ΕΑΠ ΦΥΕ η Εργασία έτους 2004 Ασκήσεις. 1) Τριφασικά ρεύµατα Τα τρία πηνία του

Transcript

1 ΕΑΠ ΦΥΕ η Εργασία έτους Ασκήσεις Τριφασικά ρεύµατα Τα τρία πηνία του R B R σχήµατος κείνται σε επίπεδο και σχηµατίζουν διαδοχικά γωνία ο. Μαγνήτης R περιστρεφόµενος στο επίπεδο µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω επάγει σε κάθε πηνίο διαδοχικές ΗΕ περιγραφόµενες από τις εκφράσεις Ε V sin(ωt, Ε V sin(ωt+π/, Ε V sin(ωt+π/. Ίσες αντιστάσεις R (στην κατανάλωση κλείνουν το κύκλωµα κάθε πηνίου µέσω του κοινού αγωγού (επιστροφής ΑΒ. Να δειχθεί οτι το ρεύµα στον αγωγό ΑΒ είναι µηδέν και άρα ο αγωγός δεν χρειάζεται. (Ετσι γίνεται οικονοµία ενός αγωγού. Όµως στην πράξη, όλες οι αντιστάσεις της πόλεως δεν είναι ακριβώς ίσες, και γι αυτό χρειάζεται ενας λεπτός αγωγός επιστροφής. Πώς παράγεται µαθηµατικώς η εικόνα (. β; Αν η εικόνα διαγράφεται από κινητό σε sec, βρήτε την θέση του στην γραφική αυτή παράσταση για κάθε ακέραιο sec. Από την.7 δείξτε την. χρησιµοποιώντας τις. και.. Για F N, m kg, ω s -, γ s -, σχεδιάστε χωριστά τον κάθε όρο της.7 συναρτήσει του ω και υπολογίστε την τιµή του για ω ω και ω ω max (από την.8. Τί παρατηρείτε; (Αν κάνετε πίνακα τιµών µην υπερβείτε το ω. k M k M k M WW WW WW WW k Αν το σύστηµα του σχήµατος εκτελεί διαµήκεις ταλαντώσεις χωρίς τριβές, να βρεθούν οι συχνότητες των κανονικών τρόπων ταλαντώσεως. 5 ύο σώµατα ίσης µάζης Μ συνδέονται µε αβαρές νήµα µήκους. Το επάνω σώµα µπορεί να κινείται χωρίς τριβή κατά µήκος οριζόντίου σιδηροτροχιάς, υπό την επίδραση αβαρούς ελατηρίου, σταθεράς k. Το κάτω σώµα αιωρείται εξαρτώµενο από το επάνω. Εάν το επάνω ήταν πακτωµένο, το κάτω θα εκτελούσε

2 κίνηση απλού εκκρεµούς στο πεδίο βαρύτητος (εντάσεως g. Συγκρίνετε την συχνότητα αυτού µε τις δύο συχνότητες των κανονικών τρόπων ταλαντώσεως (για µικρές αποµακρύνσεις οι οποίοι µπορούν να αναπτυχθούν όταν το επάνω σώµα δεν είναι πακτωµένο. Υποδ. Η τάση του νήµατος επιταχύνει τα σώµατα. Αναλύστε την σε οριζόντια και κτακότυφη συνιστώσα για µικρές γωνίες θ, και γράψτε τις εξισώσεις κινήσεως ως προς x και x. 6 Ιδανικά ελαστική και αβαρής χορδή µήκους αποτελείται από δύο τµήµατα: Το αριστερό έχει µήκος / και γραµµική πυκνότητα µ ενώ το δεξιό αντιστοίχως / και µ 9 µ. Το σύστηµα τείνεται κατά µήκος του άξονα x µε τάση Τ και τα άκρα x και x είναι σταθερά. Γράψτε για τα δύο τµήµατα την αποµάκρυνση τυχόντος σηµείου τους όταν η χορδή ταλαντούται µε κανονικό τρόπο. Εφαρµόστε όλες τις συνοριακές συνθήκες και υπολογίστε τα επιτρεπόµενα µήκη κύµατος και τους αντίστοιχους λόγους των πλατών (για κανονικό τρόπο ταλαντώσεως. 7 Επαναλάβατε το πρόβληµα των δύο εκκρεµών του σχήµατος., σελίδα 85, στην περίπτωση που οι δύο µάζες δεν είναι ίσες (Άσκηση.5 8 Άσκηση 5. 9 Άσκηση 5. Άσκηση 5.5 Ερωτήσεις (άθροισµα µονάδων x t Σχεδιάστε την κυµατοσυνάρτηση Ψ ( x, t sin π [ + ] σαν συνάρτηση της θέσης x για χρόνους t λ T T T T T,,, και σε κοινό σύστηµα αξόνων. Τι παρατηρείτε; Σχεδιάστε στο ίδιο σύστηµα αξόνων τις συναρτήσεις ψ(x5sin(x, ψ(x5sin(x+.5, ψ(x5sin(x-.5 στο κλειστό διάστηµα [-π,+π]. Σχόλια; Ένα εγκάρσιο κύµα περιγράφεται, στο σύστηµα µονάδων CGS, από την κυµατοσυνάρτηση: ψ 5.sin (x+t-π/ cm. Βρείτε : (α την κατεύθυνση διαδόσεως, (β το πλάτος, (γ την κυκλική συχνότητα, (δ την ταχύτητα διαδόσεως, (ε το µήκος κύµατος, (στ την φάση, και ζ την φασική ταχύτητα του κύµατος. Σχεδιάστε το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης που αναφέρεται στην άσκηση αυτοαξιολόγησης.9 5 Σχεδιάστε πρόχειρα, αλλά καθαρά, την τροχιά που διαγράφει το περιστρεφόµενο διάνυσµα το οποίο αντιστοιχεί σε µια φθίνουσα ταλάντωση µε µικρή απόσβεση. 6 Επιλύσετε την άσκηση. στην σελίδα 96 του βιβλίου. ( µονάδες 7 Στο παράδειγµα της συνεχούς χορδής του εδαφίου 5.. θεωρείστε ότι υπάρχει και ένας όρος τριβής (ανάλογος της ταχύτητας ο οποίος αντιστέκεται στην κίνηση. Τι συνέπειες θα έχει (αν έχει αυτό στην µορφή της τελικής εξίσωσης (5.8; ( µονάδες 8 Πως θα είναι το φάσµα Fourier ενός διακροτήµατος (σαν αυτό του σχήµατος., στην σελίδα 96;

3 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

4 η Άσκηση I I R R I I B R E V t sin ( ω π E Vsin ωt+ π E Vsin ωt+ Θεωρούµε ότι το ρεύµα που διαρρέει τους αγωγούς του κυκλώµατος έχει τη φορά έχει τη φορά που είναι σηµειωµένη στο παραπάνω σχήµα. Εφαρµόζοντας τους νόµους του Kirchoff έχουµε τις ακόλουθες σχέσεις: I I+ I + I Όµως για το ( E V sin ( R R I ισχύει: I I ( ωt για το I ισχύει: για το I ισχύει: E V π ω + R R I I sin t E V π I I sin ωt+ R R ( ( Οι σχέσεις (, ( και ( προκύπτουν λόγω των E, E και E έτσι όπως δίνονται από την εκφώνηση της E άσκησης, µε αντικατάσταση στη σχέση I για κάθε µια από τις περιπτώσεις των I, I και I. R Παρατηρούµε ότι µεταξύ των σχέσεων (, ( και ( υπάρχει διαφορά φάσεως πηνία του σχήµατος κείται στο επίπεδο και σχηµατίζουν διαδοχικά γωνία ο. θ π, λόγω του ότι τα τρία Λαµβάνοντας τις (, ( και ( ως ηλεκτρικές ταλαντώσεις, διαπιστώνουµε πως το πλάτος των ταλαντώσεων αυτών είναι V. R Γνωρίζουµε ότι στη σύνθεση πολλών ταλαντώσεων που έχουν την ίδια συχνότητα ισχύει η σχέση: nδ sin ( B (5, όπου B είναι το πλάτος της συνισταµένης ταλάντωσης, είναι το πλάτος των δ sin ( συνιστωσών ταλαντώσεων, n είναι το πλήθος των ταλαντώσεων και δ είναι η µεταξύ του γωνία.

5 Με αντικατάσταση στη σχέση (5 των δεδοµένων της άσκησης έχουµε: όπου B I αφού από την ( έχουµε I I+ I + I οπότε: V R n δ o ή δ π ( π ( π V sin V sin ( π V π sin ( I I I I R R sin R Άρα αφού προκύπτει ότι I, τότε ο αγωγός ΑΒ δεν διαρρέεται από ρεύµα. η Άσκηση Γνωρίζουµε πως οι εικόνες issajous του σχήµατος., αναφέρονται σε δύο κάθετες αρµονικές ταλαντώσεις µε π διαφορά φάσεων φ 9 ο ή φ, δηλαδή έχουµε σύνθεση ταλαντώσεων µε άνισες συχνότητες. Έτσι για τις δύο κάθετες ταλαντώσεις έχουµε τις ακόλουθες κυµατοσυναρτήσεις: cos( ω + φx και y cos( ωt+ φy x t Από τα δεδοµένα της άσκησης έχουµε για φ x και ω ω ω ω ω π φ y οι κυµατοσυναρτήσεις γράφονται: x cosωt ( και cos π y ωt+ ( y cos t π ω + sin ωt sin ωt cos ωt cos ωt + sin ωt οι σχέσεις ( και ( γράφονται: όµως λόγω τριγωνοµετρίας έχουµε: ( ( ( Λόγω της τριγωνοµετρικής ταυτότητας ( ( ( x x ( x cosωt cosωt cos ωt

6 y y y sin t cos t sin t cos t sin t cos t ( ω ( ω ( ω ( ω ( ω ( ω y x y y x x sin sin sin ( ωt ( ωt ( ωt (5 Προσθέτοντας κατά µέλη τις ( και (5 έχουµε: x y x y y x x x x cos ( ωt sin ( ωt y x x y x ± x η οποία αποτελεί την εξίσωση τροχιάς. Από τη θεωρία γνωρίζουµε πως το διάνυσµα της σύνθετης κίνησης περιορίζεται σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο µε πλευρές και, κατά άξονα x και y αντίσταοιχα. Η εικόνα διαγράφεται από το κινητό σε s, δηλαδή για ολοκλήρωση διαδροµής ίσης µε π (ένας κύκλος π π απαιτούνται s, έτσι Tω π ω π ω ω ω 6 π π ω ω ω ω 6 Αφού Έτσι έχουµε τις εξισώσεις cos π x t 6 και cos π π y t+ που µε αντικατάσταση για κάθε ακέραιο sec δίνουν: Για t τότε x και y Για t τότε Για t τότε x και x και y y B B Για t τότε x και y Για t τότε x και y B Για t 5 τότε x και y B Για t 6 τότε x και y Για t 7 τότε x και y B Για t 8 τότε x και y B Για t 9 τότε x και y x και y B Για t τότε x και y B Για t τότε x και y Για t τότε

7 5 y s s B B s s - s - - x s s -B B η Άσκηση Σχέση (.7 xt ( m F cos ( ωt δ ( ω ω + ( γω Σχέση (. F ( ω ω ελστ Re Α m ( ω ω + ( γω Σχέση (. F ( γω απρφ Im Α m ( ω ω + ( γω (ελαστικό πλάτος ή πλάτος διασποράς (απορροφητικό πλάτος Από τις σχέσεις (. και (. βλέπουµε ότι η γωνία φάσεως του πλάτους Α δίνεται από τη σχέση: tan Im Α γω Re Α ω ω ( θ tan ( δ ( Από τη σχέση ( ορίσαµε το σύµβολο δ να δηλώνει το αντίθετο της πολικής γωνίας θ (θ δ ώστε να γράψουµε το µιγαδικό πλάτος ως t( t xα e ω δ. Με τον τρόπο αυτό, η φάση δ υποδηλώνει την υστέρηση φάσης της µετατόπισης συγκριτικά µε τη φάση της ω t. οδηγούσας δύναµης ( Μπορούµε έτσι να γράψουµε:

8 6 F ( ω ( ω Α Α e e e m ( ω ω + ( γω i i i δ δ δ ( και F x m ( ω ω + ( γω e i ( ωt δ ( οπότε η τελική λύση για την αποµάκρυνση x (και το πλάτος ( ω σαν συνάρτηση του χρόνου, είναι το F cos( ωt δ πραγµατικό µέρος της (, δηλαδή xt ( m ( ω ω + ( γω ( όπου η διαφορά φάσης δ δίνεται (µε βάση την ( από τη σχέση δ γω arctan ω ω ( ω (5 Από τη σχέση (5 έχουµε γω sinδ γω sin δ γ ω cos δ γ ω tanδ ω ω cosδ ω ω cos δ cos δ ( cos δ ( ( γω + ( ω ω (6 ( ω ω ( ω ω ( ω ω δ ( ( γω γω cos cos δ ω ω ω ω γω + ω ω cosδ ω ω Ισχύει ότι δ δ δ sin cos sin ( ω ω ( γω + ( ω ω (7 Εάν αναπτύξουµε το συνηµίτονο αποµάκρυνσης: ωt δ της σχέσης (.7 θα εµφανιστούν δύο συνιστώσες της ( xt F cosωtcosδ F sinωtsinδ + m ( ω ω + ( γω m ( ω ω + ( γω (8 Με αντικατάσταση των (6 και (7 στην (8 έχουµε µετά την εκτέλεση των πράξεων: ( F( ω ω Fγω cosω ( ω ω + ( γω m( ω ω + ( γω x t t+ sinωt m (9

9 7 διαπιστώνουµε δηλαδή ότι περιέχουν αντίστοιχα το ελαστικό πλάτος ελστ (. και το απορροφητικό πλάτος απρφ (. Με αυτούς τους ορισµούς η σχέση (9 γράφεται ( cos( ω sin ( ω x t t + t σχέση (. ελστ απρφ ( ωt δ F cos Η σχέση (.7: xt ( για τις τιµές F N, m Kg, ω s και m ( ω ω + ( γω cos( t δ ω γράφεται xt ( και το δ γράφεται δ tan ( ω + ( ω ω Από τη σχέση (.7 έχουµε δύο όρους, που λόγω των δεδοµένων τιµών παίρνουν µορφή: γ s F m ( ω ω + ( γω ( ω + ω ο οποίος αποδίδεται από το σχήµα: Α Για ω τότε Α Για ω ½ τότε Α,9,9 Για ω τότε Α Για ω/ τότε Α,5 Για ω τότε Α,7 ½ ω για να πάρουµε το ωmax θα πρέπει η παράγωγος να είναι µηδέν, δηλαδή ω ω max ω Ο δεύτερος όρος είναι το δ που γράφεται δ tan ω ω και αποδίδεται από το σχήµα: δ π π/ ω ο ω

10 8 για το οποίο έχουµε: Όταν ω τότε δ π άρα οι διαφορά φάσης µεταξύ εξωτερικής δύναµης και ταλάντωσης είναι 8 ο. π Όταν ω ω τότε το δ και Όταν ω ωmax τότε το δ tan Παρατηρούµε πως όταν το γ η µεταβολή της καµπύλης γίνεται όλο και πιο απότοµη, ενώ για γ η ω ω µεταβολή γίνεται ακαριαία από µηδέν σε π, στο. η Άσκηση m m m --wwwwwwww-- --wwwwwwww-- --wwwwwwww-- --wwwwwwww-- (αρχική «θέση ισορροπίας» F F F F F F --wwwwwwwwww-- --wwwwwwwwwww-- -wwwwwwwwwww-- --ww-- (τελική θέση x x x Γνωρίζουµε πως ικανή και αναγκαία συνθήκη για να έχουµε έναν κανονικό τρόπο ταλάντωσης είναι: κάθε συνιστώσα του συστήµατος να εκτελεί ταλάντωση µε την ίδια συχνότητα, η οποία είναι και η αντίστοιχη κανονική ταλάντωση. Επειδή οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης είναι ανεξάρτητες ταλαντώσεις, δεν ανταλλάσσουν ενέργεια µεταξύ τους και οι αποµακρύνσεις τους µπορούν να µεταβάλλονται ανεξάρτητα η µία από την άλλη. Έτσι εάν θεωρήσουµε ότι για µία δεδοµένη χρονική στιγµή η αποµάκρυνση του πρώτου σώµατος από τη θέση ισορροπίας του είναι x, του δεύτερου x και του τρίτου x και δεχτούµε τώρα ότι x x x, η δύναµη που θα ασκείτε στο κάθε σώµα θα είναι αντίστοιχα (κατά µέτρο: F kx, F k( x x, F k( x x, F kx και η εξίσωση κίνησης για κάθε σώµα θα είναι: Για το ο σώµα: mx F + F mx + F F ( mx + kx k x x mx + kx kx ( Για το ο σώµα:

11 9 mx F + F mx + F F ( ( ( mx + k x x k x x mx + kx k x + x Για το ο σώµα: mx F F mx + F + F ( mx + k x x kx mx + kx kx ( ( Αφού η µέθοδος αναζήτησης των κανονικών τρόπων ταλάντωσης βασίζεται στο ότι το σύστηµα ακολουθεί έναν τρόπο ταλάντωσης, τότε κάθε συνιστώσα του συστήµατος εκτελεί ταλάντωση µε την ίδια συχνότητα, την κανονική συχνότητα ταλάντωσης. Μπορούµε λοιπόν να βρούµε την (ή τις κανονική συχνότητα ταλάντωσης αναγνωρίζοντας λύσεις για τις (, ( και ( της µορφής: x cosωt x cosωt x cosωt θέτοντας την αρχική φάση ίση µε το µηδέν. Αντικαθιστώντας στις εξισώσεις κίνησης (, ( και ( βρίσκουµε: mω cosωt+ k cosωt k cosωt mω ωt k ωt k( ωt cos + cos + cos ω cosω + cosω cosω m t k t k t ( ω k m k k ( k mω k k ( k mω Για να έχει λύση αυτό το σύστηµα θα πρέπει η ορίζουσα να είναι µηδέν. Άρα k k mω k k k mω k mω k ( k mω ( k mω k k ( k( k mω + ( k mω ( ( ( ( ( k mω k k k mω k mω k mω k k mω k + Οπότε έχουµε:

12 Εάν ( k mω τότε ω k m Εάν ( k mω + k τότε ( ω + k και m Εάν ( k mω k τότε ω ( k m Η διάταξη και αρίθµηση των συχνοτήτων πρέπει να είναι από την µικρότερη προς την µεγαλύτερη. ω ω ηλαδή: ω ω ω ω 5 η Άσκηση x F --wwwwwwwwww-- B T y N θ T x T ( Α (Αρχική Θέση Ισορροπίας T T y x T x ( Β (Το σώµα έχει εκτραπεί από τη θέση ισορροπίας κατά x x x B Για το σώµα (Α στον άξονα των x ισχύει: mx T F mx T sinθ kx ( x και στον άξονα των y ισχύει: F y N B + T N mg T y + cos θ ( Για το σώµα (Β στον άξονα των x ισχύει: mx + T sinθ ( και στον άξονα των y ισχύει: mg Tcosθ T mg ( (αφού θ πολύ µικρή, θ

13 Από τη γεωµετρία του σχήµατος έχουµε: x x sinθ (5 Άρα µε αντικατάσταση των ( και (5 στις ( και ( έχουµε: x x g k g x+ + x x (6 m mg kx mx και mg g g mx + ( x x x x x + (7 Αφού η µέθοδος αναζήτησης των κανονικών τρόπων ταλάντωσης βασίζεται στο ότι το σύστηµα ακολουθεί τρόπο ταλάντωσης κοινό, τότε κάθε συνιστώσα του συστήµατος εκτελεί ταλάντωση µε την ίδια ( κανονική συχνότητα ταλάντωσης. Μπορούµε έτσι να βρούµε τις κανονικές συχνότητες ταλάντωσης, αναζητώντας λύσεις για τις (6 και (7 εξισώσεις κίνησης της µορφής: x cosωt και x cosωt Αντικαθιστώντας βρίσκουµε: g k g ω cosωt+ + cosωt cosωt m g g ω cos ω t+ cos t cos t ω ω g k g m + ω g g ω + Για να έχει λύση αυτό το σύστηµα θα πρέπει η ορίζουσα να είναι µηδέν, δηλαδή: g k g + ω m g k g g + ω ω g g m ω g gk gω gω kω g k g g kω + + ω ω + ω m m m m k g g k + ω + ω m m ή

14 k g g k k g k g g k k g + ± + + ± + m m m m m m ω ω k g g k + ± + k g g k ω m m ω + ± + m m k g g k ω m m k g g k ω + + m m g όπου ω Οι ω και ω είναι οι δύο συχνότητες των κανονικών τρόπων ταλάντωσης (για µικρές αποµακρύνσεις οι οποίοι µπορούν να αναπτυχθούν όταν το επάνω σώµα δεν είναι πακτωµένο. Στην περίπτωση που το επάνω σώµα είναι πακτωµένο το εκκρεµές θα εκτελούσε ταλάντωση µε συχνότητα g ω. 6 η Άσκηση Κάθε κοµµάτι εκτελεί Κ.Τ.Τ. και σύµφωνα µε την 5.86 σελ.5 του Α µέρους «Ταλαντώσεις & κύµατα», Α.Ζδέτση, και τη χρονική εξάρτηση της 5.8, θα έχουµε: ( ( ( ( y x, t cos kx + Bsin kx cos ωt+ φ ( y( x, t Γcos k( x + sin k( x cos ωt+ (η χρήση του (-x στην y διευκολύνει τις πράξεις επίσης από 5.8 και 5.85, αφού το ω είναι κοινό, T T T ω k k k k k ( µ µ 9µ { } ( φ µ µ

15 Συνοριακές συνθήκες: (α y (, t (β y (, t B (σταθερά τα x, (γ y, t y, t (συνέχεια της αποµάκρυνσης στο x k k k Bsin sin sin y y k k k k (δ Bkcos kcos Bkcos k cos x x (συνέχεια της κλίσης στο x k k ( Β sin και Β + cos cos k k π ει τε Β και nπ + λ n + ει τε Β και sin k k nπ λ n Το σηµείο που ενώνονται οι δύο χορδές δεν είναι πακτωµένο. Έτσι η αποµάκρυνση σε αυτό το σηµείο δεν είναι µηδέν. (Είναι συνεχής και έχει συνεχή κλίση, παράγωγο. 7 η Άσκηση l l µε m m D m -- wwwwwwwwwww m x x Η ποσοτική περιγραφή της παραπάνω κίνησης έχει ως εξής: Εάν κάποια δεδοµένη χρονική στιγµή η αποµάκρυνση του ενός εκκρεµούς από τη θέση ισορροπίας του είναι x και του άλλου x, η εξίσωση κίνησης για το κάθε εκκρεµές θα είναι:

16 Για το σώµα d x x m : m m g D( x x dt + + ( l βαρύτητα ελαστικότητα Για το σώµα d x x m : m m g D( x x dt + ( l βαρύτητα ελαστικότητα όπου µε τους όρους βαρύτητα και ελαστικότητα σηµειώνουµε τη φυσική προέλευση κάθε όρου, δηλαδή την επαναφέρουσα δύναµη του βάρους και την ελαστική δύναµη του ελατηρίου. Προσθέτοντας κατά µέλη τις ( και ( έχουµε: d x x d x x d x d x g m + mg + m + mg m + m + ( mx + mx ( dt l dt l dt dt l g θέτοντας ω η σχέση ( γράφεται: l d x d x m + m + ω ( mx+ mx ( dt dt θεωρούµε x x x (5 και X mx + mx m + m (6 Από την (6 έχουµε ( m + m X m x + m x (7 Από την ( έχουµε ( + d m x m x ( mx mx g dt + + που λόγω της (7 και της (5 γράφεται: l ( ( d X g ( m + m m m X dt + + l (8 Θεωρούµε την ανηγµένη µάζα mm µ m + m οπότε: ( ( d X d X g g µ + µ ( X + DX µ + µ D + dt l dt l (9

17 5 Από τη σχέση (8 προκύπτει: ω ( g g m + m ω l m m l ( + ( Από τη σχέση (9 προκύπτει: g µ + D l g D ω ω + ( µ l µ Για το x ( t θα έχουµε: x( t + cos( ωt+ δ+ + cos( ωt+ δ ( Για το x ( t θα έχουµε: x( t + cos( ωt+ δ+ cos( ωt+ δ ( όπου ω και ω είναι οι κανονικές συχνότητες των κανονικών τρόπων ταλάντωσης, δηλαδή ω ω, + και ω ω, Για µια δεδοµένη χρονική στιγµή t το x θα πάρει την τιµή µηδέν, ενώ τότε το x θα πάρει την τιµή x x. ηλαδή από τη σχέση ( θα έχουµε: cos cos t + + t + ( ω δ ( ω δ + + ( και από τη σχέση ( θα έχουµε: x cos t + t + ( ω δ cos( ω δ + + (5 Προσθέτοντας κατά µέλη τις ( και (5 προκύπτει: ( ω δ x + cos t cos x ( ω t + δ + Αφαιρώντας κατά µέλη τις ( και (5 προκύπτει: ( ω δ x cos t+ cos x ( ω t + δ

18 6 8 η Άσκηση Σχέσεις (5.5, κανονικές συχνότητες του συστήµατος των τριών µαζών, N : ω ω ( ω ω ( Η ισότητα των σχέσεων αποδεικνύεται αναλυτικά µε βάση απλές τριγωνοµετρικές ταυτότητες. Π.χ. η ω γράφεται διαδοχικά: ω + ω ( Σχέσεις (5.5: π ω ω sin ( 8 ( π ω ω ω ω ω cos π π ω cos ω sin 8 8 π π ω sin ω ωsin 8 8 π ω ω sin (5 8 π ω ω sin (6 8 Από τη σχέση ( εκτελώντας τις πράξεις προκύπτει: ω,765ω Από τη σχέση ( εκτελώντας τις πράξεις προκύπτει: ω,765ω Οµοίως για τις ( και (5 προκύπτει: ω, ω και για τις ( και (6 προκύπτει: ω,8776ω Στην εγκάρσια ταλάντωση συστήµατος τριών συντεταγµένων ταλαντωτών (µαζών οι εξισώσεις κίνησης γράφονται (για N : d y + ω y ωy dt d y + ω y ωy ωy dt d y + ω y ωy dt

19 7 Για να βρούµε τους κανονικούς τρόπους ταλάντωσης αναζητούµε λύσεις της µορφής: y cosωt, y cosωt, y cosωt Οδηγούµαστε στο οµογενές σύστηµα: ( ω ω ω ( ( ω ω ω ω ω ω ω (7 για ω ω ω και π sin π sin σχέσεις (5.7 π sin από τη σχέση (7 έχουµε µε αντικατάσταση: ( ω ω ω ω ( ω ω ω ω ( ω ω ω + ω ω ω + ω που ισχύουν εκ ταυτότητος ω ω

20 8 για ω ω ω και π sin π sin σχέσεις (5.8 6π sin από τη σχέση (7 έχουµε µε αντικατάσταση: ( ω ω ω ( ω ( ω ω ω ( ( ( ω ω ω ( ω ω ω ω που ισχύουν εκ ταυτότητος ( ω ω Τέλος για ω ω + ω π και sin 6π sin σχέσεις (5.9 9π sin από τη σχέση (7 έχουµε µε αντικατάσταση:

21 9 ( + ω ω ω ( ω ( + ω ( ω ω ( ( + ω ω ω ω ω ω+ ω που ισχύουν εκ ταυτότητος ω + ω 9 η Άσκηση Σχέση (5.6: y( x, t sin( kx+ ωt Σχέση (5.6: y( x, t Bsin( kx ωt Σχέση (5.6: y ( x, t sin( kx + ωt + B sin( kx ωt Οριακές συνθήκες (5.: y και y + Σχέση (5.6: ( y x, t sinkxcosωt N Αναζητούµε λύσεις της µορφής y n e ω i t n ( όπου τα πλάτη n,,,..., N ( n θεωρούνται σε γενική περίπτωση σαν µιγαδικοί αριθµοί, της µορφής n e inka µε Η αποµάκρυνση θα περιέχει τόσο το φανταστικό (ηµίτονο όσο και το πραγµατικό (συνηµίτονο µέρος του n, a ikx+ωt στην σχέση (, και στο όριο y x, t e της οποίας το φανταστικό µέρος είναι η την µορφή: ( ( σχέση (5.6: y( x, t sin( kx+ ωt.

22 Επειδή η χρονική εξάρτηση γράφεται µε τη µορφή cosω t, που αντιστοιχεί στο πραγµατικό µέρος του µιγαδικού i t ikx ( ωt αριθµού y x, t e µε και να γράψουµε διαδοχικά: e ω µπορούµε να αντικαταστήσουµε στην ( i t e ω iωt inka ωt ikx ( ωt yn Be n yn Be e yn Be y ( xt, Bsin( kx ωt σχέσης (5.6: y ( xt, sin( kx+ ωt + Bsin( kx ωt και η λύση έχει η µορφή της Στις οριακές συνθήκες (5. ισχύει y για x και y για x. Η οριακή συνθήκη x για οποιαδήποτε χρονική στιγµή δίνει για την (5.6: y (, t sinωt+ Bsin ( ωt y (, t [ sinωt Bsinωt], οπότε αναγκαστικά B. έτσι η σχέση (5.6 γράφεται: y ( x, t sin( sin( kx + ωt + kx ωt [ sin kx cosωt + cos kx sinωt + sin kx cosωt cos kxsinωt] sin kx cosωt σχέση (5.55 η Άσκηση l l l l l Εκκρεµή συνδεδεµένα µε ελατήρια D D D D ww wwwwwwwwwww wwwwwwwwww wwwwwwwwww wwwwwwwwwwm m( n m ( n m ( n + m Θεωρούµε το σύστηµα των συντεταγµένων εκκρεµών του παραπάνω σχήµατος. Για να βρούµε τις εξισώσεις κίνησης εργαζόµαστε ως εξής: Για τη µάζα n θα ισχύει: d ξn ξn m + m + Dξ n D( ξn+ + ξn ( µε n,,..., N dt l

23 εισάγοντας τη φυσική συχνότητα ' ω των εκκρεµών: ω D απαλείφοντας την µάζα m και θέτοντας ω η σχέση ( γράφεται: m d ξn m dt ( ω ' ξn ωξn ω ( ξn+ ξn ( (σχέση: 5.75 ' g l Αναζητώντας λύσεις της µορφής i t ξ n e ω η σχέση ( µπορεί να γραφτεί: ( ( + ( + ω + ω + ω ω + ' n n n n n ( ω ω ' ω ω ( n n n ( ω ( ω ω ω ( + ( ω ( + ω ' + ω ' n+ n n n n ω n + ( Όµως είναι φανερό πως για συγκεκριµένη τιµή του ω, η σχέση ( ω ( + ω ' + ω ω είναι σταθερή. Θεωρώντας n Csin ( nφ τότε n C ( n + + φ και ( n τότε η σχέση ( γράφεται: ( + φ + ( Csin ( nφ Csin n Csin n φ σταθερό, sin και λόγω της τριγωνοµετρικής ταυτότητας sinacosb sin( a b sin( a b ( nφ ( nφ Csin cosφ Csin σταθερό cosφ σταθερό ( Csin n φ + + γίνεται: Για τις οριακές συνθήκες y και y που αντιστοιχούν σε κλειστό σύστηµα, ανάγονται στα γνωστά στάσιµα κύµατα ( sin ( N φ ( N φ kπ N+ N+ + + όπου k,,,... y xt, sinkxcosωt, δηλαδή για τις οριακές τιµές kπ Κατά συνέπεια φ N + (5

24 Από τις (, ( και (5 έχουµε: ( ω + ω + ω kπ cos N + ' ω (6 Εκτελώντας τις πράξεις στην (6 βρίσκουµε: ( ' k ' ω ( ω ω ω ω N ω + ω + ω π kπ cos + + cos + N + ' kπ ' kπ ω + ( ω ω + ω cos ω ( ω ω ω cos N + N + ' kπ ' kπ ω ( ω ω cos ω ( ω ω sin N + ( N + απ όπου παίρνουµε: ' kπ ω ( ω + ω sin ( N + και παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα: ' kπ ω ( ω + ω sin ( N + και θέτοντας a π N + γίνεται ( ω ω ω sin ka ' + σχέση (5.76, η οποία δίνει τη διαφορά, που χαρακτηρίζει το εκτεταµένο µέσο (το σύστηµα σφαιρών.