Κυλιόµενος κύλινδρος πέφτει πάνω σε οριζόντιο στερεωµένο ελατήριο. 3 m/sec. Να εξετάσετε στην περίπτωση αυτή αν, τη

Transcript

1 Κυλιόµενος κύλινδρος πέφτει πάνω σε οριζόντιο στερεωµένο ελατήριο m υ ο k R Α Ο οµογενής κύλινδρος του σχήµατος έχει µάζα m = 8 kg, ακτίνα R και κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο έτσι ώστε ο άξονάς του να είναι κάθετος στον άξονα του ελατηρίου. Ο άξονας του ελατηρίου διέρχεται από το κέντρο µάζας του κυλίνδρου, το οποίο µετατοπίζεται µε ταχύτητα υ ο προς το ελεύθερο άκρο του ελατηρίου. Το ελατήριο είναι ιδανικό, σταθεράς k = 300 N/m και είναι στερεωµένο στο άλλο του άκρο. Ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής και τριβής ολίσθησης µεταξύ κυλίνδρου και δαπέδου είναι µ = 0,25. Θεωρούµε ακόµα ότι κατά την επαφή του κυλίνδρου µε το άκρο του ελατηρίου δεν υπάρχει τριβή. 1. Ζητείται η µέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου αν ο κύλινδρος κινείται αρχικά µε υ ο = 0,5 m/sec. 2. Να βρείτε πάλι τη µέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου αν η ταχύτητα του κυλίνδρου είναι υ ο = 3 m/sec. Να εξετάσετε στην περίπτωση αυτή αν, τη στιγµή που µηδενίζεται στιγµιαία η ταχύτητα του κέντρου µάζας του κυλίνδρου, µηδενίζεται αντίστοιχα και η γωνιακή του ταχύτητα. Αν όχι, να υπολογίσετε τότε την κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής του κυλίνδρου. 3. Σε ποιες µορφές έχει µετατραπεί µέχρι τότε η αρχική κινητική ενέργεια του κυλίνδρου και ποια είναι τα αντίστοιχα ποσά; (Για τον κύλινδρο, ως προς τον άξονά του: Ι = 1 / 2 m 2 R 2 και g = 10 m/sec 2 ). ΑΠΑΝΤΗΣΗ: (Τα σύµβολα αντιστοιχούν σε µέτρα µεγεθών. Οι µονάδες στο S.I.). Όταν ο κύλινδρος αρχίσει να συµπιέζει το ελατήριο, δέχεται από αυτό δύναµη που τον επιβραδύνει µεταφορικά και προφανώς η µέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου θα εµφανιστεί τη στιγµή που θα µηδενιστεί στιγµιαία η ταχύτητα του κέντρου µάζας του. Καθώς επιβραδύνεται όµως τείνει λόγω της περιστροφής του να «σπινάρει» µε αποτέλεσµα να δέχεται τριβή στατική αρχικά που τον επιβραδύνει και στροφικά. Σελίδα 1 από 6

2 υ k m R N F ελ Α l ο mg Τ Σ Το ερώτηµα που τίθεται είναι αν θα κυλίεται µέχρι να σταµατήσει ή αν κάποια στιγµή αρχίσει να ολισθαίνει. Όσο υπάρχει κύλιση χωρίς ολίσθηση, έχουµε: ΣF y = 0 N = m g (i) ΣF x = m α cm F ελ T = m α cm (ii) Στ (cm) = Ι α γων T R = 1 / 2 m R 2 α cm /R T = 1 / 2 m α cm (iii) Από (ii) και (iii) προκύπτει ότι η στατική τριβή έχει µέτρο: Τ = F ελ / 3 που αυξάνεται όσο συµπιέζεται το ελατήριο. Η στατική τριβή όµως έχει όριο την τιµή: Τ ορ = T ολ = µ m g = 20 N Αν λοιπόν ο κύλινδρος δεν προλάβει στο µεταξύ να σταµατήσει τότε θα αρχίσει να ολισθαίνει «σπινάροντας». Η αντίστοιχη συσπείρωση του ελατηρίου είναι: F ελ = 3 Τ ορ = 3 µ m g k l ο = 3 µ m g l ο = 0,20 m Κατά τη διάρκεια τώρα της κύλισης η συνολική κινητική ενέργεια του κυλίνδρου κάθε στιγµή είναι (υ η ταχύτητα του κέντρου µάζας): Κ = 1 / 2 m υ / 2 I ω 2 = 1 / 2 m υ / 2 1/ 2 m R 2 (υ/r) 2 Κ = 3 / 4 m υ 2 Όσο δεν συµβαίνει ολίσθηση, η ενέργεια αυτή µετατρέπεται σταδιακά σε δυναµική ενέργεια ελατηρίου. Παρατηρείστε ότι κατά την κύλιση του κυλίνδρου οι δύο µορφές κινητικής ενέργειας έχουν σταθερή αναλογία: Κ µεταφοράς = 2 Κ περιστροφής Σελίδα 2 από 6

3 µειώνονται µε ανάλογους ρυθµούς και µηδενίζονται ταυτόχρονα, παρόλο που το ελατήριο επιδρά µόνο στη µεταφορική κίνηση. Υπεύθυνη γι αυτό είναι βέβαια η στατική τριβή που µεταφέρει ενέργεια από τη στροφική στη µεταφορική κίνηση: (dε περ /dt) = P ροπών = Τ R ω = Τ υ (dε περ /dt) = P δυνάµεων = Τ υ F ελ υ = Τ υ 3 Τ υ = 2 Τ υ και: P δυνάµεων = 2 P ροπών Ο κύλινδρος θα σταµατήσει χωρίς σπινάρισµα αν για τη συσπείρωση l ο που βρήκαµε πιο πάνω ικανοποιείται η σχέση: 3 / 4 m υ ο 2 1 / 2 k l ο 2 ή 2 k l υ ο 1 m/sec 3 m υ Στην πρώτη περίπτωση, για την τιµή υ ο = 0,5 m/sec της αρχικής ταχύτητας ικανοποιείται η προηγούµενη συνθήκη και ο κύλινδρος σταµατάει στιγµιαία χωρίς ολίσθηση. Η συνολική κινητική του ενέργεια µετατρέπεται σε δυναµική ενέργεια ελατηρίου: 3 / 4 m υ ο 2 = 1 / 2 k l max 2 l max = 0,10 m 2. Στη δεύτερη περίπτωση όµως, η τιµή υ ο = 3 m/sec δεν ικανοποιεί την πιο πάνω συνθήκη, οπότε ο κύλινδρος θα αρχίσει να «σπινάρει» όταν η συσπείρωση του ελατηρίου ξεπεράσει την τιµή l ο = 0,20 m. Υπολογίζουµε αρχικά την ταχύτητα υ του κέντρου µάζας µέχρι τη θέση αυτή: 3 / 4 m υ ο 2 = 1 / 2 k l ο / 4 m υ 2 υ ο = 2 m/sec Από το σηµείο αυτό και πέρα υπάρχει ολίσθηση. Η τριβή έχει πλέον σταθερή τιµή: T ολ = µ m g = 20 N Σε τυχαία συσπείρωση y µεγαλύτερη από 0,20 m ισχύει: ΣF x = m α cm k y T ολ = m α cm Στ (cm) = Ι α γων T ολ R = 1 / 2 m R 2 α γων από όπου βρίσκουµε: α cm > 5 m/sec 2 και α γων R = 5 m/sec 2 Από εδώ φαίνεται ότι η ταχύτητα του κέντρου µάζας θα µηδενιστεί πριν σταµατήσει ο κύλινδρος να περιστρέφεται. Σελίδα 3 από 6

4 Για τον υπολογισµό στην περίπτωση αυτή της µέγιστης συσπείρωσης του ελατηρίου, l max = y, εργαζόµαστε ως εξής: 1 ος τρόπος (µε χρήση του ΘΜΚΕ) Για µετατόπιση y l ο : 0 1 / 2 m υ 2 = Τ ολ (y l ο ) 1 / 2 k (y 2 l 2 ο ) 15 y 2 2 y 1 = 0 y = 1 / 3 m ή y = l max = 0,33 m 2 ος τρόπος (µε χρήση αρµονικής ταλάντωσης) y l ο υ Φυσικό µήκος ελατηρίου Γ Α d Σ 1 Σ Σ 2 x y' Θα υπολογίσουµε τη συνισταµένη των δυνάµεων που ασκούνται στον κύλινδρο στη διεύθυνση της κίνησής του: (Ι) Σε τυχαία συσπείρωση y µικρότερη από 0,20 m (σηµείο Σ 1 µεταξύ των σηµείων Α και Σ) η τριβή είναι στατική και έχουµε: ΣF x = F ελ T = F ελ F ελ /3 = 2 / 3 F ελ = 2 / 3 k y ή αλγεβρικά: ΣF x = 2 / 3 k y ΣF x = 200 y ηλαδή το τµήµα της κίνησης από Α έως Σ είναι µέρος αρµονικής ταλάντωσης, µε σταθερά D 1 = 2 / 3 k = 200 N/m και θέση ισορροπίας το σηµείο Ο. (ΙI) Σε τυχαία συσπείρωση y µεγαλύτερη από 0,20 m (σηµείο Σ 2 µετά από το σηµείο Σ) η τριβή είναι πλέον τριβή ολίσθησης και έχουµε: ΣF x = F ελ T ολ = k y T ολ ΣF x = 300 y 20 Η συνισταµένη µηδενίζεται για συσπείρωση (σηµείο Γ): d = T ολ /k = 1 / 15 m και αν θέσουµε y = d + x η συνισταµένη γίνεται: Σελίδα 4 από 6

5 ΣF x = k (d + x) T ολ = k x ή αλγεβρικά: ΣF x = k x ΣF x = 300 x ηλαδή και το τµήµα της κίνησης µετά το Σ είναι µέρος αρµονικής ταλάντωσης, µε σταθερά D 2 = k = 300 N/m, θέση ισορροπίας το σηµείο Γ και αποµάκρυνση x από το σηµείο αυτό. Η τελευταία αυτή κίνηση µας βοηθά να απαντήσουµε στα ερωτήµατα (2-ii) και (3): Από τη διατήρηση ενέργειας στη ΓΑΤ βρίσκουµε το πλάτος της: 1 / 2 m υ / 2 k ( l ο d) 2 = 1 / 2 k A 2 A = 4 / 15 m και η µέγιστη συµπίεση του ελατηρίου είναι: y = l max = d + A = 1 / 15 m + 4 / 15 m = 1 / 3 m = 0,33 m F (Ν) F ελ = 300 y ΣF = 200 y ΣF = 300 y 20 = 300 x l (m) 0 1 / 15 2 / 15 3 / 15 4 / 15 5 / 15 d A Η εξίσωση της τελευταίας ταλάντωσης είναι: x = Α ηµ(ωt+φ ο ) Τη στιγµή έναρξης είναι: x αρχ = l ο d = 2 / 15 m, (και υ>0) οπότε: φ ο = π/6 και τελικά: x = 4 / 15 ηµ(ωt+ π/6).από εδώ φαίνεται ότι για να φτάσει ο κύλινδρος στην ακραία του θέση χρειάζεται χρόνος: t = Τ/6 όπου: m T= 2π = 1,026 sec και τελικά: t = 0,171 sec k Σελίδα 5 από 6

6 Μετά το σηµείο Σ η ροπή της τριβής είναι σταθερή, οπότε από τον 2 ο νόµο του Νεύτωνα έχουµε: T R= L/ t Τ R = L/ t I (ω τελ ω αρχ ) = Τ R t 1 / 2 m (ω τελ R υ) ) = Τ t ω τελ R = 0,56 m/sec και τελικά: Κ περ,τελ = 1 / 2 I ω τελ 2 = 0,625 Joule 3. Αρχική κινητική ενέργεια κυλίνδρου: Κ ολ,αρχ. = 3 / 4 m υ o 2 = 18 Joule (12J µεταφ.+ 6J στροφ.) Κατά την κύλιση µεταφέρονται στο ελατήριο: U 1 = 1 / 2 k l o 2 = 6 Joule Αποµένουν στον κύλινδρο: Κ ολ = 3 / 4 m υ 2 = 12 Joule (8J µεταφ.+ 4J στροφ.) Όταν σταµατάει στιγµιαία έχει ακόµη λόγω περιστροφής: Κ περ,τελ = 0,675 Joule Εποµένως έχασε από την περιστροφή (έργο ροπής της τριβής): 4 0,675 = 3,375Joule Από αυτά πηγαίνουν στη µεταφορική κίνηση: W Tολ = 2,667Joule Και γίνονται θερµότητα: Q = 3,375 2,667= 0,71 Joule Τελικά, όλη η ενέργεια της µεταφορικής κίνησης αποθηκεύεται στο ελατήριο: U 2 = 8 + 2,667 = 10,667 Joule που συνολικά αποθηκεύει: U = U 1 + U 2 = ,667 = 16,667 Joule Επαλήθευση: 16, ,71 + 0,675 = 18 Joule Σελίδα 6 από 6