ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συλλογή. Γενικού Λυκείου. Ημερησίου-Εσπερινού-Ομογενών

Transcript

1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Συλλογή Γενικού Λυκείου Ημερησίου-Εσπερινού-Ομογενών 07-08

2 Πρόλογος Το παρόν αρχείο αποτελείται από όλα τα θέματα των Μαθηματικών Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης και Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής που δόθηκαν μέχρι σήμερα σε Πανελλαδικές Εξετάσεις των Ημερησίων και Εσπερινών (τακτικές και επαναληπτικές) Γενικών Λυκείων καθώς και στις εξετάσεις τέκνων Ελλήνων των Εξωτερικού. Είναι ιδιαίτερα σημαντικό να ξεχωρίσουμε ότι τα θέματα από το κεφάλαιο των Μιγαδικών Αριθμών καθώς και όσα σχετίζονται με τη συνάρτηση ολοκλήρωμα στο 3 ο Κεφάλαιο (Ολοκληρωτικός Λογισμός) είναι εκτός εξεταστέας ύλης από το 06. Εκτιμώ ότι αυτή η συλλογή θα οργανώσει και θα διευκολύνει την μελέτη των μαθητών και των έργο των διδασκόντων.

3 00 : : (4) o A.. μ μ z, z. : z z = z z. 7,5.., μμ. μ μ z :. z z z.. z z - z z. z z. i z z 5.. z 3 4i z - 3 i, μ μ μμ,.

4 . z. 4 z. z. 3. z z i z ,5.. μ μ z z, z. z 5 f μ μ μ :, 3 f() -3 - e, 3 3. f, = /9. 9. μ C f f μ (4, f(4)). 7

5 3. μ f, = =. 9 3 μ f, μ μ μ R, : f 3 () + f () + f() = 3 + 6, μ μ μ < 3. R,. f. 0. f. 8. μ f() = 0 μ (0,). 7 4 μ μ f, μ μ R, o : i) f() 0, R ii) f() = - 0 t f (t) dt, R. μ g g() -, R. f() 3

6 4 f() - f. 0. g. 4. f : f(). 4. lim ( f() μ). () 7 ( μ). μ (μμ,, μ μμ). μ μ. μ μ, μ μ μ.. μμ μ μ. μ μ. μ μ, μ. 3. μ. 4. μ μμ. 5. : (3) μ μ. 6. : () μ μ. K 4

7 30 00 : : (4) o A. f μ ' μ [, ]. G μ f [, ], f(t) dt G() G()... f() = μ. f μ R f() =. 8.., μμ.. f μ [,] (,], f [,] μ μ μ.., - μ, μ.

8 . f 0 lim f() 0, 0 lim 0 f() 0.. f μ R, f()d f() f()d.. lim 0 f() 0, f() > 0 0. z μ μ f() = i z,. f(3) + f(8) + f(3) + f(8) = 0.. z= Arg(z) =, IN*. 7 f(3) = iμ. 8. z= Arg(z) = 3, μ μ μ μ μ μ 0, z f(3). 0

9 3 3 f, g μ μ R. fog -.. g : g(f() ) = g(f() + -) μ h, g [, ]. h() > g() [, ], h()d g()d.. μ R f, : f () f() e, R f(0) = 0. ) f f. 5 ) f() f(), > 0. ) μ f, = 0, =, E f()

10 4 ( μ). μ (μμ,, μ μμ). μ μ. μ μ, μ μ μ.. μμ μ μ. μ μ. μ μ, μ. 3. μ. 4. μ μμ. 5. : (3) μ μ. 6. : μ ( /) μ μ. K 4

11 o : : (4) A. f μ μ μ. F μ f, :. μ G() = F() c, c R f. G f μ G() = F() c, c R. 0., μμ.. z, z μ μ, z z z z z. z. μ f μ ' μ (, ), μ μ 0, μ f. f () > 0 (, 0 ) f () < 0 ( 0, ), f ( 0 ) f.

12 . f : R, μ, A : =, f( ) = f( ).. f, g μ, : f() g () d f() g() f () g() d.. μ = 0 μ μ f ; 7. μ () μ μ z : z m (z) 0.., μ μ z (), μ 4 μ w z μμ μμ z. 3

13 3 3 f().. lim f() 0 5. μ f,.. f () f() 0.. d ln μ f μ IR μ, : f() = f( ) f () 0 IR.. f μ. 8. f() = 0 μ. 8 f(). g(). f () μ g μ μ, μ μ

14 4 ( μ). μ (μμ,, μ μμ). μ.. μμ μ μ μ. μ μ. μ μ. 3. μ. 4. μ μμ. 5. : (3) μ μ. 6. : K 4

15 9 003 : : o A., μ f μ μ 0, μ. 8. μ μ μ μ μ; 7., μμ.. z μ μ _ z, z z z.. μ f μ μ. f()>0 μ, f.

16 . f, μ μ, f ()d f() c, c IR.. μ f μ, μ f μ.. μ f μ μ 0 μ. f μ 0 f( 0 )=0, f 0. μ μ z=+i,,ir w=3z i _ z +4, _ z z.. Re(w)=3 +4 m(w)=3. 6., w μ μ y=, z μ y=. 9

17 3. μ μ z, μ y=, μ. 0 3 f() = μ f μ f. 6. f(e )f(+) IR. 6. μ f μ (0,0) μμ f f. 5. μ f, μ = μ f μ [,] (,). f() = f() = 0 μ (,), (,), f() f()<0, : 3

18 4. μ f()=0 μ (,). 8. μ, (,) f( )<0 f( )>0. 9. μ μ f. 8 ( μ). μ (μμ,, μ μμ). μ.. μμ μ μ μ. μ μ. μ μ. 3. μ. 4. μ μμ. 5. : (3) μ μ. 6. : K 4

19 5 004 : : (4) o A. μ f μ μ. f f() = 0 μ, f μ. 9., μμ.. μ f μ 0 μ, μ μ.. μ μ μ.. f, g μ μ IR fog gof,.

20 . C C f f μμ y = μ Oy Oy.. f 0, lim 0 k f() k lim 0 f() 0, μ k k., f() 0. μ μ f μ (, ) μ [, ]. 6 μ f: IR IR μ f() = + m 4 5, m IR, m > 0.. m f() 0 IR. 3. m = 0, μ f, = 0 =. 3 μ f: [, ] IR μ [, ] μ f() 0 [, ] μ μ z μ Re(z) 0, m(z) 0 Re(z) >Im(z).

21 3 z = f() z. z= z = f (), : z.. f () < f () 5 3 f() + f() = 0 μ μ (, ). 9 4 f [0, +) IR, f() f(t) dt. 0. f μ (0, +). 7. f() = e ( + ). 7. f() μ [0, +). 5. lim f() lim f(). 6 3

22 4 ( μ). μ (μμ,, μ μμ). μ μ.. μμ μ, μ μ. μ μ. μ μ, μ. 3. μ. 4. μ μμ. 5. : (3) μ μ. 6. : 0:00. K 4

23 7 004 : : TE (4) o A. μ f μ ' μ 0 μ. f 0 μ μ, f( 0 )=0 0. μ f μ μ μ 0 μ 5. μμ.. μ μ μ μ μ μ.. lim f(), μ lim f() lim f() f, g μ 0, fg μ 0 : (fg)( 0 ) = f( 0 ) g( 0 )

24 .. μ f, μ. f()0 μ, f. f μ μ [,]. G μ f [,], f(t)dt G() G() f μ f()= ln.. μ f, μ μ. 0. μ f μ μ. 8. μ f. 7 3 g()=e f(), f μ IR f(0)=f( 3 )=0.. (0, 3 ) f()=f(). 8

25 3. f()= 3, μ I()=. lim I() 0 g() d, IR f: IR IR f()=. IR, 3 g()= z f(t)dt 3 z ( ) 0, z z=+ic, μ, IR *, :. g μ IR g. 5. N z z z 8.. μ μ Re(z ) = 6 A f()=>0, f(3)= >, 0 (,3) f( 0 )=0. 6 3

26 4 ( μ). μ (μμ,, μ μμ). μ μ. μ μ μ μ μ.. μμ μ, μ μ. μ μ. μ μ, μ. 3. μ. 4. μ μμ. 5. : (3) μ μ. 6. : μ 0:30. K 4

27 o : : (4) A. f f(). f (0,+) : f(). 9. f:a IR - ; 4 B.,.., f 0, f.. f (,) o. f (, o ) ( o,),,f( ) o o f.

28 ... f,g fog gof, fog gof... z, z. f IR *, : f ()d f() d.. z, z z +z =4+4i z z 5 5i, z, z. 0. A z,w z 3i w 3 i : i. z, w, z=w 0 ii. z w. 5

29 3 3 f, IR f()0 IR.. f C f f (,005) (-,), f 004 f( 8). 9. C f, C f (): y f: IR IR, f() lim : i. f(0)=0 ii. f(0)=

30 4. IR, : f() lim 0 f() f IR f()>f() IR, : i. f()> ii. f()d f(). 0 4 ( ). (,, )...,.., : (3). 6. : K 4

31 3 005 : : (4) o A. f, [, ]. f [, ] f() f() f() f(), 0 (, ), f( 0 ) =. 9. y = + f +; 4 B.,.. f [, ] f() < 0 (, ) f() = 0, f() > 0.. lim f() g() lim 0 0 f(), lim 0 g().

32 . f f f y =, f.. lim f() 0 f() > 0 0, lim 0 0 f().. f, f(t)dt f() - f().. f,,. z, z, z 3 z =z =z 3 = 3.. : 9 z z. 7. z z z z. 9. : z + z + z 3 = z z + z z 3 + z 3 z. 3 9

33 3 3 f f() = e, > 0.. f. 3. f,, y = e.. 7. (), f, yy, e - () =. 8. lim (). 7 4 f IR, f() = e f() IR f(0) = 0.. : e f() ln. 6. N : lim 0 0 f( - t) dt. 6 3

34 4. : h() = 005 t f(t)dt g() = h() = g() IR. 7. (0, ). 005 t f(t)dt ( ). (,, )...,.., : (3). 6. : 0:30. K 4

35 5 006 : : (4) o A. : ()=, IR. 0. f. f ; 5 B.,.. z, z, : z z z z.. f, g o g( o )0, g f o : f g ( o ) f( o ) g ( o ) f ( g( ). 0 n. o o ) g( o ).

36 . f: IR, y f()=y.. f [,]. G f [,], f(t)dt G() G(). e f(), IR. e. f IR. 9. d. f(). <0 : f(5 )+f(7 )<f(6 )+f(8 ) z, (4 z) 0 = z 0 f f() = ++, IR.. z =. 7

37 3. () f = yy y o = 3, i. (). 9 ii. f, (), f() = n( ) ( ) n >0.. i. : n( ) n, 0. ii. f (0,+).. lim n( ). 5. (0,+) (+) =

38 4 ( ). (,, )...., : (3). 6. : K 4

39 7 006 : : (4) o A. f,. : f()>0, f. f()<0, f. 0. f. f ; 5 B.,.. z. lim f() 0, 0. z z. () 0 0 f

40 . H f() f. -. ( 3 ) 3, IR.. f ()g()d=[f()g()] f ()g()d, f,g [,]. f() =+(-).. f f - f. 8. i. f f - y=. 4 ii. f f -. 7

41 3 3 z,z,z3 z z z3 z z 0.. z 3 : i. z z z3 z z z3. ( ii. z z 4 Re z z ) z,z,z 3,. 8 4 f()= ln.. f. 8. N f()=0. 5. g()=ln (,ln) >0 h()=e (,e ) IR, f()=0. 9. g h. 3 3

42 4 ( ). (,, )...., : (3). 6. : K 4

43 3 007 : : (4) o A. f 0,. 0. Rolle ; 5 B.,,,,,.. f() f.. f, g, g [,], f ()g()d f ()d g () d.. f, f (t)dt f().

44 . f (,), (,) = lim f () = lim f ().. f, g. f, g f() = g(), f() = g(). 3, f (),. lim f () f f 0 =0, = = = = 3, f ()d. 0 8

45 3 3 f() = e e ln, > 0.. f() (, +). 0. f() e > f (t)dt f (t)dt 3 4 f (t)dt (0, +). 8 4 z = +i, IR 0. z z IR. z z z,. z z =. 9. z. 6. z >0, z 0 0 (z i) (z i)

46 4 ( ). (,, )..., , : (3). 7. : K 4

47 4 007 : : (5) o A. z, z, : z z z z. 8. f, g ; 4.3 y = f +; 3 B.,,,,,.. f [,] [, ] f() 0 f() d 0.. f. f f() > 0.

48 . f 0 g 0, gof 0.. f, g() f(t) dt f g() g ().. > lim 0. i z IR. i. z (0,0) =. 9. z, z z i i = 0 =. i. z z. 8

49 3 ii. : (z) ( z ). 8 3 : f() = 3 3 IR +, Z.. f,. 7. f() = 0. 8., 3 f, (, f( )), B(, f( )) ( 3, f( 3 )) y =. 3. f y =. 7 3

50 4 4 f [0, ] f(0) > 0. g [0, ] g() > 0 [0, ]. : F() = f(t) g(t) dt, [0, ], 0 G() = g(t) dt, [0, ]. 0. F() > 0 (0, ]. 8. N : f()g() > F() (0, ].. N : F() F() G() G() (0, ] : lim 0 0 f(t) g(t) dt 0 0 g(t) dt t 5 dt. 7 4

51 5 ( ). (,, )..., , : (3). 7. : K 5

52 3 008 : : (4) o A. [, ]. G f [, ], f (t)dt G( ) G( ) 0.. ; 5,,,,..,.. f, f,.. f ()d 4

53 ..,, : +i=0 =0 =0. (, )(, ). : lim f() lim (f() ) 0 o o i 3 z z +z+=0,.. = =. 9. z w, : w z z 8 4

54 3 3 f() ln, 0.. : f() >0. 6. f. 6. g() ln f () k,, 0 0 i. k g. 6 ii. k, g,, (0, e). 7 4 f [0, +) f() > 0 0. : 0 F() = f(t) dt, [0, +), F() h(), ( 0, + ). t f (t) dt 0 3 4

55 . 4 0 e t [f (t) F(t)]dt F() 6. h (0, +). 8. h()=, : i. f(t) dt tf(t)dt ii. F(t) dt F( ) 0 5. (,, )..., , : (3). 7. : K 4 4

56 4 008 : : (5) o A. f() = ln * : ln, * 0. f [,]; 5 B.,,,,,.. f:a, f : f (f ( )), A f (f ( y )) y, y f ( A ). f f. 5

57 . z +z+=0,, 0,.. f, f( ) > 0.. A f,, f()d f()d f()d z w : ( i )z 6 w ( i) w (3 3i). z. 6. w. 7. w 6. z w 6 5

58 3 3 f() ln, 0, 0 0. f f. 9.. e. 6 f(+)>f(+)f(), > f f() (0 3 3). f()= f(t)dt

59 4. g. g () g ( h) g() lim h0 h 4. f () g () g( h) g() g( h) lim h0 h f() 45 g(0)=g(0)=, i. g()= ii. g 3 ( ). (,, )...,

60 5 4.., : (3). 7. : K 5 5

61 9 009 : : (5) o A. f() =. f (0, +) : f () 9 B. f o. f o ; 6.,,,,.. z ( z ) z. f, f. 5

62 . lim o f() = 0 f() < 0 o lim f () o = +. f() =. H f = 0 f (). f,, f () d = f() + c, c. z : iz iz 8 0. N z = +yi. 0 5

63 3. N z z. 8. z, z z z z 40 z 3 f() ln[(+) ++] ln(+), 7., lim f().. = 5. f. 0. f 6. f() + =

64 4 4 f:0, f () 4f () 4f () k e, 0 f (0) f (0), f () = f()+ e 4, f() = e k... g() = 3 f () f () e, 0 Rolle [0,]. 4 (0,), f ( ) 4f ( ) = 6 e + 4 f ( ) 6. k = 6 g() = 0 [0,]. 6. f () e, f () d 4 4 5

65 5. (,, )..., , : (3). 7. : K 5 5

66 ( ) : : (5) o. f. f f () 0, f. 0. f 0 ; 5.,,,,.. z, z, z z z z. f () 0 A, f()f( 0 ) A 5

67 . lim 0. f.. f [, ] f()<0 [, ], f, =, = ( ) f () d z=(+)+()i,.. z, 9. z 0 i. 8 5

68 3. w w w z 0 z f () ln( ),, A. f (), =e. =e,. f f (, 0] [ 0, ) 6., (, 0) (0, ), f ( ) f ( ) 0 (, ) 6 3 5

69 4 4 f [0, ] H () 0 t f (t)dt, H() G() 6 lim t0 0 t f (t)dt 0 t t [0, ], f (t)dt 3, 0, ( 0, 0. G [0, ]. 5. G (0, ) ] G () H(), 0 6. (0, ) ()=0. 7. (0, ) t f (t)dt 0 0 f (t)dt 7 4 5

70 5. (,, )..., : (3). 7. : K 5 5

71 7 00 : : (5) A. f() =,, ( ) = 8 A. f [,] ; 4 A3. f 0 A (), f( 0 ); 3 4.,,,,. ) f() =, > 0, ) fog gof, ) fog = gof lim 0 f (), lim 0 f () 0 5

72 ) f [,] f() 0 [,], f ()d 0 ) zc z z z 0 z, z z +z = z z = 5 B. z, z 5 B. w w z w z z z w (+) + y = 4 8 B3. w Re(w) + Im(w) = 0 6 5

73 3 B4. w, w w w w 4, w w 6 f() = ( )ln + 3, > 0. f 5. f (0,] [, + ) 5 3. f() = , 3 <, (, ), f() f() = 0 f, f ( )

74 4 f: f(0) = f(0) = 0. f() 4 f (t)dt 3. 0 lim f() + = f (),, : 3. f() = e, 8 4. h() = f (t)dt, 0 3 f (t)dt 4 6 f (t)dt

75 5. (,, )..., : (3). 8. : K 5 5

76 ( ) 9 00 : : (4) A. f. F f, : G()=F()+c, c f G f G()=F()+c, c 6 A. = 0 f ; 4 A3. f. f ; 5 4.,,,,. ) +i +i. 4

77 ) f. f,. ) f (,), (,), A lim f () B lim f () ) ()=, 0 ) lim f () 0, f()<0 0 z zc z0 z B. z z. B z z 0 B3. w w 4 3i z z w. 7 B4. w 3, 3 w 7 5 4

78 3 f()=+ln( +),. f. 5. : (3 ) 3 ln 7 3. f f I 3 4 f ()d 4 7 f: : f() t f() =3+ dt f (t) t. f f () f()=, f () 5. g()=f () f(),,. 7 0

79 f()=+ 9, f (t)dt f (t)dt, 6 7. (,, )..., : (3). 8. : K 4 4

80 6 0 : : (5) A. f()= ( ) = 0 A. f,. f. 5 3.,,,,. ) z=+i,, z z = ) f 0 A () f( 0 ), f() f(0) A ) f, -. 5

81 ) lim 0 f () 0 f()>0 0, lim f () 0 ) f 0. 0 z, w, : z i =+Im(z) () w(w +3i)=i(3w +i) () B. z y= 4 7 B. w (0,3) =. 7 B3., z, w z =w. 5 B4. N,, u, 5

82 3,,,. 6 y=, 0. (0,) y,. y (4,) y (0,) O t, t 0 (t) 6m/min., t, t 0 : (t)=6t 5. (4,),,

83 t 0 (0, 4 ), d=(). 8 y. f:, 3, : f () i) lim f (0) 0 ii) f(0) < f()-f(0) iii) f () 0. f 0 =0. 3. f. 5 g()=f(),, : 3. g lim 0 g() 6 4 5

84 5 4. f ()d > g, 5 =0 = ()=e, 0 f ()d (,), 0 f (t)dt = ( ). (, ) , : (3). 8. : 8.00 K

85 ( ) 6 0 : : (4) A. f 0. f 0, : f ( 0 ) = 0 0 A. f. y=+ f ; 5 A3.,,,,. ) z 0 z 0 = ) f:a -,, A :, f( ) f( ) ) = {=0} : ( ) ) : lim 4

86 ) C C f f y= Oy Oy. 0 z w : z 3i z 3i w z 3i z 3i, z 3i B. z 7 B. z 3i z 3i 4 B3. w w 8 B4. : z w z 6 f :, f 0 f (0), :, 0. e f () f () f () f () 4

87 3. : f () ln(e ), 8. f f ln( e ) = 0, 7 f, g :, : i) f()>0 g()>0 ii) iii) f () e g() e 0 0 t e dt g( t) t e dt f ( t). f g f() = g(). 9. : f() = e, 4 3 4

88 4 3. : lim ln f () f F() f (t yy =. 7 )dt ( ). (, ) , : (3). 8. :

89 4 0 : : (4) A. f (, ), 0, f. f()>0 (, 0 ) f()<0 ( 0, ), f( 0 ) f 7 A. f g ; 3. Rolle. 6 4.,,,,. ) f,, f ) +i +i. ) 0<<, lim ) f 0, 0 4

90 ) f [, ]. G f [, ], f (t)dt G( ) G( ) 0 z, z, z w= z :. B. z B. 4 z. z 7 6 B3. (z +z )4, z, z z z z 6 B4. u, u ui= w i w, w0, y = 6 f:, : f()+=e,. 4

91 3. f()= e,, o f f 0,f (0)., f, f()=+,. 8 lim ( n) n f () f:a =(0,+ ), : f(a)=,0 f (0,+ ), f () f (t) f()+ e e f (t) t dt, >0 t F()= f (t) dt, >0. f()= n, >

92 4. F 0,F(0), 0 >0,. ( 0, ) > 0, F M, F( ) : F() ( )y+0 ( )= >, F( ) ( )f ( ) 5 ( )( ) 3 3 0,, (,3) 5 4. f t dt t f (t)dt, 0 6 ( ). (, ) , : (3). 8. : 8.30 K 4 4

93 ( ) 8 0 : : (4) A. f. f() 0, f 7 A. f [, ]; 4 A3. f. f 0 A ; 4 A4.,,,,. ) ) f -, y f()=y ) lim 0 f = +, f()<0 0 4

94 ) (), {=0} ) f()g ()d [f()g()] f ()g()d, f,g [,] 0 z w : z _ + z + = 4 () w _ 5 w = () B. z = 6 B. z, z z z _ z =, z. z 7 B3. w y 9 4 w 6 B4. z,w () () : z w 4 6 4

95 3 f()=() n, >0. f =(0,] =[,+). f e 03, >0 6 3., <, 0 (, ), f (0) f(0) g()=f()+ >0, =e 7 f:(0,+), >0 : f() 0 f(t)dt n = e nt t dt e f(t) f(). f

96 4 f() = e ( n), >0, :. : lim 0 f f 5 3. n, >0, F f(t) dt, >0, >0, ( ). : F() + F(3) > F(), >0 ( 4) >0. (,) : F() + F(3) = F() 4 ( ). (, ) , : (3). 8. : f 4 4

97 ( ) : : (4) A. f,. G f,, : f t dt G G 7 A. (...) 4 A3. f, ; 4 A4.,,,,. ) z z0, >0 Kz 0, z, z 0. ) 0, lim f 0 f 0 0 ) : ) : lim 0 ) f f. 0 4

98 z : z z z B. z, K,0 ( 5), z, z 3 ( 3) 8 B. z, z w w 0, w,,, : Im z Im z B3., 0,. v : : v v v v 4 f,g: : f f, f0 3 3 g 8, f 4

99 3.. : f, f g ,, : 4 0 ft dt f f: 0, :.. f 0, f f 5h f h lim 0 h0 h ft g dt t :,, f 0 ( 4), f 0 ( ). 6 g ( 3),, g(u)du g(u)du ( 6) 9 3 4

100 4 3. g, ft dt f, t. 0 ( ) ,, : (3). 6. : K 4 4

101 ( ) IOYNIOY 04 - : : (4) A. f. f f() 0, f. 8 A. f. f ; 4 A3. f A. f 0 (), f ; 0 3 A4.,,,,,,. ) z z z Im(z) ( ) ) 0 lim f, lim 0 f 0 ( ) 4

102 ) f (),. ( ) ) f,,, f()d f()d f()d ( ) ) f. f,. ( ) 0 z (z z)i 4 i 0, z B B. z=+i z=-i, 3i 39 z w 3 z 8 B3. u u w 4z z i w, z, z. 8

103 3 h( ) ne ( ),. h e h( h () ) e e, 7 h,. () e h(), 4. n 6 (), ' 7 f e, 0, 0. f 0 0,,.. f. ) 7 f () f(u) du 0, 0 ( 7) 3 4

104 4 ) M t 0 A, 0 f( ) y f(), 0 (t), y y(t), t 0. (t) M y(t), '(t) 0 t 0. ( 4) 3. e g() f(), 0, g. 7 ( ) ,,, : (3). 6. : K 4 4

105 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της μορφής G() F() c, c είναι παράγουσες της f στο Δ, και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G() F() c, c. A. Πότε μια συνάρτηση f:a λέγεται συνάρτηση -; Μονάδες 7 Μονάδες 4 A3. Πότε η ευθεία 0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f; Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν z, τότε ν (z ) ν (z), όπου ν θετικός ακέραιος. β) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο 0 και ισχύει f() g() γ) Αν κοντά στο 0, τότε 0 lim f() lim g() 0 0 lim f(), τότε f()>0 κοντά στο 0 δ) Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του, της οποίας η γραφική παράσταση έχει ασύμπτωτη. ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

106 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ε) Αν f είναι μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α,β] και G είναι μία παράγουσα της f στο [α,β], τότε πάντοτε ισχύει: β α f(t)dt G(α) G(β) Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z,w για τους οποίους ισχύουν: z 3i 8 z 3 w i m (w) B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι η ευθεία με εξίσωση y 3 0 Μονάδες 9 B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w είναι η παραβολή με εξίσωση y 4 Μονάδες 9 B3. Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z, w να βρείτε την ελάχιστη ΘΕΜΑ Γ τιμή του μέτρου z w. Μονάδες 7 Δίνεται η συνάρτηση f() e ln, (0, ) Γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Μονάδες 6 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

107 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Γ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g με όπου h() f( ) f() h() g() t dt,. Μονάδες 6 Γ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f f() έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες, Μονάδες 6 Γ4. Αν για τις ρίζες, του ερωτήματος Γ3 ισχύει ότι, τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ (,) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο ( ξ,f(ξ) ) να διέρχεται από το σημείο Μ 0, 3 Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f:(0, ) για την οποία ισχύει: ( ) f () f(), () f( για κάθε (0, ) Δ. Nα αποδείξετε ότι ln,0 f(), Δ. Να αποδείξετε ότι f(t) f(t)dt dt, t για κάθε (0, ) Μονάδες 6 Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

108 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Δ3. α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(t) g() dt, (0, ) t είναι κοίλη. (μονάδες 5) β. Έστω Ε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g, την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο που η γραφική παράσταση της g τέμνει τον άξονα και την ευθεία 3. Να αποδείξετε ότι E. (μονάδες 4) Μονάδες 9 Δ4. Να αποδείξετε ότι f(t) dt tf(t) dt, για κάθε (0, ) Μονάδες 6 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης: 8:00 ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

109 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και f(α) f(β), τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας τουλάχιστον 0 (α,β), τέτοιος ώστε f( 0 ) η. Μονάδες 7 A. Έστω μια συνάρτηση f και 0 ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Πότε θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο 0 ; Μονάδες 4 A3. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο 0 Α τοπικό ελάχιστο; Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν για δύο συναρτήσεις f,g ορίζονται οι συναρτήσεις fog και gof, τότε ισχύει πάντοτε ότι fog = gof. β) Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α βi γ δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους. γ) Για κάθε ισχύει ότι ( συν ) ημ. και ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

110 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ δ) Έστω f μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α,β]. Αν ισχύει ότι f() 0 για κάθε [α,β] και η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε β α f()d 0. ε) Αν lim f() 0 και f() 0 κοντά στο, 0 τότε 0 lim. f() 0 ΘΕΜΑ Β Μονάδες 0 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: z 4 z. B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων αυτών των μιγαδικών αριθμών z είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ=. B. Έστω Β. z z w, z z Να αποδείξετε ότι: α) Ο w είναι πραγματικός και β) -4 w 4. Μονάδες 7 όπου z,z δύο μιγαδικοί αριθμοί του ερωτήματος (μονάδες 4) (μονάδες 7) Μονάδες B3. Αν w -4, όπου w είναι ο μιγαδικός αριθμός του ερωτήματος Β, να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους μιγαδικούς αριθμούς z,z και να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τις εικόνες A(z ), B(z ), Γ(z 3) των μιγαδικών αριθμών z,z και z, 3 με z3 iz, είναι ισοσκελές. Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

111 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ e f(),. Γ. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα (0, ). Μονάδες 6 Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 e ( ) f e ( )) έχει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών μία ακριβώς ρίζα. Γ3. Να αποδείξετε ότι f(t)dt f(4) για κάθε 0. Γ4. Δίνεται η συνάρτηση 4 f(t)dt, 0 g(), Μονάδες 8 Μονάδες 4 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο [0, ). ΘΕΜΑ Δ Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: για την οποία ισχύουν: f() e f() f() e για κάθε και f(0) 0. Δ. Να αποδείξετε ότι n( ) f() n,. Μονάδες 7 Μονάδες 5 Δ. α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f. (μονάδες 3) ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

112 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, την ευθεία y και τις ευθείες 0 και. (μονάδες 4) Δ3. Να υπολογίσετε το όριο: f lim () (t)dt e n f(). Μονάδες 7 Δ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: Μονάδες 6 3 f(t )dt 8 3 f (t)dt έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (,3). Μονάδες 7 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 0.00 π.μ. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

113 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 06 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) & ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και o ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο o και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε να αποδείξετε ότι f( o) 0. Μονάδες 7 A. Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής. Μονάδες 4 A3. Πότε λέμε ότι η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο ; Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. συν α) lim. 0 β) Αν f() ln για κάθε 0, τότε για κάθε 0. f() γ) Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο o, τότε η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο o. δ) Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού ν, η οποία έχει ασύμπτωτη. ε) Για κάθε συνάρτηση f, συνεχή στο [α,β], ισχύει: αν β α f() d > 0, τότε f() 0 στο [α,β]. Μονάδες 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

114 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Β Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f. B. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f. B. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια. α) γ) lim f() lim f() 5 β) δ) lim f() 3 lim f() 7 ε) lim f() 9 Για τα όρια που δεν υπάρχουν να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες Μονάδες 7 B3. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια. α) lim β) f() lim γ) f() 6 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. lim f(f()) 8 B4. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η f δεν είναι συνεχής. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. B5. Να βρείτε τα σημεία o του πεδίου ορισμού της f για τα οποία ισχύει Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 9 Μονάδες 3 f( o) 0. Μονάδες 4 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

115 ΘΕΜΑ Γ ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ f() 3 3 Δίνεται η συνάρτηση f: με. Γ. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνάρτηση - (μονάδες ) και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση f (μονάδες 4). Μονάδες 6 Γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε 0 ισχύει: 3 f(ημ) f( ) 6 Γ3. Ένα σημείο Μ κινείται κατά μήκος της καμπύλης y. 3 y, 0 με Μονάδες 9 (t) και y(t). Να βρείτε σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης y(t) του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης (t), αν υποτεθεί ότι (t) 0 για κάθε t 0. Μονάδες 4 Γ4. Αν g: είναι συνεχής και άρτια συνάρτηση, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση - f() g() d. ln,0 f(), ln, Μονάδες 6 Δ. Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο (0, ) (μονάδες 3) και να βρείτε, αν υπάρχουν, τις κατακόρυφες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. (μονάδες ) Μονάδες 5 Δ. Να αποδείξετε ότι το o είναι το μοναδικό κρίσιμο σημείο της f. Μονάδες 8 Δ3. i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωσηf() 0 έχει μοναδική ρίζα στο (0, ). (μονάδες 3) ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

116 ii) ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική, όπου παράσταση της f, τον άξονα των και τις ευθείες και o η μοναδική ρίζα της εξίσωσης f() 0 στο (0, ), να αποδείξετε ότι o o o o E Δ4. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο [, ) να αποδείξετε ότι ( )F() F() F( ),. για κάθε. (μονάδες 4) Μονάδες 7 Μονάδες 5 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 8.30 ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

117 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f() 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Μονάδες 7 A. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Κάθε συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο 0, είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.» α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα ) β. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α. (μονάδες 3) Μονάδες 4 A3. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων f: και g:, αν lim f() 0 και lim g(), τότε lim [f() g()] β) Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού A, B αντίστοιχα, τότε η g f ορίζεται αν f(a) B. γ) Για κάθε συνάρτηση f: που είναι παραγωγίσιμη και δεν παρουσιάζει ακρότατα, ισχύει f() 0 για κάθε. δ) Αν 0, τότε lim. ε) Η εικόνα f( ) ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Μονάδες 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ ΕΣ

118 ΘΕΜΑ Β ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Δίνονται οι συναρτήσεις f() n, 0 και B. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f g. g(),. Μονάδες 5 B. Αν h() (f g)() n, (0) (0,), να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. Μονάδες 6 e B3. Αν φ() h () e,, να μελετήσετε τη συνάρτηση φ ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. Μονάδες 7 B4. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ και να τη σχεδιάσετε. (Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό.) Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f(), [0, ], και το σημείο A,. Γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτόμενες ( ), ( ) της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε. Μονάδες 8 Γ. Αν ( ): y και ( ): y είναι οι ευθείες του ερωτήματος Γ, τότε να σχεδιάσετε τις ( ),( ) και τη γραφική παράσταση της f, και να E αποδείξετε ότι, όπου: E 8 E είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες ( ),( ), και E είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τον άξονα '. Μονάδες 6 Γ3. Να υπολογίσετε το όριο lim f() f() ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ ΕΣ. Μονάδες 4

119 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Γ4. Να αποδείξετε ότι e f() d e. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f() 3, 4 e, [0, ], [,0) e, [0, ] Δ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [, ] και να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της. Μονάδες 5 Δ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Μονάδες 6 Δ3. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική 5 παράσταση της f, τη γραφική παράσταση της g, με g() e,, τον άξονα y'yκαι την ευθεία. Μονάδες 6 Δ4. Να λύσετε την εξίσωση e f() e (4 3 ) 8 Μονάδες 8 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 0.00 π.μ. ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙ ΕΣ

120 7 00 : A ( ) : (3). ) μ f μ μ, μ. 8,5 ) μ μ μ f μ (, f( o )). 4 B. ) z=+yi 0, z μ z, z μ z= ( + iμ) 8,5 ) z = ( + iμ ), z = ( + iμ ) μ μ μ z, z z =z, ) = + =0. ) + =0 = +k, k Z. 3) = =k, k Z. 4) =0 + =k, k Z. μ. 4

121 μ μ z i z=3+4i z ) yi,,yir, = z y=. 8 ) μ ++=0,, IR, z, μ. z 8 ) μ μ μ z z z z 9 3 f() = ) μ f μ μ yy. 7 ) μ f. 9 ) μ f, =0, =. 9

122 3 4 μ f : 0, IR f() = 0 f() f() =, (0, ). f() ) h() ( 0, ). 7 ) f. ) lim (ln ) f(t) dt ( μ). μ (μμ, μ μμ). μ μ.. μμ μ μ μ. μ μ. μ μ. 3. μ. 4. μ μμ. 5. : (3) μ μ. 6. : () μ μ K

123 6 003 : A ( ) : (3) ) IR μ f : A RI, μ μ. f -; 5 ) μ f μ μ. f f()=0 μ, f μ. ) μ,, 3, 4 μ μ (),, (), μ.. z z = z z. z z = z z 3. z z z z z 4. z z z =+i z = +i μ μ. 8

124 f() 3,, ) f 0 = ) f μ 0 = ), f() 3 f() + f() =. 0 3 f μ f(z) = μ μ z0. ) z fz z i z, z μ f, o z μ μ. 6 ) f z, μ z μ. 9 ) Re (z) f, μ μ z,. 0

125 3 4 f μ IR, μ f(0)=0 f μ 0, : ) >0 (0, ) f() = f(). 6 f() ) h() e, >0 - μ ( 0, ). 0 ) h() e 5, μ e I f( ) d. 9 ( μ). μ (μμ, μ μμ). μ μ.. μμ μ μ μ. μ μ. μ μ. 3. μ. 4. μ μμ. 5. : (3) μ μ. 6. : () μ μ. K 3

126 6 004 : ( ) : (4). f μ μ μ. F μ f, : μ G() = F() + c, c R., f G f μ G() = F() + c, c R.. 0 B. R., f μ μ μ 0 A. μ f 0 () μ, f( 0 ); 5 μ,,, μμ,,,,, μ.. μ μ μ μ μ.

127 . μ f μ μ 0 μ, μ.. μd c. μ f μ μ. μ : f, f.. μ - f C, C f f - μ. C C f f - μμ y=. f() =, 0, 0 ln,, R.. ) f μ. 8 ), μ μ, : = =0, : i) lim f() 9

128 3 ii) : lim f() f(), lim f() f() 8 3 z μ μ, μ z i z w. z ) w μ, z μ z. 0 ), μ μ, z 3. z 3 0 ) z, z μ (), μ : (z 3 z ) i =. 4 (z z) 5 4 f μ μ μ = (0, + ) : f() = + f(t)dt,. ) f(). 3 3

129 4 ) f() = 3. ) f. 0 6 ) μ f, = =4. 6. μ (μμ, μ μμ). μ μ.. μμ μ μ μ. μ. μ μ, μ. 3. μ. 4. μμ. 5. : (3) μ μ. 6. : () μ μ. 4

130 3 005 :A : (4) ) f 0,. 0 ) (, y) z=+yi. z; 5 ),, 3, 4 5 (),, (),.. z z, z z z.. f 0, lim 0 f() lim f() () =.

131 4. e d e c, c IR. 5. f [,], f [,] m. z = 3+i z = -3i. ) z i z ) z z iz = 0. z 8 8 ) kz iz w, k IR { }. z kz k IR { } m(w) =. 3 e, 0 f()= IR. ln, 0 9 A) f 0 =0. M 0 B) = :

132 3 i) f 0 =0. 5 ii) f. 5 iii) f, = =e. 5 4 f() = ln + e, (, + ). ) f (, + ). ) ln e lim, lim, lim f(). 6 6 ) N f()=005 (, +). 6 e f(e) f ()d. f() ln. ) f() d 7 3

133 4 ( ). (,, ) : (3). 6. : (). 4

134 006 : A : (4) ) f( ). f (0,+) f ( ). 0 ) f 0. f 0 ; 5 ),, 3, 4 5 (),, (),.. z, z, : z z z z z z.. f(). f R R 0 f ().

135 3. lim f( ) 0 0, f ( ) d c. 5. f, [,] f( ) 0,, f()d 0. z : 5 5 z 5 5 z. ) 5z z 5. ) : z. 5 0 ) w 5z, (w). 0

136 3 3 ln 5 f. ) f; M 6 ) f. 7 ) f. 6 ) f()=006 f. 6 4 f, f 3 ftdt, R ). ) f 0 3e. f e 5 5 ) N () f, =0, = >0. 0 ) lim 0 3 5

137 4 ( ). (,, ) : (3). 6. : (). 4

138 007 : A : (4).. f()=. f : f()=. 0. f ; 5.,, 3, 4 5 (),, (),.. z, : z z.. : lim. 0

139 3. f 0, f f, g 0 g( 0 )0, g f 0 : f g 0 f ( 0 )g( 0 ) f ( g( ) 0 0 )g( 0 ). 5. f,, : f ()d f () c, c. z =i, z = z 3 =+i.. : z z z3. 5. z z z z z, : i. Re (z) = Im (z). 0 ii. z 0, z z A z z. 0

140 3 3 f. 4 ln, 0,. : f e 5 0, f 0 4 f 5 e 0. M 6. f (, f()). 5. f. 4. f() = 0 (0, +). 0 4 f, 3 f() f () 4e f(0) =.... e. : f e 3 h() e. : I() 0 lim. I(). f () e f (t) dt 9 5 3

141 4 ( ). (,, ) : (3). 6. : (). 4

142 9 008 : A : (3).. z, z, : z z z z. 0. f g ; 5.,, 3, 4 5 (), (),.. z = + i, z = 0, = 0 = 0.. f, g. : lim f () g() lim f() lim. g() f. f() < 0, f. 3

143 4. f ()d 0, f() > 0 [, ]. 5. f, f, f.. z = k + (k + )i, k.. z y = z ; 9 B., = ( i) 4 ( + i) 4, = =. 0 3 l n f f (), > 0.. f. 0. o o lim f().. : e I f ()d

144 3 4 f f() =,.. (0, f(0)) f. M 0. f y = y =. 0. > 0 > ( ). (,, ) : (3). 6.,. 7. : () 7.00.

145 7 06 & : : (3). (). { 0} 0. f. f ; 5 3.,,,,.. lim. 0. g f f, f() g.. f f.. f f() 0,. f [,], f()d f()d.. 0 3

146 . f(),,., f A(3,). 3 :. f f f (), f f f(), f f (, ) f. 6 E() f. y, 4. (, ) () ln. 8 5

147 3 0, 0 ln f(), 0,.. f [0, ). 8. f [0, ) f(e ) f() lim. e f() f ln (, ) : (3). 7. : () 7:00. KA 3 3

148 5 07 : : (4) A. f o. f o,. A. : f( ) 0 o 7 «f, o f( O) 0, o f». ),,,. ( ) ) ). ( 3) 4 A3. : f :[, ], f( ) f( ) 0, ) f() 0 (,). ) f() 0 (,). ) f() 0 (,). ) f() 0 (,). 4 4

149 A4.,,,,,. ) f :[, ], G f [,], f() d G( ) G( ). ) f,,, f( ) f( ). ) (,) f, (,) C f. ) f:[, ], (,), f() = f(), (,) f ( ) 0. ) f:[, ], f() d 0, f() 0 [,].. h() e e,. 0 h. 7. h h e h()d

150 3 cm. :.. 6. Z : 3. f() 4 4, o [0, ], o 4e o cm. f( ) 6 f, [0, 3], : f :

151 4 f(0), f() 0 f =0 =3 8.. f [0, 3].. f(3), f(),, f() im, im,. ln 0 f()- 8. f,,, f. 3.,3 lim. f() o 4. f. ( ) o : (3). 6. : 7:00 K 4 4

152 5 00 : : (3). ) z = ( + i μ ) z = ( + i μ ) μ μ μ μ, : z z = [ ( + )+i μ ( + )] 6,5 ) z = + i μ, R, μ μ, μμ μ, μμ μ. A. Re(z). - - i.. -z... Im(z) z z z z. - i

153 . μ μ z = + i z = i. ) z z μ. μ 8 ) μ μ μ z z. 4,5 f() = , R. ) μ μ f μ yy. 7 ) μ f μ (3, f(3)). 9 ) μ μ f. 9 3 f: RR, - 4 f() + 4, R. : ) f(0) = 6 ) H f μ 0 = 0. 9 ) f μ μ 0 = 0. 0

154 km μ km. μ μ μ 90 km. μ 60 μ, 5,5 00 μ 000 μ. ) () μ : K () , ) μ. 3 ( ). μ (μμ,, μ μμ). μ -.. μμ μ μ μ. μ μ. μ μ. 3. μ. 4. μ μμ. 5. : (3) μ μ. 6. : () μ μ. K 3

155 4 003 : : (4). f() =. f μ R = IR { = 0} f() =. 0. μ μ,, (),, (), μ.. μ μ μ z = + yi,, y μ μ, z y.. μ μ, y μ y = f(), f μ μ 0, μμ μ μ y μ 0 f( 0 ).

156 3. μ f μ μ (, ), μ μ 0, μ f. f() > 0 (, 0 ) f() < 0 ( 0, ), f( 0 ) f. 4. μ μ z = + yi,, y μ μ, μ z _ = + yi. 5. f g 0, lim 0 f() g() lim f( ) 0, lim g() 0. lim g( ) f(), IR {}. - f() lim y = μ f f (, +). 0

157 3 3, f() 0-5, μ 0 = f 0 = f 0 = 5 f(5). 8. μ f μ (5, f(5)). 4. f. 8 4o μ μ z = + yi,, y μ μ i (i z) w i z μ z i. :. - - y i (y ) (y ), w 8 3

158 4. w μ μ, z (0, 0) = 8. z μ μ, w (0, 0) =. 9 ( ). μ (μμ,, μ μμ). μ -.. μμ μ μ μ. μ μ. μ μ. 3. μ. 4. μ μμ. 5. : (3) μ μ. 6. : () μ μ. K 4

159 7 004 : : (4). z = i z = i,,,, IR, μ μ, : z z z z 0 μ μ,,,, μμ,, (), (), μ.. (, ) (, ) i i μ, μ μ i i μ. 3. μ μ z = i,, IR, z = i. 3. f() =, IR. H f μ f() = μ. 3

160 . μ f μ μ. f f() = 0 μ, f μ. 3. μ f, μ. f() < 0 μ, f. : f()= 4, IR. ) : i) f() lim 0, ii) f (0)= f (0). ) : lim f() f() =, IR {},, μ μ. C f f μ (,4) f(3) 3 f() = 0. ) = = 0. 9

161 3 ) μ f μ (,4). 8 ) y = μ f. 8 4o μ μ μ z = yi,, y μ μ, k IR : = 3k y = k. : ) 3 Re(z) 4 Im(z) = 3, k =. 9 ) z 5, z 0. 0 ) μ μ z μ,. 6. μ (μμ,, μ μμ). μ.. μμ μ μ μ. 3

162 4 μ. μ μ. 3. μ. 4. μ μμ. 5. : (3) μ μ. 6. : μ () μ μ. K 4

163 4 004 : : (4). + i, +i μ μ,,,, IR +i 0, : i i i 9., μ μ μ μ μ ( μ ).. i B. i. i 3. i 4. i i μμ μμ μ, μ. 4

164 μ,,, μμ,, (),, (), μ.. f, g μ μ. f, g f() = g() μ, c, : f() = g() + c. 3. f μ μ,, μ < : f( ) < f( ). 3. f(). H f μ (0,+) f (). 3.,, μ μ ( 0, f( 0 )), C f μ f, μ μ 0 μ = f( 0 ). 3, f() 4 3, 6 k,, k IR.. μ k, f 0 =. 0

165 3.. μ f μ (, f( )). 8 μ μ μ, : μ f( 5) + f(5) + 34 = f() = , IR, μ μ. f μ 0 = f( ) = 98.. = 6 = μ f μ. 9. f. 4. f() = 0 μ μ (, ). 6 4o μ μ μ z = + yi,, y μ μ, IR : z z : z z i i i. 3

166 . Im(z) = 0, =.. = 0, z + = μ μ : μ μ z μ,. 8. μ (μμ,, μ μμ). μ.. μμ μ μ μ. μ. μ μ. 3. μ. 4. μ μμ. 5. : (3) μ μ. 6. : μ () μ μ. K 4

167 8 005 : : (4).. f. f f() = 0, f.. R.. ; 3. (),, (),.. z = +yi,, y R., : z z.. z = +i, : z z,, R , lim. 0

168 4. f() =. f R = R. { = 0} : f (). 5. f 0 R., lim k f() k lim f() :, k R i z, R.. i., z. 0. = 6, z. 6. = 4, z. 3 3, f(). 4, 9. f. 6

169 3. f. 0., f Rolle [,]. 9 4o f() k, 4 R, (0,0) =.. k = f,. 8. (,4), f, (, f()) (4, f(4)). 0. (,, )

170 : (3). 6. : (). K 4

171 8 005 : : (4).., f,.. (,y) z = +yi. z; 3. (),, (),.. f : R. -,, :, f( ) f ( ).. M f o A (), f( ), f() < f ( ) A.

172 3. f, g o f() g (), lim o f() > lim g(). o 4. z z, z z z z. 5. f [,] (,),, (,), : f() f() f() =. : z = - + (3-)i, R. w = k+4i, k > 0. z, w : Re(z) + Im(z) = 0 w = 5.. z = -+i. 8. k = R.., z z 3i - w. 9

173 3 3 f() = 3 +k +3-, R., k R., (,). :. k = f. 0. f() = 0 (0, ). 0 4o ( ) k f(), k R y = f +, = k = (, ), f. 8. f =. 7 3

174 4 ( ). (,, ) : (3). 6. : (). K 4

175 3 MA 006 : : (4). z, z, : z z z z. 7.,,,.. f. f()0. lim f() lim. f() o 3.,. (,) (, ) z=+i z i f,. 3 o

176 4. f() = [0, +), f () (0, +) lim f() lim o f() o +, = f f, g. f, g f() = g(), c, : f() = g() + c. 3, = 0 (). (). 9. z, z (), i 006 A z z z 3 z. 9

177 3. z = +3i, z : z z , f() 4 R.. 8 4, 4. R. f =. 0. =0. f R.. 7. f o k R. f() 3 k 0, R... k R f (, f()). 5 3

178 4. k = 3. f. 8. f (, 0]. 5. ( 4,5) f() = 5 (0,). 7. (,, ) : (3). 6. : (). 4

179 4 007 : : (3).. : f,g 0, f+g 0 : (f+g) ( 0 ) = f( 0 ) + g( 0 ).. f g ; 5.,,,.. +i +i.. f,, f. 3. f, g, h ho(gof), (hog)of ho(gof) = (hog)of.

180 4.. z z i iz.. i) M z. 0 ii) (0,0) 5.. Re(z)=0, z= i , 8 f() 5 6, ( ). f 0 =.. f (0,f(0)). 6.

181 3. y f o f,, 3 3 f () f() 8 8,.. f f()=0 (0, ). 9. g: f g() 3 f ( ),, 0 g. 8. (,, ) : (3). 6. : (). 3

182 30 MA 007 : : (4).. f (),. {0,}. f f (). 0. N f. 5.,,,.. z z z z.. f -, ( ). 3. f 0 f () 0, f()<0 0. lim 0

183 4. A f [,], f [,] m. 5. f()=, f ()=,. z=(-)+i,.. z.. z z, Re. z. z Im(z)0, i) lim f() f () 4 f (), >0. ii) f () lim 8 ( ). N f (0,0). 9

184 3. N f, y= o f,. A 0 f()=+, :. f(0). 7. f()<3 0,. 0. f()=,. 8. (,, )

185 : (3). 6. : (). 4

186 8 MA 008 : : (4).. z = + i z = + i, z z z z. 7. f 0. f 0 ; 6.,,,.. z, z, : z z z z. 3. : () = f,,. 3 4

187 4. f [, ] (, ) f() = f(),, (, ), : f () = z + z + = 0,,.. z = + i, = 6, = 6 z.. :. z z z z 5 3 f f () ( ),, A. f :. 0 = 8 4

188 3. 0 =. 0. N f (, ). 7 4o k f f(), k.. f. 3. f (, f()), k. 8. k =,. f. 8. f [, +). 6. (,, ).. 3 4

189 4., : (3)

190 6 MA 009 : : (4).. 0 f; 5. f, g 0, f g 0 : f g) ( ) f ( ) g ( ) ( ,,,.. z z, z. 3. +i,, (,) lim

191 4. f [,] (,), (,), : f ( ) f ( ) f ( ). 3 z 009 3i z ( i) 3i.. z i.. z z.. z z +i, 8 7,. 0 3, f (),. 3,. f 0,

192 3. f 0, , f () g(), 0,. 0 4o f() 3 3,. I. f 0,.. = 0 4. f. 8. f y f () 0 (0,)

193 4. (,, ) : (3). 7. : (). K 4 4

194 8 00 : : (4). f, [,]. f [,] f()f(), f() f() 0 (, ) f( 0 )=. 0. f ; 5 3.,,,,. ),,, : +i=+i = = ) f f C f,,,, C f,. 4

195 ) f, g 0, f()g() 0, : lim f () lim 0 0 g() ) f, g 0 f g( 0 )0, g 0 : f f (0)g( ) f ( g (0) o g( ) 0 0 )g( ) P(), Q(). P(), Q() P(),. 0 f: [, ],, <0<, [, ] (, ). f()=5 f()=5, : B. f()=0 (, ). 0 B., f ( ) C f f, C f : 5y+00=0 0 B3. f 5 (+) 0 ) 5 4

196 3 z 6z+=0, z,z Im(z )>0 z 5. =5. 8. =5, w w z w z, w (z 3i) 8 +( z 4+5i) 8 6 f() = (+3) f:. ( 3, 3) ( 3). 0 = 3 ( 3) 3. f. 4. f

197 4 ( ). (,, )..., : (3). 7. : (). K 4 4

198 - 6 0 : : : (5) A. f()= ( ) = 0 A. (,y) z=+yi. z 5 3.,,,,. ) z=+i,, z z = ) f 0 A () f( 0 ), f() f(0) A ) f ) -. lim 0 f () 0 f()>0 0, lim f () 0 5

199 - ) f 0. 0 z, w, : z i =+Im(z) () w(w +3i)=i(3w +i) () B. z y= 4 7 B. w (0,3) =. 7 B3., z, w z = w. 5 B4. u= i,,,,. 6 5

200 3 - y=, 0. (0,) y,. y (4,) y (0,) O t, t 0 (t) 6m/min., t, t 0 : (t)=6t 5., (4,),, y(t) t, t>0 4m/min

201 4-4. t 0 (0, 4 ), d=(). 8 y. f() =,. f 5 (-, ) = =4. 5. f f : 3 +( 4) +4=0 () f()=,,, ()

202 5 - ( ). (, ) , : (3). 8. : 8.00 K 5 5

203 - ( ) 6 0 : : (4) A. f 0. f 0, : f ( 0 ) = 0 0 A. f. y=+ f ; 5 A3.,,,,. ) z 0 z 0 = ) f:a -,, A :, f( ) f( ) ) = {=0} : ( ) ) : lim 4

204 - ) C C f f y= Oy Oy. 0 z w, z3i, : z 3i w z 3i z 3i B. z 7 B. : z 3i z 3i 4 B3. w w B4. : z w z 8 6 f()=, 0. f. 6 4

205 3 -. f,f () 6 3. f : f 3 lim 7 f :, f(0)=0, f()+f()=,.. g()=f()+,.. : f (), = 3, 6 4. (0,) : +=

206 4 - ( ). (, ) , : (3). 8. : K 4 4

207 - 4 0 : : : (4) A. z, z, : z z z z 7 A. f g ; 3. Rolle. 6 4.,,,,. ) f,, f ) i i. ) v v P ( )... 0 v v : lim P( ) 0 0 v 4

208 - ) f 0, 0 ) f (, ), 0, f. f ( ) 0 (, 0 ) f ( ) 0 ( 0, ), f ( 0 ) f 0 z, z, z w=. z : B. z 9 B. _ 4 z z z z. 8 B3. (z +z )4, z, z z z z 8 4

209 3 - f : 0 3 f () ( ),,,,. 6., f ( ) 0, 8 3. f 0, a , 4 f, f () 5, f f ( 0) 3 g ( ) f ( ), (,) g( ) 3, (,), f f, 3 4

210 4 -. f g g (0) f g 0 y f ( ), (,), f ( ) 3, (,) 7 ( ). (, ) , : (3). 8. : 8.30 K 4 4

211 - ( ) 8 0 : : (4) A. f. f() 0, f 7 A. f [, ]; 4 A3. f. f 0 A ; 4 A4.,,,,. ). ) f -, y f()=y 4

212 - ) lim 0 f = +, f()<0 0 ) f, g f() g, f()=g() ). 0 z w : z 3 z 3 w w 36 B. z =3 8 B. z, z z z, z z 3 z 9 B3. w = 8 4

213 3 - f()=, >0,. <0, f (0,+) 4. <0, f()=0 (0,+) 7 3. f : i),, ( 3) ii) =0, ( 3) 6 4., f 0 =, f( 0 )=7.. 8 f : f() f() lim 0 f()= f (0). f(0)=0 f()=

214 4 -. g()=f()+(+), Rolle [0,], 5 3. = (0,) f()= (+) 6 4. = g. 6 ( ). (, ) , : (3). 8. : K 4 4

215 ( ) IOYNIOY 04 - : : (4) A. f. f f() 0, f. 0 A. f A. f 0 (), f ; 0 5 A3.,,,,,,. ) z z z Im(z) ( ) ) 0 lim f, lim 0 f 0 ( ) ) f (),. ( ) 4

216 ). ( ) ) f. f,. ( ) 0 z (z z)i 4 i 0, z B.. 9 B. z=+i z=-i, 3i w 39 z 3 z 8 B3. u u w 4z z i w, z, z. 8 4

217 3 f f ( 3) ( ),.. 3. f f. 8 f ) y 4 3 ) f. 8 g() ( ) f(),. 9 h h,. y h,. 7. ) y h. ) h

218 4 3. (,0) 4 ( 3) h 0 9 ( ) ,,, : (3). 6. : K 4 4

219 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α A. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f()=εφ είναι παραγωγίσιμη στο { συν σ 0} και ισχύει (εφ) = συν Μονάδες 7 A. Πότε μια συνάρτηση f:a λέγεται συνάρτηση -; Μονάδες 4 A3. Πότε η ευθεία 0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f; Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν z, τότε ν ν (z )(z), όπου ν θετικός ακέραιος. β) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο 0 και ισχύει f() g() γ) Αν κοντά στο 0, τότε 0 lim f() lim g() 0 0 lim f(), τότε f()>0 κοντά στο 0 δ) Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του, της οποίας η γραφική παράσταση έχει ασύμπτωτη. ε) Για κάθε ισχύει ημ Μονάδες 0 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

220 ΘΕΜΑ Β ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z,w για τους οποίους ισχύουν: z 3i 8 z 3 w i m(w) B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι η ευθεία με εξίσωση y 3 0 Μονάδες 9 B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w είναι η παραβολή με εξίσωση y 4 Μονάδες 9 B3. Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z, w να βρείτε την ελάχιστη ΘΕΜΑ Γ τιμή του μέτρου z w. Μονάδες 7 Δίνεται η συνάρτηση f() με (0, ) Γ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Μονάδες 6 Γ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g, όπου g() f() Γ3. Να λύσετε την εξίσωση Μονάδες 5 3 f f(), (0, ) Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

221 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ Γ4. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο ξ,f(ξ) να διέρχεται από το σημείο ΘΕΜΑ Δ 5 Μ 0, Μονάδες 7 Δίνεται η συνάρτηση 4 3 f() 3 4 α,, όπου α είναι ένας πραγματικός αριθμός. Αν η f παρουσιάζει στο 0 τοπικό ακρότατο, τότε: Δ. Να αποδείξετε ότι α=. Μονάδες 5 Δ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε τις τιμές του β, ώστε f() β για κάθε Μονάδες 8 Δ3. Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη στο της γραφικής παράστασης της f() g() (0, ) συνάρτησης 3 με Μονάδες 5 Δ4. Να υπολογίσετε το όριο f() lim ημ ν για τις διάφορες ακέραιες τιμές του ν. Μονάδες 7 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

222 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους). Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα. 3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ. 4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. 6. Ώρα δυνατής αποχώρησης: 8:00 ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

223 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΙΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν: η f είναι συνεχής στο [α,β] και f(α) f(β), τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας τουλάχιστον 0 (α,β), τέτοιος ώστε f( 0 ) η. Μονάδες 7 A. Έστω μια συνάρτηση f και 0 ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Πότε θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο 0 ; Μονάδες 4 A3. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο 0 Α τοπικό ελάχιστο; Μονάδες 4 A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν για δύο συναρτήσεις f,g ορίζονται οι συναρτήσεις fog και gof, τότε ισχύει πάντοτε ότι fog = gof. β) Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών α βi γ δi είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους. και ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

224 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ γ) Για κάθε ισχύει ότι ( συν) ημ. δ) Για κάθε z ισχύει ότι z z Re(z). ε) Αν ΘΕΜΑ Β lim f() 0 και f() 0 κοντά στο, 0 τότε 0 lim. f() 0 Μονάδες 0 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: z 4 z. B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων αυτών των μιγαδικών αριθμών z είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ=. B. Έστω Β. z z w, z z Να αποδείξετε ότι: α) Ο w είναι πραγματικός και β) -4 w 4. Μονάδες 7 όπου z,z δύο μιγαδικοί αριθμοί του ερωτήματος (μονάδες 4) (μονάδες 7) Μονάδες B3. Αν w -4, όπου w είναι ο μιγαδικός αριθμός του ερωτήματος Β, να ΘΕΜΑ Γ βρείτε τη σχέση που συνδέει τους μιγαδικούς αριθμούς z,z και να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τις εικόνες A(z ), B(z ), Γ(z 3) των μιγαδικών αριθμών z,z και z, 3 με z3 iz, είναι ισοσκελές. Μονάδες 7 Δίνεται η συνάρτηση f() Γ. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f.,. Μονάδες 5 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ