ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο.

Transcript

1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() c, c ΙR., είναι παράγουσες της στο και κάθε άλλη παράγουσα G της στο παίρνει τη µορφή G() F() c, c ΙR.. Μονάδες B. Έστω Α ένα υποσύνολο του ΙR., µ ια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α και A. Πότε θα λέµε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει στο (ολικό) µέγιστο, το ( ); Μονάδες 5 Για καθεµιά από τις παρακάτω προτάσεις Γ,, Ε, ΣΤ και Ζ να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη Σ, αν η πρόταση είναι Σωστή, ή Λ, αν αυτή είναι Λανθασµένη. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Αν µια συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Μονάδες Ε. Ισχύει ο τύπος ηµd συν c Μονάδες ΣΤ. Έστω µια συνάρτηση συνεχής σ ένα διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Θα λέµε ότι: Η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο, αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του. Μονάδες Ζ. Έστω µια - συνάρτηση και C, C οι γραφικές παραστάσεις των και - στο ίδιο σύστηµα αξόνων. Τότε οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και - είναι συµµετρικές ως προς την ευθεία y. Μονάδες ΘΕΜΑ ο ίνεται η συνάρτηση () α, β, < < ln, όπου α, β ΙR.. α) Να βρείτε τα α και β έτσι ώστε η να είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της. Μονάδες 8 β) Αν, για τους πραγµατικούς αριθµούς α και β, ισχύει: α και β, τότε: i) Να υπολογίσετε το lim () Μονάδες 9 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

3 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ii) Να υπολογίσετε τα όρια : lim () (), lim () () Μονάδες 8 ΘΕΜΑ ο Έστω µιγαδικός αριθµός, µε ±i και w. α) Να αποδείξετε ότι αν ο w είναι πραγµατικός, τότε ο είναι πραγµατικός ή. Μονάδες β) Να λύσετε, στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών, την εξίσωση. Μονάδες γ) Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήµατος (β), να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: ( ) i Κ. 4 ( ) Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 4ο ίνεται η συνεχής συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το διάστηµα (, ) για την οποία ισχύει: () (t)dt,. α) Να υπολογίσετε το (). Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

4 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β) Να αποδείξετε ότι (). γ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης. Μονάδες Μονάδες 6 δ) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τον άξονα και τις ευθείες και 4. Μονάδες 6 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε µόνο τα προκαταρκτικά (ηµεροµηνία, εξεταζόµενο µάθηµα). Να µην αντιγράψετε τα θέµατα στο τετράδιό σας.. Να γράψετε το ονοµατεπώνυµό σας στο πάνω µέρος των φωτοαντιγράφων αµέσως µόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σηµείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε µαζί µε το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν µετά το πέρας της εξέτασης.. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέµατα. 4. Κάθε απάντηση τεκµηριωµένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις () ώρες µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μία () ώρα µετά τη διανοµή των φωτοαντιγράφων. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

5 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο α) Θεωρία από το σχολικό βιβλίο σελ. 4 β) Θεωρία από το σχολικό βιβλίο σελ. 5 γ) Σ δ) Σ ε) Λ στ) Λ ζ) Σ ΘΕΜΑ ο α) R Για p συνεχής ως πολυωνυµική Για p p συνεχής ως πολυωνυµική Για συνεχής ως γινόµενο και άθροισµα συνεχών Για lim lim ισχύει ( συνεχής στο ) lim ( a β ) a β lim lim ( ln ) lim α β () lim lim συνεχής στο άρα ισχύει

6 lim lim( ) lim ( a β ) β lim β ( ) β a β α β) i) Επειδή ln lim lim ln l'hospital ' ( ln ) ln lim ( )' lim l'hospital lim ' ( ln ) ( )' lim lim lim lim ii) ln lim lim p p l'hospital / ln / lim lim lim ' ( ln ) ( ) ' ln lim ln

7 ΘΕΜΑ ο α) Θα δείξω ότι R w w w Θέτω () R w y yi yi yi w w R y yi w / /,,, R w w R w ή β) ) ( 9 4 p ± i i i i i i / / i i i i i / / γ) Από τους τύπους της Vita έχουµε a γ και / / α β i i i i k

8 ΘΕΜΑ 4 ο α) () (),, dt t Για έχουµε () () / / dt t β) () () () () () () ' ' ' ' ' ) ( dt t dt t dt t dt t dt t dt t dt t γ) Ισχύει c d ' και ' και έχουµε d d ' c c R c c, c c c R c για έχουµε () c c

9 άρα,, δ) d Ε 4 4 ή ± άρα στο [ ],4 η δίνει θετικές τιµές [] 7τµ / / / d E Eπιµέλεια: Γιαννακουδάκη Αγγελική

10 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ ο α) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες β) Έστω Μ(, y) η εικόνα του μιγαδικού αριθμού yi στο μιγαδικό επίπεδο. Τι ορίζουμε ως μέτρο του ; Μονάδες 5 γ) Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς,,, 4 και 5 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθμό να σημειώσετε την ένδειξη (Σ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι λανθασμένη.. Αν μιγαδικός αριθμός και ο συζυγής του, τότε ισχύει. Μονάδες. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης στο, τότε ισχύει lim () lim ().. Ισχύει (ημ) συν. Μονάδες Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

11 4. Ισχύει d c ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ, c IR. Μονάδες 5. Αν είναι συνεχής συνάρτηση στο [α,β], τότε η παίρνει στο [α,β] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m. ΘΕΜΑ ο ίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί i και -i. α) Να αποδείξετε ότι i και β) Να αποδείξετε ότι. 6 6 γ) Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό k i w, k IR { }. k i. Μονάδες Μονάδες 8 Μονάδες 8 Να αποδείξετε ότι για κάθε k IR { } ισχύει Ιm(w). ΘΕΜΑ ο Θεωρούμε τη συνάρτηση α, () όπου α IR. ln, Μονάδες 9 A) Να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό α ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο. B) Αν για τον πραγματικό αριθμό α ισχύει α : Mονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

12 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ i) Να εξετάσετε αν η είναι παραγωγίσιμη στο. ii) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της. Μονάδες 5 Μονάδες 5 iii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τον άξονα και τις ευθείες και. ΘΕΜΑ 4 ο Θεωρούμε τη συνάρτηση () ln, (, ). Μονάδες 5 α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, ). β) Να βρεθούν τα όρια ln lim, lim, lim (). Μονάδες 6 Μονάδες 6 γ) Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση ()5 έχει μοναδική λύση στο διάστημα (, ). Μονάδες 6 () ()d. () τιμή της παράστασης Π ln. δ) Έστω Π () d Να υπολογίσετε την Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

13 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοτυπιών αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τις φωτοτυπίες.. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοτυπιών. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης : Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοτυπιών. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Απαντήσεις Θέμα ο α) Θεωρία : σελ. 7 β) Θεωρία : σελ. 97 (Έστω Μ(,y), y και σχήμα γ).σ,.σ,.λ, 4.Λ, 5.Σ Θέμα ο α) Είναι i i i i i i 9i i i i i 9 i i και i i i i i i i ή ος τρόπος: i i i i i i i i i i[ i i i i ] i 9i i i 9i i i i β) 6 6 i 6 i 6 [ i ] [ i ] 9 6i i 6i 9i 8 6i 86i 8 6i [ 8 6i ] 8 6i 8 6i γ) Είναι : k i i w k kii i ik i i k a k i k i i Άρα I m w k k i k i k k i k i

15 Θέμα ο a, ln, { Α) συνεχής στο αν και μόνον αν : lim Είναι : lim lim a a a ln lim lim ln lim lim lim a a άρα α α i) B) Για α είναι lim lim lim dlh, ln, { lim lim o ' ln lim lim ' dlh ' lim ' ln lim lim ln άρα η δεν είναι παραγωγίσιμη στο ii) Για : ' ' άρα η στο, ] Για : ' ln ' ' ln ln ' ln ln ln ln

16 χ στο, ] η ' - στο [, ] η () στο [, η iii) Είναι ln, [, ] οπότε για κάθε [,] άρα Ε [ ln ln d ln ] ' ln d[ d ln ] d [ τ. μ. 4 ln ' d ] Θέμα 4 ο ln,, α) ' άρα η στο, (γιατί β) ln ln ' lim lim lim ' lim lim ' lim lim ' lim lim ln lim ln

17 γ) lim lim ln ln lim άρα A,. γιατί (σύνολο τιμών A lim, lim ) και 5 A άρα η 5 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, που είναι και μοναδική γιατί η είναι γνησίως αύξουσα. δ) άρα η στο, άρα η αντιστρέφεται οπότε : I d θέτω u u d ' u du :u :u άρα I u ' u du[u u ] u ' u du ln ln d άρα Π ln d 4 ln dln 4 ln ln 4

18 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ ο Α.. Έστω η συνάρτηση ()ημ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: ()συν. Μονάδες. Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 5 Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς,,, 4 και 5 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθμό να σημειώσετε την ένδειξη (Σ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν η αντίστοιχη πρόταση είναι λανθασμένη.. Για κάθε μιγαδικό αριθμό και κάθε θετικό ακέραιο ν, ισχύει: ν ν. Μονάδες συν. Ισχύει: lim. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

19 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σ ένα εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της, τότε η δεν είναι παραγωγίσιμη στο. Μονάδες 4. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο και g( ), τότε και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: ()g() ()g ( ( ) g [ g] ). Μονάδες 5. Για κάθε συνάρτηση, παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα, ισχύει: ΘΕΜΑ ο ()d () c, c. ίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί i, και i. Μονάδες α. Να αποδείξετε ότι:. Μονάδες 5 β. Αν για το μιγαδικό ισχύει, τότε να αποδείξετε ότι: i. R () Im (). Μονάδες ii. για, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης A. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

20 ΘΕΜΑ ο ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. 4 ίνεται η συνάρτηση ln, (, ) α. Να αποδείξετε ότι: 5 >, < 4 και 5 ( ) >. Mονάδες 6 β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο Μ(, ()). γ. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της. Μονάδες 5 Μονάδες 4 δ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα (, ). ΘΕΜΑ 4ο Μονάδες Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση στο, για την οποία ισχύει () () 4 και (). α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι σταθερή.. β. Να αποδείξετε ότι: h() γ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: lim δ. Να βρείτε το I(). () 4 Μονάδες 5 Μονάδες 6 I() (t) dt Μονάδες 9 Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

21 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοτυπιών αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τις φωτοτυπίες.. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοτυπιών. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοτυπιών. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

22 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (ΟΜΟΓΕΝΩΝ) Α. ΘΕΩΡΙΑ Σελίδα 4 σχολικού βιβλίου Β. ΘΕΩΡΙΑ Ορισμός Σελίδα 49 σχολικού βιβλίου Γ..Σ.Λ.Σ 4.Σ 5.Λ ΘΕΜΑ ο α) Είναι και και, οπότε. β) i) Έστω Z yi, οπότε i ( y ) i ( ) yi ( y ) ( ) y y -y -y y Άρα R()Ιm()

23 ii) Επειδή από το πρώτο ερώτημα ισχύει R()Im(), ο μιγαδικός θα είναι της μορφής i,. Είναι Α i i i i ( i) ( i) i i i i i i i i ( i)( i) ΘΕΜΑ ο α) Είναι 5 ln n ln4 ln Επίσης l και ln β) Για : () ln Είναι 4 4 οπότε για : ( ) 4 4, 4 Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο M (, () ) είναι y y y y γ) Είναι ¼ -

24 4. Είναι η συνεχής στο, και για κάθε,, άρα η 4 4 είναι γνησίως φθίνουσα στο, 4 Είναι η συνεχής στο, 4 είναι γνησίως αύξουσα στο,. δ) Είναι η συνεχής στο, και 5 4, 4 και για κάθε, 5 4 άρα η ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων, οπότε σύμφωνα με το θ. Bolano η εξίσωση ( ) θα έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,. 5 4 γνησίως φθίνουσα στο, 5 4 πραγματική ρίζα στο, 5 4. ακριβώς πραγματική ρίζα στο,, 5 οπότε και στο 4 5 διάστημα, 4. Είναι η συνεχής στο, 4 συναρτήσεων και 5 ( ) 4 5 εξίσωση ( ) θα έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο, 4 5 είναι γνησίως αύξουσα στο, 4 5 το πολύ πραγματική ρίζα στο, 4 5 μία ακριβώς πραγματική ρίζα στο,, 4,. Άρα η εξίσωση 4,. ρίζες στο διάστημα Επειδή η είναι, η εξίσωση ( ) θα έχει μία το πολύ Άρα η εξίσωση ( ) θα έχει μία ως άθροισμα συνεχών, οπότε σύμφωνα με το θ.bolano η. Επειδή η η εξίσωση ( ) θα έχει μία. Άρα η εξίσωση ( ) θα έχει οπότε και στο διάστημα θα έχει δυο ακριβώς πραγματικές

25 ΘΕΜΑ 4 ο α) Είναι η h παραγωγίσιμη στο R ως άθροισμα δύο παραγωγίσιμων στο R συναρτήσεων και h ()- - () - ()4-4 - ( ()-())4-4 - (-4 - ) Άρα η h είναι σταθερή στο R. β) Για : h () ()- -. Άρα h() για κάθε R, - οπότε () () () - () γ) Είναι Ι() Επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο R θα ισχύει Ι' () () Οπότε Ι() - (t)dt C. (t)dt Για ισχύει Ι() () και Ι() - C Ι() C () Από τις σχέσεις () και () θα ισχύει C C Άρα Ι() I() δ) Είναι lim lim lim ' ' Είναι lim lim lim lim lim ' ' lim και. lim () Επίσης Άρα () I() lim lim lim lim

26 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 8 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ ο Α. α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο, και ισχύει: ( g) ( ) ( ) g ( ). Μονάδες β. Πότε η ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της ; Μονάδες 5 Β. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς,,, 4 και 5 των παρακάτω προτάσεων και δίπλα σε κάθε αριθμό να σημειώσετε τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.. Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών αβi και γδi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους. Μονάδες. Κάθε συνάρτηση που είναι - είναι γνησίως μονότονη. Μονάδες ημ. Ισχύει: lim. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

27 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 4. Η συνάρτηση () ln, *, είναι παραγωγίσιμη στο * και ισχύει (ln ). Μονάδες α α 5. Ισχύει: d c, όπου α, c είναι πραγματικοί α αριθμοί και α -. Μονάδες ΘΕΜΑ ο ίνεται ο μιγαδικός αριθμός i (i ). i α. Να αποδείξετε ότι: i, i, i. Μονάδες 9 β. Αν Α, Β, Γ είναι οι εικόνες των μιγαδικών,,, αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. Μονάδες 9 γ. Να αποδείξετε ότι: ΘΕΜΑ ο. α Μονάδες 7 ίνεται η συνάρτηση (), όπου α. α. Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η εφαπτομένη της C στο σημείο Α(, ()) να είναι παράλληλη στην ευθεία y. Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

28 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ β. Για α-, i. να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, Μονάδες ii. να αποδείξετε ότι ο άξονας ασύμπτωτη της C στο. είναι οριζόντια Μονάδες 5 ΘΕΜΑ 4ο ίνονται οι συναρτήσεις α. Να αποδείξετε ότι: () - και g() ln, >. () g(), για κάθε >. Mονάδες 8 β. Αν h() ()-g(), τότε: i. Να αποδείξετε ότι: h() -, για κάθε [, ]. Μονάδες 7 ii. Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης h, τον άξονα και τις ευθείες και. Μονάδες 5 iii. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα [ h() ] h () d I. h () Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

29 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους). Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, κατεύθυνση, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνον με μπλε ή μαύρο στυλό διαρκείας και μόνον ανεξίτηλης μελάνης. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μολύβι μόνο για σχέδια, διαγράμματα και πίνακες. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

30 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ 9 ΘΕΜΑ ο Α. α. Θεωρία σελ. 9 σχολικού βιβλίου β. Ορισμός σελ. 79 σχολικού βιβλίου Β.. Σ. Λ. Λ 4. Σ 5. Σ. ΘΕΜΑ ο Άρα ( i) i, i( i) i i β. Είναι i i i i i i i i α. Είναι i i i i i i i i ΑΒ i i i ΒΓ i i ( ΑΓ ) i i i Είναι ( ΑΒ ) ( ΑΓ) άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. και γ. Είναι,, 4 άρα 4. ΘΕΜΑ ο α. Είναι a a. Για : a. Είναι λ ε

31 Πρέπει λ α α. ε, ( ) β. i Είναι, οπότε. Είναι αφού για κάθε Είναι η συνεχής στο (, ] και για κάθε φθίνουσα στο (, ]. Είναι η συνεχής στο [, ) και άρα η. ii. Είναι li m οπότε li m είναι γνησίως αύξουσα στο [, ). και lim lim,, άρα η είναι γνησίως για κάθε (, ), Άρα η παρουσιάζει ελάχιστο για το lim lim lim ( ) άρα ο άξονας είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C στο. ΘΕΜΑ 4 ο α. Είναι h g ln, Είναι h Είναι. h

32 h - h οπότε η h παρουσιάζει ελάχιστο για το. h h g g h. Άρα β. i. Είναι η h συνεχής στο [, ] και h ( ) για κάθε (, ) αύξουσα στο [, ], δηλαδή για θα είναι ii. Είναι h( ) για κάθε [, ] οπότε Ε h d ln d d d ln d d Είναι ln d ( ) ln d [ ln ] ( ln ) [ ] [ ] [ ] ln d ln ln ln. Ε Άρα () [ ]. Άρα η h είναι γνησίως h h h h. iii. Είναι h h h h I h h d ( ) h d ( h ) ( h ) d τετραγωνικές μονάδες. h h ( ) h h d ( ) () ( () ) h h h h h h h h h. Επιμέλεια Καθηγητών Φροντιστηρίων Βακάλη

33 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 4 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α. Έστω η συνάρτηση () εφ, A, όπου Α - { / συν } Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη και ισχύει (εφ), A συν Μονάδες Α. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 5 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα. β) Αν α >, τότε lim α γ) Αν η συνάρτηση : Α είναι -, τότε ισχύει - ( ()), A ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

34 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ δ) ημd συν c, c ΘΕΜΑ Β ε) Αν οι συναρτήσεις, g είναι συνεχείς σε ένα διάστημα, τότε ισχύει ()g ()d ()g() ()g() d, Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει i Μονάδες Β. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο είναι η ευθεία με εξίσωση ψ Μονάδες 7 Β. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς, να βρείτε εκείνους που έχουν μέτρο ίσο με Μονάδες Β. Έστω i και - i οι μιγαδικοί αριθμοί που βρήκατε στο ερώτημα Β. Να αποδείξετε ότι Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση () - ln, > Γ. Να αποδείξετε ότι η είναι κυρτή. Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

35 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ. Να αποδείξετε ότι ο άξονας ψ ψ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της Μονάδες 7 Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα (, ) ΘΕΜΑ Μονάδες Έστω η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση για την οποία ισχύουν οι σχέσεις () - (), και (). Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() ( ),, είναι σταθερή.. Να αποδείξετε ότι (),. Να αποδείξετε ότι (), για κάθε Μονάδες 5 Μονάδες 7 Μονάδες 6 4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τον άξονα και την ευθεία Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

36 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν μετά το πέρας της εξέτασης.. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων και όχι πριν τις 7:. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

37 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία σελ. Σχολικού βιβλίου Α Ορισμός σελ 88 Σχολικού βιβλίου Α α-σ β-σ γ-σ δ-λ ε-λ ΘΕΜΑ Β Β. Είναι i ( i) ( i) εικόνων των μιγαδικών άκρα τα Α(,) και Β(, ) Έστω yi,, y, οπότε ο γεωμετρικός τόπος των είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος με i yi yii yi y i y y y y 4y 4 4y 4 y

38 Β. Είναι i, Πρέπει Άρα Β. Είναι i ή i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i i i i i ΘΕΜΑ Γ Γ. Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη για κάθε '' 6 > αφού. Είναι η για κάθε (, άρα Γ. ή > με και ' > συνεχής στο (, ) και ) είναι κυρτή στο,. Είναι: lim lim ( ln ) lim lim ( ln ) Επειδή lim ln Άρα η ευθεία Γ. Είναι lim θα είναι δηλαδή ο Θέτουμε δηλαδή g ln g ln με [, ] g συνεχής ως άθροισμα συνεχών g () ln g ln 5 y y είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C. g g Bolano υπάρχει (, ) : g( ) ( ) ( ) με,. Είναι g. Είναι η κυρτή στο (, ), άρα θα είναι κυρτή και στο [, ε ], οπότε για κάθε [, ]. Είναι η g συνεχής στο [, ] και

39 g για κάθε [, ] άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο [ ] g( ) θα έχει μια το πολύ πραγματική ρίζα στο [ ] g( ) ή ( ) θα έχει μια ακριβώς ρίζα στο [, ].,, άρα η,. Άρα η εξίσωση ΘΕΜΑ Δ Δ. Είναι g (, ). g g ( ) ( ) ( / /) ( ) g Είναι η παραγωγίσιμη στο με Άρα για κάθε δηλαδή η g είναι σταθερή στο. Δ. Η g είναι σταθερή στο. Για : g ( ) οπότε g g g ισχύει Αφού σταθερή στο και g για κάθε. Οπότε: g ( ) ( ) g ( ), Δ.,. Είναι η συνεχής και παραγωγίσιμη στο με Είναι. ελαχ. Άρα η παρουσιάζει ελάχιστο για το δηλαδή για κάθε Δ4. Είναι, οπότε η ( ) έχει προφανή ρίζα τη. Επειδή η είναι γνησίως φθίνουσα στο (,], η ( ) θα έχει μοναδική ρίζα στο (,]. Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο [, ), η ( ) θα έχει μοναδική ρίζα στο [, ). Άρα η είναι η μοναδική ρίζα της ( ). Είναι για κάθε [,]

40 Οπότε τ.μ. E d d Επιμέλεια Καθηγητών Φροντιστηρίων Βακάλη

41 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α. Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο, τότε να αποδείξετε ότι είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Μονάδες Α. Έστω μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι κυρτή στο ; Μονάδες 5 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν, τότε ) ( ν ν, ν * β. Αν, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ho(go), τότε ορίζεται και η (hog)o και ισχύει ho(go) (hog)o συν - γ. lim ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

42 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ δ. Αν η είναι συνεχής σε ένα διάστημα και α, β, γ, β τότε ισχύει ()d ()d ε. Αν <α<, τότε lim α α γ α β γ ()d Μονάδες ΘΕΜΑ Β Έστω 4 w, όπου μιγαδικός αριθμός με Β. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς και για τους οποίους ισχύει w Μονάδες 6 Β. Αν i και -i είναι οι μιγαδικοί αριθμοί που βρήκατε στο ερώτημα Β, τότε να αποδείξετε ότι - 8 Μονάδες 6 Β. Αν και είναι οι μιγαδικοί αριθμοί του προηγούμενου ερωτήματος, τότε να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, και 4 στο μιγαδικό επίπεδο είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου. Μονάδες 8 Β4. Αν, τότε να αποδείξετε ότι ο αριθμός w είναι πραγματικός. Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

43 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση () - ln( ), Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι κοίλη. Μονάδες 7 Γ. Να αποδείξετε ότι: Μονάδες 8 () < () ln, για κάθε (, ) Μονάδες ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση : (-, ) για την οποία ισχύει: (t) dt ( ln ), > - ln( ). Να αποδείξετε ότι (), > - Μονάδες 6. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να αποδείξετε ότι: (), για κάθε > - Μονάδες 6. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τον άξονα και την ευθεία - Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

44 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ 4. Να αποδείξετε ότι: () () (), >- και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η εξίσωση (), >- έχει δύο ακριβώς λύσεις, τις και Μονάδες 7 Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν μετά το πέρας της εξέτασης.. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 5. Να μη χρησιμοποιήσετε χαρτί μιλιμετρέ. 6. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 7. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 8. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων και όχι πριν τις 7:. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

45 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία Σχολικού βιβλίου σελ. 7 Α. Θεωρία Σχολικού βιβλίου σελ. 7 Α. α. Σ, β. Σ, γ. Λ, δ. Σ, ε. Λ ΘΕΜΑ Β 4 w, Β. 4 w 4 Δ 4 6 ( ± ) ±. i i

46 Β. i i i i i9 i 8. Ομοίως: i i i i i 9 i 8. Άρα: 8 ος τρόπος Β. Έστω Α (, ) η εικόνα του Β(, ) η εικόνα του 8 Γ(,) η εικόνα του. 4 4 ΑΒ i i i i ΑΓ i i. / i i ΒΓ Άρα ( ΑΒ ) ( ΑΓ ) ( ΒΓ ) δηλαδή ΑΒΓ ισόπλευρο. Β Είναι: w w 4 δηλαδή w w άρα w

47 ΘΕΜΑ Γ ln ( ), Η είναι συνεχής στο ως πράξεις συνεχών δύο φορές παραγωγίσιμη στο με : ( ) () ( ) ( ) Γ. Είναι: για κάθε αφού Οπότε γνησίως αύξουσα στο. Γ. για κάθε Είναι: κάθε. Άρα κοίλη στο. Γ. για κάθε αφού και ( ) για ln, ln,. Έστω: g ln με. Οι, ορίζονται σε όλο το. Η g είναι συνεχής για αφού οι, είναι συνεχείς σε όλο το. Η g παραγωγίσιμη για αφού η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη με g ( ) ( ln ) αλλά. Οπότε g για κάθε δηλαδή g Οπότε g για ln ln δηλαδή g g για κάθε για κάθε. για κάθε άρα και για

48 ΘΕΜΑ Δ Αφού συνεχής για ( ln ) είναι παραγωγίσιμη για. η () t dt είναι παραγωγίσιμη, όπως και η Δ. Οπότε: () t dt ( ln ) για. ( ) ( ( )) ln ln ln ln ( ) για. Δ. ( ) ( ) Η είναι συνεχής για ως πηλίκο συνεχών. παραγωγίσιμη για με: ( ln ( ) ) ( ) ln ( ) ( ) ( ) ( ) ln( ) ln, ( ) Έστω: ( ) ( ) ( ) ln ln ln ln ln.. Άρα: όταν (, ] και όταν - [, ) ln έχει μέγιστη τιμή την ( ) δηλαδή ( ) Θέλω να δείξω ότι: για κάθε για η για κάθε

49 ln ln ( ) ln ( ) ( ) ( ) ln ( ) για κάθε ln ln για κάθε για κάθε για κάθε που ισχύει όπως δείξαμε πιο πάνω. Δ. ln ln ln δεκτή αφού Άρα: Ε( Ω ) d Για [, ] άρα ( ). Άρα για [, ] ( ) ln ( ln ) Ε Ω d d ln ( ) ( ln ln ) τ.μ. Δ4. Είναι: ( ) ( ) ln ln ln ( ) ln ln ln ln ln (Η ln είναι " " ) Οπότε: ( ), και Αφού ισχύει η παραπάνω ισοδυναμία, οι δυο εξισώσεις (, ) είναι ισοδύναμες για δηλαδή έχουν τις ίδιες λύσεις.

50 Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι η εξίσωση λύσεις τις και. Για ( έχει ακριβώς δυο : ) ισχύει, άρα το είναι λύση εξίσωσης. ( ) ( ) ln ln Για : ln4 ln ln / ln 4 4/ εξίσωσης. Το,, ανήκει στο ( ] Το ανήκει στο ( ] Οπότε η εξίσωση ισχύει μόνο για. ισχύει μόνο για. άρα και η ( ) που ισχύει άρα το είναι λύση της όπου η είναι και συνεχής, άρα το,, όπου η είναι και συνεχής, άρα το έχει ακριβώς δύο ρίζες τις και έχει και αυτή ακριβώς δυο ρίζες τις και. Επιμέλεια Καθηγητών Φροντιστηρίων Βακάλη

51 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 4 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση (), είναι παραγωγίσιμη στο (, ) με () Μονάδες Α. Πότε μια συνάρτηση : A λέγεται συνάρτηση -; Μονάδες 5 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν, τότε - Im() β. Αν είναι lim (), τότε lim () γ. Ισχύει ( εφ ) - συν, - { / συν } δ. Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο και g( ), τότε και η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

52 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ g ( ) g ( )g ( ( g) ) ε. Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο [α, β] και () για κάθε [α, β], τότε ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ β α () d Μονάδες ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει i Β. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι ο κύκλος που έχει κέντρο το σημείο Κ (, ) και ακτίνα ρ Μονάδες 9 Β. Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς να αποδείξετε ότι Μονάδες 8 Β. Αν, είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς με και Α, Β οι εικόνες των, αντίστοιχα, τότε να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΑΒ, όπου Κ(, ), είναι ορθογώνιο. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση (), Γ. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 8 Γ. Να αποδείξετε ότι η είναι κυρτή. Μονάδες 5

53 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (), έχει ακριβώς μια ρίζα, το Μονάδες 5 Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της και τις ευθείες y και ΘΕΜΑ Μονάδες 7 Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύουν: () lim () και η είναι γνησίως αύξουσα. Να αποδείξετε ότι () () Μονάδες 8. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ (, ) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο (ξ, (ξ)) να είναι παράλληλη προς τον άξονα Μονάδες 5. Να αποδείξετε ότι () (ξ) για κάθε Μονάδες 4 4. Αν επιπλέον δίνεται ότι (ξ)>, τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση (t)dt, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ) Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

54 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο επάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. εν επιτρέπεται να γράψετε οποιαδήποτε άλλη σημείωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα, τα οποία και θα καταστραφούν μετά το πέρας της εξέτασης.. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. ιάρκεια εξέτασης: Τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων και όχι πριν τις 7:. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

55 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α. α. Λάθος β. Σωστό γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Σωστό ΘΕΜΑ Β Β. ος τρόπος yi i i yi y i y y y y, άρα ο γ.τ. των εικόνων του είναι κύκλος με κέντρο K, και ακτίνα ρ. ος τρόπος i i i i i i i i, ) K (, και ακτίνα ρ. άρα ο γ.τ. των εικόνων του είναι κύκλος με κέντρο

56 Β. y ( OA), ma άρα Κ (, ) Α(, ) y Β. ΑΒ ΚΑ ΚΒ ρ ρ Από το πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει ότι το τρίγωνο Δ ΚΑΒ είναι ορθογώνιο στο Κ. Α y Β κ y

57 ΘΕΜΑ Γ Γ. - ( ) Η είναι γνησίως φθίνουσα στο (,], παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για, την τιμή Γ. ενώ είναι γνησίως αύξουσα στο [,. Η ) 4, άρα η είναι κυρτή. Γ. Προφανής ρίζα το, αφού για για Επομένως η εξίσωση ( ) έχει μοναδική ρίζα το. Γ4. Η εφαπτομένη της C στο είναι η y. Η είναι κυρτή. Η C βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη με εξαίρεση το σημείο επαφής, άρα Άρα Ε d d

58 άρα 5 Ε τ.μ. ΘΕΜΑ Δ Δ. Θεωρούμε τη συνάρτηση φ, με ϕ Ισχύει ϕ lim Είναι ( ) ϕ συνεχής lim lim ( ) ϕ lim Άρα Δ. ϕ lim lim Η είναι συνεχής στο [, ] Η είναι παραγωγίσιμη στο (, ) Από το θεώρημα Roll υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε ( ξ ) και επειδή η υπάρχει μοναδικό ξ (, ) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C στο ( ξ, ( ξ )) είναι γνησίως αύξουσα το ξ είναι μοναδικό. Επομένως είναι παράλληλη στον. Μ να

59 Δ. Η είναι γνησίως αύξουσα, άρα η είναι κυρτή. Η εφαπτομένη της ξ είναι η y ( ξ ). Η C στο C βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη με εξαίρεση το σημείο επαφής, άρα ( ξ ) Δ4. Θεωρούμε συνάρτηση g με g ( t) dt όπου Η g είναι συνεχής στο [,] ως πράξεις συνεχών Η g () Και [ ] g t dt t dt «Έχω ( ξ ), στο Επομένως, g g( ) () (), άρα t dt - t dt» Από το Θεώρημα Bolano η εξίσωση g( ) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,). Επομένως, η εξίσωση () t dt έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (,). Επιμέλεια Καθηγητών Φροντιστηρίων ΒΑΚΑΛΗ

60 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς, ισχύει: Μονάδες Α. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Βolano. Μονάδες 5 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν, είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί με, τότε η εξίσωση παριστάνει τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία A( ) και B β Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y. γ. Αν < α < τότε lim α δ. Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σ ένα σημείο είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η ε. Αν : [ αβ, ] R είναι συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει () για κάθε [ α, β], τότε: β α ()d Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

61 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: R Β. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι κύκλος με κέντρο K(, ) και ακτίνα ρ, εκτός από ένα σημείο του (μονάδες 7). Να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου αυτού (μονάδες ). Μονάδες 9 Β. Αν, είναι δύο από τους μιγαδικούς αριθμούς του ερωτήματος Β, να αποδείξετε ότι: 4 Μονάδες 8 Β. Από τους μιγαδικούς αριθμούς του ερωτήματος Β, να βρεθούν εκείνοι για τους οποίους ισχύει: 5 Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση () n, > Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, ), και να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα. Μονάδες 8 Γ. Να βρείτε έναν θετικό ακέραιο αριθμό α τέτοιο, ώστε στο διάστημα ( α, α ) η εξίσωση να έχει μία τουλάχιστον ρίζα. 4 ( ) (4) Γ. Να λύσετε στο διάστημα (, ) την ανίσωση n < Μονάδες 9 Μονάδες 8 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

62 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Δ Έστω η συνεχής συνάρτηση :(, ) R για την οποία ισχύει: t(t)dt () 8, > Δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (, ) με () Δ. Να αποδείξετε ότι, () > (μονάδες ) καθώς επίσης ότι η ευθεία με εξίσωση y Μονάδες 6 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο (μονάδες ). Μονάδες 6 Δ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, την ασύμπτωτη (y ) της γραφικής παράστασης της στο και τις ευθείες και Μονάδες 8 Δ4. Nα αποδείξετε ότι () > () για κάθε > Μονάδες 5 ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

63 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε απάντηση τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. Διάρκεια εξέτασης: Τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων και όχι πριν τις 7:. ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

64 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Απαντήσεις στα θέματα των Εισαγωγικών Εξετάσεων τέκνων Ελλήνων του Εξωτερικού και τέκνων Ελλήνων Υπαλλήλων στο εξωτερικό ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 98 Α. Σχολικό βιβλίο σελ.9 Α. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β. R Θέτω yi,,y

65 yi yi y y i y y R. y Αφού R. y Έχουμε y y () y 4 A4 Β Γ Α Β 4Γ 6 4> A B Άρα η ( ) παριστάνει κύκλο με κέντρο K, ακτίνα ρ 4 4 Α Β Γ δηλαδή: C: y χωρίς το σημείο A, αφού,y, δηλαδή Β., Οι εικόνες των κινούνται στον κύκλο & K, και δηλαδή δηλαδή τριγ. ανισ Άρα

66 Β. Οι μιγαδικοί κινούνται στον κύκλο 5 Θέτω yi,y y 5 y 5 y 5 Λύνουμε το σύστημα των ( & ) 5 / / / / 4 8 για y 5 4 y y± άρα i, i άρα ( ) y ΘΕΜΑ Γ Γ. > D, ln,. / / / / ln ln ln ln ln ln > άρα η γνησίως αύξουσα.

67 ln ln ln / ln / ln ln ln ln - κοίλη κυρτή Σ.Κ. Η είναι κοίλη στο,,. και η κυρτή στο Γ. Αφού η είναι γνησίως αύξουσα είναι και " ". :" " Θεωρώ g 4 g συνεχής στο [, ] ως πολυωνυμική g 4 < 4 g 4 6> gg () <. Από το Θεώρημα Bolano η g έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο άρα α. α μοναδική ρίζα αφού g 4 >, > Άρα η g γνησίως αύξουσα,,

68 Γ. ln < < ln ln ln < < γνησίως αύξουσα < < < < δηλαδή ΘΕΜΑ Δ Δ. () () t t dt 8 > t t dt 8 () t() t dt 8, t t Η συνεχής στο Η συνάρτηση g( t) είναι συνεχής στο (, ) ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Άρα η συνάρτηση t () t dt είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση στο (, ). Οι συναρτήσεις 8 & είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις άρα η είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Παραγωγίζω την ( )

69 Δ. Από τις Συνέπειες Θ.Μ.Τ. C. για Θέτω στη σχέση () () 6 () () t t dt 8 Άρα 5 C C, > lim lim lim άρα y πλάγια ασύμπτωτη της C στο.

70 Δ., >, > Ω d [ ln ] ln ln ln τμ.. Δ4. > > > > > ( ) > > > > Ισχύει Επιμέλεια Καθηγητών Φροντιστηρίων Βακάλη

71 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 8 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ () ΘΕΜΑ Α Α. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [, ]; Μονάδες 5 Α. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η είναι συνεχής στο Δ και () για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Μονάδες Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμών είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων τους. β. Αν lim () και () κοντά στο, τότε lim () γ. Αν, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι g και g, τότε ισχύει πάντοτε g g. δ. Για κάθε { } ισχύει ε. Έστω μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ]. Αν () για κάθε [, ] και η δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε ()d... Μονάδες ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ

72 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Β Αν ο μιγαδικός αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης με 6 6, τότε:, Β. Να αποδείξετε ότι. Β. Να αποδείξετε την ισότητα την ερμηνεύσετε γεωμετρικά (4 μονάδες). Β. Αν επιπλέον R() Μονάδες 8 4 (6 μονάδες) και να Μονάδες, να βρείτε την τιμή του. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση () ln, Γ. Να βρείτε τις οριζόντιες και κατακόρυφες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της, εάν υπάρχουν.. Μονάδες 6 Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (, ). Μονάδες 9 Γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τον άξονα και τις ευθείες,. Μονάδες ΘΕΜΑ Δ Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : () () για κάθε και (). Δ. Να αποδείξετε ότι (), ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ., για την οποία ισχύουν: Μονάδες 5

73 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [, ). Μονάδες 8 έχει ακριβώς τρεις ρίζες στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Δ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση Μονάδες 6 Δ4. Δεδομένου ότι η συνάρτηση είναι κυρτή στο διάστημα (, ], να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο της (, ) και να αποδείξετε ότι () για κάθε. Μονάδες 6 ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟΥΣ. Στο τετράδιο να γράψετε μόνο τα προκαταρκτικά (ημερομηνία, εξεταζόμενο μάθημα). Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Να γράψετε τις απαντήσεις σας μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό ανεξίτηλης μελάνης. 5. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 6. Διάρκεια εξέτασης: Τρεις () ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 7. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: Μία () ώρα μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων και όχι πριν τις 7:. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KAΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ ΣΕΛΙΔΕΣ