Προσδιορισμός Ροπής Αδράνειας με φωτοπύλες και ηλεκτρονικό χρονόμετρο

Transcript

1 Προσδιορισμός Ροπής Αδράνειας με φωτοπύλες και ηλεκτρονικό χρονόμετρο Κορδάς Γιώργος Φυσικός MSc. ΕΚΦΕ Ρόδου Ιανουάριος 011 Εισαγωγή Η ροπή αδράνειας ενός σώματος στην περιστροφική κίνηση παίζει παρόμοιο ρόλο με τη μάζα στη μεταφορική. Είναι δύσκολο να προσδιοριστεί θεωρητικά ιδιαίτερα αν το σώμα έχει πολύπλοκο σχήμα. Μ αυτό το πείραμα κύλισης σε κεκλιμένο επίπεδο, μπορούμε σχετικά εύκολα να την προσδιορίσουμε κάνοντας χρήση μιας διάταξης φωτοπυλών που χρονομετρεί τα περάσματα του σώματος απ αυτές. Το πείραμα στοχεύει πρώτα στη δημιουργία του διαγράμματος της επιτάχυνσης με το ύψος του κεκλιμένου επιπέδου. Αυτό το διάγραμμα είναι μια ευθεία που περνά απ την αρχή των αξόνων, η κλίση της οποίας εξαρτάται απ τη ροπή αδράνειας. Συνεπώς προσδιορίζοντας την κλίση μπορούμε να υπολογίσουμε και τη ροπή αδράνειας. Επίσης πρέπει να ανυψώσουμε το κεκλιμένο επίπεδο μέχρι το σημείο που έχουμε μόνο κύλιση και όχι και ολίσθηση. Δηλαδή θα πρέπει η στατική τριβή που παίζει το ρόλο της αιτίας της κύλισης να είναι μικρότερη ή ίση με τη μέγιστη στατική τριβή. Παρακάτω δείχνουμε την πειραματική διάταξη. Φωτοπύλες Χρονόμετρο Χ =6.1cm Χ 1=10.5cm Ηλεκτρονικός Χάρακας μέτρησης Η φ =36.5cm Κυλιόμενος Κύλινδρος m=4.4g R=5mm Σχ. 1.: Η πειραματική διάταξη για τον προσδιορισμό της ροπής αδράνειας ΕΚΦΕ ΡΟΔΟΥ /5

2 Θεωρητική Ανάλυση: (Δυναμική Προσέγγιση Ν (1 ΣF x = m = mgημφ-f s ( Στ=Ια γων f s R = Ια γων Επειδή α cm = dυ cm / dt = d(ωr/dt = R dω/dt = α γων R mgημφ φ f s Η η ( f s = Ια cm /R και συνεπώς η (1 => m = mgημφ - Ια cm /R που καταλήγει στη ζητούμενη a=f(η: Συνθήκη μη ολίσθησης: a mgηµϕ mg = = cm I I + m ( + m R R (3 Αφού f s = Ια cm /R f mgηµϕ = s mr / I (4 Η στατική τριβή αυξάνεται με τη γωνία φ, μέχρι να φτάσει τη μέγιστη f smax =μ s mgσυνφ. Αυξάνοντας περεταίρω την κλίση του κεκλιμένου επιπέδου θα έχουμε και ολίσθηση και τότε υ cm υ γρ και a γων R. Συνεπώς έχουμε μόνο κύλιση όταν ή όταν Διαδικασία f s <f smax =μ s mgσυνφ (5 εφϕ µ s (1 + mr / I (5' Μετρήσεις της επιτάχυνσης για τα διάφορα ύψη λαμβάνονται έμμεσα απ τις φωτοπύλες και το χρόνομετρο. Το ηλεκτρονικό χρονόμεντρο μπορεί να τεθεί σε τρεις λειτουργίες: Επιλογή F1: Μετρά τη διάρκεια περάσματος του σώματος από μια φωτοπύλη, Επιλογή F: Μετρά τη διαφορά χρόνου περάσματος του σώματος από δύο φωτοπύλες. Επιλογή F3: Μετρά διαφορά χρόνου τριών διαδοχικών περασμάτων από μια φωτοπύλη. Μπορούμε λοιπόν να προσδιορίσουμε την επιτάχυνση: 1. Είτε απ τις δύο φωτοπύλες που βρίσκονται σε συγκεκριμένα σημεία του κεκλιμένου επιπέδου x 1, x απ την κορυφή του, μετρώντας τη χρονική διάρκεια περάσματος του κυλιόμενου σώματος απ τα x 1, x (λειτουργία χρονομέτρου: F x1 ( x = (6 1 t. Είτε βρίσκοντας τη στιγμιαία ταχύτητα σε ένα σημείο το κατατώτερο, το x, γιατί εκεί έχουμε μεγαλύτερη ταχύτητα και επομένως μικρότερο σφάλμα διαφόρισης χρόνου (βλ. σχέση 7 υ = (6' x 1 Για την απόδειξη των σχέσεων (6, (6 βλέπε σημείωση. ΕΚΦΕ ΡΟΔΟΥ /5

3 Η στιγμιαία ταχύτητα υ προσδιορίζεται απ τη διαίρεση της διαμέτρου του αντικειμένου R, προς τη χρονική διάρκεια δt που δείχνει το χρονόμετρο στη λειτουργία F1. υ = R/δt (7 Το ύψος, καθορίζεται και μετράται με ηλεκτρονικό χάρακα ακριβείας. Μετρώντας λοιπόν για διάφορα ύψη και ίδια x 1, x τα Δt, ή το δt απ τη φωτοπύλη στο x, υπολογίζουμε την επιτάχυνση με τις δύο μεθόδους που περιγράψαμε και δημιουργούμε το διάγραμμα a(η. Στη συνέχεια εμφυτεύουμε ευθεία y=κx+λ, η κλίση κ της οποίας είναι ίση με την κλίση της ευθείας (3. mg κ = (8 I ( m R + Απ την οποία μπορούμε να προσδιορίσουμε τελικά τη ροπή αδράνειας I g ( 1 mr = (9 κ Όμως πριν το διάγραμμα πρέπει να εξασφαλίσουμε συνθήκη μη ολίσθησης: Αν είναι δυνατό βρίσκουμε την μέγιστη γωνία με το ίδιο το σώμα θέτοντάς το σε μια μη κυλιόμενη διάσταση και ανυψώνοντας αργά το κεκλιμένο επίπεδο μέχρι το σώμα να ολισθήσει. Διαφορετικά πρέπει να βρούμε το συντελεστή στατικής τριβής. Στη συνέχεια παίρνουμε τις πρώτες μετρήσεις με χαμηλό ύψος, και εμφυτεύουμε μια πρώτη ευθεία με κλίση κ πρ απ την οποία προσδιορίζουμε μια πρώτη I πρ. Στη συνέχεια βρίσκουμε τις επιτρεπόμενες φ. Μετρήσεις - Αποτελέσματα: εφϕ µ s (1 + mr / Iπρ (10 Θα υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας ενός μεταλλικού κυλίνδρου ως προς το κέντρο του. Με χαρακτηριστικά: Ακτίνα R=0.005m και μάζα m=0.044kg. Το κεκλιμένο επίπεδο (ατσάλινες ράβδοι έχει μήκος: =0.365m. Θέτουμε τις φωτοπύλες σε απόσταση Χ 1 =10.5cm και Χ =6.1cm απ την κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου ώστε ο κύλινδρος ακτίνας 0.5cm τελικά να διανύει x 1 =0.100m και x =0.56m όταν περνάει απ τις φωτοπύλες. (Αυτό γιατί δεν μπορούμε να τοποθετήσουμε το κέντρο του κυλίνδρου ακριβώς στην κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου, λόγω εσωτερικού τοιχώματος - Βλ σχήμα 1. Σύμφωνα με θεωρητικούς υπολογισμούς Ι Θ =1/ mr = kg m Και οι επιτρεπτές γωνίες είναι εφϕ (1 + mr / I = = ή φ 0 ο ή µ s εφ ϕ = m Δηλαδή θα πρέπει: Η 0.14m 0.36 Σημείωση1: Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ των επιφανειών προσδιορίστηκε πειραματικά και βρέθηκε μ s =0.1. Χρησιμοποιήθηκε δυναμόμετρο 0-1Ν, και προσθέσαμε βάρη 171.5gr g στα 4.4g του κυλίνδρου για να πάρουμε καλύτερη μέτρηση. Με οριζόντια τη μπάρα των δύο σωλήνων δημιουργήσαμε τη διάταξη του επόμενου σχήματος: ΕΚΦΕ ΡΟΔΟΥ /5

4 Ο υπο μέτρηση κύλινδρος 4.4g Βοηθητικά βάρη και 17.1g Σχ..: Η διάταξη προσδιορισμού του συντελεστή στατικής τριβής μεταξύ του κυλίνδρου και των δύο σωλήνων της διάταξης. Η μονωτική ταινία εξασφαλίζει τη μη κύλιση του κυλίνδρου. Φροντίσαμε να εφάπτεται μόνο ο υπο μέτρηση κύλινδρος και όχι και οι δύο πλευρικοί του, στους δύο σωλήνες της διάταξης και φυσικά χωρίς δυνατότητα περιστροφής μεταξύ του γάντζου του δυναμόμετρου και των δύο αυτών σωλήνων. Πήραμε τις εξής τιμές: f smax =0.45N στο σώμα με ολική μάζα 0.386kg. Με g=9.81m/s, προκύπτει ο προαναφερόμενος συντελεστής στατικής τριβής. Ακολουθούν οι Πίνακες μετρήσεων, τα διαγράμματα και οι τιμές των ροπών αδράνειας για τις δύο μεθόδους. Απ τις τρεις πρώτες μετρήσεις της μεθόδου 1, και με τον τρόπο που περιγράψαμε παραπάνω βρίσκουμε κ πρ =17.41s -, Ι πρ = kg m. Οπότε οι επιτρεπτές γωνίες είναι εφϕ µ s (1 + mr / Iπρ = 0.1 ( / = 0.34 ή φ 19 ο ή 7 εφ ϕ = m Δηλαδή θα πρέπει: Η 0.118m 0.34 Μέθοδος 1 (με δύο φωτοπύλες α/α Η (m Δt (sec (m/s Επιτάχυνση κ.μ., (m/s y = x Ύψος Κεκλιμένου Επιπέδου, (m Σχ.3. Πίνακας μετρήσεων και διάγραμμα τιμών για τον πειραματικό προσδιορισμό της ροπής αδράνειας κυλίνδρου m=0.044kg και R=0.005m. Χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος των δύο φωτοπυλών-σημείων. ΕΚΦΕ ΡΟΔΟΥ /5

5 Η ευθεία εμφύτευσης έχει κλίση κ=17.517s - και συνεπώς απ την (9 Ι= kg m (σφ.:5.9% Μέθοδος (με μία φωτοπύλη α/α Η (m δt (sec υ (m/s (m/s Επιτάχυνση κ.μ., (m/s y = 17.78x Ύψος Κεκλιμένου Επιπέδου, (m Σχ.4. Πίνακας μετρήσεων και διάγραμμα τιμών για τον πειραματικό προσδιορισμό της ροπής αδράνειας κυλίνδρου m=0.044kg και R=0.005m. Χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος μιας φωτοπύλης - σημείου. Η ευθεία εμφύτευσης έχει κλίση κ=17.78s - και συνεπώς απ την (9 Ι= kg m (σφ.:3.1% Σημείωση : Συσχέτιση διαφοράς χρόνου - απόστασης δυο σημείων - επιτάχυνσης στην EOEK 1 1 Για τις μετατοπίσεις x 1 και x ισχύουν οι σχέσεις: x1 = acmt1 και x = acmt από τις οποίες επιλύοντας ως προς t 1 και t και αφαιρώντας κατά μέλη βρίσκουμε: t (6 x x1 t1 = και συνεπώς t = ( x x 1 a a cm cm, απ την οποία προκύπτει η Συσχέτιση απόστασης - ταχύτητας - επιτάχυνσης στην EOEK υ= t, x 1 = acmt => υ = x απ την οποία προκύπτει η (6 Συμπεράσματα: Και οι δύο μέθοδοι αποτελούν αξιόπιστους τρόπους προσδιορισμού των ροπών αδράνειας. Στη μέθοδο της μιας φωτοπύλης απλά τίθεται επιπλέον θέμα προσέγγισης της διαφορικότητας. Έτσι απ τη μια θέλουμε το σώμα να έχει μεγάλη ταχύτητα για να τείνει το δt στο dt και να λαμβάνουμε έτσι όντος τη στιγμιαία ταχύτητα, απ την άλλη αυτό οδηγεί το χρονόμετρο στα όρια της διακριτικής του ικανότητας. Αν έχουμε αυτό κατά νου και λόγω του απλούστερου της διάταξης η μέθοδος της μιας φωτοπύλης είναι προτιμότερη. ΕΚΦΕ ΡΟΔΟΥ /5