ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΝΕΟΤΕΡΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΑΣΤΑΘΟΥΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΗΣ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ: ΓΕΩΡΓΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΝΕΟΤΕΡΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΑΣΤΑΘΟΥΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Δ. ΖΑΧΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Επιβλέπων: Εξεταστική Επιτροπή: Διαμαντής Καραμούζης, Καθηγητής Θωμάς Ζήσης, Καθηγητής Βασίλειος Αντωνόπουλος, Καθηγητής Θεσσαλονίκη, 2013

2

3 Πρόλογος Η παρούσα διατριβή εκπονήθηκε στα πλαίσια του Προγράμματος Μεταπτυχιακών σπουδών του τμήματος Γεωπονίας, της Μεταπτυχιακής Ειδίκευσης Γεωργικής Μηχανικής και Υδατικοί πόροι, και πιο συγκεκριμένα της κατεύθυνσης Διαχείριση Υδατικών Πόρων. Τα πειράματα έγιναν στο Εργαστήριο Γενικής και Γεωργικής Υδραυλικής, και Βελτιώσεων που βρίσκεται στο Αγρόκτημα του τμήματος Γεωπονίας του Α.Π.Θ.. Σκοπός της διατριβής αυτής είναι η πειραματική διερεύνηση και επαλήθευση αναλυτικών λύσεων στράγγισης των εδαφών με ή χωρίς επαναπλήρωση καθώς και τα όρια εμπιστοσύνης της τιμής της ειδικής σε νερό απόδοσης, όταν αυτή δεν μπορεί να μετρηθεί άμεσα, αλλά προσδιορίζεται έμμεσα από τη βιβλιογραφία. Ευχαριστώ ολόψυχα όλους όσους με βοήθησαν και με στήριξαν κατά την διάρκεια αυτής της προσπάθειας. Ιδιαίτερα θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Καθηγητή μου και επιβλέποντα της παρούσας διατριβής κ. Δ. Καραμούζη, τόσο για την ανάθεση του θέματος όσο και για την υποστήριξη που μου παρείχε καθ όλη την διάρκεια. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω τον κ. Δ. Καλαμπίδη για την πολύτιμη βοήθεια που μου παρείχε κατά την διάρκεια των πειραμάτων, και κυρίως κατά την επισκευή του μοντέλου άμμου που χρησιμοποιήθηκε στα πειράματα.

4

5 Περίληψη Σε αυτή την διατριβή μελετάται και διερευνάται η ακρίβεια νεώτερων λύσεων της εξίσωσης του Boussinesq, καθώς και η ακρίβεια της πιο δύσκολα μετρήσιμης παραμέτρου, της ειδικής σε νερό απόδοσης του εδάφους, όταν αυτή η τιμή εκτιμάται από πίνακες. Πρώτα γίνεται γενική αναφορά στην κίνηση του νερού μέσα από πορώδη μέσα, στην συνέχεια γίνεται εξαγωγή της εξίσωσης του Boussinesq και παρουσιάζονται δύο τρόποι γραμμικοποίησης της. Έπειτα γίνεται ανάλυση τριών προβλημάτων ασταθούς στράγγισης με την παλαιότερες λύσεις και στη συνέχεια αναλύονται πέντε προβλήματα, στα οποία συμπεριλαμβάνονται τα προαναφερθείσα τρία, με νεώτερες αναλυτικές λύσεις. Τέλος γίνεται αναφορά στον τρόπο και την μέθοδο της πειραματικής διερεύνησης καθώς και παραθέτονται συγκριτικά τα αποτελέσματα των πειραμάτων και τα αποτελέσματα των αναλυτικών λύσεων για τα πέντε προβλήματα ασταθούς στράγγισης. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι η αναλυτικές λύσεις περιγράφουν το φαινόμενο με ικανοποιητική ακρίβεια, όμως υπάρχουν σημαντικές αποκλίσεις στην τιμή της ειδικής απόδοσης σε νερό του εδάφους.

6 Abstract In this thesis it is studied the validity and accuracy of newer analytical solutions to the Boussinesq equation, as well as the accuracy of the hardest measured parameter, the specific yield, when this value is estimated from tables. First there is a general reference to the movement of water through porous media; then the Boussinesq equation is extracted, and two ways of linearization are presented. Afterwards there is an analysis of three unstable drainage problems with older solutions and then five problems of unsteady drainage are analyzed, including the aforementioned three, with newer analytical solutions. Finally, after a reference of the manner and the methods used for the experimental investigation, the results of the experiments are compared with the results of the newer analytical solutions for all five unsteady drainage problems. Results show that the analytical solutions describe the phenomenon with sufficient precision, but there are significant differences in the value of specific yield.

7 Περιεχόμενα Πρόλογος Περιεχόμενα Εισαγωγή 1. Γενικές Έννοιες Νόμος του Darcy Υδραυλική Αγωγιμότητα Πορώδες και Ειδική Απόδοση Το πορώδες του εδάφους Ειδική απόδοση σε νερό του εδάφους 3 2 Εξίσωση του Boussinesq Γενικότητες Εξαγωγή της εξίσωσης του Boussinesq Γραμμικοποιήσεις της εξίσωσης Boussinesq Γενικότητες Πρώτος τρόπος γραμμικοποίησης Δεύτερος τρόπος γραμμικοποίησης 12

8 3 Επιμέρους Προβλήματα Στραγγίσεων Πρόβλημα με οριζόντια αρχική υπόγεια στάθμη χωρίς επαναπλήρωση ή διαρροή (Πρόβλημα του Glover) 3.2 Πρόβλημα με καμπύλη αρχική υπόγεια στάθμη χωρίς επαναπλήρωση και διαρροή (Πρόβλημα των Glover Dumm). 3.3 Ανύψωση υπόγειας στάθμης εξαιτίας επαναπλήρωσης από βροχόπτωση ή διαρροή (Πρόβλημα των Van de Leur και Maasland) Προβλήματα ασταθούς στράγγισης με ή χωρίς επαναπλήρωση Εισαγωγικές έννοιες Προβλήματα ασταθούς στράγγισης Αρχικές και οριακές συνθήκες προβλημάτων με σταθερές εισροές και εκροές Αδιαστατοποίηση διαφορικής εξίσωσης και βοηθητικών συνθηκών Πρόβλημα μόνο με επιφανειακή εισροή κατά τη σταθερή στράγγιση 0, 0, 0 ό Glover Πρόβλημα μόνο με επιφανειακή εισροή κατά τη ασταθή στράγγιση 0, 0, 0 ό Πρόβλημα χωρίς επιφανειακή εισροή κατά τη ασταθή στράγγιση 0, 0, Πρόβλημα χωρίς επιφανειακή εισροή κατά τη σταθερή στράγγιση 0, 0, Πρόβλημα με επιφανειακή και υπόγεια εισροή κατά τη σταθερή και την ασταθή στράγγιση 0, 0, Πειραματική διερεύνηση Πειραματική Διαδικασία Περιγραφή εργαστηριακού μοντέλου άμμου των πειραμάτων 59

9 5.3 Χαρακτηριστικά του εδάφους Μέτρηση υδραυλικής αγωγιμότητας Ειδική απόδοση σε νερό του εδάφους Διαδικασία εκτέλεσης πειραμάτων 64 6 Πορεία Πειραμάτων Αποτελέσματα Πρώτο πείραμα Αποτελέσματα Πρώτου πειράματος Δεύτερο πείραμα Αποτελέσματα Δεύτερου πειράματος Τρίτο πείραμα Αποτελέσματα Τρίτου πειράματος Τέταρτο πείραμα Αποτελέσματα Τέταρτου πειράματος Πέμπτο πείραμα Περίπτωση κατά την οποία α Αποτελέσματα Πρώτης περίπτωσης του Πέμπτου πειράματος Περίπτωση κατά την οποία 113

10 6.5.2.α Αποτελέσματα δεύτερης περίπτωσης του Πέμπτου πειράματος Συμπεράσματα Περεταίρω έρευνα 122 Παράρτημα Ι 123 Παράρτημα ΙΙ 125 Βιβλιογραφία 127

11 Εισαγωγή Το κύριο αντικείμενο της επιστήμης των στραγγίσεων είναι η απομάκρυνση του πλεονάζοντος επιφανειακού και υπόγειου εδαφικού νερού και η διατήρηση της υπόγειας στάθμης σε ένα επιθυμητό βάθος κάτω από την επιφάνεια του εδάφους μιας περιοχής. Ο σκοπός των στραγγιστικών δικτύων είναι η απομάκρυνση του πλεονάζοντος νερού κάτω από τη ζώνη του ριζοστρώματος, έτσι ώστε να εξασφαλίζεται ένα ευνοϊκό περιβάλλον για την μη προβληματική ανάπτυξη των φυτών. Τα προβλήματα των στραγγίσεων χωρίζονται σε δυο κύριες κατηγορίες, αυτά της σταθερής και αυτά της ασταθής στράγγισης. Σταθερή στράγγιση έχουμε όταν δεν λαμβάνεται υπόψη ο παράγοντας χρόνος, δηλαδή όταν το φαινόμενο της στράγγισης λαμβάνει χώρα χωρίς μεταβολές στο χρόνο. Οι λύσεις αυτής της κατηγορίας προβλημάτων είναι απλές και εύκολες. Η δεύτερη κατηγορία προβλημάτων είναι αυτή της ασταθούς στράγγισης. Δηλαδή όταν στο σύστημα γίνονται επεμβάσεις και μεταβολές οι οποίες το επηρεάζουν με το χρόνο. Για πρώτη φορά ο Γάλλος μηχανικός J.Boussinesq το έτος 1904 παρουσίασε μια μη γραμμική μερική διαφορική εξίσωση η οποία περιγράφει μαθηματικά το φαινόμενο. Η δυσκολία αυτής της εξίσωσης βρίσκεται στην μη γραμμικότητα της, και κατά τα επόμενα χρόνια διάφοροι ερευνητές δημοσίευσαν λύσεις της εξίσωσης του Boussinesq, κατά τις οποίες την γραμμικοποιούσαν με διάφορους τρόπους. Η ακρίβεια των αποτελεσμάτων των μεθόδων τους βασίζεται ανάμεσα στα άλλα και στις παραδοχές που γίνονται κατά την διαδικασία της γραμμικοποίησης, καθώς και στην μέτρηση των παραμέτρων των εξισώσεων. Διάφοροι ερευνητές έχουν ασχοληθεί με το αντικείμενο τόσο της σταθερής αλλά κυρίως της ασταθούς στράγγισης, όπως οι Τερζίδης (1969, 1983, 1986), Τζιμόπουλος (1975, 1976), Καραμούζης (1976, 1984, 1988, 1991, 1993, 2012), Ζησης (1980, 1995), Τελόγλου (1998), Rossi (2008). Σε αυτή την διατριβή μελετάται και διερευνάται η ακρίβεια νεώτερων λύσεων της εξίσωσης του Boussinesq, καθώς και η ακρίβεια της πιο δύσκολα μετρήσιμης παραμέτρου, της ειδικής σε νερό απόδοσης του εδάφους, όταν αυτή η τιμή εκτιμάται από πίνακες. Πιο αναλυτικά: Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται αναφορά γενικά για την κίνηση του νερού μέσα από πορώδη μέσα η οποία κίνηση περιγράφεται από το νόμο του Darcy. Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται εξαγωγή της εξίσωσης του Boussinesq, και παρουσιάζονται δυο τρόποι γραμμικοποίησης της.

12 Στο τρίτο κεφάλαιο αναλύονται τρία διαφορετικά προβλήματα ασταθούς στράγγισης και δίνονται οι λύσεις τους, οι οποίες είναι αποτέλεσμα των τρόπων γραμμικοποίησης που αναφέρονται στο δεύτερο κεφάλαιο. Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται ανάλυση νεότερων λύσεων ασταθούς στράγγισης και μελετώνται πέντε επιμέρους προβλήματα, εκ των οποίων τα δυο είναι ίδια με τα προβλήματα που αναλύονται στο τρίτο κεφάλαιο. Στο πέμπτο κεφάλαιο γίνεται αναφορά στον τρόπο και στην μέθοδο της πειραματικής διερεύνησης αυτών των προβλημάτων της ασταθούς στράγγισης των εδαφών και πιο ειδικά στον τρόπο που επιλέχθηκε, και τις μεθόδους μέτρησης που χρησιμοποιήθηκαν. Στο έκτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των πειραματικών μετρήσεων των πέντε προβλημάτων ασταθούς στράγγισης που παρουσιάστηκαν στο τέταρτο κεφάλαιο. Στο έβδομο κεφάλαιο γίνεται σχολιασμός των αποτελεσμάτων των πειραμάτων. Στο Παράρτημα Ι παρουσιάζονται οι τιμές από δυο σχέσεις που αναλύονται κατά το τέταρτο κεφάλαιο, ενώ στο Παράρτημα ΙΙ βρίσκεται φωτογραφικό υλικό του πειράματος που εκτελέστηκε. Τέλος ακολουθεί η βιβλιογραφία που χρησιμοποιήθηκε κατά την συγγραφή της παρούσας διατριβής.

13 1 Γενικές Έννοιες 1.1 Νόμος του Darcy: Ο θεμελιώδης νόμος που περιγράφει την κίνηση του υπόγειου νερού μέσα στο έδαφος δόθηκε από τον H. Darcy το ύ 2012 Από τα πειράματα του ο Darcy κατάληξε στο συμπέρασμα ότι: Η παροχή όγκου νερού που κινείται μέσα σε ορισμένης σύστασης άμμο είναι ανάλογη προς τη διαφορά των πιεζομετρικών φορτίων των επιφανειών εισόδου και εξόδου του δείγματος της άμμου και αντίστροφα ανάλογη του πάχους του δείγματος. Η μαθηματική διατύπωση του συμπεράσματος αυτού οδηγεί στη σχέση: 1.1 Όπου είναι η παροχή του νερού, η επιφάνεια της διατομής του πορώδους μέσου μέσα από την οποία λαμβάνει χώρα η κίνηση του νερού, ένας συντελεστής αναλογίας, που αργότερα ονομάστηκε συντελεστής διαπερατότητας ή συντελεστής υδραυλικής αγωγιμότητας, το πάχος του πορώδους μέσου, και τα πιεζομετρικά φορτία ανάντη και κατάντη, αντίστοιχα, του διαπερώμενου πάχους του πορώδους μέσου. Ο λόγος, που είναι η παροχή ανά μονάδα επιφάνειας, έχει διαστάσεις ταχύτητας και καλείται μακροσκοπική ταχύτητα ή ταχύτητα διαστάλαξης. Το αρνητικό πρόσημο της εξίσωσης δείχνει ότι η ροή λαμβάνει χώρα κατά την έννοια των ελαττουμένων πιεζομετρικών φορτίων. 1.2 Υδραυλική αγωγιμότητα: Για τα απλά πειράματα του Darcy ο συντελεστής υδραυλικής αγωγιμότητας Κ της εξίσωσης 1.1 είναι μια σταθερή αναλογίας, της οποίας η τιμή παραμένει αμετάβλητη για το ίδιο δείγμα πορώδους υλικού και εφ όσον το ρευστό παραμένει αμετάβλητο, όπως για παράδειγμα το νερό σταθερής θερμοκρασίας, χωρίς φυσικοχημικές αλλοιώσεις. Αν όμως μεταβάλουμε τις ιδιότητες του ρευστού, όπως το ειδικό βάρος ή το ιξώδες αυτού ή τις γεωμετρικές ιδιότητες του πορώδους υλικού, ο νόμος του Darcy εξακολουθεί να ισχύει, όμως οι τιμή του Κ θα μεταβληθεί. Πράγματι αν στα πειράματα μεταβληθεί κατά σειρά ένας μόνο από τους παραπάνω παράγοντες και συγκριθεί η τιμή της υδραυλικής αγωγιμότητας προς αυτόν, θα παρατηρήσουμε ότι η τιμή του Κ είναι: 1. ανάλογη προς τη τιμή του ειδικού βάρους γ του ρευστού 2. αντίστροφα ανάλογη προς την τιμή του ιξώδους μ και 3. ανάλογη προς το τετράγωνο της μέσης διαμέτρου d των κόκκων του πορώδους υλικού. Εξυπακούεται ότι πρέπει να περιμένουμε και κάποια μεταβολή του Κ, που 1

14 οφείλεται στο σχήμα των κόκκων, τον τρόπο διάστρωσης τους κ.λπ. καθώς και άλλους απρόβλεπτους παράγοντες. Τα παραπάνω πειραματικά δεδομένα μπορούν να εκφρασθούν με τη σχέση: 1.2 Όπου το καλείται παράγοντας σχήματος (shape factor), είναι αδιάστατο και περιλαμβάνει τις επιδράσεις του σχήματος, της διάστρωσης και συσκευασίας των κόκκων, τις αποκλίσεις του μεγέθους αυτών από τη μέση διάμετρο, καθώς και τις επιδράσεις του πορώδους. Ορίζοντας την απόλυτη ή γεωμετρική διαπερατότητα του μέσου,, που έχει διαστάσεις επιφάνειας, με τη σχέση: 1.3 και αντικαθιστώντας αυτήν στην εξίσωση 1.2, παίρνουμε: 1.4 Όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας και το κινηματικό ιξώδες. Στα φυσικά εδάφη ο συντελεστής της υδραυλικής αγωγιμότητας επηρεάζεται επιπλέον και από άλλους παράγοντες, όπως είναι η ανισοτροπία και ανομοιογένεια αυτών, οι διάφορες φυσικοχημικές μεταβολές, οι βιολογικές δραστηριότητες των μικροοργανισμών κ. λπ., οι οποίες δυστυχώς δεν μπορούν να συμπεριληφθούν στη μαθηματική διατύπωση των παραπάνω εξισώσεων. Οπωσδήποτε όμως οι τιμές του οι οποίες λαμβάνονται από τις μετρήσεις στον αγρό περιλαμβάνουν και τις επιδράσεις των παραπάνω παραγόντων. Ο συντελεστής της υδραυλικής αγωγιμότητας, μετριέται με τις συνηθισμένες μονάδες μέτρησης της ταχύτητας όπως, ή και. 2

15 1.3 Πορώδες και Ειδική Απόδοση Το πορώδες του εδάφους Ας υποθέσουμε ένα όγκο εδάφους, τα στερεά υλικά καταλαμβάνουν ένα όγκο, και οι πόροι με τα κενά ένα όγκο. Ο λόγος του όγκου των κενών, προς το συνολικό όγκο του εδάφους ονομάζεται πορώδες (porosity) και συμβολίζεται με το γράμμα, δηλαδή είναι: 1.5 Αντιπροσωπευτικές τιμές του πορώδους για διάφορους τύπους εδαφών και γεωλογικούς σχηματισμούς φερτών υλικών παρουσιάζονται στον Πίνακα 1.1. Γενικά μια τιμή πορώδους μεγαλύτερη από 20% θεωρείται μεγάλη, μια τιμή μεταξύ 5 και 20% θεωρείται μέση, και μια τιμή μικρότερη από 5% θεωρείται μικρή. Πίνακας 1.1. Αντιπροσωπευτικές τιμές πορώδους Υλικά Τιμή πορώδους n% κοινά εδάφη αργιλικά ιλυώδη ανάμικτη μέση ως χονδρή άμμος ομοιόμορφη άμμος λεπτή ως μέση άμμος χαλικώδη χαλικώδη και άμμος αμμώδη πετρώματα Ειδική απόδοση σε νερό του εδάφους Ένα έδαφος είναι κορεσμένο (saturated) με νερό, αν όλοι οι πόροι και τα κενά του είναι γεμάτα με νερό. Αν όλοι οι πόροι και τα κενά του δεν είναι γεμάτα με νερό, αλλά υπάρχει συγχρόνως και αέρας ή άλλα αέρια, τότε το έδαφος και γενικότερα το πορώδες μέσο λέγεται ακόρεστο ή μη κορεσμένο (unsaturated). ύ 2012 Ο λόγος του όγκου του νερού προς τον όγκο των κενών πόρων, λέγεται βαθμός κορεσμού και συμβολίζεται με, δηλαδή είναι: Για ένα κορεσμένο έδαφος είναι

16 Αν έχουμε ένα έδαφος κορεσμένο με νερό και το αφήσουμε να σταγγίσει με την επίδραση της βαρύτητας, τότε θα στραγγιστεί μόνο ένα μέρος του νερού και το υπόλοιπο θα κατακρατηθεί λόγω των δυνάμεων συνοχής, συνάφειας και τριχοειδών. Αν είναι ο όγκος του νερού που κατακρατήθηκε και ο όγκος του νερού που απομακρύνθηκε με στράγγιση λόγω της βαρύτητας, τότε ορίζονται η ειδική κατακράτηση (specific retention) και η ειδική απόδοση (specific yield) σε νερό του εδάφους με τις παρακάτω σχέσεις, αντίστοιχα: 1.7 και y 1.8 όπου είναι ο συνολικός όγκος του δείγματος ενός εδάφους ή ενός πορώδους μέσου. Η ειδική απόδοση σε νερό του εδάφους λέγεται πολλές φορές και αποτελεσματικό πορώδες (effective porosity). Το αποτελεσματικό πορώδες χρησιμοποιείται συνήθως σε σχέση με τη ροή του υπόγειου νερού και εκφράζει τον μερικό όγκο των πόρων μέσα από τον οποίο το νερό είναι ελεύθερο να κινηθεί, ανά μονάδα συνολικού όγκου του πορώδους μέσου. Επειδή όπως είναι γίνεται φανερό ότι, σε κορεσμένο έδαφος θα είναι: 1.9 Η εξίσωση 1.9 δείχνει ότι η ειδική απόδοση σε νερό ή το αποτελεσματικό πορώδες ενός εδάφους είναι μικρότερο από το πορώδες του. Γενικά: στα ιλυώδη εδάφη, και πολύ περισσότερο βέβαια στα αργιλώδη, το αποτελεσματικό πορώδες είναι πολύ μικρότερο από το πορώδες, ενώ στα αμμώδη και στα χαλικώδη εδάφη, οι δύο αυτές ποσότητες είναι σχεδόν ίσες μεταξύ τους. Θα πρέπει να σημειωθεί εδώ ότι η ειδική απόδοση σε νερό ή το αποτελεσματικό πορώδες του εδάφους έχει την ίδια έννοια με το συντελεστή αποθήκευσης ενός υδροφορέα. Μάλιστα στους ελεύθερους υδροφορείς, όπου έχουμε φρεατικές συνθήκες, η ειδική απόδοση και ο συντελεστής αποθήκευσης ταυτίζονται. Ο συντελεστής αποθήκευσης στους ελεύθερους υδροφορείς παίρνει τιμές από 0,02 ως 0,30. Στους υδροφορείς υπό πίεση ο συντελεστής αποθήκευσης παίρνει τιμές από 10 5 ως 10 3, χωρίς να είναι απόλυτα καθορισμένα τα όρια αυτών των τιμών. Όταν αναφερόμαστε στην ειδική κατακράτηση και στην ειδική απόδοση σε νερό ενός εδάφους στην ύπαιθρο, θα πρέπει να σημειωθεί ότι σε ένα σημείο του εδάφους το οποίο 4

17 βρίσκεται πάνω από την υπόγεια στάθμη, το ποσό του συγκρατούμενου νερού εξαρτάται από την απόσταση της υπόγειας στάθμης από το σημείο αυτό. Επιπρόσθετα καθώς η θέση της υπόγειας στάθμης μεταβάλλεται με το χρόνο, η ειδική κατακράτηση θα είναι μια συνάρτηση των και, δηλαδή,. Από την εξίσωση 1.9 και όταν το πορώδες ενός εδάφους είναι σταθερό, προκύπτει ότι και η ειδική απόδοση σε νερό θα είναι μια συνάρτηση των και, δηλαδή,. Ας θεωρήσουμε τώρα ότι η υπόγεια στάθμη κατεβαίνει στιγμιαία εξαιτίας της στράγγισης κατά μια απόσταση. Η νέα κατανομή της εδαφικής υγρασίας, λόγω της μετακίνησης αυτής της υπόγειας στάθμης, θα φτάσει σε κάποια θέση ισορροπίας μετά από ένα χρονικό διάστημα, το οποίο εξαρτάται από τον τύπο του εδάφους. Τότε ο συνολικός όγκος του νερού που στραγγίζεται ανά μονάδα επιφάνειας, καθώς η υπόγεια στάθμη, από τη θέση που κατείχε στο χρόνο, μετακινείται σε μια νέα θέση στο χρόνο, όπως φαίνεται και από το ή 1.1, θα είναι:,, 1.10 Έτσι η ειδική απόδοση σε νερό του εδάφους, η οποία αντιστοιχεί σε ένα μέσο βάθος 2 θα είναι: 1, 1, 1.11 Για ομογενή και ισότροπα εδάφη τα σχήματα των δυο καμπυλών, και, ταυτίζονται. Αν επιπλέον και οι δυο θέσεις της υπόγειας στάθμης βρίσκονται σε ικανοποιητικό βάθος κάτω από την επιφάνεια του εδάφους, οι δυο καμπύλες θα ταυτιστούν στο σημείο, το οποίο δίνει και την ειδική κατακράτηση, δηλαδή θα είναι. Έτσι η συνολική ποσότητα του νερού που στραγγίζεται από έναν όγκο ελέγχου, ανά μονάδα επιφάνειας, με τη βοήθεια της εξίσωσης 1.10, θα είναι:

18 ή. : ή ή ί ά ό ό ά. Και η ειδική απόδοση σε νερό ενός εδάφους, στο οποίο το βάθος, με τη βοήθεια της εξίσωσης 1.11, θα είναι: 1.13 η οποία είναι όμοια με την εξίσωση 1.9. Στην περίπτωση που το έδαφος είναι μη ομογενές ή η υπόγεια στάθμη βρίσκεται σε μικρό βάθος από την επιφάνεια του εδάφους, οι καμπύλες κατανομής της υγρασίας, που αντιστοιχούν στις δυο θέσεις της υπόγειας στάθμης, δεν είναι παράλληλες σ όλη τους την έκταση, οπότε η ταύτισή τους στα σημεία που αναφέρθηκαν παραπάνω δεν ισχύει. Όταν επιπλέον παίρνεται υπόψη και η μεταβολή στο χρόνο, η οποία δίνει και την πραγματική περιγραφή της στράγγισης των εδαφών, λαμβάνεται μια τιμή της ειδικής απόδοσης σε νερό η οποία εξαρτάται και από τον χρόνο και τείνει ασυμπτωματικά στις τιμές που αντιστοιχούν στα δυο εξεταζόμενα βάθη για τη σταθερή κατάσταση. Στο ή 1.1 παρουσιάζονται οι μορφές των καμπυλών της κατανομής της εδαφικής υγρασίας, σε σχέση με τον χρόνο και το βάθος της υπόγειας στάθμης από την επιφάνεια του εδάφους. 6

19 Τέλος στον Πίνακα 1.2 παρουσιάζονται για διάφορα είδη πορωδών μέσων τα πεδία τιμών και ο αριθμητικός μέσος όρος της ειδικής απόδοσης σε νερό όπως μετρήθηκαν από τους Morris και Johnson (1967), με αναλύσεις σε ένα σημαντικά ικανοποιητικό αριθμό εδαφών. ί. : ή ό ό ύ ώ έ &, 1967 Ειδική απόδοση σε νερό Υλικό υδροφορέα Αριθμός Αναλύσεων Πεδίο τιμών Μέσος όρος Ιζηματογενή Αμμόλιθοι (λεπτοί) 47 0,02 0,40 0,21 Αμμόλιθοι (μέσοι) 10 0,12 0,41 0,27 Ιλυώδης αμμόλιθος 13 0,01 0,33 0,12 Άμμος (λεπτή) 287 0,01 0,46 0,33 Άμμος (μέση) 297 0,16 0,46 0,32 Άμμος (αδρή) 143 0,18 0,43 0,30 Χαλίκια (λεπτά) 33 0,13 0,40 0,28 Χαλίκια (μέσα) 13 0,17 0,44 0,24 Χαλίκια (αδρά) 9 0,13 0,25 0,21 Ιλύς 299 0,01 0,39 0,20 Άργιλος 27 0,01 0,18 0,06 Ασβεστόλιθοι ,36 0,14 Ανεμογενή Loess 5 0,14 0,22 0,18 Αιολική άμμος 14 0,32 0,47 0,38 Τόφφοι 90 0,02 0,47 0,21 Μεταμορφωσιγενή Σχιστόλιθοι 11 0,22 0,33 0,26 7

20 2 Εξίσωση του Boussinesq 2.1 Γενικότητες Η ροή του υπόγειου νερού ονομάζεται ασταθής ή μη μόνιμη, όταν μεταβάλλεται με το χρόνο. Η κατάσταση της ασταθούς ροής παρατηρείται συχνότατα στη φύση και δεν αποτελεί υπερβολή να λεχθεί ότι όλα τα φαινόμενα της κίνησης του υπόγειου νερού, κατά τη στράγγιση των διαφόρων εδαφών μιας περιοχής, με παράλληλους κλειστούς αγωγούς (σωλήνες) ή ανοιχτές τάφρους, ανήκουν στην ασταθή ροή. Επειδή όμως οι λύσεις των προβλημάτων της ασταθούς στράγγισης παρουσιάζουν πολλές μαθηματικές δυσκολίες και σε πολλές περιπτώσεις εξακολουθούν να είναι άγνωστες, καταφεύγουμε στις απλοποιημένες μεθόδους της σταθερής ροής. H παρουσίαση της εξαγωγής της εξίσωσης του Boussinesq που παρουσιάζεται στη συνέχεια βασίζεται στον ύ 2012 και ίδ ύ Εξαγωγή της εξίσωσης του Boussinesq. Ας θεωρήσουμε το στοιχειώδη όγκο του ή 2.1, μήκους, μέσου ύψους και πλάτους ίσου με τη μονάδα, ενός εδάφους ομογενούς, ισότροπου και κορεσμένου με νερό, του οποίου η βάση βρίσκεται στο αδιαπέρατο οριζόντιο υπόστρωμα και η καμπυλόγραμμη επιφάνεια ΑΔΘΕ είναι η ελεύθερη επιφάνεια του υπόγειου νερού, δηλαδή η υπόγεια στάθμη, κατά τη χρονική στιγμή. Έστω η μέση ταχύτητα στο κέντρο του όγκου, η σταθερή πυκνότητα του νερού, η σταθερή ειδική απόδοση σε νερό του εδάφους, μια σταθερή καθαρή επαναπλήρωση που αποδίδεται σε άρδευση ή βροχόπτωση και σε επαναπλήρωση από την υποκείμενη βάση, η οποία τώρα θεωρείται ότι συνίσταται από ένα ημιδιαπερατό υπόστρωμα, και η οποία εκφράζει μια παροχή ανά μονάδα επιφάνειας και έτσι έχει διαστάσεις χρόνου. Παραδεχόμαστε ότι η ροή του υπόγειου νερού είναι ασταθής, βραδεία, μονοδιάστατη και ότι ισχύει ο νόμος του Darcy. Επιπρόσθετα, χρησιμοποιούμε δυο βασικές παραδοχές, οι οποίες είναι γνωστές στη βιβλιογραφία ως παραδοχές των Dupuit και Forchheimer (D F) και είναι 1. Η κλίση του υδραυλικού φορτίου είναι ίση με την κλίση της υπόγειας στάθμης, 2. Η ροή είναι οριζόντια και ομοιόμορφη σε όλα τα σημεία μιας κατακόρυφης διατομής. Οι παραδοχές αυτές ισχύουν όταν η κλίση της υπόγειας στάθμης είναι μικρή, αλλά είναι εσφαλμένες κοντά σε στραγγιστικές τάφρους, στραγγιστικούς σωλήνες κ.λπ., όπου οι γραμμές ροής είναι αρκετά καμπύλες. 8

21 ή. : ώ ό έ ή ί. Εφαρμόζοντας την αρχή της διατήρησης της μάζας στο στοιχειώδη όγκο, δηλαδή η εισερχόμενη μάζα νερού,., συν τη σταθερή καθαρή μάζα που οφείλεται στην επαναπλήρωση,., μείον την εξερχόμενη μάζα αυτού,., ισούται με τη μεταβολή της μάζας του νερού,, του παραπάνω όγκου, παίρνουμε ύ, 2012: η οποία αναλυτικότερα για τη μονάδα πλάτους γράφεται: Εκτελώντας τις αλγεβρικές πράξεις στην παραπάνω εξίσωση παίρνουμε:

22 Επειδή η πυκνότητα είναι σχεδόν σταθερή, η εξίσωση 2.3 γίνεται: Από την πρώτη παραδοχή των D F και το νόμο του Darcy έχουμε: Αντικαθιστώντας την εξίσωση 2.5 στην εξίσωση 2.4 παίρνουμε: Επειδή για την περίπτωση του ομογενούς και ισότροπου εδάφους και για κορεσμένη ροή η υδραυλική αγωγιμότητα είναι σταθερή, η εξίσωση 2.6, γίνεται: 2.7 Η εξίσωση 2.7 είναι μία μη γραμμική μερική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης του παραβολικού τύπου, είναι μη ομογενής και κατά τη λύση της παρουσιάζονται δυσκολίες οι οποίες οφείλονται στην μη γραμμικότητά της. Στη βιβλιογραφία των στραγγίσεων είναι γνωστή ως εξίσωση του Boussinesq γιατί έχει βγει για πρώτη φορά από το Γάλλο μηχανικό J.Boussinesq το έτος

23 2.3 Γραμμικοποιήσεις της εξίσωσης Boussinesq Γενικότητες Η εξίσωση του Boussinesq: 2.8 από μαθηματική άποψη είναι μια δεύτερης τάξης μη γραμμική μερική διαφορική εξίσωση παραβολικού τύπου και μπορεί να γραφεί με τη μορφή: 2.8 Για να διευκολυνθεί η περιγραφή και η σύγκριση των διαφόρων τρόπων γραμμικοποίησης η εξίσωση 2.8 μπορεί να ξαναγραφεί με την παρακάτω μορφή: Με την έκφραση της σχέσης αυτής γίνονται προφανείς οι αντίστοιχες παρεμβάσεις κατά τη γραμμικοποίηση της εξίσωσης του Boussinesq Πρώτος τρόπος γραμμικοποίησης Η μη γραμμικότητα της διαφορικής εξίσωσης 2.8 οφείλεται στο έξω από τις παραγώγους των παρονομαστών και στη δεύτερη δύναμη του δεύτερου όρου. Αν λοιπόν αντικατασταθεί το των παρονομαστών με μια μέση σταθερή τιμή και παραληφθεί ο δεύτερος όρος στην εξίσωση 2.8, παίρνεται η εξίσωση ύ 2012: 1 όπου είναι μια σταθερή τιμή. 2.9 Η εξίσωση 2.9 είναι μια γραμμική μερική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης παραβολικού τύπου και είναι γνωστή στη βιβλιογραφία ως εξίσωση θερμότητας ή εξίσωση του Fourier. Η παράληψη του δεύτερου όρου της εξίσωσης 2.8 δικαιολογείται μόνο όταν το είναι πάρα πολύ μεγάλο και η κλίση της υπόγειας στάθμης είναι πολύ μικρή. Σε τέτοια προβλήματα η χρησιμοποίηση της γραμμικής εξίσωσης 2.9 δεν εισάγει μεγάλο σφάλμα σε σύγκριση με τη μη γραμμική εξίσωση 2.8 και έχει όλα τα πλεονεκτήματα των αναλυτικών λύσεών της, που έχουν βρεθεί σε αντίστοιχα προβλήματα θερμοδυναμικής. 11

24 2.3.3 Δεύτερος τρόπος γραμμικοποίησης Αν στη μη γραμμική μερική διαφορική εξίσωση του Boussinesq 2.8 θεωρηθεί σταθερό μόνο το του παρονομαστή του πρώτου όρου του δεξιού μέλους της, δηλαδή το που βρίσκεται έξω από τη χρονική παράγωγο, τότε η εξίσωση αυτή γίνεται ύ, 2012: 1 όπου ό Η διαφορική εξίσωση 2.10 εξακολουθεί να είναι μη γραμμική λόγω του τετραγώνου και του παρονομαστή του δευτέρου όρου του αριστερού μέλους της. Δηλαδή η διαφορική εξίσωση 2.10 έχει το ίδιο ακριβώς δεξιό μέλος με τη διαφορική εξίσωση 2.9. Η διαφορική εξίσωση 2.10 είναι ημιγραμμική, γιατί μπορεί να μετασχηματιστεί στη γραμμική μορφή της εξίσωσης Fourier. Πράγματι, εισάγοντας μια νέα εξαρτημένη μεταβλητή η οποία σχετίζεται με την παλαιά μεταβλητή με τη σχέση: 2.11 Οι μερικές παράγωγοι των εξισώσεων 2.10, με τη βοήθεια της εξίσωσης 2.11, γίνονται: Αντικαθιστώντας τις σχέσεις 2.12,, στην εξίσωση 2.10 και εκτελώντας τις πράξεις παίρνουμε: Η διαφορική εξίσωση 2.13 είναι γραμμική ως προς την εξαρτημένη μεταβλητή και έχει ακριβώς την ίδια μορφή με τη διαφορική εξίσωση Fourier 2.9. Κατά συνέπεια, γνωστές λύσεις, πίνακες και Σχήματα της διαφορικής εξίσωσης Fourier, από τα δημοσιεύματα και τα βιβλία της θερμοδυναμικής μπορεί να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης 2.13 ως προς και ύστερα με τη βοήθεια της εξίσωσης 2.11 να πάρουμε τη 12

25 λύση, ως προς, της ημιγραμμικής διαφορικής εξίσωσης Είναι προφανές ότι η γραμμικοποίηση αυτή είναι η πλέον ακριβής καθότι στην αρχική μη γραμμική μερική διαφορική εξίσωση του Boussinesq γίνονται οι λιγότερες παρεμβάσεις, σε σχέση με το πρώτο τρόπο γραμμικοποίησης. 13

26 3 Επιμέρους Προβλήματα Στραγγίσεων 3.1 Πρόβλημα με οριζόντια αρχική υπόγεια στάθμη χωρίς επαναπλήρωση ή διαρροή (Πρόβλημα του Glover). Διάφοροι ερευνητές της υπηρεσίας εγγείων βελτιώσεων των Η.Π.Α., μεταξύ των οποίων εξέχουσα θέση κατέχουν οι R. Glover και L.D. Dumm, πέτυχαν την επίλυση ορισμένων προβλημάτων της ασταθούς στράγγισης λύνοντας τη γραμμική διαφορική εξίσωση 2.9 που υπόκειται σε ειδικές αρχικές και οριακές συνθήκες. Χρονολογικά ο Glover πέτυχε πρώτος την επίλυση ενός προβλήματος της ασταθούς στράγγισης, λύνοντας τη γραμμική διαφορική εξίσωση 2.9, η οποία προκύπτει από την πρώτη γραμμικοποίηση της εξίσωσης Boussinesq, βασιζόμενος στην παραδοχή ότι η υπόγεια στάθμη είναι αρχικά οριζόντια και παράλληλη προς το αδιαπέρατο υπόστρωμα καθώς και προς το επίπεδο στο οποίο βρίσκονται οι στραγγιστικοί αγωγοί. Έτσι η μέθοδος της πρώτης προσέγγισης του Glover μπορεί να εφαρμοστεί σε προβλήματα στραγγίσεων στα οποία το αδιαπέρατο στρώμα βρίσκεται σε σχετικά μεγάλο βάθος και η υπόγεια στάθμη μπορεί να θεωρηθεί ότι στην ανώτατη θέση της, μετά από βροχόπτωση ή άρδευση, είναι σχεδόν οριζόντια. Τα προβλήματα αυτά της φυσικής περιγράφονται, σε πρώτη προσέγγιση, με το παρακάτω μαθηματικό πρόβλημα: Τη γραμμική μερική διαφορική εξίσωση 2.9 του Fourier για 0:,, 3.1 την αρχική συνθήκη 0: και τις οριακές συνθήκες 0 1:, 0, ,, 0, 0, 3.3, όπου και, είναι το βάθος της υπόγειας στάθμης από το επίπεδο των στραγγιστικών σωλήνων. Στο ή 3.1 φαίνονται τα υπόλοιπα σύμβολα των παραπάνω εξισώσεων. 14

27 ή. : ά ά ά ά ή ό ή ά Η λύση του παραπάνω προβλήματος είναι η ακόλουθη:, 1964, 4,, Η εξίσωση 3.4 δίνει την τιμή του, της υπόγειας στάθμης σε οποιαδήποτε απόσταση από τον στραγγιστικό αγωγό για οποιοδήποτε χρόνο, καθώς είναι η γενική λύση του προβλήματος που καθορίζεται από τη γραμμική μερική διαφορική εξίσωση 3.1, την αρχική συνθήκη της οριζόντιας υπόγειας στάθμης 3.2 και τις οριακές συνθήκες 3.3,. 15

28 3.2 Πρόβλημα με καμπύλη αρχική υπόγεια στάθμη χωρίς επαναπλήρωση και διαρροή (Πρόβλημα των Glover Dumm). Όπως αναφέρθηκε στην προηγούμενη παράγραφο, οι πρώτες λύσεις που επιτεύχθηκαν από διάφορους ερευνητές της Υπηρεσίας Εγγείων Βελτιώσεων των Η.Π.Α., με προεξάρχοντα τον Glover, βασίστηκαν στην παραδοχή ότι η υπόγεια στάθμη είναι αρχικά οριζόντια και παράλληλη προς το αδιαπέρατο υπόστρωμα καθώς και προς το επίπεδο στο οποίο βρίσκονται οι στραγγιστικοί αγωγοί. Αργότερα χρησιμοποιήθηκαν και άλλα σχήματα γνωστών καμπυλών για την αρχική μορφή της υπόγειας στάθμης. Η λύση της γραμμικοποιημένης, με την πρώτη γραμμικοποίηση, μερικής διαφορικής εξίσωσης 2.9, που χρησιμοποιείται σήμερα από την Υ.Ε.Β. των Η.Π.Α., βασίζεται στην παραδοχή ότι η υπόγεια στάθμη αρχικά έχει σχήμα, που μπορεί να περιγραφεί από παραβολή τετάρτου βαθμού. Συγκεκριμένα δέχονται ότι στην αρχική στιγμή 0 της ασταθούς στράγγισης ισχύει η εξίσωση ί ύ, 1986:, Στους στραγγιστικούς αγωγούς 0 το 0 για όλους τους χρόνους 0, δηλαδή ισχύουν οι εξισώσεις: 0,, 0, 0 3.5, Στο μεσοδιάστημα μεταξύ των στραγγιστικών αγωγών 2 η υπόγεια στάθμη είναι πάντοτε οριζόντια ή αλλιώς η οριζόντια ταχύτητα είναι μηδενική, δηλαδή ισχύει η εξίσωση:

29 ή. : ή ά ά ά ύ ή Η μερική διαφορική εξίσωση 2.9, που θεωρείται ότι περιγράφει το φαινόμενο και επιδιώκεται η επίλυσή της, είναι η γραμμική εξίσωση του Fourier, η οποία προέκυψε με εφαρμογή της πρώτης γραμμικοποίησης της εξίσωσης του Boussinesq και είναι: όπου με 2 ένα μέσο βάθος της υπόγειας στάθμης, η υδραυλική αγωγιμότητα και η είδική απόδοση σε νερό του εδάφους, και ανεξάρτητες μεταβλητές του χώρου και του χρόνου αντίστοιχα. Η λύση του παραπάνω προβλήματος είναι η ακόλουθη:, 1968, ,, Η εξίσωση 3.7 είναι η γενική λύση του προβλήματος με καμπύλη αρχική υπόγεια στάθμη, η οποία περιγράφεται σύμφωνα με την Υ.Ε.Β. των Η.Π.Α., από την παραβολή τετάρτου βαθμού της εξίσωσης 3.4, χωρίς οποιαδήποτε επαναπλήρωση και διαρροή. Η μερική διαφορική εξίσωση που έδωσε την παραπάνω λύση γραμμικοποιήθηκε με την πρώτη γραμμικοποίηση και η γενική λύση 3.7 περιγράφει την τιμή της υπόγειας στάθμης, από το επίπεδο των στραγγιστικών αγωγών σε οποιαδήποτε απόσταση και για οποιοδήποτε χρόνο. 17

30 3.3 Ανύψωση υπόγειας στάθμης εξαιτίας επαναπλήρωσης από βροχόπτωση ή διαρροή (Πρόβλημα των Van de Leur και Maasland). Ο Kraijenhoff van de Leur το έτος 1958 και ο Maasland το έτος 1959 παρουσίασαν διαφορετική μέθοδο επίλυσης των προβλημάτων της μη μόνιμης στράγγισης με επαναπλήρωση από νερά της βροχής ή της άρδευσης. Οι παραπάνω ερευνητές παραδέχθηκαν ότι στην αρχική στιγμή 0 η υπόγεια στάθμη του νερού είναι οριζόντια και βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με τους στραγγιστικούς σωλήνες. Για 0 η υπόγεια στάθμη αρχίζει να ανεβαίνει εξαιτίας μιας σταθερής παροχής διήθησης επαναπλήρωσης, ανά μονάδα επιφάνειας, η οποία είναι το αποτέλεσμα των νερών της βροχής ή της άρδευσης. Το πρόβλημα αυτό περιγράφεται μαθηματικά από τη μη γραμμική μη ομογενή διαφορική εξίσωση του παραβολικού τύπου του Boussinesq ί ύ, 1986:,,, καθώς και με την αρχική και τις οριακές συνθήκες:, 0 0, ,, 0 3.9, ή. : ά ή Εφαρμόζοντας την πρώτη γραμμικοποίηση η διαφορική εξίσωση 3.8 μπορεί να γραφεί: 18

31 3.10 όπου, το βάθος του νερού της υπόγειας στάθμης από το επίπεδο των στραγγιστικών αγωγών, οπότε είναι,,, και. Επειδή η διαφορική εξίσωση 3.10 είναι μη ομογενής, μπορούμε να παραδεχθούμε ότι η δοκιμαστική λύση του προβλήματος των εξισώσεων 3.9,, και 3.10 είναι μια συνάρτηση της μορφής:,, 3.11 όπου αντιπροσωπεύει την σταθερή κατάσταση και η, την ασταθή και η λύση τους είναι η ακόλουθη: και Άρα η, θα είναι:, 4 1,,, η οποία γράφεται:,,, 2 4 1,, Η εξίσωση 3.15 δίνει το βάθος, σε οποιαδήποτε θέση και οποιοδήποτε χρόνο από την έναρξή της επαναπλήρωσης. 19

32 4 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΤΑΘΟΥΣ ΣΤΡΑΓΓΙΣΗΣ ΜΕ Ή ΧΩΡΙΣ ΕΠΑΝΑΠΛΗΡΩΣΗ 4.1 Εισαγωγικές έννοιες Η κίνηση του εδαφικού νερού προς τους στραγγιστικούς αγωγούς γεωργικών εκτάσεων, που δέχονται κατακόρυφη εισροή από βροχόπτωση ή άρδευση, καθώς και εισροή ή διαρροή μέσα από ένα ημιδιαπερατό υπόστρωμα, είναι στη γενική περίπτωση τριδιάστατη και περιγράφεται από μη γραμμικές μη ομογενείς μερικές διαφορικές εξισώσεις καθώς και από αρχικές και οριακές συνθήκες. Εξαιτίας των δυσκολιών που συναντώνται για την επίλυση ενός τέτοιου προβλήματος, πολλοί ερευνητές απλοποιούν το πρόβλημα αυτό, θεωρώντας ότι ισχύουν οι παραδοχές: Το έδαφος είναι ομογενές, ισότροπο και βρίσκεται πάνω σε ένα οριζόντιο αδιαπέρατο ή ημιδιαπερατό υπόστρωμα. Οι υδρογεωλογικές ιδιότητες και παράμετροι του εδάφους είναι σταθερές. Το ύψος της στάθμης του νερού πάνω από την αδιαπέρατη ή ημιδιαπερατή βάση είναι κατά προσέγγιση ίσο προς το μέσο φορτίο του βάθους κορεσμού του εδάφους. Η τιμή της επαναπλήρωσης από βροχόπτωση ή άρδευση είναι μικρή, σε σχέση με την υδραυλική αγωγιμότητα του εδάφους, οπότε η κατακόρυφη εισροή είναι σταθερή και ακολουθεί σχεδόν πλήρως τη διεύθυνση της κλίσης της υπόγειας στάθμης. Η τιμή της εισροής μέσα από το ημιδιαπερατό υπόστρωμα είναι επίσης πολύ μικρή και εισέρχεται στο έδαφος που στραγγίζεται με μηδενική κατακόρυφη ταχύτητα. Η ροή είναι μονοδιάστατη συμμετρική και έχει διεύθυνση κάθετη προς τους στραγγιστικούς αγωγούς. Ισχύουν οι παραδοχές των Dupuit Forchheimer. Οι αποτιμήσεις από τις δύο τελευταίες παραδοχές είναι δυνατό να αντιμετωπιστούν με την εισαγωγή του ισοδύναμου βάθους, αντί για το πραγματικό βάθος των στραγγιστικών αγωγών από το οριζόντιο υπόστρωμα. Έτσι πετυχαίνεται διόρθωση στον υπολογισμό της ισαποχής των στραγγιστικών αγωγών, απόκλιση η οποία οφείλεται στη σύγκλιση των γραμμών ροής του στραγγιζόμενου νερού. Η διόρθωση αυτή, μπορεί να γίνει με ικανοποιητική ακρίβεια και ευκολότερα αν εφαρμοστεί η μέθοδος Van Beers. Όταν το πιεζομετρικό φορτίο στον ημίκλειστο υπό πίεση υδροφορέα είναι μεγαλύτερο από το αντίστοιχο πιεζομετρικό φορτίο του στραγγιζόμενου εδαφικού νερού, τότε μέσα από το ημιδιαπερατό επίστρωμα του ημίκλειστου υδροφορέα, το οποίο αποτελεί και το υπόστρωμα του στραγγιζόμενου εδάφους, θα λαμβάνει χώρα η κατακόρυφη εισροή νερού, με κατεύθυνση προς τα πάνω. Στην αντίθετη περίπτωση θα λαμβάνει χώρα διαρροή 20

33 του εδαφικού νερού προς βαθύτερα υδροφόρα στρώματα, με κατεύθυνση της ροής προς τα κάτω. Το φαινόμενο αυτό συναντάται σε περιοχές στα εδάφη των οποίων παρουσιάζεται υψηλή υπόγεια στάθμη. Όταν ο ημίκλειστος υδροφορέας αντλείται για αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα, μπορεί να δημιουργηθούν μέσα σ αυτόν φορτία, τα οποία είναι μικρότερα από το βάθος του εδαφικού νερού. Και σ αυτή τη περίπτωση θα αρχίσει μια επαναπλήρωση του υδροφορέα από το εδαφικό νερό, η οποία θα είναι η διαρροή από το έδαφος προς τον υδροφορέα. Η διαρροή αυτή προφανώς λαμβάνει χώρα μέσα από την ημιδιαπερατή στρώση που διαχωρίζει τον υδροφορέα από το προς στράγγιση έδαφος. Όμως η ποιότητα του αντλούμενου νερού είναι προβληματική και ακατάλληλη για ύδρευση, καθώς μαζί με το νερό εμπλουτισμού από το έδαφος προς τον υδροφορέα, μεταφέρονται και οι διάφοροι ρύποι, όπως είναι τα λιπάσματα και τα διάφορα φυτοφάρμακα. Ας θεωρήσουμε ένα στραγγιζόμενο έδαφος το οποίο εδράζεται πάνω σε ένα οριζόντιο και ισοπαχές ημιδιαπερατό στρώμα, που αποτελεί το πάνω όριο ενός ημίκλειστου υπό πίεση υδροφορέα. Οι υδρογεωλογικές και εδαφικές παράμετροι είναι η υδραυλική αγωγιμότητα και η ειδική απόδοση σε νερό του εδάφους, το πάχος και η υδραυλική αγωγιμότητα της ημιδιαπερατής στρώσης καθώς και η παροχετευτικότητα ή διοχετευτικότητα και ο συντελεστής εναποθήκευσης του ημίκλειστου υδροφορέα. Οι τιμές όλων αυτών των παραπάνω παραμέτρων θεωρείται ότι είναι σταθερές. Στο έδαφος έχει κατασκευαστεί ένα στραγγιστικό δίκτυο οι αγωγοί του οποίου ισαπέχουν απόσταση και βρίσκονται σε ένα επίπεδο που βρίσκεται σε ένα ύψος D πάνω από το ημιδιαπερατό στρώμα. Όλοι οι παραπάνω συμβολισμοί, καθώς και όποιοι αναφέρονται στη συνέχεια φαίνονται στο Σχήμα 4.1. Το έδαφος μπορεί να δέχεται μια σταθερή καθαρή βροχόπτωση ή άρδευση, πολύ μεγάλης διάρκειας η οποία έχει ως αποτέλεσμα μια καθαρή εισροή νερού, που φτάνει με την διαδικασία της βαθειάς διήθησης μέχρι την υπόγεια στάθμη. Οι τιμές των και θεωρούνται σταθερές καθ όλη την περίοδο της σταθερής ή μόνιμης στράγγισης και εκφράζονται ως παροχές ανά μονάδα επιφάνειας του εδάφους, το οποίο δέχεται τη βροχόπτωση ή την άρδευση. Το έδαφος μπορεί επίσης να δέχεται μια σταθερή παροχή εισροής νερού ανά μονάδα επιφάνειας, που λαμβάνει χώρα μέσα από την ημιδιαπερατή στρώση, κατά την κατακόρυφη διεύθυνση και φορά προς τα πάνω. Η παροχή αυτή οφείλεται στην κατάσταση του συστήματος έδαφος ημίκλειστος υδροφορέας και δε δέχεται σχεδόν καμία επίδραση από την λειτουργία του στραγγιστικού δικτύου. Για το λόγο αυτό η παροχή θεωρείται, με μεγάλη προσέγγιση, ότι παίρνει μια σταθερή τιμή, τόσο κατά την προηγηθείσα σταθερή στράγγιση, όσο και κατά την ασταθή αλλά και κατά την ακολουθούμενη νέα σταθερή κατάσταση της στράγγισης του εδάφους. Η προηγηθείσα σταθερή ή μόνιμη στράγγιση οφείλεται στο άθροισμα των παροχών, το οποίο λειτουργεί για ικανοποιητικά μεγάλο χρονικό διάστημα. Ξαφνικά το έδαφος να δέχεται και μια σταθερή βροχόπτωση η οποία έχει ως αποτέλεσμα τη σταθερή παροχή εισροής νερού, από βαθειά διήθηση. Όταν είναι η στράγγιση του εδάφους γίνεται 21

34 ασταθής ή μη μόνιμη. Συνοψίζοντας, στο σύστημά μας λαμβάνει χώρα για μεγάλη χρονική περίοδο η σταθερή καθαρή βροχόπτωση και η σταθερή καθαρή επιφανειακή επαναπλήρωση ή εισροή, με βαθειά διήθηση για το χρόνο 0. Η σταθερή υπόγεια επαναπλήρωση ή εισροή νερού,, από τον ημίκλειστο υδροφορέα λαμβάνει χώρα για τους χρόνους 0 και 0. Τέλος η σταθερή καθαρή βροχόπτωση ή άρδευση και η σταθερή καθαρή επαναπλήρωση ή εισροή λαμβάνουν χώρα για το χρόνο 0. Όπως είναι γνωστό και από τη σταθερή στράγγιση, οι κατακόρυφες καθαρές παροχές εισροών νερού, τόσο οι επιφανειακές, και, που είναι αποτέλεσμα βροχοπτώσεων ή αρδεύσεων, και αντίστοιχα, όσο και η υπόγεια εισροή από τον ημίκλειστο υδροφορέα, είναι αδύνατο να μετρηθούν. Όμως μπορούν να μετρηθούν, άμεσα ή έμμεσα, η υδραυλική αγωγιμότητα του εδάφους, η ισαποχή των στραγγιστικών αγωγών, η απόσταση του επιπέδου των στραγγιστικών αγωγών από το ημιδιαπερατό ή αδιαπέρατο υπόστρωμα και η θέση της υπόγειας στάθμης στο μεσοδιάστημα των στραγγιστικών αγωγών από το υπόστρωμα. Η τιμή αυτή της αναφέρεται στην περίοδο της σταθερής ή μόνιμης στράγγισης. Ας θεωρήσουμε λοιπόν μια μεγάλη χρονική περίοδο χωρίς βροχόπτωση ή άρδευση. Τότε προφανώς θα είναι 0 και 0. Εάν η υπόγεια στάθμη βρίσκεται στο επίπεδο των στραγγιστικών αγωγών θα είναι. Σ αυτήν την περίπτωση η αρχική υπόγεια στάθμη θα είναι οριζόντια και η υπόγεια εισροή θα είναι μηδενική 0. Αυτό σημαίνει ότι η υποκείμενη του προς στράγγιση εδάφους στρώση αποτελεί ένα αδιαπέρατο υπόστρωμα. Θεωρώντας και πάλι μια μεγάλη χρονική περίοδο χωρίς βροχόπτωση ή άρδευση θα είναι 0 και 0. Εάν η υπόγεια στάθμη βρίσκεται υψηλότερα του επιπέδου των στραγγιστικών αγωγών, παίρνοντας στο μεσοδιάστημα τους μια τιμή, θα είναι. Η θέση αυτή της υπόγειας στάθμης οφείλεται στην υπόγεια εισροή από τον ημίκλειστο υδροφορέα. Εισάγοντας λοιπόν τις τιμές των,, στη λύση της σταθερής στράγγισης, η υπόγεια εισροή υπολογίζεται από την σχέση ύ, 2012: Εάν το υπόστρωμα του εδάφους συνιστά μια αδιαπέρατη στρώση θα είναι 0. Όταν μετά από μια βροχόπτωση ή άρδευση,, μεγάλης χρονικής διάρκειας, η υπόγεια στάθμη σταθεροποιηθεί, παίρνει στο μεσοδιάστημα των στραγγιστικών αγωγών μια τιμή μεγαλύτερη από την τιμή του. Αυτή η τιμή οφείλεται στη σταθερή επιφανειακή εισροή, που είναι αποτέλεσμα της και υπολογίζεται από την σχέση ύ 2012:

35 Όταν το προς στράγγιση έδαφος εδράζεται σε μια ημιδιαπερατή στρώση ενός ημίκλειστου υδροφορέα, λαμβάνει χώρα μέσα από τη στρώση αυτή μια σταθερή ροή. Επιπρόσθετα μετά από μια μεγάλης χρονικής διάρκειας βροχόπτωση ή άρδευση, η υπόγεια στάθμη σταθεροποιείται και παίρνει στο μεσοδιάστημα των στραγγιστικών αγωγών μια τιμή, μεγαλύτερη από την τιμή του. Αυτή η τιμή οφείλεται στο άθροισμα της επιφανειακής της υπόγειας εισροής. Έτσι το άθροισμα αυτών υπολογίζεται από τη σχέση ύ, 2012: Είναι προφανές ότι η τιμή της σχέσης 4.1 θα είναι μικρότερη από την τιμή της σχέσης 4.3. Με γνωστή την τιμή της από την εξίσωση 4.1 υπολογίζεται η τιμή της με την βοήθεια της σχέσης Προβλήματα ασταθούς στράγγισης Όπως είναι γνωστό, ένα οποιοδήποτε φυσικό ασταθές ή μόνιμο πρόβλημα ορίζεται από τη διαφορική εξίσωση που περιγράφει το φυσικό φαινόμενο, την αρχική και τις οριακές συνθήκες. Ας θεωρήσουμε ένα έδαφος, στο οποίο έχει εγκατασταθεί και λειτουργεί ένα στραγγιστικό δίκτυο. Το ύψος της υπόγειας στάθμης, για οποιοδήποτε πρόβλημα στραγγίσεων, βρίσκεται στο κέντρο των στραγγιστικών αγωγών, ορίζοντας έτσι τις οριακές συνθήκες αυτών των προβλημάτων. Έτσι ένα ιδιαίτερο πρόβλημα ασταθούς ή μη μόνιμης στράγγισης καθορίζεται με βάση τη μερική διαφορική εξίσωση και την αρχική συνθήκη που το περιγράφουν. Η μερική διαφορική εξίσωση μπορεί να είναι ομογενής ή μη ομογενής. Ο όρος που καθιστά μη ομογενή τη διαφορική εξίσωση εξαρτάται από το είδος και το μέγεθος της εισροής ή της εκροής νερού προς ή από το προς στράγγιση έδαφος, κατά την περίοδο της ασταθούς κατάστασης. Η σχέση που περιγράφει την αρχική συνθήκη, ο οποία επίσης καθορίζει ένα ιδιαίτερο πρόβλημα, εξαρτάται επίσης από το είδος και το μέγεθος της αρχικής εισροής ή εκροής νερού προς ή από το προς στράγγιση έδαφος κατά την περίοδο της σταθερής κατάστασης που προηγείται της ασταθούς κατάστασης. Από την προηγούμενη παράγραφο 4.1 η αρχική εισροή περιγράφεται με τη βοήθεια των τιμών της βαθειάς διήθησης και της υπόγειας εισροής. Όταν οι τιμές των και είναι αρνητικές, τότε λαμβάνει χώρα εκροή από το προς στράγγιση έδαφος προς την επιφάνεια του εδάφους ή προς τον βαθύτερο ημίκλειστο υδροφορέα, αντίστοιχα. Όταν οι τιμές των και μηδενιστούν, τότε προφανώς δε θα λαμβάνει χώρα καμία εισροή ή εκροή. Η ασταθής κατάσταση ενός προβλήματος στραγγίσεων οφείλεται στις τιμές των και και θα λαμβάνει χώρα όταν η τιμή της είναι διαφορετική από εκείνη της. Το άθροισμα των δύο επιμέρους μεγεθών και καθορίζει τον μη ομογενή όρο της μερικής 23

36 διαφορικής εξίσωσης, καθώς τα δύο αυτά μεγέθη λαμβάνουν χώρα στη χρονική περίοδο της μη μόνιμης στράγγισης, δηλαδή όταν 0. ή. : ό ί έ ά ό ί έ ή ό ή Προκειμένου να διακρίνουμε τις διάφορες περιπτώσεις που καθορίζουν ένα ιδιαίτερο πρόβλημα, ας θεωρήσουμε στο ή 4.1 τα δύο χαρακτηριστικά μεγέθη της υπόγειας στάθμης και στο μεσοδιάστημα των στραγγιστικών αγωγών 2. Επιπρόσθετα στη θέση αυτή η υπόγεια στάθμη έχει την αρχική τιμή για 0, ενώ για 0 την τιμή. Με βάση αυτούς τους συμβολισμούς και τις τιμές τους, διακρίνουμε τα επιμέρους προβλήματα της ασταθούς στράγγισης: ύ, 2012 Το πρώτο πρόβλημα καθορίζεται από τις τιμές, και. Αυτό σημαίνει ότι το έδαφος εδράζεται σε ένα αδιαπέρατο υπόστρωμα και η υπόγεια στάθμη κατά τη σταθερή στράγγιση έχει ανέλθει στη θέση, εξαιτίας της επιφανειακής εισροής. Η ασταθής στράγγιση αρχίζει τη στιγμή που η τιμή της μηδενίζεται. Αυτή η στιγμή λαμβάνεται και ως η αρχή του χρόνου 0, κατά τον οποίο αρχίζει η ασταθής στράγγιση. Σε κάποιο χρόνο 0 η τιμή της υπόγειας στάθμης γίνεται. Αυτό 24

37 σημαίνει ότι στο πρόβλημα αυτό λαμβάνει χώρα μια πτώση της υπόγειας στάθμης από τη θέση στη θέση. Στο δεύτερο πρόβλημα θεωρούμε ότι για 0 είναι,, ενώ για 0 η επιφανειακή εισροή. Από τα δεδομένα αυτά προκύπτει ότι για 0 δε λαμβάνει χώρα καμία εισροή νερού στο προς στράγγιση έδαφος, οπότε η στάθμη του υπόγειου νερού αυτή τη χρονική περίοδο θα είναι οριζόντια στο επίπεδο των στραγγιστικών αγωγών, δηλαδή θα είναι. Για 0 αρχίζει να εισέρχεται στο έδαφος μια ένταση παροχής, η οποία οφείλεται σε άρδευση ή βροχόπτωση. Έτσι γι αυτούς τους χρόνους θα λαμβάνει χώρα ανύψωση της υπόγειας στάθμης η οποία στο μεσοδιάστημα των στραγγιστικών αγωγών θα ανέρχεται από τη θέση στη θέση για ή στη θέση για, όπου. Το πρόβλημα αυτό λύθηκε από τους Van de Leur και Maasland, οι οποίοι όμως γραμμικοποίησαν τη μερική διαφορική εξίσωση με τον πρώτο τρόπο γραμμικοποίησης, ο οποίος θεωρείται ο λιγότερο ακριβής. Στο τρίτο πρόβλημα θεωρούμε ότι για 0 είναι και, ενώ για 0 δε λαμβάνει χώρα εισροή από βροχόπτωση ή άρδευση. Έτσι για το χρόνο αυτό θα είναι, ενώ η εισροή περιορίζεται μόνο στην. Καθώς λοιπόν η αρχική εισροή, για 0 είναι μεγαλύτερη, θα λαμβάνει χώρα μια πτώση της υπόγειας στάθμης με το χρόνο, η οποία στο μεσοδιάστημα των στραγγιστικών αγωγών θα είναι για 0 ίση με και για 0 ίση με, όπου. Στο τέταρτο πρόβλημα θεωρούμε ότι για 0 θα είναι και, ενώ για 0 θα είναι και. Έτσι στο πρόβλημα αυτό θα λαμβάνει χώρα μια ανύψωση της υπόγειας στάθμης από τη θέση στη θέση, όπου. Στο πέμπτο πρόβλημα θα είναι, και. Έτσι όταν ή θα λαμβάνει χώρα μια ανύψωση της υπόγειας στάθμης από τη θέση κατά τον χρόνο 0 στη θέση, κατά τον χρόνο. Αντίθετα όταν είναι όταν ή θα λαμβάνει χώρα μια πτώση της υπόγειας στάθμης από την θέση κατά τον χρόνο 0, στη θέση, κατά τον χρόνο. Δεν μελετώνται μεταβολές στην τιμή της υπόγειας εισροής ή εκροής, καθώς παραδεχόμαστε ότι ο ρυθμός με τον οποίο μεταβάλλεται η τιμή της είναι σχετικά ασήμαντος επειδή η μεταβολή με το χρόνο της υπόγειας στάθμης είναι μικρή και ως εκ τούτου επηρεάζει ελάχιστα την εισερχόμενη ή εξερχόμενη υπόγεια παροχή. Ο ρυθμός μεταβολής της άρδευσης ή βροχόπτωσης και κατά συνέπεια η τιμή της επιφανειακής εισροής, είναι συγκριτικά πολύ μεγαλύτερος και οι μεταβολές λαμβάνουν χώρα σε πολύ μικρότερα χρονικά διαστήματα. Έτσι στον ίδιο χρόνο οι οποιεσδήποτε μεταβολές συμβαίνουν στην τιμή του θεωρούνται αμελητέες. 25

38 4.3 Αρχικές και οριακές συνθήκες προβλημάτων με σταθερές εισροές και εκροές Στη συνέχεια ας θεωρήσουμε ότι η στράγγιση του εδάφους γίνεται με ένα δίκτυο στραγγιστικών σωλήνων, οι οποίοι βρίσκονται σε ένα ύψος πάνω από το οριζόντιο υπόστρωμα και απέχουν μεταξύ τους απόσταση. Τότε οι οριακές συνθήκες στις θέσεις των στραγγιστικών σωλήνων θα είναι οι ίδιες για όλα τα προβλήματα και μαθηματικά περιγράφονται από τις σχέσεις: 0,, 4.4, Όσον αφορά τη μορφή της αρχικής συνθήκης ενός συγκεκριμένου προβλήματος, αυτή εξαρτάται από την ιδιαίτερη σταθερή κατάσταση που περιγράφει, μετά την οποία αρχίζει η ασταθής κατάσταση. Έτσι ας θεωρήσουμε την περίπτωση που το στραγγιστικό δίκτυο είναι εγκατεστημένο σε ένα έδαφος το οποίο εδράζεται σε ένα ημιδιαπερατό υπόστρωμα. Αυτό το υπόστρωμα αποτελεί το πάνω όριο ενός ημίκλειστου υπό πίεση υδροφορέα, μέσα από τον οποίο εισέρχεται στο έδαφος με ανοδική κίνηση μια σταθερή παροχή επαναπλήρωσης. Επιπρόσθετα ας θεωρήσουμε και την περίπτωση που μια συνεχής άρδευση, πολύ μεγάλης διάρκειας επιφέρει μια καθαρή σταθερή επαναπλήρωση,. Τότε, αν 0 η υπόγεια στάθμη περιγράφεται από μια ελλειπτική εξίσωση δευτέρου βαθμού, η οποία είναι αποτέλεσμα της σταθερής ροής που οφείλεται στην επίδραση της συνολικής επαναπλήρωσης από την άρδευση ή την βροχόπτωση και από τον ημίκλειστο υδροφορέα. Σ αυτή την περίπτωση η γενική αρχική συνθήκη δίνεται από τη σχέση:, Η εξίσωση 4.5 είναι η λύση της σταθερής στράγγισης του εδάφους, κατάσταση η οποία οφείλεται στη σταθερή επαναπλήρωση και δίνει τη θέση της στάθμης του υπογείου νερού στο έδαφος, σε κάθε θέση, στο διάστημα μεταξύ δύο στραγγιστικών σωλήνων. Σημειώνεται εδώ ότι όταν δεν είναι γνωστές οι τιμές των και, αλλά η τιμή του μέγιστου σταθερού ύψους της υπόγειας στάθμης από το οριζόντιο επίπεδο του υποστρώματος του στραγγιζόμενου εδάφους στη θέση 2, τότε η αρχική συνθήκη αυτού του προβλήματος δίνεται από τη σχέση:, Τέλος στην περίπτωση που είναι γνωστή η τιμή του μέγιστου σταθερού ύψους της υπόγειας στάθμης, στη θέση 2, από το οριζόντιο επίπεδο των στραγγιστικών σωλήνων, τότε η αρχική συνθήκη αυτού του προβλήματος δίνεται από την σχέση: 26

39 , Όπου. Από τις σχέσεις 4.5, είναι προφανές ότι για 2ισχύουν οι σχέσεις ή Η ασταθής κατάσταση του προβλήματος θα αρχίσει, όταν σταματήσει ή μεταβληθεί η τιμή της αρχικής επαναπλήρωσης. Επειδή η συνήθης κατάσταση είναι η σχεδόν σταθερή τιμή της επαναπλήρωσης από το ημιδιαπερατό υπόστρωμα, άρα μπορούμε να παραδεχτούμε με ικανοποιητική ακρίβεια ότι η ασταθής κατάσταση θα αρχίσει όταν μεταβληθεί η τιμή της αρχικής επαναπλήρωσης και πάρει την τιμή. Η διαφορά των τιμών της επαναπλήρωσης από βροχόπτωση ή άρδευση είναι η αιτία που η στράγγιση γίνεται ασταθής ή μη μόνιμη, ακόμη και όταν η επαναπλήρωση παραμένει σταθερή. Που δίνεται από την εξίσωση: 4.7 Σημειώνεται εδώ ότι μετά την πάροδο ικανοποιητικά μεγάλου χρόνου, που θεωρητικά τείνει στο άπειρο, η στράγγιση θα καταλάβει μια νέα κατάσταση ισορροπίας, οπότε θα γίνει και πάλι σταθερή ή μόνιμη, είτε είναι, οπότε έλαβε χώρα ανύψωση της υπόγειας στάθμης, είτε είναι, οπότε έλαβε χώρα πτώση της υπόγειας στάθμης με την πάροδο του χρόνου. Στην περίπτωση που το έδαφος σε ένα στραγγιστικό δίκτυο εδράζεται σε ένα αδιαπέρατο υπόστρωμα και η υπόγεια στάθμη είναι σταθερή εξαιτίας μιας συνεχούς άρδευσης πολύ μεγάλης διάρκειας, η οποία επιφέρει μια καθαρή επαναπλήρωση, τότε η θέση της υπόγειας στάθμης περιγράφεται από μια ελλειπτική εξίσωση δευτέρου βαθμού, η οποία παίρνεται από τη λύση της μόνιμης ή σταθερής ροής. Αυτή η λύση συνιστά και την αρχική συνθήκη του προβλήματος της ασταθούς στράγγισης και δίνεται από την εξίσωση:, Όταν δεν είναι γνωστή η τιμή της αλλά από ειδικές εργασίες που έγιναν στον μελετούμενο αγρό, η, τότε δίνεται από την εξίσωση:,

40 Στην εξίσωση αυτή το είναι το μέγιστο σταθερό ύψος της υπόγειας στάθμης από το οριζόντιο επίπεδο των στραγγιστικών αγωγών, το οποίο βρίσκεται στο κατακόρυφο επίπεδο που περνάει από το μεσοδιάστημα των στραγγιστικών αγωγών. Είναι προφανές ότι στις εξισώσεις 4.8, θα είναι: η οποία είναι η ίδια με την 4.2. Η ασταθής κατάσταση αυτού του προβλήματος θα αρχίσει όταν σταματήσει η βροχόπτωση ή άρδευση ή και όταν μεταβληθεί η τιμή της αρχικής επαναπλήρωσης και πάρει την τιμή. Όπως και στο πρόβλημα με το ημιδιαπερατό υπόστρωμα, όταν είναι κατά την περίοδο της ασταθούς στράγγισης θα λαμβάνει χώρα ανύψωση της υπόγειας στάθμης, ενώ όταν είναι θα λαμβάνει χώρα πτώση της υπόγειας στάθμης με την πάροδο του χρόνου. Τέλος στην περίπτωση που σε ένα στραγγιστικό δίκτυο το έδαφος εδράζεται σε ένα αδιαπέρατο υπόστρωμα και μεσολαβεί μια πολύ μεγάλη χρονική περίοδος χωρίς επαναπλήρωση, τότε η υπόγεια στάθμη του εδαφικού νερού θα βρίσκεται σε ένα οριζόντιο επίπεδο, που καθορίζεται από τους στραγγιστικούς σωλήνες. Αυτή η κατάσταση που συνιστά την αρχική συνθήκη του προβλήματος της ασταθούς στράγγισης, παρουσιάζεται όταν 0, οπότε η αρχική συνθήκη, από τη σχέση 4.5 γίνεται:, Η ασταθής κατάσταση αυτού του προβλήματος ξεκινά μόλις αρχίσει η επίδραση μιας επαναπλήρωσης του εδαφικού νερού, η οποία είναι αποτέλεσμα της βαθειάς διήθησης που οφείλεται σε άρδευση ή βροχόπτωση. Είναι προφανές ότι στην περίπτωση αυτού του προβλήματος, το ύψος της υπόγειας στάθμης στο μεσοδιάστημα και πάνω από το επίπεδο των στραγγιστικών σωλήνων θα έχει την τιμή 0. Από τις αρχικές συνθήκες κάθε προβλήματος που μόλις περιγράψαμε προκύπτει ότι οι εξισώσεις 4.5,, αποτελούν τη γενική μορφή, από την οποία προκύπτουν οι άλλες δύο, όταν η επαναπλήρωση της σταθερής κατάστασης γίνει 0 και 0, οπότε θα είναι 0, καθώς και όταν 0, οπότε θα είναι 0. 28

41 4.4 Αδιαστατοποίηση διαφορικής εξίσωσης και βοηθητικών συνθηκών Εισάγοντας στη διαφορική εξίσωση, στις αρχικές και στις οριακές συνθήκες τις νέες ανεξάρτητες μεταβλητές: 4.11, και την νέα εξαρτημένη μεταβλητή:,, 4.12 η μη γραμμική διαφορική εξίσωση 2.7 μετατρέπεται στη γραμμική μορφή: η οποία περιγράφει με ικανοποιητική προσέγγιση όλα τα προβλήματα της ασταθούς στράγγισης. Επίσης οι οριακές συνθήκες 4.4, γίνονται: 0, 1, , Η κατά περίπτωση γενική αρχική συνθήκη, η οποία καθορίζεται με μια από τις εξισώσεις 4.5,, παίρνει την μορφή, αντίστοιχα, μιας από τις σχέσεις: και, , , στις οποίες υπενθυμίζεται και πάλι ότι ισχύουν οι σχέσεις 4.6,. Η γενική αρχική συνθήκη 4.15,, περιγράφει το πρόβλημα στο οποίο το υπόστρωμα του στραγγιζόμενου εδάφους αποτελεί μια ημιδιαπερατή στρώση, οπότε θα είναι 0 και επιπρόσθετα δέχεται από την επιφάνεια του εδάφους μια βαθειά διήθηση που είναι αποτέλεσμα άρδευσης ή βροχόπτωσης, οπότε θα είναι 0. Στην περίπτωση που το 29

42 υπόστρωμα του στραγγιζόμενου εδάφους αποτελεί μια αδιαπέρατη στρώση, θα είναι 0. Έτσι η αδιάστατη αρχική συνθήκη θα περιγράφεται με μια από τις σχέσεις: ή, ή, , όπου προφανώς θα είναι: ή Τέλος στην περίπτωση που το μεν υπόστρωμα του στραγγιζόμενου εδάφους αποτελεί μια ημιδιαπερατή στρώση, θα είναι 0, όμως επιφανειακά το έδαφος δε δέχεται καμιά βαθειά διήθηση από άρδευση ή βροχόπτωση, θα είναι 0. Έτσι η αδιάστατη αρχική συνθήκη θα περιγράφεται με μια από τις σχέσεις: ή, ή στις οποίες θα είναι: ή, ,

43 Η αδιάστατη γραμμική διαφορική εξίσωση 4.13, με τις οριακές συνθήκες 4.14, και μια από τις εξισώσεις 4.15, 4.16 και 4.17 καθορίζουν ένα κοινό καλά τοποθετημένο πρόβλημα των στραγγίσεων, για το οποίο τα, και παίρνουν σε κάθε περίπτωση τιμές ίσες ή μεγαλύτερες από μηδέν. Συνδυασμός αυτών των κατά περίπτωση σχέσεων συνιστούν το ιδιαίτερο πρόβλημα στραγγίσεων, για το οποίο μπορούμε να πάρουμε την ιδιαίτερη αναλυτική λύση του, οι οποίες επιπρόσθετα μπορούν να δοθούν σε αδιάστατα νομογραφήματα. Από τα τελευταία μπορούν εύκολα να υπολογιστούν τόσο το πιεζομετρικό ύψος στο μεσοδιάστημα των στραγγιστικών σωλήνων, όσο και η ένταση της παροχής του στραγγιζόμενου νερού, το οποίο εισέρχεται σε ένα στραγγιστικό σωλήνα (Karamouzis et al., 1986). 31

44 4.5 Πρόβλημα μόνο με επιφανειακή εισροή κατάά τη σταθερή στράγγιση,, ό Ας θεωρήσουμε ένα ομογενές και ισότροπο έδαφος, μεε σταθερές τιμές υδραυλικής αγωγιμότητας και ειδικής απόδοσης σε νερό S, στο οποίο έχει εγκατασταθεί ένα δίκτυο στραγγιστικών σωλήνων σε ένα ύψος D από το αδιαπέρατο υπόστρωμα και με μια ισαποχή ι L. Θεωρούμε επίσης ότι στον αγρό έλαβε χώρα μια επαναπλήρωση, ως αποτέλεσμα μιας βροχόπτωσης ή άρδευσης, για μια μεγάλη χρονική περίοδο, κατά την οποία η στράγγιση έγινε σταθερή, καθώς απομακρύνοντανν από τους στραγγιστικούς σωλήνες η ίδια παροχή. Στην περίοδοο αυτή η υπόγεια στάθμη είχε στο μεσοδιάστημα των στραγγιστικών σωλήνων μια μέγιστη τιμή από το αδιαπέρατο υπόστρωμα ίση με ή από το επίπεδο των στραγγιστικών σωλήνων ίση με. Όπως είναι γνωστό απόό τη θεωρία της σταθερής ή μόνιμης στράγγισης, το σχήμα της υπόγειας στάθμης περιγράφεται από την ελλειπτική εξίσωση δευτέρουυ βαθμού 4.8 ή ή σε αδιάστατη μορφή με μια από τις εξισώσεις 4.16, ή. Με το σταμάτημα της βροχόπτωσης ή άρδευσης μηδενίστηκεε και η επαναπλήρωση. Έτσι η υπόγεια στάθμη αρχίζει να πέφτει και η στράγγιση δίνεται ασταθής ή μη μόνιμη. Η ελλειπτική εξίσωση 4..8 ή, που π περιγράφει τη θέση της υπόγειας στάθμης, θα είναιι η αρχική συνθήκη αυτού του προβλήματος της ασταθούς στράγγισης. ή. ή ά ί ή, 0, 0, 0 Αυτό το πρόβλημα της ασταθούς στράγγισης φαίνεται στο ή 4.2 και περιγράφεται από την ομογενή μη γραμμική μερική διαφορική εξίσωση του Boussinesqq 2.7, στην οποία 32

45 θα είναι R 0 από τις οριακές συνθήκες 4.4, και την αρχική συνθήκη 4.8 ή. Χρησιμοποιώντας τις νέες μεταβλητές 4.11 ή και 4.12 παίρνεται η ομογενής μορφή της αδιάστατης γραμμικής μερικής διαφορικής εξίσωσης 4.13, η οποία γράφεται ύ 2012: 1 w 4.20 Η αρχική συνθήκη 4.16, και οι οριακές συνθήκες 4.14, σε αδιάστατη μορφή είναι αντίστοιχα:, 0, , 1, , Για την λύση του προβλήματος των εξισώσεων 4.20, 4.21, και 4.22, εφαρμόζεται η μέθοδος διαχωρισμού των μεταβλητών. Έτσι η λύση του προβλήματος αυτού μπορεί να γραφεί με τη μορφή:, 4.23 Εισάγοντας τη σχέση 4.23 στην εξίσωση 4.20 και εκτελώντας τις πράξεις παίρνουμε: 4.24 στην οποία ο τόνος δηλώνει ολική παράγωγο ως προς και και είναι μια σταθερή. Η σχέση 4.24 αποτελείται από δύο συνήθεις διαφορικές εξισώσεις των οποίων οι λύσεις είναι: 4.25 και 4.26 Εισάγοντας την οριακή συνθήκη 4.22 στην εξίσωση 4.26 παίρνουμε: από την οποία προκύπτει ότι 0, οπότε η εξίσωση 4.26 θα είναι: 33

46 4.27 Εισάγοντας την οριακή συνθήκη 4.22 στην εξίσωση 4.27 παίρνουμε: οπότε, επειδή είναι 0, θα είναι 0 ή, 0,1,2,3, 4.28 Έτσι οι εξισώσεις 4.25 και 4.27 γράφονται αντίστοιχα: 4.29 και 4.30 Από την εξίσωση 4.23 γίνεται προφανές ότι το γινόμενο των εξισώσεων 4.29 και 4.30 αποτελεί μια μερική λύση του προβλήματος. Η γενική λύση του, σύμφωνα με τη θεωρία των σειρών Fourier, θα είναι λοιπόν:, sin,, 4.31 όπου είναι ο συντελεστής Fourier, ο οποίες με την βοήθεια της αρχικής συνθήκης 4.21 θα είναι: 2 sin sin sin 2 1 cos 2 cos 2 από την οποία παίρνουμε τελικά: 2 2 1cos, 0,1,2,, 4.32 Η εξίσωση 4.32 για τις άρτιες τιμές του, δηλαδή για 0, 2, 4,,, επειδή είναι cos 1, δίνει 0. Επίσης για 1, 3, 5, επειδή είναι cos 1, θα είναι: 34

47 , 1,3,5,, 4.33 Εισάγοντας τώρα τη σχέση 4.33 στη γενική λύση 4.31, παίρνουμε:, n sin,, Η οποία εισάγοντας τις σχέσεις 4.11, και 4.12 γράφεται: K, 32 1 n sin,, 4.35 Αντικατάσταση της σχέσης 4.2 στη λύση 4.35 οδηγεί στις εναλλακτικές μορφές της λύσης του προβλήματος οι οποίες για 0 είναι: ή, 32 1 n sin,, 4.35 yy n sin 4.35,, Όπου yyx, t,. Για μεγάλες τιμές του βάθους D και μικρές τιμές του, μπορούμε με μεγάλη προσέγγιση να παραδεχτούμε ότι είναι y2 2 οπότε η παραπάνω λύση 4.35 μπορεί να γραφεί: yx, t 32 1 n sin 4.35,, Οι εξισώσεις 4.35,,, δίνονται για οποιεσδήποτε τιμές των και, το ύψος της στάθμης του υπόγειου νερού από το αδιαπέρατο υπόστρωμα, όταν δεν υπάρχει επαναπλήρωση από βροχόπτωση ή άρδευση και διαρροή κατά την περίοδο ασταθούς στράγγισης. Στο μεσοδιάστημα των στραγγιστικών σωλήνων, όπου είναι 2, θα έχουμε 2, και η εξίσωση 4.35 δίνει: 4K 32 1 n sin 2,, Είναι όμως sin 1, οπότε η εξίσωση 4.36 γίνεται: 4.36 όπου: 4K ,, n

48 ή 32 1 n 4.38,, Ακολουθώντας την πορεία εξαγωγής της εξίσωσης 4.37, από την εξίσωση 4.38 παίρνουμε: 4.37 όπου το ύψος της στάθμης του υπόγειου νερού από το επίπεδο των στραγγιστικών σωλήνων, στο μεσοδιάστημά τους και σε οποιοδήποτε χρόνο, είναι: και από την εξίσωση 4.35 παίρνουμε: 2, Οι τιμές της συνάρτησης, όπως αυτή ορίζεται με τη σειρά της σχέσης 4.38,, μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή, για διάφορες τιμές του αδιάστατου χρόνου 4.39 Στον Πίνακα 1 του Παραρτήματος Ι δίνονται οι τιμές της για διάφορες τιμές του. Επίσης στο Σχήμα 4.3 παρουσιάζεται ένα Σχήμα, από το οποίο παίρνεται η τιμή της συνάρτησης για κάθε τιμή του αδιάστατου χρόνου. Το Σχήμα αυτό χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του ύψους της στάθμης του υπόγειου νερού στο μεσοδιάστημα των στραγγιστικών σωλήνων για οποιοδήποτε χρόνο, εφαρμόζοντας είτε τις εξισώσεις 4.37,, οπότε υπολογίζεται το, είτε την εξίσωση 4.37, οπότε υπολογίζεται το. Το Σχήμα του Σχήματος 7.2 χρησιμοποιείται επίσης και για τον υπολογισμό της ισαποχής των στραγγιστικών σωλήνων, όταν είναι γνωστά τα ή, με την βοήθεια των σχέσεων 4.37 ή 4.37 αντίστοιχα. Η επιφάνεια μέσα από την οποία το νερό κινείται προς την στραγγιστική τάφρο είναι όπου είναι το μήκος του στραγγιστικού αγωγού. Έτσι, με τη βοήθεια του Νόμου του Darcy, η παροχή που εισέρχεται στο στραγγιστικό σωλήνα θα είναι:

49 Εξάλλου η στραγγιζόμενη επιφάνεια είναι 2, οπότε η παροχή ανά μονάδα στραγγιζόμενης επιφάνειας, η οποία ονομάζεται ένταση της στραγγιζόμενης παροχής και είναι η παροχή που εισέρχεται στο στραγγιστικό σωλήνα, θα είναι: 2 Παραγωγίζοντας την εξίσωση 4.35 ως προς παίρνουμε: cos n,, η οποία, επειδή στη θέση του στραγγιστικού σωλήνα είναι 0, γίνεται: n,, 4.43 Αντικαθιστώντας την εξίσωση 4.43 στην εξίσωση 4.41 η ένταση της παροχής, η οποία εισέρχεται στο στραγγιστικό σωλήνα, δίνεται από τη σχέση: η οποία, επειδή είναι 4 2, γράφεται και με την μορφή: όπου 8 1 n,, 4.45 Η συνάρτηση, όπως ορίζεται με την σχέση 4.45 μπορεί να υπολογιστεί για κάθε τιμή του αδιάστατου χρόνου της εξίσωσης Στον Πίνακα 2 του Παραρτήματος Ι δίνονται οι τιμές της για διάφορες τιμές του. Επίσης στο Σχήμα 4.4 παρουσιάζεται ένα Σχήμα, από το οποίο παίρνεται η τιμή της συνάρτησης για κάθε τιμή του αδιάστατου χρόνου. Το Σχήμα αυτό χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της έντασης της παροχής, η οποία εισέρχεται στο στραγγιστικό σωλήνα, με τη βοήθεια της εξίσωσης 4.44, όταν δεν έχουμε κατά την ασταθή στράγγιση επαναπλήρωση από βροχόπτωση ή άρδευση. 37

50 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,001 0,01 0,1 1 ή. : ά ή 1. Fτ 1 Fτ Fτ / 1 Fτ 38

51 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0, ,0001 0,001 0,01 0,1 1 τ ή. : ά ή 1 Et 1 Et Ετ / 1 Ετ 39

52 4.6 Πρόβλημα μόνο με επιφανειακή εισροή κατά τη ασταθή στράγγιση,, ό Ας θεωρήσουμε ένα ομογενές και ισότροπο έδαφος με σταθερές τιμές υδραυλικής αγωγιμότητας και ειδικής απόδοσης σε νερό στο οποίο έχει εγκατασταθεί ένα δίκτυο στραγγιστικών σωλήνων σε ένα ύψος από το αδιαπέρατο υπόστρωμα και με μια ισαποχή. Θεωρούμε επίσης ότι στον αγρό δεν έλαβε χώρα για μια πολύ μεγάλη χρονική περίοδο κάποια βροχόπτωση ή άρδευση, οπότε απομακρύνθηκε όλο το στραγγιζόμενο νερό και η υπόγεια στάθμη κατέβηκε μέχρι το οριζόντιο επίπεδο των στραγγιστικών σωλήνων. Από αυτά γίνεται φανερό ότι η υπόγεια στάθμη έχει ένα ύψος από το αδιαπέρατο υπόστρωμα ίσο με ή από το επίπεδο των στραγγιστικών σωλήνων ίσο με μηδέν. Μετά από αυτή την κατάσταση αρχίζει μια βροχόπτωση ή άρδευση η οποία έχει ως αποτέλεσμα μια καθαρή επαναπλήρωση. Έτσι η υπόγεια στάθμη αρχίζει να ανυψώνεται και η στράγγιση γίνεται ασταθής ή μη μόνιμη. Αυτό το πρόβλημα της ασταθούς στράγγισης φαίνεται στο ή 4.5 και περιγράφεται από τη μη ομογενή μη γραμμική μερική διαφορική εξίσωση του Boussinesq 2.7, στην οποία είναι 0, από τις οριακές συνθήκες 4.4, και από την αρχική συνθήκη 4.7. Χρησιμοποιώντας τις νέες μεταβλητές 4.12, η διαφορική εξίσωση και οι αρχικές και οριακές συνθήκες μετασχηματίζονται στις παρακάτω: w 2, , 1, , Για την λύση του προβλήματος των εξισώσεων 4.46, 4.47 και 4.48, εφαρμόζεται η μέθοδος διαχωρισμού των μεταβλητών, όπως ακριβώς παρουσιάζεται στην παράγραφο 3.3 του προβλήματος των Kraijenhoff van de Leur και Maasland. Έτσι η λύση του, παίρνοντας υπόψη τις εξισώσεις 3.15, 4.11, και 4.12 θα είναι:, n sin,,

53 ή. : ή ά ή Η εξίσωση αυτή δίνει, για οποιεσδήποτε τιμές των και, το ύψος της στάθμης του υπόγειου νερού από το αδιαπέρατο υπόστρωμα, όταν υπάρχει μια επαναπλήρωση από βροχόπτωση ή άρδευση, χωρίς όμως διαρροή. Στο μεσοδιάστημα των στραγγιστικών σωλήνων, όπου είναι 2, η εξίσωση 4.49 δίνει: 4 1 ή παίρνοντας υπόψη τη σχέση: από την οποία προκύπτει ότι είναι: 2 2 η 4.49 γίνεται: Η εξίσωση 4.52 είναι όμοια με την εξίσωση , καθώς είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι είναι: 41

54 Στο Σχήμα του Σχήματος 4.3 παρουσιάζεται η καμπύλη 1, από το οποίο παίρνεται η τιμή της 1 για κάθε τιμή του αδιάστατου χρόνου. Το Σχήμα αυτό χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του ύψους της υπόγειας στάθμης του εδαφικού νερού στο μεσοδιάστημα των στραγγιστικών σωλήνων, για οποιοδήποτε χρόνο, εφαρμόζοντας είτε την εξίσωση 4.50 οπότε υπολογίζεται το, είτε την εξίσωση 4.52, οπότε υπολογίζεται το. Για τον υπολογισμό της έντασης της στραγγιζόμενης παροχής, η οποία είναι η παροχή του νερού ανά μονάδα στραγγιζόμενης επιφάνειας που εισέρχεται στο στραγγιστικό σωλήνα, χρησιμοποιείται ο νόμος του Darcy της εξίσωσης Παραγωγίζοντας λοιπόν την εξίσωση 4.49 ως προς παίρνουμε: cos n,, Στη θέση του στραγγιστικού σωλήνα είναι 0, οπότε η εξίσωση 4.54 δίνει: n ,, Έτσι η ένταση της παροχής, με τη βοήθεια των εξισώσεων 4.41 και 4.50, δίνεται από τη σχέση: Στο Σχήμα του Σχήματος 4.3 παρουσιάζεται η καμπύλη 1, από το οποίο παίρνεται η τιμή της 1 για κάθε τιμή του αδιάστατου χρόνου. Το Σχήμα αυτό χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της έντασης της στραγγιζόμενης παροχής, η οποία εισέρχεται στο στραγγιστικό σωλήνα, με τη βοήθεια της εξίσωσης 4.56, όταν έχουμε επαναπλήρωση από βροχόπτωση ή άρδευση. 42

55 4.7 Πρόβλημα χωρίς επιφανειακή εισροή κατά τη ασταθή στράγγιση,, Ας θεωρήσουμε και πάλι ένα ομογενές και ισότροπο έδαφος με σταθερές τιμές υδραυλικής αγωγιμότητας, και ειδικής απόδοσης σε νερό, στο οποίο έχει εγκατασταθεί ένα δίκτυο στραγγιστικών σωλήνων σε ένα ύψος από το ημιδιαπερατό υπόστρωμα και με μια ισαποχή. Θεωρούμε επίσης ότι στο έδαφος εισέρχεται από το ημιδιαπερατό υπόστρωμα, με ανοδική κίνηση, μια σταθερή και ομοιόμορφη επαναπλήρωση. Επιπρόσθετα θεωρούμε ότι στον αγρό έλαβε χώρα μια επαναπλήρωση, ως αποτέλεσμα μιας βροχόπτωσης ή άρδευσης πολύ μεγάλης χρονικής περιόδου, κατά την οποία η στράγγιση έδινε σταθερή. Κατά την περίοδο αυτή της σταθερής στράγγισης η υπόγεια στάθμη είχε στο μεσοδιάστημα των στραγγιστικών σωλήνων μια μέγιστη τιμή από το ημιδιαπερατό υπόστρωμα ίση με ή από το επίπεδο των στραγγιστικών σωλήνων ίση με. Όπως είναι πλέον γνωστό, το σχήμα της αρχικής υπόγειας στάθμης περιγράφεται από την ελλειπτική εξίσωση δευτέρου βαθμού 4.5, ή. Με το σταμάτημα της βροχόπτωσης ή της άρδευσης μηδενίζεται και η επαναπλήρωση. Έτσι η υπόγεια στάθμη αρχίζει να πέφτει και η στράγγιση γίνεται ασταθής. Η ελλειπτική εξίσωση 4.5, ή, που περιγράφει τη θέση της υπόγειας στάθμης, θα είναι η αρχική συνθήκη αυτού του προβλήματος της ασταθούς στράγγισης. Μετά από πολύ χρόνο η στράγγιση θα γίνει και πάλι σταθερή και η υπόγεια στάθμη θα περιγράφεται και πάλι από την ελλειπτική εξίσωση δευτέρου βαθμού 4.5, στην οποία όμως θα είναι τώρα 0, και η νέα τιμή ή θα οφείλεται μόνο στην επαναπλήρωση. Αυτό το πρόβλημα της ασταθούς στράγγισης φαίνεται στο Σχήμα 4.6 και περιγράφεται από τη μη ομογενή μη γραμμική μερική διαφορική εξίσωση του Boussinesq 2.7 στην οποία θα είναι 0. Το πρόβλημα τοποθετείται μαθηματικά και από τις οριακές συνθήκες 4.4,, καθώς και την αρχική συνθήκη 4.5, ή. Χρησιμοποιώντας κατά τα γνωστά τις νέες μεταβλητές των σχέσεων 4.11, και 4.12 παίρνεται η μη ομογενής μορφή της γραμμικής μερικής διαφορικής εξίσωσης 4.9, η οποία γίνεται: w

56 ή. : ή ά ί ή ή 0, 0, 0 Από την αρχική συνθήκη 4.15 παίρνουμε:, 0 και οι οριακές συνθήκες 4.14, γράφονται: , 1, Επειδή η διαφορική εξίσωση 4.57 και η αρχική συνθήκη 4.58 είναι μη ομογενείς μπορούμε να παραδεχθούμε ότι η δοκιμαστική λύση του προβλήματος των παραπάνω εξισώσεων είναι μια συνάρτηση της μορφής:,,, 4.60 Με τη βοήθεια της εξίσωσης αυτής οι 4.57, 4.58 και 4.59, γίνονται αντίστοιχα: 2, 0,0 0, 0,

57 1, 1, Οι εξισώσεις 4.61 και 4.63, ορίζουν τα επιμέρους δύο προβλήματα: Το πρόβλημα με ομογενή διαφορική εξίσωση και μη ομογενή αρχική συνθήκη:, 0 0, 1, , Η λύση του προβλήματος των εξισώσεων 4.64, 4.65 και 4.66,, σύμφωνα με την εξίσωση 4.34 της παραγράφου 4.5 θα είναι:, n sin,, Το πρόβλημα με μη ομογενή διαφορική εξίσωση και ομογενή αρχική συνθήκη: 2, , 1, , Η λύση του προβλήματος των εξισώσεων 4.68, 4.69 και 4.70,, σύμφωνα με την εξίσωση 4.49 της παραγράφου 4.6 θα είναι:, n sin,, 4.71 Από τις εξισώσεις 4.67 και 4.71, λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις 4.11,, 4.12 και 4.60 παίρνουμε:, n sin,, 4.72 Η εξίσωση αυτή δίνει, για οποιεσδήποτε τιμές των και, το ύψος της στάθμης του υπογείου νερού από το ημιδιαπερατό υπόστρωμα, μέσα από το οποίο εισέρχεται, με ανοδική κίνηση, στο έδαφος που στραγγίζεται μια σταθερή παροχή επαναπλήρωσης. Στο μεσοδιάστημα των στραγγιστικών σωλήνων, όπου είναι 2, η εξίσωση 4.67 δίνει: 45

58 n,, η οποία, εισάγοντας τη συνάρτηση, γράφεται: Παίρνοντας υπόψη τη σχέση 4.51, από την οποία προκύπτει ότι 2 2 2, η εξίσωση 4.74 γίνεται: Οι εξισώσεις 4.74 και 4.75 χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό των και αντίστοιχα, σε κάποιο χρόνο. Αν είναι γνωστή η υδραυλική αγωγιμότητα και το πάχος του ημιδιαπερατού υποστρώματος, καθώς και το πιεζομετρικό φορτίο στον υποκείμενο ημίκλειστο υπό πίεση υδροφορέα, τότε η τιμή της εισερχόμενης προς το έδαφος, με ανοδική κίνηση, παροχή, με την βοήθεια του νόμου του Darcy, θα είναι: 4.76 η οποία χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της όταν είναι διαθέσιμα στοιχεία για τη χρησιμοποίηση της σχέσης 4.1. Χρησιμοποιώντας και την εξίσωση 4.3 της σταθερής στράγγισης, υπολογίζεται η τιμή της παροχής επαναπλήρωσης από βροχόπτωση ή άρδευση από την σχέση: όπου η τιμή της μπορεί εύκολα να μετρηθεί στον αγρό. Για τον υπολογισμό της έντασης της παροχής, η οποία είναι η παροχή του νερού ανά μονάδα στραγγιζόμενης επιφάνειας, που εισέρχεται στο στραγγιστικό σωλήνα, χρησιμοποιείται και πάλι ο νόμος του Darcy της εξίσωσης Παραγωγίζοντας λοιπόν την εξίσωση 4.72 παίρνουμε: cos n,, η οποία στη θέση του στραγγιστικού σωλήνα, όπου είναι 0 γίνεται: n,,

59 Αντικατάσταση της εξίσωσης 4.79 στην εξίσωση 4.41 δίνει: 4.80 Η εξίσωση 4.80χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της παροχής στο χρόνο, από το σταμάτημα της επαναπλήρωσης και την έναρξη της ασταθούς στράγγισης, με τη βοήθεια της συνάρτησης ή του διαγράμματος στου Σχήματος 4.4, όταν είναι γνωστές οι τιμές των και. 47

60 4.8 Πρόβλημα χωρίς επιφανειακή εισροή κατά τη σταθερή στράγγιση,, Η ασταθής στράγγιση ενός εδάφους που δέχεται επιφανειακή επαναπλήρωση από βροχόπτωση ή άρδευση μόνο κατά την ασταθή περίοδο και βρίσκεται πάνω σε ένα οριζόντιο ημιδιαπερατό υπόστρωμα, από το οποίο εισέρχεται επιπλέον μια συνεχής σταθερή παροχή επαναπλήρωσης, όπως φαίνεται στο ή 4.7 περιγράφεται από τη μη ομογενή μη γραμμική διαφορική εξίσωση του Boussinesq 2.7, όπου 0 και 0 καθώς επίσης και από τις οριακές συνθήκες 4.4, και από την αρχική συνθήκη 4.8 ή. Χρησιμοποιώντας τους μετασχηματισμούς 4.11, και 4.12 παίρνεται από τις εξισώσεις αυτές το μαθηματικό πρόβλημα: Και w 2, , 1, , ή. : ή ά ή ή ό ά ή ί 0, 0, 0 48

61 Για την λύση του προβλήματος των εξισώσεων 4.81, 4.82 και 4.83, εφαρμόζεται η μέθοδος του διαχωρισμού των μεταβλητών. Έτσι η λύση του προβλήματος αυτού, επειδή τόσο η διαφορική εξίσωση όσο και η αρχική συνθήκη είναι μη ομογενείς, μπορεί να γραφεί με τη μορφή:,,, 4.84 Με τη βοήθεια της εξίσωσης αυτής οι 4.81, 4.82 και 4.83, γίνονται αντίστοιχα: 2, 0, 0 0, 0, , 1, Οι εξισώσεις 4.85, 4.86 και 4.87, ορίζουν μοναδικά τα επιμέρους δύο προβλήματα: Το πρόβλημα με ομογενή διαφορική εξίσωση και μη ομογενή αρχική συνθήκη:, 0 0, 1, , Η λύση του προβλήματος των εξισώσεων 4.88, 4.89 και 4.90,, σύμφωνα με την εξίσωση 4.67 της παραγράφου 4.7 θα είναι:, n sin,, Το πρόβλημα με μη ομογενή διαφορική εξίσωση και ομογενή αρχική συνθήκη: 2, , 1, , 49

62 Η λύση του προβλήματος των εξισώσεων 4.92, 4.93 και 4.94,, σύμφωνα με την παράγραφο 4.6 αντικαθιστώντας στη λύση της το με θα είναι:, n sin,, 4.95 Από τις εξισώσεις 4.91 και 4.95, λαμβάνοντας υπόψη τις σχέσεις 4.84, 4.11, και 4.12 παίρνουμε:, n sin,, 4.96 Η εξίσωση αυτή δίνει, για οποιεσδήποτε τιμές των και, το ύψος της στάθμης του υπόγειου νερού από το ημιδιαπερατό υπόστρωμα, μέσα από το οποίο εισέρχεται με ανοδική κίνηση στο έδαφος που στραγγίζεται μια σταθερή παροχή επαναπλήρωσης, όταν επιπλέον υπάρχει και μια επαναπλήρωση από βροχόπτωση ή άρδευση κατά την ασταθή στράγγιση. Στο μεσοδιάστημα των στραγγιστικών σωλήνων, όπου είναι 2, η εξίσωση 4.95 δίνει: ή Παίρνοντας υπόψη για μεγάλες τιμές του είναι 2 2 2, οι εξισώσεις 4.97, γίνονται αντίστοιχα: ή Στο Σχήμα του Σχήματος 4.3 παρουσιάζεται η καμπύλη 1 για κάθε τιμή του αδιάστατου χρόνου. Το Σχήμα αυτό χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του ύψους της στάθμης του υπογείου νερού στο μεσοδιάστημα των στραγγιστικών σωλήνων, για οποιοδήποτε χρόνο, εφαρμόζοντας είτε μια από τις σχέσεις 4.97,, οπότε υπολογίζεται το, είτε μια από τις σχέσεις 4.98, οπότε υπολογίζεται το. Εδώ πρέπει να σημειωθεί, όπως άλλωστε είναι προφανές, ότι οι σχέσεις 4.97 και 4.98 θα εφαρμοστούν όταν είναι γνωστή η τιμή της παροχής, που εισέρχεται με ανοδική κίνηση μέσα από το ημιδιαπερατό υπόστρωμα, ενώ οι σχέσεις 4.97 και 4.98 θα 50

63 εφαρμοστούν όταν είναι γνωστή η τιμή του ύψους της στάθμης του υπογείου νερού από τους στραγγιστικούς σωλήνες, το οποίο αναφέρεται στο μεσοδιάστημά τους και στην αρχική συνθήκη. Για τον υπολογισμό της έντασης της παροχής, η οποία είναι η παροχή του νερού ανά μονάδα στραγγιζόμενης επιφάνειας, που εισέρχεται στο στραγγιστικό σωλήνα, χρησιμοποιείται και πάλι ο νόμος του Darcy της εξίσωσης Παραγωγίζοντας λοιπόν την εξίσωση 4.96 παίρνουμε: cos n,, η οποία στη θέση του στραγγιστικού σωλήνα, όπου είναι 0, είναι: n,, Αντικατάσταση της εξίσωσης στην εξίσωση 4.41 δίνει: Ή επειδή είναι: Στο Σχήμα του Σχήματος 4.4 παρουσιάζεται η καμπύλη 1 για κάθε τιμή του αδιάστατου χρόνου. Το Σχήμα αυτό χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της έντασης της παροχής, η οποία εισέρχεται στο στραγγιστικό σωλήνα, με τη βοήθεια της εξίσωσης 4.102, όταν έχουμε μια σταθερή επαναπλήρωση τόσο από βροχόπτωση ή άρδευση κατά την ασταθή στράγγιση, όσο και από ανοδική κίνηση μέσα από το ημιδιαπερατό υπόστρωμα καθ όλη την περίοδο λειτουργίας του στραγγιστικού δικτύου. 51

64 4.9 Πρόβλημα με επιφανειακή και υπόγεια εισροή κατά τη σταθερή και την ασταθή στράγγιση,, Η ασταθής στράγγιση ενός εδάφους που δέχεται μια επαναπλήρωση από βροχόπτωση ή άρδευση, το οποίο βρίσκεται πάνω σε ένα οριζόντιο ημιδιαπερατό υπόστρωμα, μέσα από το οποίο εισέρχεται μια σταθερή παροχή επαναπλήρωσης, όπως φαίνεται στο ή 4.8, περιγράφεται από την μη ομογενή μη γραμμική διαφορική εξίσωση του Boussinesq 2.7, όπου και παίρνουν τιμές διάφορες του μηδενός και 0. Επιπρόσθετα η μαθηματική περιγραφή του προβλήματος γίνεται και από τις οριακές συνθήκες 4.4, και από την αρχική συνθήκη 4.5. Χρησιμοποιώντας τους μετασχηματισμούς της 4.11, και 4.12 παίρνεται από τις εξισώσεις αυτές το μαθηματικό πρόβλημα: w και, , 1, , ή. : ό ή ά ή ή ά 0, 0, 0 52

65 Για τη λύση του προβλήματος των εξισώσεων 4.103, και 4.105, εφαρμόζεται η μέθοδος διαχωρισμού των μεταβλητών. Έτσι η λύση του προβλήματος αυτού, επειδή τόσο η διαφορική εξίσωση όσο και η αρχική συνθήκη είναι μη ομογενείς, μπορεί να γραφεί με τη μορφή:,,, Με την βοήθεια της εξίσωσης αυτής οι 4.103, και γίνονται, αντίστοιχα: ,0, , 0, , 1, Οι εξισώσεις 4.107, και 4.109, ορίζουν μοναδικά τα επιμέρους δύο προβλήματα: Το πρόβλημα με ομογενή διαφορική εξίσωση και μη ομογενή αρχική συνθήκη: 4.110, , 1, , Η λύση του προβλήματος των εξισώσεων 4.110, και 4.112, σύμφωνα με την εξίσωση 4.67 της παραγράφου 4.7, είναι, n,, Το πρόβλημα με μη ομογενή διαφορική εξίσωση και ομογενή αρχική συνθήκη. 2,

66 0, 1, , Η λύση του προβλήματος των εξισώσεων 4.114, και 4.116, σύμφωνα με την παράγραφο 4.6, αντικαθιστώντας στη λύση της το με, θα είναι:, 4,, 1 n Από τις εξισώσεις και λαμβάνοντας υπόψη τις 4.106, και 4.112,, παίρνουμε, sin n,, Η εξίσωση αυτή δίνει, για οποιεσδήποτε τιμές των x και t, το ύψος της στάθμης του υπόγειου νερού από το ημιδιαπερατό υπόστρωμα, μέσα από το οποίο εισέρχεται με ανοδική κίνηση στο έδαφος που στραγγίζεται μια σταθερή παροχή επαναπλήρωσης, όταν επιπλέον υπάρχει και μια επαναπλήρωση από βροχόπτωση και σταθερή άρδευση ίση με το κατά την σταθερή και κατά την ασταθή στράγγιση. Στο μεσοδιάστημα των στραγγιστικών σωλήνων, όπου είναι x=l/2, η εξίσωση δίνει ή Παίρνοντας υπόψη ότι για μεγάλες τιμές του είναι 2 22 οι εξισώσεις 4.119, γίνονται, αντίστοιχα: ή

67 Στο Σχήμα του Σχήματος 4.3 παρουσιάζεται η καμπύλη 1 για κάθε τιμή του αδιάστατου χρόνου τ. Το Σχήμα αυτό χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του ύψους της στάθμης του υπόγειου νερού στο μεσοδιάστημα των στραγγιστικών σωλήνων, για οποιοδήποτε χρόνο, εφαρμόζοντας είτε μια από τις σχέσεις 4.119, οπότε υπολογίζεται στο, είτε μία από τις σχέσεις οπότε υπολογίζεται το. Εδώ πρέπει να σημειωθεί, όπως άλλωστε είναι προφανές, ότι οι σχέσεις και4.120 θα εφαρμοστούν όταν είναι γνωστές τιμές των παροχών και που εισέρχονται με ανοδική κίνηση μέσα από το ημιδιαπερατό υπόστρωμα και από την επιφανειακή βροχόπτωση ή άρδευση, αντίστοιχα, ενώ οι σχέσεις4.119 και θα εφαρμοστούν όταν είναι γνωστή η τιμή του ύψους της στάθμης του υπόγειου νερού από τους στραγγιστικούς σωλήνες, το οποίο αναφέρεται στο μεσοδιάστημά τους και στην αρχική συνθήκη. Για τον υπολογισμό της έντασης της παροχής q t, η οποία είναι η παροχή του νερού ανά μονάδα στραγγιζόμενης επιφάνειας, που εισέρχεται στο στραγγιστικό σωλήνα, χρησιμοποιείται και πάλι ο νόμος του Darcy της εξίσωσης Παραγωγίζοντας λοιπόν την εξίσωση παίρνουμε: cos n,, η οποία στη θέση του στραγγιστικού σωλήνα, όπου είναι x=0, γίνεται n,, Αντικατάσταση της εξίσωσης στην εξίσωση 4.41 δίνει: ή επειδή είναι

68 Στο Σχήμα του Σχήματος 4.4 παρουσιάζεται η καμπύλη 1 για κάθε τιμή του αδιάστατου χρόνου τ. Το Σχήμα αυτό χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της έντασης της παροχής, η οποία εισέρχεται το στραγγιστικό σωλήνα, με την βοήθεια της εξίσωσης όταν κατά την περίοδο της σταθερής στράγγισης λαμβάνει χώρα μια επιφανειακή επαναπλήρωση, κατά την περίοδο της ασταθούς στράγγισης μια επιφανειακή επαναπλήρωση, ενώ καθόλη την περίοδο της στράγγισης λαμβάνει χώρα και μια υπόγεια επαναπλήρωση από το ημιδιαπερατό υπόστρωμα ίση με. Τις παραπάνω σχέσεις 4.118, 4.119, και 4.122, πρώτος εξήγαγε ο Δ.Καραμούζης. ύ

69 5 Πειραματική διερεύνηση 5.1 Πειραματική Διαδικασία Για την μελέτη της κίνησης του νερού μέσα στο έδαφος μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε συστήματα (μοντέλα) που μπορούν να την περιγράψουν δυναμικά και στατικά. Γενικά έχουμε τις εξής κατηγορίες μεθόδων μελέτης της κίνησης του υπογείου νερού ό 1977: 1) Τις μαθηματικές μεθόδους 2) Τα αναλογικά μοντέλα 3) Τα φυσικά μοντέλα Α) Οι μαθηματικές μέθοδοι διακρίνονται σε δυο κατηγορίες. Τις αναλυτικές μεθόδους που αναλύσαμε στα προηγούμενα κεφάλαια και τις αριθμητικές. Οι δυο περισσότερο διαδεδομένες αριθμητικές μέθοδοι είναι: Οι πεπερασμένες διαφορές Τα πεπερασμένα στοιχεία Β) Τα αναλογικά μοντέλα ανήκουν στην κατηγορία των εργαστηριακών μοντέλων και στηρίζονται στη χρήση φυσικών φαινομένων διαφορετικών της κίνησης του νερού με την προϋπόθεση ότι ισχύουν για αυτά ανάλογοι νόμοι με αυτούς που ισχύουν και μέσα στην υπόγεια υδραυλική. Μερικά από τα αναλογικά μοντέλα είναι: Το μοντέλο ιξώδους ροής (Helleshaw). Αυτό αποτελείται από δυο πλάκες παράλληλες που απέχουν 2 3 mm και οι οποίες μπορούν να τοποθετούνται οριζόντια ή κατακόρυφα. Έτσι μελετάται η διαρροή νερού μέσα από χωμάτινα φράγματα ή η είσοδος θαλασσινού νερού σε παραλιακά υδροφόρα στρώματα ή ακόμη μονοδιάστατες ροές του νερού στο έδαφος ή προς κοντινές στραγγιστικές τάφρους. Τα βασικά πλεονεκτήματα των συσκευών Helleshaw είναι: Η κίνηση του νερού παρατηρείται κατ ευθείαν. Μπορούμε να μελετήσουμε μη μόνιμες καταστάσεις. Δίνεται αυτόματα η ελεύθερη επιφάνεια. Τα οριζόντια μοντέλα μπορούν να πάρουν κεκλιμένες θέσεις. Το ηλεκτρικό μοντέλο συνεχούς τύπου. Για την εφαρμογή αυτή, χρησιμοποιείται το Teledeltos, ένα είδος χαρτιού που είναι καλός αγωγός του ρεύματος. Με αυτό μελετώνται μόνιμες ροές, βρίσκονται οι ισοδυναμικές γραμμές και οι γραμμές ροής χωρίς όμως να έχουμε μεγάλη ακρίβεια και χωρίς να μπορούμε να δημιουργήσουμε την ελεύθερη επιφάνεια του κινούμενου νερού. 57

70 Το ηλεκτρικό μοντέλο ασυνεχούς τύπου. Σε αυτό το μοντέλο η άγνωστη συνάρτηση δυναμικού υπολογίζεται μόνο σε ορισμένα σημεία που αντιστοιχούν στους κόμβους των ηλεκτρικών κυκλωμάτων. Το μοντέλο αυτό δίνει πιο καλής ακρίβειας αποτελέσματα από το προηγούμενο μοντέλο. Γ) Τα φυσικά μοντέλα ή μοντέλα άμμου είναι αληθινά μοντέλα υδροφόρων εδαφικών στρωμάτων και σε αυτά ισχύουν οι ίδιοι νόμοι που ισχύουν και στο έδαφος ή στο υδροφόρο στρώμα. Η γεωμετρική ομοιότητα (ο λόγος των μηκών ως προς το πρότυπο), μπορεί να επιτευχθεί με την κατασκευή κατάλληλων δεξαμενών. Ανάλογα με τα προβλήματα που θα μελετηθούν, κατασκευάζονται δεξαμενές διαφόρων σχημάτων (ορθογώνιες, κυλινδρικές κ.λπ.) και με την σωστή γεωμετρική ομοιότητα. Το ρευστό που συνήθως χρησιμοποιείται σ ένα μοντέλο άμμου για την μελέτη προβλημάτων ροής, είναι νερό βρύσης, μίγματα αιθανόλης και νερού, και ορυκτέλαιο. Ο έλεγχος της υπόγειας στάθμης, σε διάφορα σημεία, γίνεται με τη βοήθεια πιεζόμετρων. Απαραίτητο βέβαια, είναι στα δεδομένα των πιεζόμετρων να γίνεται διόρθωση για την τριχοειδή ανύψωση. Τέλος με την χρήση κατάλληλων συσκευών τροφοδότησης, με χρήση χρωστικής ουσίας, μπορούν να σχηματιστούν γραμμές ροής που φαίνονται εύκολα από τα διαφανή τοιχώματα της συσκευής. Αυτό δίνει τη δυνατότητα στον μελετητή να έχει μια καλή εποπτική εικόνα της κίνησης του νερού μέσα στη συσκευή. Τα κύρια πλεονεκτήματα των μοντέλων άμμου είναι: Κατασκευάζονται εύκολα. Το πιεζομετρικό ύψος στο μοντέλο παρακολουθείται εύκολα. Προσαρμόζονται καλά σε μελέτες προβλημάτων διασποράς και διάχυσης. Οι γραμμές ροής μπορούν να γίνουν ορατές με τη βοήθεια χρωστικών ουσιών. Τα κύρια μειονεκτήματα τους είναι: Δεν μπορούν να εξετάσουν προβλήματα περιφερειακής ροής σε υδροφόρα στρώματα που εκτείνονται σε μεγάλες οριζόντιες περιοχές. Δε δίνουν πάντοτε ικανοποιητικά αποτελέσματα. Άξιες αναφοράς πάνω στα μοντέλα άμμου είναι οι εργασίες των V.A. Zlotnik et al (2007), που μελετάται η επιρροή που έχει στην ροή του νερού μέσα σε ένα μοντέλο άμμου παγιδευμένος αέρας, των M. Rossi et al (2008) όπου μελετάται η διάλυση ρύπων και η αραίωση τους μέσα σε μοντέλο άμμου, των Lei Shi et al (2011) όπου μοντέλα άμμου χρησιμοποιούνται για την επιβεβαίωση μοντέλου αλατότητας σε γεωτρήσεις, και τέλος η μελέτη των Xie Luofen et al (2012), οι οποίοι μελετούν την σταθερότητα της βάσης φραγμάτων που εδράζονται σε αμμώδες έδαφος, με την χρήση μοντέλου άμμου. Θα πρέπει να αναφερθεί ότι στο εργαστήριο Γεωργικής Υδραυλικής έχουν γίνει πειραματικές εφαρμογές μοντέλου άμμου όπως είναι η μεταπτυχιακή διατριβή της Αι. Βαμβακά (2001) πάνω στην ασταθή στράγγιση σε οριζόντια και κεκλιμένα εδάφη με μεταβαλλόμενη ειδική σε νερό απόδοση. 58

71 5.2 Περιγραφή εργαστηριακού μοντέλου άμμου των πειραμάτων Για την πειραματική διερεύνηση του προβλήματος της ασταθούς κίνησης υπόγειου νερού προς στραγγιστικούς αγωγούς, χρησιμοποιήθηκε ένα μοντέλο άμμου με δεξαμενή σχήματος ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου. Το μοντέλο άμμου με την δεξαμενή, αποτέλεσε μια αναπαράσταση (σε σμίκρυνση) ενός εδάφους που οριοθετείται από δύο παράλληλες τάφρους. Η δεξαμενή, σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, έχει την βάση και τις δυο κατακόρυφες μικρές έδρες της κατασκευασμένες από χάλυβα, ενώ οι μεγάλες κατακόρυφες έδρες είναι κατασκευασμένες από Plexiglas πάχους 10 χιλιοστών. Η κύρτωση των δύο μεγάλων εδρών, αποφεύγεται με την χρήση κατάλληλα τοποθετημένων ελασμάτων. Παρόλα αυτά, καθώς υπήρξε μια μικρή κύρτωση, για να παρθεί τιμή για το πλάτος της δεξαμενής, έγιναν μετρήσεις ανά 10 εκατοστά και ως τελική τιμή πάρθηκε ο μέσος όρος. Σύμφωνα με τα παραπάνω οι διαστάσεις της δεξαμενής είναι: μήκος 3 μέτρα, 15,7 εκατοστά και ύψος: 66,5 εκατοστά. πλάτος Στα δυο άκρα της δεξαμενής, σε απόσταση 20 εκατοστών από την κάθε χαλύβδινη μικρή έδρα, τοποθετούνται δυο διαφράγματα τα των οποίων οι διαστάσεις είναι: 65cm ύψος, 15.7cm πλάτος και 4mm πάχος. Με αυτό τον τρόπο η δεξαμενή χωρίζεται σε τρία διαφορετικά τμήματα. Στο χώρο μεταξύ των διαφραγμάτων, τοποθετείται το έδαφος, και οι χώροι δεξιά και αριστερά, λειτουργούν ως στραγγιστικές τάφροι, καθώς τα διαφράγματα είναι διαπερατά από το νερό αλλά συγκρατούν το έδαφος. Στους χώρους που λειτουργούν ως στραγγιστικές τάφροι, στον πάτο της δεξαμενής υπάρχει σύστημα το οποίο λειτουργεί ως υπερχειλιστής, και μπορεί να ρυθμίζεται σε διάφορα ύψη από την βάση της δεξαμενής. Με αυτό τον τρόπο διατηρείται σταθερή η στάθμη του νερού στην κάθε τάφρο, και είναι ανεξάρτητη η μια από την άλλη. Κατά μήκος της βάσης της κεντρικής δεξαμενής υπάρχουν 25 οπές, σε μεταξύ τους απόσταση 10 εκατοστών, με τη πρώτη και τελευταία να απέχουν 25 εκατοστά από τις χαλύβδινες μικρές έδρες, και 5 εκατοστά από τα διαφράγματα. Αυτές οι οπές είναι συνδεδεμένες με τριχοειδείς σωλήνες οι οποίοι ξεκινούν από την βάση της δεξαμενής και καταλήγουν σε ένα βαθμονομημένο πίνακα, η παρατήρηση του οποίου μας δίνει το ύψος της στάθμης του νερού μέσα στην δεξαμενή, πάνω από κάθε οπή. Κατά την τοποθέτηση του εδάφους και σε ύψος 5 εκατοστών από την βάση της δεξαμενής τοποθετήθηκαν 4 σταλακτοφόροι σωλήνες των οποίων η παροχή ελεγχόταν από μια βάνα και ήταν άμεσα μετρήσιμη με υδρόμετρο κατάλληλα τοποθετημένο. Με την πλήρωση της δεξαμενής με έδαφος, τοποθετήθηκαν με την ίδια διάταξη 4 σταλακτοφόροι σωλήνες στην επιφάνεια του εδάφους. 59

72 Οι σωλήνες οι οποίοι είναι θαμμένοι, προσομοιώνουν παροχή που εισχωρεί στο σύστημα από υπόγειο υδροφορέα, και οι σωλήνες που είναι τοποθετημένοι στην επιφάνεια του εδάφους προσομοιώνουν παροχή που εισχωρεί στο σύστημα από βροχόπτωση ή άρδευση. Το επίπεδο αναφοράς των μετρήσεων είναι η αρχή της βάσης του πίνακα στον οποίο αποτυπώνεται το ύψος στάθμης. Από αυτόν η βάση της δεξαμενής βρίσκεται στα 22 εκατοστά, το επίπεδο στο οποίο έχουν ρυθμιστεί οι υπερχειλιστές που βρίσκονται στις στραγγιστικές τάφρους βρίσκεται στα 24,8 εκατοστά. Στο Παράρτημα ΙΙ, παραθέτονται φωτογραφίες του πειράματος. 5.3 Χαρακτηριστικά του εδάφους Ο προσδιορισμός της μηχανικής σύστασης έγινε με την μέθοδο Βουγιούκου. Οι τιμές και (πρώτη και δεύτερη ανάγνωση του πυκνόμετρου) ήταν αντίστοιχα, 4 και 3.2 ενώ η θερμοκρασία του διαλύματος ήταν 24. Σύμφωνα με την μέθοδο, θα πρέπει να γίνει διόρθωση των ενδείξεων, και οι τελικές τιμές θα είναι, 5,6 και 4,8. Σύμφωνα με τις σχέσεις: Ά% ,2 88,8% ύ% 2 20,81,6% Ά% ,8 9,6% Σύμφωνα με τα παραπάνω το έδαφος ανήκει στην κατηγορία Loamy Sand. Για τον προσδιορισμό της κατανομής μεγέθους των κόκκων άμμου, χρησιμοποιήθηκαν πέντε κόσκινα διαμέτρου 500, 250, 125, Μετά από ανακίνηση πέντε λεπτών, ζυγίστηκαν οι ποσότητες που είχαν συγκρατηθεί από τα κόσκινα από μια ποσότητα 100 γραμμαρίων. Οι τιμές των μεγεθών ήταν:

73 Η αθροιστική καμπύλη των κλασμάτων της άμμου που χρησιμοποιήθηκε, σύμφωνα με τα παραπάνω αποτελέσματα παρουσιάζεται στο Σχήμα 5.1: 100% 90% 80% Ποσοστό % κατά βάρος 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Διάμετρος κόκκων σε μm ή. : ή ύ ά ά 61

74 5.4 Μέτρηση υδραυλικής αγωγιμότητας Το μοντέλο άμμου με την δεξαμενή, χρησιμοποιήθηκε και για τον υπολογισμό της υδραυλικής αγωγιμότητας του πορώδους μέσου. Εφαρμόστηκε συνεχής σταθερή παροχή στην αριστερή τάφρο (Α) και με την βοήθεια του υπερχειλιστή η στάθμη του νερού στην τάφρο Α διατηρήθηκε σταθερή σε απόσταση 30 εκατοστών από τον πυθμένα της δεξαμενής. Κατά τον ίδιο τρόπο η στάθμη του νερού στην δεξιά τάφρο (Β) ρυθμίστηκε έτσι ώστε να βρίσκεται σε απόσταση 20 εκατοστών από τον πυθμένα της δεξαμενής. Έτσι η κίνηση του νερού γινόταν από την τάφρο Α προς την τάφρο Β λόγω διαφοράς του υδραυλικού φορτίου. Η ροή αυτή συνεχίστηκε για αρκετή ώρα έως ότου επέλθουν συνθήκες σταθερής ροής. Ο έλεγχος της ροής έγινε με δυο τρόπους. Πρώτα γινόταν περιοδικά έλεγχος της στάθμης στον βαθμονομημένο πίνακα, έως ότου οι ενδείξεις να μην παρουσιάζουν μεταβολή με τον χρόνο. Στη συνέχεια έγινε μέτρηση της παροχής υπερχείλισης στην τάφρο Β. Η μέτρηση της υδραυλικής αγωγιμότητας γινόταν όταν τρείς διαδοχικές μετρήσεις της παροχής υπερχείλισης της τάφρου Β έδιναν παρόμοια αποτελέσματα. Η τιμή της υδραυλικής αγωγιμότητας υπολογίστηκε πριν από κάθε πείραμα. Για τον υπολογισμό της υδραυλικής αγωγιμότητας χρησιμοποιήθηκε η εξίσωση: όπου είναι η ανά μονάδα πλάτους παροχή, είναι η απόσταση μεταξύ των δύο τάφρων, και είναι τα σταθερά βάθη στις τάφρους Α και Β αντίστοιχα. Η εξίσωση 5.1 ισχύει για σταθερή κίνηση του νερού, μέσα σ ένα ελεύθερο υδροφορέα, προς στραγγιστική τάφρο. Επιπλέον η εξίσωση είναι ακριβής και ισχύει ανεξάρτητα από την επιφάνεια διαστάλαξης η οποία δημιουργείται στο τοίχωμα (διάφραγμα) της κατάντη τάφρου Β, και ανεξάρτητα από τη χρήση των παραδοχών Dupuit Forchheimer. Ισχύει όμως ο νόμος του Darcy και αυτό σημαίνει ότι τα αποτελέσματα δεν ισχύουν όταν η κλίση του φορτίου είναι πολύ μεγάλη. Δηλαδή όταν η διαφορά είναι μεγάλη. Μέτρηση της υδραυλικής αγωγιμότητας γινόταν πριν από κάθε πείραμα και οι μονάδες μέτρησης σε όλα τα πειράματα είναι εκατοστά ανά δευτερόλεπτο. 62

75 5.5 Ειδική απόδοση σε νερό του εδάφους Η ειδική απόδοση σε νερό του εδάφους δεν μετρήθηκε πειραματικά. Οι τιμές που χρησιμοποιήθηκαν στις αναλυτικές σχέσεις είναι σύμφωνα με τον Πίνακα 1.2 των Morris και Johnson για τα αμμώδη εδάφη 0,31. Κατά τον υπολογισμό των αναλυτικών λύσεων, η τιμή της ειδικής απόδοσης σε νερό, μεταβάλλεται τέσσερις φορές. Η μεταβολή αυτή γίνεται διότι όπως αναφέρεται στην θεωρία η τιμή της ειδικής απόδοσης μεταβάλλεται ανάλογα με την μεταβολή του ύψους στάθμης. Στην συνέχεια αυτές οι τέσσερις τιμές βελτιώνονται με δοκιμές για κάθε πείραμα ξεχωριστά. Η βελτίωση γίνεται με έλεγχο των διαφορών των τετραγώνων των τιμών, μεταξύ των πειραματικών μετρήσεων και των αναλυτικών λύσεων. Παράλληλα, γίνεται οπτικός έλεγχος των καμπυλών των αναλυτικών λύσεων ώστε να αποφευχθεί ασυνέχεια στην λύση. 63

76 5.6 Διαδικασία εκτέλεσης των πειραμάτων. Η διαδικασία εκτέλεσης των πειραμάτων είναι η ακόλουθη: Αφού προσδιοριστεί η τιμή της υδραυλικής αγωγιμότητας με την μέθοδο που αναφέρεται στην Παράγραφο 5.3, ξεκινά το εκάστοτε πείραμα. Δίνεται η ανάλογη παροχή νερού επιφανειακά ή υπόγεια, ανάλογα με την αρχική συνθήκη του προβλήματος που μελετάται. Στη συνέχεια γίνεται συχνός έλεγχος των ενδείξεων των πιεζομέτρων και στην περίπτωση που δεν διαπιστώνονται μεταβολές με την πάροδο του χρόνου, γίνεται παροχομέτρηση των υπερχιληστών. Αυτό γίνεται με την συλλογή και ογκομέτρηση της ποσότητας του νερού που εκκενώνεται από τους υπερχειλιστές σε ορισμένο χρόνο. Όταν οι διαφορές μεταξύ τριών διαδοχικών μετρήσεων είναι ελάχιστες, βγαίνει ο μέσος όρος της παροχής που εκκενώνεται από τους υπερχειλιστές. Η παροχή που μετράται από τον αριστερό υπερχειλιστή, χρησιμοποιείται κατά τον υπολογισμό των αναλυτικών λύσεων για τα σημεία 1 έως 12, η παροχή που μετράται από τον δεξιό υπερχειλιστή για τα σημεία 14 έως 25, και ο μέσος όρος των παροχών που μετράται από τον αριστερό και τον δεξιό υπερχειλιστή, χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό των αναλυτικών λύσεων του σημείου 13 που είναι στην ισαποχή μεταξύ των στραγγιστικών τάφρων. Στην περίπτωση κατά την οποία έχουμε ταυτόχρονη υπόγεια και επιφανειακή εισροή, γίνεται δύο φορές μέτρηση της παροχής. Πρώτα μετράται η παροχή μόνο με την υπόγεια εισροή, και στην συνέχεια μετράται η παροχή με ταυτόχρονη την υπόγεια και την επιφανειακή εισροή. Η μεταξύ τους διαφορά, είναι προφανώς η επιφανειακή εισροή. Στη συνέχεια μεταβάλλεται η επιφανειακή παροχή ανάλογα με το εκάστοτε πείραμα, και με την χρήση φωτογραφικής μηχανής, αποτυπώνονται οι ενδείξεις των πιεζομέτρων σε τακτά χρονικά διαστήματα. Όταν παρατηρηθεί ότι οι τιμές των πιεζομέτρων δεν μεταβάλλεται με τον χρόνο, τότε το πείραμα τελειώνει και γίνεται εκ νέου μέτρηση της παροχής υπερχείλισης στην αριστερή και την δεξιά τάφρο πριν διακοπεί η τροφοδοσία νερού. Τέλος σημειώνεται ότι για τον υπολογισμό των μεγίστων διαφορών μεταξύ των αναλυτικών λύσεων και των πειραματικών τιμών, το σημείο 15 (x= 155 cm) δεν συμπεριλήφθη μεταξύ των τιμών σύγκρισης, καθώς όπως φαίνεται σε όλα τα πειράματα, υπήρχε σφάλμα στο συγκεκριμένο πιεζόμετρο. 64

77 6 Πορεία Πειραμάτων Αποτελέσματα 6.1 Πρώτο πείραμα Το πρώτο πείραμα παρουσιάστηκε στην Παράγραφο 4.5 και αφορά το πρόβλημα της ασταθούς στράγγισης, όταν στο έδαφος λαμβάνει χώρα μόνο επιφανειακή εισροή και μόνο κατά τη σταθερή περίοδο. Πριν την έναρξη του πειράματος έγινε μέτρηση της υδραυλικής αγωγιμότητας με την μέθοδο που αναφέρεται στην Παράγραφο 5.3 και η οποία έδωσε την τιμή 0, Ο μέσος όρος της τιμής της ειδικής σε νερό απόδοσης είναι Ο μέσος όρος της τιμής της αρχικής εισροής είναι 0,003576, η οποία στο αριστερό τμήμα της δεξαμενής είχε τιμή 0, και στο δεξιό τμήμα 0,003516, ενώ οι τιμές των και είναι 0 και 0. Αυτό σημαίνει ότι στο πρόβλημα αυτό έχουμε μια πτώση της υπόγειας στάθμης από την αρχική θέση (Σχήμα 5.1), η οποία είναι αποτέλεσμα της αρχικής επιφανειακής εισροής, κατά την περίοδο σταθερής ροής, στη θέση. Οι λύσεις του προβλήματος αυτού δίνονται από τις εξισώσεις 4.35, και Κατά την αναλυτική λύση των εξισώσεων, το βάθος της σχέσης 4.35 στον χρόνο 0, υπολογίζεται από την λύση της σταθερής κατάστασης. Στη συνέχεια για όλες τις επόμενες χρονικές στιγμές η τιμή του ήταν η τιμή του που υπολογίστηκε κατά το προηγούμενο βήμα. Παράλληλα για κάθε χρονική στιγμή η τιμή του υπολογίστηκε σε δυο βήματα. Στον ί 6.1 δίνονται συγκριτικά οι πειραματικές τιμές με μπλε χρώμα και οι τιμές τις αναλυτικής λύσης με κόκκινο χρώμα. Στη συνέχεια ακολουθούν συγκριτικά Σχήματα για κάθε θέση, όπου παρουσιάζεται η μεταβολή του ύψους στο χρόνο. 55,00 Ύψος σε εκατοστά 50,00 45,00 Πειραματικά αποτελέσματα Λύση Σταθερής Κατάστασης Μήκος Δεξαμενής σε εκατοστά ή.. : ή ά, 0 65

78 Πίνακας 6.1: Πειραματικές τιμές (μπλε χρώμα) και Αναλυτική λύση (κόκκινο χρώμα) sec sec sec sec sec sec sec 2min 5min 8min 15min 21min 31min 41min 51min A/A X cm ,20 39,00 42,50 44,70 46,70 48,30 49,30 50,30 51,20 51,60 51,70 52,00 52,00 51,80 34,10 39,00 42,30 44,40 46,40 47,90 48,80 49,80 50,60 50,90 51,00 51,20 51,20 51,10 34,00 39,00 42,00 44,00 46,00 47,40 48,30 49,20 50,00 50,30 50,40 50,60 50,60 50,50 33,90 38,90 41,80 43,80 45,60 47,10 48,00 48,90 49,70 50,00 50,10 50,20 50,20 50,10 33,80 38,60 41,50 43,50 45,30 46,70 47,60 48,50 49,20 49,60 49,70 49,80 49,80 49,70 33,80 38,40 41,20 43,10 44,90 46,30 47,20 48,00 48,80 49,00 49,20 49,30 49,30 49,10 33,30 37,80 40,20 42,30 44,00 45,20 46,10 46,90 47,60 47,90 48,00 48,20 48,20 48,00 32,90 37,00 39,40 41,20 42,80 44,00 44,80 45,60 46,30 46,60 46,70 46,80 46,80 46,70 32,00 35,70 37,80 39,40 40,80 42,00 42,80 43,50 44,20 44,40 44,60 44,80 44,80 44,70 31,20 34,70 36,60 38,00 39,40 40,40 41,20 41,90 42,60 42,80 43,00 43,10 43,20 43,10 30,20 32,70 34,20 35,40 36,50 37,50 38,20 38,90 39,50 39,80 40,20 40,20 40,10 29,40 31,50 32,70 33,70 34,60 35,60 36,10 36,80 37,40 37,70 37,90 38,10 38,20 38,10 28,30 29,80 30,60 31,40 32,00 32,60 33,00 33,60 34,10 34,30 34,50 34,70 34,80 34,70 27,40 28,40 29,00 29,40 29,80 30,20 30,40 30,80 31,00 31,20 31,20 31,30 31,30 31,30 26,40 27,30 27,60 28,00 28,20 28,60 28,70 28,90 29,10 29,20 29,20 29,20 29,20 29,20 34,40 38,02 41,95 44,33 46,24 47,79 49,05 50,07 50,88 51,48 51,91 52,16 52,25 52,16 32,67 37,81 41,20 43,75 45,78 47,42 48,75 49,82 50,67 51,30 51,75 52,01 52,10 52,01 32,57 37,65 41,02 43,58 45,61 47,26 48,59 49,67 50,51 51,15 51,60 51,86 51,95 51,86 32,49 37,51 40,86 43,41 45,45 47,10 48,44 49,51 50,36 51,00 51,45 51,72 51,80 51,72 32,42 37,39 40,71 43,25 45,29 46,94 48,28 49,36 50,21 50,85 51,30 51,57 51,66 51,57 32,31 37,18 40,44 42,96 44,98 46,63 47,97 49,06 49,91 50,55 51,01 51,27 51,36 51,27 32,05 36,68 39,80 42,22 44,17 45,78 47,10 48,18 49,03 49,67 50,12 50,39 50,48 50,39 31,66 35,95 38,82 41,06 42,87 44,36 45,60 46,61 47,41 48,02 48,46 48,71 48,80 48,71 31,20 35,07 37,66 39,65 41,27 42,60 43,70 44,59 45,31 45,85 46,24 46,47 46,54 46,47 30,69 34,09 36,35 38,08 39,48 40,62 41,57 42,33 42,94 43,41 43,74 43,93 44,00 43,93 29,77 32,35 34,06 35,37 36,43 37,29 38,00 38,57 39,03 39,38 39,63 39,78 39,82 39,78 29,22 31,32 32,73 33,79 34,65 35,35 35,93 36,40 36,77 37,05 37,25 37,37 37,41 37,37 28,51 29,98 30,99 31,78 32,41 32,93 33,36 33,71 33,99 34,20 34,35 34,44 34,47 34,44 27,75 28,42 28,93 29,35 29,70 29,99 30,24 30,44 30,61 30,73 30,82 30,87 30,89 30,87 27,53 27,91 28,22 28,48 28,70 28,88 29,04 29,17 29,28 29,36 29,41 29,45 29,46 29, ,20 51,20 50,70 50,00 49,20 50,40 50,40 50,00 49,30 48,60 49,80 49,90 49,40 48,70 48,10 49,30 49,50 49,00 48,40 47,70 48,90 49,10 48,60 48,00 47,30 48,30 48,50 48,10 47,40 46,80 47,20 47,40 47,00 46,30 45,70 46,00 46,10 45,80 45,20 44,60 44,00 44,20 43,90 43,30 42,80 42,40 42,70 42,40 41,80 41,30 39,40 39,80 39,50 39,00 38,60 37,60 37,80 37,60 37,00 36,70 34,00 34,40 34,20 33,80 33,50 30,60 31,10 31,00 30,70 30,50 28,40 29,00 28,90 28,70 28,60 51,91 51,48 50,88 50,07 49,05 51,75 51,30 50,67 49,82 48,75 51,60 51,15 50,51 49,67 48,59 51,45 51,00 50,36 49,51 48,44 51,30 50,85 50,21 49,36 48,28 51,01 50,55 49,91 49,06 47,97 50,12 49,67 49,03 48,18 47,10 48,46 48,02 47,41 46,61 45,60 46,24 45,85 45,31 44,59 43,70 43,74 43,41 42,94 42,33 41,57 39,63 39,38 39,03 38,57 38,00 37,25 37,05 36,77 36,40 35,93 34,35 34,20 33,99 33,71 33,36 30,82 30,73 30,61 30,44 30,24 29,41 29,36 29,28 29,17 29, ,30 47,00 44,70 42,80 40,10 34,80 47,60 46,40 44,30 42,40 39,90 34,60 47,20 46,00 43,90 42,00 39,60 34,40 46,80 45,60 43,60 41,80 39,40 34,30 46,40 45,30 43,20 41,50 39,10 34,10 45,90 44,80 42,90 41,10 38,80 34,00 44,90 43,80 42,00 40,20 38,20 33,60 43,80 42,70 41,00 39,40 37,40 33,20 42,00 41,00 39,40 38,00 36,20 32,40 40,70 39,70 38,30 37,00 35,30 31,80 38,00 37,20 35,90 34,80 33,50 30,70 36,10 35,40 34,30 33,30 32,20 29,80 33,10 32,50 31,70 31,00 30,20 28,50 30,20 29,90 29,30 28,90 28,40 27,30 28,50 28,20 27,90 27,60 27,30 26,60 47,79 46,24 44,33 41,95 38,87 34,40 47,42 45,78 43,75 41,20 37,81 32,67 47,26 45,61 43,58 41,02 37,65 32,57 47,10 45,45 43,41 40,86 37,51 32,49 46,94 45,29 43,25 40,71 37,39 32,42 46,63 44,98 42,96 40,44 37,18 32,31 45,78 44,17 42,22 39,80 36,68 32,05 44,36 42,87 41,06 38,82 35,95 31,66 42,60 41,27 39,65 37,66 35,07 31,20 40,62 39,48 38,08 36,35 34,09 30,69 37,29 36,43 35,37 34,06 32,35 29,77 35,35 34,65 33,79 32,73 31,32 29,22 32,93 32,41 31,78 30,99 29,98 28,51 29,99 29,70 29,35 28,93 28,42 27,75 28,88 28,70 28,48 28,22 27,91 27,53 66

79 X= 5cm X= 15cm Πείραματικά αποτελέσματα Αναλυτική λύση Πείραματικά αποτελέσματα Αναλυτική λύση X= 25cm X= 35cm Πείραματικά αποτελέσματα Αναλυτική λύση Πείραματικά αποτελέσματα Αναλυτική λύση Σχήματα 6.1.2, 6.1.3, 6.1.4, 6.1.5: Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 67

80 X= 45cm X= 55cm 50,00 45,00 50,00 45,00 25,00 25, X= 65cm X= 75cm 50,00 45,00 50,00 45,00 25,00 25, Σχήματα 6.1.6, 6.1.7, 6.1.8, 6.1.9: Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 68

81 X= 85cm X= 95cm X= 105cm X= 115cm Σχήματα , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 69

82 X= 125cm X= 135cm 50,00 45,00 50,00 45,00 25,00 25, X= 145cm X= 155cm 50,00 45,00 50,00 45,00 25,00 25, Σχήματα , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 70

83 X= 165cm X= 175cm 50,00 45,00 50,00 45,00 25,00 25, X= 185cm X= 195cm 50,00 45,00 50,00 45,00 25,00 25, Σχήματα , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 71

84 X= 205cm X= 215cm 50,00 45,00 50,00 45,00 25,00 25, X= 225cm X= 235cm 50,00 45,00 50,00 45,00 25,00 25, Σχήματα , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 72

85 X= 245cm 50,00 45,00 25, Πειραματικά αποτελέσματα Αναλυτική λύση Σχήμα : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec Αποτελέσματα Πρώτου πειράματος Οι αναλυτική λύση προσδιορίζει το πρόβλημα με ικανοποιητική ακρίβεια. Παρατηρείται μια διαφορά μεταξύ των πειραματικών μετρήσεων και της αναλυτικής λύσης, κυρίως στην περιοχή κοντά στο μεσοδιάστημα ανάμεσα από τις στραγγιστικές τάφρους, η οποία σε ορισμένες περιπτώσεις αγγίζει τα 3 εκατοστά, το οποίο ποσοστιαία είναι κατά προσέγγιση το 13,6% του ύψους στάθμης. Η διαφορά αυτή μειώνεται με την πάροδο του χρόνου και φτάνει σε σημείο κατά το οποίο η διαφορά αυτή εξαφανίζεται. Ο μέσος όρος των τιμών της ειδικής απόδοσης σε νερό είναι 0,3275, ο οποίος σε σχέση με τον μέσο όρο του πίνακα 1.2 (0,31) παρουσιάζει μια διαφορά της τάξης του 5,65%. 73

86 6.2 Δεύτερο πείραμα Το δεύτερο πρόβλημα παρουσιάστηκε στην Παράγραφο 4.6 και αφορά το πρόβλημα της ασταθούς στράγγισης, όταν στο έδαφος λαμβάνει χώρα μόνο επιφανειακή εισροή και μόνο κατά τη ασταθή περίοδο. Πριν την έναρξη του πειράματος έγινε μέτρηση της υδραυλικής αγωγιμότητας με την μέθοδο που αναφέρεται στην Παράγραφο 5.3 και η οποία έχει την τιμή 0,121. Ο μέσος όρος της τιμής της ειδικής σε νερό απόδοσης είναι Έτσι κατά την σταθερή κατάσταση θα έχουμε 0, 0 (Σχήμα 5.2) και ο μέσος όρος της παροχής που προκαλεί την αστάθεια είναι 0, η οποία στο αριστερό τμήμα της δεξαμενής είναι 0, και στο δεξιό τμήμα 0, Αυτό σημαίνει ότι στο πρόβλημα αυτό έχουμε μια άνοδο της υπόγειας στάθμης από την αρχική θέση, στη θέση, η οποία είναι αποτέλεσμα της επιφανειακής εισροής κατά την ασταθή περίοδο. Οι λύσεις του προβλήματος αυτού δίνονται από την εξίσωση Κατά την αναλυτική λύση των εξισώσεων, το βάθος της σχέσης 4.49 στον χρόνο 0, υπολογίζεται από την σταθερή κατάσταση. Στη συνέχεια για όλες τις επόμενες χρονικές στιγμές η τιμή του ήταν η τιμή του που υπολογίστηκε κατά το προηγούμενο βήμα. Παράλληλα για κάθε χρονική στιγμή η τιμή του υπολογίστηκε σε δυο βήματα. Στον ί 6.2 δίνονται συγκριτικά οι πειραματικές τιμές (μπλε) και οι τιμές τις αναλυτικής λύσης (κόκκινο). Στον ί 6.1 δίνονται συγκριτικά οι πειραματικές τιμές με μπλε χρώμα και οι τιμές τις αναλυτικής λύσης με κόκκινο χρώμα. Στη συνέχεια ακολουθούν συγκριτικά Σχήματα για κάθε θέση, όπου παρουσιάζεται η μεταβολή του ύψους στο χρόνο. Το ίδιο πρόβλημα λύθηκε, στη γραμμική του όμως μορφή, αρχικά τόσο από τον Kraijenhoff van de Leur, όσο και από τον Maasland το ,90 24,80 Ύψος στάθμης σε εκατοστά 24,70 24,60 24,50 24,40 24,30 24,20 24,10 24,00 Πειραματικά αποτελέσματα Λύση σταθερής κατάστασης Μήκος Δεξαμενής σε εκατοστά ή.. : ή ά, 0 74

87 Πίνακας 6.2: Πειραματικές τιμές (μπλε χρώμα) και Αναλυτική λύση (κόκκινο χρώμα) sec sec sec sec sec sec sec 2min 5min 8min 15min 21min 31min 41min 51min A/A X cm ,80 24,80 24,80 24,80 24,80 24,80 24,80 24,80 24,80 24,80 24,80 24,80 24,80 24,80 27,00 27,40 28,40 28,90 29,20 29,60 29,90 30,10 30,20 30,50 30,40 30,30 27,50 28,00 29,20 29,80 30,10 30,60 31,00 31,40 31,70 31,30 31,30 31,90 31,90 31,70 28,00 28,60 30,60 31,00 31,60 32,00 32,50 32,80 32,50 32,60 33,20 33,10 33,00 28,40 29,20 30,60 31,40 31,80 32,50 33,00 33,40 33,90 33,60 33,80 34,30 34,30 34,20 28,70 29,50 31,20 32,00 32,40 33,30 33,70 34,30 34,70 34,60 34,70 35,20 35,30 35,20 29,00 31,60 32,50 33,10 33,90 34,40 35,20 35,30 35,40 36,10 36,10 36,00 29,20 30,20 32,00 33,00 33,70 34,50 35,60 35,90 36,00 36,20 36,80 36,80 36,70 29,40 30,40 32,40 33,40 34,20 35,40 36,20 36,40 36,60 36,80 37,40 37,40 37,30 29,60 30,70 32,70 33,80 34,60 35,40 35,80 36,70 37,00 37,20 37,40 37,90 38,00 37,90 29,80 31,20 33,20 34,40 36,20 36,40 37,60 37,90 38,10 38,30 39,00 39,10 39,00 31,50 33,70 35,50 36,90 37,00 38,30 38,70 39,00 39,20 39,70 39,80 39,70 30,70 32,40 36,50 37,50 38,80 39,00 40,60 41,00 41,30 41,60 42,00 41,80 42,30 30,90 32,70 35,40 37,00 38,00 39,50 39,90 41,40 41,90 42,20 42,60 43,00 42,90 43,40 31,00 33,00 35,60 37,30 38,20 40,60 41,90 42,40 42,90 43,20 43,70 43,60 44,10 24,85 24,83 24,82 24,82 24,82 24,82 24,82 24,82 24,81 24,81 24,81 24,81 24,81 24,81 28,16 30,46 31,36 32,84 33,57 34,11 34,52 34,82 35,05 35,20 35,31 35,37 35,34 35,27 28,27 30,68 31,61 33,24 34,05 34,67 35,15 35,52 35,79 35,99 36,13 36,21 36,18 36,10 28,37 30,87 31,83 33,56 34,42 35,09 35,61 36,01 36,32 36,55 36,70 36,79 36,76 36,68 28,47 31,04 32,04 33,84 34,75 35,47 36,03 36,46 36,80 37,05 37,22 37,32 37,29 37,20 28,55 31,20 32,23 34,11 35,06 35,81 36,41 36,88 37,24 37,51 37,69 37,80 37,78 37,68 28,63 31,35 32,41 34,35 35,35 36,13 36,76 37,26 37,64 37,93 38,12 38,24 38,22 38,12 28,71 31,49 32,58 34,58 35,61 36,43 37,08 37,60 38,01 38,31 38,52 38,64 38,62 38,52 28,75 31,57 32,68 34,71 35,76 36,60 37,27 37,81 38,22 38,53 38,75 38,88 38,85 38,75 28,82 31,69 32,83 34,91 35,99 36,85 37,55 38,10 38,53 38,86 39,08 39,22 39,19 39,09 28,94 31,91 33,10 35,26 36,39 37,30 38,04 38,63 39,09 39,43 39,67 39,82 39,80 39,68 28,99 32,01 33,23 35,42 36,58 37,51 38,27 38,87 39,34 39,70 39,95 40,09 40,07 39,96 29,39 32,71 34,16 36,50 37,80 38,85 39,71 40,40 40,94 41,35 41,63 41,80 41,79 41,66 29,70 33,21 34,92 37,22 38,59 39,70 40,61 41,33 41,91 42,34 42,64 42,82 42,81 42,67 29,93 33,56 35,55 37,67 39,07 40,20 41,12 41,86 42,45 42,89 43,20 43,38 43,36 43, ,80 24,80 24,80 24,80 24,80 29,10 30,20 29,90 29,90 29,30 30,60 31,50 30,90 31,20 30,40 32,00 32,80 32,10 32,30 31,60 33,10 33,90 33,20 33,30 32,50 34,10 34,90 34,10 34,10 33,30 35,60 34,90 34,90 34,00 35,40 36,30 35,50 35,60 34,60 36,10 37,00 36,10 36,00 35,10 36,80 37,50 36,70 36,60 35,60 37,80 38,40 37,70 37,50 36,40 38,70 39,30 38,50 38,20 37,20 41,00 41,80 40,80 40,40 39,30 42,20 42,70 41,80 41,30 40,10 43,00 43,50 42,50 42,00 40,70 24,81 24,81 24,81 24,81 24,82 35,21 35,11 34,95 34,73 34,43 36,02 35,89 35,69 35,42 35,06 36,59 36,44 36,22 35,91 35,51 37,10 36,94 36,69 36,36 35,93 37,57 37,39 37,13 36,77 36,30 38,00 37,81 37,52 37,14 36,65 38,40 38,19 37,89 37,49 36,97 38,62 38,41 38,10 37,69 37,16 38,95 38,73 38,41 37,98 37,43 39,54 39,30 38,96 38,50 37,92 39,81 39,56 39,21 38,74 38,15 41,49 41,20 40,80 40,26 39,58 42,49 42,19 41,76 41,19 40,47 43,05 42,74 42,30 41,72 40, ,80 24,80 24,80 24,80 24,80 24,80 29,60 29,20 28,80 28,30 28,20 27,40 30,50 30,30 29,80 29,00 28,80 27,90 31,20 31,30 30,70 29,70 29,60 28,40 32,10 32,00 31,40 30,40 30,20 28,80 32,80 32,80 32,00 31,00 30,60 29,00 33,50 33,40 32,50 31,40 31,00 29,30 34,00 33,90 33,00 31,80 31,30 29,60 34,50 34,40 33,40 32,20 31,50 29,70 34,70 33,80 32,40 31,80 29,80 35,80 35,50 34,40 33,00 32,20 36,50 36,10 33,40 32,60 30,20 38,50 38,00 36,60 33,70 31,00 39,20 38,60 37,00 35,40 34,00 31,20 39,80 39,20 37,50 35,60 34,40 31,30 24,82 24,82 24,82 24,82 24,83 24,85 34,03 33,49 32,77 31,80 30,41 28,13 34,58 33,97 33,17 32,11 30,63 28,24 34,99 34,33 33,48 32,36 30,82 28,34 35,37 34,67 33,76 32,59 30,99 28,43 35,72 34,97 34,03 32,81 31,15 28,52 36,03 35,25 34,27 33,00 31,29 28,60 36,33 35,51 34,50 33,19 31,43 28,67 36,50 35,67 34,63 33,30 31,51 28,72 36,75 35,89 34,82 33,46 31,63 28,78 37,19 36,29 35,17 33,75 31,85 28,90 37,40 36,48 35,33 33,88 31,95 28,96 38,73 37,69 36,40 34,78 32,64 29,36 39,58 38,48 37,12 35,40 33,14 29,66 40,08 38,95 37,56 35,81 33,49 29,88 75

88 X= 5cm X= 15cm 45,00 25,00 20, Πειραματικά αποτελέσματα Αναλυτική λύση 45,00 25,00 20, X= 25cm X= 35cm 45,00 45,00 25,00 25,00 20,00 20, Σχήματα 6.2.2, 6.2.3, 6.2.4, 6.2.5, : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 76

89 X= 45cm X= 55cm 45,00 45,00 25,00 25,00 20,00 20, X= 65cm X= 75cm 45,00 45,00 25,00 25,00 20,00 20, Σχήματα 6.2.6, 6.2.7, 6.2.8, 6.2.9, : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 77

90 X= 85cm X= 95cm 45,00 45,00 25,00 25,00 20,00 20, X= 105cm X= 115cm 45,00 45,00 25,00 25,00 20,00 20, Σχήματα , , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 78

91 X= 125cm X= 135cm 45,00 45,00 25,00 25,00 20,00 20, X= 145cm X= 155cm 45,00 45,00 25,00 25,00 20,00 20, Σχήματα , , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 79

92 X= 165cm X= 175cm 45,00 25,00 20, ,00 45,00 25,00 20, X= 185cm X= 195cm 45,00 45,00 25,00 25,00 20,00 20, Σχήματα , , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 80

93 X= 205cm X= 215cm 45,00 45,00 25,00 25,00 20,00 20, X= 225cm X= 235cm 45,00 45,00 25,00 25,00 20,00 20, Σχήματα , , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 81

94 X= 245cm 45,00 25,00 20, Πειραματικά αποτελέσματα Αναλυτική λύση Σχήμα : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec Αποτελέσματα Δεύτερου πειράματος Οι αναλυτική λύση προσδιορίζει το πρόβλημα με ικανοποιητική ακρίβεια. Παρατηρείται μια σημαντική διαφορά μεταξύ των πειραματικών μετρήσεων και της αναλυτικής λύσης, στην περιοχή κοντά στο μεσοδιάστημα ανάμεσα από τις στραγγιστικές τάφρους, η οποία σε ορισμένες περιπτώσεις αγγίζει τα 5.3 εκατοστά, το οποίο ποσοστιαία είναι κατά προσέγγιση το 100% του ύψους στάθμης. Η διαφορά αυτή μειώνεται με την πάροδο του χρόνου και φτάνει σε σημείο κατά το οποίο η διαφορά αυτή εξαφανίζεται, καθώς οι τιμές τείνουν να φτάσουν στη νέα σταθερή κατάσταση. Ο μέσος όρος των τιμών της ειδικής απόδοσης σε νερό είναι 0,39, ο οποίος σε σχέση με τον μέσο όρο του Πίνακα 1.2 (0,31) παρουσιάζει μια διαφορά της τάξης του 25,8%. 82

95 6.3 Τρίτο πείραμα Το τρίτο πρόβλημα παρουσιάστηκε στην Παράγραφο 4.7 και αφορά το πρόβλημα της ασταθούς στράγγισης, όταν στο έδαφος λαμβάνει χώρα επιφανειακή εισροή μόνο κατά τη σταθερή περίοδο, καθώς επίσης και υπόγεια εισροή μέσα από το ημιδιαπερατό υπόστρωμα, τόσο κατά τη σταθερή όσο και κατά την ασταθή περίοδο. Πριν την έναρξη του πειράματος έγινε μέτρηση της υδραυλικής αγωγιμότητας με την μέθοδο που αναφέρεται στην Παράγραφο 5.3 και η οποία έχει την τιμή 0,1367. Ο μέσος όρος της τιμής της ειδικής σε νερό απόδοσης είναι Ο μέσος όρος της τιμής της αρχικής επιφανειακής εισροής είναι 0,001554, η οποία στο αριστερό τμήμα της δεξαμενής είναι 0, και στο δεξιό είναι 0,001591, ομοίως ο μέσος όρος της υπόγειας εισροής είναι 0,000926, η οποία στο αριστερό τμήμα είναι 0, και στο δεξιό είναι 0, και 0. Αυτό σημαίνει ότι στο πρόβλημα αυτό έχουμε μια πτώση της υπόγειας στάθμης από την αρχική θέση, η οποία είναι αποτέλεσμα της αθροιστικής αρχικής επιφανειακής εισροής και της υπόγειας εισροής, στη θέση, η οποία εξαρτάται επίσης από τη συνεχιζόμενη υπόγεια εισροή. Οι λύσεις του προβλήματος αυτού δίνονται από την εξίσωση Κατά την αναλυτική λύση των εξισώσεων, το βάθος της σχέσης 4.72 στον χρόνο 0, υπολογίζεται από την σταθερή κατάσταση. Στη συνέχεια για όλες τις επόμενες χρονικές στιγμές η τιμή του ήταν η τιμή του που υπολογίστηκε κατά το προηγούμενο βήμα. Παράλληλα για κάθε χρονική στιγμή η τιμή του υπολογίστηκε σε δυο βήματα. Στον Πίνακα 6.3 δίνονται συγκριτικά οι πειραματικές τιμές (μπλε) και οι τιμές τις αναλυτικής λύσης (κόκκινο). Στη συνέχεια ακολουθούν συγκριτικά Σχήματα για κάθε θέση, όπου παρουσιάζεται η μεταβολή του ύψους στο χρόνο. 83

96 Σταθερή κατάσταση t=0 Ύψος στάθμης σε εκατοστά 43,00 41,00 39,00 37,00 33,00 31,00 29,00 27,00 Πειραματικά αποτελέσματα Λύση σταθερής κατάστασης Μήκος Δεξαμενής σε εκατοστά ή.. : ή ά, 0 84

97 Πίνακας 6.3: Πειραματικές τιμές (μπλε χρώμα) και Αναλυτική λύση (κόκκινο χρώμα) sec sec sec sec sec sec sec 2min 5min 8min 15min 21min 31min 41min 51min A/A X cm ,40 32,60 34,20 32,00 33,50 32,00 33,40 29,90 31,80 33,30 29,80 31,80 33,20 29,80 31,70 33,10 29,50 31,60 33,00 29,50 31,50 33,00 29,50 31,40 32,80 29,50 31,40 32,80 29,50 31,30 32,60 29,40 31,10 32,40 29,10 30,60 31,80 28,90 30,20 31,30 28,40 29,60 30,60 30,12 33,14 35,16 29,60 32,19 33,94 29,56 32,12 33,84 29,53 32,06 33,75 29,50 32,00 33,66 29,47 31,93 33,57 29,44 31,88 33,49 29,41 31,82 33,41 29,36 31,72 33,26 29,33 31,67 33,19 29,28 31,57 33,05 29,23 31,45 32,89 29,04 31,08 32,38 28,80 30,62 31,80 28,69 30,42 31, ,60 34,90 34,60 34,60 34,40 34,30 34,20 34,10 34,00 33,90 33,70 33,60 32,80 32,20 31,40 36,69 35,34 35,22 35,11 35,01 34,91 34,82 34,73 34,56 34,47 34,31 34,13 33,54 32,84 32, ,80 36,00 35,80 35,60 35,50 35,40 35,20 35,20 34,90 34,70 34,50 33,70 33,00 32,00 37,91 36,44 36,31 36,19 36,07 35,96 35,85 35,74 35,55 35,45 35,27 35,06 34,39 33,61 33, ,90 36,90 36,70 36,60 36,40 36,40 36,20 36,10 36,00 35,80 35,60 35,40 34,50 33,80 32,60 38,90 37,35 37,21 37,07 36,94 36,81 36,69 36,58 36,36 36,25 36,05 35,82 35,09 34,23 33, ,70 37,60 37,50 37,30 37,20 37,10 37,00 36,80 36,70 36,60 36,30 36,10 35,20 34,40 33,20 39,71 38,10 37,94 37,79 37,65 37,51 37,38 37,26 37,03 36,91 36,69 36,44 35,65 34,74 34, ,70 38,60 38,50 38,40 38,20 38,10 38,00 37,80 37,70 37,60 37,30 37,00 36,00 35,20 33,90 40,36 38,71 38,54 38,38 38,23 38,08 37,95 37,81 37,57 37,44 37,21 36,95 36,11 35,15 34, ,70 39,60 39,40 39,20 39,20 39,00 38,80 38,70 38,60 38,40 38,20 38,00 36,90 36,00 34,60 40,87 39,19 39,02 38,85 38,69 38,54 38,39 38,25 37,99 37,86 37,62 37,34 36,47 35,47 35, ,10 39,20 39,20 39,20 39,20 39,20 39,00 38,90 38,60 38,40 37,30 36,40 41,26 39,56 39,38 39,20 39,04 38,88 38,73 38,58 38,32 38,18 37,93 37,65 36,74 35,72 35, ,60 40,40 40,30 40,10 39,80 39,70 39,60 39,40 39,30 39,00 38,80 37,80 36,80 35,30 41,53 39,82 39,63 39,45 39,28 39,12 38,97 38,82 38,55 38,41 38,15 37,86 36,94 35,89 35, ,00 40,90 40,60 40,50 40,40 40,20 39,80 39,70 39,40 39,10 38,10 37,20 35,60 41,69 39,97 39,78 39,60 39,43 39,27 39,11 38,96 38,68 38,54 38,28 37,98 37,05 35,99 35, ,00 41,00 40,70 40,60 40,50 40,30 40,10 39,90 39,70 39,50 39,20 38,20 37,20 35,70 41,82 40,07 39,87 39,69 39,51 39,34 39,18 39,03 38,74 38,60 38,33 38,03 37,07 35,98 35, ,00 41,00 40,70 40,60 40,50 40,30 40,10 39,90 39,70 39,50 39,20 38,20 37,20 35,80 41,85 40,06 39,86 39,67 39,50 39,32 39,16 39,00 38,71 38,57 38,29 37,99 37,01 35,89 35, ,20 40,10 39,20 39,20 39,40 39,20 39,20 39,00 39,00 38,70 38,50 37,40 36,50 41,69 39,90 39,71 39,53 39,35 39,18 39,02 38,86 38,58 38,43 38,16 37,86 36,90 35,79 35, ,50 40,40 40,30 39,80 39,60 39,50 39,40 39,20 39,00 38,80 37,80 36,90 35,40 41,41 39,64 39,45 39,27 39,10 38,94 38,78 38,63 38,35 38,21 37,94 37,65 36,70 35,62 35, ,00 39,80 39,60 39,60 39,40 39,20 39,20 39,00 38,90 38,60 38,40 37,40 36,60 35,10 41,02 39,27 39,09 38,92 38,75 38,59 38,44 38,29 38,02 37,89 37,63 37,35 36,43 35,38 34, ,30 39,30 39,20 39,00 38,80 38,70 38,60 38,50 38,30 38,20 38,00 37,70 36,80 36,00 34,60 40,51 38,79 38,61 38,45 38,29 38,14 37,99 37,85 37,60 37,46 37,22 36,95 36,07 35,06 34, ,50 38,50 38,40 38,20 38,00 37,90 37,80 37,70 37,50 37,40 37,20 37,00 36,10 35,40 34,00 39,85 38,17 38,01 37,85 37,71 37,56 37,43 37,30 37,06 36,93 36,70 36,45 35,62 34,65 34, ,60 37,70 37,50 37,40 37,20 37,10 37,00 36,90 36,70 36,60 36,40 36,20 35,40 34,60 33,50 39,04 37,42 37,27 37,13 36,99 36,86 36,73 36,61 36,39 36,27 36,06 35,82 35,05 34,15 33, ,60 36,70 36,60 36,40 36,40 36,20 36,10 36,00 35,90 35,80 35,60 35,40 34,60 34,00 32,90 38,04 36,51 36,37 36,24 36,12 36,00 35,88 35,77 35,57 35,47 35,28 35,06 34,36 33,53 33, ,30 35,50 35,40 35,30 35,20 34,90 34,80 34,70 34,50 34,30 33,60 33,00 32,00 36,80 35,39 35,27 35,16 35,05 34,95 34,85 34,75 34,58 34,49 34,32 34,13 33,51 32,77 32, ,30 34,20 34,10 34,00 33,90 33,80 33,80 33,60 33,60 33,40 33,20 32,60 32,10 31,30 35,25 34,01 33,91 33,82 33,73 33,65 33,56 33,49 33,34 33,27 33,13 32,97 32,45 31,82 31, ,50 33,00 33,00 32,80 32,70 32,60 32,50 32,40 32,40 32,30 32,20 32,00 31,50 31,10 30,40 33,22 32,23 32,15 32,09 32,02 31,96 31,90 31,84 31,73 31,68 31,57 31,46 31,07 30,58 30, ,00 30,50 30,50 30,40 30,40 30,30 30,20 30,20 30,20 30,10 29,80 29,40 29,00 30,16 29,62 29,58 29,54 29,51 29,48 29,45 29,42 29,37 29,34 29,29 29,23 29,03 28,78 28,66 85

98 X= 5cm X= 15cm 45,00 45,00 25,00 20, Πειραματικά αποτελέσματα Αναλυτική λύση 25,00 20, X= 35cm X= 25cm 45,00 45,00 25,00 25,00 20,00 20, Σχήματα 6.3.2, 6.3.3, 6.3.4, 6.3.5, : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 86

99 X= 45cm X= 55cm 45,00 45,00 25,00 25,00 20,00 20, X= 65cm X= 75cm 45,00 45,00 25,00 25,00 20,00 20, Τίτλος άξονα Σχήματα 6.3.6, 6.3.7, 6.3.8, 6.3.9, : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 87

100 X= 85cm X= 95cm 45,00 45,00 25,00 25,00 20,00 20, X= 105cm X= 115cm 45,00 45,00 25,00 25,00 20,00 20, Σχήματα , , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 88

101 X= 125cm X= 135cm 45,00 45,00 25,00 25,00 20,00 20, X= 145cm X= 155cm 45,00 45,00 25,00 25,00 20,00 20, Σχήματα , , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 89

102 X= 165cm X= 175cm 45,00 25,00 20, ,00 45,00 25,00 20, X= 185cm X= 195cm 45,00 45,00 25,00 25,00 20,00 20, Σχήματα , , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 90

103 X= 205cm X= 215cm 45,00 45,00 25,00 25,00 20,00 20, X= 225cm X= 235cm 45,00 45,00 25,00 25,00 20,00 20, Σχήματα , , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 91

104 X= 245cm 45,00 25,00 20, Πειραματικά αποτελέσματα Αναλυτική λύση Σχήμα : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec Αποτελέσματα Τρίτου πειράματος Οι αναλυτική λύση προσδιορίζει το πρόβλημα με μεγάλη ακρίβεια. Δεν παρατηρείται καμία σημαντική διαφορά μεταξύ των πειραματικών μετρήσεων και της αναλυτικής λύσης. μια από τις μεγαλύτερες διαφορές που παρατηρείται βρίσκεται στην περιοχή κοντά στο μεσοδιάστημα ανάμεσα από τις στραγγιστικές τάφρους, η οποία είναι 1,2 εκατοστά, η οποία ποσοστιαία είναι κατά προσέγγιση το 3.5% του ύψους στάθμης. Ο μέσος όρος των τιμών της ειδικής απόδοσης σε νερό είναι 0,445, ο οποίος σε σχέση με τον μέσο όρο του Πίνακα 1.2 (0,31) παρουσιάζει μια διαφορά της τάξης του 43,5%. 92

105 6.4 Τέταρτο πείραμα Το τέταρτο πρόβλημα παρουσιάστηκε στην Παράγραφο 4.8 και αφορά το πρόβλημα της ασταθούς στράγγισης, όταν στο έδαφος λαμβάνει χώρα αρχικά μόνο υπόγεια εισροή κατά τη σταθερή περίοδο, η οποία συνεχίζεται και κατά την ασταθή περίοδο, στην οποία όμως προστίθεται και επιφανειακή εισροή, αποτέλεσμα της οποίας είναι η ασταθής στράγγιση του εδάφους. Πριν την έναρξη του πειράματος έγινε μέτρηση της υδραυλικής αγωγιμότητας με την μέθοδο που αναφέρεται στην Παράγραφο 5.3 και η οποία έδωσε την τιμή 0,129. Ο μέσος όρος της τιμής της ειδικής σε νερό απόδοσης είναι Έτσι στο πρόβλημα αυτό η αρχική επιφανειακή εισροή είναι 0, ο μέσος όρος της αρχικής υπόγειας εισροής είναι 0,001054, η οποία στο αριστερό τμήμα της δεξαμενής είναι 0, και στο δεξιό είναι 0, Κατά την ασταθή κατάσταση ο μέσος όρος της επιφανειακής εισροής είναι 0, η οποία στο αριστερό τμήμα είναι 0, και στο δεξιό είναι 0, Αυτό σημαίνει ότι στο πρόβλημα αυτό έχουμε μια άνοδο της υπόγειας στάθμης από την αρχική θέση, η οποία είναι αποτέλεσμα της αρχικής υπόγειας εισροής, στη θέση, η οποία εξαρτάται τόσο από τη συνεχιζόμενη υπόγεια εισροή, όσο και από την επιφανειακή εισροή. Οι λύσεις του προβλήματος αυτού δίνονται από την εξίσωση Κατά την αναλυτική λύση των εξισώσεων, το βάθος της σχέσης 4.96 στον χρόνο 0, υπολογίζεται από την σταθερή κατάσταση. Στη συνέχεια για όλες τις επόμενες χρονικές στιγμές η τιμή του ήταν η τιμή του που υπολογίστηκε κατά το προηγούμενο βήμα. Παράλληλα για κάθε χρονική στιγμή η τιμή του υπολογίστηκε σε δυο βήματα. Στον Πίνακα 6.4 δίνονται συγκριτικά οι πειραματικές τιμές (μπλε) και οι τιμές τις αναλυτικής λύσης (κόκκινο). Στη συνέχεια ακολουθούν συγκριτικά Σχήματα για κάθε θέση, όπου παρουσιάζεται η μεταβολή του ύψους στο χρόνο.. 93

106 Σταθερή κατάσταση t=0 Ύψος στάθμης σε εκατοστά 43,00 41,00 39,00 37,00 33,00 31,00 29,00 27,00 Πειραματικά αποτελέσματα Λύση σταθερής κατάστασης Μήκος Δεξαμενής σε εκατοστά ή.. : ή ά, 0 94

107 Πίνακας 6.4: Πειραματικές τιμές (μπλε χρώμα) και Αναλυτική λύση (κόκκινο χρώμα) sec sec sec sec sec sec sec 2min 5min 8min 15min 21min 31min 41min 51min A/A X cm ,80 30,70 32,00 29,00 30,80 32,10 29,10 31,00 32,30 29,20 31,20 32,50 29,30 31,30 32,70 29,30 31,40 32,80 29,40 31,50 33,00 29,40 31,70 33,20 29,50 31,70 33,30 29,50 31,80 33,40 29,50 31,80 33,40 29,60 32,00 33,60 29,60 32,10 33,70 29,60 32,10 33,80 29,60 32,10 33,80 28,81 30,68 31,97 29,00 31,01 32,36 29,08 31,17 32,58 29,14 31,30 32,75 29,19 31,40 32,89 29,23 31,50 33,01 29,27 31,58 33,12 29,31 31,65 33,21 29,32 31,68 33,26 29,35 31,74 33,33 29,38 31,79 33,40 29,48 31,99 33,66 29,53 32,08 33,79 29,58 32,17 33,90 29,60 32,20 33, ,00 33,10 33,30 33,60 33,80 34,00 34,20 34,40 34,50 34,60 34,70 34,90 35,10 35,20 32,97 33,38 33,65 33,87 34,04 34,20 34,33 34,45 34,51 34,60 34,67 34,99 35,13 35,25 35, ,70 33,80 34,10 34,40 34,70 35,20 35,30 35,50 35,60 35,70 35,90 36,10 36,20 36,20 33,76 34,19 34,50 34,74 34,95 35,12 35,28 35,41 35,48 35,58 35,67 36,03 36,18 36,31 36, ,30 34,50 34,80 35,10 35,40 35,60 35,80 36,10 36,20 36,30 36,40 36,70 36,90 37,00 37,00 34,41 34,84 35,17 35,44 35,67 35,87 36,04 36,19 36,27 36,38 36,48 36,87 37,04 37,17 37, ,80 35,30 35,60 35,90 36,20 36,50 36,70 36,90 37,00 37,10 37,40 37,60 37,70 37,70 34,94 35,36 35,71 36,01 36,26 36,48 36,66 36,83 36,91 37,03 37,14 37,56 37,74 37,87 37, ,20 35,40 35,70 36,00 36,30 36,60 36,90 37,20 37,30 37,40 37,50 38,00 38,20 38,20 38,30 35,37 35,78 36,15 36,46 36,73 36,96 37,16 37,34 37,43 37,56 37,67 38,11 38,30 38,44 38, ,60 35,80 36,10 36,40 36,70 37,00 37,30 37,70 37,80 37,90 38,00 38,50 38,70 38,80 38,80 35,70 36,12 36,49 36,82 37,10 37,34 37,56 37,74 37,83 37,97 38,09 38,55 38,74 38,89 38, ,90 36,10 36,30 36,70 37,00 37,30 37,60 37,90 38,00 38,20 38,30 38,70 38,90 39,00 39,00 35,96 36,37 36,75 37,08 37,38 37,63 37,85 38,04 38,14 38,28 38,41 38,88 39,08 39,23 39, ,00 36,20 36,50 36,80 37,10 37,40 37,70 38,00 38,30 38,40 38,50 38,80 39,00 39,20 39,20 36,14 36,54 36,92 37,27 37,57 37,83 38,06 38,25 38,35 38,50 38,63 39,11 39,31 39,46 39, ,10 36,30 36,60 37,00 37,30 37,60 37,90 38,20 38,40 38,50 38,70 39,00 39,20 39,40 39,40 36,24 36,64 37,03 37,38 37,68 37,95 38,18 38,38 38,48 38,63 38,76 39,25 39,45 39,60 39, ,20 36,40 36,60 37,00 37,30 37,60 38,00 38,30 38,50 38,60 38,80 39,10 39,30 39,50 39,50 36,33 36,73 37,11 37,46 37,77 38,04 38,27 38,47 38,57 38,72 38,85 39,33 39,54 39,69 39, ,30 36,40 36,60 36,90 37,20 37,60 37,90 38,20 38,50 38,60 38,80 39,10 39,20 39,40 39,40 36,35 36,75 37,13 37,48 37,78 38,04 38,27 38,47 38,57 38,72 38,85 39,33 39,53 39,68 39, ,80 36,00 36,40 36,70 37,00 37,40 37,70 37,90 38,10 38,20 38,30 38,70 38,90 39,00 39,00 36,24 36,64 37,02 37,36 37,66 37,92 38,15 38,34 38,44 38,59 38,72 39,19 39,39 39,54 39, ,90 36,10 36,40 36,70 37,00 37,30 37,60 37,90 38,20 38,40 38,60 38,80 39,00 39,10 39,10 36,06 36,46 36,84 37,18 37,47 37,72 37,94 38,13 38,23 38,37 38,49 38,96 39,16 39,30 39, ,70 35,80 36,10 36,40 36,70 37,00 37,20 37,60 37,80 38,00 38,10 38,50 38,60 38,80 38,80 35,80 36,21 36,58 36,91 37,19 37,43 37,64 37,82 37,92 38,05 38,17 38,63 38,82 38,96 39, ,40 35,50 35,80 36,10 36,30 36,60 36,90 37,30 37,40 37,60 37,70 38,00 38,20 38,30 38,30 35,46 35,88 36,24 36,55 36,82 37,05 37,25 37,42 37,51 37,64 37,75 38,19 38,37 38,51 38, ,10 35,30 35,60 35,90 36,20 36,40 36,80 36,90 37,00 37,20 37,50 37,70 37,80 37,80 35,03 35,45 35,80 36,09 36,34 36,56 36,74 36,91 36,99 37,11 37,22 37,63 37,81 37,95 37, ,40 34,60 34,80 35,10 35,40 35,60 35,90 36,10 36,30 36,40 36,50 36,80 37,00 37,10 37,10 34,50 34,92 35,25 35,52 35,75 35,95 36,12 36,27 36,34 36,46 36,56 36,94 37,11 37,24 37, ,60 33,90 34,20 34,40 34,70 34,90 35,10 35,30 35,60 35,60 35,70 36,00 36,10 36,30 36,30 33,84 34,26 34,57 34,81 35,02 35,19 35,35 35,48 35,55 35,65 35,74 36,09 36,25 36,37 36, ,00 33,20 33,40 33,70 33,90 34,10 34,30 34,40 34,60 34,70 34,80 35,10 35,20 35,20 33,04 33,45 33,72 33,93 34,11 34,26 34,39 34,51 34,57 34,66 34,73 35,04 35,19 35,30 35, ,00 32,20 32,40 32,60 32,80 33,00 33,10 33,20 33,40 33,40 33,50 33,70 33,80 33,80 33,80 32,03 32,42 32,64 32,81 32,96 33,08 33,19 33,29 33,33 33,41 33,47 33,74 33,86 33,96 33, ,60 30,80 31,10 31,20 31,30 31,40 31,50 31,60 31,70 31,80 31,90 32,10 32,20 32,30 32,30 30,72 31,05 31,22 31,34 31,45 31,54 31,62 31,69 31,72 31,78 31,83 32,02 32,12 32,21 32, ,70 28,80 29,00 29,00 29,10 29,20 29,30 29,30 29,30 29,40 29,40 29,40 29,50 29,60 29,60 28,83 29,02 29,10 29,16 29,21 29,25 29,29 29,33 29,34 29,37 29,40 29,50 29,55 29,60 29,62 95

108 29,50 29,00 28,50 28,00 X= 5cm Πειραματικά αποτελέσματα Αναλυτική λύση 32,50 32,00 31,50 31,00 30,50 29,50 29,00 28,50 28,00 X= 15cm 36,00 34,00 33,00 32,00 31,00 X= 35cm 34,50 34,00 33,50 33,00 32,50 32,00 31,50 31,00 30,50 X= 25cm Σχήματα 6.4.2, 6.4.3, 6.4.4, : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 96

109 37,00 36,00 34,00 33,00 32,00 31,00 X= 45cm 38,00 37,00 36,00 34,00 33,00 32,00 31,00 X= 55cm 39,00 38,00 37,00 36,00 34,00 33,00 32,00 31,00 X= 65cm 39,00 38,00 37,00 36,00 34,00 33,00 32,00 31,00 X= 75cm Σχήματα 6.4.6, 6.4.7, 6.4.8, 6.4.9, : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 97

110 X= 85cm X= 95cm 98 38,00 36,00 34,00 32,00 38,00 36,00 34,00 32,00 X= 105cm X= 115cm 42,00 38,00 36,00 34,00 32,00 38,00 36,00 34,00 32,00 Σχήματα , , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec.

111 X= 125cm X= 135cm 42,00 42,00 38,00 36,00 34,00 32,00 38,00 36,00 34,00 32,00 Υψος στάθμης σε cm X= 145cm X= 155cm 42,00 38,00 36,00 34,00 32,00 38,00 36,00 34,00 32,00 99 Σχήματα , , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec.

112 X= 165cm X= 175cm ,00 36,00 34,00 32,00 38,00 36,00 34,00 32,00 X= 185cm X= 195cm 38,00 36,00 34,00 32,00 38,00 36,00 34,00 32,00 Σχήματα , , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec.

113 X= 225cm X= 215cm 34,50 34,00 33,50 33,00 32,50 32,00 31,50 31,00 30,50 36,00 34,00 33,00 32,00 31,00 X= 235cm X= 205cm 37,00 36,00 34,00 33,00 32,00 31,00 32,50 32,00 31,50 31,00 30, Σχήματα , , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec.

114 X= 245cm 29,50 29,00 28,50 28,00 27,50 27,00 Πειραματικά αποτελέσματα Αναλυτική λύση Σχήματα , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec Αποτελέσματα Τέταρτου πειράματος Οι αναλυτική λύση προσδιορίζει το πρόβλημα με μεγάλη ακρίβεια. Δεν παρατηρείται καμία σημαντική διαφορά μεταξύ των πειραματικών μετρήσεων και της αναλυτικής λύσης. μια από τις μεγαλύτερες διαφορές που παρατηρείται βρίσκεται στην περιοχή κοντά στο μεσοδιάστημα ανάμεσα από τις στραγγιστικές τάφρους, της τάξεως των 0,6 εκατοστών, η οποία ποσοστιαία είναι κατά προσέγγιση το 1.55% του ύψους στάθμης. Ο μέσος όρος των τιμών της ειδικής απόδοσης σε νερό είναι 0,355, ο οποίος σε σχέση με τον μέσο όρο του πίνακα 1.2 (0.31) παρουσιάζει μια διαφορά της τάξης του 14,5%. 102

115 6.5 Πέμπτο πείραμα Το πέμπτο πρόβλημα παρουσιάστηκε στην Παράγραφο 4.9 και αφορά το πρόβλημα της ασταθούς στράγγισης, όταν στο έδαφος λαμβάνει χώρα αρχικά τόσο επιφανειακή όσο και υπόγεια εισροή κατά την σταθερή περίοδο. Κατά την ασταθή περίοδο συνεχίζεται η ίδια υπόγεια εισροή ενώ η επιφανειακή παίρνει μια νέα διαφορετική τιμή 0. Αυτό σημαίνει ότι στο πρόβλημα αυτό θα έχουμε μια πτώση της υπόγειας στάθμης, όταν είναι, ή μια άνοδο της υπόγειας στάθμης, όταν είναι. Για τα δυο επιμέρους προβλήματα εκτελέστηκαν δυο διαφορετικά πειράματα. Πριν την έναρξη των πειραμάτων έγινε μέτρηση της υδραυλικής αγωγιμότητας με την μέθοδο που αναφέρεται στην παράγραφο 5.3 και η οποία έχει την τιμή 0,116. Η αρχική θέση της υπόγειας στάθμης είναι αποτέλεσμα του αθροίσματος της αρχικής επιφανειακής εισροής και της υπόγειας εισροής, δηλαδή του όρου. Η θέση της υπόγειας στάθμης, στο χρόνο, εξαρτάται από το άθροισμα της επιφανειακής και της υπόγειας εισροής. 103

116 6.5.1 Περίπτωση κατά την οποία Ύψος στάθμης σε εκατοστά 47,00 42,00 37,00 32,00 Πειραματικά αποτελέσματα Λύση σταθερής κατάστασης 27, Μήκος Δεξαμενής σε εκατοστά ή.. : ή ά, 0 Για την πρώτη περίπτωση κατά την οποία έχουμε ότι: Ο μέσος όρος της τιμής της ειδικής σε νερό απόδοσης είναι Ο μέσος όρος της τιμής της αρχικής επιφανειακής εισροής είναι 0,001032, η οποία στο αριστερό τμήμα της δεξαμενής είναι 0, και στο δεξιό τμήμα είναι 0,001015, ο μέσος όρος της αρχικής υπόγειας εισροής είναι 0,000760, η οποία στο αριστερό τμήμα είναι 0, και στο δεξιό είναι 0,000803, τέλος ο μέσος όρος της επιφανειακής εισροής στην ασταθή κατάσταση είναι 0, η οποία στο αριστερό τμήμα είναι 0, και στο δεξιό είναι 0, Οι λύσεις του προβλήματος αυτού δίνονται από την εξίσωση Κατά την αναλυτική λύση των εξισώσεων, το βάθος της σχέσης στον χρόνο 0, υπολογίζεται από την σταθερή κατάσταση. Στη συνέχεια για όλες τις επόμενες χρονικές στιγμές η τιμή του ήταν η τιμή του που υπολογίστηκε κατά το προηγούμενο βήμα. Παράλληλα για κάθε χρονική στιγμή η τιμή του υπολογίστηκε σε δυο βήματα. Στον Πίνακα 6.5α δίνονται συγκριτικά οι πειραματικές τιμές με μπλε χρώμα και οι τιμές τις αναλυτικής λύσης με κόκκινο χρώμα. Στη συνέχεια ακολουθούν συγκριτικά Σχήματα για κάθε θέση, όπου παρουσιάζεται η μεταβολή του ύψους στο χρόνο. 104

117 Πίνακας 6.5 α: Πειραματικές τιμές (μπλε χρώμα) και Αναλυτική λύση (κόκκινο χρώμα) sec sec sec sec sec sec sec 2min 5min 8min 15min 21min 31min 41min 51min A/A X cm ,70 29,40 29,40 29,30 29,30 29,30 29,30 29,30 29,30 29,30 29,30 29,20 29,20 29,10 29,10 29,79 29,65 29,59 29,54 29,49 29,46 29,42 29,39 29,35 29,32 29,30 29,20 29,13 29,07 29, ,30 34,30 32,10 33,80 32,00 33,70 31,80 33,60 31,80 33,50 31,70 33,40 31,70 33,30 31,70 33,30 31,70 33,30 31,70 33,20 31,60 33,20 31,50 32,90 31,40 32,70 31,20 32,60 31,20 32,60 32,54 34,39 32,31 34,11 32,18 33,94 32,08 33,80 31,99 33,68 31,92 33,57 31,85 33,48 31,78 33,39 31,70 33,28 31,65 33,21 31,60 33,14 31,40 32,87 31,29 32,73 31,16 32,58 31,12 32, ,90 35,30 35,10 34,90 34,80 34,70 34,60 34,60 34,50 34,50 34,40 34,10 33,90 33,70 33,70 35,79 35,50 35,30 35,14 34,87 34,76 34,65 34,52 34,44 34,36 34,04 33,87 33,69 33, ,80 36,40 36,20 36,00 35,80 35,60 35,60 35,50 35,50 35,40 35,40 34,80 34,60 34,50 36,91 36,62 36,39 36,21 36,05 35,90 35,77 35,65 35,50 35,40 35,31 34,96 34,76 34,56 34, ,60 37,30 37,00 36,80 36,70 36,50 36,40 36,30 36,20 36,20 36,10 35,80 35,50 35,30 35,20 37,82 37,53 37,29 37,08 36,90 36,74 36,60 36,47 36,30 36,19 36,09 35,70 35,49 35,28 35, ,20 38,00 37,80 37,60 37,30 37,20 37,10 37,00 37,00 36,90 36,80 36,40 36,10 35,90 35,80 38,56 38,27 38,02 37,80 37,61 37,43 37,27 37,13 36,95 36,83 36,72 36,30 36,08 35,85 35, ,10 38,70 38,40 38,10 37,90 37,70 37,60 37,50 37,40 37,40 37,30 36,90 36,60 36,30 36,30 39,16 38,87 38,61 38,38 38,17 37,99 37,82 37,67 37,47 37,35 37,24 36,79 36,55 36,32 36, ,60 39,10 38,80 38,60 38,40 38,20 38,10 38,00 37,90 37,80 37,70 37,20 37,00 36,70 36,60 39,63 39,35 39,08 38,84 38,62 38,43 38,25 38,09 37,89 37,76 37,64 37,18 36,93 36,69 36, ,50 39,20 38,90 38,70 38,50 38,40 38,30 38,20 38,10 38,00 37,50 37,20 37,00 36,90 39,98 39,70 39,44 39,19 38,97 38,76 38,58 38,41 38,20 38,07 37,95 37,47 37,21 36,97 36, ,20 39,80 39,40 39,20 38,90 38,70 38,60 38,50 38,40 38,30 38,20 37,70 37,50 37,20 37,10 40,23 39,96 39,69 39,44 39,21 39,00 38,81 38,64 38,42 38,28 38,16 37,67 37,41 37,16 37, ,40 39,80 39,60 39,30 39,10 38,90 38,80 38,70 38,60 38,40 38,30 37,90 37,60 37,30 37,20 40,38 40,10 39,83 39,58 39,35 39,14 38,95 38,77 38,55 38,41 38,29 37,79 37,53 37,28 37, ,50 39,80 39,50 39,20 39,10 38,90 38,80 38,70 38,60 38,50 38,00 37,70 37,40 37,40 40,54 40,26 39,99 39,73 39,50 39,29 39,09 38,92 38,70 38,56 38,43 37,93 37,67 37,42 37, ,60 40,10 39,80 39,50 39,30 39,20 39,00 38,90 38,80 38,70 38,60 38,00 37,80 37,50 37,40 40,60 40,32 40,05 39,79 39,56 39,34 39,15 38,98 38,76 38,62 38,49 37,99 37,73 37,48 37, ,10 39,90 39,70 39,40 39,10 38,90 38,70 38,50 38,40 38,30 38,20 37,60 37,30 37,10 37,00 40,45 40,17 39,90 39,64 39,41 39,20 39,01 38,84 38,62 38,48 38,36 37,87 37,61 37,36 37, ,20 39,70 39,40 39,10 38,90 38,70 38,60 38,50 38,40 38,30 38,20 37,70 37,40 37,20 37,10 40,19 39,91 39,64 39,39 39,17 38,96 38,78 38,61 38,40 38,26 38,14 37,66 37,41 37,17 37, ,80 39,20 39,10 38,80 38,60 38,40 38,30 38,20 38,20 38,00 37,90 37,40 37,20 36,90 36,80 39,83 39,55 39,28 39,04 38,82 38,62 38,45 38,29 38,08 37,95 37,83 37,37 37,12 36,88 36, ,40 38,80 38,50 38,30 38,10 37,90 37,80 37,70 37,60 37,50 37,40 37,00 36,80 36,50 36,40 39,36 39,07 38,81 38,57 38,36 38,18 38,01 37,86 37,66 37,53 37,42 36,98 36,74 36,51 36, ,80 38,20 37,90 37,70 37,50 37,40 37,20 37,10 37,10 37,00 36,90 36,50 36,30 36,00 36,00 38,75 38,46 38,20 37,98 37,79 37,61 37,45 37,31 37,13 37,01 36,90 36,48 36,25 36,03 35, ,00 37,50 37,20 37,00 36,80 36,70 36,60 36,50 36,50 36,40 36,30 35,90 35,70 35,50 35,40 38,00 37,71 37,46 37,26 37,08 36,91 36,77 36,64 36,47 36,36 36,26 35,87 35,65 35,44 35, ,10 36,60 36,30 36,10 35,90 35,80 35,80 35,70 35,60 35,60 35,50 35,20 34,90 34,70 34,70 37,08 36,78 36,56 36,37 36,21 36,06 35,93 35,81 35,66 35,56 35,47 35,11 34,91 34,72 34, ,00 35,40 35,20 34,90 34,80 34,70 34,70 34,60 34,60 34,50 34,20 34,00 33,90 33,80 35,94 35,65 35,45 35,28 35,14 35,01 34,90 34,80 34,66 34,58 34,50 34,18 34,01 33,83 33, ,50 34,00 33,80 33,70 33,60 33,50 33,50 33,50 33,40 33,40 33,30 33,00 32,90 32,80 32,70 34,51 34,24 34,07 33,93 33,81 33,71 33,61 33,53 33,42 33,35 33,28 33,02 32,87 32,71 32, ,60 32,20 32,10 31,90 31,80 31,80 31,80 31,80 31,80 31,80 31,70 31,50 31,40 31,30 31,30 32,64 32,40 32,27 32,17 32,09 32,01 31,94 31,88 31,80 31,74 31,69 31,49 31,38 31,25 31, ,80 29,50 29,40 29,40 29,40 29,40 29,40 29,40 29,40 29,40 29,30 29,30 29,20 29,10 29,10 29,84 29,70 29,64 29,59 29,54 29,51 29,47 29,44 29,40 29,37 29,35 29,24 29,18 29,11 29,09 105

118 29,50 29,00 28,50 28,00 X= 5cm Πειραματικά αποτελέσματα Αναλυτική λύση 32,80 32,60 32,40 32,20 32,00 31,80 31,60 31,40 31,20 31,00 X= 15cm X= 35cm X= 25cm 36,50 34,50 36,00 35,50 34,50 34,00 34,00 33,50 33,00 32,50 33,50 32,00 Σχήματα 6.5.2, 6.5.3, 6.5.4, 6.5.5, : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 106

119 X= 45cm X= 55cm 37,50 37,00 36,50 36,00 35,50 34,50 34,00 38,00 37,50 37,00 36,50 36,00 35,50 X= 65cm X= 75cm 39,00 38,50 38,00 37,50 37,00 36,50 36,00 35,50 39,50 39,00 38,50 38,00 37,50 37,00 36,50 36,00 Σχήματα 6.5.6, 6.5.7, 6.5.8, 6.5.9, : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 107

120 39,50 39,00 38,50 38,00 37,50 37,00 36,50 36,00 X= 85cm 40,50 39,50 39,00 38,50 38,00 37,50 37,00 36,50 X= 95cm 40,50 39,50 39,00 38,50 38,00 37,50 37,00 36,50 X= 105cm 41,00 40,50 39,50 39,00 38,50 38,00 37,50 37,00 X= 115cm Σχήματα , , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 108

121 41,00 40,50 39,50 39,00 38,50 38,00 37,50 37,00 X= 125cm 41,00 40,50 39,50 39,00 38,50 38,00 37,50 37,00 X= 135cm 41,00 40,50 39,50 39,00 38,50 38,00 37,50 37,00 36,50 X= 145cm 40,50 39,50 39,00 38,50 38,00 37,50 37,00 36,50 X= 155cm Σχήματα , , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 109

122 39,50 39,00 38,50 38,00 37,50 37,00 36,50 X= 165cm 39,50 39,00 38,50 38,00 37,50 37,00 36,50 36,00 X= 175cm X= 185cm X= 195cm 39,00 38,50 38,00 37,50 37,00 36,50 36,00 35,50 38,50 38,00 37,50 37,00 36,50 36,00 35,50 Σχήματα , , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 110

123 X= 215cm X= 225cm 36,50 36,00 35,50 34,50 34,00 34,50 34,00 33,50 33,00 33,50 32,50 32,80 32,60 32,40 32,20 32,00 31,80 31,60 31,40 31,20 31,00 X= 235cm 37,50 37,00 36,50 36,00 35,50 34,50 X= 205cm Σχήματα , , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec. 111

124 X= 245cm 29,80 29,60 29,40 29,20 29,00 Πειραματικά αποτελέσματα Αναλυτική λύση Σχήμα : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec α Αποτελέσματα Πρώτης περίπτωσης του Πέμπτου πειράματος Οι αναλυτική λύση προσδιορίζει το πρόβλημα με μεγάλη ακρίβεια. Δεν παρατηρείται καμία σημαντική διαφορά μεταξύ των πειραματικών μετρήσεων και της αναλυτικής λύσης. μια από τις μεγαλύτερες διαφορές που παρατηρείται βρίσκεται στην περιοχή κοντά στο μεσοδιάστημα ανάμεσα από τις στραγγιστικές τάφρους, η οποία είναι 0,3 εκατοστά, η οποία ποσοστιαία είναι κατά προσέγγιση το 2% του ύψους στάθμης. Ο μέσος όρος των τιμών της ειδικής απόδοσης σε νερό είναι 0,3575, ο οποίος σε σχέση με τον μέσο όρο του πίνακα 1.2 παρουσιάζει μια διαφορά της τάξης του 15,3%. 112

125 6.5.2 Περίπτωση κατά την οποία Σταθερή κατάσταση Ύψος στάθμης σε εκατοστά 47,00 42,00 37,00 32,00 27,00 Πειραματικά αποτελέσματα Λύση σταθερής κατάστασης Μήκος Δεξαμενής σε εκατοστά ή.. : ή ά, 0 Για την δεύτερη περίπτωση κατά την οποία έχουμε ότι: Ο μέσος όρος της τιμής της ειδικής σε νερό απόδοσης είναι Ο μέσος όρος της τιμής της αρχικής επιφανειακής εισροής είναι 0,000456, η οποία στο αριστερό τμήμα της δεξαμενής είναι 0, και στο δεξιό τμήμα είναι 0,000439, ο μέσος όρος της αρχικής υπόγειας εισροής είναι 0,000842, η οποία στο αριστερό τμήμα είναι 0, και στο δεξιό είναι 0,000866, τέλος ο μέσος όρος της επιφανειακής εισροής στην ασταθή κατάσταση είναι 0, η οποία στο αριστερό τμήμα είναι 0, και στο δεξιό είναι 0, Οι λύσεις του προβλήματος αυτού δίνονται από την εξίσωση Κατά την αναλυτική λύση των εξισώσεων, το βάθος της σχέσης στον χρόνο 0, υπολογίζεται από την σταθερή κατάσταση. Στη συνέχεια για όλες τις επόμενες χρονικές στιγμές η τιμή του ήταν η τιμή του που υπολογίστηκε κατά το προηγούμενο βήμα. Παράλληλα για κάθε χρονική στιγμή η τιμή του υπολογίστηκε σε δυο βήματα. Στον Πίνακα 6.5β δίνονται συγκριτικά οι πειραματικές τιμές με μπλε χρώμα και οι τιμές τις αναλυτικής λύσης με κόκκινο χρώμα. Στη συνέχεια ακολουθούν συγκριτικά Σχήματα για κάθε θέση, όπου παρουσιάζεται η μεταβολή του ύψους στο χρόνο. 113

126 Πίνακας 6.5 β: Πειραματικές τιμές (μπλε χρώμα) και Αναλυτική λύση (κόκκινο χρώμα) sec sec sec sec sec sec sec 2min 5min 8min 15min 21min 31min 41min 51min A/A X cm ,20 31,30 33,00 29,40 31,70 33,30 29,40 31,90 33,50 29,50 32,00 33,60 29,50 32,00 33,70 29,60 32,10 33,80 29,60 32,20 33,90 29,60 32,30 34,00 29,70 32,30 34,00 29,70 32,40 34,10 29,70 32,40 34,20 29,90 32,80 34,40 32,90 34,60 33,00 34,80 30,10 33,10 34,90 29,26 31,54 33,10 29,42 31,81 33,40 29,49 31,95 33,59 29,54 32,06 33,74 29,59 32,16 33,86 29,63 32,24 33,97 29,66 32,31 34,06 29,70 32,37 34,15 29,75 32,47 34,28 29,77 32,53 34,36 29,80 32,58 34,42 29,92 32,80 34,72 29,98 32,92 34,87 30,05 33,03 35,02 30,07 33,08 35, ,00 34,50 34,70 34,90 35,10 35,20 35,30 35,50 35,50 35,60 36,30 36,40 36,50 36,60 34,29 34,61 34,83 35,01 35,17 35,30 35,42 35,53 35,70 35,79 35,87 36,23 36,40 36,55 36, ,10 35,40 35,70 35,80 36,00 36,10 36,20 36,40 36,50 36,60 36,70 37,40 37,60 37,70 37,70 35,24 35,56 35,81 36,01 36,19 36,35 36,49 36,61 36,81 36,91 37,00 37,41 37,60 37,76 37, ,00 36,20 36,40 36,60 36,80 36,90 37,10 37,20 37,40 37,50 37,60 38,40 38,60 38,70 38,70 36,01 36,33 36,59 36,82 37,01 37,19 37,34 37,48 37,70 37,82 37,92 38,36 38,57 38,75 38, ,40 36,80 37,00 37,30 37,40 37,60 37,70 37,90 38,10 38,20 38,30 39,20 39,40 39,50 39,60 36,63 36,95 37,22 37,47 37,68 37,87 38,04 38,19 38,43 38,55 38,67 39,14 39,36 39,55 39, ,20 37,30 37,50 37,80 37,90 38,10 38,30 38,40 38,60 38,80 38,90 39,80 40,20 40,20 37,14 37,45 37,73 37,98 38,21 38,41 38,59 38,76 39,01 39,15 39,27 39,77 40,19 40, ,40 37,70 37,90 38,20 38,40 38,50 38,70 38,90 39,10 39,20 39,30 40,30 40,50 40,70 40,70 37,54 37,84 38,13 38,39 38,63 38,84 39,03 39,21 39,47 39,61 39,74 40,27 40,50 40,70 40, ,70 38,00 38,20 38,50 38,70 38,80 39,00 39,20 39,40 39,60 39,70 40,70 40,90 41,10 41,10 37,84 38,14 38,43 38,70 38,94 39,16 39,36 39,54 39,82 39,97 40,10 40,64 40,88 41,09 41, ,00 38,20 38,40 38,70 38,90 39,10 39,20 39,40 39,70 39,80 39,90 41,00 41,20 41,30 41,40 38,05 38,35 38,64 38,91 39,16 39,39 39,59 39,78 40,06 40,21 40,35 40,90 41,15 41,35 41, ,20 38,30 38,60 38,80 39,00 39,20 39,40 39,50 39,80 39,90 40,10 41,10 41,30 41,50 41,50 38,18 38,47 38,76 39,03 39,29 39,52 39,73 39,92 40,21 40,36 40,49 41,06 41,31 41,51 41, ,30 38,50 38,70 38,90 39,10 39,30 39,50 39,70 39,90 40,10 40,20 41,30 41,50 41,60 41,70 38,26 38,55 38,84 39,11 39,37 39,60 39,81 40,30 40,45 40,59 41,15 41,41 41,61 41, ,30 38,50 38,80 39,00 39,20 39,40 39,60 39,80 40,10 40,30 41,30 41,50 41,70 41,70 38,25 38,54 38,83 39,11 39,37 39,60 39,81 40,29 40,44 40,58 41,15 41,40 41,60 41, ,80 38,00 38,20 38,50 38,70 38,90 39,00 39,20 39,50 39,60 39,70 40,80 41,00 41,10 41,10 38,12 38,42 38,71 38,98 39,24 39,47 39,67 39,86 40,15 40,30 40,43 40,99 41,24 41,44 41, ,00 38,20 38,40 38,70 38,90 39,00 39,20 39,40 39,60 39,80 39,90 40,90 41,10 41,20 41,30 37,91 38,21 38,50 38,77 39,02 39,24 39,44 39,62 39,90 40,05 40,18 40,73 40,97 41,17 41, ,80 37,90 38,10 38,30 38,50 38,70 38,90 39,10 39,30 39,40 39,50 40,50 40,70 40,90 40,90 37,61 37,91 38,20 38,46 38,70 38,92 39,11 39,28 39,55 39,70 39,82 40,35 40,59 40,79 40, ,10 37,50 37,70 37,90 38,10 38,30 38,50 38,60 38,80 39,00 39,10 40,20 40,30 40,40 37,21 37,51 37,80 38,05 38,28 38,49 38,67 38,84 39,09 39,23 39,35 39,85 40,08 40,28 40, ,70 37,00 37,20 37,40 37,60 37,80 37,90 38,10 38,30 38,40 38,50 39,40 39,50 39,70 39,70 36,70 37,01 37,29 37,53 37,75 37,94 38,11 38,26 38,50 38,63 38,74 39,22 39,44 39,63 39, ,00 36,40 36,60 36,80 37,00 37,10 37,20 37,40 37,60 37,70 37,80 38,60 38,70 38,90 38,90 36,07 36,39 36,65 36,88 37,08 37,25 37,41 37,55 37,77 37,89 37,99 38,44 38,64 38,82 38, ,20 35,60 35,80 36,00 36,10 36,30 36,40 36,50 36,70 36,80 36,90 37,60 37,80 37,90 37,90 35,29 35,61 35,87 36,07 36,25 36,41 36,55 36,67 36,87 36,98 37,07 37,47 37,66 37,83 37, ,20 34,50 34,80 35,10 35,20 35,40 35,40 35,60 35,70 35,80 36,40 36,50 36,70 36,70 34,33 34,66 34,89 35,07 35,22 35,36 35,48 35,59 35,76 35,85 35,93 36,29 36,46 36,61 36, ,30 33,40 33,60 33,70 33,80 33,90 34,00 34,10 34,20 34,30 34,40 34,90 35,10 35,20 33,14 33,45 33,64 33,79 33,92 34,03 34,13 34,22 34,36 34,43 34,50 34,80 34,94 35,08 35, ,60 31,80 32,00 32,10 32,10 32,20 32,30 32,30 32,40 32,50 32,50 32,90 33,00 33,10 33,10 31,58 31,85 31,99 32,10 32,19 32,27 32,35 32,41 32,51 32,57 32,62 32,84 32,96 33,07 33, ,30 29,40 29,50 29,50 29,60 29,60 29,60 29,70 29,70 29,70 29,80 30,10 30,10 29,28 29,44 29,51 29,56 29,61 29,65 29,68 29,72 29,77 29,79 29,82 29,94 30,07 30,10 114

127 X= 5cm X= 15cm 30,50 34,00 33,00 32,00 31,00 Πειραματικά αποτελέσματα 29,50 Αναλυτική λύση 29,00 29,00 28,00 28,50 28,00 X= 35cm X= 25cm 36,00 34,00 33,00 32,00 31,00 Τίτλος άξονα 37,00 36,00 34,00 33,00 32,00 31,00 Τίτλος άξονα 115 Σχήματα , , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec.

128 X= 55cm X= 45cm ,00 36,00 34,00 32,00 39,00 38,00 37,00 36,00 34,00 33,00 32,00 31,00 X= 65cm X= 75cm 42,00 42,00 38,00 36,00 34,00 32,00 38,00 36,00 34,00 32,00 Σχήματα , , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec.

129 X= 85cm X= 95cm 42,00 42,00 38,00 36,00 34,00 32,00 38,00 36,00 34,00 32,00 X= 105cm X= 115cm 44,00 42,00 38,00 36,00 34,00 32,00 42,00 38,00 36,00 34,00 32, Σχήματα , , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec.

130 X= 125cm X= 135cm ,00 42,00 38,00 36,00 34,00 32,00 44,00 42,00 38,00 36,00 34,00 32,00 X= 145cm X= 155cm 42,00 38,00 36,00 34,00 32,00 44,00 42,00 38,00 36,00 34,00 32,00 Σχήματα , , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec.

131 X= 165cm X= 175cm 42,00 42,00 38,00 36,00 34,00 32,00 38,00 36,00 34,00 32,00 X= 185cm X= 195cm 38,00 36,00 34,00 32,00 38,00 36,00 34,00 32, Σχήματα , , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec.

132 X= 225cm X= 215cm ,00 34,00 33,00 32,00 31,00 38,00 37,00 36,00 34,00 33,00 32,00 31,00 X= 205cm X= 235cm 39,00 38,00 37,00 36,00 34,00 33,00 32,00 31,00 33,50 33,00 32,50 32,00 31,50 31,00 30,50 Σχήματα , , , , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec.

133 X= 245cm 30,50 29,50 29,00 28,50 28,00 27,50 27,00 Πειραματικά αποτελέσματα Αναλυτική λύση Σχήμα , : Σύγκριση αναλυτικών λύσεων και πειρατικών αποτελεσμάτων., χρόνος σε sec α Αποτελέσματα δεύτερης περίπτωσης του Πέμπτου πειράματος Οι αναλυτική λύση προσδιορίζει το πρόβλημα με μεγάλη ακρίβεια. Δεν παρατηρείται καμία σημαντική διαφορά μεταξύ των πειραματικών μετρήσεων και της αναλυτικής λύσης. μια από τις μεγαλύτερες διαφορές που παρατηρείται βρίσκεται στην περιοχή κοντά στο μεσοδιάστημα ανάμεσα από τις στραγγιστικές τάφρους, η οποία είναι 0,34 εκατοστά, η οποία ποσοστιαία είναι κατά προσέγγιση το 2,2% του ύψους στάθμης. Ο μέσος όρος των τιμών της ειδικής απόδοσης σε νερό είναι 0,405, ο οποίος σε σχέση με τον μέσο όρο του πίνακα 1.2 παρουσιάζει μια διαφορά της τάξης του 30,6%. 121

134 7 Συμπεράσματα Από τα αποτελέσματα των πειραμάτων καταλήγουμε σε ορισμένα συμπεράσματα. Το πλέον προφανές συμπέρασμα είναι ότι όλες οι αναλυτικές λύσεις περιγράφουν το φαινόμενο της ασταθούς στράγγισης με πολύ ικανοποιητική ακρίβεια. Σε όλα τα πειράματα οι τα πειραματικά αποτελέσματα και οι αναλυτικές λύσεις κατά τους πρώτους χρόνους παρουσιάζουν διαφορές οι οποίες όμως ελαττώνονται με την πάροδο του χρόνου και σε μεγάλους χρόνους εξαφανίζονται. Οι διαφορές αυτές είναι πιο έντονες όσο μεγαλύτερες είναι οι μεταβολές, οι οποίες οφείλονται σε μεγάλες διαφορές στην παροχή που χορηγήθηκε κατά την σταθερή κατάσταση και στην μεταβολή αυτών κατά την περίοδο της ασταθούς κατάστασης. Η κύρια αιτία αυτού το φαινομένου είναι η αδράνεια του συστήματος, κατά την οποία κατά τους πρώτους χρόνους μετά την έναρξη των πειραμάτων ενώ για τις αναλυτικές λύσεις το φαινόμενο ξεκινά αμέσως, στην πραγματικότητα για να ξεκινήσει η μεταβολή της κατάστασης πρέπει να περάσει ένα χρονικό διάστημα έως ότου με μεταβολή του φαινομένου μεταφερθεί από το σημείο μεταβολής στην επιφάνεια της υπόγειας στάθμης. Όπως αναφέρεται στην παράγραφο 5.4, η τιμή της ειδικής απόδοσης σε νερό δεν μετρήθηκε πειραματικά, αλλά αρχικά προσδιορίστηκε από τον Πίνακα 1.2 και στην συνέχεια έγιναν μικρές μεταβολές στην τιμή για καλύτερη ταυτοποίηση των καμπυλών. Αυτό που δείχνουν τα αποτελέσματα, είναι ότι αν και οι τιμές που της ειδικής απόδοσης που χρησιμοποιήθηκαν στα πειράματα βρίσκονται εντός των ορίων που δίνονται στον Πίνακα 1.2, στις περισσότερες περιπτώσεις η διαφορά του μέσου όρου και των τιμών που τελικά χρησιμοποιήθηκαν είναι αρκετά μεγάλη, και σε περιπτώσεις αγγίζει το 40%. 7.1 Περεταίρω έρευνα Όπως δείχνουν τα αποτελέσματα η μεγαλύτερες αποκλίσεις συμβαίνουν εξαιτίας της αδράνειας του συστήματος και του μη ασφαλή προσδιορισμού της ειδικής απόδοσης σε νερό. Μια πρόταση για περεταίρω έρευνα είναι ο καλύτερος υπολογισμός της ειδικής απόδοσης σε νερό, όχι σαν ένας αριθμητικός μέσος όρος, ή σαν μια τιμή συναρτήσει της υδραυλικής αγωγιμότητας, αλλά η τιμή να επηρεάζεται από τρείς παράγοντες για τον καλύτερο υπολογισμό της. Οι παράγοντες αυτοί θα πρέπει να είναι, η υδραυλική αγωγιμότητα, το βάθος, και η υγρασία που υπάρχει στο έδαφος σε προηγούμενο χρόνο, δηλαδή ουσιαστικά να γίνεται διάκριση μεταξύ πτώσης ή ανόδου της υπόγειας στάθμης. 122

135 Παράρτημα Ι Πίνακας 1: Τιμές συνάρτησης,, τ 0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01 0,011 0,012 0,013 Fτ 1,000 0,992 0,984 0,976 0,968 0,960 0,952 0,944 0,936 0,928 0,920 0,912 0,904 0,896 1 Fτ 0,000 0,008 0,016 0,024 0,032 0,040 0,048 0,056 0,064 0,072 0,080 0,088 0,096 0,104 τ 0,014 0,015 0,016 0,018 0,02 0,022 0,024 0,025 0,028 0,03 0,033 0,035 0,038 0,04 Fτ 0,888 0,880 0,872 0,856 0,841 0,825 0,810 0,802 0,780 0,765 0,743 0,729 0,708 0,694 1 Fτ 0,112 0,120 0,128 0,144 0,159 0,175 0,190 0,198 0,220 0,235 0,257 0,271 0,292 0,306 τ 0,043 0,045 0,048 0,05 0,053 0,055 0,058 0,06 0,063 0,065 0,068 0,07 0,073 0,075 Fτ 0,674 0,661 0,642 0,630 0,611 0,599 0,582 0,571 0,554 0,543 0,527 0,517 0,502 0,492 1 Fτ 0,326 0,339 0,358 0,370 0,389 0,401 0,418 0,429 0,446 0,457 0,473 0,483 0,498 0,508 τ 0,078 0,08 0,083 0,085 0,088 0,09 0,093 0,095 0,098 0,1 0,11 0,12 0,13 0,14 Fτ 0,478 0,469 0,455 0,446 0,433 0,425 0,412 0,404 0,392 0,385 0,349 0,316 0,286 0,259 1 Fτ 0,522 0,531 0,545 0,554 0,567 0,575 0,588 0,596 0,608 0,615 0,651 0,684 0,714 0,741 τ 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,2 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 Fτ 0,235 0,213 0,193 0,175 0,158 0,143 0,130 0,118 0,107 9,660E 02 8,752E 02 7,930E 02 7,184E 02 6,509E 02 1 Fτ 0,765 0,787 0,807 0,825 0,842 0,857 0,870 0,882 0,893 0,903 0,912 0,921 0,928 0,935 τ 0,29 0,3 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,38 0,4 0,43 0,45 0,48 0,5 0,53 Fτ 5,898E 02 5,343E 02 4,841E 02 4,386E 02 3,974E 02 3,600E 02 3,262E 02 2,426E 02 1,991E 02 1,481E 02 1,216E 02 9,042E 03 7,422E 03 5,520E 03 1 Fτ 0,941 0,947 0,952 0,956 0,960 0,964 0,967 0,976 0,980 0,985 0,988 0,991 0,993 0,994 τ 0,55 0,58 0,6 0,62 0,63 0,65 0,68 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1 Fτ 4,531E 03 3,370E 03 2,766E 03 2,271E 03 2,057E 03 1,689E 03 1,256E 03 1,031E 03 6,295E 04 3,843E 04 2,346E 04 1,432E 04 8,744E 05 5,338E 05 1 Fτ 0,995 0,997 0,997 0,998 0,998 0,998 0,999 0,999 0,999 1,000 1,000 1,000 1,000 1,

136 ,, Πίνακας 2: Τιμές συνάρτησης τ 0 0, , , , , , , , , ,0001 0,0002 0,0003 0,0004 Et 0, , , , , , , , , , , , , , Et 0, , , , , , , , , , , , , , τ 0,0005 0,0006 0,0007 0,0008 0,0009 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 Et 0, , , , , , , , , , , , , , Et 0, , , , , , , , , , , , , , τ 0,01 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015 0,016 0,017 0,018 0,019 0,02 0,021 0,022 0,023 Et 0, , , , , , , , , , , , , , Et 0, , , , , , , , , , , , , , τ 0,024 0,025 0,026 0,027 0,028 0,029 0,03 0,032 0,034 0,036 0,038 0,04 0,042 0,044 Et 0, , , , , , , , , , , , , , Et 0, , , , , , , , , , , , , , τ 0,046 0,048 0,05 0,055 0,06 0,065 0,07 0,075 0,08 0,085 0,09 0,095 0,1 0,11 Et 0, , , , , , , , , , , , , , Et 0, , , , , , , , , , , , , , τ 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 0,2 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25 Et 0, , , , , , , , , , , , , , Et 0, , , , , , , , , , , , , ,93126 τ 0,26 0,27 0,28 0,29 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 Et 0, , , , , , , , , , , , , , Et 0, , , , , , , , , , , , , , τ 0,8 0,85 0,9 0,95 1 Et 0, , , ,87E 05 4,19E 05 1 Et 0, , , , ,

137 Παράρτημα ΙΙ Εικόνα 1: Μοντέλο άμμου στο οποίο έγιναν τα πειράματα. Εικόνα 2: Βάση του μοντέλου άμμου. Έναρξη σωλήνων των πιεζομέτρων 125

138 Εικόνα 3: Σωλήνες προσομοίωσης επιφανειακής άρδευσης. Εικόνα 4: Ενδεικτική φωτογραφία τιμών πειραμάτων. 126