Διάλεξη 9: Στατιστική Φυσική

Transcript

1 Στατιστική Φυσική: Η μελέτη της θερμοδυναμικής συμπεριφοράς ενός συστήματος σωματίων σε σχέση με τις ιδιότητες των επί μέρους σωματίων. Αν και δεν μπορεί να προβλέψει με απόλυτη ακρίβεια την θερμοδυναμική συμπεριφορά, εν τούτοις οι προβλέψεις της δίνονται με ακριβή πιθανότητα διότι εφαρμόζονται σε τεράστιο αριθμό σωμάτων ~ 3, με αποτέλεσμα οι διακυμάνσεις να είναι μικρές. Εφαρμόζεται τόσο σε κλασικά συστήματα π.χ. αέρια όσο και κβαντικά π.χ. φωτόνια, ηλεκτρόνια μετάλλων Π.χ. Μπορεί να προσδιορίσει τον πιο πιθανό τρόπο με τον οποίο ένα ορισμένο ποσό συνολικής ενέργειας Ε κατανέμεται στα Ν σωμάτια ενός συστήματος σε θερμική ισορροπία και θερμοκρασία Τ. Π.χ. Μπορεί να προσδιορίσει την πιθανότητα ένα σωμάτιο να έχει συγκεκριμένη ενέργεια κάποια χρονική στιγμή. Π.χ. Δεν μπορεί να μας πληροφορήσει για την εξέλιξη ενός σωματίου από το σύνολο. Αριθμός σωματίων με ενέργεια Ε g g: Ο αριθμός των καταστάσεων με ενέργεια Ε ή το στατιστικό βάρος για την ενέργεια Ε : Ο μέσος αριθμός σωματίων σε κάθε κατάσταση με ενέργεια Ε ή η πιθανότητα κατάληψης των καταστάσεων με ενέργεια Ε ή η συνάρτηση κατανομής Για συνεχής μεταβλητές n g Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3

2 Είδη όμοιων σωματίων: Διακριτά. Αρκετά απομακρυσμένα. Μη-επικαλυπτόμενες κυματοσυναρτήσεις. Συνάρτηση κατανομής: Mxwll ltznn π.χ. μόρια αερίων Μη διακριτά, δεν υπακούν την Απαγορευτική αρχή. Επικαλυπτόμενες κυματοσυναρτήσεις. Σπιν μηδέν ή ακέραιο. Μποζόνια. Συνάρτηση κατανομής: s-instin π.χ. φωτόνια. Μη διακριτά, υπακούν την Απαγορευτική αρχή. Επικαλυπτόμενες κυματοσυναρτήσεις. Σπιν ημιακέραιο. Φερμιόνια. Συνάρτηση κατανομής: ri-dirc π.χ. ηλεκτρόνια μετάλλων. Στατιστική Mxwll-ltznn: Κβαντισμένες ενέργειες M A / K A g / K Α: Σταθερά κανονικοποίησης Κ Β = 8,6-5 V/K =,38-3 Jul/K η σταθερά ltznn Παράδειγμα : Να βρεθεί η για τους σχετικούς πληθυσμούς των περιστροφικών καταστάσεων ενός διατομικού μορίου. Είδαμε ότι οι ενεργειακές στάθμες περιγράφονται από την I Επίσης για την προβολή L z της στροφορμής λόγω περιστροφής ισχύει LZ l, l l, l,..., l l g Άρα CM Al xp I l l l l K Οι πληθυσμοί των περιστροφικών καταστάσεων του CO για τους ο C. Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3

3 Παράδειγμα : Να βρεθεί το ποσοστό των ατόμων υδρογόνου που βρίσκονται διεγερμένα στην πρώτη διεγερμένη κατάσταση για τις θερμοκρασίες Τ = ο C και Τ = ο C Επειδή ο εκφυλισμός των ενεργειακών καταστάσεων του υδρογόνου είναι n προκύπτει: n : n : g g 8 g g xp K 8. V xp 5 8. V / K K C 93 C : C 93 C : / 4 / % Εφαρμογή σε ιδανικό αέριο PV=nR Μη-Κβαντισμένες ενέργειες A g / K Υπολογισμός του g Επειδή σε κάθε ορμή p αντιστοιχεί μια ορισμένη ενέργεια, ο αριθμός των καταστάσεων μεταξύ Ε+Ε θα είναι ο ίδιος με αυτόν μεταξύ p+p. Επομένως g g p p Ο αριθμός των καταστάσεων ορμής μεταξύ p+p είναι ανάλογος του όγκου του σφαιρικού κελύφους στο χώρο των ορμών με ακτίνα p και πάχος p+p. Επομένως g g p p p p όπου Β σταθερά Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3

4 Είναι p Επομένως και p pp p g g p p p p p 3/ Και A 3/ C / K / K Θεωρώντας Ν τον ολικό αριθμό των σωματίων: N C / K C N K 3/ N K 3/ / K Αριθμός μορίων ιδανικού αερίου με ενέργεια μεταξύ + σε σύνολο Ν μορίων θερμοκρασίας Τ. Συνολική ενέργεια: Μέση ενέργεια:... 3 NK 3 K Για Τ=3 Κ 4V N Κάθε βαθμός ελευθερίας έχει ενέργεια / ΚΤ Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3

5 Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3 Κατανομή μοριακών ταχυτήτων K N n g g K / 3/ 3/... Μέση τετραγωνική ταχύτητα: K n RMS 3 / Μέση ταχύτητα: K n 8 Η πιο πιθανή ταχύτητα: K n P... s C H s C O P P / 6, / 4, Π.χ.

6 Στατιστική s-instin: / K Η παράμετρος α εξαρτάται από τις ιδιότητες του συστήματος. Π.χ. για φωτόνια είναι α= κι άρα / K Με βάση την κατανομή για τα φωτόνια και τον υπολογισμό των στάσιμων κυμάτων συχνότητας ν ανά μονάδα όγκου εντός κοιλότητας προκύπτει ο τύπος του Plnck για την φασματική πυκνότητα ενέργειας της ακτινοβολίας του μέλανος σώματος βλ. Σύγχρονη Φυσική Ι 8h u v v 3 c / K hv 3 v v Στατιστική ri-dirc: D / K Η παράμετρος ονομάζεται ενέργεια ri Και η σημασία της είναι η εξής: Η υψηλότερη κατειλημμένη στάθμη σε θερμοκρασία απόλυτου μηδενός. Έστω σύστημα φερμιονίων σε θερμοκρασία Τ=. D D / K / K Επομένως στο απόλυτο μηδέν όλες ο ενεργειακές καταστάσεις μέχρι την ενέργεια ri είναι κατειλημμένες, ενώ δεν υπάρχει καμία κατειλημμένη κατάσταση πάνω από την ενέργεια ri. Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3

7 Παράδειγμα: Το μοντέλο των ελευθέρων ηλεκτρονίων στα μέταλλα. Επειδή στα μέταλλα τα εξωτερικά ηλεκτρόνια έχουν ασθενής δεσμούς μπορούν να θεωρηθούν ως αέριο φερμιονίων παγιδευμένο στο χώρο του μετάλλου. Αποδεικνύεται πως η ενέργεια ri περιγράφεται από τη σχέση και είναι της τάξης των μερικών V. Αυτό σημαίνει πως τα ηλεκτρόνια στη ζώνη αγωγιμότητας του μετάλλου θα έχουν κινητικές ενέργειες μερικών V που αντιστοιχούν σε ταχύτητες 5 6 /s σε συνθήκες απολύτου μηδενός! σε αντίθεση με τα αέρια όπου η κίνησή τους σταματά. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται πως αλλάζει η κατανομή ri-dirc καθώς αυξάνεται η θερμοκρασία. Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3

8 Σύγκριση των τριών κατανομών για Τ=5Κ. Για Ε>>ΚΤ τότε και η και η D τείνουν στην M. Για Ε<<ΚΤ Η D τείνει στο. Υφίσταται κορεσμό εξαιτίας της απαγορευτικής αρχής του Puli Η ΜΒ αυξάνεται αλλά παραμένει πεπερασμένη H τείνει στο άπειρο τα μποζόνια δεν υπακούν την απαγορευτική αρχή του Puli. Αυτό συνεπάγεται πως σε πολύ χαμηλές θερμοκρασίες είναι δυνατό όλα τα μποζόνια να μεταβούν στη βασική ενεργειακή στάθμη. Το φαινόμενο ονομάζεται συμπύκνωση s- instin και αποτελεί ιδιαίτερη κατάσταση της ύλης π.χ. παρουσιάζει μηδενικό ιξώδες! Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3

9 Παράδειγμα: Έστω σύστημα δυο σωματίων σε καταστάσεις α και b. Η κυματοσυνάρτησή τους περιγράφεται ανάλογα Διακριτά: b, b Μη διακριτά: Μποζόνια Φερμιόνια b b b b Η πιθανότητα να βρίσκονται και τα δυο σωμάτια στην ίδια κατάσταση α είναι: Διακριτά:, * * Μη διακριτά: Μποζόνια * * Φερμνιόνια, Συμπέρασμα: Σε σύστημα μποζονίων η πιθανότητα δυο σωμάτια να καταλάβουν την ίδια κατάσταση είναι αυξημένη διπλάσια σε σχέση με το σύστημα κλασικών διακριτών σωματίων. Με άλλα λόγια η παρουσία ενός μποζονίου σε μια κατάσταση αυξάνει την πιθανότητα να βρεθούν κι άλλα σωματίδια στην κατάσταση αυτή Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3

10 Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 3 Διάλεξη 9: Στατιστική Φυσική