ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΥΛΗ

Transcript

1 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΥΛΗ Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε με τους μηχανισμούς αλληλεπίδρασης της ύλης με την ακτινοβολία. Η περιγραφή γίνεται σε επίπεδο Ατομικής Φυσικής θεωρώντας μεταβάσεις σε συστήματα μερικών επιπέδων. Τα ενεργειακά επίπεδα και οι μεταβάσεις σε πιο πολύπλοκα συστήματα μορίων και στερεών δεν εξετάζονται εδώ. Οι περιπτώσεις αυτές αναλύονται κατά περίπτωση στο κεφάλαιο 9 όπου παρουσιάζονται οι διάφορες κατηγορίες των laser και οι βασικοί εκπρόσωποί τους. 5.. Απορρόφηση κι εξαναγκασμένη εκπομπή Στο κεφάλαιο αυτό θα περιγράψουμε με λεπτομέρεια τις διαδικασίες της απορρόφησης κι εξαναγκασμένης εκπομπής σε ένα σύστημα δυο σταθμών που αλληλεπιδρά με μονοχρωματική ακτινοβολία. Στόχος μας είναι να υπολογίσουμε τους ρυθμούς W και W (βλ. σχέσεις.3 και.4). Για το σκοπό αυτό θα ακολουθήσουμε την ημικλασσική προσέγγιση κατά την οποία τα άτομα περιγράφονται από την κβαντομηχανική ενώ τα πεδία περιγράφονται κλασσικά από τις εξισώσεις του Maxwell. (Η προσέγγιση είναι ισχυρή όταν ο αριθμός των φωτονίων που αντιστοιχούν σε μια συχνότητα είναι πολύ μεγαλύτερος του ). Ας υποθέσουμε πως ένα άτομο περιγράφεται από το σύστημα του σχήματος..a,b κι ότι οι καταστάσεις είναι μη εκφυλισμένες. Τότε οι κυματοσυναρτήσεις των δυο σταθμών περιγράφονται από τις ( r, t) u( r)exp[ i( E / ) t] (5.) ( r, t) u ( r)exp[ i( E / ) t] όπου u, (r) είναι οι ιδιοσυναρτήσεις των στάσιμων καταστάσεων και r οι συντεταγμένες του ηλεκτρονίου. Κατά τη διαδικασία της εκπομπής το άτομο περιγράφεται από μια κυματοσυνάρτηση η οποία μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός των δυο παραπάνω κυματοσυναρτήσεων, δηλ. t) a( t) a ( (5.) όπου α, (t) είναι μιγαδικά πλάτη για τα οποία ισχύει α + α = κι επομένως αντιπροσωπεύουν τις πιθανότητες το σύστημα να βρίσκεται στην κατάσταση ή, αντίστοιχα. Η ηλεκτρική διπολική ροπή μ αυτού του ατόμου θα δίνεται από τη σχέση μ e rdv (5.3) όπου e είναι το φορτίο του ηλεκτρονίου. Τότε από τις σχέσεις προκύπτει ότι: μ er a u dv er a u dv * * * * er[ a a u u exp( i t) a a u u exp( i t)] dv όπου το * συμβολίζει τη συζυγή μιγαδικά ποσότητα και (5.4) ( E )/ η συχνότητα E ταλάντωσης. Ο ταλαντωτικός όρος της 3.4 μπορεί να γραφεί πιο απλά ως 6

2 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη * μosc Re[ aa μ exp( it)] (5.5) όπου μ η χρονικά ανεξάρτητη διπολική ροπή (το στοιχείο μήτρας - matrix element - του τελεστή της διπολικής ροπής). * μ uerudv u er u (5.6) Η σχέση 5.5. είναι η έκφραση της διπολικής ροπής ενός ατόμου δυο σταθμών με μεταβαλλόμενους χρονικά πληθυσμούς. Πέρα από τους σταθερούς όρους της 5.4 που μπορεί να επάγουν μια μόνιμη διπολική ροπή, υπάρχει ο όρος ταλάντωσης που διέπεται από τη συχνότητα ω και το πλάτος μ. Έστω τώρα ότι το άτομό μας βρίσκεται μέσα σε ένα ηλεκτρικό πεδίο Ε(t) = Ε sin(ωt), όπου ω ω η κυκλική συχνότητα του πεδίου. Προσέξτε πως το μήκος κύματος του πεδίου λ είναι πολύ μεγαλύτερο από τη διάσταση του ατόμου. Πράγματι για laser στην οπτική περιοχή είναι λ 4 6 nm συγκριτικά με την τυπική διάσταση του ατόμου που είναι ~ Å. Επομένως το πεδίο θα έχει την ίδια τιμή σε όλη την περιοχή του ατόμου. Το πεδίο Ε(t) αλληλεπιδρά με την διπολική ροπή του ατόμου μ. Με βάση την κβαντομηχανική το η αλληλεπίδραση αυτή περιγράφεται από την Χαμιλτονιανή H = μ E η οποία και εισάγεται ως διαταραχή στη χρονικά εξαρτώμενη εξίσωση Schrödinger (το πεδίο είναι ασθενές συγκριτικά με το Κουλομπικό πεδίο /r του ατόμου). Επειδή τώρα ω ω, η αλληλεπίδραση αυτή θα οδηγήσει σε μεταβάσεις μεταξύ των καταστάσεων και. Η λεπτομερής περιγραφή αυτών των μεταβάσεων άπτονται υπολογιστικών τεχνικών που ξεφεύγουν το σκοπό του μαθήματος. Ο φοιτητής παραπέμπεται σε βιβλία κβαντικής/ατομικής φυσικής. Για το λόγο αυτό δίνεται το τελικό αποτέλεσμα με την συνθήκη ότι στην αρχή του χρόνου t= έχουμε α () = και α () =, δηλ. ο πληθυσμός είναι όλος στην βασική κατάσταση. Τότε η χρονική εξέλιξη της κατάστασης περιγράφεται από τη σχέση: a ( t) E ( v v) t (5.7) 3h όπου ν=ω/π και δ η συνάρτηση δέλτα του Dirac. Τότε ο ρυθμός μετάβασης μπορεί εύκολα να υπολογιστεί παραγωγίζοντας ως προς το χρόνο την 5.7. Άρα E ( v v 3h W sa ) (5.8) Ο δείκτης sa αναφέρεται στο ένα άτομο (single atom). Η εξίσωση 5.8 συχνά γράφεται στην πιο βολική μορφή της εισάγοντας την πυκνότητα ενέργειας ρ του ΗΜ πεδίου αντί του πλάτους Ε του πεδίου ως: ( v v 3n h W sa όπου ρ = n ε Ε /, n ο δείκτης διάθλασης κι ε η διηλεκτρική σταθερά. ) (5.9) Το αποτέλεσμα της 5.9 έχει ένα εμφανώς αφύσικο χαρακτηριστικό. Ο ρυθμός μετάβασης είναι μηδέν για ν ν ενώ απειρίζεται για ν=ν. Αυτό είναι απόρροια των αφύσικων 6

3 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη υποθέσεων που κάναμε δηλ. πεδίο άπειρης διάρκειας που συνεπάγεται μαθηματικά μονοχρωματικές συχνότητες, και επίσης μαθηματικά μονοενεργειακές στάθμες. Όπως θα δούμε και παρακάτω, ακόμη κι αν δεχτούμε τα πεδία αυστηρά μονοχρωματικά, οι ενεργειακές στάθμες των ατόμων υφίστανται διαπλατύνσεις. Η λύση στο παραπάνω πρόβλημα λοιπόν είναι η αντικατάσταση της συνάρτησης Dirac με μια κανονικοποιημένη κατανομή συχνοτήτων συμμετρική γύρω από την ν. Θα ονομάσουμε g(ν-ν ) αυτήν την συνάρτηση και θα μελετήσουμε αργότερα τη μορφή και τις ιδιότητές της. Έτσι ο ρυθμός μετάβασης γράφεται g( v v 3n h W sa ) (5.) Στη συνέχεια θεωρούμε την περίπτωση της εξαναγκασμένης εκπομπής. Το πρόβλημα είναι πανομοιότυπο με αυτό της απορρόφησης με τη διαφορά πως οι αρχικές συνθήκες είναι τώρα α () = και α () =, δηλ. ο πληθυσμός είναι όλος στην διεγερμένη κατάσταση. Αποδεικνύεται ότι η λύση είναι ταυτόσημη με αυτή της απορρόφησης αρκεί να εναλλάξουμε τους δείκτες και. Άρα θέτοντας μ = μ = μ sa sa sa W W W g( v v 3n h ) (5.) Είναι χρήσιμο να συμπεριλάβουμε στην έκφραση 5. την περίπτωση που έχουμε επίπεδα κύματα. Τότε η ένταση Ι του κύματος είναι Ι = cρ/n, οπότε η 5. γράφεται W sa 3n ch Ig( v v ) (5.) 5.. Αυθόρμητη εκπομπή Το φαινόμενο της αυθόρμητης εκπομπής δεν μπορεί να περιγραφεί σωστά με την ημικλασσική προσέγγιση. Η ακριβής λύση του απαιτεί κβαντομηχανική περιγραφή τόσο του ατόμου όσο και του πεδίου, η οποία προφανώς είναι εκτός του σκοπού του μαθήματος. Το αποτέλεσμα μιας τέτοιας αντιμετώπισης είναι η περιγραφή του ρυθμού μετάβασης από τη σχέση vn A 3 (5.3) 3h c Παράδειγμα 5.. Υπολογισμός του ρυθμού αυθόρμητης εκπομπής Α για διπολικές μεταβάσεις. Με βάση τη σχέση 5.3 για λ = 5 nm και μ = e r, με r. nm προκύπτει ότι Α 8 s -. Επομένως ο χρόνος ζωής μιας τέτοιας κατάστασης (που μπορεί να αποδιεγερθεί με διπολική μετάβαση) είναι τ sp ns. Παρατηρείστε ότι ο ρυθμός Α εξαρτάται από την τρίτη δύναμη της συχνότητας. Επομένως ο ρόλος του πρέπει να είναι πολύ σημαντικός σε μεγάλες συχνότητες. Πράγματι στην περιοχή των x-ray laser (λ < 5 nm) ο Α γίνεται τόσο μεγάλος ώστε οι τιμές του χρόνου ζωής μιας διπολικής ζεύξης δυο καταστάσεων να γίνεται τ sp < fs και να δυσκολεύει πολύ την διαδικασία της αντιστροφής πληθυσμού. 63

4 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη 5.3. Η θερμοδυναμική αντιμετώπιση του Einstein Ο Einstein περίγραψε τα φαινόμενα της απορρόφησης, εξαναγκασμένης κι αυθόρμητης εκπομπής με ένα στατιστικό τρόπο και μάλιστα πριν τους κβαντομηχανικούς υπολογισμούς. Στο στατιστικό του μοντέλο περιγράφει σωστά τη σχέση μεταξύ των ρυθμών απορρόφησης, εξαναγκασμένης κι αυθόρμητης εκπομπής. Οι υπολογισμοί του βασίζονται στο εξής επιχείρημα. Έστω ότι ένα υλικό τοποθετείται μέσα σε μια κοιλότητα μέλανος σώματος της οποίας τα εσωτερικά τοιχώματα διατηρούνται σε σταθερή θερμοκρασία Τ. Μετά την αποκατάσταση της θερμοδυναμικής ισορροπίας η πυκνότητα ενέργειας της ΗΜ ακτινοβολίας θα περιγράφεται από την σχέση (θεωρία μέλανος σώματος). 8v hv v 3 (5.4) ( c / n) exp( hv / kt) Σε αυτές τις συνθήκες θερμοδυναμικής ισορροπίας ο αριθμός των μεταβάσεων από την κατάσταση στην κατάσταση θα είναι ίσος με αυτόν των μεταβάσεων από την κατάσταση στην κατάσταση. Επομένως μπορούμε να γράψουμε W Bv (5.5) W B v όπου Β οι σταθεροί συντελεστές γνωστοί ως συντελεστές Einstein. Tότε εάν N και N οι πληθυσμοί αυτών των καταστάσεων ισχύει: AN B N B (5.6) v v N Από την στατιστική Boltzmann για μη εκφυλισμένες καταστάσεις έχουμε (βλ. σχέση.7) N hv exp (5.7) N kt Οι σχέσεις 5.5 και 5.6 δίνουν A v (5.8) B B exp( hv / kt) Από τη σύγκριση των 5.4 και 5.8 για ν = ν, προκύπτει ότι: B A B B 8hv ( c / n) B 3 3 (5.9) Η τεχνική του Einstein μας έδωσε το αποτέλεσμα ότι οι ρυθμοί απορρόφησης κι εξαναγκασμένης ταλάντωσης είναι οι ίσοι, όπως δείξαμε και κβαντομηχανικά. Επίσης μας δίνει το λόγο των ρυθμών αυθόρμητης κι εξαναγκασμένης εκπομπής Α/Β. Αν και δεν μπορεί να προβλέψει την ακριβή τιμή του καθενός, εμείς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το αποτέλεσμα των κβαντομηχανικών υπολογισμών και να βρούμε τα Α και Β. Πράγματι συγκρίνοντας τις 5.9, 5.5 και 5.9 προκύπτει εύκολα ότι 64

5 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη B 3n h vn A 3 3h c (5..a) (5..a) Παρατηρείστε πως το αποτέλεσμα στην τιμή του Α είναι ακριβώς το ίδιο με αυτό των κβαντικών ηλεκτροδυναμικών υπολογισμών! 5.4. Μηχανισμοί διαπλάτυνσης Στη μέχρι τώρα ανάλυσή μας θεωρήσαμε ένα μόνο άτομο. Έτσι για παράδειγμα η φασματική κατανομή μιας μετάβασης καθορίστηκε μόνο από τις ατομικές ιδιότητες. Ωστόσο η παραπάνω θεώρηση επιδέχεται δραστικές αλλαγές λαμβάνοντας υπόψη τη συμπεριφορά ενός συνόλου ατόμων που βασικά δρουν ως ο ενισχυτής του laser. Ιδιαίτερα, αλλοίωση επιδέχεται η φασματική κατανομή των γραμμών μετάβασης καθώς διαπλατύνονται εξαιτίας συγκεκριμένων διαδικασιών που εξαρτώνται από τη φύση του υλικού. Οι διαδικασίες αυτές ονομάζονται μηχανισμοί διαπλάτυνσης χωρίζονται σε δυο κατηγορίες. α) στους ομογενείς όπου η διαπλατυσμένη φασματική κατανομή των ατομικών μεταβάσεων είναι η ίδια για όλα τα άτομα και β) στους μη-ομογενείς όπου η διαπλατυσμένη φασματική κατανομή των ατομικών μεταβάσεων δεν είναι ίδια για όλα τα άτομα και κατά συνέπεια δομείται σε ένα γενικότερο φάσμα Ομογενής διαπλάτυνση Ο πρώτος μηχανισμός ομογενούς διαπλάτυνσης είναι αυτός της διαπλάτυνσης λόγω κρούσεων. Στα αέρια οφείλεται στις κρούσεις των ατόμων/μορίων με τα άλλα άτομα/μόρια, ιόντα, ηλεκτρόνια, κτλ., αλλά και με τα τοιχώματα του περιβάλλοντα χώρου. Στα στερεά οφείλεται στις αλληλεπιδράσεις των ατόμων του πλέγματος με τα φωνόνια του κρυστάλλου. Μετά από μια κρούση η κυματοσυνάρτηση του συστήματος δυο σταθμών υπόκειται μια τυχαία αλλαγή φάσης η οποία αντικατοπτρίζεται στην ίδια αλλαγή φάσης της διπολικής του ροπής. Ως αποτέλεσμα διακόπτεται η σύμφωνη αλληλεπίδραση ατόμου-ημ πεδίου. Εφόσον στην αλληλεπίδραση τον κύριο ρόλο παίζει η διαφορά φάσης κι όχι η απόλυτη τιμή της, μπορούμε να θεωρήσουμε προς διευκόλυνσή μας ότι η αλλαγή φάσης γίνεται στο πεδίο ενώ του ατόμου παραμένει σταθερή. Ως ισοδύναμο αποτέλεσμα το πεδίο δεν είναι ημιτονοειδές αλλά παρουσιάζει ασυνέχειες, όπως στο σχήμα.7 του Κεφ.. Ο ρυθμός μετάβασης τότε περιγράφεται από τη σχέση 5. που όμως τώρα ισχύει για όλο τον πληθυσμό των ατόμων κι όχι μόνο για ένα, γεγονός αναμενόμενο αφού για ομογενή διαπλάτυνση όλα τα άτομα έχουν την ίδια διαπλάτυνση. Μένει τώρα να προσδιορίσουμε την ακριβή σχέση της φασματικής πυκνότητας g(ν-ν ) της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Αυτή εξαρτάται από τον μέσο χρόνο που μεσολαβεί μεταξύ των κρούσεων τ c = <τ>. Υποθέτουμε ότι η πυκνότητα πιθανότητας p τ του χρόνου κρούσεων 65

6 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη (δηλ. η πιθανότητα δυο διαδοχικές κρούσεις να βρίσκονται στο διάστημα τ και τ+δτ) μπορεί να περιγραφεί από τη σχέση exp( / c) p (5.) Είναι απλό να επαληθεύσει κανείς ότι c p d. Το παραπάνω μαθηματικό πρόβλημα αντιστοιχεί στο να υπολογίσει κανείς τη φασματική κατανομή ενός κύματος όπως αυτού του σχήματος.7 για το οποίο ο χρόνος συμφωνίας τ έχει κατανομή που περιγράφεται από τη σχέση 5.. Αποδεικνύεται ότι η φασματική κατανομή περιγράφεται από τη σχέση g( v v) c 4 ( v v ) (5.) Η κατανομή αυτή είναι Λορεντζιανή με μέγιστη τιμή το τ c και φασματικό πλάτος (FWHM) v (5.3) c Ένας δεύτερος μηχανισμός ομογενούς διαπλάτυνσης προέρχεται από την αυθόρμητη αποδιέγερση. Είναι η φυσική ενδογενής διαπλάτυνση των ενεργειακών σταθμών που περιγράφεται πλήρως από την κβαντική ηλεκτροδυναμική. Αποδεικνύεται ότι κι αυτή η περίπτωση περιγράφεται όπως και η διαπλάτυνση κρούσεων από μια Λορεντζιανή της μορφής 5. με φασματικό πλάτος όμως v (5.4) Όπου τ sp ο χαρακτηριστικός χρόνος (FWHM) της αυθόρμητης εκπομπής. sp c c Παράδειγμα 5.. Διαπλάτυνση κρούσεων σε laser He-Ne. Έστω ότι οι ατμοί He-Ne βρίσκονται σε πίεση P. Μια εκτίμηση του τ c προκύπτει ως τ c =l/υ th, όπου l η μέση ελεύθερη διαδρομή του ατόμου στο αέριο και υ th η μέση θερμική ταχύτητά του. Από την κινητική θεωρία των αερίων για μονοατομικά αέρια έχουμε για την υ th : 3 / M kbt th RMS (3kBT / M ) Όσον αφορά τη μέση ελεύθερη διαδρομή αυτή υπολογίζεται από το μοντέλο της σκληρήςσφαίρας. Σε αυτό το άτομο θεωρείται ως ασυμπίεστη σφαίρα ακτίνας r που κατά τη διαδρομή του σαρώνει όγκο πr υ th t. Ο αριθμός των κρούσεων Ζ στη μονάδα του χρόνου είναι ίσος με τον αριθμό των ατόμων μέσα σε αυτό τον όγκο, δηλ. Ζ= πr υ th t n v, όπου n v ο αριθμός των ατόμων στη μονάδα του όγκου. Επομένως ό t th έ ύ ή r thtnv r ό ό ύ n v 66

7 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη Για την ακρίβεια η σωστή έκφραση είναι / r n λόγω της σχετικής κίνησης των ατόμων. Δεδομένου ότι Επομένως PV Nk T n B v N V v P προκύπτει ότι k T M k Mk T BT B 3k T r P 6r P c th B B k B T r P Θεωρώντας r. nm και P =.5 Torr προκύπτει ότι τ c.5 μs και άρα Δν.64 MHz. Παρατηρείστε ότι Δν ~ P. Παράδειγμα 5.3. Υπολογισμός του φυσικού πλάτους για διπολική μετάβαση. Βασιζόμενοι στα αποτελέσματα του παραδείγματος 5. είναι τ sp ns. Άρα Δν 6 ΜΗz. Παράδειγμα 5.4. Φασματικό εύρος ενός Nd:YAG laser. Στους ιοντικούς κρυστάλλους με προσμίξεις οι κρούσεις γίνονται μεταξύ των ιόντων και των φωνονίων του κρυστάλλου. Ο αριθμός των φωνονίων του κρυστάλλου είναι συνάρτηση της θερμοκρασίας. Έτσι για θερμοκρασία δωματίου αναφέρουμε πως η ομογενής διαπλάτυνση είναι GHz Μη-ομογενής διαπλάτυνση Η πρώτη περίπτωση μη ομογενούς διαπλάτυνσης έρχεται από τα ιόντα σε ιοντικούς κρυστάλλους ή γυαλιά. Τα ιόντα αυτά βρίσκονται σε ένα τοπικό ηλεκτρικό πεδίο που παράγεται από τα γειτονικά άτομα του κρυστάλλου ή γυαλιού. Εξαιτίας των ανομοιογενειών του μέσου, ειδικά στο γυαλί, τα πεδία αυτά διαφέρουν από ιόν σε ιόν, με αποτέλεσμα να αλλοιώνονται οι ενεργειακές τους καταστάσεις (Stark effect). Στο φαινόμενο οφείλεται ο όρος μη-ομογενής διαπλάτυνση. Αποδεικνύεται ότι για τυχαίες ανομοιογένειες η κατανομή των συχνοτήτων μεταβάσεων g(ν-ν ) περιγράφονται από Γκαουσιανές κατανομές. Παράδειγμα 5.5. Φασματικό εύρος ενός Nd:glass laser. Πρόκειται για γυαλί πυριτίου με προσμίξεις ιόντων Nd 3+. Εξαιτίας των ανομοιογενειών του γυαλιού το φασματικό εύρος της μετάβασης λ =.5 μm είναι Δν 5.4 ΤΗz, δηλ. περίπου 4 φορές μεγαλύτερο από το αντίστοιχο της ομογενούς διαπλάτυνσης του Nd:YAG (βλ. παραδ. 5.4). Ένας δεύτερος μηχανισμός μη ομογενούς διαπλάτυνσης έρχεται από τα αέρια, και είναι γνωστός ως διαπλάτυνση Doppler. Υποθέτουμε πως ένα ΗΜ κύμα συχνότητας ν διαδίδεται στον άξονα z κι έστω υ z η ταχύτητα του ατόμου στην κατεύθυνση αυτή. Με βάση το φαινόμενο Doppler, η κατάσταση είναι ισοδύναμη με το να θεωρήσουμε το άτομο ακίνητο 67

8 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη και το κύμα με συχνότητα ν = ν (- υ z /c), όπου c η ταχύτητα του φωτός στο μέσο. Η απορρόφηση από το άτομο συμβαίνει μόνο όταν η φαινομενική συχνότητα ν του ΗΜ κύματος είναι ίση με τη συχνότητα μετάβασης ν. Άρα ν (- υ z /c) = ν ή ν = ν /(- υ z /c). Το τελευταίο αποτέλεσμα μπορούμε να το ερμηνεύσουμε ως τη νέα συχνότητα μετάβασης ' v v (5.5) c z / του ατομικού συστήματος η οποία είναι διαπλατυσμένη κατά /(-υ z /c). Για να υπολογίσουμε τη φασματική συνάρτηση διαπλάτυνσης g(ν - ν ) χρησιμοποιούμε την κινητική θεωρία των αερίων και συγκεκριμένα την κατανομή Maxwell-Boltzmann. Αποδεικνύεται ότι η κατανομή είναι Γκαουσιανή με FWHM φασματική διαπλάτυνση / ln kb T v v (5.6) Mc Παράδειγμα 5.6. Φασματικό εύρος Doppler ενός He-Ne laser. Έστω λ = 63.8 nm και Τ = 3 Κ. Από την 5.6 προκύπτει ότι Δν.7 GΗz. Συγκρίνοντας με το παράδειγμα 5. της ομογενούς διαπλάτυνσης κρούσεων όπου Δν.64 ΜΗz και το παράδειγμα 5.3 της φυσικής διαπλάτυνσης Δν 6 ΜΗz, βλέπουμε ότι η διαπλάτυνση Doppler είναι ο κύριος παράγοντας διαπλάτυνσης Ενεργός διατομή μετάβασης, απορρόφηση κι ενίσχυση Ο ρυθμός μετάβασης W είναι ανάλογος της πυκνότητα ενέργειας ρ του ΗΜ πεδίου (σχέση 5.9), άρα και της έντασης του ΗΜ πεδίου Ι, επομένως και της ροής φωτονίων F=I/hν. Μπορούμε λοιπόν να ορίσουμε την ενεργό διατομή (cross section) της μετάβασης ως W (5.7) F δικαιολογώντας έτσι τις σχέσεις.5 που είχαμε ορίσει αυθαίρετα στο κεφ.. Επομένως η ενεργός διατομή της απορρόφησης ή της εξαναγκασμένης εκπομπής (είναι ίσες εφόσον τα W είναι ίσα) περιγράφεται από τη σχέση: vg( v v) (5.8) 3n ch Πρέπει να τονιστεί στο σημείο αυτό ότι η ενεργός διατομή της μετάβασης σ εξαρτάται μόνο από τις παραμέτρους των υλικών ( μ, ν, g(ν-ν ) ) και την συχνότητα ν του προσπίπτοντος κύματος. Επομένως η γνώση του σ συναρτήσει της ν αρκεί για να περιγραφεί η διαδικασία αλληλεπίδρασης. Ένας άλλος τρόπος να περιγράψει κανείς την αλληλεπίδραση της ακτινοβολίας με την ύλη είναι μέσω της ποσότητας α: a ( N N) (5.9) 68

9 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη Όταν Ν > Ν η σταθερά λέγεται συντελεστής απορρόφησης. Αν και η εξάρτηση του α από τους πληθυσμούς δεν φαίνεται να την κάνει καλή παράμετρο εντούτοις είναι βολική πειραματική παράμετρος αφού μετρείται πολύ εύκολα. Όταν Ν > Ν ο συντελεστής απορρόφησης γίνεται αρνητικός, επομένως το ΗΜ κύμα ενισχύεται αντί να απορροφάται. Σε αυτή την περίπτωση εισάγουμε μια νέα ποσότητα τον συντελεστή ενίσχυσης g: g ( N N) (5.3) Στην περίπτωση που οι ενεργειακές στάθμες είναι εκφυλισμένες με εκφυλισμό g και g για τους πληθυσμούς Ν και Ν, αντίστοιχα, οι σχέσεις 5.9 και 5.3 γράφονται: a N N ( g / )] (5.3) [ g g N N ( g / )] (5.3) [ g 5.6. Μη ακτινοβολητικές μεταβάσεις Οι διεγερμένες καταστάσεις της ύλης γενικά μπορούν να αποδιεγερθούν χωρίς την εκπομπή ακτινοβολίας και μάλιστα σε πολλές περιπτώσεις αυτός είναι ο σημαντικότερος μηχανισμός αποδιέγερσης. Ο κύριος μηχανισμός μη ακτινοβολητικών αποδιεγέρσεων είναι η αποδιέγερση λόγω κρούσεων. Στα αέρια και τα υγρά η ενέργεια αποδιέγερσης μπορεί να μεταφερθεί στα αλληλοσυγκρουόμενα σώματα και τα τοιχώματα του δοχείου μετατρεπόμενη σε κινητική ενέργεια. Στα στερεά, όπως στους ιοντικούς κρυστάλλους και γυαλιά, η ενέργεια ενός διεγερμένου ιόντος μπορεί να μεταφερθεί στα φωνόνια του κρυστάλλου ή στις δονήσεις του γυαλιού. Η λεπτομερής περιγραφή μη ακτινιβολητικών μεταβάσεων είναι περίπλοκη από τη φύση της και μόνο η ποιοτική περιγραφή της έχει νόημα στο σημείο αυτό. Συνήθως θεωρούμε πως η διαδικασία μπορεί να περιγραφεί από μια σχέση της μορφής.. Υποθέτοντας λοιπόν πως το σύστημα δυο σταθμών μας έχει τόσο ακτινοβολητικές όσο και μη ακτινοβολητικές μεταβάσεις μπορούμε να γράψουμε dn N N N dt R (5.33) NR όπου (5.34) R NR Αυτή είναι η βάση για τον υπολογισμό της χρονικής εξάρτησης του Ν. Στο κεφάλαιο 5.7 θα δούμε ένα τέτοιο παράδειγμα λεπτομερέστερα. 69

10 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη 5.7. Κορεσμός Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε τη συμπεριφορά ενός συστήματος σταθμών στην παρουσία ενός ισχυρού ΗΜ πεδίου. Για παράδειγμα σε ένα σύστημα δυο σταθμών με αρχικό πληθυσμό στην βασική κατάσταση, αναμένεται πως η αλληλεπίδραση με ισχυρό ΗΜ πεδίο κατάλληλης συχνότητας κι έντασης θα καταστήσει τους πληθυσμούς των δυο σταθμών ίσους μετά την πάροδο εύλογου χρονικού διαστήματος. Το φαινόμενο αυτό καλείται κορεσμός Κορεσμός απορρόφησης: Ομογενής διαπλάτυνση Θα θεωρήσουμε σύστημα δυο σταθμών με πληθυσμούς Ν > Ν και ομογενή διαπλάτυνση της ενεργειακής μετάβασης. Ο ρυθμός μεταβολής του διεγερμένου πληθυσμού Ν εξαιτίας των φαινομένων της απορρόφησης, εξαναγκασμένης εκπομπής και αυθόρμητης εκπομπής (ακτινοβολητικής και μη ακτινοβολητικής) μπορεί να γραφεί ως: dn dt dn dt WN N WN WN N WN Εισάγοντας τις μεταβλητές Ν Τ = Ν + Ν και ΔΝ = Ν - Ν, η 5.35 δίνει dn dt N( W ) Στην κατάσταση ισορροπίας όπου dδν/dt =, έχουμε N T (5.35a) (5.35b) (5.36) NT N (5.37) W Ωστόσο για να διατηρείται το σύστημα σε ισορροπία πρέπει να απορροφά ενέργεια από την προσπίπτουσα ακτινοβολία. Η ισχύς ανά μονάδα όγκου δίνεται από τη σχέση dp dv WN T NT ( hv) WN hv hv W / W Επειδή σε συνθήκες κορεσμού ισχύει Wτ >>, τελικά προκύπτει ότι dp dv S NT hv (5.38) (5.39) Η 5.39 μας λέει πως η ισχύς που πρέπει να απορροφάται από το σύστημα έτσι ώστε αυτό να βρίσκεται σε κορεσμό είναι ίση με αυτή που χάνεται από το σύστημα εξαιτίας της αυθόρμητης εκπομπής του πληθυσμού Ν Τ /! Μερικές φορές είναι χρήσιμο να γράψουμε τις 5.37 και 5.38 σε μια πιο βολική μορφή. Λαμβάνοντας υπόψη ότι σ = W/F => W = σf = σι/hν έχουμε N N I / (5.4) T I S 7

11 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη όπου dp / dv ( dp / dv ) S I / I I / I S (5.4) S hv I S (5.4) Η I S ονομάζεται ένταση κορεσμού κι εξαρτάται από το υλικό και τη συχνότητα του προσπίπτοντος κύματος. Τότε η απορρόφηση α (σχέση 5.9) γράφεται a a (5.43) I / όπου a N I S T. Παρατηρείστε ότι όταν αυξάνει η ένταση της προσπίπτουσας δέσμης I τότε ο συντελεστής απορρόφησης μειώνεται. Ωστόσο η συναρτησιακή της μορφή παραμένει η ίδια (σχέση 5.8), όπως παρουσιάζεται και στο σχήμα 5. Σχ. 5.. Συμπεριφορά του συντελεστή απορρόφησης συναρτήσει της συχνότητας ν για αυξανόμενες τιμές της έντασης I (ομογενής διαπλάτυνση) Κορεσμός ενίσχυσης: Ομογενής διαπλάτυνση Στη συνέχεια θεωρούμε την περίπτωση υλικού όπου η μετάβαση παρουσιάζει ενίσχυση. Για το λόγο αυτό θεωρούμε σύστημα τεσσάρων σταθμών όπως στο σχήμα 5.. Το σύστημα αντλείται με κάποια βολική διαδικασία και θεωρούμε τις μεταβάσεις 3 και g πολύ γρήγορες έτσι ώστε Ν 3 Ν. 7

12 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη Σχ. 5.. Σύστημα τεσσάρων σταθμών σε κορεσμό. Με τις παραπάνω παραδοχές το σύστημα περιγράφεται από τη εξής εξίσωση ρυθμών μετάβασης (rate equation): dn R WN N P (5.44) dt R P είναι ο ρυθμός άντλησης. Στην κατάσταση ισορροπίας όπου dν /dt =, έχουμε RP N N (5.45) W I / I όπου Ν = R P τ είναι ο πληθυσμός στη στάθμη απουσία της δέσμη laser, δηλ. όταν Ι =. Επίσης hv I S (5.46) Ο λόγος που οι τιμές των εντάσεων κορεσμού σε σύστημα δυο σταθμών και σύστημα τεσσάρων σταθμών διαφέρουν κατά παράγοντα, οφείλεται στο γεγονός ότι στο σύστημα δυο σταθμών η αλλαγή στον πληθυσμό της μιας κατάστασης συνεπάγεται σε μια ίση αλλαγή στην άλλη. Επομένως το ΔΝ ισούται με δυο φορές την αλλαγή του πληθυσμού στην εκάστοτε κατάσταση. Τέλος ο συντελεστής ενίσχυσης g (σχέση 5.3) γράφεται g g (5.47) I / όπου g = σn είναι ο συντελεστής ενίσχυσης απουσία της δέσμη laser, δηλ. όταν Ι =. Όπως και στην περίπτωση του συντελεστή απορρόφησης, όταν αυξάνει η ένταση της προσπίπτουσας δέσμης τότε ο συντελεστής ενίσχυσης μειώνεται. Ωστόσο η συναρτησιακή του μορφή παραμένει η ίδια (σχέση 5.8), όπως και στην περίπτωση του συντελεστή απορρόφησης. I S S Κορεσμός: Μη-ομογενής διαπλάτυνση Τα φαινόμενα κορεσμού είναι πιο πολύπλοκα σε αυτή την περίπτωση και θα εξεταστούν μόνο ποιοτικά. Θα υποθέσουμε πως η γραμμή της ενεργειακής μετάβασης διαπλατύνεται 7

13 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη τόσο ομογενώς όσο και μη ομογενώς. Τότε το προφίλ της φασματικής γραμμής μπορεί να προκύψει ως η συνέλιξη (convolution) ομογενών συνεισφορών διαφορετικής κεντρικής συχνότητας όπως το παράδειγμα της απορρόφησης στο σχήμα 5.3. Σχ Μοντέλο φασματικής κατανομής της απορρόφησης για ομογενής και μη ομογενής μηχανισμούς. Η ολική απορρόφηση προκύπτει ως συνέλιξη ομογενών γραμμών από διαφορετικά άτομα. Σε αυτή την περίπτωση ωστόσο διαφορετικές περιοχές συχνοτήτων ενδέχεται να έχουν διαφορετική απορρόφηση κορεσμού. Έτσι αυξάνοντας την προσπίπτουσα ένταση μπορεί για παράδειγμα μια στενή σχετικά φασματική περιοχή να φτάσει πιο γρήγορα σε κορεσμό με αποτέλεσμα η συγκεκριμένη φασματική περιοχή να παραμένει αδρανής σε περεταίρω αύξηση της έντασης. Ποιοτικά η κατάσταση περιγράφεται στο σχήμα 5.4. Αντίστοιχα ισχύουν και για την φασματική κατανομή της ενίσχυσης g. Σχ Δημιουργία «τρύπας» στο φάσμα της απορρόφησης εξαιτίας του κορεσμού στην περιοχή της συχνότητας ν (hole burning) Οπτικώς πυκνά μέσα Παγίδευση ακτινοβολίας Στην περίπτωση που μόνο ένα μικρό ποσοστό ατόμων έχει διεγερθεί και εάν το μέσο είναι οπτικά πυκνό, το φαινόμενο της Παγίδευσης της Ακτινοβολίας παίζει σημαντικό ρόλο. Σ αυτή την περίπτωση ένα φωτόνιο που προκύπτει από αυθόρμητη αποδιέγερση αντί να διαφύγει από το μέσο ενίσχυσης μπορεί να απορροφηθεί από ένα άλλο άτομο το οποίο 73

14 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη καταλήγει στη διεγερμένη κατάσταση του ατόμου που εξέπεμψε το φωτόνιο αρχικά. Ως αποτέλεσμα ο ρυθμός της αυθόρμητης αποδιέγερσης μειώνεται επηρεάζοντας έτσι τη εύρυθμη λειτουργία του laser. Ο ρυθμός της αυθόρμητης αποδιέγερσης εξαιτίας του φαινομένου της παγίδευσης ακτινοβολίας εξαρτάται από την ατομική πυκνότητα, την ενεργό διατομή της μετάβασης και τη γεωμετρία του μέσου. Έχει ιδιαίτερη σημασία για μεταβάσεις στο UV οι οποίες έχουν μεγάλες ενεργές διατομές. Μάλιστα σε ορισμένες περιπτώσεις ο χρόνος ζωής της αποδιέγερσης μπορεί φαινομενικά να μεγαλώσει μερικές τάξεις μεγέθους Ενίσχυση Αυθόρμητης Εκπομπής Στην περίπτωση που το ποσοστό των διεγερμένων ατόμων του ενισχυτικού μέσου είναι πολύ μεγάλο και εάν το μέσο είναι οπτικά πυκνό, το φαινόμενο της Ενίσχυσης της Αυθόρμητης Εκπομπής (Amplified Spontaneous Emission - ASE) παίζει σημαντικό ρόλο. Θεωρώντας ένα κυλινδρικής γεωμετρίας ενισχυτικό μέσο κι έστω Ω η στερεά γωνία που υποτείνεται από τη μια πλευρά του κυλίνδρου. Εάν η ενίσχυση του μέσου είναι μεγάλη, τότε η εκπομπή φωτονίων εντός της στερεάς γωνίας Ω θα ενισχυθεί ισχυρά από το ενεργό μέσο. Επομένως το ενεργό μέσο θα αποδώσει σε μεγάλο βαθμό την ενέργειά του στην κατεύθυνση της στερεάς γωνίας Ω, στερώντας την από τη διαδικασία του laser που λαμβάνει χώρα αυστηρά στο άξονα της κοιλότητας. Αυτό το φαινόμενο είναι γνωστό ως ASE. Η ακτινοβολία ASE έχει χαρακτηριστικά παρόμοια ως ένα βαθμό με την ακτινοβολία laser, όπως ένταση, συμφωνία και κατευθηντικότητα, έχει ωστόσο μικρότερο φασματικό εύρος από ότι το laser της κοιλότητας. Ο λόγος είναι ότι εξαιτίας της στερεάς γωνίας η συνάρτηση ενίσχυσης της κοιλότητας είναι πολύ πιο στενή. 74

15 Σημειώσεις Φυσικής των Laser Μ. Μπενής / 3 Αλληλεπίδραση ακτινοβολίας με την ύλη ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Υπολογίστε το ρυθμό αυθόρμητης εκπομπής Α και τον αντίστοιχο χρόνο ζωής μιας διεγερμένης κατάστασης για διπολικές μεταβάσεις που αντιστοιχούν στα εξής μήκη κύματος: α) λ=5 nm, α) λ=5 nm, α) λ=5 nm, α) λ=,5 nm. Θεωρήστε ότι r Å. Σχολιάστε το πώς επηρεάζει αυτό την λειτουργία ενός συμβατικού laser στα διάφορα μήκη κύματος.. Η γραμμή μετάβασης ενός laser He-Ne με μήκος κύματος λ=.5 μm είναι κατά βάση διαπλατυσμένη κατά Doppler με συνάρτηση διαπλάτυνσης που περιγράφεται από τη σχέση:.94 g ( v v ) exp 4ln, με Δν =9x 8 Hz. Ο χρόνος ζωής της διεγερμένης κατάστασης είναι αυτός της αυθόρμητης εκπομπής με τιμή τ sp = ns. Υπολογίστε την μέγιστη ενεργό διατομή σ της μετάβασης. 3. Για την περίπτωση μη ομογενούς διαπλάτυνσης Doppler θεωρήστε ότι η πιθανότητα ένα άτομο μάζας M ενός αερίου θερμοκρασίας Τ να έχει z συνιστώσα ταχύτητας στο διάστημα και περιγράφεται από την κατανομή Maxwell M z p exp K BT K BT Με βάση αυτή και την σχέση 5.5 υπολογίστε την συνάρτηση φασματικής κατανομής της διαπλάτυνσης θεωρώντας ότι. Συγκρίνοντας το αποτέλεσμά σας με την εξής Γκαουσιανή κατανομή / όπου το FWHM της κατανομής, καταλήξτε στη σχέση 5.6 για το φασματικό εύρος της διαπλάτυνσης. 4. Η απορρόφηση a περιγράφεται από τη σχέση 5.43 όταν η προσπίπτουσα στο υλικό ένταση Ι περιγράφει παλμούς laser χρονικής διάρκειας μεγαλύτερης αυτής της αυθόρμητης εκπομπής τ. Στην περίπτωση που η διάρκεια των παλμών έντασης Ι είναι μικρότερη του τ τότε η παραπάνω σχέση αλλάζει. Ξεκινώντας από την εξίσωση πληθυσμών 5.36 και με βάση τα παραπάνω καταλήξτε σε μια νέα έκφραση για την απορρόφηση a για την περίπτωση που η χρονική διάρκεια του παλμού του laser είναι αρκετά μικρότερη της διάρκειας της αυθόρμητης αποδιέγερσης. 75