x = [ BS BS + B(S S) + (B B)S]x F = =µ nniisx dx µ µ και είναι απωστική. β) Το µικρό πηνίο µε την επίδραση της παραπάνω δύναµης θα εκτελέσει επιταχυνόµενη κίνηση, µε επιτάχυνση F α=. Το διάστηµα που θα διανύσει ώσπου να εξέλθει τελείως από το άλλο Κ.Γ. Ευθυµιάδης, Αικ. Σιακαβάρα, Α.Π.Θ., Τµήµα Φυσικής, 6

3 3 σωληνοειδές θα είναι x. Εφόσον η κίνηση είναι επιταχυνόµενη χωρίς αρχική ταχύτητα, ισχύει x t t x = α = µ nn I I S [B S B S B B S x ] µ γ) Η αρχική µαγνητική ενέργεια του συστήµατος είναι + και η τελική [B S + B S ] µ. Άρα αυξήθηκε κατά U = BBSx µ. Εφόσον τα πηνία είναι συνδεδεµένα µε πηγές, οι οποίες διατηρούν σταθερό το ρεύµα και το µαγνητικό πεδίο, η µηχανική ενέργεια που δαπανήθηκε για τη µετακίνηση του µικρού σωληνοειδούς, αντλήθηκε από τις πηγές και είναι κατά µέτρο ίση µε τη µεταβολή της ενέργειας του µαγνητικού πεδίου. Άρα η συνολική ενέργεια που προσέφεραν οι πηγές στο σύστηµα είναι U = U = ΟΛ BBSx µ 3. Πηνίο µήκους L αποτελείται από Ν τετραγωνικές σπείρες πλευράς α και στο χώρο (µ ο,ε ο ),εσωτερικά του πηνίου, υπάρχει µαγνητικό πεδίο έντασης H = zh ˆ cs( βz ωt) sin( βx ω t). Αν ο άξονας του πηνίου είναι παράλληλος προς τη διεύθυνση ẑ, να υπολογιστεί η ηλεκτρεγερτική δύναµη που αναπτύσσεται στα άκρα του όταν είναι ανοικτά. Να θεωρηθεί σαν δεδοµένο ότι L>>α, ότι οι σπείρες εφάπτονται µεταξύ τους και ο αγωγός µε τον οποίο είναι κατασκευασµένο το πηνίο καλύπτεται από µονωτικό υλικό. Η µαγνητική ροή που διέρχεται από µια σπείρα του πηνίου είναι α α Φ = µ Η ds = µ H cs( βz ωt) sin( βx ωt)zˆ zdxdy ˆ. Το πλήθος των σπειρών ανά µονάδα σ ο ο Sσ µήκους είναι n = N/Lκαι σε στοιχειώδες µήκος dz υπάρχουν dν=ndz σπείρες. Λαµβάνοντας υπόψη ότι το µήκος dz είναι πολύ µικρό µπορούµε να θεωρήσουµε ότι από όλες τις σπείρες που υπάρχουν στο διάστηµα αυτό περνά η ίδια ροή (θεωρούµε ουσιαστικά ότι η µεταβολή του µαγνητικού πεδίου είναι απειροστή). Άρα από τις dn σπείρες περνά ροή dφ =Φ ndz και η ροή που διέρχεται από όλο το πηνίο είναι L L α α Φ Ο = Φ σndz = nµ ο H cs( βz ωt)sin( βx ω t)dxdy dz = α α L = nµ H dy sin( βx ωt)dx cs( βz ω t)dz =... = ο 4α βα βl βα βl = nµ οh [sin( )cs( )sin( ωt )sin( ωt)] β σ Κ.Γ. Ευθυµιάδης, Αικ. Σιακαβάρα, Α.Π.Θ., Τµήµα Φυσικής, 6 3

4 4. Σε οµογενές και ισότροπο µέσο (, ε µρ=,, σ= ) υπάρχει ηλεκτροµαγνητικό πεδίο. Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου είναι C (x,y) [ xc ˆ (x y) yc ˆ (x y)]e ω j t Ε = + + όπου C, άγνωστες σταθερές(πραγµατικοί αριθµοί). Αν η πυκνότητα ενέργειας του µαγνητικού πεδίου είναι -3 Jule/ 3 και η συχνότητα f=ghz να υπολογιστεί η ενεργός τιµή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου στη θέση x=, y=. Εφόσον στο χώρο δεν υπάρχουν φορτία για το ηλεκτρικό πεδίο ισχύει: E E x y Ez E= + + = C C = C = C = C x y z Το µαγνητικό πεδίο είναι B j j jωt jc jωt E = = jωβ Β= E = zˆ Ce H = zˆ Ce ω ω ωµ Η σταθερά C, µε δεδοµένη την πυκνότητα του µαγνητικού πεδίου, υπολογίζεται: C u = µ Η = µ C =ω µ u = 3.5 µω 4 Άρα Ε= C(x+ y) + C(x y) = 4V/ E s =9.9V/. 5. ύο παράλληλοι µεταλλικοί δίσκοι βρίσκονται µέσα σε οµογενές µαγνητικό πεδίο τοποθετηµένοι κάθετα στη διεύθυνση του. Να ερµηνεύσετε το φαινόµενο της αµοιβαίας έλξης των δίσκων όταν η ένταση του πεδίου µεταβάλλεται χρονικά. Λόγω της χρονικής µεταβολής του µαγνητικού πεδίου αναπτύσσονται δινορεύµατα στους µεταλλικούς δίσκους (νόµος του Faaday). Τα ρεύµατα αυτά είναι οµόρροπα µε αποτέλεσµα να έλκονται οι δίσκοι (δυνάµεις Laplace). 6. Nα δείξετε ότι, η µέση τιµή του διανύσµατος Pynting ενός ελλειπτικά πολωµένου ηλεκτροµαγνητικού κύµατος, που διαδίδεται στο κενό, ισούται µε το άθροισµα των µέσων τιµών των διανυσµάτων Pynting των δύο επιµέρους γραµµικά πολωµένων κυµάτων που το συνθέτουν. Έστω ότι πεδία του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος περιγράφονται από τις εξισώσεις E = E sin( ωt kx) y και B = B sin( ω t kx) z, όπου ω = πc / λ, k = π / λ και E = cb. α) Θεωρώντας ότι ο αγωγός βρίσκεται στη θέση x =, η ηλεκτρεγερτική δύναµη που αναπτύσσεται σε αυτόν είναι ε α = E sin( ωt) y dyy = Esin( ωt). Κ.Γ. Ευθυµιάδης, Αικ. Σιακαβάρα, Α.Π.Θ., Τµήµα Φυσικής, 6 4

5 β) Η ηλεκτρεγερτική δύναµη που αναπτύσσεται στο αγώγιµο τετραγωνικό πλαίσιο υπολογίζεται dφ d από τη σχέση ε β = = B sin( ωt kx) z dxdyz = E [sin( ωt k ) sin( ωt)] dt dt. Επειδή π π << λ τότε ε β = E[sin( ωt)cs( k) cs( ωt)sin( k) sin( ωt)] E sin( ωt ). λ Συνεπώς η ηλεκτρεγερτική δύναµη που αναπτύσσεται στο πλαίσιο είναι κατά πολύ µικρότερη αυτής που αναπτύσσεται στον ευθύγραµµο αγωγό και προηγείται κατά Να προσδιοριστεί το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο που αντιστοιχεί στα δυναµικά qt V (,t) =, A (,t) = ˆ. Αν το διανυσµατικό δυναµικό µεταβληθεί και 4 πε qt περιγράφεται από τη συνάρτηση A(,t) = ( )ˆ, ποια θα πρέπει να είναι η νέα 4πε συνάρτηση V(,t) αµετάβλητα. ώστε το ηλεκτρικό και το µαγνητικό πεδίο να παραµείνουν A q Η ένταση του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου είναι αρχικά: E= V = ˆ 4πε qt H= A =. Ας ορίσουµε σαν συνάρτηση p(,t) = ˆ τον όρο που προστέθηκε στο 4 πε διανυσµατικό δυναµικό. Η p(,t) αποτελεί την κλήση µιας άλλης βαθµωτής συνάρτησης g(,t) η οποία υπολογίζεται: qt g = p g = p d = qt ˆ d C 4πε = 4πε +. Η νέα τιµή του µαγνητικού πεδίου είναι : H= A + g= (επειδή η στροφή της κλίσης βαθµωτής συνάρτησης είναι µηδενική). Άρα το µαγνητικό πεδίο µένει αµετάβλητο. Για να παραµείνει αµετάβλητο και το g q ηλεκτρικό πεδίο αρκεί το νέο δυναµικό να είναι V = =. 4πε 8. ύο σωληνοειδή µεγάλου µήκους είναι τοποθετηµένα το ένα µέσα στο άλλο και ο κοινός τους άξονας είναι κάθετος στο οριζόντιο επίπεδο. Τα σωληνοειδή είναι τοποθετηµένα σε χώρο ( ε, µ ), έχουν ακτίνες R και R (R < R ), πυκνότητα σπειρών n και n και διαρρέονται από ρεύµα I(t) = Isin( ω t) και I(t) = Isin( ωt) αντίστοιχα. Θεωρήστε φορτίο q το οποίο κρατείται αρχικά ακίνητο σε απόσταση από τον άξονα των σωληνοειδών( < R ). α)ποια θα πρέπει να είναι η σχέση µεταξύ των ρευµάτων ώστε αν το φορτίο πάψει να συγκρατείται, να εκτελέσει ελεύθερη πτώση. β)ποια θα πρέπει να είναι η αντίστοιχη σχέση µεταξύ των ρευµάτων αν R < < R. Το µαγνητικό πεδίο που δηµιουργεί το ρεύµα του κάθε σωληνοειδούς είναι B = zˆ µ nisin( ω t) και B = zˆ µ n I sin( ω t) (µπορούµε να υποθέσουµε αρχικά ότι τα ρεύµατα άρα και τα πεδία έχουν την Κ.Γ. Ευθυµιάδης, Αικ. Σιακαβάρα, Α.Π.Θ., Τµήµα Φυσικής, 6 5

6 ίδια φορά. Το αποτέλεσµα θα δείξει αν η υπόθεση είναι σωστή ή ισχύει το αντίθετο). Στο χώρο εσωτερικά του σωληνοειδούς µε τη µικρότερη ακτίνα, το µαγνητικό πεδίο είναι B = B + B = zˆµ sin( ω t)(n I + n I ) = zb ˆ. Στον ίδιο χώρο η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε I BIZ απόσταση από τον άξονα θα είναι Eφ = ( Iz B E d = ds... ). Αρχικά στο C S C ακίνητο φορτίο ασκούνται δύο δυνάµεις. Η βαρύτητα και η ηλεκτρική δύναµη Fe = qe φ. Όταν αφήσουµε το φορτίο ελεύθερο, για να κινηθεί µόνο µε την επίδραση της βαρυτικής δύναµης αρκεί = (εφόσον κατά την πτώση του θα κινείται παράλληλα προς τη διεύθυνση του B και εποµένως E φ δεν µπορεί το µαγνητικό πεδίο να ασκήσει σ αυτό δύναµη). Σύµφωνα µε τα παραπάνω πρέπει BIZ n I = ni+ ni= =. Αυτή είναι η σχέση που συνδέει τα µεγέθη των ρευµάτων n I και όπως είναι προφανές οι φορές τους θα πρέπει τελικά να είναι αντίθετες. Όταν η θέση του φορτίου είναι ανάµεσα στα δύο σωληνοειδή (R < < R ), το εσωτερικό σωληνοειδές δεν δηµιουργεί µεν µαγνητικό πεδίο στο χώρο αυτό, επάγει όµως ηλεκτρικό πεδίο: R BZ E = φ. Στον ίδιο χώρο υπάρχει και ηλεκτρικό πεδίο που οφείλεται στο εξωτερικό B R B B =Ε φ +Ε φ = Z σωληνοειδές: Eφ =. Το συνολικό ηλεκτρικό πεδίο είναι E φιι Z Z. Για να είναι E φιι =, πρέπει R BZ BZ R R n I = µ = niωcs( ω t) = µ niωcs( ωt). Αυτή είναι η n I σχέση που συνδέει τα µεγέθη των ρευµάτων και οι φορές τους, όπως και στην προηγούµενη περίπτωση, θα πρέπει να είναι αντίθετες I 6 Κ.Γ. Ευθυµιάδης, Αικ. Σιακαβάρα, Α.Π.Θ., Τµήµα Φυσικής, 6 6