ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5

Transcript

1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ ο Α. α)αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο ο, να αποδείξετε ότι είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό.,5 β) Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f στο σηµείο Α( ο, f( o )). Μονάδες 4 B. α) Αν z=+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ),5 β) Αν z =ρ (συνθ + iηµθ ), z =ρ (συνθ + iηµθ ) είναι η τριγωνοµετρική µορφή των µιγαδικών z, z και z =z, τότε ) ρ =ρ και θ +θ =0. ) ρ +ρ =0 και θ =θ +kπ, k Z. 3) ρ =ρ και θ θ =kπ, k Z. 4) ρ ρ =0 και θ +θ =kπ, k Z. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ ο ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z = i και z=3+4i z α) Αν = + yi,,y IR, να αποδείξετε ότι = και z y=. β) Αν µια ρίζα της εξίσωσης +β+γ=0, όπου β,γ IR, είναι η z, να βρείτε τις τιµές των β και γ. z γ) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των µιγαδικών αριθµών z για τους οποίους ισχύει z z = z Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η συνάρτηση f() = α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο που τέµνει τον άξονα y y. 4. Μονάδες 7 β) Να βρείτε τις ασύµπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Μονάδες 9 γ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα των και τις ευθείες =0, =. Μονάδες 9

3 ΘΕΜΑ 4ο ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f : ( 0,+ ) οποία ισχύουν f() = 0 και f () f() =, για κάθε (0, + ). ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ IR για την f() α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h () = είναι γνησίως αύξουσα στο ( 0, + ). Μονάδες 7 β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. γ) Να βρείτε το lim (ln ) f(t) dt Μονάδες 0 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόµενους). Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, εξεταζόµενο µάθηµα). Τα θέµατα να µην τα αντιγράψετε στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοτυπιών αµέσως µόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καµιά άλλη σηµείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τις φωτοτυπίες. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε απάντηση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοτυπιών. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μία () ώρα µετά τη διανοµή των φωτοτυπιών KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ

4 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 003 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ ο α) Έστω Α ένα υποσύνολο του IR και µία συνάρτηση f : A RI, µε πεδίο ορισµού του Α. Πότε η f λέγεται συνάρτηση -; β) Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η f είναι συνεχής στο και f ()=0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστηµα. Μονάδες γ) Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθµούς,, 3, 4 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθµό να σηµειώσετε την ένδειξη (Σ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι λανθασµένη.. z + z = z + z. z z = z z 3. z > z z z z 4. = z z όπου z =α+βi και z = γ+δi είναι µιγαδικοί αριθµοί. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

5 ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f() = 3 + ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ,, > 3 4 α) Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο 0 =. 3 4 β)να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιµη στο 0 =. 3 Μονάδες 0 4 γ) Για, να βρείτε την f () και να λύσετε την 3 εξίσωση f() + f () =. Μονάδες 0 ΘΕΜΑ 3ο ίνεται η συνάρτηση f µε f(z) = αριθµός µε z 0. α) Αν () z f( z ) z + i z, όπου z µιγαδικός f =, να αποδείξετε ότι o z είναι πραγµατικός αριθµός. Μονάδες 6 β) Αν f () z =, να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του z στο µιγαδικό επίπεδο. Μονάδες 9 γ) Αν Re ( (z)) f =, να αποδείξετε ότι οι εικόνες του µιγαδικού αριθµού z, βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα. Μονάδες 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

6 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 4 ο ίνεται η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιµη στο IR, για την οποία υποθέτουµε ότι ισχύει f(0)=0 και ότι η f είναι 0, + : γνησίως αύξουσα στο διάστηµα ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε >0 υπάρχει ξ (0, ) τέτοιος ώστε f() = f (ξ). Μονάδες 6 f() β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h() = + e, >0 είναι συνάρτηση - στο διάστηµα ( 0, + ). Μονάδες 0 5 γ) Αν h() = e + +, να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα e I = f( + ) d. Μονάδες 9 Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόµενους). Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, εξεταζόµενο µάθηµα). Τα θέµατα να µην τα αντιγράψετε στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοτυπιών αµέσως µόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε καµιά άλλη σηµείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τις φωτοτυπίες. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε απάντηση επιστηµονικά τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοτυπιών. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μία () ώρα µετά τη διανοµή των φωτοτυπιών. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

7 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() = F() + c, c ΙR., είναι παράγουσες της f στο και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο παίρνει τη µορφή G() = F() + c, c ΙR.. Μονάδες 0 B. Έστω Α ένα υποσύνολο του ΙR., f µ ια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α και 0 A. Πότε θα λέµε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει στο 0 (ολικό) µέγιστο, το f( 0 ); Για καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις Γ,, Ε, ΣΤ και Ζ να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη Σ, αν η πρόταση είναι Σωστή, ή Λ, αν αυτή είναι Λανθασµένη. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

8 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο 0 του πεδίου ορισµού της, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Μονάδες Ε. Ισχύει ο τύπος ηµd = συν + c Μονάδες ΣΤ. Έστω µια συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Θα λέµε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο, αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του. Μονάδες Ζ. Έστω µια - συνάρτηση f και C, C οι γραφικές παραστάσεις των f και f - στο ίδιο σύστηµα αξόνων. Τότε οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f - είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία y=. Μονάδες ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση f() = α, 0 + β, 0 < < + ln, όπου α, β ΙR.. α) Να βρείτε τα α και β έτσι ώστε η f να είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της. β) Αν, για τους πραγµατικούς αριθµούς α και β, ισχύει: α= και β=0, τότε: i) Να υπολογίσετε το lim + f() Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

9 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ii) Να υπολογίσετε τα όρια : lim + f() f(), lim f() f() ΘΕΜΑ 3ο Έστω z µιγαδικός αριθµός, µε z ±i και z w =. z + α) Να αποδείξετε ότι αν ο w είναι πραγµατικός, τότε ο z είναι πραγµατικός ή z =. Μονάδες 0 β) Να λύσετε, στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών, την z 3 εξίσωση =. z + 3 Μονάδες 0 γ) Αν z, z είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήµατος (β), να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: (z 3 z ) i Κ=. 4 + (z + z) ΘΕΜΑ 4ο ίνεται η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το διάστηµα = (0, + ) για την οποία ισχύει: f() = + + f(t)dt,. α) Να υπολογίσετε το f(). Μονάδες 3 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

10 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β) Να αποδείξετε ότι f () = 3. γ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. Μονάδες 0 Μονάδες 6 δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες = και =4. Μονάδες 6 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, εξεταζόµενο µάθηµα). Να µην αντιγράψετε τα θέµατα στο τετράδιό σας.. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως µόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σηµείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν µετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε απάντηση τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μία () ώρα µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

11 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 3 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ ο α) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο 0, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες 0 β) Έστω Μ(, y) η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z=+yi στο μιγαδικό επίπεδο. Τι ορίζουμε ως μέτρο του z; γ) Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς,, 3, 4 και 5 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθμό να σημειώσετε την ένδειξη (Σ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι λανθασμένη.. Αν z μιγαδικός αριθμός και z ο συζυγής του, τότε ισχύει z = z z. Μονάδες. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο 0, τότε ισχύει lim 0 f() = lim f() Ισχύει (ημ) = συν. Μονάδες Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

12 4. Ισχύει e d = e + c ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ, c IR. Μονάδες 5. Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α,β], τότε η f παίρνει στο [α,β] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m. ΘΕΜΑ ο ίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z = 3+i και z = -3i. z α) Να αποδείξετε ότι = i και z β) Να αποδείξετε ότι z + z = γ) Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό kz iz w =, k IR { }. z kz iz + = 0. z Μονάδες Να αποδείξετε ότι για κάθε k IR { } ισχύει Ιm(w) =. ΘΕΜΑ 3ο Θεωρούμε τη συνάρτηση α + e, 0 f()= όπου α IR. ln, 0 Μονάδες 9 A) Να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό α ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο 0 =0. B) Αν για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει α = : Mονάδες 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

13 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ i) Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 =0. ii) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f. iii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και τις ευθείες = και =e. ΘΕΜΑ 4 ο Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ln + e, (, + ). α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, + ). β) Να βρεθούν τα όρια ln e lim, + lim, + lim f() +. Μονάδες 6 Μονάδες 6 γ) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση f()=005 έχει μοναδική λύση στο διάστημα (, + ). Μονάδες 6 = e f(e) f ()d. f() τιμή της παράστασης Π ln. δ) Έστω Π f() d + Να υπολογίσετε την Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

14 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοτυπιών αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τις φωτοτυπίες. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοτυπιών. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοτυπιών. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

15 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΕΙΣ (4) ΘΕΜΑ ο α) Έστω η συνάρτηση f ( ) =. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (0,+ ) και ισχύει f ( ) =. Μονάδες 0 β) Έστω μία συνάρτηση f και το σημείο 0 του πεδίου ορισμού της. Πότε θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο 0 ; γ) Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς,, 3, 4 και 5 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθμό να σημειώσετε την ένδειξη (Σ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι λανθασμένη.. Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει : z +. z z + z z z Μονάδες. Έστω η συνάρτηση f () = εφ. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R = R { συν = 0 } και ισχύει f () =. συν Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

16 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 3. Αν lim f( ) < 0 0, τότε f ( ) < 0 κοντά στο 0. Μονάδες 4. συνd = ημ+ c. Μονάδες 5. Αν για μία συνάρτηση f, συνεχή στο διάστημα [α,β] β ισχύει f ( ) 0 για κάθε [ α,β], τότε f()d 0. Μονάδες ΘΕΜΑ ο Έστω ότι για τον μιγαδικό αριθμό z ισχύει: α ( 5 ) 5 = ( z 5 ) 5 z. α) Να δείξετε ότι 5z = z 5. β) Να δείξετε ότι: z =. Μονάδες 0 γ) Αν w = 5 z+, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ(w) στο μιγαδικό επίπεδο. Μονάδες 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

17 ΘΕΜΑ 3ο ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ίνεται η συνάρτηση ( ) = ln( 5) + f. α) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f; Mονάδες 6 β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. Μονάδες 7 Μονάδες 6 δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()=006 έχει μοναδική λύση στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ΘΕΜΑ 4 ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f ( ) = + f( t)dt 3, R α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση ( ) σταθερή. β) Να αποδειχθεί ότι ( ) f 0 = 3e. Μονάδες 6 ( ) f Φ = είναι e γ) Nα βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου Ε(λ) που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα και τις ευθείες =0, =λ με λ>0. Μονάδες 0 δ) Να βρεθεί το lim λ 0 + Ε( λ) λ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

18 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοτυπιών αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τις φωτοτυπίες. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοτυπιών. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοτυπιών. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

19 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ ο Α.. Έστω η συνάρτηση f()=ημ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: f ()=συν. Μονάδες 0. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς,, 3, 4 και 5 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθμό να σημειώσετε την ένδειξη (Σ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι λανθασμένη.. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z και κάθε θετικό ακέραιο ν, ισχύει: ν z = ν z. Μονάδες συν. Ισχύει: lim =. 0 Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

20 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 3. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ ένα εσωτερικό σημείο 0 ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της, τότε η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0. Μονάδες 4. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο 0 και g( 0 ) 0, τότε και η συνάρτηση g f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και ισχύει: f f (0)g(0) f (0)g ( ( 0 ) = g [ g( )] 0 0 ). Μονάδες 5. Για κάθε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα, ισχύει: ΘΕΜΑ ο f ()d = f () + c, c. ίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z =i, z = και z 3 =+i. Μονάδες α. Να αποδείξετε ότι: z z3 z + =. β. Αν για το μιγαδικό z ισχύει z z = z z, τότε να αποδείξετε ότι: i. Re (z) = Im (z). Μονάδες 0 ii. για z 0, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης z z A = z + z. Μονάδες 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

21 ΘΕΜΑ 3ο ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ f. 4 ίνεται η συνάρτηση ( ) = ln +, ( 0, + ) α. Να αποδείξετε ότι: f e 5 > 0, f < 0 4 και f 5 ( e ) > 0. Mονάδες 6 β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σημείο Μ(, f()). γ. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f. Μονάδες 4 δ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f() = 0 έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα (0, + ). ΘΕΜΑ 4ο Μονάδες 0 Έστω f μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο, για την οποία 3 ισχύει f () f () = 4e και f(0) =. α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι σταθερή. =. e β. Να αποδείξετε ότι: f ( ) e + 3 h() = e γ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: lim δ. Να βρείτε το + I(). f () e 4 Μονάδες 6 I() = f (t) dt 0 Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

22 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοτυπιών αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τις φωτοτυπίες. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοτυπιών. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοτυπιών. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

23 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 8 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ ο Α. α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο 0, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο 0, και ισχύει: ( f + g) ( 0 ) = f ( 0 ) + g ( 0 ). Μονάδες 0 β. Πότε η ευθεία = 0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f; Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς,, 3, 4 και 5 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθμό να σημειώσετε τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.. Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους. Μονάδες. Κάθε συνάρτηση που είναι - είναι γνησίως μονότονη. Μονάδες ημ 3. Ισχύει: lim = 0. 0 Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

24 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 4. Η συνάρτηση f () = ln, *, είναι παραγωγίσιμη στο * και ισχύει (ln ) =. Μονάδες α+ α 5. Ισχύει: d = + c, όπου α, c είναι πραγματικοί α + αριθμοί και α -. Μονάδες ΘΕΜΑ ο ίνεται ο μιγαδικός αριθμός i (i 3) z =. + i α. Να αποδείξετε ότι: z = + i, z = i, z 3 = + i. Μονάδες 9 z 3 β. Αν Α, Β, Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών z, z,, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Μονάδες 9 γ. Να αποδείξετε ότι: ΘΕΜΑ 3ο 3 z z = z + z + z + z. α 3 Μονάδες 7 ίνεται η συνάρτηση f () = e, όπου α. α. Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο Α(0, f(0)) να είναι παράλληλη στην ευθεία y=e. Μονάδες 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

25 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β. Για α=-, i. να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, Μονάδες 0 ii. να αποδείξετε ότι ο άξονας ασύμπτωτη της C f στο. είναι οριζόντια ΘΕΜΑ 4ο ίνονται οι συναρτήσεις α. Να αποδείξετε ότι: f() = - και g() = ln, >0. f() g(), για κάθε >0. Mονάδες 8 β. Αν h() = f()-g(), τότε: i. Να αποδείξετε ότι: 0 h() e-, για κάθε [, e]. Μονάδες 7 ii. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h, τον άξονα και τις ευθείες = και = e. iii. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα e [ h() + ] h () d I = e. h () ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

26 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνον με μπλε ή μαύρο στυλό διαρκείας και μόνον ανεξίτηλης μελάνης. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

27 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο 0, τότε να αποδείξετε ότι είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες 0 Α. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή στο ; Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν z, τότε z ) = ( ν ( ) ν z, ν * β. Αν f, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ho(gof), τότε ορίζεται και η (hog)of και ισχύει ho(gof) = (hog)of συν - γ. lim = 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

28 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ δ. Αν η f είναι συνεχής σε ένα διάστημα και α, β, γ, β τότε ισχύει f ()d = f ()d + ε. Αν 0<α<, τότε lim α = 0 α γ α β γ f ()d Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β Έστω 4 w = z +, όπου z μιγαδικός αριθμός με z 0 z Β. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z και z για τους οποίους ισχύει w= Μονάδες 6 Β. Αν z = +i 3 και z = -i 3 είναι οι μιγαδικοί αριθμοί που βρήκατε στο ερώτημα Β, τότε να αποδείξετε ότι 3 3 z = = z - 8 Μονάδες 6 Β3. Αν z και z είναι οι μιγαδικοί αριθμοί του προηγούμενου ερωτήματος, τότε να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, z και z 3 3 = 4 z στο μιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου. Β4. Αν z =, τότε να αποδείξετε ότι ο αριθμός w είναι πραγματικός. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

29 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f() = - ln(e +), Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κοίλη. Μονάδες 7 Γ3. Να αποδείξετε ότι: f () < f() + ln, για κάθε (0,+ ) Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (-,+ ) για την οποία ισχύει: f (t) dt = ( ln( ) ), > ln( + ). Να αποδείξετε ότι f () =, > - + Μονάδες 6. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να αποδείξετε ότι: (+) e e +, για κάθε > - Μονάδες 6 3. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα και την ευθεία = e- Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

30 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 4. Να αποδείξετε ότι: (+) = + f() = f(), >- και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η εξίσωση (+) = +, >- έχει δύο ακριβώς λύσεις, τις = και =3 Μονάδες 7 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν μετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων και όχι πριν τις 7:00. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

31 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 4 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f()=, 0 είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ) με f ()= Μονάδες 0 Α. Πότε μια συνάρτηση f: A λέγεται συνάρτηση -; Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν z, τότε z-z = Im(z) β. Αν είναι lim f () = 0, τότε lim f () = 0 + γ. Ισχύει ( εφ ) =- συν, - { / συν = 0} δ. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο 0 και g( 0 ) 0, τότε και η συνάρτηση g f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και ισχύει: ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

32 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ f g ( 0 )= f ( )g( ) f( )g ( 0 0 ( g( )) ) ε. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και f() 0 για κάθε [α, β], τότε ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ β α f () d 0 Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει i z = Β. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο κύκλος που έχει κέντρο το σημείο Κ (0, ) και ακτίνα ρ= Μονάδες 9 Β. Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z να αποδείξετε ότι z Β3. Αν z, z είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z με z z = και Α, Β οι εικόνες των z, z αντίστοιχα, τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΑΒ, όπου Κ(0, ), είναι ορθογώνιο. ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f() = e, Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Γ. Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή.

33 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f()=, έχει ακριβώς μια ρίζα, το 0 Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες y= και = ΘΕΜΑ Μονάδες 7 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: για την οποία ισχύουν: f() lim = f(0)= και η f είναι γνησίως αύξουσα. Να αποδείξετε ότι f() = f () =. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ (0, ) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (ξ, f(ξ)) να είναι παράλληλη προς τον άξονα 3. Να αποδείξετε ότι f() f(ξ) για κάθε Μονάδες 4 4. Αν επιπλέον δίνεται ότι f(ξ)>0, τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (t)dt =, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, ) ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

34 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν μετά το πέρας της εξέτασης. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων και όχι πριν τις 7:00. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

35 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 0 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z,z ισχύει: z z = z z Μονάδες 0 Α. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Βolzano. Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν z,z είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί με z z z z = z z, τότε η εξίσωση παριστάνει τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία A(z ) και B(z ) β Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=. f γ. Αν 0< α < τότε lim α + = + δ. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ ένα σημείο 0 είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε η f ε. Αν f: [ αβ, ] R είναι συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει f() 0 για κάθε [ α, β], τότε: β α f()d 0 Μονάδες 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

36 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: Re = z Β. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι κύκλος με κέντρο K(, 0) και ακτίνα ρ =, εκτός από ένα σημείο του (μονάδες 7). Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου αυτού (μονάδες ). Μονάδες 9 Β. Αν z,z είναι δύο από τους μιγαδικούς αριθμούς του ερωτήματος Β, να αποδείξετε ότι: z+ z 4 Β3. Από τους μιγαδικούς αριθμούς z του ερωτήματος Β, να βρεθούν εκείνοι για τους οποίους ισχύει: z = 5 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f() = n +, > 0 Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (0, + ), και να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα. Γ. Να βρείτε έναν θετικό ακέραιο αριθμό α τέτοιο, ώστε στο διάστημα ( α, α+ ) η εξίσωση να έχει μία τουλάχιστον ρίζα. 4 f( + ) = f(4) Γ3. Να λύσετε στο διάστημα (0, + ) την ανίσωση n < Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

37 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Δ Έστω η συνεχής συνάρτηση f:(0, + ) R για την οποία ισχύει: 3 3 tf(t)dt+ = 3 f() + 3 8, > 0 Δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (0, + ) με f() = Δ. Να αποδείξετε ότι +, f() = > 0 (μονάδες 3) καθώς επίσης ότι η ευθεία με εξίσωση y Μονάδες 6 = είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + (μονάδες 3). Μονάδες 6 Δ3. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, την ασύμπτωτη (y= ) της γραφικής παράστασης της f στο + και τις ευθείες = και = e Δ4. Nα αποδείξετε ότι f() > f() για κάθε > ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

38 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. Διάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων και όχι πριν τις 7:00. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

39 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 9 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f() > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες; Μονάδες 0 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν z, z είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει: z z z + z z + z (μονάδες ) β. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ, τότε είναι και - στο διάστημα αυτό. (μονάδες ) γ. Ισχύει: ημ lim = 0 0 (μονάδες ) συν = ημ, για κάθε (μονάδες ) δ. Ισχύει: ( ) ε. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [ α, β ]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [ α, β ], τότε: β α f(t)dt= G( β) G( α ) (μονάδες ) Μονάδες 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ ΕΣ

40 ΘΕΜΑ Β ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: z+ 4 = z + Β. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = z ο πραγματικός αριθμός με ( ) αριθμός με Im( z ) 0 Μονάδες 9 Β. Αν Re z > 0 και z ο φανταστικός < είναι δύο από τους μιγαδικούς αριθμούς του ερωτήματος Β, τότε να αποδείξετε ότι: z = και z = i Β3. Αν z, z είναι οι μιγαδικοί αριθμοί του ερωτήματος Β, τότε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση ( z z ) ( z + z ) 0 0 n f() =, > 0 Γ. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. Γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την μονοτονία (μονάδες 5) και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι: ef() για κάθε > 0 (μονάδες 5) Μονάδες 0 Γ3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη και την γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα ευθεία e = Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ ΕΣ

41 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f() = +, Δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή στο (μονάδες 4). Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η εξίσωση: f() = 0 έχει ακριβώς δύο ρίζες, τις = 0 και = (μονάδες 5) Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός ( 0, ) Μονάδες 9 o τέτοιος, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f A, f( ) να είναι παράλληλη στον άξονα στο σημείο ( ) Δ3. Να αποδείξετε ότι f() 0 o o < για κάθε ( 0, ) συνέχεια, να λύσετε στο διάστημα ( 0, ] την εξίσωση: (μονάδες 4) και, στη f(t)dt= (μονάδες 4) ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. Διάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων και όχι πριν τις 7:00. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KAΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ ΕΣ

42 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΕΤΑΡΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 06 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Ι & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για κάθε (εφ) =. συν = { συν = 0} ισχύει Μονάδες 0 Α. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζεται αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ; Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. συν α. Ισχύει lim =. 0 β. Το πεδίο ορισμού της g f αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της f, για τα οποία το f() ανήκει στο πεδίο ορισμού της g. γ. Ένα τοπικό μέγιστο μιας συνάρτησης f μπορεί να είναι μικρότερο από ένα τοπικό ελάχιστο της f. δ. Για κάθε συνάρτηση f που είναι γνησίως αύξουσα και παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ ισχύει f () > 0, για κάθε Δ ε. Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση στο [α,β], τότε ισχύει β α f()d = α β f()d.. Μονάδες 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ ΕΣ

43 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση πραγματικός αριθμός. α f() =,, + όπου το α είναι ένας Β. Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο A(3,). Αν α = 3 τότε: Β. Να αποδείξετε ότι η f είναι -. Μονάδες 6 Β3. Να αποδείξετε ότι η αντίστροφη συνάρτηση της f είναι η + f () =, 3. 3 Μονάδες 7 Β4. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f() = +, >. Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι η f είναι κοίλη στο διάστημα (, + ). ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ ΕΣ Μονάδες 6 Γ. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f. Μονάδες 6 Γ3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν E(λ) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και τις ευθείες = + με λ >. y = +, = λ και λ Γ4. Να βρείτε για ποιες τιμές του λ (, + ) ισχύει Ε(λ) > ln.

44 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 0, = 0 ln f() =, 0 <, =. Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο διάστημα [0, + ). Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0, + ). Μονάδες 7 Δ3. Να αποδείξετε ότι για κάθε > 0 ισχύει Δ4. Να υπολογίσετε το όριο f(e ) + f() lim. e f() = f + ln. ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. Διάρκεια εξέτασης: Τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων και όχι πριν τις 7:00. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KAΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ ΕΣ

45 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 07 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και o ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο o και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε να αποδείξετε ότι =. A. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: f( ) 0 o Μονάδες 7 «Για κάθε συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο, αν για κάποιο o ισχύει f( O) = 0, τότε το o είναι θέση σημείου καμπής της f». α) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα ) β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α). (μονάδες 3) Μονάδες 4 A3. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία συμπληρώνει σωστά την ημιτελή πρόταση: Για κάθε συνεχή συνάρτηση f:[ α, β], αν ισχύει f( α) f( β ) > 0, τότε α) η εξίσωση f() = 0 δεν έχει λύση στο (α,β). β) η εξίσωση f() = 0 έχει ακριβώς μία λύση στο (α,β). γ) η εξίσωση f() = 0 έχει τουλάχιστον δύο λύσεις στο (α,β). δ) δεν μπορούμε να έχουμε συμπέρασμα για το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης f() = 0 στο (α,β). Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

46 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε συνεχή συνάρτηση f:[ α, β], αν G είναι μια παράγουσα της f α στο [α,β], τότε f() d= G( α) G( β). β β) Μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχουν, Δ με <, ώστε f( ) < f( ). γ) Αν ένα σημείο Μ(α,β) ανήκει στη γραφική παράσταση μιας αντιστρέψιμης συνάρτησης f, τότε το σημείο Μ (β,α) ανήκει στη γραφική παράσταση C της f. δ) Για κάθε συνεχή συνάρτηση f:[ α, β], η οποία είναι παραγωγίσιμη στο (α,β), αν f(α) = f(β), τότε υπάρχει ακριβώς ένα ξ (α,β) τέτοιο ώστε f( ξ ) = 0. ΘΕΜΑ Β ε) Για κάθε συνεχή συνάρτηση f:[ α, β], αν ισχύει f() d= 0, τότε f() = 0 για κάθε [α,β]. Δίνεται η συνάρτηση e h() =,. + e β α Μονάδες 0 Β. Να μελετήσετε τη συνάρτηση h ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 7 Β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της h. Μονάδες 7 Β3. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης h. Β4. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα e h()d. 0 Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

47 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Γ Δίνεται το τετράγωνο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος με πλευρά cm. Αν το τετράγωνο ΕΖΗΘ έχει τις κορυφές του στις πλευρές του ΑΒΓΔ: Γ. Να εκφράσετε την πλευρά ΕΖ συναρτήσει του. Μονάδες 6 Γ. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου ΕZΗΘ δίνεται από τη συνάρτηση: f() = 4 + 4, 0 Μονάδες 4 Γ3. Να βρείτε για ποιες τιμές του το εμβαδόν του τετραγώνου ΕΖΗΘ γίνεται ελάχιστο και για ποιες μέγιστο. Μονάδες 9 Γ4. Να εξετάσετε αν υπάρχει o [0, ] του αντίστοιχου τετραγώνου ΕΖΗΘ ισούται με Θ Δ Η Γ, για το οποίο το εμβαδόν o Α Ε Β 4e o + cm. Ζ f( ) Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Δ Έστω συνάρτηση f, ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα [0, 3], για την οποία γνωρίζετε τα εξής: Η γραφική παράσταση της f δίνεται στο παρακάτω σχήμα: ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

48 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ f(0) =, f() = 0 Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ τη γραφικής παράστασης της f και των ευθειών =0 και =3 ισούται με 8 τ.μ. Η f δεν ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών στο διάστημα [0, 3]. Δ. Να αποδείξετε ότι f(3) =, f() = και να βρείτε, αν υπάρχουν, f() τα im, im, δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας. ln 0 f()- Δ. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη και τις θέσεις τοπικών ακροτάτων και σημείων καμπής της f. Δ3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό (,3) υπάρχει το lim. f() o Δ4. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους) o για το οποίο δεν Μονάδες 4. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 7:00 ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

49 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΠΟΥ ΥΠΗΡΕΤΟΥΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α A. Έστω f μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του o, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (α, o) (,β) o, να αποδείξετε ότι το f( o) δεν είναι τοπικό ακρότατο και ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο (α, β). Μονάδες 7 A. Έστω Α ένα μη κενό υποσύνολο του. Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Μονάδες 4 A3. Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g, F, G, H, T. (f) (g) (F) (G) ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

50 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ (H) (T) Να γράψετε στο τετράδιο σας ποια από τις συναρτήσεις F, G, H, T μπορεί να είναι η παράγωγος της συνάρτησης f και ποια της g. Μονάδες 4 A4. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Για κάθε ζεύγος πραγματικών συναρτήσεων f, g : (0, + ), αν ισχύει lim f() =+ και lim g() =, τότε lim[f() + g()] = 0» α) Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό, γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα ) β) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α. (μονάδες 3) Μονάδες 4 A5. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f: μπορεί να τέμνει μια ασύμπτωτή της. β) Αν μια συνάρτηση f: είναι -, τότε κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο. γ) Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισμού το [0, ] και σύνολο τιμών το [, 3], τότε ορίζεται η f g με πεδίο ορισμού το [0, ] και σύνολο τιμών το [, 3]. Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

51 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ +, > f() = + α, Β. Να υπολογίσετε το α ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής. Μονάδες 3 Στα παρακάτω ερωτήματα θεωρήστε ότι α =. Β. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [, 4].. Μονάδες 6 Β3. Να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα οποία η εφαπτομένη είναι παράλληλη προς την ευθεία y = + 08 και να γράψετε τις εξισώσεις των εφαπτομένων 4 στα σημεία αυτά. Μονάδες 7 Β4. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση. Μονάδες 9 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f:(, + ), με τύπο: f() = Γ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το διάστημα (e, + ). Μονάδες 7 Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(α) f (α) ημα + = 0 e, όπου α > e, έχει ακριβώς δύο ρίζες ως προς, μία στο διάστημα (0, ) και μία στο διάστημα (, ). Μονάδες 0 Γ3. Να αποδείξετε ότι f() + > e + ln f() για κάθε >. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

52 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f:[0,π], με τύπο: f() = ημ. Δ. Να βρείτε τα ακρότατα της f (τοπικά και ολικά). Δ. Να αποδείξετε ότι για κάθε o [0, π] η γραφική παράσταση της f και η εφαπτομένη της στο A( o, f( o)) έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. Δ3. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα π f() συν d. 0 Δ4. α) Να αποδείξετε ότι β) Να υπολογίσετε το f() lim =. (μονάδες ) 0 lim[(f() f()) ln ]. (μονάδες 5) 0 Μονάδες 7 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 7:00 ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ