ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΒΟΡΕΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ

Transcript

1 ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΒΟΡΕΙΟΥ ΑΙΓΑΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΘΕΜΑΤΩΝ. Ιωάννης Ράλλης, Σχολικός Σύμβουλος ΠΕ3 με έδρα τη Σάμο.. Πρόδρομος Ελευθερίου, Επίτιμος Σχολικός Σύμβουλος ΠΕ3. 3. Ανδρέας Διαμάντας, Μαθηματικός του Γ.Ε.Λ. Καλλιμασιάς Χίου. 4. Θωμάς Μαμάκος, Μαθηματικός του ου Γ.Ε.Λ. Μυτιλήνης. 5. Νικόλαος Κεφαλάς, Μαθηματικός του Γ.Ε.Λ. Παμφίλων Λέσβου.

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 4 ΜΑΪΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο (,+) και ισχύει f (). Μονάδες 7 Α. Πότε η ευθεία y λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο + ; Μονάδες 4 Α3. Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν για μια συνάρτηση f ισχύει f () για κάθε (,) (, ), τότε η f είναι σταθερή στο (,) (, )». α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα ) β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α. (μονάδες 3) Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι g f και f g, τότε αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες. β) Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [α,β] και f ( ) f ( ), τότε δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές μεταξύ των f ( ) και f ( ). γ) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] με f ( ) f ( ), τότε υπάρχει εφαπτομένη της C f παράλληλη στον άξονα. δ) Υπάρχουν συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα (α,β) οι οποίες έχουν κατακόρυφες ασύμπτωτες. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

3 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ε) Για κάθε ζεύγος συνεχών συναρτήσεων f, g στο ισχύει: f () g()d f ()d g()d Μονάδες 5 = ΘΕΜΑ Β 3 Δίνεται η συνάρτηση f (). Β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει αντίστροφη (μονάδες 3) και να βρείτε το πεδίο ορισμού της f (μονάδες 4). Μονάδες 7 Β. Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: f () f () Β3. Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την ευθεία y = και τις ευθείες = και = λ, λ >, τότε να αποδείξετε ότι: Ε = ln λ + ln3 Β4. Αν το λ αυξάνεται με ρυθμό 3 cm / sec, τότε να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε του ερωτήματος Β3 όταν λ = cm. ΘΕΜΑ Γ Έστω f μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο, της οποίας η δεύτερη παράγωγος είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα. Αν η ευθεία y είναι f ( h) f ( h) εφαπτομένη της C f στο σημείο,f () και lim, τότε: h h Γ. Να αποδείξετε ότι f () και f (). Γ. Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει καμπή στο σημείο. Γ3. α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Μονάδες 4 Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

4 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ β) Να αποδείξετε ότι: F( ) F() F( ) για κάθε, όπου F μια παράγουσα της f στο. Γ4. Αν επιπλέον ισχύει: f () 6 3 για κάθε, όπου, 3 τότε να αποδείξετε ότι f () 3 3. Μονάδες 5 Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Δ Στο διπλανό σχήμα έχουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f () e, και g() ln, (, ). Θεωρούμε τη συνάρτηση H() f () g(), >. Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό, τέτοιο, ώστε: H ( ). Μονάδες 8 Δ. Να αποδείξετε ότι στο σημείο o του ερωτήματος Δ η κατακόρυφη απόσταση (ΑΒ), όπου Α(,e ) και B(,ln), παίρνει τη μικρότερη τιμή, η οποία δίνεται από τη σχέση: Δ3. Να αποδείξετε ότι: H( ). H() > για κάθε > (μονάδες 4) και Δ4. Να αποδείξετε ότι: H() για κάθε > (μονάδες ) και να λύσετε την ανίσωση: e (μονάδες ). e ln e ln d (μονάδες 3). Α Β y e y ln Μονάδες 7 Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

5 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΟΔΗΓΙΕΣ. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μην γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Δυνατή αποχώρηση : Μια () ώρα μετά την έναρξη της εξέτασης KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

6 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία. Σχολικό βιβλίο σελ. 6. Α. Θεωρία. Σχολικό βιβλίο σελ. 6 (Ορισμός). Α3. α. Ψ β. Αντιπαράδειγμα: Σχολικό βιβλίο σελ. 34. Α4. Σ, Σ, Σ, Σ, Λ ΘΕΜΑ B B. Είναι f () 6 4, οπότε f () στο (,) (, ) και f συνεχής στο. Άρα η f είναι γν. αύξουσα στο. Επομένως η f είναι και, οπότε αντιστρέφεται. Πεδίο ορισμού της f είναι το f (A). Όμως f (A) lim f (), lim f () 3 3 lim, lim lim, lim,. Επομένως η ορισμού το. 3 f (), που ισχύει. 3 B. f f () f () f f () f (), που ισχύει από το προηγούμενο. B3. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι 3 f έχει πεδίο E f () d d d ln ln ln3. B4. Το λ άρα και το εμβαδόν Ε είναι συνάρτηση του χρόνου t και επομένως έχουμε E(t) ln (t) ln 3. (t) (t) (t) 3 6 (t) Άρα E (t) ln (t) (). (t) (t) (t) Τη χρονική στιγμή t έχουμε (t ). 6 (t ) 6 Η () για t t δίνει E (t ) cm / sec. (t ) 6 ΘΕΜΑ Γ Γ. Αφού η ε: y είναι η εφαπτομένη της C f στο σημείο,f (), θα είναι f () και f (). f ( h) f ( h) Γ. Επειδή lim με De L Hospital έχουμε ότι f () h h

7 Επειδή f () και η f είναι γνησίως αύξουσα θα ισχύει f () για και f () για. Άρα η f παρουσιάζει καμπή στο. Γ3. α. Για έχουμε f () και για έχουμε f (), οπότε η f γν. αύξουσα στο [, ) και γν. φθίνουσα στο (,]. Επομένως η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο, δηλ. f () f (), για. Άρα η f είναι γν. αύξουσα στο, λόγω συνέχειας στο. β. Η ζητούμενη σχέση προκύπτει από την εφαρμογή του Θ.Μ.Τ στα διαστήματα,, και λαμβάνοντας υπόψη τη μονοτονία της f. και Γ4. Για έχουμε 6 6, οπότε α =, γιατί α >. Επομένως f () 6 3( ) και η συνάρτηση f () 6 συνεχής, διατηρεί σταθερό πρόσημο και είναι θετική για =. Άρα f () 6, για κάθε. Συνεπώς f () 6 3( ). 3 Έχουμε: f () 6 3( ) f () 6 3 κ.λ.π. ΘΕΜΑ Δ Δ. Αφού H() f () g(), έχουμε H () e Η H είναι συνεχής στο,, H e και σύμφωνα με το Θ. Bolzano υπάρχει, με H ( ). H () e, άρα η H, άρα το είναι μοναδικό. Δ. Η κατακόρυφη απόσταση (AB) e ln e ln, γιατί e H e, οπότε ln. Δ3. H H () H ( ), οπότε H στο [, ) H H () H ( ) οπότε H στο (, ] Άρα η H παρουσιάζει στο ολικό ελάχιστο το H( ) e ln. Έχουμε: H ( ) e e ln e ln ln, οπότε H( ). Απόδειξη της Η()>. ος τρόπος. Είναι H() H( ). Όμως H( ) ( ), που ισχύει γιατί αφού,

8 ος τρόπος. e, > e, > e -ln>, > ln -, > -ln -, > e ln e ln e ln, d d H() H() H () e ln e e ln e H() e, ύ. Δ4. e e ln e ln e H() e () Έστω () H(). Είναι (), οπότε η στο (,+). () () e () ().