α,β,γ και α 0 στο σύνολο των μιγαδικών

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "α,β,γ και α 0 στο σύνολο των μιγαδικών"

Λυσιμάχη Αργυριάδης
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 )ΓΙΑ ΤΟ ΕΤΟΣ 215 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α 2 αz + βz + γ = με A.1 Να λύσετε την εξίσωση α,β,γ και α στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. Μονάδες 1 A.2 Πότε η ευθεία x = x λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f; Μονάδες 5 A.3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν lim f(x) >, τότε f(x) > κοντά στο x x x. Μονάδες 2 β. Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. Μονάδες 2 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ

2 ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ γ. Αν μια συνάρτηση f(x) είναι συνεχής σ ένα σημείο, x τότε είναι παραγωγίσιμη στοx. Μονάδες 2 δ. Έστω f μια σ υ ν ε χ ή ς συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αν f(x) για κάθε x [α, β] και η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε β α f(x)dx >. ε. Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο x και η f ΘΕΜΑ Β Μονάδες 2 είναι παραγωγίσιμη στο x, τότε η συνάρτηση fog είναι x και ισχύει (fog) (x ) = f (g(x )).g (x ) παραγωγίσιμη στο Για τούς μιγαδικούς αριθμός z και w ισχύουν: Μονάδες z z = 4 z z και w = i 7 3 z - z, z. Β1. Να δείξετε ότι οι εικόνες του μιγαδικού z ανήκουν στον μοναδιαίο κύκλο. Μονάδες 7 Β2. Αν Α η εικόνα του μιγαδικού z και Β η εικόνα του μιγαδικού u = 3iw, να βρεθεί το μήκος (ΑΒ). Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ

3 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Β3. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών w είναι σημεία έλλειψης. Β4. Να βρείτε την ελάχιστη και την μέγιστη τιμή του w. Μονάδες 7 Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [α, β] με f(x) > για Την οποία για κάθε Γ1. Να δείξετε ότι: i =α - β f(β) f(α) x [α, β] ισχύει η σχέση. 2 f (x) = f (x) Μονάδες 4 ii. Υπάρχει x ( α, β ) τέτοιο ώστε 2ln(f(x)) = ln(f(α)) + ln(f(β)) Μονάδες 6 Γ2. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα Τα κοίλα και τα σημεία καμπής. Μονάδες 4 Γ3. Αν επιπλέον ισχύει ότι 215f(α) = f(β), τότε: i. Να βρεθεί το ολοκλήρωμα β f(x)dx. α Μονάδες 5 ii. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (α,β) ώστε ln215 f(ξ) = β - α Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ

4 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Δ Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση f: για την οποία ισχύει: 2f(2x) - f(x) = 2x, για κάθε x Και η συνάρτηση 2 2 F(x) = x f(xt)dt - x Δ1. Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ 1 (,1) και ξ 2 (1,2) τέτοια ώστε: f(ξ ) + 2f (ξ ) = Μονάδες 6 Δ2. Να δείξετε ότι η F είναι σταθερή και να βρείτε τον τύπο της. Μονάδες 5 Δ3. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 8 I f(x)dx. Δ4. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό α (-1,) α 2 f(2t)dt + f(t)dt = e α α Μονάδες 8 1 Μονάδες 6, ώστε ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους) 1. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο. 2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων, αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται να γράψετε. ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ

5 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 5. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙΔΕΣ

Σχετικά έγγραφα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 1 x. ln = Μονάδες 10 Α.2 Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 5 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Να