1.4 OFDM OFDM-IM 17 3 FQAM 29

Transcript

1 Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Τηλεπικοινωνιών Σταύρος Δομουχτσίδης ΑΕΜ: 7425 ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Βελτιωμένες OFDM τεχνικές για συστήματα ασύρματης επικοινωνίας πέμπτης γενιάς Επιβλέπων: Καθηγητής Γεώργιος Καραγιαννίδης Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2016

2 Σταύρος Δομουχτσίδης Α.Π.Θ. Βελτιωμένες OFDM τεχνικές για συστήματα ασύρματης επικοινωνίας πέμπτης γενιάς «Η έγκριση της παρούσης Διπλωματικής Εργασίας από το Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωμών του συγγραφέως» (Ν. 5343/1932, άρθρο 202, παρ. 2)

3 Περίληψη Αντικείμενο της παρούσας εργασίας είναι η μελέτη τεχνικών διαμόρφωσης που βελτιώνουν την ε- πίδοση του συστήματος OFDM. Πρώτα γίνεται μια ανασκόπηση των βασικών τεχνικών ψηφιακής διαμόρφωσης, της στοχαστικής μοντελοποίησης του ασύρματου καναλιού και του καναλιού λευκού προσθετικού Gaussian θορύβου. Ακόμα, παρουσιάζεται το κλασσικό σύστημα OFDM και η επίδοση του σε κανάλι διαλείψεων Rayleigh. Στη συνέχεια, γίνεται μελέτη ενός νεότερου συστήματος πολλαπλών φερόντων, του OFDM-IM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing with Index Modulation), όπου η πληροφορία δεν μεταδίδεται μόνο μέσω συμβόλων που διαμορφώνουν τα υπο-φέροντα αλλά και με την επιλογή των ενεργών υπο-φερόντων. Ακόμη, παρουσιάζεται μία νέα τεχνική διαμόρφωσης, που η χρήση της προτείνεται σε συστήματα OFDM, η FQAM (Frequency and Quadrature Amplitude Modulation), η οποία συνδυάζει τη διαμόρφωση FSK (Frequency Shift Keying) με τη διαμόρφωση QAM (Quadrature Amplitude Modulation), προσφέροντας ένα συμβιβασμό ανάμεσα στη φασματική αποδοτικότητα και στην ισχύ εκπομπής. Τέλος, γίνεται σύγκριση της επίδοσης των συστημάτων που μελετήθηκαν με τη χρήση προσομοιώσεων και παρουσιάζονται τα συμπεράσματα της σύγκρισης. ι

4

5 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Ψηφιακή διαμόρφωση Διαμόρφωση ολίσθησης φάσης (Phase Shift Keying-PSK) Ορθογώνια διαμόρφωσης πλάτους (Quadrature Amplitude Modulation-QAM) Διαμόρφωση ολίσθησης συχνότητας (Frequency Shift Keying-FSK) Ασύρματο κανάλι Διάδοση πολλαπλών οδεύσεων (multipath) Τύποι διαλείψεων Κατανομή διάλειψης Rayleigh Κανάλι AWGN OFDM Εκπομπή-Λήψη Υλοποίηση OFDM με χρήση του αλγορίθμου FFT Ενα παράδειγμα OFDM διαμόρφωσης Πιθανότητα σφάλματος OFDM σε κανάλι διαλείψεων Rayleigh OFDM-IM Γενικά Δομή συστήματος OFDM-IM Υλοποίηση OFDM-IM Δέκτης OFDM-IM Πιθανότητα σφάλματος OFDM-IM Αριθμητικά αποτελέσματα FQAM Διαμόρφωση FQAM OFDM με διαμόρφωση FQAM Δέκτης FQAM Χωρητικότητα καναλιού Αριθμητικά αποτελέσματα Σύγκριση OFDM-IM με FQAM 39 5 Συμπεράσματα 43 ιιι

6 ι ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Βιβλιογραφία 45

7 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Ψηφιακή διαμόρφωση Σκοπός ενός τηλεπικοινωνιακού συστήματος είναι η μετάδοση πληροφορίας από ένα σημείο του χώρου σε κάποιο άλλο. Στις ψηφιακές επικοινωνίες η μορφή της πληροφορίας είναι μια ακολουθία δυαδικών ψηφίων (bits) η οποία πρέπει να μετατραπεί σε ένα ηλεκτρικό σήμα κατάλληλης μορφής που θα μπορεί να μεταδοθεί μέσα από το φυσικό κανάλι. Ονομάζουμε ψηφιακή διαμόρφωση την αντιστοίχηση της ψηφιακής πληροφορίας (bits) σε έναν πεπερασμένο αριθμό αναλογικών κυματομορφών οι οποίες θα είναι κατάλληλες για μετάδοση μέσα από το φυσικό κανάλι Διαμόρφωση ολίσθησης φάσης (Phase Shift Keying-PSK) Στη διαμόρφωση ολίσθησης φάσης (Phase Shift Keying-PSK), τα bits αντιστοιχούνται σε κυματομορφές που έχουν την ίδια συχνότητα και πλάτος (άρα και ενέργεια) αλλά διαφορετική φάση. Επομένως το PSK είναι η ψηφιακή εκδοχή της αναλογικής διαμόρφωσης φάσης (Phase Modulation- PM). Ενα σύστημα M-PSK για την μετάδοση πληροφορίας χρησιμοποιεί M κυματομορφές όπου σε κάθε κυματομορφή αντιστοιχίζονται p bits και άρα M = 2 p. Οι M κυματομορφές δίνονται s i (t) = 2Es T cos (2πf ct + θ i ) i = 1,..., M, t [0, T ] (1.1) όπου θ i = 2π i 1 M, f c είναι η φέρουσα συχνότητα, T είναι η διάρκεια του PSK συμβόλου και E s είναι η ενέργεια του PSK συμβόλου. Θα δούμε τώρα πως κάθε κυματομορφή του Μ-PSK μπορεί να παρασταθεί σαν ένα σημείο του μιγαδικού επιπέδου. Η (1.1) μπορεί να εκφρασθεί και ως 2Es s i (t) = T cos (θ i) cos (2πf c t) 2Es T sin (θ i) sin (2πf c t) (1.2) Από την (1.2) παρατηρούμε ότι όλες οι κυματομορφές του αστερισμού M-PSK μπορούν να γραφτούν 2 σαν γραμμικός συνδυασμός των ορθοκανονικών συναρτήσεων βάσης φ 1 (t) = T cos (2πf ct) και 2 φ 2 (t) = T sin (2πf ct), έτσι ώστε s i (t) = E s cos (θ i ) φ 1 (t) + E s sin (θ i ) φ 2 (t) (1.3) 1

8 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σχήμα 1.1: Αστερισμός BPSK Τελικά στο χώρο που δημιουργείται από τις βάσεις φ 1 (t) και φ 2 (t) μπορεί να αναπαρασταθεί κάθε κυματομορφή ως ένα σημείο (σύμβολο) s i = { E s cos (θ i ), E s sin (θ i )}. Το διάγραμμα που αποτελείται από τα M σύμβολα της διαμόρφωσης ονομάζεται αστερισμός. Στα πλαίσια αυτής της εργασίας θα χρησιμοποιηθεί η 2-PSK (ή BPSK) διαμόρφωση και η 4-PSK (ή QPSK) διαμόρφωση. Αν M = 2 τότε προκύπτει η διαμόρφωση BPSK. Στο BPSK έχουμε δύο κυματομορφές που έχουν μεταξύ τους διαφορά φάσης π και με κάθε σύμβολο BPSK μπορούμε να μεταδώσουμε p = 1 bit. Για θ 1 = 0 και θ 2 = π οι κυματομορφές είναι 2Es s 1 (t) = T cos (2πf ct) 1 2Es s 2 (t) = T cos (2πf ct + π) = s 1 (t) 0 Στο σχήμα 1.1 παρουσιάζεται ο BPSK αστερισμός με σύμβολα s 1 = 1 και s 2 = 1. Αν M = 4 προκύπτει η διαμόρφωση QPSK. Στο QPSK έχουμε τέσσερις κυματομορφές που έχουν μεταξύ τους διαφορά φάσης π/2 και σε κάθε μία αντιστοιχούνται p = 2 bits. Για θ 1 = π/4, θ 2 = 3π/4, θ 3 = 5π/4 και θ 4 = 7π/4 οι κυματομορφές είναι 2Es s 1 (t) = T cos (2πf ct + π/4) 11 2Es s 2 (t) = T cos (2πf ct + 3π/4) 01 2Es s 3 (t) = T cos (2πf ct + 5π/4) 00 2Es s 4 (t) = T cos (2πf ct + 7π/4) 10

9 1.1. ΨΗΦΙΑΚΗ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ 3 Σχήμα 1.2: Αστερισμός QPSK Στο σχήμα 1.2 παρουσιάζεται ο QPSK αστερισμός με σύμβολα s 1 = ( 2/2, 2/2 ), s 2 = ( 2/2, 2/2 ), s3 = ( 2/2, 2/2 ) και s 4 = ( 2/2, 2/2 ) Ορθογώνια διαμόρφωσης πλάτους (Quadrature Amplitude Modulation-QAM) Το M-QAM είναι μια τεχνική διαμόρφωσης που προκύπτει από το M-PSK αν αφαιρέσουμε την απαίτηση να έχουν οι κυματομορφές ίση ενέργεια. Επομένως στις κυματομορφές του M-QAM θα μεταβάλλεται εκτός από την φάση και το πλάτος. Οι κυματομορφές του M-QAM δίνονται 2Ei s i (t) = T cos (2πf ct + θ i ) i = 1,..., M, t [0, T ] (1.4) όπου f c είναι η φέρουσα συχνότητα, T είναι η διάρκεια του QAM συμβόλου και E i και θ i είναι η ενέργεια και η φάση του i-οστού QAM συμβόλου. Ομοίως με το PSK, μπορούμε να αναπαραστήσουμε τις κυματομορφές του M-QAM σαν σημεία του επιπέδου που σχηματίζουν οι ορθοκανονικές συναρτήσεις βάσης φ 1 (t) = 2 2 T cos (2πf ct) και φ 2 (t) = T sin (2πf ct). Ετσι, τα σύμβολα του M-QAM αστερισμού είναι s i = { E i cos (θ i ), E i sin (θ i )}. Παρακάτω παρουσιάζονται διαγράμματα ορθογώνιων και μη-ορθογώνιων αστερισμών QAM.

10 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ (αʹ) (βʹ) Σχήμα 1.3: (α) ορθογώνιος και (β) μη-ορθογώνιος αστερισμός 8-QAM (αʹ) (βʹ) Σχήμα 1.4: (α) ορθογώνιος και (β) μη-ορθογώνιος αστερισμός 16-QAM

11 1.2. ΑΣΥΡΜΑΤΟ ΚΑΝΑΛΙ Διαμόρφωση ολίσθησης συχνότητας (Frequency Shift Keying-FSK) Στην τεχνική διαμόρφωσης FSK, που είναι η ψηφιακή εκδοχή της αναλογικής διαμόρφωσης FM, η πληροφορία αντιστοιχείται στη συχνότητα ημιτονοειδών κυματομορφών. Ετσι στο M-FSK η διαβίβαση πληροφορίας γίνεται με την επιλογή μίας από τις Μ διαφορετικές συχνότητες f 1, f 2,..., f M. Η απόσταση ανάμεσα σε δύο διαδοχικές συχνότητες είναι σταθερή και ίση με και άρα κάθε συχνότητα του Μ-FSK μπορεί να εκφραστεί ως f = f m f m 1, m = 1, 2,..., M (1.5) f m = m f, m = 1, 2,..., M (1.6) Ακόμη, εφόσον έχουμε Μ διαφορετικές κυματομορφές, μπορούμε να μεταδώσουμε p = log 2 M bits ανά κυματομορφή. Οι Μ κυματομορφές σήματος του M-FSK θα μπορούν να εκφραστούν ως 2Es s m (t) = T cos (2πf mt + θ m ), m = 1, 2,..., M, 0 t T (1.7) όπου E s είναι η ενέργεια ανά σύμβολο FSK και T είναι η διάρκεια του συμβόλου FSK και θ m είναι οι φάσεις που μπορεί να είναι γνωστές ή άγνωστες στον δέκτη (και ανάλογα χρησιμοποιείται σύμφωνη ή ασύμφωνη ανίχνευση). 1.2 Ασύρματο κανάλι Στις ασύρματες επικοινωνίες ένα από τα βασικά χαρακτηριστικά του φυσικού διαύλου είναι η παρουσία ανακλαστικών επιφανειών και σκεδαστών που δημιουργούν ένα διαρκώς μεταβαλλόμενο περιβάλλον. Λόγω των πολλαπλών ανακλάσεων από τις ανακλαστικές επιφάνειες του περιβάλλοντος και την περίθλαση γύρω από τα διάφορα εμπόδια (πχ κτίρια), λαμβάνονται στον δέκτη πολλαπλές εκδόσεις του σήματος από διαφορετικές κατευθύνσεις και με διαφορετικές χρονικές καθυστερήσεις. Αυτές οι διαφορετικές χρονικά μετατοπισμένες εκδόσεις του λαμβανόμενου σήματος λέμε ότι προκαλούν διάλειψη μικρής κλίμακας (fading). Στο φαινόμενο της διάλειψης επιδρούν εκτός από την διάδοση πολλαπλής διαδρομής (multipath) και άλλοι παράγοντες. Αυτοί είναι, η ταχύτητα του κινητού και των περιβαλλόντων αντικειμένων καθώς και το εύρος ζώνης μετάδοσης του σήματος Διάδοση πολλαπλών οδεύσεων (multipath) Στη γενική περίπτωση, σε ένα κανάλι πολλαπλών οδεύσεων, θα υπάρχουν N εκδόσεις του εκπεμπόμενου σήματος s (t) οι οποίες φτάνουν στον δέκτη. Ας θεωρήσουμε τώρα ότι το εκπεμπόμενο σήμα είναι s (t) = Re{s b (t) e j2πfct } (1.8) όπου s b (t) είναι το μιγαδικό ισοδύναμο σήμα βασικής ζώνης του s (t) και f c είναι η φέρουσα συχνότητα. Το s (t) μεταδίδεται μέσα από ένα κανάλι πολλαπλών οδεύσεων και κάθε όδευση εξασθενεί το σήμα κατά έναν παράγοντα a n (t) και εισάγει μια χρονική καθυστέρηση τ n (t). Τελικά, το λαμβανόμενο σήμα θα είναι το άθροισμα όλων διαφορετικών εκδόσεων του σήματος και είναι N N r (t) = a n (t) s (t τ n (t)) = Re{ a n (t) s b (t τ n (t)) e j2πfc(t τn(t)) } (1.9) n=1 n=1

12 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το μιγαδικό ισοδύναμο βασικής ζώνης του λαμβανόμενου σήματος είναι r b (t) = N a n (t) e j2πfcτn(t) s b (t τ n (t)) (1.10) n=1 Επομένως, η κρουστική απόκριση του καναλιού θα είναι h b (t) = N a n (t) e jθn(t) (1.11) n=1 όπου θ n (t) = 2πf c τ n (t) είναι η φάση της n-οστής όδευσης. Μια χρήσιμη παράμετρος για την περιγραφή των ασύρματων καναλιών, αλλά και για τον σχεδιασμό ασύρματων συστημάτων, που μπορεί να υπολογιστεί από την κρουστική απόκριση, είναι η εξάπλωση καθυστέρησης rms και ορίζεται ως σ τ = τ 2 τ 2 (1.12) όπου τ είναι η μέση υπερβάλλουσα καθυστέρηση και ορίζεται ως a 2 nτ n n τ = n a 2 n (1.13) και όπου Σύμφωνο Εύρος Ζώνης τ 2 = a 2 nτn 2 n n a 2 n (1.14) Το σύμφωνο εύρος ζώνης, B c, είναι μια ποσότητα που ορίζεται με βάση την εξάπλωση καθυστέρησης rms, και είναι ένα στατιστικό μέτρο της περιοχής των συχνοτήτων, στις οποίες το κανάλι μπορεί να θεωρηθεί επίπεδο. Δηλαδή, το σύμφωνο εύρος ζώνης είναι η περιοχή των συχνοτήτων, στην οποία δύο ημιτονοειδείς καμπύλες έχουν μεγάλη πιθανότητα για συσχέτιση πλάτους. Αντίθετα, αν η συχνοτική απόσταση ανάμεσα τους είναι μεγαλύτερη από B c τότε επηρεάζονται αρκετά διαφορετικά από το κανάλι. Το σύμφωνο εύρος ζώνης ορίζεται ως το εύρος ζώνης, στο οποίο η συνάρτηση συσχέτισης συχνότητας είναι μεγαλύτερη από 0.9 και είναι Εξάπλωση Doppler και Χρόνος Συμφωνίας B c 1 50σ τ (1.15) Στις ασύρματες επικοινωνίες μπορεί το κινητό τερματικό να βρίσκεται σε κίνηση. Τότε, λόγω του φαινομένου Doppler παρατηρείται μια ολίσθηση στη συχνότητα που ονομάζεται μετατόπιση Doppler και δίνεται f d = v cos (θ) (1.16) λ όπου v είναι η ταχύτητα του κινητού, λ είναι το μήκος κύματος της φέρουσας συχνότητας και θ είναι η γωνία που σχηματίζεται ανάμεσα στην ευθεία που συνδέει το σταθμό βάσης με το κινητό τερματικό,

13 1.2. ΑΣΥΡΜΑΤΟ ΚΑΝΑΛΙ 7 και τον άξονα κίνησης του κινητού τερματικού. Πρέπει να σημειωθεί ότι η μετατόπιση συχνότητας είναι θετική όταν το κινητό πλησιάζει προς τον σταθμό βάσης και αρνητική όταν απομακρύνεται. Η εξάπλωση Doppler B d είναι μέτρο της φασματικής διεύρυνσης που προκαλείται από τον ρυθμό αλλαγής του κινητού ραδιοκαναλιού και ορίζεται ως η περιοχή συχνοτήτων στην οποία το λαμβανόμενο φάσμα Doppler είναι μη-μηδενικό. Οταν μεταδίδεται ένας ημιτονοειδής τόνος της συχνότητας f c, θα λαμβάνεται ένα φάσμα συχνοτήτων, που λέγεται φάσμα Doppler, και θα έχει εύρος από f c f d έως f c + f d. Εάν το εύρος ζώνης του μεταδιδόμενου σήματος είναι πολύ μεγαλύτερο από το B d τότε η εξάπλωση Doppler είναι αμελητέα στον δέκτη και τότε λέμε ότι το κανάλι είναι βραδείας διάλειψης. Ο χρόνος συμφωνίας, T c ορίζεται ως το αντίστροφο της εξάπλωσης Doppler T c = 1 B d (1.17) και είναι μια στατιστική μέτρηση της χρονικής διάρκειας κατά την οποία η κρουστική απόκριση του καναλιού παραμένει ουσιαστικά αμετάβλητη Τύποι διαλείψεων Ανάλογα με τη συσχέτιση των παραμέτρων του μεταδιδόμενου σήματος (εύρος ζώνης B s, διάρκεια συμβόλου T s ) και των παραμέτρων του καναλιού (εξάπλωση καθυστέρησης rms σ τ, εξάπλωση Doppler), τα μεταδιδόμενα σήματα θα υφίστανται διαφορετικού τύπου διάλειψη Επίπεδη Διάλειψη (Flat fading) Αν το εύρος ζώνης του σήματος είναι πολύ μικρότερο από το εύρος ζώνης συμφωνίας του καναλιού, B s << B c και η διάρκεια του συμβόλου είναι πολύ μεγαλύτερη από την εξάπλωση καθυστέρησης rms, T s >> σ τ τότε το μεταδιδόμενο σήμα υφίσταται επίπεδη διάλειψη. Δηλαδή, το κινητό ραδιοκανάλι έχει σταθερή απολαβή και γραμμική απόκριση φάσης στο εύρος ζώνης του σήματος Συχνοεπιλεκτική Διάλειψη (Frequency-selective fading) Οταν το εύρος ζώνης του σήματος είναι μεγαλύτερο από το εύρος ζώνης συμφωνίας του καναλιού, B s > B c και η διάρκεια του συμβόλου είναι μικρότερη από την εξάπλωση καθυστέρησης rms, T s < σ τ τότε το μεταδιδόμενο σήμα υφίσταται συχνοεπιλεκτική διάλειψη. Δηλαδή, η απολαβή του καναλιού είναι διαφορετική για διαφορετικές συνιστώσες συχνότητας Ταχεία διάλειψη (Fast fading) Ενα σήμα υφίσταται ταχεία διάλειψη όταν η διάρκεια του συμβόλου είναι μεγαλύτερη από τον χρόνο συμφωνίας του καναλιού, T s > T c, και όταν το εύρος ζώνης του σήματος είναι μικρότερο από την εξάπλωση Doppler, B s < B d. Σε ένα κανάλι ταχείας διάλειψης η κρουστική απόκριση του καναλιού αλλάζει γρήγορα κατά τη διάρκεια του συμβόλου. Αυτό προκαλεί διασπορά συχνοτήτων και παραμορφώνει το σήμα Βραδεία διάλειψη (Slow fading) Ενα σήμα υφίσταται βραδεία διάλειψη όταν η διάρκεια του συμβόλου είναι πολύ μικρότερη από τον χρόνο συμφωνίας του καναλιού, T s << T c, και όταν το εύρος ζώνης του σήματος είναι πολύ με-

14 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ γαλύτερο από την εξάπλωση Doppler, B s >> B d. Σε ένα κανάλι βραδείας διάλειψης η κρουστική απόκριση του καναλιού αλλάζει με πολύ πιο αργό ρυθμό από το μεταδιδόμενο σήμα και έτσι το κανάλι μπορεί να θεωρηθεί στατικό Κατανομή διάλειψης Rayleigh Στα κινητά ραδιοκανάλια, χρησιμοποιείται συνήθως η κατανομή Rayleigh για να περιγράψει την στατιστικά χρονικά μεταβαλλόμενη φύση της περιβάλλουσας μιας συνιστώσας πολλαπλής όδευσης. Ο συντελεστής κάθε όδευσης μπορεί να εκφραστεί ως h n (t) = h n,re (t) + jh n,im (t) (1.18) όπου h n,re (t) και h n,im (t) παριστάνουν ανεξάρτητες πραγματικές Gaussian τυχαίες διαδικασίες μηδενικής μέσης τιμής. Ακόμα, όπως είδαμε από την εξίσωση (1.11) κάθε συντελεστής πολλαπλής όδευσης μπορεί να εκφραστεί με τη μορφή h n (t) = a n (t) e jθn(t) (1.19) έτσι ώστε a n (t) = h 2 n,re (t) + h 2 n,im (t) (1.20) θ n (t) = tan 1 h n,im (t) h n,re (t) (1.21) Στην αναπαράσταση αυτή, εφόσον h n,re (t) και h n,im (t) είναι Gaussian μηδενικής μέσης τιμής, τότε το πλάτος a n (t) χαρακτηρίζεται στατιστικά από μία κατανομή πυκνότητας πιθανότητας Rayleigh, ενώ η θ n (t) είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα [0, 2π). Το κανάλι αυτό ονομάζεται κανάλι διαλείψεων Rayleigh. Οι διαλείψεις Rayleigh του πλάτους του σήματος της n-οστής διαδρομής περιγράφονται από την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p (a) = a a2 e 2σ 2, a 0 (1.22) σ2 όπου σ 2 = E [ h 2 ] [ ] n,re = E h 2 n,im. Το κανάλι διαλείψεων Rayleigh είναι ένα ικανοποιητικό μοντέλο για την περιγραφή της διάδοσης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε ένα αστικό περιβάλλον, όπου υ- πάρχουν πολλές ανακλαστικές επιφάνειες και σκεδαστές, ενώ δεν υπάρχει διαδρομή οπτικής επαφής (Line of Sight) και είναι το μοντέλο που θα χρησιμοποιηθεί στα πλαίσια αυτής της εργασίας. 1.3 Κανάλι AWGN Ως τώρα εξετάσαμε την επίδραση που έχει στο λαμβανόμενο σήμα η διάδοση μέσω πολλαπλών οδεύσεων, αγνοώντας την επίδραση του προσθετικού θορύβου. Η κύρια πηγή του προσθετικού θορύβου, είναι ο θερμικός θόρυβος. Ο θερμικός θόρυβος παράγεται στις ηλεκτρονικές συσκευές από την τυχαία κίνηση των ηλεκτρονίων, η οποία οφείλεται στη θερμική αναταραχή. Επομένως, ο θερμικός θόρυβος μπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισμα μικρών ρευμάτων από ένα μεγάλο πλήθος πηγών, των ηλεκτρονίων, που συμπεριφέρονται ανεξάρτητα μεταξύ τους και επομένως είναι ένα άθροισμα πολλών τυχαίων μεταβλητών. Σύμφωνα με το κεντρικό οριακό θεώρημα, το άθροισμα

15 1.4. OFDM 9 Σχήμα 1.5: Διάγραμμα βαθμίδων του καναλιού αυτό θα έχει Gaussian κατανομή. Ετσι, ο προσθετικός θόρυβος, n (t), αναπαριστάται σαν μία Gaussian τυχαία διαδικασία μηδενικής μέσης τιμής. Ακόμη, ο προσθετικός θόρυβος θεωρούμε ότι είναι λευκός. Δηλαδή περιέχει ίσες ποσότητες όλων των συχνοτήτων και άρα η φασματική πυκνότητα ισχύος, S n (f), είναι σταθερή σε όλο το φάσμα των συχνοτήτων και ίση με S n (f) = N 0 2 f (, ) (1.23) Ο λευκός θόρυβος επομένως έχει άπειρη μέση ισχύ και ως τέτοιος δεν είναι φυσικά υλοποιήσιμος. Τα δείγματα όμως της n (t) σε κάθε χρονική στιγμή παίρνουν πεπερασμένες τιμές. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της n (t) είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier της φασματικής πυκνότητας ισχύος και δίνεται από R n (t) = N 0 δ (t) (1.24) 2 Το πλάτος της n (t) ακολουθεί Gaussian κατανομή μηδενικής μέσης τιμής με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f n (x) = x2 1 e 2σ 2 (1.25) 2πσ 2 όπου σ 2 = N 0 /2 είναι η διακύμανση του θορύβου. 1.4 OFDM Οπως είδαμε το εύρος ζώνης του μεταδιδόμενου σήματος παίζει σημαντικό ρόλο στον τρόπο με τον οποίο το σήμα θα υποστεί διαλείψεις. Ετσι αν το εύρος ζώνης του σήματος είναι μεγαλύτερο από το σύμφωνο εύρος ζώνης του καναλιού πολλαπλών οδεύσεων, B c, τότε το σήμα θα υφίσταται συχνοεπιλεκτική διάλειψη και άρα σημαντική παραμόρφωση. Η μία επιλογή που έχουμε είναι να περιορίσουμε το εύρος ζώνης του μεταδιδόμενου σήματος ώστε να γίνει μικρότερο από το σύμφωνο εύρος ζώνης. Αυτό όμως θα μειώσει και τον ρυθμό μετάδοσης πληροφορίας. Μία άλλη προσέγγιση είναι να χωρίσουμε το διαθέσιμο εύρος ζώνης σε μικρότερα υπο-κανάλια των οποίων το εύρος ζώνης θα είναι πολύ μικρότερο από το σύμφωνο εύρος ζώνης B c, έτσι ώστε το σήμα σε κάθε υπο-κανάλι να υφίσταται επίπεδη διάλειψη. Η τεχνική αυτή είναι γνωστή ως διαμόρφωση πολλών φερόντων (multicarrier modulation). Μια ειδική περίπτωση διαμόρφωσης πολλών φερόντων είναι η ορθογώνια πολυπλεξία διαμόρφωσης συχνότητας (Orthogonal Frequency Division Multiplexing-OFDM) όπου οι κεντρικές συχνότητες των υπο-καναλιών, που θα τις λέμε υπο-φέρουσες, είναι ορθογώνιες.

16 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Εκπομπή-Λήψη Στο OFDM διαιρούμε το διαθέσιμο εύρος ζώνης, W, του καναλιού σε N υπο-κανάλια εύρους f = W/N, με f << B c ώστε η απόκριση πλάτους του καναλιού να είναι σταθερή στο εύρος κάθε υπο-καναλιού. Σε κάθε υπο-κανάλι χρησιμοποιείται ένα υπο-φέρον c b,n (t) = e j2πfnt, n = 1,.., N (1.26) όπου f n = n/t είναι η κεντρική συχνότητα του n-οστού υπο-καναλιού και T = 1/ f είναι το διάστημα σηματοδοσίας. Κάθε ένα υπο-φέρον διαμορφώνεται από ένα μιγαδικό σύμβολο, έστω X (n), του αστερισμού της διαμόρφωσης που χρησιμοποιείται (BPSK, QPSK, M-QAM). Ετσι, τα N διαμορφωμένα υπο-φέροντα μπορούν να εκφρασθούν ως s b,n (t) = X (n) c b,n (t) = X (n) e j2πfnt, t {0, T } n = 1,.., N (1.27) Τελικά, το OFDM σήμα θα προκύψει ως το άθροισμα των N διαμορφωμένων υπο-φερόντων και θα είναι N N s b (t) = s b,n (t) = X (n) e j2πfnt, t {0, T } (1.28) n=1 n=1 Το μιγαδικό σήμα βασικής ζώνης μετατρέπεται στη συνέχεια σε ένα ζωνοπερατό σήμα, που θα μεταδοθεί μέσα από ένα συχνοεπιλεκτικό κανάλι Rayleigh, και αναπαριστάνεται μαθηματικά ως s (t) = Re{s b (t) e j2πfct } (1.29) Στο OFDM ο αριθμός των bit που εκπέμπεται ανά περίοδο συμβόλου, T, είναι ο αριθμός των υπο-φερόντων, N, πολλαπλασιασμένος με τον αριθμό των bit που αντιστοιχούνται σε ένα σύμβολο του χρησιμοποιούμενου αστερισμού. Δηλαδή κάθε OFDM σύμβολο μεταφέρει Nlog 2 M bits, όπου M είναι η τάξη της διαμόρφωσης, σε μια περίοδο T. Για να μπορέσουμε να μεταδώσουμε τον ίδιο αριθμό bits στον ίδιο χρόνο T με διαμόρφωση μίας φέρουσας, η διάρκεια του συμβόλου θα έπρεπε να είναι T s = T/N. Το μιγαδικό ισοδύναμο βασικής ζώνης του λαμβανόμενου σήματος στο δέκτη θα είναι r b (t) = s b (t) h b (t) + n b (t) (1.30) όπου h b (t) είναι η κρουστική απόκριση του καναλιού και είναι ο τελεστής της συνέλιξης. Η αποδιαμόρφωση του λαμβανόμενου σήματος γίνεται από N συσχετιστές, όπου στο n-οστό συσχετιστή υπολογίζεται η συσχέτιση του r b (t) με το n-οστό υπο-φέρον c n (t). Η έκφραση των εξόδων της συστοιχίας των συσχετιστών είναι r b (n) = X (n))h b (n) + n b (n), n = 1,..., N (1.31) από όπου μπορεί να γίνει εκτίμηση για το σύμβολα που έχουν αποσταλεί Υλοποίηση OFDM με χρήση του αλγορίθμου FFT Φαίνεται ότι η υλοποίηση του OFDM, όπως περιγράφτηκε, είναι μια περίπλοκη υπόθεση καθώς θα πρέπει στον πομπό να διαμορφώνονται κάθε φορά N υπο-φέροντα, ενώ στον δέκτη απαιτούνται N συσχετιστές για την αποδιαμόρφωση. Για αυτό τον λόγο για την διαμόρφωση και την αποδιαμόρφωση

17 1.4. OFDM 11 x(1) X(1) x(2) X(2) Serial to parallel converter QAM mapper N-point IFFT Add cyclic prefix and parallel to serial converter x(n) X(N) (αʹ) (βʹ) Σχήμα 1.6: Δομικό διάγραμμα (α) πομπού OFDM και (β) δέκτη OFDM του OFDM χρησιμοποιούμε τον διακριτό μετασχηματισμό Fourier (Discrete Fourier Transform- DFT). Ο DFT μετασχηματίζει μια ομάδα δειγμάτων στο πεδίο του χρόνου, σε μία ισοδύναμη ομάδα δειγμάτων στο πεδίο της συχνότητας, ενώ ο αντίστροφος DFT (ή IDFT) εκτελεί την αντίστροφη λειτουργία. Το ζευγάρι μετασχηματισμού περιγράφεται μαθηματικά από τις εξισώσεις DF T : X (n) = N 1 IDF T : x (n) = 1 N m=0 N 1 x (n) e j2πmn/n, n = 0, 1,..., N 1 (1.32) m=0 X (n) e j2πmn/n, n = 0, 1,..., N 1 (1.33) Στο σχήμα 1.6(αʹ) φαίνεται μια τυπική υλοποίηση του πομπού ενός συστήματος OFDM με τη χρήση IDFT. Πρώτον η εισερχόμενη ακολουθία bits υφίσταται μετατροπή από σειριακή σε παράλληλη μορφή για τη δημιουργία N παράλληλων ομάδων bits. Στη συνέχεια οι N ομάδες bits αντιστοιχίζονται σε N σύμβολα, X (n), του αστερισμού που χρησιμοποιείται (πχ BPSK). Τα {X (n)} σύμβολα είναι τα δείγματα του OFDM σήματος στο πεδίο της συχνότητας και από αυτά υπολογίζουμε τον αντίστροφο FFT Ν-σημείων ώστε να βρούμε τα δείγματα, {x (n)}, του OFDM σήματος στο πεδίο του χρόνου. Ο FFT (Fast Fourier Transform) είναι ένας αποδοτικός αλγόριθμος υπολογισμού του

18 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σχήμα 1.7: Παλμοσειρά δυαδικών δεδομένων DFT. Ετσι, η έξοδος του IFFT θα είναι x T (n) = NIF F T {X F } = 1 N 1 X (n) e j2πmn/n, n = 0, 1,..., N 1 (1.34) N m=0 όπου X F = [X (0), X (1),..., X (N 1)]. Στη συνέχεια προσαρτάται το κυκλικό πρόθεμα στην αρχή του x T. Το κυκλικό πρόθεμα (Cyclic Prefix-CP) είναι ουσιαστικά μία περιοχή προστασίας, που εξασφαλίζει ότι το OFDM σύμβολο δε θα παραμορφωθεί από την εξάπλωση καθυστέρησης. Το κυκλικό πρόθεμα αποτελείται από τα L τελευταία δείγματα του x T, δηλαδή από τα [x T (N L), x T (N L + 1),..., x T (N 1)], τα οποία προσαρτώνται στην αρχή του x T. Πρέπει να σημειωθεί ότι για να είναι αποτελεσματικό το κυκλικό πρόθεμα θα πρέπει το μήκος του, L, να είναι μεγαλύτερο από το μήκος της κρουστικής απόκρισης του καναλιού. Τέλος τα δείγματα x T μετατρέπονται από παράλληλη σε σειριακή μορφή και από ψηφιακή σε αναλογική και το τελικό σήμα μεταδίδεται μέσα από το κανάλι. Στο σχήμα (1.6(βʹ)) παρουσιάζεται η αντίστοιχη υλοποίηση του δέκτη, η οποία ακολουθεί μια αντίστροφη σειρά λειτουργιών από εκείνη που ακολουθείται στον πομπό. Ετσι, αφού το λαμβανόμενο σήμα μετατραπεί από αναλογική σε ψηφιακή μορφή, αφαιρούνται τα πρώτα L δείγματα της ακολουθίας, τα οποία αντιστοιχούν στο κυκλικό πρόθεμα και έχουν αλλοιωθεί από την εξάπλωση καθυστέρησης του καναλιού. Στη συνέχεια η ακολουθία των δειγμάτων του λαμβανόμενου σήματος μετατρέπεται από σειριακή σε παράλληλη μορφή και υπολογίζεται ο FFT Ν-σημείων της ακολουθίας. Η έξοδος του FFT είναι ουσιαστικά η ακολουθία των δειγμάτων του λαμβανόμενου σήματος στο πεδίο της συχνότητας. Κάθε δείγμα οδηγείται σε έναν ανιχνευτή για να ανακτηθεί το μιγαδικό σύμβολο πληροφορίας που έχει αποσταλεί και τα bits που αντιστοιχούνται σε αυτό Ενα παράδειγμα OFDM διαμόρφωσης Ας εξετάσουμε τώρα πως θα δημιουργηθεί το OFDM σήμα που αποτελείται από 4 υπο-φέροντα και χρησιμοποιεί διαμόρφωση BPSK, όταν θέλουμε να μεταδώσουμε την παλμοσειρά δυαδικών δεδομένων που φαίνεται στο σχήμα (1.7), όπου 1 1 και 0 1. Η παλμοσειρά έχει ρυθμό 1symbol/s και η συχνότητα δειγματοληψίας είναι 1 δείγμα ανά σύμβολο. Ετσι, τα πρώτα 24 bits θα είναι 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 και αν μετατρέψουμε την ακολουθία από σειριακή σε παράλληλη, θα είναι Στον παραπάνω πίνακα κάθε στήλη περιλαμβάνει τα bits που θα αποσταλούν από το αντίστοιχο υποφέρον. Επομένως τα bits της πρώτης στήλης θα διαμορφώσουν το υπο-φέρον c 1. Θα δούμε τώρα

19 1.4. OFDM 13 c 1 c 2 c 3 c Σχήμα 1.8: Το διαμορφωμένο υπο-φέρον c 1 Σχήμα 1.9: Το διαμορφωμένο υπο-φέρον c 2 ποια θα πρέπει να είναι η συχνότητα του c 1. Σύμφωνα με το θεώρημα δειγματοληψίας Nyquist η μικρότερη συχνότητα που φέρει πληροφορία θα πρέπει να είναι τουλάχιστον διπλάσια από τον ρυθμό της πληροφορίας. Σε αυτή την περίπτωση ο ρυθμός της πληροφορίας είναι 1symbol/s και επειδή έχουμε 4 υπο-φέροντα, για το κάθε ένα ο ρυθμός θα είναι 1/4. Επομένως η συχνότητα του c 1 θα πρέπει να είναι τουλάχιστον 1/2 Hz. Επιλέγεται να είναι 1 Hz. Το υπο-φέρον c 1 θα διαμορφωθεί από την πρώτη στήλη του παραπάνω πίνακα, δηλαδή από τα 1, 1, 1, 1, 1, 1. Η συχνότητα του c 1 όπως είπαμε παραπάνω θα είναι 1 Hz. Το διαμορφωμένο υπο-φέρον παρουσιάζεται στο σχήμα (1.8) Ομοίως, το υπο-φέρον c 2 θα διαμορφωθεί από την δεύτερη στήλη του παραπάνω πίνακα, δηλαδή από τα 1, 1, 1, 1, 1, 1. Η συχνότητα του c 2 θα είναι αρμονική της συχνότητας του c 1 και θα είναι 2 Hz. Το διαμορφωμένο υπο-φέρον παρουσιάζεται στο σχήμα (1.9) Τα υπο-φέροντα c 3 και c 4 θα διαμορφωθούν από την τρίτη και τέταρτη στήλη, αντίστοιχα, του παραπάνω πίνακα, δηλαδή από τα 1, 1, 1, 1, 1, 1 και 1, 1, 1, 1, 1, 1. Ακόμα η συχνότητα του c 3 θα είναι 3 Hz και του c 4 4 Hz. Τα διαμορφωμένα υπο-φέροντα c 3 και c 4 παρουσιάζονται στο σχήμα (1.10). Τελικά, διαμορφώσαμε όλα τα bits στα 4 ανεξάρτητα υπο-φέροντα που έχουν ορθογώνιες συχνότητες από 1 έως 4 Hz. Το OFDM σήμα προκύπτει αν αθροίσουμε τα 4 διαμορφωμένα υπο-

20 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σχήμα 1.10: Τα διαμορφωμένα υπο-φέροντα c 3 και c 4 Σχήμα 1.11: Το OFDM σήμα στο χρόνο φέροντα, σύμφωνα με την εξίσωση 4 4 s (t) = X (n) c n (t) = X (n) sin (2πnt). (1.35) n=1 n=1 Στο σχήμα (1.11) παρουσιάζεται το σήμα s (t) στο ίδιο διάγραμμα με τα 4 υπο-φέροντα από τα οποία αποτελείται Πιθανότητα σφάλματος OFDM σε κανάλι διαλείψεων Rayleigh Σε αυτή την ενότητα θα υπολογιστεί η πιθανότητα σφάλματος bit (Bit Error Rate-BER) στο δέκτη ενός OFDM συστήματος, όταν η πληροφορία μεταδίδεται μέσα από συχνοεπιλεκτικό κανάλι διαλείψεων Rayleigh. Η πιθανότητα σφάλματος θα υπολογιστεί για διαμόρφωση BPSK. Αν και το κανάλι είναι συχνοεπιλεκτικό όταν εξετάζουμε το σήμα σε ολόκληρο το εύρος ζώνης W, οι διαλείψεις που συμβαίνουν σε κάθε υπο-φέρον ξεχωριστά μπορούν να θεωρηθούν επίπεδες. Αυτό συμβαίνει επειδή έχουμε σχεδιάσει το OFDM ώστε το εύρος ζώνης, f, κάθε υπο-καναλιού να είναι σημαντικά μικρότερο από το σύμφωνο εύρος ζώνης του καναλιού, B c. Ακόμη, αν θεωρήσουμε ότι οι χρονικές μεταβολές του καναλιού είναι πολύ αργές συγκριτικά με την διάρκεια του συμβόλου

21 1.4. OFDM OFDM, BPSK, Sim. OFDM, BPSK, Theo BER Eb/No (db) Σχήμα 1.12: Σύγκριση θεωρητικών αποτελεσμάτων και αποτελεσμάτων προσομοίωσης BER T τότε η κρουστική απόκριση του καναλιού θα είναι σταθερή για 0 t T, δηλαδή h (τ) = aδ (τ τ 0 ) (1.36) όπου το πλάτος a ακολουθεί κατανομή Rayleigh. Επομένως, ο υπολογισμός της πιθανότητας σφάλματος του OFDM με διαμόρφωση BPSK σε συχνοεπιλεκτικό κανάλι, απλοποιείται στον υπολογισμό της πιθανότητας σφάλματος του BPSK σε κανάλι επίπεδης διάλειψης. Η πιθανότητα σφάλματος της διαμόρφωσης BPSK σε κανάλι AWGN είναι P b,aw GN = 1 ( ) 2 erfc Eb N 0 (1.37) Ομως το κανάλι επίπεδων διαλείψεων h μεταβάλλει τη σηματοθορυβική σχέση ώστε να είναι a2 E b N 0. Για δεδομένη τιμή του πλάτους a η πιθανότητα σφάλματος μπορεί να γραφτεί σαν υπο-συνθήκη πιθανότητα P b a = 1 ( a 2 ) 2 erfc E b N 0 (1.38) Η πιθανότητα σφάλματος bit σε ένα κανάλι επίπεδων διαλείψεων Rayleigh, θα είναι η μέση πιθανότητα σφάλματος για όλες δυνατές τιμές του a και υπολογίζεται από το ολοκλήρωμα P b = 0 P b a (a) p (a) da (1.39)

22 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ όπου p (a) είναι η κατανομή Rayleigh. Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος μας δίνει την απλή έκφραση [ ] P b = 1 E b /N 0 1 (1.40) E b /N 0 Στο σχήμα (1.12) γίνεται σύγκριση της θεωρητικής καμπύλης BER όπως εξάγεται από την εξίσωση (1.40) και της καμπύλης BER που υπολογίζεται από προσομοίωση ενός συστήματος OFDM. Στην προσομοίωση του OFDM συστήματος υποθέτουμε ότι ο δέκτης διαθέτει τέλεια εκτίμηση του καναλιού, ο αριθμός των υπο-φερόντων ανά OFDM μπλοκ είναι N = 128, το μήκος της κρουστικής απόκρισης του καναλιού είναι v = 10 και το μήκος του κυκλικού προθέματος είναι L = 16.

23 Κεφάλαιο 2 OFDM-IM Το OFDM-IM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing with Index Modulation) είναι μια τεχνική μετάδοσης δεδομένων, που αναπτύχθηκε πρόσφατα, και η χρήση του προτείνεται σε κανάλια συχνοεπιλεκτικών διαλείψεων. Σύμφωνα με αυτή την τεχνική, η πληροφορία μεταφέρεται τόσο από το πλάτος/φάση του μεταδιδόμενου σήματος όσο και από την επιλογή των υπο-φερόντων (subcarriers), του OFDM μπλοκ, που θα ενεργοποιηθούν. 2.1 Γενικά Το OFDM-IM είναι μια τεχνική που επεκτείνει την ιδέα της χωρικής διαμόρφωσης (Spatial Modulation- SM) στα υπο-φέροντα ενός συστήματος OFDM. Η χωρική διαμόρφωση είναι τεχνική που χρησιμοποιείται σε συστήματα MIMO με πολλαπλές κεραίες εκπομπής και λήψης. Η βασική αρχή της χωρικής διαμόρφωσης είναι ότι για την εκπομπή των συμβόλων πληροφορίας ενεργοποιείται κάθε φορά μόνο μια υπο-ομάδα κεραιών, και όχι όλες οι κεραίες ταυτόχρονα. Με την επιλογή των κεραιών που θα ενεργοποιηθούν σε κάθε μετάδοση, μεταφέρεται επιπρόσθετη πληροφορία από αυτή που φέρουν τα μεταδιδόμενα σύμβολα πληροφορίας. Επομένως, η χωρική διαμόρφωση είναι μια επέκταση των δισδιάστατων αστερισμών σήματος, όπως M-PSK και Μ-QAM, σε μια νέα τρίτη διάσταση, την χωρική. Το OFDM-IM είναι μια τεχνική που εφαρμόζει την αρχή της χωρικής διαμόρφωσης στα υπο-φέροντα ενός συστήματος OFDΜ. Οπως στην τεχνική της χωρικής διαμόρφωσης μεταδίδεται επιπλέον πληροφορία με την επιλογή των κεραιών που θα ενεργοποιηθούν, στο OFDM-IM μεταδίδεται επιπλέον πληροφορία με την επιλογή των υπο-φερόντων που θα ενεργοποιηθούν σε κάθε μετάδοση. Ετσι, η πληροφορία σε αυτή τη νέα τεχνική δεν μεταφέρεται μόνο από Μ-αδικούς αστερισμούς σήματος, όπως στο κλασσικό σύστημα OFDM που περιγράφτηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο, αλλά και από την επιλογή των υπο-φερόντων που θα ενεργοποιηθούν και θα φέρουν τα σύμβολα πληροφορίας. Τελικά, όπως και στην χωρική διαμόρφωση έχουμε μια νέα τρίτη διάσταση, πέρα των δύο διαστάσεων του αστερισμού σήματος, τη χωρική διάσταση του OFDM μπλοκ. Είναι προφανές ότι σε κάθε μπλοκ ενός συστήματος OFDM-IM θα υπάρχουν και ανενεργά υπο-φέροντα η θέση των οποίων φέρει πληροφορία. Το βασικό πλεονέκτημα ενός συστήματος OFDM-IM σε σύγκριση με ένα σύστημα OFDM είναι ότι επωφελείται από την συχνοεπιλεκτικότητα του καναλιού χρησιμοποιώντας την θέση των υπο-φερόντων σαν τρόπο μετάδοσης πληροφορίας. Αυτό σημαίνει ότι η επίδοση πιθανότητας σφάλματος είναι σημαντικά βελτιωμένη σε ένα σύστημα OFDM-IM (σε σύγκριση με ένα 17

24 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. OFDM-IM p bits p1 bits Index selector x(1) x(2) X(1) X(2) (1) m bits Bit Splitter p2 bits p1 bits QAM mapper Index selector OFDM Block Creator N-point IFFT Add cyclic prefix and parallel to serial converter (g) p bits p2 bits QAM mapper x(n) X(N) Σχήμα 2.1: Δομικό διάγραμμα πομπού OFDM-IM κλασσικό OFDM) εξαιτίας της ποικιλότητας που επιτυγχάνεται με την μετάδοση της πληροφορίας στη νέα χωρική διάσταση. Στις επόμενες ενότητες αυτού του κεφαλαίου θα μελετήσουμε τη δομή του συστήματος OFDM- IM, μεθόδους αντιστοίχισης των bits της ακολουθίας πληροφορίας στη νέα χωρική διάσταση και τις αντίστοιχες μεθόδους ανίχνευσης και θα εξάγουμε την θεωρητική πιθανότητα σφάλματος. Τέλος, θα παρουσιάσουμε τα αποτελέσματα προσομοιώσεων για την επίδοση συστημάτων OFDM-IM, με διαφορετικές παραμέτρους λειτουργίας. 2.2 Δομή συστήματος OFDM-IM Ας υποθέσουμε, ότι το διαθέσιμο εύρος ζώνης του συστήματος W καταλαμβάνεται από N υποφέροντα, τα οποία είναι ορθογώνια μεταξύ τους, και η απόσταση ανάμεσα σε δύο γειτονικά υποφέροντα στο πεδίο της συχνότητας είναι f = W/N. Στο OFDM-IM τα N υπο-φέροντα χωρίζονται σε g = N/n ομάδες, έτσι ώστε κάθε ομάδα να έχει n υπο-φέροντα. Οπως είπαμε ήδη, στο OFDM-IM τα bits δεν αντιστοιχίζονται μόνο σε σύμβολα αστερισμών Μ-QAM(ή Μ-PSK) αλλά επιλέγουν και τους δείκτες των υπο-φερόντων που θα ενεργοποιηθούν. Για αυτό, σε κάθε ομάδα n υπο-φερόντων θα είναι ενεργά μόνο τα k υπο-φέροντα. Η διαδικασία επιλογής των ενεργών υπο-φερόντων από τα bits που θέλουμε να μεταδώσουμε θα αναλυθεί σε επόμενη ενότητα. Αν για παράδειγμα θέλουμε να μεταδώσουμε μια ακολουθία m = pg bits, η ακολουθία πρώτα θα χωριστεί σε g ομάδες των p = p 1 + p 2 bits. Τα πρώτα p 1 bits κάθε ομάδας θα καθορίσουν τους δείκτες των k υπο-φερόντων που θα ενεργοποιηθούν και τα επόμενα p 2 = klog 2 M bits θα αντιστοιχιστούν σε k σύμβολα ενός M- QAM(ή M-PSK) αστερισμού σύμφωνα με κάποιο κανόνα αντιστοίχησης (πχ Gray mapping). Τα k σύμβολα θα διαμορφώσουν τα k ενεργοποιημένα υπο-φέροντα κάθε ομάδας ενώ τα υπόλοιπα (n k) υπο-φέροντα θα παραμείνουν ανενεργά. Αξίζει να σημειωθεί ότι η απώλεια στο ρυθμό μετάδοσης που προκύπτει από τα ανενεργά υπο-φέροντα, αντισταθμίζεται με την μετάδοση πρόσθετων bits μέσω της επιλογής των δεικτών των ενεργών υπο-φερόντων. Το δομικό διάγραμμα του OFDM-IM πομπού δίνεται στο σχήμα 2.1. Αρχικά τα m = m 1 +m 2 = (p 1 + p 2 )g bits που θα μεταδοθούν, χωρίζονται σε g ομάδες, των p bits η κάθε μία. Κάθε ομάδα p bits θα μεταδοθεί από την αντίστοιχη ομάδα n υπο-φερόντων. Ετσι, τα p 1 bits κάθε ομάδας θα οδηγηθούν στο επιλογέα δείκτη (index selector), ο οποίος με βάση αυτά τα bits θα επιλέξει

25 2.2. ΔΟΜΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ OFDM-IM 19 τους δείκτες των k υπο-φερόντων που θα ενεργοποιηθούν. Οι επιλεγμένοι δείκτες κάθε ομάδας συμβολίζονται ως I β = {i β,1,..., i β,k } (2.1) όπου i β,γ [1,..., n] για β = 1,..., g και γ = 1,..., k. Εφόσον τα bits που μεταδίδονται από την επιλεγμένη θέση των ενεργών υπο-φερόντων είναι p 1, το I β θα πρέπει να έχει c = 2 p 1 διαφορετικές υλοποιήσεις. Ακόμα, ο συνολικός αριθμός bits, σε ένα OFDM μπλοκ, που μεταδίδονται με επιλογή δείκτη (index modulation) θα είναι m 1 = p 1 g = log 2 (C (n, k)) g (2.2) όπου x είναι η συνάρτηση, που δίνει τον ακέραιο που είναι αμέσως μικρότερος ή ίσος του x και n! C(n, k) = είναι ο διωνυμικός συντελεστής. k! (n k)! Από την άλλη, bits μεταδίδονται και μέσω ενός κλασσικού σχήματος διαμόρφωσης. Ετσι ε- πιλέγονται k μιγαδικά σύμβολα από έναν αστερισμό Μ-QAM (ή M-PSK) τα οποία διαμορφώνουν τα k επιλεγμένα υπο-φέροντα. Επομένως, ο συνολικός αριθμός bits, σε ένα OFDM μπλοκ, που μεταδίδονται με αυτό τον τρόπο είναι m 2 = p 2 g = klog 2 (M) g (2.3) Τελικά, σε κάθε μπλοκ του συστήματος OFDM-IM μεταδίδονται m = m 1 +m 2 bits, ενώ είναι ενεργά K = kg από τα N υπο-φέροντα. Το διάνυσμα των μιγαδικών συμβόλων, που θα διαμορφώσουν τα k επιλεγμένα υπο-φέροντα κάθε ομάδας β, είναι s β = {s β (1)...s β (k)} (2.4) όπου s β (γ) S για β = 1,..., g και γ = 1,..., k. Ακόμα, με S συμβολίζεται ο Μ-QAM (ή M-PSK) αστερισμός σήματος που χρησιμοποιείται. Στη συνέχεια, τα υπο-φέροντα, κάθε ομάδας, που βρίσκονται στις θέσεις που δηλώνει το διάνυσμα I β διαμορφώνονται από τα αντίστοιχα μιγαδικά σύμβολα του διανύσματος s β και όλες οι ομάδες συνενώνονται σε ένα OFDM μπλοκ, που δίνεται x F = {x (1) x (2)...x (N)} (2.5) όπου x(a) {0, S}, a = 1,..., N. Σε αντίθεση με το κλασσικό σύστημα OFDM, το x F περιέχει και μηδενικά στοιχεία, των οποίων η θέση μεταφέρει πληροφορία. Μετά από αυτό το σημείο ακολουθείται η ίδια διαδικασία με το κλασσικό σύστημα OFDM. Δηλαδή, υπολογίζεται ο αντίστροφος FFT (IFFT) του x F x T = όπου x T είναι το OFDM μπλοκ στο πεδίο του χρόνου, N IF F T {x F } = 1 WNx H F (2.6) K K N K είναι ένας παράγοντας κανονικοποίησης ώστε E [ x H T x T ] = N και WN είναι ο πίνακας διακριτού μετασχηματισμού Fourier (Discrete Fourier Transform-DFT) W N = wn 00 wn 01 w 0(N 1) N wn 10 wn 11 w 1(N 1) N w (N 1)0 N w (N 1)1 N w (N 1)(N 1) N (2.7)

26 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. OFDM-IM όπου wn nk = 1 nk j2π e N. Στην έξοδο του IFFT προσαρτάται το κυκλικό πρόθεμα (Cyclic Prefix- N CP) μήκους L δειγμάτων στην αρχή του OFDM μπλοκ. Το κυκλικό πρόθεμα αποτελείται από τα L τελευταία δείγματα του x T, είναι δηλαδή [x T (N L + 1)...x T (N 1) x T (N)]. Το σήμα, μετά την μετατροπή του από ψηφιακό σε αναλογικό (digital to analog-d/a), μεταδίδεται μέσω ενός καναλιού συχνοεπιλεκτικών διαλείψεων Rayleigh, το οποίο μπορεί να αναπαρασταθεί από τους συντελεστές της κρουστικής απόκρισης του καναλιού (Channel Impulse Response-CIR) h T = [h T (1)...h T (v)] (2.8) όπου h T (σ), σ = 1,..., v είναι μιγαδικές Gaussian τυχαίες μεταβλητές ασυσχέτιστες μεταξύ τους με κατανομή CN ( 0, 1 v ). Εφόσον το κανάλι παραμένει σταθερό κατά την μετάδοση ενός OFDM μπλοκ και το μήκος L του κυκλικού προθέματος είναι μεγαλύτερο από v, τότε στο δέκτη η έξοδος του FFT του λαμβανόμενου σήματος θα είναι y F (a) = x (a) h F (a) + n F (a), a = 1,..., N (2.9) όπου h F = [h F (1)...h F (N)] είναι ο FFT N σημείων της κρουστικής απόκρισης του καναλιού h T και n F = [n F (1)...n F (N)] είναι τα δείγματα του θορύβου στο πεδίο της συχνότητας. h F (a), και n F (a) είναι μιγαδικές Gaussian τυχαίες μεταβλητές και έχουν κατανομές CN (0, 1) και CN (0, N 0,F ) αντίστοιχα. Το N 0,F είναι η διακύμανση του θορύβου στο πεδίο της συχνότητας και η σχέση που τη συνδέει με τη διακύμανση του θορύβου στο πεδίο του χρόνου είναι Τα N 0,F = K N N 0,T (2.10) Υλοποίηση OFDM-IM Ως τώρα περιγράψαμε τη βασική δομή του συστήματος OFDM-IM χωρίς όμως να μελετήσουμε τους τρόπους που μπορούμε να υλοποιήσουμε τον επιλογέα των ενεργών υπο-φερόντων (index selector) στον πομπό και τον ανιχνευτή των ενεργών υπο-φερόντων στον δέκτη. Ο επιλογέας δείκτη αντιστοιχεί τα εισερχόμενα bits σε έναν από τους πιθανούς συνδυασμούς, C(n, k), υπο-φερόντων και ο ανιχνευτής ενεργών υπο-φερόντων χρησιμοποιεί την πληροφορία που του παρέχεται από την έξοδο του FFT στο δέκτη, y F = [y F (1)...y F (N)], ώστε να αποφασίσει ποια από τα υπο-φέροντα της κάθε ομάδας είναι ενεργά. Αξίζει να σημειωθεί ότι η τεχνική OFDM-IM μπορεί να υλοποιηθεί χωρίς να χωριστούν τα N υπο-φέροντα του μπλοκ σε ομάδες, έτσι ώστε g = 1 και n = N. Ετσι όμως ο συνολικός αριθμός των πιθανών συνδυασμών των ενεργών υπο-φερόντων C(n, k) θα παίρνει πολύ μεγάλες τιμές, με αποτέλεσμα την μεγάλη αύξηση της πολυπλοκότητας του συστήματος. Για αυτό το λόγο χωρίζουμε τα N υπο-φέροντα του OFDM μπλοκ σε μικρότερες ομάδες και έτσι η διαδικασία επιλογής και ανίχνευσης των ενεργών υπο-φερόντων γίνεται απλούστερη. Παρακάτω, θα εξετάσουμε δύο μεθόδους αντιστοίχισης των bits πληροφορίας σε συνδυασμούς υπο-φερόντων. Η πρώτη μέθοδος είναι ο Πίνακας Αναζήτησης (Look-Up Table). Σε αυτή τη μέθοδο δημιουργείται ένας πίνακας αναζήτησης μεγέθους c = 2 p 1 που χρησιμοποιείται τόσο στον πομπό όσο και στον δέκτη του συστήματος. Στον πομπό βρίσκονται μέσω του πίνακα αναζήτησης τα υπο-φέροντα

27 2.2. ΔΟΜΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ OFDM-IM 21 Πίνακας 2.1: Πίνακας αναζήτησης για n = 4, k = 2, p 1 = 2 Bits Δείκτες Ομάδες [0 0] {1, 2} [s 1 s 2 0 0] [0 1] {2, 3} [0 s 1 s 2 0] [1 0] {3, 4} [0 0 s 1 s 2 ] [1 1] {1, 4} [s s 2 ] στα οποία αντιστοιχούν τα p 1 bits της εισόδου. Στον δέκτη αφού πρώτα γίνει εκτίμηση για το ποια υπο-φέροντα είναι ενεργά, μέσω του πίνακα αναζήτησης βρίσκουμε τα bits που έχουν αποσταλεί. Ο πίνακας 2.1 είναι ένα παράδειγμα ενός πίνακα αναζήτησης για n = 4, k = 2 και c = 2 2 = 4. Δηλαδή, θα έχουμε ομάδες των τεσσάρων υπο-φερόντων από τα οποία θα ενεργοποιούνται τα δύο και οι θέσεις των ενεργών υπο-φερόντων θα φέρουν p 1 = 2 bits. Ακόμα, ο συνολικός αριθμός πιθανών συνδυασμών υπο-φερόντων θα είναι C (4, 2) = 6. Ομως για να μεταδώσουμε 2 bits χρειαζόμαστε μόνο τους τέσσερις από τους έξι πιθανούς συνδυασμούς, άρα οι δύο συνδυασμοί δεν θα χρησιμοποιούνται. Ο πίνακας αναζήτησης είναι μια αποδοτική μέθοδος αντιστοίχισης όταν το c είναι σχετικά μικρό. Αντίθετα όταν οι τιμές των n και k μεγαλώνουν, μεγαλώνει και το μέγεθος του πίνακα και άρα αυξάνει σημαντικά η πολυπλοκότητα της μεθόδου. Οταν λοιπόν το μέγεθος του πίνακα αναζήτησης καθιστά μη πρακτική την χρήση του, υλοποιούμε το σύστημα OFDM-IM με την παρακάτω μέθοδο. Η δεύτερη μέθοδος είναι η Συνδυαστική Απαρίθμηση(Combinatorial method). Η συνδυαστική απαρίθμηση μας παρέχει μια μέθοδο αντιστοίχησης ένα-προς-ένα φυσικών αριθμών σε συνδυασμούς k στοιχείων (ακολουθίες μήκους k). Πιο συγκεκριμένα για συγκεκριμένες τιμές των n και k, όλοι οι φυσικοί αριθμοί Z [0, C (n, k) 1], μπορούν να αντιστοιχιστούν σε μια ακολουθία J = {c k...c 1 } μήκους k, όπου c k >... > c 1 0, c i [0,..., n 1], i = 1, 2,..., k. Τα στοιχεία της ακολουθίας J προκύπτουν από την ακόλουθη εξίσωση Z = C (c k, k) C (c 2, 2) + C (c 1, 1) (2.11) Ο αλγόριθμος για την εύρεση της ακολουθίας J μπορεί να περιγραφεί ως εξής: 1) Γίνεται εκκίνηση επιλέγοντας το μέγιστο c k που πληρεί την συνθήκη C (c k, k) Z 2) Επιλέγεται το c k 1 που πληρεί την συνθήκη C (c k 1, k 1) Z C (c k, k) 3)Επαναλαμβάνεται το βήμα (2) μέχρι να έχουν επιλεγεί τα k στοιχεία της ακολουθίας J και τότε ο αλγόριθμος τερματίζεται. Για παράδειγμα, όταν n = 8, k = 4 και C(8, 4) = 70, υπολογίζουμε τις ακολουθίες J ως εξής:

28 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. OFDM-IM 69 = C (7, 4) + C (6, 3) + C (5, 2) + C (4, 1) J = {7, 6, 5, 4} 68 = C (7, 4) + C (6, 3) + C (5, 2) + C (3, 1) J = {7, 6, 5, 3}. 32 = C (6, 4) + C (5, 3) + C (4, 2) + C (1, 1) J = {6, 5, 4, 1} 31 = C (6, 4) + C (5, 3) + C (4, 2) + C (0, 1) J = {6, 5, 4, 0}. 1 = C (4, 4) + C (2, 3) + C (1, 2) + C (0, 1) J = {4, 2, 1, 0} 0 = C (3, 4) + C (2, 3) + C (1, 2) + C (0, 1) J = {3, 2, 1, 0} Στο OFDM-IM, για κάθε ομάδα, τα p 1 bits εισέρχονται στον επιλογέα δείκτη και μετατρέπονται σε έναν δεκαδικό αριθμό Z ο οποίος τροφοδοτεί τον αλγόριθμο που περιγράψαμε πιο πάνω ώστε να βρεθεί η ακολουθία J. Οι δείκτες των υπο-φερόντων που θα ενεργοποιηθούν δίνονται από την ακολουθία J + 1. Στον δέκτη του συστήματος αφού πρώτα εκτιμήσουμε του δείκτες των υποφερόντων που είναι ενεργά, Ĵ + 1, στη συνέχεια με τη βοήθεια της εξίσωσης 2.11 μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε τον δεκαδικό αριθμό Ẑ και να τον μετατρέψουμε σε δυαδικό ώστε να λάβουμε τα bits που έχουν αποσταλεί Δέκτης OFDM-IM Σκοπός του δέκτη του συστήματος είναι να ανιχνεύσει τα ενεργά υπο-φέροντα και τα σύμβολα πληροφορίας που αυτά φέρουν, μέσω της επεξεργασίας του y F (a), a = 1,..., N. Στο κλασσικό σύστημα OFDM,για την αποδιαμόρφωση κάθε υπο-φέροντος χρησιμοποιούμε το κριτήριο της μέγιστης πιθανοφάνειας (Maximum Likelihood-ML), το οποίο όμως δεν επαρκεί για την αποδιαμόρφωση του OFDM-IM καθώς πριν αποφασίσουμε για τα σύμβολα που έχουν αποσταλεί πρέπει να ανιχνεύσουμε τους δείκτες των υπο-φερόντων που φέρουν τα σύμβολα. Στη συνέχεια θα μελετήσουμε δύο διαφορετικούς τύπους ανιχνευτών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε σύστημα OFDM-IM. Ο ανιχνευτής ML υπολογίζει όλους τους πιθανούς συνδυασμούς των θέσεων των ενεργών υποφερόντων και των συμβόλων πληροφορίας που φέρουν και επιλέγει τον δείκτη και το σύμβολο που ελαχιστοποιεί την έκφραση I ˆ β, sˆ β = arg min I β,s β k y β F (i β,γ) h β F (i β,γ) s β (γ) 2 (2.12) γ=1 όπου y β F (ξ) = y F (n (β 1) + ξ), h β F (ξ) = h F (n (β 1) + ξ) με β = 1,..., g, ξ = 1,..., n. Η υπολογιστική πολυπλοκότητα του ML ανιχνευτή ανά ομάδα n υπο-φερόντων είναι O ( cm k), επειδή οι διαφορετικοί συνδυασμοί των δεικτών I β είναι c και οι διαφορετικοί συνδυασμοί s β των συμβόλων πληροφορίας στα k ενεργά υπο-φέροντα είναι M k. Παρατηρούμε ότι η πολυπλοκότητα του ανιχνευτή αυξάνεται εκθετικά καθώς μεγαλώνει το k και για αυτό το λόγο κρίνεται μη-πρακτικός για μεγάλες τιμές του c και του k. Ο ML ανιχνευτής χρησιμοποιείται όταν η αντιστοίχηση των bits σε δείκτες υπο-φερόντων γίνεται μέσω πίνακα αναζήτησης και επομένως όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί

29 2.3. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ OFDM-IM 23 I β είναι γνωστοί στον δέκτη. Επίσης, ο ML ανιχνευτής παρέχει την βέλτιστη επίδοση ως προς την πιθανότητα σφάλματος. Ο ανιχνευτής LLR (Log-Likelihood Ratio), υπολογίζει τον λογάριθμο του λόγου της εκ των υστέρων (a posteriori) πιθανότητας να είναι το σύμβολο, που φέρει το a υπο-φέρον, μη-μηδενικό, προς την πιθανότητα να είναι μηδέν. Η έκφραση του LLR είναι λ (a) = ln M P (x (a) = s x y F (a)) P (x (a) = 0 y F (a)), a = 1,..., N (2.13) x=1 Επομένως θα πρέπει να υπολογιστούν τόσα LLR όσα είναι και τα υπο-φέροντα του OFDM μπλοκ. Οσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του LLR τόσο πιο πιθανό είναι ότι το αντίστοιχο υπο-φέρον ε- ίναι ενεργό. Αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του θεωρήματος Bayes, και λάβουμε υπόψη μας ότι M p (x (a) = s x ) = k n k και p (x (a) = 0) = η έκφραση 2.13 γίνεται x=1 n n λ (a) = ln (k) ln (n k) + y F (a) 2 M y F (a) h F (a) s x 2 + ln e N 0,F, a = 1,..., N (2.14) N 0,F x=1 Η υπολογιστική πολυπλοκότητα του ανιχνευτή LLR είναι O (M) ανά υπο-φέρον. Ο LLR ανιχνευτής χρησιμοποιείται σε συνδυασμό με μία μέθοδο ένα-προς-ένα αντιστοίχισης των bits πληροφορίας στους δείκτες υπο-φερόντων, όπως η συνδυαστική απαρίθμηση που είδαμε προηγουμένως. Σε αντίθεση με τον ML ανιχνευτή η πολυπλοκότητα του LLR δεν αυξάνεται όσο μεγαλώνει το n και το k. Για αυτό το λόγο η συνδυαστική απαρίθμηση σε συνδυασμό με τον LLR ανιχνευτή χρησιμοποιείται για μεγάλες τιμές του n και του k. Το μειονέκτημα του LLR ανιχνευτή είναι ότι επειδή δεν γνωρίζει όλους τους πιθανούς συνδυασμούς I β, όπως ο ML ανιχνευτής, μπορεί να εντοπίσει έναν από τους συνδυασμούς ενεργών υπο-φερόντων που ο δέκτης δεν χρησιμοποιεί. (υπενθύμιση: ο δέκτης χρησιμοποιεί c = 2 p 1 διαφορετικούς συνδυασμούς υπο-φερόντων, αλλά όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί είναι C (n, k), οπότε δεν θα χρησιμοποιούνται C (n, k) c συνδυασμοί υπο-φερόντων). Αφού υπολογιστούν οι N τιμές των LLR, ο δέκτης αποφασίζει για κάθε ομάδα n υπο-φερόντων ποια είναι τα k ενεργά. Τα k ενεργά υπο-φέροντα εκτιμάται ότι είναι αυτά που έχουν τις μεγαλύτερες τιμές LLR. Στη συνέχεια ακολουθεί η κλασσική διαδικασία ανίχνευσης των συμβόλων που φέρουν τα k ενεργά υπο-φέροντα, με το κριτήριο μέγιστης εκ των υστέρων πιθανότητας (Maximum a posteriory Probability-MAP). 2.3 Πιθανότητα σφάλματος OFDM-IM Στην ενότητα αυτή θα παρουσιάσουμε την μέση πιθανότητα σφάλματος bit, όταν η μετάδοση γίνεται μέσα από συχνοεπιλεκτικό κανάλι διαλείψεων Rayleigh, ενός συστήματος OFDM-IM που χρησιμοποιεί πίνακα αναζήτησης και ΜL ανιχνευτή. Υποθέτουμε ότι διατίθεται τέλεια εκτίμηση του καναλιού στον δέκτη. Οι συντελεστές του καναλιού στο πεδίο της συχνότητας συνδέονται με τους συντελεστές της κρουστικής απόκρισης του καναλιού με την σχέση h F = W N h 0 T (2.15)

30 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. OFDM-IM όπου W N είναι ο N N πίνακας διακριτού μετασχηματισμού Fourier (DFT) και h 0 T = [h T (0)...h T (v) ] T είναι το διάνυσμα των συντελεστών της κρουστικής απόκρισης του καναλιού μήκους N, όπου οι τελευταίες N v θέσεις πληρούνται από μηδενικά. Οι συντελεστές h F (a), a = 1,..., N είναι τυχαίες μεταβλητές με κατανομή CN (0, 1), αφού ο μετασχηματισμός Fourier ενός Gaussian διανύσματος είναι ένα άλλο Gaussian διάνυσμα. Ομως ενώ τα στοιχεία του h T είναι μεταξύ τους ασυσχέτιστα, τα στοιχεία του h F δεν είναι. Ο πίνακας συσχέτισης του h F είναι όπου K = E [ h F h H F ] = WN E [ h T h H T] W H N = W H NĨW N (2.16) Ĩ = [ 1 v I v v 0 v (N v) 0 (N v) v) 0 (N v) (N v) ] (2.17) είναι ένας N N πίνακας που εκτός από τα πρώτα v στοιχεία της διαγωνίου του που είναι ίσα με 1 v, όλα τα υπόλοιπα είναι μηδενικά. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, θα μελετήσουμε την πιθανότητα σφάλματος μόνο σε μία ομάδα n υπο-φερόντων, έστω στην πρώτη, του OFDM μπλοκ και όχι σε ολόκληρο το μπλοκ. Ας θεωρήσουμε τώρα, ότι εκπέμπεται ο X, που είναι ένας n n διαγώνιος πίνακας και τα στοιχεία της διαγωνίου του είναι x(1)...x(n), x(a) {0, S} (όπου S είναι ο M-QAM αστερισμός σήματος), και λαμβάνεται λανθασμένα ο ˆX. Ο δέκτης μπορεί να έχει κάνει λάθη τόσο στην εκτίμηση των δεικτών των ενεργών υπο-φερόντων όσο και στα σύμβολα πληροφορίας που αυτά φέρουν. Η υπό συνθήκη πιθανότητα σφάλματος θα είναι ( ) ( P X ˆX h = Q δ 2N 0,F ( ) όπου δ = X ˆX h F 2. Τελικά η πιθανότητα λανθασμένης ανίχνευσης θα είναι P ( ( X ˆX ) = E h [Q δ 2N 0,F )] det (I n + q 1 K n A) + 4 det (I n + q 2 K n A) ) (2.18) (2.19) όπου q 1 = 1 4N 0,F, q 2 = 1 3N 0,F, K n είναι ένας πίνακας n n κεντραρισμένος γύρω από τη διαγώνιο ( ) H ( ) του πίνακα K και A = X ˆX X ˆX. Για να υπολογίσουμε την συνολική πιθανότητα σφάλματος bit θα πρέπει να λάβουμε υπόψη μας όλα τα πιθανά X που μπορεί να στείλει ο πομπός και αντίστοιχα όλα τα πιθανά ˆX που μπορεί να ανιχνεύσει ο δέκτης. Ετσι η πιθανότητας σφάλματος bit δίνεται από τον παρακάτω τύπο P b = 1 ( P X pn ˆX ) ( e X, ˆX ) X X ˆX όπου n X είναι ο αριθμός των διαφορετικών X που μπορεί να αποσταλούν από τον δέκτη και e (2.20) ( X, ˆX ) είναι ο αριθμός των λανθασμένων bits όταν ανιχνευθεί στο δέκτη το ˆX ενώ έχει αποσταλεί το X. 2.4 Αριθμητικά αποτελέσματα Σε αυτή την ενότητα θα παρουσιάσουμε τα αποτελέσματα από προσομοιώσεις της τεχνικής OFDM- IM. Η επίδοση ρυθμού σφάλματος (Bit Error Rate-BER) υπολογίστηκε μέσω προσομοιώσεων