ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΧΡ ΤΖΕΜΟΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΣ ΦΟΙΤΗΤΗΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α.Μ. 286

Transcript

1 ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΧΡ ΤΖΕΜΟΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΣ ΦΟΙΤΗΤΗΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α.Μ. 86 ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ

2

3 Η εργασία αυτή έγινε στα πλαίσια του μαθήματος «Εφαργμογές του Συμβολικού Προγραμματισμού» του μεταπτυχιακού προγράμματος Θεωρητικής Φυσικής, υπό την επίβλεψη του Καθηγητού Αστροφυσικής κ. Βασιλείου Γερογιάννη. Στην εργασία αυτή λύνω 4 ασκήσεις Αναλυτικής Δυναμικής με το υπολογιστικό πρόγραμμα Maple. Είναι μια άτυπη συνέχεια της διπλωματικής μου εργασίας στο προπτυχιακό πρόγραμμα με τίτλο «Διανυσματική Ανάλυση και Εφαρμογές στη Φυσική μέσω του υπολογιστικού προγράμματος Maple 9», υπό την επίβλεψη του Αναπληρωτού Καθηγητού κ. Δημητρίου Σουρλά. Το υπολογιστικό πρόγραμμα Maple είναι ένα παγκοσμίου φήμης υπολογιστικό πρόγραμμα (συμβολικός προγραμματισμός), το οποίο μαζί με την περίφημη Mathematica, έρχονται πρώτα στην προτίμηση των θετικών επιστημόνων (και δευτερευόντως των μηχανικών). Έπειτα από 4 πλέον έτη συνεχούς ενασχόλησης με το Maple έχω προβεί σε κάποια συμπεράσματα για το πρόγραμμα: ) Το Maple είναι ταχύτατο στους υπολογισμούς, αν και πολλές φορές τους πραγματοποιεί με τον πιο δύσκολο τρόπο. Αυτό γιατί ελέγχει πολλούς παράγοντες της υπολογιστικής διαδικασίας πριν ξεκινήσει κάτι που είναι και καλό και κακό. Καλό μεν για την αξιοπιστία του αποτελέσματος, αλλά κακό στη συμπεριφορά του απέναντι σε μερικές πολύ εύκολες καταστάσεις. Έχουν υπάρξει πολλές φορές που το μηχάνημα «προβληματίστηκε» σε πολύ εύκολες καταστάσεις, χωρίς να έχω παραλείψει την παροχή των σωστών πληροφοριών σε αυτό. Αυτό είναι το μεγάλο μείον του συμβολικού προγραμματισμού: δεν ξέρουμε ποιος είναι ο ακριβής αλγόριθμος επίλυσης του προβλήματος. Γι αυτό λοιπόν πρέπει να είναι κανείς κάτοχος των μαθηματικών και απλώς να επιταχύνει τη διαδικασία επίλυσης των προβλημάτων με τον υπολογιστή. Η παθητική χρήση μπορεί να αποβεί πολύ επικίνδυνη. ) Έχει πολύ καλό και λειτουργικό περιβάλλον εργασίας, μακράν καλύτερο από αυτό της Mathematica και της Maxima. Τα αποτελέσματα μπορούν να ενσωματωθούν χωρίς κανένα πρόβλημα στο Wor αλλά και στη Latex, χωρίς τη χρήση κάποιου άλλου «εξωτερικού» υποπρογράμματος. 3) Η Waterloo που είναι η κατασκευάστρια εταιρεία έχει εξαιρετική εξυπηρέτηση πελατών, τους οποίους παίρνει πολύ σοβαρά υπ όψιν, ειδικά τους Φυσικούς! Το μεγαλύτερο πρόβλημα πριν το Maple 0 (ή 0.5. δε θυμάμαι ακριβώς), ήταν η μη παροχή μιας ρουτίνας για όσους ασχολούνται με τη Φυσική. Θυμάμαι ότι είχε δημιουργηθεί ολόκληρο forum στο διαδίκτυο (συμμετείχα προσωπικώς), στο οποίο γινόταν συζήτηση για το συμβολισμό του Dirac στην Κβαντομηχανική και για τις

4 φυσικές σταθερές. Οι εισηγήσεις εισακούστηκαν και πλέον υπάρχει ειδικό τμήμα του προγράμματος για τη Φυσική. 4) Το μεγαλύτερο μειονέκτημα του προγράμματος είναι η μη αναγνώριση όλης της μνήμης RAM που υπάρχει σε ένα PC. Πράγματι πολλές φορές το Maple κλείνει μετά από χρησιμοποίηση ενός συγκεκριμένου ποσού μνήμης RAM, χωρίς να έχει φτάσει την τελευταία στο όριό της. Η αλήθεια όμως είναι πως όσο προχωρούν οι εκδόσεις, το πρόβλημα διορθώνεται. 5) Όσον αφορά τώρα την επίλυση προβλημάτων με τον τρόπο που ακολουθούμε στο παρόν πόνημα, το Maple έχει πολλές δυνατότητες λόγω της εμφάνισης των αποτελεσμάτων, αλλά και κάποιες «παραξενιές» στη σύνταξη, με συνέπεια να χρειάζεται κάποιες φορές να το βοηθούμε «με το χέρι». Ο υπολογιστής δηλαδή δεν μπορεί να αντικαταστήσει πλήρως τον άνθρωπο. Λογικό και επόμενο, μιας και εμείς γνωρίζουμε τη φύση του εκάστοτε προβλήματος, ενώ ο υπολογιστής όχι. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Νοέμβρης 008

5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΕ ΤΟ MAPLE Στο σύστημα του σχήματος, η μάζα Μ ολισθαίνει χωρίς τριβή στον οριζόντιο άξονα Ox, η δύναμη F Aiˆ, όπου Α μια σταθερά, το δε ελατήριο είναι γραμμικό με σταθερά k και φυσικό μήκος l 0. Να γραφούν οι εξισώσεις Lagrange του συστήματος και να ευρεθεί η θέση ισορροπίας του. Λύση Από το σχήμα μας έχουμε ότι r l0 xiˆ r l xlsin iˆlcos ˆj 0 (Τώρα μπορούμε να ξεκινήσουμε με το Maple. Το είχα δουλέψει στη διπλωματική μου εργασία με το Maple 9 και χρησιμοποίησα κατά κόρον το «πακέτο VectorCalculus». Το πακέτο αυτό εξειδικεύεται στη Διανυσματική Ανάλυση. Εν τούτοις έχει μια φιλοσοφία, η οποία αν και πολύ σωστή γίνεται κάποιες φορές τροχοπέδη για τους Φυσικούς. Έγινε λοιπόν μια πολύ μεγάλη προσπάθεια από το μέρος των συναδέλφων (που στην πλειοψηφία τους είναι θεωρητικοί φυσικοί) για τη δημιουργία πακέτου εντολών Φυσικής. Το Maple με το οποίο εργάστηκα για αυτές τις ασκήσεις περιέχει το πολυπόθητο πακέτο που λέγεται Physics και περιέχει πάρα πολλές διευκολύνσεις, ιδίως στην Κβαντομηχανική και τον περίφημο συμβολισμό Dirac.)

6 Χρησιμοποιώντας το λοιπόν παίρνουμε > restart;#εκκίνηση μιας νέας συνεδρίας > with(physics:-vectors);#το πακέτο που εξειδικεύεται στη Φυσική [&x, +,., ChangeBasis, Component, Curl, DirectionalDiff, Divergence, Graient, Ientify, Laplacian, Nabla, Norm, Setup, VectorDiff ] > r (lo+x(t))*_i ;#Ορισμός διανύσματος θέσης πρώτου σώματος r ( lo x( t ))_i > r(lo+x(t)+l*sin(theta(t)))*_i+ l*cos(theta(t))*_j ;#Ορισμός διανύσματος θέσης δευτέρου σώματος r ( lo x( t) l sin ( ( t )))_il cos ( ( t ))_j > rparagogosiff(r,t);#ταχύτητα πρώτου σώματος rparagogos x( t ) _i > rparagogosiff(r,t);#ταχύτητα πρώτου σώματος rparagogos x( t) l cos ( ( t )) ( t ) _i l sin ( ( t )) ( t ) _j > rmetrostotetragononorm(rparagogos)= (iff(x(t),t))^;# Το τετράγωνο της ταχύτητας του πρώτου σώματος.η συνάρτηση csgn έχει σχέση με το αν βρισκόμαστε στα θετικά ή αρνητικά σημεία του μιγαδικού επιπέδου. Το MAPLE προφανώς δεν μπορεί να καταλάβει τη φύση του προβλήματος. Η συνάρτηση αυτή είναι ίση με μιας και έχουμε να κάνουμε με πραγματικούς αριθμούς rmetrostotetragono csgn x( t ) t x( t ) x( t ) > rmetrostotetragono(norm(rparagogos))^;#το τετράγωνο της ταχύτητας του δευτέρου σώματος rmetrostotetragono x( t ) x( t) l cos ( ( t )) ( t) l ( t )

7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΕ ΤΟ MAPLE > T/*M*iff(x(t),t)^+/*m*rmetrostotetragono;# Η κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων T M x( t ) m x( t ) x( t) l cos ( ( t )) ( t) l ( t ) > V-Int(Fel,x=0..x)=-int(-k*a,a=0..x);# Η δυναμική ενέργεια του πρώτου σώματος.κάναμε μια μικρή αλλαγή μεταβλητής από x σε a, ώστε να βάλουμε τη μεταβλητή x στο άνω όριο του ολοκληρώματος. x V kx Fel x 0 > V-Int(B*l,cos(theta))-Int(A,x)-Int(A*l,sin(theta));# Η δυναμική ενέργεια του δευτέρου σώματος > iff(sin(theta),theta); V Bl cos( ) A x Al sin( ) cos( ) > iff(cos(theta),theta);#κάνουμε αυτές τις πράξεις διότι το ΜAPLE θέλει σαν μεταβλητή ολοκλήρωσης μια μεταβλητή και όχι μια συνάρτηση της μ εταβλητής αυτής. sin( ) > V-Int(B*l,cos(theta))-Int(A,x)-Int(A*l,sin(theta))=- int(m*g*l*iff(cos(theta),theta),theta)-int(a,x)- int(a*l*iff(sin(theta),theta),theta)+c;#η δυναμική ενέργεια του δευτέρου σώματος. Χρησιμοποιήσαμε τις παραπάνω δύο παραγωγίσεις για να βοηθήσουμε το MAPLE να εκτελέσει την ολοκλήρωση.την προσθετική σταθερά την βάλαμε εμείς. Το MAPLE δίνει με την εντολή int μόνο το αποτέλεσμα και ποτέ την προσθετική σταθερά. V Bl cos( ) A x Al sin( ) mgl cos( ) AxAl sin( ) C > V-m*g*l*cos(theta)-A*x-A*l*sin(theta)+C;#ξαναορίσαμε τη συνάρτηση V ώστε να μην "κουβαλάμε" συνεχώς και το συμβολικό μέρος που δίνει μόνο την αναπαράσταση των ολοκληρωμάτων V m g l cos( ) A xa l sin( ) C 3

8 > subs(theta=0,x=0,v+/*k*x^);#θέτουμε θ=0,x=0 ώστε να επιβάλλουμε την αρχική συνθήκη V=0 για θ=0 και x=0 m g l cos( 0) A l sin( 0) C > Csolve(%=0,C);# Επιβάλλουμε την αρχική συνθήκη και λύνουμε ως προς την προσθετική σταθερά C m g l > V/*k*x^-m*g*l*cos(theta)-A*x-A*l*sin(theta)+C;# Ξαναορίζουμε τη V στην τελική της μορφή. kx V mgl cos( ) AxAl sin( ) mgl > LT-/*k*x^+m*g*l*cos(theta)+A*l*sin(theta)-m*g*l;#Αυτή είναι η συνάρτηση Lagrange του συστήματος L=T-V L M x( t ) m x( t ) x( t) l cos ( ( t )) kx mgl cos( ) Al sin( ) mgl ( t) l > Lmetatropisubs(iff(x(t),t)=G,L);#κάνουμε μια αντικατάσταση διότι το MAPLE δε δέχεται σαν μεταβλητή παραγώγισης, μια συμβολική παράγωγο συνάρτησης. Αν είχαμε την ακριβή σχέση μεταξύ του x και του χρόνου δε θα υπήρχε κανένα πρόβλημα. Και πάλι όμως τα πράγματα είναι πολύ εύκολα. ( t ) MG Lmetatropi m G Gl cos ( ( t )) mgl cos( ) Al sin( ) mgl > iff(lmetatropi,g); ( t) l ( t ) kx MG m G l cos ( ( t )) ( t ) >iff(m*g(t)+/*m*(*g(t)+*l*cos(theta(t))*iff(theta(t),t )),t); M G( t ) m G( t ) l sin ( ( t )) ( t ) l cos ( ( t )) ( t )

9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΕ ΤΟ MAPLE >ProtiiaforikieksisosiM*iff(G(t),t)+/*m*(*iff(G(t),t )- *l*sin(theta(t))*iff(theta(t),t)^+*l*cos(theta(t))*iff (theta(t),`$`(t,)))-iff(lmetatropi,x)=0;#αυτή είναι η πρώτη διαφορική εξίσωση Lagrange Protiiaforikieksisosi M G( t ) m G( t ) l sin ( ( t )) ( t ) l cos ( ( t )) ( t) kx0 > Lmetatropisubs(iff(theta(t),t)=F,L); Lmetatropi M x( t ) m kx mgl cos( ) Al sin( ) mgl x( t ) x( t) l cos ( ( t) ) F l F > iff(lmetatropi,f); m x( t) l cos ( ( t )) l F > iff(/*m*(*iff(x(t),t)*l*cos(theta(t))+*l^*f(t)),t); m x( t) l cos ( ( t )) x( t) l sin ( ( t )) ( t ) l F( t ) >iff(/*m*iff(x(t),t)^+/*m*(iff(x(t),t)^+*iff(x(t),t)*l*cos(theta)*f+l^*f^)- /*k*x^+m*g*l*cos(theta)+a*l*sin(theta)- m*g*l,theta);#θέσαμε θ(t)=θ ώστε να μπορέσει το Maple να κάνει την παραγώγιση. m x( t) l sin( ) F mg l sin( ) Al cos( ) >Defteriiaforikieksisosi/*m*(*iff(x(t),`$`(t,))*l*co s(theta(t))- *iff(x(t),t)*l*sin(theta(t))*iff(theta(t),t)+*l^*iff( F(t),t))-%;# Η δεύτερη εξίσωση Lagrange του συστήματος 5

10 Defteriiaforikieksisosi m x( t) l cos ( ( t )) x( t) l sin ( ( t )) m x( t) l sin( ) Fmg l sin( ) Al cos( ) ( t ) l F( t ) Επανερχόμενοι τώρα στον κανονικό συμβολισμό έχουμε sin cos 0 cos sin sin sin cos Mx t mx t ml t t ml t t kx t mx t l t ml t x t t ml t ml t t x t mgl t Al t 0 που με περαιτέρω απλοποίηση γίνονται M k x t l t sin t l t cos t x t m m A x t cos t l t gsin t cos t 0 m 0 Οι παραπάνω δύο εξισώσεις είναι οι ζητούμενες διαφορικές εξισώσεις Lagrange. Είναι απολύτως σωστές (έχω ελέγξει τις πράξεις «με το χέρι»). Όσον αφορά τώρα τη θέση ισορροπίας του συστήματος, θα τη βρούμε με την απαίτηση: Έχουμε λοιπόν με το Maple V V x 0 xx0 0 > theta0solve(iff(v,theta)=0,theta); arctan A mg > x0solve(iff(v,x)=0,x); x0 A k > plot3(/**x^-5*0**cos(theta)-0*x- 0**sin(theta)+5*0*, theta=-pi/..pi/,x=0..5);

11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΕ ΤΟ MAPLE Εδώ βρίσκεται η συνάρτηση V για τυπικές τιμές m=5 kg, l=m, g=0m/s, A=0 N. Παρατηρούμε το πόσο ωραίες γραφικές παραστάσεις μπορεί να κάνει το Maple. Ωραίες και χρήσιμες!! Αυτό διότι μέσω αυτής της γραφικής παράστασης βλέπουμε πως το σημείο ισορροπίας είναι και σημείο ευσταθούς ισορροπίας, μιας και η γραφική παράσταση είναι κυρτή. Κατ αυτήν την έννοια μπορούμε και βγάζουμε συμπέρασμα για το είδος της ισορροπίας, χωρίς να ανατρέξουμε στο κριτήριο της δευτέρας παραγώγου για τη V (αν η δεύτερη παράγωγος είναι θετική έχουμε ευσταθή ισορροπία και αν είναι αρνητική έχουμε ασταθή ισορροπία), το οποίο πολλές φορές μπορεί να μας δυσκολέψει αν έχουμε πολλές φυσικές ποσότητες. 7

12 Το νήμα του εκκρεμούς διέρχεται από την οπή οριζοντίου επιπέδου ΕΕ, το οποίο εκτελεί περιοδική κίνηση κατά τη διεύθυνση της κατακορύφου, έτσι ώστε ss0 asint. Να ευρεθούν οι εξισώσεις της κινήσεως του εκκρεμούς. Λύση Το διάνυσμα θέσως της μάζας m είναι σύμφωνα με το σχήμα μας r lsiniˆ slcos ˆj lsiniˆ s asintlcos ĵ 0 Προφανώς θα έχουμε μια εξίσωση Lagrange για τη γωνία θ. Αυτό γιατί ενώ έχουμε βαθμούς ελευθερίας εν γένει, υπάρχει η απαίτηση του σταθερού μήκους l του νήματος, οπότε μειώνονται οι εξισώσεις από δύο σε μία (ενσωμάτωση δεσμού). Τα βήματα είναι κοινά με αυτά της προηγούμενης ασκήσεως. Χρησιμοποιώντας λοιπόν το Maple έχουμε:

13 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΕ ΤΟ MAPLE > restart;#εκκίνηση μιας νέας συνεδρίας > with(physics:-vectors);#το πακέτο που εξειδικεύεται στη Φυσική [&x, +,., ChangeBasis, Component, Curl, DirectionalDiff, Divergence, Graient, Ientify, Laplacian, Nabla, Norm, Setup, VectorDiff ] > rm (l(t)*sin(theta(t)))*_i+ (s(t)+l(t)*cos(theta(t)))*_j;#ορισμός διανύσματος θέσης πρώτου σώματος rm l( t ) sin ( ( t ))_i ( l( t ) cos ( ( t )))_j > rmparagogosiff(rm,t);#ταχύτητα σώματος rmparagogos l( t ) sin ( ( t ))_i l( t ) cos ( ( t )) l( t ) cos ( ( t )) l( t ) sin ( ( t )) ( t ) ( t ) _i _ j > rmmetrostotetragono(norm(rmparagogos))^;# Το τετράγωνο της ταχύτητας του σώματος. rmmetrostotetragono l( t ) l( t ) cos ( ( t )) l( t ) ( t ) l( t ) sin ( ( t )) ( t ) > T/*m*rmmetrostotetragono;# Η κινητική ενέργεια του σώματος T m l( t ) l( t ) cos ( ( t )) l( t ) ( t ) l( t ) sin ( ( t )) ( t ) > iff(sin(omega*t),t); cos( t ) > iff(cos(theta),theta);#κάνουμε αυτές τις πράξεις διότι το ΜAPLE θέλει σαν μεταβλητή ολοκλήρωσης μια μεταβλητή και όχι μια συνάρτηση της μεταβλητής αυτής. sin( ) 9

14 > V-Int(B*l(t),cos(theta))-Int(B*a,s(t))=- int(m*g*l(t)*iff(cos(theta),theta),theta)- int(m*g*iff(s(t),t),t)+c;#η δυναμική ενέργεια του δευτέρου σώματος. Χρησιμοποιήσαμε τις παραπάνω δύο παραγωγίσεις για να βοηθήσουμε το MAPLE να εκτελέσει την ολοκλήρωση.την προσθετική σταθερά την βάλαμε εμείς. Το MAPLE δίνει με την εντολή int μόνο το αποτέλεσμα και ποτέ την προσθετική σταθερά. V B l( t ) cos( ) Ba mg l( t ) cos( ) mg s( t) C > V-m*g*l(t)*cos(theta)-m*g*s(t)+C;#ξαναορίσαμε τη συνάρτηση V ώστε να μην "κουβαλάμε" συνεχώς και το συμβολικό μέρος που δίνει μόνο την αναπαράσταση των ολοκληρωμάτων V m g l( t ) cos( ) m g C > subs(theta=0,t=0,s(0)=0,l(0)=l,v);#θέτουμε θ=0 ώστε να επιβάλλουμε την αρχική συνθήκη V=0 για θ(0)=0.επίσης είναι l(0)=l και so=0.δικαούμαστε να κάνουμε όποιο θέλουμε σύστημα μηδενικής δυναμικής ενέργειας μιας και το πεδίο είναι συντηρητικό. Το μόνο που αλλάζει είναι μια σταθερά που δεν έχει καμία σημασία και δεν εμφανίζεται στην τελική διαφορική εξίσωση. m g l cos( 0) C > Csolve(-m*g*l*cos(0)+C=0,C);# Επιβάλλουμε την αρχική συνθήκη και λύνουμε ως προς την προσθετική σταθερά C m g l > V-m*g*l(t)*cos(theta)-m*g*s(t)+C;# Ξαναορίζουμε τη V στην τελική της μορφή > V m g l( t ) cos( ) m g s( t) mg l > LT-V;#Αυτή είναι η συνάρτηση Lagrange του συστήματος L=T-V L m l( t ) l( t ) cos ( ( t )) l( t ) ( t ) l( t ) sin ( ( t )) ( t ) mg l( t ) cos( ) mg s( t) mg l > Lmetatropisubs(iff(theta(t),t)=F,L);#κάνουμε μια αντικατάσταση διότι το MAPLE δε δέχεται σαν μεταβλητή παραγώγισης, μια συμβολική παράγωγο συνάρτησης. Αν είχαμε την ακριβή σχέση μεταξύ του x και του χρόνου δε θα υπήρχε κανένα πρόβλημα. Και πάλι όμως τα πράγματα είναι πολύ εύκολα.

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΕ ΤΟ MAPLE Lmetatropi m l( t ) l( t ) cos ( ( t )) l( t ) F l( t ) sin ( ( t) ) F mg l( t ) cos( ) mg s( t) mg l > iff(lmetatropi,f); m () l t F l( t ) sin ( ( t )) > Aiff(/*m*(*l(t)^*F(t)- *iff(s(t),t)*l(t)*sin(theta(t))),t); A m 4() l t F( t ) t l( t ) () l t t l( t ) sin ( ( t )) l( t ) sin ( ( t )) l( t ) cos ( ( t )) ( t ) F( t ) >Biff(/*m*(iff(l(t),t)^+iff(s(t),t)^+*iff(s(t),t) *iff(l(t),t)*cos(theta)+l(t)^*f^- *iff(s(t),t)*l(t)*sin(theta)*f)+m*g*l(t)*cos(theta)+m*g*s (t)-m*g*l,theta);#θέσαμε θ(t)=θ ώστε να μπορέσει το Maple να κάνει την παραγώγιση. B m l( t ) sin( ) l( t ) cos( ) F mg l( t ) sin( ) > iff(so+a*sin(omega*t),t);#βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο του s(t) a cos( t ) > iff(lo-(so+a*sin(omega*t)),t);#θεωρούμε ότι l(t)=los(t),όπου Lo το συνολικό μήκος του νήματος, ώστε να κάνουμε πιο εύκολες τις πράξεις a cos( t ) > iff(a*cos(omega*t)*omega,t);# Δεύτερη παράγωγος του s(t) a sin( t )

16 > Asubs(iff(s(t),`$`(t,))=a*sin(omega*t)*omega^,iff(s(t),t)=a*cos(omega*t)*omega,i ff(l(t),t)=-a*cos(omega*t)*omega,a);#βρίσκουμε το πρώτο μέρος του αθροίσματος της εξίσωσης Lagrange, αντικαθιστώντας τις παραπάνω παραγώγους για τα l(t) και s(t). A m 4() l t F( t) a cos ( t ) () l t F( t ) a sin( t ) l( t ) sin ( ( t )) a cos( t ) sin ( ( t )) a cos( t ) l( t ) cos ( ( t )) ( t ) > Bsubs(iff(s(t),t)=a*cos(omega*t)*omega,iff(l(t),t)=a*cos(omega*t)*omega,iff(s(t),`$`(t,))=a*sin(omega*t)*omega^,B);# Ομοίως και για το δεύτερο μέρος του αθροίσματος. B m ( a cos( t ) sin( ) a cos( t ) l( t ) cos( ) F) mg l( t ) sin( ) > simplify((a-b)=0)/m;# Η εξίσωση Lagrange του σώματος () l t F( t) a cos( t ) l( t ) F( t) a sin( t ) l( t ) sin ( ( t )) a cos( t ) sin ( ( t) ) a cos( t ) l( t ) cos ( ( t )) ( t ) a cos( t ) sin( ) a cos( t ) l( t ) cos( ) Fg l( t ) sin( ) 0 > DiaforikiEksisosi- *l(t)*f(t)*a*cos(omega*t)*omega+l(t)^*iff(f(t),t)+a*sin( omega*t)*omega^*l(t)*sin(theta(t))+g*l(t)*sin(theta) = 0; #Απλώς "διώξαμε" τους ίσους όρους. Το κάναμε με το χέρι διότι το Maple θα μπερδευόταν αν βάζαμε θ=θ(t) ξανά. DiaforikiEksisosi () l t F( t) a cos( t ) l( t ) a sin( t ) l( t ) sin ( ( t) ) g l( t ) sin( ) 0 F( t ) Επανερχόμενοι τώρα στον κανονικό συμβολισμό η παραπάνω εξίσωση γράφεται πολύ εύκολα: t acost sin t sintg 0 l t l t

17 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΕ ΤΟ MAPLE > plot3(-5*0*(0-4-3*sin(0*t))*cos(theta)- 5*0*(4+3*sin(0*t))+5*0*(0-4- 3*sin(0*t)),t=0..0,theta=-Pi/..Pi/); Η παραπάνω γραφική παράσταση του δυναμικού σχεδιάστηκε για τυπικές τιμές Lo=0, g=0, ω=0, m=5, a=3. Προφανώς το σημείο θ=0 είναι σημείο ευσταθούς ισορροπίας κάτι που μπορεί να δει κανείς τόσο από το σχήμα όσο και από τη μαθηματική επεξεργασία της συνάρτησης δυναμικού. Επίσης μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση Lagrange αριθμητικώς και να βρούμε και τη γραφική παράσταση της λύσεως. Για τιμές m=5, a=, ω=00, Lo=0, g=0 και s 0 =. Θα είναι: 3

18 Υλικό σημείο P μάζης m συνδέεται με αβαρές γραμμικό ελατήριο με το σημείο Α. Το Α κινείται με σταθερά γωνιακή ταχύτητα ω κατά μήκος οριζοντίου κυκλικού δρόμου ακτίνος α. Εάν η κίνηση του Ρ γίνεται χωρίς τριβή στο οριζόντιο επίπεδο του κυκλικού δρόμου, να ευρεθούν οι διαφορικές εξισώσεις της κινήσεώς του. Από το σχήμα μας φαίνεται ότι το διάνυσμα θέσεως του υλικού σημείου Ρ είναι: r acost ls t cos t i asint ls t sin t ˆj. ˆ Επίσης σημαντικό είναι παρατηρήσουμε ότι το μήκος s (απομάκρυνση του ελατηρίου) είναι ίσο με x y l, όπου τα x και y είναι τα μέτρα των συνιστωσών του διανύσματος θέσης και συνεπώς V k x y l Πριν ξεκινήσουμε με το Maple καλό είναι να διευκρινίσουμε πως το υλικό σημείο δε θα έχει δυναμική ενέργεια λόγω του βάρους, επειδή κείται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο (ας φανταστούμε ότι βρίσκεται πάνω σε ένα τραπέζι). Έχουμε λοιπόν ότι

19 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΕ ΤΟ MAPLE > restart;#εκκίνηση μιας νέας συνεδρίας > with(physics:-vectors);#το πακέτο που εξειδικεύεται στη Φυσική [&x, +,., ChangeBasis, Component, Curl, DirectionalDiff, Divergence, Graient, Ientify, Laplacian, Nabla, Norm, Setup, VectorDiff ] > rm(a*cos(omega*t)+(l+s(t))*cos(omega*t+theta(t)))*_i+ (a*sin(omega*t)+(l+s(t))*sin(omega*t+theta(t)))*_j;#ορισμός διανύσματος θέσης πρώτου σώματος rm _i ( a cos( t )cos( t ( t )) l cos( t ( t )) ) _j ( a sin( t ) sin( t ( t) ) l sin( t ( t )) ) > rmparagogosiff(rm,t);#ταχύτητα πρώτου σώματος rmparagogos _i a sin( t ) sin( t ( t )) ( t) l sin( t ( t )) ( t ) cos( t ( t )) _j a cos( t ) cos( t ( t )) ( t) l cos( t ( t )) ( t ) sin( t ( t )) > rmmetrostotetragono(norm(rmparagogos))^;# Το τετράγωνο της ταχύτητας του πρώτου σώματος.η συνάρτηση csgn έχει σχέση με το αν βρισκόμαστε στα θετικά ή αρνητικά σημεία του μιγαδικού επιπέδου. Το MAPLE προφανώς δεν μπορεί να καταλάβει τη φύση του προβλήματος. Η συνάρτηση αυτή είναι ίση με μιας και έχουμε να κάνουμε με πραγματικούς αριθμούς rmmetrostotetragono a l ( t ) l ( t ) a cos( t ) cos( t ( t) ) l ( t ) a sin( t ) sin( t ( t) ) l 4 l ( t ) a sin( t ) sin( t ( t )) a sin( t ) cos( t ( t )) a cos( t ) sin( t ( t )) a sin( t ) sin( t ( t )) ( t ) 5

20 a sin( t ) sin( t ( t) ) l ( t ) a cos( t ) cos( t ( t )) a cos( t ) cos( t ( t) ) l a cos( t ) cos( t ( t )) ( t ) l l ( t ) l ( t ) ( t ) > Tsimplify(/*m*rmmetrostotetragono);# Η κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων.εδώ ακολουθώ ένα τέχνασμα που έχω επινοήσει μόνος μου από τότε που έκανα τη διπλωματική μου εργασία.επειδή εδώ έχουμε cos(ωτ+θ) το Μaple θα υπολογίσει την κινητική ενέργεια μέσω αυτού του συνθέτου ορίσματος. Αν πάει κανείς να απλοποιήσει μετα την έκφραση που θα βγει, το Maple θα του γυρίσει πίσω την έκφραση ανέπαφη. Το "κόλπο" είναι να χρησιμοποιήσουμε την εντολή expan, η οποία "ανοίγει" τελείως τις εκφράσεις και στη συνέχεια να κάνουμε απλοποίηση της ανοιγμένης έκφρασης της κινητικής ενέργειας. Κατ' αυτήν την έννοια "ξεγελάμε" το πρόγραμμα!!! Γι' αυτό λοιπόν και έβαλα Τ και όχι Τ. Τ θα είναι η απλοποιημένη έκφραση της κινητικής ενέργειας T m a l ( t ) l ( t ) a cos( t ) cos( t ( t) ) l ( t ) a sin( t ) sin( t ( t) ) l 4 l ( t ) a sin( t ) sin( t ( t )) a sin( t ) cos( t ( t )) a cos( t ) sin( t ( t )) a sin( t ) sin( t ( t )) ( t ) a sin( t ) sin( t ( t) ) l ( t ) a cos( t ) cos( t ( t )) a cos( t ) cos( t ( t) ) l a cos( t ) cos( t ( t )) ( t ) l l ( t ) l ( t ) ( t )

21 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΕ ΤΟ MAPLE > Tsimplify(expan(T)); T m a l ( t ) l ( t ) 4 l a l cos ( ( t )) a cos ( ( t )) a sin ( ( t )) a ( t ) cos ( ( t )) a l ( t ) cos ( ( t )) l l ( t ) l ( t ) ( t ) ( t ) > V -Int(Fel,s = 0.. s) = /*k*s^+c;# Η δυναμική ενέργεια του πρώτου σώματος.κάναμε μια μικρή αλλαγή μεταβλητής από x σε a, ώστε να βάλουμε τη μεταβλητή x στο άνω όριο του ολοκληρώματος. V Fel s 0 s ks C > subs(s=0,/*k*s^+c=0);#θέτουμε s=0 ώστε να επιβάλλουμε την αρχική συνθήκh V=0 για μηδενική απομάκρυνση του ελατηρίου C0 > V/*k*s^;#ξαναορίσαμε τη συνάρτηση V ώστε να μην "κουβαλάμε" συνεχώς και το συμβολικό μέρος που δίνει μόνο την αναπαράσταση των ολοκληρωμάτων. Εδώ τη γράψαμε στη λεγόμενη παραμετρική μορφή ks V > LT-V;#Αυτή είναι η συνάρτηση Lagrange του συστήματος L=T-V L m a l ( t ) l ( t ) 4 l a l cos ( ( t )) a cos ( ( t )) a sin ( ( t )) a ( t ) cos ( ( t )) a l ( t ) cos ( ( t )) l l ( t ) l ( t ) ( t ) ( t ) ks 7

22 > Lmetatropisubs(iff(theta(t),t)=F,L);#κάνουμε μια αντικατάσταση διότι το MAPLE δε δέχεται σαν μεταβλητή παραγώγισης, μια συμβολική παράγωγο συνάρτησης. Lmetatropi m a l F l F 4 l s( t) F a l cos ( ( t )) a cos ( ( t )) a sin ( ( t )) a s( t) F cos ( ( t )) a lf cos ( ( t )) l l F lf F ks > iff(lmetatropi,f); m ( F l F4 l a cos ( ( t )) a l cos ( ( t )) l 4 lf ) >iff(/*m*(4*l*f(t)*s(t)+*l^*omega+*s(t)^*omega+*s(t) ^*F(t)+*a*omega*l*cos(theta(t))+*l^*F(t)+4*l*omega*s(t) +*a*omega*s(t)*cos(theta(t))),t); m 4 l F( t ) 4 l F( t ) 4 4 F( t ) F( t ) a l sin ( ( t )) ( t ) l F( t ) 4 l a cos ( ( t )) a sin ( ( t )) ( t ) iff(/*m*(a^*omega^+l^*omega^+s(t)^*iff(theta(t),t) ^+l^*iff(theta(t),t)^+s(t)^*omega^+4*l*omega*s(t)*if f(theta(t),t)+*a*omega^*l*cos(theta)+*a*omega^*s(t)*cos (theta)+*a*omega*iff(s(t),t)*sin(theta)+*a*omega*s(t)*i ff(theta(t),t)*cos(theta)+*a*omega*l*iff(theta(t),t)*cos( theta)+iff(s(t),t)^+*l*omega^*s(t)+*l^*omega*iff(the ta(t),t)+*l*iff(theta(t),t)^*s(t)+*s(t)^*omega*iff(th eta(t),t))-/*k*s^,theta);#θέσαμε θ(t)=θ ώστε να μπορέσει το Maple να κάνει την παραγώγιση. m a l sin( ) a sin( ) a cos( ) a ( t ) sin( ) a l ( t ) sin( )

23 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΕ ΤΟ MAPLE >Diaforikieksisosisimplify(/*m*(4*l*iff(F(t),t)*s(t)+4* l*f(t)*iff(s(t),t)+4*s(t)*omega*iff(s(t),t)+4*s(t)*f(t)* iff(s(t),t)+*s(t)^*iff(f(t),t)- *a*omega*l*sin(theta(t))*iff(theta(t),t)+*l^*iff(f(t), t)+4*l*omega*iff(s(t),t)+*a*omega*iff(s(t),t)*cos(theta( t))-*a*omega*s(t)*sin(theta(t))*iff(theta(t),t))-/*m*(- *a*omega^*l*sin(theta)- *a*omega^*s(t)*sin(theta)+*a*omega*iff(s(t),t)*cos(thet a(t))-*a*omega*s(t)*iff(theta(t),t)*sin(theta(t))- *a*omega*l*iff(theta(t),t)*sin(theta(t)))=0);# Η πρώτη εξίσωση Lagrange του συστήματος. Diaforikieksisosi m l F( t ) l F( t ) F( t ) F( t) l F( t ) l a l sin( ) a sin( ) 0 Η παραπάνω διαφορική εξίσωση γράφεται μετά από την «αποκωδικοποίηση» των μεταβλητών μας ως : s a sin s 0 l s Συνεχίζοντας τώρα για τη δεύτερη εξίσωση Lagrange που αφορά τη μεταβλητή s(t) έχουμε : > Lmetatropisubs(iff(s(t),t)=K,s^=s(t)^,L);#κάνουμε μια αντικατάσταση διότι το MAPLE δε δέχεται σαν μεταβλητή παραγώγισης, μια συμβολική παράγωγο συνάρτησης. Lmetatropi m a ( t ) cos ( ( t) ) a a l ( t ) cos ( ( t )) l l ( t ) l ( t ) l ( t ) 4 l ( t) K a K sin ( ( t )) a l cos ( ( t )) a cos ( ( t )) ( t ) l ( t ) k 9

24 > iff(lmetatropi,k); m ( K a sin ( ( t ))) > iff(/*m*(*a*omega*sin(theta(t))+*k(t)),t); m a cos ( ( t )) ( t ) K( t ) >iff(/*m*(a^*omega^+l^*omega^+s^*iff(theta(t),t)^+ l^*iff(theta(t),t)^+s^*omega^+4*l*omega*s*iff(theta(t ),t)+*a*omega^*l*cos(theta(t))+*a*omega^*s*cos(theta(t) )+*a*omega*k*sin(theta(t))+*a*omega*s*iff(theta(t),t)*co s(theta(t))+*a*omega*l*iff(theta(t),t)*cos(theta(t))+k^+ *l*omega^*s+*l^*omega*iff(theta(t),t)+*l*iff(theta(t ),t)^*s+*s^*omega*iff(theta(t),t))-/*k*s^,s); m s ( t ) s 4 l ( t ) a cos ( ( t )) a cos ( ( t )) ( t ) l l ( t ) 4 s ( t ) ks >Diaforikieksisosisimplify(/*m*(*a*omega*cos(theta(t)) *iff(theta(t),t)+*iff(k(t),t))- (/*m*(*s*iff(theta(t),t)^+*s*omega^+4*l*omega*iff(t heta(t),t)+*a*omega^*cos(theta(t))+*a*omega*cos(theta(t) )*iff(theta(t),t)+*l*omega^+*l*iff(theta(t),t)^+4*s*o mega*iff(theta(t),t))-k*s)=0);#h δεύτερη διαφορική εξίσωση Lagrange για την άλλη γενικευμένη μεταβλητή. Diaforikieksisosi m K( t) ms ( t ) ms ml ( t ) ma cos ( ( t) ) ml ml ( t ) ms ( t) ks0 Η παραπάνω διαφορική εξίσωση γράφεται μετά από την «αποκωδικοποίηση» των μεταβλητών μας ως : ks s sl cos 0 m

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΕ ΤΟ MAPLE > restart; > with(detools): > DiaforikiEksisosi - *l(t)*iff(theta(t),t)*a*cos(omega*t)*omega+l(t)^*iff(i ff(theta(t),t),t)+a*sin(omega*t)*omega^*l(t)*sin(theta(t)) +g*l(t)*sin(theta(t)) = 0; DiaforikiEksisosi () l t ( t) a cos( t ) l( t ) ( t ) a sin( t ) l( t ) sin ( ( t) ) g l( t ) sin ( ( t )) 0 > initheta(0)=pi/4,d(theta)(0)=; ini ( 0), D( )( 0) 4 > eqsubs(omega=00,g=0,a=,l(t)=0-- *sin(00*t),diaforikieksisosi); eq 400 ( 8 sin( 00 t )) ( t ) cos( 00 t ) ( 8 sin( 00 t )) ( t ) 0000 sin( 00 t ) ( 8 sin( 00 t )) sin ( ( t )) 0 ( 8 sin( 00 t )) sin ( ( t )) 0 > fsolve({eq,ini}, theta(t),numeric);#αριθμητικός τρόπος επίλυσης f proc ( x_rkf45 )... en proc > f(5);#μια λύση για t=5 t5., ( t ) , ( t ) > with(plots):# Ειδικό πακέτο για τη σχεδίαση γραφικών παραστάσεων > oeplot(f, [t, theta(t)], 0..00, numpoints=000); Warning, cannot evaluate the solution further right of , maxfun limit exceee (see?solve,maxfun for etails)

26 Στερεά αβαρής ράβδος μήκους l εξαρτάται με το ένα άκρο της από σταθερό σημείο Ο περί το οποίο μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα. Στο άλλο άκρο της ράβδου στερεώνεται μάζα m. Η μάζα m μπορεί να ολισθαίνει κατά μήκος της λείας ράβδου υπό την επίδραση γραμμικού ελατηρίου. Το σύστημα βρίσκεται στο πεδίο βαρύτητας και κινείται σε κατακόρυφο επίπεδο. Να ευρεθούν οι διαφορικές εξισώσεις της κίνησης του συστήματος. Από το σχήμα μας φαίνεται πως τα διανύσματα θέσεως των δύο σωμάτων είναι: r lsini lcosk r ssini scosk Θεωρούμε επίσης πως η απομάκρυνση του ελατηρίου είναι so. Έχουμε λοιπόν με τη βοήθεια του Maple: > restart;#εκκίνηση μιας νέας συνεδρίας > with(physics:-vectors);#το πακέτο που εξειδικεύεται στη Φυσική [&x, +,., ChangeBasis, Component, Curl, DirectionalDiff, Divergence, Graient, Ientify, Laplacian, Nabla, Norm, Setup, VectorDiff ] > r (l*sin(theta(t)))*_i+ (l*cos(theta(t)))*_k;#ορισμός διανύσματος θέσης πρώτου σώματος r l sin ( ( t ))_il cos ( ( t ))_k > r (s(t)*sin(theta(t)))*_i+ (s(t)*cos(theta(t)))*_k;#ορισμός διανύσματος θέσης δευτέρου σώματος r sin ( ( t ))_i cos ( ( t ))_k

27 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΕ ΤΟ MAPLE > rparagogosiff(r,t);#ταχύτητα σώματος rparagogos l cos ( ( t )) ( t ) _i l sin ( ( t )) > rparagogosiff(r,t);#ταχύτητα σώματος ( t ) _k rparagogos sin ( ( t ))_i cos ( ( t )) ( t ) _i cos ( ( t ))_k sin ( ( t )) ( t ) _k > rmetrostotetragono(norm(rparagogos))^;# Το τετράγωνο της ταχύτητας του σώματος. rmetrostotetragono l ( t ) > rmetrostotetragono(norm(rparagogos))^;# Το τετράγωνο της ταχύτητας του σώματος. rmetrostotetragono ( t ) > T/*(m*rmetrostotetragono+m*rmetrostotetragono);# Η κινητική ενέργεια του σώματος T m l ( t ) m ( t ) > V-Int(B*l,cos(theta))-Int(B*s,cos(theta))- Int(k*so,so)=-int(m*g*l*iff(cos(theta),theta),theta)- int(m*g*s*iff(cos(theta),theta),theta)-int(-k*so,so)+c;#η δυναμική ενέργεια του δευτέρου σώματος. Χρησιμοποιήσαμε τις παραπάνω δύο παραγωγίσεις για να βοηθήσουμε το MAPLE να εκτελέσει την ολοκλήρωση.την προσθετική σταθερά την βάλαμε εμείς. Το MAPLE δίνει με την εντολή int μόνο το αποτέλεσμα και ποτέ την προσθετική σταθερά. V B l cos( ) B s cos( ) kso so kso m g l cos( ) m g s cos( ) C > #Θεωρούμε τέτοιες αρχικές συνθήκες ώστε να μηδενίζεται η προσθετική σταθερά καιέχουμε > V-m*g*l*cos(theta)-m*g*s*cos(theta)+/*k*so^; kso V m g l cos( ) m g s cos( ) 3

28 > LT-V; L m l ( t ) m g s cos( ) m kso ( t ) m g l cos( ) > Lmetatropisubs(iff(theta(t),t)=F,L);#κάνουμε μια αντικατάσταση διότι το MAPLE δε δέχεται σαν μεταβλητή παραγώγισης, μια συμβολική παράγωγο συνάρτησης. Αν είχαμε την ακριβή σχέση μεταξύ του x και του χρόνου δε θα υπήρχε κανένα πρόβλημα. Και πάλι όμως τα πράγματα είναι πολύ εύκολα. Lmetatropi m l F m F m g l cos( ) m g s cos( ) kso > iff(lmetatropi,f); m l Fm F > iff(m*l^*f(t)+m*s(t)^*f(t),t); m l F( t ) m F( t ) > iff(lmetatropi,theta); s( t) m m g l sin( ) m g s sin( ) F( t ) >ProtiDiaforikiEksisosim*l^*iff(F(t),t)+*m*s(t)*F(t)* iff(s(t),t)+m*s(t)^*iff(f(t),t)-(-m*g*l*sin(theta)- m*g*s*sin(theta))=0; ProtiDiaforikiEksisosi m l F( t ) m F( t ) m g l sin( ) m g s sin( ) 0 s( t) m F( t ) Η παραπάνω εξίσωση ως προς τη μεταβλητή θ γράφεται μετά από την κατάλληλη αποκωδικοποίηση ως εξής: ml ms ms s lm sm gs in 0 Συνεχίζοντας τώρα για τη δεύτερη εξίσωση έχουμε:

29 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΕ ΤΟ MAPLE > Lmetatropisubs(iff(s(t),t)=K,s(t)=s,so^=(s- Lo)^,L);#κάνουμε μια αντικατάσταση διότι το MAPLE δε δέχεται σαν μεταβλητή παραγώγισης, μια συμβολική παράγωγο συνάρτησης.επίσης θέσαμε so=s-lo, μιας και τώρα εξετάζουμε τη μεταβλητή s(t) και το so είναι προφανώς εξαρτώμενο απ' αυτή. Lmetatropi m l ( t ) m k ( slo) m g s cos( ) K s ( t ) m g l cos( ) > iff(lmetatropi,k); m K > iff(lmetatropi,s); m s ( t ) m g cos( ) k ( slo ) > DefteriDiaforikiEksisosim*K- (m*s*iff(theta(t),t)^+m*g*cos(theta)-k*(s-lo))=0; DefteriDiaforikiEksisosi m Km s ( t ) m g cos( ) k ( slo) 0 Η δεύτερη λοιπόν εξίσωση είναι: ms ms mg k s Lo cos 0 Τέλος η γραφική παράσταση του δυναμικού για m=5, m=7, g=0, Lo=, l=5, k=5 είναι: > plot3((-5*0*5*cos(theta)-7*0*s*cos(theta)+/*5*(s- )^),s=0..00,theta=-pi..pi); 5

30 ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ ΤΑΧΥΣ ΤΡΟΠΟΣ ΕΠΙΛΥΣΕΩΣ Οι παραπάνω ασκήσεις λύθηκαν με τρόπο μάλλον παιδαγωγικό, παρά πρακτικό. Παρουσιάσαμε δηλαδή κάθε στάδιο της λύσης του προβλήματος, όπως ακριβώς θα το έλυνε ένας φυσικός με το χέρι. Το Maple όμως έχει ειδικό «πακέτο» εντολών για την εύρεση των εξισώσεων Lagrange Euler, με το οποίο τα πράγματα απλοποιούνται σημαντικά. Εάν δηλαδή του δώσουμε τη συνάρτηση Lagrange, αυτό μας δίνει αυτομάτως τις εξισώσεις, κάτι που το καθιστά αναντικατάστατο για τη δουλειά που θέλουμε να κάνουμε στο παρόν πόνημα. Άρα στο πρώτο πρόβλημα έχουμε: > restart; > L /*M*iff(x(t),t)^+/*m*(iff(x(t),t)^+*iff(x(t),t)*l *cos(theta(t))*iff(theta(t),t)+l^*iff(theta(t),t)^)- /*k*x(t)^+m*g*l*cos(theta(t))+a*l*sin(theta(t))-m*g*l; L M x( t ) m x( t ) x( t) l cos ( ( t )) k x( t ) mgl cos ( ( t) ) Al sin ( ( t) ) mg l ( t) l ( t ) > el VariationalCalculus:-EulerLagrange(L, t, theta(t)); el m D( x) ( t) l sin ( ( t )) { ( t) mg l sin ( ( t) ) Al cos ( ( t )) m ( D ( ) )( x) ( t) l cos ( ( t )) D( x) ( t) l sin ( ( t )) ( t ) l ( t ) } > protieulerlagrange op( simplify(el) ) = 0; protieulerlagrange l ( mg sin ( ( t) ) A cos ( ( t) ) m ( D ( ) )( x) ( t ) cos ( ( t) ) ml ( D ( ) )( ) ( t )) 0 > e VariationalCalculus:-EulerLagrange(L, t, x(t)); e k x( t) M { x( t ) m x( t ) l sin ( ( t )) ( t ) D( ) ( t ) l cos ( ( t ))( D ( ) )( ) ( t ) }

31 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΕ ΤΟ MAPLE > efterieulerlagrange op( simplify(e) ) = 0; efterieulerlagrange k x( t) M ( D ( ) )( x )( t ) m ( D ( ) )( x) ( t ) ml sin ( ( t )) D( ) ( t ) ml cos ( ( t ))( D ( ) )( ) ( t ) 0 Οι δύο παραπάνω εξισώσεις είναι ακριβώς αυτές που βγάλαμε με τον «παραδοσιακό» τρόπο. Εδώ όμως αποφύγαμε πολλές επικίνδυνες πράξεις. Στο δεύτερο πρόβλημα έχουμε: > restart; > L /*m*(iff(l(t),t)^+l(t)^*iff(theta(t),t)^+*iff(s(t),t)*iff(l(t),t)*cos(theta(t))- *iff(s(t),t)*l(t)*sin(theta(t))*iff(theta(t),t)+iff(s(t ),t)^)+m*g*l(t)*cos(theta(t))+m*g*s(t)-m*g*l(t); L m t l( t ) l( t ) ( t ) l( t ) sin ( ( t )) mg l( t ) ( t ) l( t ) cos ( ( t )) mg l( t ) cos ( ( t) ) mg > el VariationalCalculus:-EulerLagrange(L, t, theta(t)); el m D( s) ( t ) D() l ( t ) sin ( ( t )) D( s) ( t ) l( t ) cos ( ( t )) { ( t ) mg l( t ) sin ( ( t )) m 4() l t ( t ) l( t ) () l t ( t ) ( D ( ) )( s) ( t ) l( t ) sin ( ( t )) D( s) ( t) l( t ) sin ( ( t )) D( s) ( t ) l( t ) cos ( ( t )) ( t ) } > eulerlagrange op( simplify(el) ) = 0; eulerlagrange m l( t )( g sin ( ( t )) D( ) ( t ) D() l ( t ) l( t )( D ( ) )( )( t ) ( D ( ) )( s ) ( t ) sin ( ( t ) ) ) 0 7

32 Στο τρίτο πρόβλημα έχουμε: > restart; >L/*m*(iff(s(t),t)^+*l*iff(theta(t),t)^*s(t)+*l*om ega^*s(t)+*l^*omega*iff(theta(t),t)+*s(t)^*omega*iff (theta(t),t)+4*l*omega*s(t)*iff(theta(t),t)+s(t)^*omega^ +l^*iff(theta(t),t)^+a^*omega^+l^*omega^+s(t)^*iff (theta(t),t)^+*a*omega^*s(t)*cos(theta(t))+*a*omega*if f(s(t),t)*sin(theta(t))+*a*omega^*l*cos(theta(t))+*a*ome ga*l*iff(theta(t),t)*cos(theta(t))+*a*omega*s(t)*iff(the ta(t),t)*cos(theta(t)))-/*k*s(t)^; L m a l ( t ) l ( t ) 4 l ( t ) a l cos ( ( t )) a cos ( ( t )) a sin ( ( t )) a ( t ) cos ( ( t )) a l ( t ) cos ( ( t )) l l ( t ) l ( t ) ( t ) k > el VariationalCalculus:-EulerLagrange(L, t, theta(t)); el { m a l sin ( ( t )) a sin ( ( t )) a D( s) ( t ) cos ( ( t )) a sin ( ( t )) ( t ) a l sin ( ( t )) ( t ) m 4 ( t ) ( t ) l ( t ) 4 l a cos ( ( t )) a sin ( ( t )) ( t ) a l sin ( ( t )) ( t ) 4 l ( t ) 4 l ( t ) 4 } eulerlagrange op( simplify(el) ) = 0; eulerlagrange m ( a l sin ( ( t) ) a sin ( ( t )) D( ) ( t ) D( s) ( t) ( D ( ) )( )( t ) l ( D ( ) )( ) ( t ) l D( s) ( t) l D( s) ( t ) D( ) ( t ) l ( D ( ) )( ) ( t ) D( s) ( t) ) 0

33 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΜΕ ΤΟ MAPLE > e VariationalCalculus:-EulerLagrange(L, t, s(t)); e { m ( D( ) ( t ) 4 l D( ) ( t ) a cos ( ( t )) a D( ) ( t ) cos ( ( t )) l l D( ) ( t ) 4 D( ) ( t )) k m a cos ( ( t )) ( t ) } > eulerlagrange op( simplify(e) ) = 0; eulerlagrange m D( ) ( t ) m ml D( ) ( t) ma cos ( ( t )) ml ml D( ) ( t ) m D( ) ( t) k s( t) m ( D ( ) )( s) ( t) 0 Τέλος στο τέταρτο πρόβλημα έχουμε: > restart; > L /*m*l^*iff(theta(t),t)^+/*m*(iff(s(t),t)^+s(t)^ *iff(theta(t),t)^)+m*g*l*cos(theta(t))+m*g*s(t)*cos(the ta(t))-/*k*(s(t)-lo)^; L m l ( t ) m m g cos ( ( t )) k ( s( t)lo) ( t ) m g l cos ( ( t )) > el VariationalCalculus:-EulerLagrange(L, t, theta(t)); el m g l sin ( ( t) ) mg sin ( ( t) ) ml { ( t ) m ( t ) s( t) m ( t ) } > protieulerlagrange op( simplify(el) ) = 0; protieulerlagrange m g l sin ( ( t) ) mg sin ( ( t) ) ml m ( t ) s( t) m ( t ) 0 ( t ) t > e VariationalCalculus:-EulerLagrange(L, t, s(t)); e { m D( ) ( t ) m g cos ( ( t) ) k( s( t)lo) m } 9

34 > efterieulerlagrange op( simplify(e) ) = 0; efterieulerlagrange m D( ) ( t ) m g cos ( ( t) ) k k Lom ( D ( ) )( s) ( t) 0 Βιβλιογραφία ) Μαθήματα Αναλυτικής Μηχανικής υπό Γ. Κατσιάρη (Πανεπιστήμιο Πατρών). ) Διανυσματική Ανάλυση και εφαρμογές στη Φυσική με το υπολογιστικό πρόγραμμα Maple 9, υπό Α.Τζέμου (Πτυχιακή Εργασία). 3) Εσωτερικό εγχειρίδιο χρήσης του Maple.