ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες.

Transcript

1 ΘΕΜΑ [5575] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Αυγούστου ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης,5 ώρες (α) Να αποδειχθεί ότι για οποιοδήποτε µη εξαρτώµενο από τον χρόνο τελεστή Α, ισχύει d A / dt = A, H / i, όπου Η η Χαµιλτονιανή του συστήµατος [ ] (β) Να αποδειχθεί ότι για οποιοδήποτε δυναµικό, ισχύει d x / dt = p / m, όπου x ο τελεστής της θέσης και p ο τελεστής της ορµής (γ) Να αποδειχθεί, ότι για δυναµικό απλού αρµονικού ταλαντωτή (συχνότητας ταλάντωσης ω), η µέση θέση εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε συχνότητα ω (α) Σελίδα βιβλίου Τραχανά (β) Σελίδα βιβλίου Τραχανά (γ) Αν Α=p, έχουµε [ ] ηλαδή d p / dt =m x mω x mω i d p / dt = p, H = p, = p, x =im x ω Και ( ) ω d d x / dt / dt = d x / dt = d p/ m / dt =mω x / m d x / dt ω x =, µε προφανή λύση απλή αρµονική ταλάντωση µε συχνότητα ω ΘΕΜΑ [] Η Χαµιλτονιανή διπλού κβαντικού πηγαδιού έχει την µορφή, H= ε ε γ, όπου, ορθοκανονικές ιδιοσυναρτήσεις ( ) κάποιου τελεστή Αν ε ε = γ και ε ε = γ Να βρεθούν οι ιδιοκαταστάσεις (ιδιοτιµές και ιδιοσυναρτήσεις) της ενέργειας, ως συναρτήσεις του γ Η αναπαράσταση µε πίνακα δίνει H = ε,h = ε,h = γ,h = γ Απαιτούµε ε λ γ ( ε ε) ± ( ε ε) γ E = γ det = ( ελ)( ε λ) γ = λ± = γ ε λ E = Ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας είναι 3/ 3/ ψ =, ψ = ΘΕΜΑ 3[5] Να µελετηθούν (πλήρη ανάπτυξη) οι καταστάσεις σκέδασης ( EV, > ) σε δυναµικό V( x) =VΘ ( x), όταν η προσπίπτουσα δέσµη έρχεται από το

2 Ανάλογη διαδικασία όπως στο βιβλίο σας ή στην παράδοση του µαθήµατος, ikx ik x ik x me ( V ) me Ψ = Be, Ψ = e Ae, όπου k = και k = Από τις συνθήκες συνέχειας έχουµε, Ψ () =Ψ () B= A Ψ () =Ψ () ikb = ik ik A ( k / k ) B = A Οπότε βρίσκουµε A= ( k k)/( k k) και B = ( k k)/( k k) = k /( k k) Έτσι καθώς R = A, T = B k/ k, έχουµε R = k k / k k, T = kk / k k ΘΕΜΑ [] Ηλεκτρόνια σκεδάζονται από αριστερά στα δεξιά σε δυναµικό V( x) = V ( Θ( x) Θ( Lx) ) Αν έχουµε V = ev E = ev, όλα τα ηλεκτρόνια ανιχνεύονται στο Πόσο είναι το L, αν γνωρίζουµε ότι 6Å < L < 7Å; Έχουµε ορθογώνιο φράγµα δυναµικού, µε σηµεία ασυνέχειας του δυναµικούς στις θέσεις m και L Ισχύει k = ( E V ) = 57 Å -, και όταν όλα τα ηλεκτρόνια ανιχνεύονται στο έχουµε κατάσταση συντονισµού, οπότε θα πρέπει να ισχύει kl = nπ, όπου n θετικός ακέραιος ηλαδή kl = nπ L= nπ / k = nπ / 57 Å - = 6n Å Άρα, καθώς 6Å < L <7Å, n= και L = 6Å ΘΕΜΑ 5[5555] (α) Να αποδειχθεί ότι σε τετραγωνικό πηγάδι πλάτους L και βάθους V, οι δυνατές ενεργειακές καταστάσεις προσδιορίζονται από την σχέση, cos θ = θ / λ nπ / λ, όπου λ = L mv / (β) Θεωρούµε ένα ποζιτρόνιο σε τετραγωνικό πηγάδι πλάτους 3Å και βάθους ev Πόσες δέσµιες ενεργειακές καταστάσεις µπορούν να υπάρξουν σε αυτό; (γ) Πόσες δέσµιες ενεργειακές καταστάσεις θα έχουµε αν υποδιπλασιαστεί το πάχος του; (δ)η θεµελιώδη κατάσταση αυξάνει ή µειώνεται (εξηγείστε);

3 (α) Παραδόσεις µαθήµατος και προηγούµενες εκδόσεις βιβλίων Τραχανά Έχουµε = γ = ( ) γ = ( ) k me/, m E V / k m E V / = U Από την τελευταία σχέση φαίνεται ότι µπορούµε να γράψουµε k = U cos θ, γ = U sinθ, µε την γωνία θ να περιορίζεται στην περιοχή [, π / ] Από το βιβλίο σας (Τραχανάς) βλέπουµε ότι η συνθήκη για τις άρτιες λύσεις είναι της µορφής tan kl = γ / k tan kl = sin θ / cosθ = tanθ kl = θ mπ, όπου m ακέραιος Για τις περιττές ( ) tan kl =k/ γ tan kl = cos θ / sinθ = tan θ π / kl = θ π / m π, όπου m είναι ακέραιος Για τις άρτιες λύσεις έχουµε kl = θ mπ kl = θ m( π /) και για τις περιττές kl = θ π / m π kl = θ (m )( π /), άρα πρακτικά η συνθήκη για άρτιες και περιττές λύσεις είναι µία, δηλαδή kl = θ nπ / cos θ = θ / λ nπ /λ, όπου ορίσαµε την ποσότητα λ U L (β) Η σηµαντική παράµετρος είναι η λ = L U = L mv /, όπου L είναι το µισό πλάτος του πηγαδιού Έτσι, λ = L U = L mv = και ο αριθµός των καταστάσεων είναι / 3,38 nt[ λ / π ] Καθώς nt[ λ / π ] = 3, δηλαδή οι καταστάσεις στο πηγάδι είναι τρεις (γ) Αν L = L/, έχουµε λ = L U = L/ U = λ / και nt[ λ / π] = nt [ λ/ π ] =, δηλαδή οι καταστάσεις στο πηγάδι είναι δύο (δ) Η κλίση της ευθείας µεγαλώνει, άρα η γωνία µικραίνει και το k (ανάλογο του συνηµιτόνου της γωνίας µεγαλώνει) άρα και η ενέργεια, ανάλογη του τετραγώνου του k

4 ΘΕΜΑ 6[55] Θεωρούµε µονοδιάστατο κβαντικό σύστηµα στο οποίο υπάρχει σωµάτιο µάζας m Αν η δυναµική ενέργεια του συστήµατος είναι V( x) = δ ( xl) δ ( x) (α) Για ποιες τιµές της ολικής ενέργειας του συστήµατος έχουµε δέσµιες καταστάσεις και για ποιες καταστάσεις σκέδασης (β) Να βρεθεί η συνθήκη από την οποία εκτιµώνται οι δυνατές ενεργειακές καταστάσεις για την περίπτωση των δέσµιων καταστάσεων (α) Οι δέσµιες καταστάσεις αντιστοιχούν σε αρνητικές ενέργειες, καθώς σε αυτή την περίπτωση E < V( ±) Για θετικές ενέργειες έχουµε καταστάσεις σκέδασης (β) L Ι ΙΙ ΙΙ Ε Οι κυµατοσυναρτήσεις στις περιοχές Ι,ΙΙ και, για να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιµες γ x γx γx γx me είναι της µορφής Ψ = Ae, Ψ = B e Be, Ψ = Ce, όπου γ = Η συνέχεια των κυµατοσυναρτήσεων στο x= και L δίνει Ψ () =Ψ () A= B B () γl γl γl Ψ ( L) =Ψ ( L) Ce = B e Be () Ενώ από την ασυνέχεια των παραγώγων έχουµε mc m Ψ () Ψ () = Ψ() γ( B ) B γa= A m B B = (3) A B B = wa γ m γl γl γl m γl Ψ ( ) Ψ L ( L) = Ψ( L) γ( B ) e Be γce = Ce γ L γl m γl γl Be Be = = () Ce wce γ Όλες οι σχέσεις µαζί γράφονται ως εξής B B = A () B B = wa () γl γl γl Be Be = Ce (3) γl γl γl B e Be =wce () Μπορούµε να απαλείψουµε τους συντελεστές A και C () B B r B w = w = w r = () B B r B w γl γl γl γl () (3) Be Be = re e = = w L w w r e γ γl γl γl γl Be Be re e w Από την ισότητα των δύο διαφορετικών εκφράσεων για το r, βρίσκουµε

5 m m m m w w γ γ γ γ = e = e = e w w m m m m γ γ γ γ γ L γl γl m m γ = γ γ = = m m m γ γ γl γl γl e e e ΘΕΜΑ 7[55] Ένας αρµονικός ταλαντωτής βρίσκεται στις δύο πρώτες ενεργειακές καταστάσεις του (α) Προσδιορίστε ακριβώς αυτή την κατάσταση αν γνωρίζουµε ότι έχει µηδενική µέση ορµή και διασπορά ενέργειας 5 (β) Υπολογίστε την µέση τιµή της θέσης, από την σχέση x = Ψ * ( xx ) Ψ ( xdx ) (γ) Υπολογίστε την µέση τιµή της θέσης, χρησιµοποιώντας τους τελεστές aa, ( P ) 3 P 9P 9 P 9 = = = = = (α) Έχουµε E PE PE P P P και 3 P 3P P 3 ( P ) 3 E = PE PE = P P = = = P, έτσι έχουµε 3 ( ) 9 3 / E = E E = P P = P P = P = /, οπότε βρίσκουµε P = c = /, P = c = / Ακόµα γνωρίζουµε ότι p = c c p sinδ, άρα sinδ = δ =, καθώς τα στοιχεία πίνακα είναι µη µηδενικά, * * Ψ( x) Ψ ( x) x / x / = = Ψ = Ψ = x x π p p ( x)( i ) dx i ( x) dx i xe ( xe ) dx x / i x e dx π i p = = = Έτσι η κυµατοσυνάρτηση είναι Ψ ( ) = (/ ) ( Ψ Ψ ) (β) Έχουµε x = c c x cosδ και καθώς π x / = xe dx x π = = x x / x / x = Ψ ( xx ) Ψ ( xdx ) = e xxe ( ) dx βρίσκουµε x = c c x cosδ = = (γ) Η κυµατοσυνάρτηση είναι Ψ = (/ ) ( ) (φορµαλισµος Dirac), έτσι

6 a a a a x = Ψ Ψ = ( ) ( ) = ( )( a a a a ) = ( )( ) = ( ) =