Non Linear Equations (2)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Non Linear Equations (2)"

Μυρρίνη Ζέρβας
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ Page 1

2 Page

3 Page 3

4 Page 4

5 Page 5

6 Page 6

7 Page 7

8 Page 8

9 Page 9

10 Page 10

11 Page 11

12 HY13. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ. & ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

13 Βασικά σημεία Μη γραμμικές εξισώσεις με πραγματικές ρίζες. Μέθοδος διχοτόμησης. Επαναληπτικές μέθοδοι. Newton. Τέμνουσας (secant). Ρίζες πολυωνύμων. Ρίζες μιγαδικών εξισώσεων. Συστήματα μη γραμμικών εξισώσεων. ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

14 Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων Με δεδομένη μια συνάρτηση f, ψάχνουμε το * για το οποίο f(*) = 0. To * ονομάζεται ρίζα της εξίσωσης ή το μηδέν της συνάρτησης f. Δυο βασικές κατηγορίες τέτοιων προβλημάτων: Μια μη γραμμική εξίσωση με έναν άγνωστο, f: R R η λύση είναι αριθμός τ.ω. f() = 0. Σύστημα από n μη γραμμικές εξισώσεις με n αγνώστους, f: R n R n η λύση είναι διάνυσμα τ.ω. κάθε συνιστώσα της f είναι 0. 3 ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Δυο βασικές κατηγορίες τέτοιων προβλημάτων: Μια μη γραμμική εξίσωση με έναν άγνωστο, f: R R η λύση είναι

15 Παραδείγματα: Μη γραμμική εξίσωση (1-D): 4sin( ) μια από τις ρίζες Σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων (-D): ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

16 Παραδείγματα: Οι μη γραμμικές εξισώσεις μπορούν να έχουν οποιοδήποτε πλήθος λύσεων: ep() + 1 = 0, δεν έχει ρίζα. sin() + 1 = 0, δεν έχει ρίζα. ep(-) = 0, έχει μια ρίζα. 4 sin() = 0, έχει ρίζες = 0, έχει 3 ρίζες. sin() = 0, έχει άπειρες ρίζες. 5 ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

ep(-) = 0, έχει μια ρίζα. 4 sin() = 0, έχει ρίζες.

17 Παραδείγματα: 1 1 γ 0 γ 0 γ = 0.5 γ = 0.5 γ = -0.5 γ = ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

18 Παραδείγματα: Οι μη γραμμικές εξισώσεις μπορεί να έχουν πολλαπλές ρίζες, δηλαδή και η συνάρτηση και οι παράγωγοι της μηδενίζονται στο ίδιο σημείο, π.χ.: f()=0 και f ()= = =0 7 ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

της μηδενίζονται στο ίδιο σημείο, π.χ.: f()=0 και f ()=0.

19 Ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης. Αναλυτικοί τύποι για ρίζες πολυωνύμων μέχρι και 4ου βαθμού. Galois(1830): δεν μπορούν να βρεθούν αναλυτικοί τύποι για τις ρίζες πολυωνύμων βαθμού > 4. Θεώρημα Bolzano (Ειδική Περίπτωση του Θεωρήματος Ενδιάμεσης Τιμής - Μόνο σε 1-D): Αν f συνεχής στο [α, b] και sign(f(α)) sign(f(b)) τότε υπάρχει * στο [α, b] τ.ω. f(*)=0. Δεν υπάρχει κάτι ανάλογο για περισσότερες διαστάσεις. Επαναληπτικές διαδικασίες για προσέγγιση ριζών. 8 ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Θεώρημα Bolzano (Ειδική Περίπτωση του Θεωρήματος Ενδιάμεσης Τιμής - Μόνο σε 1-D): Αν f συνεχής στο [α, b] και sign(f(α))

20 Επαναληπτικές μέθοδοι και τάξη σύγκλισης. Στις επαναληπτικές μεθόδους υπολογίζουμε μια ακολουθία { k } k για να προσεγγίσουμε την πραγματική λύση * του προβλήματος. Το σφάλμα της προσέγγισης είναι e k = k *. Η ακολουθία συγκλίνει με τάξη r ανν: lim k όπου C σταθερά. Π.χ.: r=1 γραμμική σύγκλιση, r= τετραγωνική σύγκλιση, r>1 υπεργραμμική σύγκλιση e e k1 r k C 9 ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

λύση * του προβλήματος. Το σφάλμα της προσέγγισης είναι e k = k *.

21 Μέθοδος διχοτόμησης Η f:[a,b]r πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής. Αλγόριθμος: 1. c := a, d := b, f(c), f(d). e = (c+d)/, f(e) 3. if f(e) < tol *= e, stop 4. if f(c)*f(e)>0 c:=e 5. if f(d)*f(e)>0 d:=e 6. if c-d < tol *= (c+d)/, stop 7. goto to step. 10 ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

22 Μέθοδος διχοτόμησης 11 ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

23 Παράδειγμα: f ( ) 4sin( ) 0 1 α f(α) b f(b) ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

24 Παράδειγμα: f ( ) 4sin( ) 0 13 α f(α) b f(b) ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

25 Μέθοδος διχοτόμησης Πλεονεκτήματα: επιτυχής χρήση της f σε κάθε βήμα κερδίζουμε ένα δυαδικό ψηφίο σε ακρίβεια t επαναλήψεις αν -t το μηδέν της μηχανής (ή το ε του αλγόριθμου) Μειονεκτήματα: αργή σύγκλιση 14 ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

26 Σταθερό σημείο συναρτήσεων Ορισμός: Ένα σημείο * στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης φ λέγεται σταθερό σημείο ανν φ(*)=*. Πρόταση: φ:[a,b][a,b] συνεχής υπάρχει ένα τουλάχιστο σταθερό σημείο για την φ. Ορισμός: φ:ιr ικανοποιεί συνθήκη Lipschitz, ανν υπάρχει L τ.ω. () (y) L y. Αν L<1 φ συστολή. 15 ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

27 Επαναληπτικές μέθοδοι Θεώρημα: Αν φ:[a,b][a,b] συνεχής, συστολή τότε η φ έχει ένα και μοναδικό σταθερό σημείο *. Για την ακολουθία n+1 =φ( n ) ισχύουν: ), ma( n n n n n n n n L L L L b a L L ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 16

28 Παράδειγμα Η συνάρτηση έχει ρίζα το σταθερό σημείο κάθε μιας από τις παρακάτω συναρτήσεις:, ) ( f 1 ) ( / 1 ) ( ) ( ) ( g g g g ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 17

29 Επαναληπτικές μέθοδοι (μονότονη σύγκλιση) f ( ) g( ) , ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

30 Επαναληπτικές μέθοδοι (ελικοειδής σύγκλιση) f ( ) g( ) , ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

31 Επαναληπτικές μέθοδοι (μονότονη απόκλιση) f ( ) 18 g( ) , ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

32 Επαναληπτικές μέθοδοι (ελικοειδής απόκλιση) f ( ) 1 g( ) , ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

33 HY13. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ. & ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

34 Μέθοδος Newton Αρχικό πρόβλημα: f(*)=0 Χρησιμοποιώντας τις σειρές Taylor f ( h) f ( ) f '( ) h δεύτερο μέλος είναι η γραμμική συνάρτηση που προσεγγίζει την f, και μηδενίζεται στο h=-f()/f () n f ( n) 1 : n, f '( n) f '( ) n 0 Έχουμε το ισοδύναμο πρόβλημα επίλυσης: φ(*) =*, με φ τ.ω. (): f() f'(). ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

35 Μέθοδος Newton Η f:[a,b]r πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής. Αλγόριθμος: 1. Όρισε 0, n=0. Υπολόγισε f( n ), f ( n ) f ( 3. Υπολόγισε n) h : f '( n) 4. n+1 = n + h 5. n = n+1 6. αν h>ε βήμα 3 ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

36 Μέθοδος Newton Προσεγγίζει τη συνάρτηση χρησιμοποιώντας την παράγωγο της κοντά στη ρίζα. k k+1 4 ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

37 Μέθοδος Newton - παράδειγμα f ( ) f '( ) k1 k 4sin( ) 4cos( ) k k 0 4sin( k ) 4cos( ) k, 0 3 f() f () h ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

38 Μέθοδος Newton - παράδειγμα f ( ) f '( ) k1 k 4sin( 4cos( ) k k ) 0 4sin( k ) 4cos( ) k, 0 3 f() f () h ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

39 Μέθοδος Newton Τάξη σύγκλισης 1, αλλά τοπικά τάξη σύγκλισης. Χρειάζεται πολύ καλή αρχική τιμή 0. Η * πρέπει να είναι απλή ρίζα. Η f να είναι δυο φορές παραγωγίσιμη. 7 ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

40 Μέθοδος Τέμνουσας Αρχικό πρόβλημα: f(*)=0 Με τη μέθοδο Newton χρειάζεται να υπολογίζουμε και τη f σε κάθε νέο σημείο. Η μέθοδος της τέμνουσας προσεγγίζει την παράγωγο με πεπερασμένες διαφορές. Ισοδύναμο πρόβλημα επίλυσης: φ(*) =*, με φ τ.ω. : ( n n 1 n f ( ) ( ) n f n 1 n f ) n1 8 ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

41 Μέθοδος Τέμνουσας Η f:[a,b]r πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής. Αλγόριθμος: 1. Όρισε 0, 1, n=1. Υπολόγισε f( n ), f( n-1 ) 3. Υπολόγισε 4. n+1 = n + h 5. n = n+1 h : 6. αν h>ε βήμα f f ( n) ( ) ( n f n n1 ) n1 9 ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

42 Μέθοδος Tέμνουσας Προσεγγίζει τη συνάρτηση χρησιμοποιώντας την παράγωγο της κοντά στη ρίζα. k k-1 k+1 30 ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

43 Μέθοδος Τέμνουσας - παράδειγμα f ( ) k1 k 4sin( ) k 0 k 4sin( k ) k k 1 4sin( ) sin( k1 k k1 ), 0 1 και 1 3 f() h ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

44 Μέθοδος Τέμνουσας - παράδειγμα f ( ) k1 k 4sin( ) k 0 k 4sin( k ) k k 1 4sin( ) sin( k1 k k1 ), 0 1 και 1 3 f() h ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

45 Μέθοδος Τέμνουσας Τάξη σύγκλισης (1+sqrt(5))/~1.6. Χρειάζεται πολύ καλές αρχικές τιμές ( 0, 1 ). Η * να είναι απλή ρίζα. Η f να είναι δυο φορές παραγωγίσιμη. Δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε την f. 33 ΗΥ13, ΤΗΜΜΥ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

Σχετικά έγγραφα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧ. & ΜΗΧ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Βασικά σημεία Μη γραμμικές εξισώσεις με πραγματικές ρίζες. Μέθοδος