ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑΣ ΔΙΑΧΥΣΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΜΕΘΟΔΟΥ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ HORIZONTAL ABSORPTION SOLUTION USING OPTIMIZATION METHOD

Transcript

1 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑΣ ΔΙΑΧΥΣΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΜΕΘΟΔΟΥ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Χρήστος Ευαγγελίδης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Θεσσαλονίκη, ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται μία εναλλακτική προσέγγιση για την επίλυση του προβλήματος της οριζόντιας διάχυσης. Βασίζεται στην προσαρμογή πειραματικών δεδομένων από βιβλιογραφία σε μία παραμετρική σχέση του συντελεστή διάχυσης, που προκύπτει αναλυτικά από το μετασχηματισμένο προφίλ υγρασίας. Το μετασχηματισμένο προφίλ εδαφικής υγρασίας περιγράφεται με μεγάλη προσέγγιση από μία εμπειρική τριπαραμετρική σχέση. Η επίλυση γίνεται με τη χρήση μεθόδων βελτιστοποίησης και δίνει αρκετά ικανοποιητικά αποτελέσματα. Τα πλεονεκτήματα της μεθόδου είναι ότι προκύπτουν αναλυτικές σχέσεις για το μετασχηματισμένο προφίλ και για την απορροφητικότητα, αποφεύγοντας αριθμητικά λάθη που εισάγουν οι αριθμητικές λύσεις. HORIZONTAL ABSORPTION SOLUTION USING OPTIMIZATION METHOD Chris Evangelides Department of Rural and Surveying Engineering, Polytechnic school, Aristotle University of Thessaloniki, Thessaloniki, SUMMARY In this paper the solution of horizontal absorption is obtained using an alternative approach. It is based on fitting a complicated analytical expression of the diffusion coefficient to literature experimental data. The analytical expression of the diffusion coefficient results from the description of the transformed moisture profile with an empirical function with three constants, which describes the profile very well. The solution is obtained utilizing optimization methods and the results are very satisfactory. The advantage of the method is that the results are analytical expressions for both the profile and sorptivity, thus avoiding arithmetic errors that often occur in numerical methods. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ακριβής γνώση των πολύπλοκων σχέσεων νερού-εδάφους επιτρέπει αφενός την κατανόηση της ροής του νερού στο έδαφος, αφετέρου την εφαρμογή κατάλληλων μεθόδων για την ορθολογική διαχείριση των υδατικών αποθεμάτων.

2 Η ακόρεστη ροή αποτελεί μία ειδική περίπτωση ταυτόχρονης ροής δύο μη αναμειγνυόμενων ρευστών, αέρα και νερού, όπου η αέρια φάση θεωρείται ότι δεν μετέχει στην κίνηση. Η ακόρεστη ροή είναι σημαντική, διότι διέπει την κίνηση του νερού από την επιφάνεια του εδάφους μέχρι τη φρεατική στάθμη των υπόγειων νερών και αποτελεί πλέον αντικείμενο μελέτης και έρευνας σε πολλούς τομείς της επιστήμης, όπως της υδρολογίας, των αρδεύσεων, της εδαφομηχανικής κ.λπ. Η επίλυση των προβλημάτων της κίνησης του νερού σε ακόρεστο έδαφος παρουσιάζει πολλές δυσκολίες, οι οποίες οφείλονται στα ακόλουθα προβλήματα: Οι διαφορικές εξισώσεις, που περιγράφουν το φυσικό πρόβλημα, είναι μη γραμμικές και έτσι, η επίλυσή τους γίνεται με αριθμητικές ή ημιαναλυτικές μεθόδους, οι οποίες συνήθως απαιτούν μεγάλο αριθμό πράξεων και επαναλήψεων. Δεν ισχύουν μονοσήμαντες σχέσεις μεταξύ της πίεσης του εδαφικού νερού και της υγρασίας λόγω του φαινομένου της υστέρησης. Τέλος, η ύπαρξη της αέριας φάσης, των θερμοκρασιακών μεταβολών, της συμπιεστότητας του αέρα κ.λπ., εισάγουν δυσχέρειες, οι οποίες αίρονται με την παραδοχή απλουστευμένων μοντέλων. Η μελέτη της κίνησης του νερού σε ακόρεστο έδαφος ξεκίνησε το 197 από τον Buckingham (Swartzendruber, 1969), ο οποίος προσπάθησε να δώσει μια λεπτομερή ανάλυση της ακόρεστης ροής. Ο Richards (1931) επέκτεινε το νόμο του Darcy και στην ακόρεστη ροή. Η συστηματική όμως μελέτη της κίνησης του νερού στο έδαφος και η κατάταξή της ως ξεχωριστής επιστήμης ξεκίνησε από τον Childs (1969), ο οποίος με το σύγγραμμά του An Introduction to the Physical Basis of Soil Water Phenomena, έδωσε μία ολοκληρωμένη περιγραφή των φυσικών φαινομένων, που διέπουν την κίνηση του νερού στο έδαφος. Οι βασικές εξισώσεις, που διέπουν την ακόρεστη ροή, τύπου Fokker-Plank ή τύπου Richards, είναι μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις παραβολικού τύπου. Η κίνηση του νερού στο έδαφος είναι γενικά τρισδιάστατη, αλλά στις πιο πολλές περιπτώσεις μπορεί να θεωρηθεί ως δύο διαστάσεων, λόγω αξονικής συμμετρίας και σε πολλές περιπτώσεις ως μονοδιάστατη. Η κατακόρυφη κίνηση του νερού στο έδαφος συναντάται σε πολλές περιπτώσεις στη φύση, όπως στις αρδεύσεις, στις στραγγίσεις, στην επικοινωνία μεταξύ υδροφόρων στρωμάτων, στον εμπλουτισμό υδροφόρων στρωμάτων κ.λπ. Η οριζόντια κίνηση του νερού συναντάται στις στραγγίσεις, στη ροή προς στραγγιστικούς σωλήνες και προς τάφρους. Επίσης, σύμφωνα με τους Childs (1969), Hillel (1971) και Philip (1969) η κατακόρυφη διήθηση για μικρούς χρόνους ή και σε περιπτώσεις βαρέων εδαφών (μικρή υδραυλική αγωγιμότητα), όπου υπερισχύουν οι δυνάμεις του τριχοειδούς έναντι των δυνάμεων της βαρύτητας, περιγράφεται ικανοποιητικά από την εξίσωση της οριζόντιας διάχυσης. Απαραίτητη προϋπόθεση για την επίλυση των εξισώσεων της ακόρεστης ροής στο έδαφος είναι η γνώση των βασικών παραμέτρων του εδάφους, καθώς και οι οριακές και αρχικές συνθήκες της ροής. Η δυσκολία προσδιορισμού των βασικών παραμέτρων του εδάφους στη φύση ανάγκασε τους ερευνητές να στραφούν σε εργαστηριακές μεθόδους, στις οποίες οι συνθήκες είναι μεν εξιδανικευμένες, βοηθούν όμως στην πλήρη και καλύτερη κατανόηση του φυσικού προβλήματος με απώτερο σκοπό την εφαρμογή των πειραματικών αποτελεσμάτων στο φυσικό πρόβλημα. Σε ό,τι αφορά το θεωρητικό μέρος, η διαφορική εξίσωση του Richards είναι έντονα μη γραμμική και για τον λόγο αυτό δεν έχουν βρεθεί ακόμη ακριβείς αναλυτικές λύσεις και η μαθηματική προσέγγιση της επίλυσης έχει γίνει με τους εξής τρόπους: Ημιαναλυτικές μέθοδοι (Parlange, 1971a, b, c; Philip and Knight, 1974; Τολίκας, 1981; Tolikas-Sidiropoulos, 1984; Κερκίδης, 1992; Parlange et al., 1999).

3 Μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών (Aschroft et al., 1962; Τερζίδης, 1969; Τζιμόπουλος, 1977; Haverkamp et al., 1977; Τζιμόπουλος και Σακελλαρίου, 1981; Haverkamp, 1983; Celia et al., 199; Μπαμπατζιμόπουλος, 1997; Γούκος και Μπαμπατζιμόπουλος, 2). Μέθοδοι των πεπερασμένων στοιχείων (Tzimopoulos, 1977; Tzimopoulos, 1978; Antonopoulos and Papazafiriou, 199; Antonopoulos, 1997; Antonopoulos, 2). Μέθοδοι πεπερασμένων όγκων ελέγχου (Πελέκης και Δημητρακόπουλος, 1997; Αραμπατζής, 2; Arampatzis et al., 21). Μέθοδοι ροής συγκέντρωσης. Η μέθοδος ροής συγκέντρωσης, παρουσιάζεται ως αυτοτελής, λόγω του τρόπου που προσεγγίζει το φυσικό πρόβλημα, αν και ανήκει στο χώρο των ημιαναλυτικών λύσεων (Philip, 1973; Knight and Philip, 1974; Philip and Knight, 1974; White, 1979; White et al., 1979; Perroux et al., 1981; Clothier et al., 1981; Smiles at al., 1982; Boulier et al., 1984; Boulier, 1985; Τζιμόπουλος, 199; Τζιμόπουλος κ.α., 1998; Τζιμόπουλος και Ευαγγελίδης, 2;, 25). 2. ΘΕΩΡΙΑ Η μονοδιάστατη οριζόντια κίνηση του νερού σε ακόρεστο μέσο μπορεί να περιγραφεί από την εξίσωση (Bruce and Klute, 1956): θ t = θ D(θx ) < x <, (2.1) x x όπου θ είναι η περιεχόμενη εδαφική υγρασία κατ όγκο (L 3 L -3 ), D είναι ο συντελεστής διάχυσης (L 2 T -1 ), x είναι η απόσταση (L), και t ο χρόνος (T). Η εξίσωση (2.1) προϋποθέτει ότι ισχύει ο νόμος του Darcy για την ακόρεστη ροή και ότι υπάρχει μονοσήμαντη αντιστοιχία μύζησης και εδαφικής υγρασίας και συνεπώς ο συντελεστής διάχυσης εξαρτάται μόνο από την εδαφική υγρασία (Nielsen et al., 1962). Η αρχική και οι οριακές συνθήκες για την οριζόντια διάχυση είναι: θ(x,t) = θ i x, t =, θ(x,t) = θ x =, t >, (2.2) θ(x,t) = θ i x, t >, όπου θ i είναι η αρχική εδαφική υγρασία (L 3 L -3 ) και θ είναι η τελική εδαφική υγρασία (L 3 L -3 ). Η εξίσωση (2.1) μετατρέπεται στην παρακάτω κανονική διαφορική εξίσωση (2.3), εισάγοντας το μετασχηματισμό Boltzmann (1894), λ(θ) = x t -,5 (LT -,5 ), στον οποίο η περιεχόμενη εδαφική υγρασία θ x θεωρείται ως μία σχέση εξαρτώμενη από την απόσταση και την τετραγωνική ρίζα του χρόνου: 1 λ 2 dθ dλ = d dλ dθ D(θx ) dλ, (2.3) με τις εξής οριακές συνθήκες: θ x = θ i λ, (2.4) θ x = θ λ =,

4 όπου λ είναι το μετασχηματισμένο προφίλ υγρασίας (L) και D είναι ο συντελεστής διάχυσης (L 2 T -1 ). Ολοκληρώνοντας την (2.3) μεταξύ θ i και θ x προκύπτει: 1 1 θ x D( θx ) = - λ dθ. (2.5) 2 dθ θi dλ θ x Σύμφωνα με τον Philip (1969), η απορροφητικότητα S (LT -,5 ) δίνεται ως εξής: θ S = λ dθ (2.6) θi και έτσι η αθροιστική διήθηση I (L) μέχρι το μέτωπο διαβροχής περιγράφεται ως εξής: θ Ι = x dθ. (2.7) θi Οι εξισώσεις (2.6) και (2.7), με χρήση του μετασχηματισμού Boltzmann γίνονται: I S = (2.8) t Η μέθοδος των συζυγών διευθύνσεων χρησιμοποιείται για την εύρεση του μεγίστου (ή ελαχίστου) μιας συνάρτησης f, η οποία υπόκειται (ή όχι) σε ορισμένους περιορισμούς. Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιεί την ιδιότητα των συζυγών διανυσμάτων ως προς ένα μητρώο. H πιο γνωστή μέθοδος από τις συζυγείς διευθύνσεις είναι η μέθοδος των συζυγών κλίσεων, η οποία προτάθηκε κατ αρχήν από τους Hesteness and Stiefel (1952) και βελτιώθηκε με ορισμένες παραλλαγές από τους Fletcher and Reeves (1964). Ο γενικός αλγόριθμος είναι: r k r k r s = f( x ) + ω s k k 1, x r x r r k+ 1 k k = + λ k s, ω k r x = x k r k 1 2, (2.9) r όπου s k (k=1,2...n) είναι ένα σύνολο n γραμμικά ανεξαρτήτων μη μηδενικών διανυσμάτων, που καλούνται συζυγή ως προς ένα θετικά ορισμένο μητρώο Η, που είναι r το Hessian μητρώο της συνάρτησης f, (H = ( f (x k )) και λ k είναι μια παράμετρος, η οποία βρίσκεται με τη βέλτιστη διαδικασία επιλογής βήματος (OSSP). 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Υποθέτοντας ότι το μετασχηματισμένο κατά Boltzmann προφίλ υγρασίας περιγράφεται από μία εμπειρική τριπαραμετρική εξίσωση, η οποία προσαρμόζεται με μεγάλη ακρίβεια σε πειραματικά προφίλ (, 21): θ ή [ ] -1 ( λ) θ + a tan ( b λ c) = (3.1) +

5 1 θ + θ λ() θ = tan c, (3.2) b a προκύπτει μια πολύπλοκη αναλυτική έκφραση για το συντελεστή διάχυσης D, όπου οι παράμετροι a, b και c είναι σταθερές: D(θ x ) = θx + θ 1+ tan a. 5 a b 2 c b ( θ θ ) x i + a b ln θ cos θ cos i x + θ a + θ a. (3.3) Ανάλογη εξίσωση προκύπτει και για την απορροφητικότητα: S = θ θi λ dθ = c b ( θ θ ) i + a b cos ln θ cos i 2θ a + θ a. (3.4) Η καμπύλη D(θ) (εξ. 3.3) προσαρμόζεται στα πειραματικά σημεία και από την προσαρμογή προκύπτουν οι σταθερές a, b και c. Με βάση τις εξισώσεις (3.1) και (3.4) προκύπτουν αναλυτικά το μετασχηματισμένο προφίλ θ(λ) και η απορροφητικότητα S(θ i,θ ο ). Πολλές φορές αντί για πειραματικά σημεία διαθέτουμε μόνο μια πειραματική καμπύλη. 4. ΕΦΑΡΜΟΓΗ Για την επαλήθευση του μοντέλου χρησιμοποιήθηκε μία πειραματική σχέση, που δίνει πολύ καλά αποτελέσματα σύμφωνα με τους Muralli et al. (1979) και προτάθηκε από τους Αhuja and Swartzendruber (1972). Η μορφή της είναι: D( θ) m n = α θ /(θ c θ), (4.1) όπου θ c είναι μία τιμή πολύ κοντά στην τελική εδαφική υγρασία και α, m και n είναι σταθερές. Επίσης, χρησιμοποιήθηκαν τα πειραματικά δεδομένα των συντελεστών διάχυσης από τους Muralli et al. (1979) για τα εδαφικά δείγματα 27, 329, 331 και 338. Οι πειραματικές τιμές του συντελεστή διάχυσης των δειγμάτων προσδιορίστηκαν απευθείας από τα γραφήματα του παραπάνω άρθρου με ψηφιοποίηση. Κατόπιν προσαρμόστηκε η εξίσωση των Αhuja and Swartzendruber (1972), ελαχιστοποιώντας το σχετικό μέσο τετραγωνικό σφάλμα (rel.m.s.e). Οι σταθερές α, m και n, το rel.m.s.e και ο συντελεστής συσχέτισης (R) παρουσιάζονται στον πίνακα 1. Η ελαχιστοποίηση έγινε με τη μέθοδο των συζυγών διευθύνσεων (Tzimopoulos et al., 1998), αλλά μπορεί να γίνει και με άλλες μεθόδους όπως γενετικούς αλγόριθμους, τη μέθοδο Newton Raphson κ.α.

6 Πίνακας 1. Σταθερές α, m και n της εξίσωσης (4.1) των Αhuja and Swartzendruber (1972), rel.m.s.e και συντελεστής συσχέτισης (R). Αριθμός δείγματος Τύπος εδάφους α m n θ c rel.m.s.e R 27 Άργιλος 6,125,541 1,269,41,886, Άμμος,454,1982 1,8846,29,476, Πηλώδης άμμος 1,942,6498 2,345,32,963, Αμμώδης πηλός 1,1817,3656 1,5849,43,57,9522 Στη συνέχεια προσαρμόστηκε στα πειραματικά σημεία του συντελεστή διάχυσης η προτεινόμενη παραμετρική αναλυτική εξίσωση (3.3). Η βελτιστοποίηση έγινε ελαχιστοποιώντας το rel.m.s.e με τις ακόλουθες βοηθητικές συνθήκες: λ(θ)= για θ=θ, λ(θ)> για θ>θ, (4.2) a>, b> και c<. Η τελευταία συνθήκη προέκυψε εμπειρικά, έπειτα από πολλές δοκιμές επίλυσης του προβλήματος. Τα αποτελέσματα της προσαρμογής με την εξίσωση (3.3) παρουσιάζονται στον πίνακα 2. Στα σχήματα 1, 2, 3 και 4 παρουσιάζονται τα πειραματικά σημεία του συντελεστή διάχυσης των εδαφικών δειγμάτων, όπως και οι προσαρμογές τους με τις δύο εξισώσεις (3.3 και 4.1). Πίνακας 2. Σταθερές a, b και c της εξίσωσης (3.3) (21), θ ι, θ ο, rel.m.s.e και συντελεστής συσχέτισης (R). Αριθμός Τύπος εδάφους a b c θ ι θ ο rel.m.s.e R δείγματος 27 Άργιλος,1776,3772 4,711,3,41,764, Άμμος,1211,4382 5,8129,5,275,545, Πηλώδης άμμος,1326,3525 8,7962,7,35,659, Αμμώδης πηλός,178,5679 5,1972,1,4,52,9555 Ακολούθως χρησιμοποιήθηκε η εξίσωση (4.1) των Αhuja and Swartzendruber (1972) για κάθε εδαφικό δείγμα για τον προσδιορισμό του μετασχηματισμένου προφίλ εδαφικής υγρασίας με την ημιαναλυτική μέθοδο του Philip (1955) με τη βοήθεια ενός προγράμματος σε γλώσσα Fortran. Στα σχήματα 5, 6, 7 και 8 παρουσιάζονται τα μετασχηματισμένα προφίλ εδαφικής υγρασίας, που προέκυψαν από την επίλυση με τη μέθοδο του Philip και αναλυτικά από την εξίσωση (3.2). Τέλος στον πίνακα 3 παρουσιάζονται οι απορροφητικότητες S, όπως προέκυψαν από την επίλυση με τη μέθοδο του Philip και αναλυτικά από την εξίσωση (3.4) μετά την προσαρμογή της εξίσωσης (3.3) στα πειραματικά σημεία του συντελεστή διάχυσης. Πίνακας 3. Απορροφητικότητα (S) με τη μέθοδο του Philip (1955) και την εξίσωση (3.4) (21). Αριθμός S Τύπος εδάφους Phil S Evan Σχ. απόκλιση δείγματος cm h -.5 cm h -.5 % 27 Άργιλος 3,958 4,15 1, Άμμος 2,4768 2,5241 1, Πηλώδης άμμος 5, ,612 1, Αμμώδης πηλός 3,213 3,2158,87

7 1 Εδαφικό δείγμα 27 Συντελεστής διάχυσης (cm 2 h -1 ) 1 1 πειραματικά σημεία Ahuja and Swartzendruber Σχήμα 1. Συντελεστής διάχυσης για το εδαφικό δείγμα 27 της εξίσωσης (4.1) των Αhuja and Swartzendruber (1972) και της εξίσωσης (3.3) (21). 1 Εδαφικό δείγμα 329 Συντελεστής διάχυσης (cm 2 h -1 ) 1 1 πειραματικά σημεία Ahuja and Swartzendruber Σχήμα 2. Συντελεστής διάχυσης για το εδαφικό δείγμα 329 της εξίσωσης (4.1) των Αhuja and Swartzendruber (1972) και της εξίσωσης (3.3) (21).

8 1 Εδαφικό δείγμα 331 Συντελεστής διάχυσης ( cm 2 h -1 ) πειραματικά σημεία Ahuja and Swartzendruber Σχήμα 3. Συντελεστής διάχυσης για το εδαφικό δείγμα 331 της εξίσωσης (4.1) των Αhuja and Swartzendruber (1972) και της εξίσωσης (3.3) (21). 1 Εδαφικό δείγμα 338 Συντελεστής διάχυσης (cm 2 h -1 ) πειραματικα σημεια Ahuja and Swartzendruber Σχήμα 4. Συντελεστής διάχυσης για το εδαφικό δείγμα 338 της εξίσωσης (4.1) των Αhuja and Swartzendruber (1972) και της εξίσωσης (3.3) (21).

9 .45.4 Εδαφικό δείγμα Philip Μήκος προφίλ (cm) Σχήμα 5. Μετασχηματισμένο εδαφικό προφίλ με τη μέθοδο του Philip (1955) και την εμπειρική εξίσωση (3.2) (21) για το εδαφικό δείγμα Εδαφικό δείγμα Philip Μήκος προφίλ (cm) Σχήμα 6. Μετασχηματισμένο εδαφικό προφίλ με τη μέθοδο του Philip (1955) και την εμπειρική εξίσωση (3.2) (21) για το εδαφικό δείγμα 329.

10 .35 Εδαφικό δείγμα Philip Μήκος προφίλ (cm) Σχήμα 7. Μετασχηματισμένο εδαφικό προφίλ με τη μέθοδο του Philip (1955) και την εμπειρική εξίσωση (3.2) (21) για το εδαφικό δείγμα Εδαφικό δείγμα Philip Μήκος προφίλ (cm) Σχήμα 8. Μετασχηματισμένο εδαφικό προφίλ με τη μέθοδο του Philip (1955) και την εμπειρική εξίσωση (3.2) (21) για το εδαφικό δείγμα 338.

11 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η συνήθης διαδικασία για την επίλυση του προβλήματος της οριζόντιας διάχυσης, όταν ο συντελεστής διάχυσης είναι γνωστός, είναι πρώτον η προσαρμογή μίας σχέσης στα πειραματικά σημεία και ακολούθως επίλυση με μία ημιαναλυτική μέθοδο όπως του Philip ή με άλλες αριθμητικές μεθόδους. Τελικά γίνεται και πάλι προσαρμογή μίας σχέσης για την περιγραφή του μετασχηματισμένου προφίλ. Η προτεινόμενη μέθοδος με μία μόνο προσαρμογή δίνει απευθείας αναλυτικές εκφράσεις για το προφίλ αλλά και για την απορροφητικότητα. Με τον τρόπο αυτό αποφεύγονται αριθμητικά λάθη που προκύπτουν από τις επαναληπτικές διαδικασίες. Η προτεινόμενη σχέση είναι αρκετά πολύπλοκη, αλλά η υπολογιστική δύναμη των σύγχρονων υπολογιστών επιτρέπει τέτοιου είδους πολύπλοκες επιλύσεις. Είναι πολύ δύσκολο να γίνει σύγκριση αποτελεσμάτων, διότι τα αποτελέσματα εξαρτώνται άμεσα από το ποσοστό προσαρμογής της κάθε σχέσης στα πειραματικά σημεία. Η προσαρμογή των πειραματικών τιμών στις εξισώσεις των Αhuja and Swartzendruber (1972) και των (21) παρατηρήθηκε ότι δεν είχαν ουσιαστική διαφορά και τα αποτελέσματα ως αναφορά την απορροφητικότητα είχαν μέγιστη σχετική απόκλιση μέχρι 1.8%. Φυσικά η βελτιστοποίηση δεν είναι πάντοτε εύκολη και εξαρτάται άμεσα από τις αρχικές τιμές των σταθερών. Χρειάζονται αρκετές δοκιμές, ώστε οι αρχικές τιμές να περιγράφουν μία σχέση με μορφή πλησίον των πειραματικών τιμών και ακολούθως να γίνει η βελτιστοποίηση. Ένα άλλο συμπέρασμα που προέκυψε είναι ότι η προτεινόμενη μέθοδος δίνει αποτελέσματα και για πολύ μεγάλες τιμές της απορροφητικότητας, ενώ η ημιαναλυτική μέθοδος του Philip αδυνατεί, λόγω του ότι η τιμή του ολοκληρώματος της συμπληρωματικής συνάρτησης λάθους, που είναι απαραίτητη για τη σύγκλισή της, είναι πολύ μεγάλη και δεν μπορεί να υπολογιστεί. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Ahuja, L.R. and Swartzendruber, D., An improved soil water diffusivity function. Soil. Sci. Soc. Am. Proc., 36:9-14. Antonopoulos, V. and Papazafiriou, Z., 199. Solutions of one-dimensional water flow and mass transport equations in variably saturated porous media by the finite element method. Journal of Hydrology, 119: Antonopoulos, V., Simulation of soil moisture dynamics on irrigated cotton in semi-arid climates. Agricultural Water Management, 34: Antonopoulos, V., 2. Modeling of soil water dynamics in an irrigated corn field using direct and pedotransfer functions for hydraulic properties. Irrigation and Drainage Systems, 14: Αραμπατζής, Γ., 2. Εργαστηριακή έρευνα διύγρανσης και στράγγισης διαστρωματοποιημένων εδαφών. Εξομοίωση του φυσικού φαινομένου με τη μέθοδο των πεπερασμένων όγκων ελέγχου. Διδακτορική Διατριβή, Α.Π.Θ., Θεσσαλονίκη, 215 σελ. Arampatzis, G., Tzimopoulos, C., Sakellariou-Makrantonaki, M. and Yannopoulos, S., 21. Estimation of unsaturated flow in layered soils with finite control volume method. Irrigation and Drainage, 5: Ashcroft, G., Marsh, D.D., Evans, D.D. and Boersma, L., Numerical method for solving the diffusion equation:1. Horizontal flow in semi-infinite media. Soil Sci. Soc. Proc., 26: Boltzmann, L., Zur Integration der Diffusionsgleichung bei variablen Diffusionskoeffizienten, Ann. Phys. 58,

12 Boulier, J.F., Touma, J. and Vauclin., M., Flux-concentration Equation: 1. Infiltration into non uniform initial moisture profiles. Soil Sci. Soc. Am. J., 48: Boulier, J.F., Modélisation stochastique de l infiltration en milieux poreux nonuniformes. Application à une parcelle micro irriguée. Docteur de l Université Scientifique et Médicale de Grenoble, 25 pp. Bruce, R.R. and Klute, A., The measurement of soil water diffusivity. Soil Sci. Soc. Am. Proc., 2: Celia, M.A., Bouloutas, E.T. and Zarba, R.L., 199. A general mass-conservative numerical solution for the unsaturated flow equation. Water Resour. Res., 26(7): Childs, E.C., An introduction to the physical basis of soil water phenomena. John Wiley & Sons, New York., 493 pp. Clothier, B.E., White, I. and Hamilton, G.J., Constant-rate rainfall infiltration: field experiments. Soil Sci. Soc. Am. J., 45: Γούκος, Δ. και Μπαμπατζιμόπουλος, Χ., 2. Διερεύνηση των σχέσεων πρόσληψης νερού από το ριζικό σύστημα σε μοντέλα υπολογισμού του υδατικού ισοζυγίου καλλιεργούμενων εδαφών. 8 ο Πανελλήνιο Συνέδριο της Ελληνικής Υδροτεχνικής Ένωσης, Απριλίου, Αθήνα, σελ Evangelides, C., Tzimopoulos, C. and Arampatzis, G., 25. Flux-saturation relationship for unsaturated horizontal flow. Soil Sci., 17: Evangelides, C., Arampatzis, G. and Tzimopoulos, C., 21. Estimation of soil moisture profile and diffusivity using simple laboratory procedures. Soil Sci., 175: Fletcher, R. and Reeves, C.D., Function minimization by conjugate gradients. Computer J., pp Haverkamp, R., Vauclin, M., Touma, J., Wierenga, P. and Vachaud, G., A comparison of numerical simulation models for one dimensional infiltration. Soil Sci. Soc. Am. J., 41: Haverkamp, R., Résolution de l équation de l infiltration de l eau dans le sol. Approches analytiques et numériques. Thèse de Docteur ès Sciences Physiques, Université de Grenoble, Grenoble, France., 25 pp. Hestenes, F.S. and Stiefel, E., Methods of conjugate gradients for solving linear systems. J. Res. Nat. Bur. Stand. 49, pp Hillel, D., Soil and Water Physical principles and processes. Academic Press, New York, 288 pp. Κερκίδης, Π., Αναλυτικές λύσεις στο πρόβλημα της μονοδιάστατης κίνησης του νερού στο έδαφος. Πρακτικά 4 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Ελληνικής Εδαφολογικής Εταιρείας «Έδαφος-Περιβάλλον», σελ Knight, J.H. and Philip, J.R., On solving the unsaturated flow equation: 2. Critique of Parlange method. Soil Sci., 116(6): Μπαμπατζιμόπουλος, Χ., Προσομοίωση της κίνησης της υγρασίας στην ακόρεστη ζώνη του εδάφους με μια μέθοδο συντηρητικού τύπου. 7 ο Πανελλήνιο Συνέδριο της Ελληνικής Υδροτεχνικής Ένωσης, Οκτωβρίου, Πάτρα, σελ Muralli, V., Krishna Murti, G.S.R and Sinha, A.K, Note on the three parameter functions for soil water diffusivity water content relationship. Aust. J. Soil Res., 17: Nielsen, D.R., Biggar, J.W. and Davidson, J.M., Experimental consideration of diffusion analysis in unsaturated flow problems. Soil Sci. Soc. Am. Proc., 26:

13 Parlange, J.Y., 1971a. Theory of water movement in soils 1. One dimensional absorption. Soil Sci., 111(2): Parlange, J.Y., 1971b. Theory of water movement in soils 2. One dimensional infiltration. Soil Sci., 111(3): Parlange, J.Y., 1971c. Theory of water movement in soils 3. Two and three dimensional absorption. Soil Sci., 112(5): Parlange, J.Y., Hogarth, W.I., Barry, D.A., Parlange, M.B., Haverkamp, R., Ross, P.J., Steenhuis, T.S., DiCarlo, D.A. and Katul., G., Analytical approximation to the solution of Richards equation with applications to infiltration, ponding, and time compression approximation. Advances in Water Resources, 23: Πελέκης, Π. και Δημητρακόπουλος, Α., Αριθμητικό σχήμα για τον υπολογισμό της ροής ύδατος σε ακόρεστο έδαφος. Πρακτικά 7 ου Συνεδρίου της Ε.Υ.Ε., Πάτρα, σελ Perroux, K.M., Smiles, D.E. and White., I., Water movement in uniform soils during constant-flux infiltration. Soil Sci. Soc. Am. J., 45: Philip, J.R., Numerical solution of equations of the diffusion type with diffusivity concentration-dependent. Trans. Faraday Soc., 51: Philip, J.R., Theory of infiltration. In: Ven Te Chow (Editor), Advances in Hydroscience, Academic Press, New York, pp Philip, J.R., On solving the unsaturated flow equation: 1. The flux-concentration relation. Soil Sci., 116(5): Philip, J.R. and Knight, J.H., On solving the unsaturated flow equation: 3. New quasi-analytical technique. Soil Sci., 117(1):1-13. Richards, L., Capillary conduction of liquids through porous mediums. Physics, 1: Smiles, D.E., Knight, J.H. and Perroux, K.M., Absorption of water by soil: The effect of soil crust. Soil Sci. Soc. Am. J., 46: Swartzendruber, D., The flow of water in unsaturated soils. In: R. J. M. De Wiest (Editor), Flow through porous media, Academic Press, New York., pp Τερζίδης, Γ., Υπολογιστικά σχήματα και ανάλυση ευσταθείας της εξίσωσης κινήσεως της εδαφικής υγρασίας. Τεχνικά Χρονικά, Νοέμβριος, σελ Tzimopoulos, C., Un modèle aux éléments finis pour l étude du mouvement de l humidité dans un milieu poreux isotherme. Symposium on Hydrodynamic Diffusion and Dispersion in Porous Media, I.A.H.R., Committee on Flow Through Porous Media, April 2-22, Pavia-Italy., pp Τζιμόπουλος, Χ., Κίνηση της υγρασίας ενός ισόθερμου μη κεκορεσμένου πορώδους μέσου. Δελτίο Κεντρικού Εργαστηρίου Υπουργείου Δημοσίων Έργων, τεύχος 4 ο, σελ Tzimopoulos, C., Finite elements solution of unsaturated porous media flow. Finite Elements In Water Resources, Proceedings of the Second International Conference, Imperial College, London, Pentech Press., 1: Τζιμόπουλος, Χ., και Σακελλαρίου Μακραντωνάκη, Μ., Αριθμητική εξομοίωση της κατακόρυφης μεταφοράς υγρασίας μέσα σε ακόρεστο πορώδες μέσο, Δελτίο Ελληνικής Επιτροπής Αρδεύσεων και Αποστραγγίσεων, 1-2:12-4. Τζιμόπουλος, Χ., 199. Κινηματική προσέγγιση της κίνησης του νερού σε ακόρεστο έδαφος. 4 ο Πανελλήνιο Υδροτεχνικό Συνέδριο της Ελληνικής Υδροτεχνικής Ένωσης, Μαρτίου, Ηράκλειο Κρήτης, σελ Tzimopoulos, C., Sakellariou Makrantonaki, M., Spiridis, A. and Arampatzis, G An algorithm for the soil characteristic curve with the method of conjugate

14 directions. XII International Conference on Computational Methods in Water Resources, Crete, Greece, pp Τζιμόπουλος, Χ., Ευαγγελίδης, Χ., Σακελλαρίου-Μακραντωνάκη Μ., Η επίλυση της εξίσωσης της ακόρεστης ροής με τη μέθοδο της ανηγμένης ροής συγκέντρωσης. 1. Συνθήκη σταθερής υγρασίας. Υδροτεχνικά, 8:3-18. Τζιμόπουλος, Χ. και Ευαγγελίδης, Χ., 2. Επίλυση της εξίσωσης της ακόρεστης ροής με τη μέθοδο της ανηγμένης ροής συγκέντρωσης. Συνθήκη σταθερής παροχής στην επιφάνεια του εδάφους. Τιμητικός Τόμος αφιερωμένος στον ομότιμο Καθηγητή Ιωάννη Δ. Μήττα, σελ Tolikas, P. and Sidiropoulos, E., Nonlinear diffusion with linearly varying diffusivity. J. Hydrol., 71: Τολίκας, Π., Αναλυτικές λύσεις για την επίλυση του προβλήματος της οριζόντιας και κατακόρυφης διήθησης του νερού. Διατριβή επί υφηγεσία Α.Π.Θ. White, I., Measured and approximate flux - concentration relations for absorption of water by soil. Soil Sci. Soc. Am. J., 43: White, I., Smiles, D.E. and Perroux, K.M., Absorption of water by soil: the constant flux boundary condition. Soil Sci. Soc. Am. J., 43: