ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 1. ΑΜΕΙΩΤΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Η τάση του νήματος πριν την κρούση. Διονύσης Μάργαρης 2/11/11

Transcript

1 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Υλικό Φυσικής και Χημείας 1. ΑΜΕΙΩΤΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 1.1. Η τάση του νήματος πριν την κρούση. Διονύσης Μάργαρης 2/11/11 Το σύστημα των σωμάτων Β και Γ, με μάζες m 1 =1kg και m 2 =3kg αντίστοιχα ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, όπως στο σχήμα, όπου το ελατήριο έχει σταθερά k=400ν/m και το νήμα μήκος d. Τραβάμε το σώμα Γ προς τα αριστερά επιμηκύνοντας το ελατήριο κατά 0,4m και την στιγμή t=0, αφήνουμε το σύστημα να εκτελέσει ΑΑΤ. Α) Να βρεθεί η τάση του νήματος σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση. Β) Αν τα δυο σώματα συγκρούονται πλαστικά και δημιουργείται συσσωμάτωμα τη χρονική στιγμή t 1 =3π/40s, να βρεθούν: i) Το μήκος του νήματος που συνδέει τα δυο σώματα. ii) Η ενέργεια ταλάντωσης τις χρονικές ii) Η ενέργεια ταλάντωσης τις χρονικές στιγμές: α) 3π/80s, β) 5π/80s, γ) 7π/80s iii) Να βρεθούν οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας, τη χρονική στιγμή αμέσως μετά την κρούση Μια ταλάντωση με κρούση σε κεκλιμένο επίπεδο.. Ένα τεστ. Διονύσης Μάργαρης 1/11/11 Ένα σώμα Σ 1 μάζας m 1 =2kg ισορροπεί όπως στο σχήμα, όπου η τάση του νήματος έχει μέτρο Τ=50Ν. Δίνονται ακόμη η σταθερά του ελατηρίου k=200ν/m, το κεκλιμένο επίπεδο είναι λείο με κλίση θ=30, το νήμα είναι παράλληλο προς το επίπεδο και g=10m/s 2. Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα και το σώμα κινείται. i) Να αποδείξτε ότι η κίνηση του σώματος είναι ΑΑΤ. ii) Να βρεθεί το πλάτος και η ενέργεια ταλάντωσης. iii)αφού το σώμα συμπιέσει το ελατήριο, κινείται προς τα πάνω. Τη στιγμή που απέχει 10cm από την αρχική του θέση, συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με ένα δεύτερο σώμα Σ 2, μάζας m 2 =3kg, το οποίο κατέρχεται κατά μήκος του επιπέδου. Το συσσωμάτωμα αμέσως μετά την κρούση έχει μηδενική ταχύτητα. α) Ποια η ταχύτητα του Σ 2, ελάχιστα πριν την κρούση; β) Να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης που θα πραγματοποιήσει το συσσωμάτωμα. 1

2 Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα είναι καλό για όλους 1.3. Μια άσκηση σε ένα test. Διονύσης Μάργαρης 31/01/11 Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί όπως στο σχήμα, επιμηκύνοντας το κατακόρυφο ελατήριο κατά Δl=0,2m, ενώ η τάση του νήματος είναι Τ=60Ν. α) Να υπολογιστεί η σταθερά του ελατηρίου. β) Σε μια στιγμή t=0, κόβουμε το νήμα. i) Να αποδειχθεί ότι το σώμα θα εκτελέσει ΑΑΤ, βρίσκοντας πρώτα την θέση ισορροπίας και το πλάτος της ταλάντωσης. ii) Σε πόσο χρόνο το σώμα θα αποκτήσει μέγιστη ταχύτητα για πρώτη φορά; Να υπολογίστε την ταχύτητα αυτή. iii) Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας του σώματος στη θέση που θα μηδενιστεί η δύναμη του ελατηρίου. Δίνεται g=10m/s 2. Μέγιστη Κινητική Ενέργεια. Διονύσης Μάργαρης 25/10/11 Ένα σώμα ηρεμεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k, επιμηκύνοντάς το κατά d (θέση (1) στο σχήμα). Ασκώντας πάνω του μια σταθερή κατακόρυφη δύναμη F μέτρου ίσου με το μισό του βάρους, κατεβάζουμε το σώμα ξανά κατά d, φέρνοντάς το στη θέση (2), όπου και σταματά να ασκείται πάνω του η δύναμη F. i) Η μέγιστη κινητική ενέργεια που απέκτησε το σώμα κατά την κίνησή του από τη θέση (1) μέχρι την θέση (2) είναι ίση με: α) 1/8 kd 2 β) ¼ kd 2 γ) ½ kd 2 δ) kd 2 ii) Η μέγιστη κινητική ενέργεια που θα αποκτήσει στη συνέχεια το σώμα κατά την ταλάντωσή του είναι ίση με: α) 1/8 kd 2 β) ¼ kd 2 γ) ½ kd 2 δ) kd Με αφορμή ένα διάγραμμα... Μανώλης Δρακάκης 1/1/11 Ένα σώμα μάζας m = 4 kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Στο σχήμα έχει σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης x του σώματος αυτού από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο t για δυο περιόδους. Αν τη χρονική στιγμή t 1 το μέτρο της ταχύτητας του σώματος είναι υ 1 = 3 10 m / s και t 2 = 0,35 s να υπολογίσετε: 2

3 1. Τη συχνότητα της ταλάντωσης. 2. Το πλάτος της ταλάντωσης. 3. Τη φάση της απομάκρυνσης τη χρονική στιγμή t Τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος τη χρονική στιγμή t Τον ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t 1. Δίνεται π Υλικό Φυσικής και Χημείας 1.5. Μια κρούση με ταλάντωση και στροφική κίνηση Χρήστος Ελευθερίου 26/10/11 Στο παραπάνω σχήμα το κατακόρυφο ελατήριο έχει σταθερά Κ=400N/m και φυσικό μήκος L 0 =0,9m. H οριζόντια πολύ λεπτή και ελαστική ράβδος έχει μήκος L=1m, μάζα Μ και μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο καρφί που είναι στερεωμένο στο ανώτερο σημείο του ελατηρίου. Ένα μικρό σώμα μάζας m αφήνεται από τον Βασίλη, που σκέφτηκε αυτή την άσκηση, σε απόσταση Η= 1,6m από το έδαφος και μετά την ελαστική στιγμιαία κρούση με το ένα άκρο της εκτελεί ελεύθερη πτώση χωρίς αρχική ταχύτητα. i) Ποια η σχέση των δύο μαζών που συγκρούονται ελαστικά; ii) Κινδυνεύει η οριζόντια ράβδος να συγκρουστεί με το έδαφος; iii) Aν m=1κg, πόσες περιστροφές έχει διαγράψει η ράβδος όταν το μικρό σώμα φτάνει στο έδαφος; iv) Ποια η ταχύτητα του άκρου της ράβδου όπου έγινε η κρούση, όταν για πρώτη φορά η ράβδος γίνεται στιγμιαία κατακόρυφη; Δίνεται ότι το ελατήριο παραμένει συνεχώς κατακόρυφο, g=10m/s 2 ενώ για τη ράβδο Ιcm=ML 2 / Μια ταλάντωση, δυο συστήματα αναφοράς Μανώλης Δρακάκης 23/10/11 Ένα σώμα μάζας m = 4 kg αφήνεται ελεύθερο τη χρονική στιγμή t = 0 στη θέση x = 0 ενός άξονα x x και στη συνέχεια κινείται κατά μήκος του άξονα. Αν η αλγεβρική τιμή της επιτάχυνσης του σώματος αυτού, δίνεται από τη σχέση α(x) = 0,2 x στο SI, με x > = 0 : Α. Να αποδείξετε ότι το σώμα αυτό, θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση, και να βρείτε την περίοδό της. Β1. Να βρείτε και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: της απομάκρυνσης y από τη θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με το χρόνο t, y = f(t) Β2. της απομάκρυνσης από την θέση x = 0, σε συνάρτηση με το χρόνο t, x = f(t) Γ. Να υπολογίσετε την ενέργεια της ταλάντωσης. Δ. Να βρείτε και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: Δ1. Δυναμική ενέργεια ταλάντωσης ως συνάρτηση του x, U = f(x) 3

4 Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα είναι καλό για όλους Δ2. Κινητική ενέργεια ως συνάρτηση του x, K = f(x) Δ3. Χωρικός ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης ως συνάρτηση του x, du/dx = f(x) 1.7. Πόσο είναι το πλάτος της ταλάντωσης; Διονύσης Μάργαρης 21/10/11 Μικρή μεταλλική σφαίρα μάζας m=0,1kg φέρει ηλεκτρικό φορτίο q= 10-3 C. Η σφαίρα είναι δεμένη με μονωτικό σύνδεσμο στο ελεύθερο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=10 3 Ν/m το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Το σύστημα βρίσκεται σε οριζόντιο ομογενές ηλεκτρικό πεδίο έντασης μέτρου Ε= Ν/C, του οποίου οι δυναμικές γραμμές είναι παράλληλες προς τον άξονα του ελατηρίου. Η σφαίρα ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο από μονωτικό υλικό και το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί. Εκτρέπουμε τη σφαίρα από τη θέση ισορροπίας κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου κατά x 0 =0,1m και την αφήνουμε να κινηθεί. 1) Ν αποδειχθεί ότι η σφαίρα θα εκτελέσει ΑΑΤ. 2) Να γράψετε την εξίσωση του μέτρου της δύναμης του ελατηρίου σε συνάρτηση με το χρόνο, αν ως αρχή του χρόνου t=0, θεωρήσουμε τη στιγμή που η σφαίρα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της και κινείται κατά τη θετική φορά. 3) Αν κατά τη στιγμή που η σφαίρα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της και κινείται κατά τη θετική φορά, καταργηθεί ακαριαία το ηλεκτρικό πεδίο, για το νέο πλάτος ταλάντωσης της σφαίρας, υποστηρίζεται ότι ισχύει Α=Δl+x 0. Να εξετάσετε αν αυτό είναι σωστό Ποιο είναι το πλάτος της ταλάντωσης ; Μανώλης Δρακάκης 10/10/11 1. Ένα σώμα Σ είναι δεμένο στο δεξιό άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου και στο αριστερό άκρο οριζόντιου νήματος και ηρεμεί σε ισορροπία όπως δείχνει το σχήμα. Το ελατήριο και το νήμα έχουν τα άλλα τους άκρα ακλόνητα. Στη θέση αυτή, το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί κατά Δl = 0,2 m από το φυσικό του μήκος, και το νήμα είναι τεντωμένο. Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα και το σύστημα ελατήριο - σώμα αρχίζει να κάνει απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α. Θα είναι α. Α = 0,1 m β. Α = 0,2 m γ. Α = 0,3 m δ. Α = 0,4 m 4

5 Υλικό Φυσικής και Χημείας 2. Η σφαίρα Σ του σχήματος βάρους 40 N, είναι δεμένη στο κάτω άκρο κατακόρυφου νήματος και στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 400 N/m και ισορροπεί σε ηρεμία. Το ελατήριο στη θέση αυτή έχει επιμηκυνθεί κατά Δl = 0,2 m από το φυσικό του μήκος. Τη χρονική στιγμή t = 0, κόβουμε το νήμα και η σφαίρα αρχίζει να κάνει απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Αντίσταση αέρα αμελητέα. Θα είναι α. Α = 0,1 m β. Α = 0,2 m γ. Α = 0,3 m δ. Α = 0,4m 3. Το σώμα Σ1 του σχήματος μάζας M, αρχικά ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο δεξιό άκρο του οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου που έχει σταθερά k και το άλλο του άκρο ακλόνητο. Στη θέση αυτή το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος. Τη χρονική στιγμή t = 0, ασκούμε στο σώμα οριζόντια σταθερή δύναμη F στη διεύθυνση του ελατηρίου, όπως στο σχήμα με αποτέλεσμα να αρχίσει να κάνει απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α1 = 0,1 m. Αν επαναλάβουμε το ίδιο πείραμα αλλά αντί του Σ1 δέσουμε στο ελατήριο σώμα Σ2 μάζας 2M το πλάτος της νέας ταλάντωσης θα είναι Θα είναι α. Α = 0,1 m β. Α = 0,2 m γ. Α = 0,3 m δ. Α = 0,4 m 4. Ένα σώμα Σ μάζας βάρους w είναι δεμένο στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου. Αρχικά, κρατάμε το σώμα έτσι ώστε το κάτω άκρο του ελατηρίου να w βρίσκεται σε ύψος h πάνω από ένα οριζόντιο δάπεδο, και από τη θέση αυτή, το k αφήνουμε ελεύθερο. Όταν το κάτω άκρο του ελατήριου φτάνει στο δάπεδο καρφώνεται σ αυτό και το σύστημα ελατήριο - σφαίρα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Αντίσταση αέρα αμελητέα. Θα είναι w 2w w 3 w 2 α. A β. A γ. A δ. A k k k k 6. Ένα σώμα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση. Η θέση του σώματος στον άξονα της κίνησης μεταβάλλεται με το χρόνο όπως φαίνεται στο διάγραμμα του σχήματος. 5

6 Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα είναι καλό για όλους Το πλάτος της ταλάντωσης είναι α. Α = 0,2 m, β. A = 0,4 m, γ. A = π m δ. Α = 2π m Η περίοδος της ταλάντωσης είναι α. Τ = π/2 s, β. Τ = π s γ. Τ = 2π s δ. T = 0,4 s 7. Δυο οριζόντια εντελώς όμοια ιδανικά ελατήρια Α και Β, έχουν στερεωθεί σε δυο κατακόρυφους κατακόρυφους τοίχους όπως δείχνει το σχήμα, έτσι ώστε, τα ελεύθερα άκρα τους να απέχουν κατά d. Το σώμα Σ, εφάπτεται στο δεξιό άκρο του ελατηρίου Α, και ηρεμεί σε ισορροπία πάνω στο λείο οριζόντιο επίπεδο. Εκτρέπουμε προς τα αριστερά το σώμα Σ κατά Δx = d/2, και, το αφήνουμε ελεύθερο από τη θέση αυτή. Το πλάτος της ταλάντωσης που θα κάνει το σώμα Σ είναι α. Α = d. β. A = d/2, γ. Α = 2d, δ Α = d/ Δυο ταλαντώσεις πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο Μανώλης Δρακάκης 18/10/11 Τα σώματα Σ1, Σ του σχήματος, έχουν μάζες m 1 = 1 kg, m 2 = 4 kg αντίστοιχα και ηρεμούν σε ισορροπία πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τα σώματα, είναι δεμένα στα άκρα δυο οριζόντιων ιδανικών ελατηρίων με σταθερές k 1 = k 2 =100 N/m και παράλληλους άξονες, που βρίσκονται στο φυσικό τους μήκος. Τα άλλα άκρα των ελατηρίων είναι ακλόνητα. Μετατοπίζουμε τα σώματα κατά μήκος της διεύθυνσης των ελατηρίων, προς την ίδια κατεύθυνση κατά d = 0,2 m, και την χρονική στιγμή t = 0, τα αφήνουμε ελεύθερα ταυτόχρονα και τα δύο από την ηρεμία. Α. Να υπολογίσετε: 6

7 Υλικό Φυσικής και Χημείας 1. Την συνολική ενέργεια Εδ που δαπανήθηκε για την αρχική εκτροπή και των δύο σωμάτων από τη θέση ισορροπίας τους. 2. Το ποσοστό επί τοις εκατό της ενέργειας Εδ που μετατρέπεται σε μέγιστη κινητική ενέργεια κάθε σώματος ξεχωριστά. Β. Κάποια χρονική στιγμή t1 τα σώματα Σ1, Σ2 κινούνται με ταχύτητες υ1, υ2 και απέχουν ίσες αποστάσεις από το σημείο ισορροπίας των. Να υπολογίσετε την τιμή που έχει το κλάσμα υ1 / υ2 τη χρονική στιγμή t1. Γ. Κάποια χρονική στιγμή t2 οι απομακρύνσεις των Σ1, Σ2 είναι x1 = x2 = -0,1 m. Να υπολογίσετε τους ρυθμούς μεταβολής των κινητικών τους ενεργειών την χρονική στιγμή t Πλαστική κρούση και πλάτος ταλάντωσης Διονύσης Μάργαρης 16/10/11 Ένα σώμα Σ μάζας m 1 ηρεμεί στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου το άλλο άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος, έχοντας προκαλέσει συσπείρωση του ελατηρίου κατά d. Μετακινούμε το σώμα Σ προς τα κάτω κατά x και το αφήνουμε να ταλαντωθεί, ενώ ταυτόχρονα από ύψος h πάνω από τη θέση ισορροπίας αφήνουμε ένα δεύτερο σώμα Σ 1 να κινηθεί και παρατηρούμε ότι τα δυο σώματα συγκρούονται στην θέση ισορροπίας Ο. i) Αν επαναλαμβάναμε το πείραμα συμπιέζοντας το ελατήριο κατά 2x, η σύγκρουση των δύο σωμάτων θα γινόταν: α) πάνω από τη θέση ισορροπίας Ο. β) Στη θέση ισορροπίας Ο. γ) κάτω από τη θέση ισορροπίας Ο. ii) Αν η αρχική εκτροπή του σώματος Σ είναι x= 0,1π (m) και η κρούση των δύο σωμάτων είναι πλαστική, ενώ το συσσωμάτωμα έχει μηδενική ταχύτητα αμέσως μετά την κρούση, τότε το πλάτος της ταλάντωσης μετά την κρούση θα είναι: α) Α=0,02m, β) Α= 0,1m, γ) Α= 0,2m, δ) άλλη τιμή. Δίνεται g=10m/s Ταλάντωση και γραφικές παραστάσεις. Διονύσης Μάργαρης 20/10/11 Στο σχήμα φαίνεται μια σφαίρα, μάζας 2kg, να εκτελεί α.α.τ κρεμασμένη στο άκρο ελατηρίου με φυσικό μήκος l0=0,4m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε απόσταση d=1m από το έδαφος. 7

8 Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα είναι καλό για όλους Μετρήσαμε το ύψος h της σφαίρας από το έδαφος και σχεδιάσαμε την γραφική του παράσταση σε συνάρτηση με το χρόνο, παίρνοντας την καμπύλη του διπλανού σχήματος. i) Γύρω από ποια θέση ταλαντώνεται η σφαίρα; ii) Να βρεθεί η σταθερά του ελατηρίου. iii) Να σχεδιάστε την γραφική παράσταση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα κάτω κατεύθυνση σαν θετική. iv) Ποια χρονική στιγμή t 1 το σώμα απέχει 0,8m από το έδαφος για πρώτη φορά; Δίνεται g=10m/s Ταλάντωση πάνω σε βαγονέτο Διονύσης Μητρόπουλος 16/10/11 Το εικονιζόμενο βαγονέτο Σ 2 έχει πάνω του κατάλληλα στηριγμένο οριζόντιο ιδανικό ελατήριο, σταθεράς k = 100N/m. Στο άλλο άκρο του ελατηρίου είναι δεμένο σώμα Σ 1 μάζας m = 1kg, που μπορεί να κινείται στο δάπεδο του βαγονέτου χωρίς τριβή. Η μάζα του βαγονέτου είναι πολύ μεγαλύτερη από αυτή του σώματος. Το σύστημα ισορροπεί, ώσπου μια απότομη σύγκρουση άλλου βαγονιού αναγκάζει το βαγονέτο να αρχίσει να κινείται στις οριζόντιες σιδηροτροχιές προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα μέτρου V = 2m/s (θετική φορά θεωρείται η προς τα δεξιά). 1. Να περιγράψετε την κίνηση του σώματος Σ 1, όπως την αντιλαμβάνεται ο κινούμενος μαζί με το βαγονέτο επιβάτης Π, και να βρείτε πως μεταβάλλεται η δύναμη που ασκεί το ελατήριο στο Σ 1 με το χρόνο, θεωρώντας σαν χρονική στιγμή μηδέν τη στιγμή αμέσως μετά τη σύγκρουση. 2. Να προσδιορίσετε τη χρονική συνάρτηση της ταχύτητας υ του Σ 1, καθώς και της τάσης του ελατηρίου πάνω του, όπως τις αντιλαμβάνεται ο ακίνητος παρατηρητής Π. 3. Να απεικονίσετε γραφικά την ταχύτητα που αντιλαμβάνεται ο κάθε παρατηρητής για το Σ 1, σε συνάρτηση με το χρόνο (με τη βοήθεια του graph), για δύο περιόδους της κίνησής του. 4. Να κάνετε το ίδιο για την ισχύ της δύναμης που δέχεται το Σ 1 από το ελατήριο. 5. Αν θεωρήσουμε για τον παρατηρητή Π ως αρχή x = 0 την αρχική θέση του σώματος Σ 1 (για t = 0), ισχύει και για αυτόν ανάλογη συνθήκη για την τάση του ελατηρίου, δηλαδή Fελ = k x; Αντιλαμβάνεται ο Π την κίνηση του Σ 1 ως ΑΑΤ; 8

9 Υλικό Φυσικής και Χημείας 6. Τη στιγμή t1 που ο Π αντιλαμβάνεται το Σ 1 να κινείται προς αυτόν για 3 η φορά με μέγιστη ταχύτητα, το βαγονέτο συγκρούεται με ακλόνητο εμπόδιο και ακινητοποιείται ακαριαία (μαζί με τον Π που παθαίνει νέο σοκ). Τι είδους κίνηση αντιλαμβάνονται στη συνέχεια οι παρατηρητές Π και Π για το Σ 1 ; Πόσο χρόνο διαρκεί η επαφή με το ελατήριο; Διονύσης Μάργαρης 10/10/11 Αφήνεται ένα σώμα να πέσει από ύψος h=6cm, πάνω στο ελεύθερο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος. Παρατηρούμε δε, ότι προκαλεί συσπείρωση του ελατηρίου κατά 2h=12cm πριν κινηθεί ξανά προς τα πάνω. i) Να αποδείξτε ότι για όσον χρόνο το σώμα βρίσκεται σε επαφή με το ελατήριο, η κίνησή του είναι ΑΑΤ. ii) Να βρεθεί το πλάτος ταλάντωσης. ii) Να υπολογιστεί ο χρόνος που το σώμα θα βρίσκεται σε επαφή, (μέχρι τη στιγμή που κινούμενο προς τα πάνω εγκαταλείπει το ελατήριο). Δίνεται g=10m/s 2 και π Ένα απότομο σταμάτημα και μια ταλάντωση Διονύσης Μητρόπουλος 10/10/11 Η πρισματική πλατφόρμα (Σ2) του σχήματος έχει μάζα Μ = 3kg και έχει πάνω της στερεωμένο με κατάλληλη βάση οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k = 200N/m, όπως στο σχήμα. Στο άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο, μέσω του αισθητήρα του, ένα ασύρματο multilog (Σ1), που έχει μάζα m = 2kg. Σταθερή οριζόντια δύναμη Fεξ ασκείται στο σύστημα και το μετακινεί προς τα δεξιά έτσι ώστε το σώμα (Σ 1 ) να παραμένει ακίνητο ως προς το (Σ 2 ). Κάποια στιγμή η πλατφόρμα συναντά ακλόνητο εμπόδιο και ακινητοποιείται απότομα, ενώ το σώμα (Σ 1 ) αρχίζει να εκτελεί αρμονική ταλάντωση. Στο διάγραμμα που ακολουθεί φαίνεται η καταγραφή της δύναμης που δέχεται ο αισθητήρας του, όπου η στιγμή t=0 είναι η στιγμή της ακινητοποίησης και ως θετική φορά θεωρείται η φορά της αρχικής κίνησης: 9

10 Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα είναι καλό για όλους Ζητούνται: 1. Το μέτρο της δύναμης Fεξ. 2. Η ταχύτητα υ που είχε το σύστημα τη στιγμή της πρόσκρουσης με το εμπόδιο. (Όλες οι επιφάνειες θεωρούνται λείες.) [Απάντηση: 50Ν, 3 m/s] Θα ανυψωθεί το σώμα και θα εγκαταλείψει το έδαφος; Διονύσης Μάργαρης 9/10/11 Αφήνουμε ένα σώμα Σ μάζας m να πέσει από ύψος h πάνω σε ένα κατακόρυφο ελατήριο, το άλλο άκρο του οποίου είναι συνδεδεμένο με δεύτερο σώμα Σ 1 ίσης μάζας που ηρεμεί στο έδαφος, όπως στο σχήμα. Στο πάνω άκρο του ελατηρίου υπάρχει ένας αβαρής δίσκος στον οποίο το σώμα Σ προσκολλάται κατά την πρόσκρουση. Παρατηρούμε ότι η μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου είναι επίσης h. i) Η μέγιστη ταχύτητα που θα αποκτήσει το σώμα Σ είναι: ii) Κατά την κίνησή του προς τα πάνω, το σώμα Σ, θα παρασύρει και το Σ 1 ώστε να εγκαταλείψει το έδαφος; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας, λαμβάνοντας σαν δεδομένο ότι η κίνηση του σώματος Σ όταν βρίσκεται πάνω στο δίσκο είναι ΑΑΤ Ταλάντωση δυο εμβόλων μιας μηχανής Μανώλης Δρακάκης 11/9/11 Το έμβολο E1 μιας μηχανής εσωτερικής καύσης, κινείται κατακόρυφα, εκτελώντας 300 απλές αρμονικές ταλαντώσεις ανά λεπτό της ώρας. Τη χρονική στιγμή t = 0, η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του είναι xo= +0,1m, και η αλγεβρική τιμή της ταχύτητάς του είναι υο= - π m/s. Α. Να αποδείξετε ότι η απομάκρυνση x 1 του εμβόλου E1 από τη θέση ισορροπίας του 10

11 Υλικό Φυσικής και Χημείας σε συνάρτηση με το χρόνο t δίνεται από τη σχέση: x1 = 0,1 2 ημ(10πt+3π/4) στο SI. Β. Ένα δεύτερο έμβολο E2 της ίδιας μηχανής που ταλαντώνεται κατακόρυφα με ίδιο πλάτος και με την ίδια συχνότητα με το Ε1, προηγείται σε φάση απ αυτό κατά π/2rad. Αν οι θέσεις ισορροπίας των δυο εμβόλων βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο να υπολογίσετε : Β1. τη συνάρτηση απομάκρυνσης χρόνου x2 = f(t) για το έμβολο Ε2 Β2. τη μέγιστη κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των δυο εμβόλων Β3. τις χρονικές στιγμές που τα έμβολα Ε1, Ε2 θα βρίσκονται στο ίδιο ύψος Β4. τις χρονικές στιγμές που η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των Ε1, Ε2 θα είναι μέγιστη Β5. τη συνάρτηση d = f(t) όπου d η κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των εμβόλων, και να την παραστήσετε γραφικά. Επιβεβαιώστε τις απαντήσεις στα ερωτήματα Β2,Β3,Β4 με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης. Δίνεται π² = 10 και ημα ημβ = 2ημ[(α-β)/2] συν[(α+β)/2] Μια ταλάντωση ενός συστήματος σωμάτων. Διονύσης Μάργαρης 23/07/11 Το σώμα Σ 1 μάζας m 1 =5kg ηρεμεί στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος, προκαλώντας του συσπείρωση κατά 0,25m. Για t=0 αφήνουμε πάνω στο σώμα Σ 1 ένα δεύτερο σώμα Σ 2 μάζας m 2 =3kg. i) Ν αποδειχθεί ότι το σύστημα των δύο σωμάτων θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση. ii) Να βρεθεί η περίοδος και το πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος. iii) Να γίνει η γραφική παράσταση σε συνάρτηση με το χρόνο, της δύναμης που δέχεται το σώμα Σ 2 από το Σ 1, αν η προς τα πάνω κατεύθυνση θεωρηθεί θετική. Δίνεται g=10m/s Ταλάντωση και τάση νήματος. Διονύσης Μάργαρης 13/05/11 Στο κάτω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k έχει δεθεί ένα σώμα Β μάζας Μ, κάτω από το οποίο μέσω νήματος, έχει δεθεί μια σφαίρα Σ, μάζας m. Το σύστημα ισορροπεί έχοντας επιμηκύνει το ελατήριο κατά 2d. Τραβάμε προς τα κάτω τη σφαίρα κατά d και την αφήνουμε, οπότε το σύστημα εκτελεί ΑΑΤ, με σταθερά επαναφοράς k. i) Η ελάχιστη τιμή του μέτρου της τάσης του νήματος που συνδέει τα δυο σώματα είναι: 11

12 Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα είναι καλό για όλους α) ½ mg β) mg γ) 1,5mg δ) 2mg ii) Η μέγιστη κινητική ενέργεια της σφαίρας στη διάρκεια της ταλάντωσής της είναι: Ταλάντωση και Doppler. Διονύσης Μάργαρης 14/04/11 Πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα σώμα Σ πάνω στο οποίο έχει προσδεθεί ένας καταγραφέας ήχου (δέκτης Δ), δεμένο στο άκρο ελατηρίου σταθεράς k=1000ν/m. Σε απόσταση s=1m υπάρχει μια πηγή που παράγει αρμονικό ήχο συχνότητας 680Ηz, όπως στο σχήμα. Εκτρέπουμε το σώμα Σ προς τα αριστερά κατά 0,4m και για t=0 το αφήνουμε να εκτελέσει ΑΑΤ. Αν η προς τα δεξιά κατεύθυνση θεωρείται θετική, ενώ η μάζα του Σ (και δέκτη μαζί) είναι m=0,4kg και η ταχύτητα του ήχου υ=340m/s, ζητούνται: i) Η εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο του σώματος Σ. ii) Κάποια στιγμή t 1 η συχνότητα που καταγράφει ο δέκτης είναι f 1 =700Ηz, για πρώτη φορά. Για τη στιγμή αυτή t 1 : α) Ποια η ταχύτητα του Σ. β) Ποιο το επί τοις % ποσοστό της ενέργειας ταλάντωσης που αντιστοιχεί στην δυναμική ενέργεια ταλάντωσης; γ) Ποια η χρονική στιγμή t 1 ; iii) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις σε συνάρτηση με το χρόνο: α) Της απόστασης πηγής δέκτη ήχου. β) Της συχνότητας του ήχου που καταγράφει ο δέκτης Γ.Α.Τ. ή όχι; Χρήστος Ελευθερίου 11/10/213 Σημειακό σώμα μάζας m=2kg ισορροπεί με την βοήθεια δύο όμοιων ιδανικών ελατηρίων όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Τα ελατήρια έχουν σταθερές K 1 = K 2 =100N/m και βρίσκονται σε επαφή με το σημειακό σώμα ενώ είναι στερεωμένα σε δύο κατακόρυφους τοίχους που απέχουν μεταξύ τους οριζόντια απόσταση d=1m.to φυσικό μήκος του κάθε ελατηρίου είναι L 1 =L 2 =0,6m.Tr v χρονική στιγμή t=0 εκτοξεύουμε το σημειακό σώμα με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ 0 προς τα δεξιά. Να βρεθούν: α) Η μέγιστη ταχύτητα υ 0 για την οποία το σώμα εκτελεί γ.α.τ. β) Η μέγιστη απόσταση των ακραίων θέσεων της ταλάντωσης αν η αρχική ταχύτητα είχε μέτρο uo=2m/s. 12

13 Υλικό Φυσικής και Χημείας γ) Η ποιοτική γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σώματος από την θέση ισορροπίας του συστήματος όταν η αρχική ταχύτητα ήταν υ 0 =2m/s. Δίνεται 10 3,16, 2 1,41 και ημπ/9 0, Δυο κινήσεις ενός δοκαριού, η μια μόνο ΑΑΤ Ελευθερία Νασίκα 16/10/2013 Ένα δοκάρι μήκους l=1m βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=75n/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Ένα μικρό σώμα μάζας m=1kg βρίσκεται ακίνητο στο μέσο του δοκαριού. Ασκούμε στο σώμα σταθερή οριζόντια δύναμη F=20N, οπότε αυτό αρχίζει να κινείται πάνω στο δοκάρι, με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,5. Τη στιγμή που το ελατήριο έχει επιμήκυνση Δl=0,1m, το σώμα εγκαταλείπει το δοκάρι και απομακρύνεται κατάλληλα. φμ F υ1 υ2 Α. Να υπολογίστε την ταχύτητα του σώματος τη στιγμή που εγκαταλείπει το δοκάρι. Β. Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια του δοκαριού την ίδια στιγμή. Γ. Να υπολογίστε τη μέγιστη συσπείρωση που θα υποστεί στη συνέχεια το ελατήριο. Δ. Αν η μάζα του δοκαριού είναι Μ=1,35kg, σε πόσο χρόνο από τη στιγμή που το σώμα θα εγκαταλείψει τη σανίδα το ελατήριο θα έχει τη μέγιστη συσπείρωσή του για πρώτη φορά; Δίνεται g=10m/s 2 και π 2 = Μια άσκηση, ένας προβληματισμός Παπασγουρίδης Θοδωρής 12/10/2013 Δύο σώματα με μάζες m1 =1kg και m2 =3Kg ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένα στα άκρα δύο οριζόντιων ιδανικών ελατηρίων με σταθερές k1 =100N/m και k2 =50N/m αντίστοιχα, απέχοντας απόσταση d=0,3m. Εκτρέπουμε τη m1 προς τα αριστερά κατά A=0,5m και το αφήνουμε ελεύθερο να εκτελέσει ΑΑΤ. Μετά από λίγο συγκρούεται πλαστικά με το σώμα m2. Να βρεθούν: Α) Η ταχύτητα του m1 πριν την κρούση και η κοινή ταχύτητα των σωμάτων αμέσως μετά την κρούση. 13

14 Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα είναι καλό για όλους Β) Η ενέργεια ταλάντωσης μετά την κρούση ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΣΩΜΑ ΚΑΙ ΟΡΙΑΚΗ ΤΡΙΒΗ Κορκίζογλου Πρόδρομος 12/10/2013 Σανίδα μάζας Μ = 4 kg βρίσκεται πάνω σε δάπεδο με το οποίο παρουσιάζει τριβές με συντελεστή οριακής τριβής μορ. = 0,8. Πάνω σ' αυτό ισορροπεί άλλο σώμα μάζας m = 1 kg, το οποίο είναι δεμένο με ελατήριο σταθεράς k = 100 N/m και φυσικού μήκους L 0 = 1 m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε προεξοχή του σώματος Μ στο άκρο του. Μεταξύ των σωμάτων δεν υπάρχει τριβή. Συσπειρώνουμε το ελατήριο κατά d και τη στιγμή t = 0 αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα. Δίνεται g= 10 m/s Ποια η μέγιστη τιμή του d ώστε η σανίδα να μην ολισθήσει στο δάπεδο. 2. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος θεωρώντας το πλάτος ίσο με dmax και θετική φορά προς τα δεξιά. 3. Ποια είναι η αλγεβρική τιμή της στατικής τριβής τη στιγμή t 1 που το σώμα m έχει διανύσει απόσταση 1,5d max, Ποια η χρονική στιγμή t 1 ; Να κάνετε γραφική παράσταση της στατικής τριβής σε συνάρτηση της απομάκρυνσης x. 4. Επαναλαμβάνουμε τοποθετώντας τη σανίδα σε επιφάνεια με την οποία δεν παρουσιάζει τριβή. Αφήνουμε το σώμα m να κινηθεί τη χρονική στιγμή t = 0 από τη θέση που έχουμε συσπειρώσει το ελατήριο κατά dmax. Πόση είναι η ταχύτητά του όταν το ελατήριο αποκτήσει το φυσικό του μήκος; Ποια χρονική στιγμή θα συμβεί αυτό; Δίνεται ότι, αν ένα ελατήριο σταθεράς k και φυσικού μήκους L 0, το κόψουμε σε δύο τμήματα μηκών L 1 και L 2 και σταθερών k 1, k 2 αντίστοιχα, τότε ισχύει: k 1 L 1 = k 2 L 2 = kl Πώς βρίσκουμε τη δύναμη; Διονύσης Μάργαρης 14/09/2013 Στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=400n/m, το κάτω άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος, ηρεμούν δύο σώματα Α και Β, με μάζες M=3kg και m=1kg αντίστοιχα, τα οποία είναι κολλημένα μεταξύ τους. Εκτρέπουμε το σύστημα των σωμάτων κατακόρυφα προς τα κάτω κατά d=0,2m και το αφήνουμε να ταλαντωθεί, ί) Να αποδείξτε ότι το σύστημα θα εκτελέσει ΑΑΤ, θεωρώντας θετική την φορά: α) προς τα κάτω. β) προς τα πάνω. ii) Να βρεθεί η δύναμη που ασκεί το σώμα Α στο σώμα Β, σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας και να γίνει η γραφική της παράστασης και με τις δύο παραπάνω υποθέσεις. 14

15 Υλικό Φυσικής και Χημείας iii) Αν τα σώματα δεν είναι κολλημένα, απλά το σώμα Β στηρίζεται στο Α, να βρεθεί η θέση που τα σώματα αποχωρίζονται. Η απάντηση να δοθεί και με τις δύο παραπάνω υποθέσεις για την θετική φορά Μια ταλάντωση με κρούση. Ορμή και ενέργειες. Διονύσης Μάργαρης 10/10/2013 Το σώμα Σ μάζας mi ταλαντώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, με πλάτος Α και περίοδο Τ. Όταν το σώμα μάζας Σ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας συγκρούεται πλαστικά με το σώμα Β, μάζας m2 που έπεφτε ελεύθερα από ύψος h, και το σύστημα συνεχίζει να ταλαντώνεται. ί) Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες: α) Η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης έμεινε η ίδια. β) Κατά τη διάρκεια της κρούσης ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής. γ) Η ορμή του συστήματος στην οριζόντια διεύθυνση, ελάχιστα πριν την κρούση, είναι ίση με την ορμή του ελάχιστα μετά την κρούση, δ) Η περίοδος της ταλάντωσης αυξήθηκε, ε) Η ενέργεια της ταλάντωσης μειώθηκε, ii) Να υπολογίσετε την απώλεια της μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση, σε συνάρτηση με το ύψος h. Πότε η απώλεια αυτή είναι ελάχιστη; iii) Αν η κρούση δεν πραγματοποιηθεί στη θέση ισορροπίας, αλλά σε απομάκρυνση χ, να βρεθεί η συνθήκη για την ελάχιστη μείωση της ενέργειας ταλάντωσης. 2. ΑΜΕΙΩΤΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 2.1. Μια ηλεκτρική ταλάντωση και η ενέργειά της. Διονύσης Μάργαρης 7/11/11 Στο παρακάτω κύκλωμα, οι διακόπτες δ 1 και δ 2 είναι κλειστοί για μεγάλο χρονικό διάστημα. Σε μια στιγμή t 0 =0 ανοίγουμε τους δύο διακόπτες και ταυτόχρονα κλείνουμε τον διακόπτη δ 3. Να χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες, δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας. i) Αμέσως μετά το κλείσιμο του διακόπτη δ 3, η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο αυξάνεται. ii) Το πλάτος του εναλλασσόμενου ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα LC είναι ίσο με Ε/R. 1 2 L iii) Η ενέργεια της ηλεκτρικής ταλάντωσης είναι ίση με: E C 2 2 R 15

16 Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα είναι καλό για όλους iv) Ποιες θα ήταν οι αντίστοιχες απαντήσεις αν το κύκλωμα ήταν όπως στο παρακάτω σχήμα; 2.2. Δυο διαδοχικές ηλεκτρικές Ταλαντώσεις. Διονύσης Μάργαρης 6/11/11 Για το ηλεκτρικό κύκλωμα του σχήματος, δίνονται C 1 =4μF, C 2 =1μF, ενώ το ιδανικό πηνίο έχει αυτεπαγωγή L=0,09Η. Φορτίζουμε τον πρώτο πυκνωτή, κλείνοντας το διακόπτη δ 1 από πηγή τάσης V=30V και κατόπιν ανοίγουμε το διακόπτη. Τη χρονική στιγμή t 0 =0 κλείνουμε τον διακόπτη δ 2. Α) Για την χρονική στιγμή t 1 =5π 10-4 s, να βρεθούν: i) Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα και η τάση V ΓΔ. ii) Ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος. iii) Οι ρυθμοί μεταβολής της ενέργειας του πυκνωτή και του πηνίου. Β) Την χρονική στιγμή t 1, μέσω ενός αυτόματου ηλεκτρονικού συστήματος, ανοίγει ο διακόπτης δ 2 και ταυτόχρονα κλείνει ο διακόπτης δ 3. iv) Αμέσως μετά το κλείσιμο του διακόπτη δ 3, να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο. v) Να γίνει το διάγραμμα i=f(t) της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο σε συνάρτηση με το χρόνο από t 0, μέχρι τη στιγμή t 2 =11π 10-4 s Ενέργειες ηλεκτρικών ταλαντώσεων. Διονύσης Μάργαρης 14/10/11 Όταν σε ένα κύκλωμα έχουμε δύο πυκνωτές συνδεδεμένους όπως στο διπλανό σχήμα, το σύστημα αυτό ισοδυναμεί με ένα πυκνωτή χωρητικότητας C=C 1 +C 2 και συνολικό φορτίο q ολ =q 1 +q 2 (παράλληλη σύνδεση πυκνωτών). Το παρακάτω κύκλωμα, όπου C 2 =3C 1, εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση με ενέργεια Ε και περίοδο Τ οπότε διαρρέεται από ρεύμα έντασης της μορφής i=ι συνωt, με το διακόπτη δ κλειστό. Τη χρονική στιγμή t 1 = 1/3 Τ, όπου Τ η περίοδος της ταλάντωσης ανοίγουμε το διακόπτη δ. i) Το πηνίο θα συνεχίσει να διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα με περίοδο: α) Τ 1 = Τ, β) Τ 1 = ½ Τ, γ) Τ 1 = 1/3 Τ. ii) Η ενέργεια της νέας ηλεκτρικής ταλάντωσης είναι ίση με: α) Ε 1 = Ε, β) Ε 1 = 9/16 Ε, γ) Ε 1 = 7/16 Ε, δ) Ε 1 = 4/16 Ε Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. 16

17 Υλικό Φυσικής και Χημείας 2.4. Μελέτη ηλεκτρικής ταλάντωσης και μία εφαρμογή Πέτρος Καραπέτρος18/07/11 Στο κύκλωμα του σχήματος δίνονται Ε 1 =10 3 V, r 1 =2Ω, R=48Ω, Ε 2 =4V, το πηνίο είναι ιδανικό με συντελεστή αυτεπαγωγής L=4mΗ και ο πυκνωτής χωρητικότητα C=10μF. Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις του φορτίου του οπλισμού αναφοράς του πυκνωτή και της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα της ηλεκτρικής ταλάντωσης σχεδιάζοντας και τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις στις ακόλουθες περιπτώσεις: Περίπτωση 1η: Ο διακόπτης δ 1 είναι κλειστός για μεγάλο χρονικό διάστημα ενώ οι διακόπτες δ 2, δ 3 ανοικτοί. Κάποια χρονική στιγμή που τη θεωρούμε t=0, ανοίγουμε το διακόπτη δ 1 και κλείνουμε τον δ 2, διατηρώντας τον δ 3 ανοικτό. Περίπτωση 2η: Ο διακόπτης δ 3 είναι κλειστός για μεγάλο χρονικό διάστημα ενώ οι διακόπτες δ 1, δ 2 ανοικτοί. Κάποια χρονική στιγμή που τη θεωρούμε t=0, ανοίγουμε το διακόπτη δ 3 και κλείνουμε τον δ 2, διατηρώντας τον δ 1 ανοικτό. Περίπτωση 3η: Οι διακόπτες δ 1 και δ 3 είναι κλειστοί για μεγάλο χρονικό διάστημα ενώ οι διακόπτης δ 2 ανοικτός. Κάποια χρονική στιγμή που τη θεωρούμε t=0, ανοίγουμε τους διακόπτες δ 1 και δ 3 και κλείνουμε τον δ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ LC ΠΟΥ ΚΑΤΑΛΗΓΟΥΝ ΣΕ ΕΝΑ Βασίλης Δουκατζής 16/08/2013 Στο διπλανό σχήμα οι πυκνωτές έχουν χωρητικότητα C 1 = 3,2 μf και C 2 = 80 μf, ενώ τα πηνία παρουσιάζουν συντελεστή αυτεπαγωγής L 1 = 2 mh και L 2 = 0,5 mh. Τα υπόλοιπα στοιχεία δεν παρουσιάζουν αντιστάσεις. Φορτίζουμε τους πυκνωτές με φορτίο Q 1 = 0,8 μc και Q 2 = 4 μc. Κλείνουμε τους διακόπτες δ 1 και δ 3 ταυτόχρονα και τα κυκλώματα L 1 C 1 και L 2 C 2 αρχίζουν να εκτελούν ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Α. Να γράψετε τις χρονοεξισώσεις του φορτίου και του ρεύματος στο κάθε κύκλωμα. Β. Την χρονική στιγμή, 20 ανοίγουμε τους διακόπτες δ 1 και δ 3 ενώ ταυτόχρονα κλείσουμε τον 3 4 t1 10 s δ 2 χωρίς καμία δημιουργία σπινθήρα. α. Να βρείτε την περίοδο των ταλαντώσεων στο κύκλωμα L 1 C 2 και την ενέργεια του. 17

18 Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα είναι καλό για όλους β. Να σχεδιάσετε την πολικότητα του πυκνωτή C 2 και του πηνίου L 1 την χρονική στιγμή t 1 + (δηλαδή αμέσως μετά την δημιουργία του κυκλώματος L1C2), και να εξηγήσετε αν την στιγμή εκείνη ο πυκνωτής C2 φορτίζεται ή εκφορτίζεται. γ. να βρείτε τις χρονοεξισώσεις φορτίου και ρεύματος στο κύκλωμα L 1 C 2 για t t1 θεωρώντας για το ρεύμα ως θετική την φορά που θα θεωρήσουμε και στις αρχικές ταλαντώσεις. Γ. Ποια είναι η πρώτη χρονική στιγμή που αν ανοίξουμε τους διακόπτες δ 1 και δ 3 και κλείσουμε τον δ2 (χωρίς δημιουργία σπινθήρα) θα πετύχουμε το κύκλωμα L 1 C 2 να ταλαντώνεται με την μέγιστη δυνατή ενέργεια; Θεωρήστε ότι δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας λόγω Η/Μ ακτινοβολίας. 3. ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 3.1. Φθίνουσα Ταλάντωση και απώλεια ενέργειας. Διονύσης Μάργαρης 20/09/11 Ένα ελατήριο σταθεράς k=40ν/m κρέμεται κατακόρυφα έχοντας φυσικό μήκοςl 0 =0,5m. Δένουμε στο κάτω άκρο του ένα σώμα μάζας 2kg και το αφήνουμε να κινηθεί, οπότε αυτό εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, εξαιτίας της αντίστασης του αέρα, η οποία είναι της μορφής F=-bυ.. Σε μια στιγμή t 1 το σώμα κινείται προς τα κάτω και το ελατήριο έχει μήκος l 1 =1,2m. Στη θέση αυτή το σώμα έχει ταχύτητα υ 1 = 2m/s ενώ επιβραδύνεται με ρυθμό 4,1m/s 2. Να βρείτε: i) Την μηχανική ενέργεια που μετατράπηκε σε θερμική από 0-t 1. ii) Τη σταθερά απόσβεσης b. iii) Την ενέργεια ταλάντωσης τη στιγμή t 1. iv) Τον ρυθμό με τον οποίο μειώνεται η ενέργεια ταλάντωσης τη στιγμή t 1. Θεωρείται γνωστό ότι για την ταλάντωση που θα επακολουθήσει D=k και g=10m/s Unexpected Error! Νεκτάριος Πρωτοπαπάς 5/11/2016 Κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k = 100 N/m έχει το κάτω άκρο του στερεωμένο στο οριζόντιο τοίχωμα ενός κλειστού δοχείου, από το οποίο έχει αφαιρεθεί ο αέρας μέσω αντλίας κενού. Στο επάνω άκρο του ελατηρίου έχει προσδεθεί σώμα Σ 1 με μάζα Μ = 2 kg που ισορροπεί. Μετακινούμε το σώμα Σ 1 προς τα κάτω κατά d = 0,4 m και αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί, οπότε εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. 18

19 Υλικό Φυσικής και Χημείας Όταν το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του σώματος είναι ίσο με 20 kg m/s 2 για 2 η φορά, συγκρούεται ακαριαία και πλαστικά με σώμα Σ 2 μάζας m = 1 kg. To σώμα Σ 2 είχε αφεθεί ελεύθερο από ύψος h πάνω από το σημείο της σύγκρουσης. Λόγω της κρούσης το συσσωμάτωμα που δημιουργείται στιγμιαία ακινητοποιείται. Θεωρήστε θετική φορά προς τα κάτω. α. Να βρεθεί το ύψος h. β. Θεωρώντας ως χρονική στιγμή t = 0 τη στιγμή της κρούσης να γράψετε τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του συσσωματώματος. γ. Πόσος είναι ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συσσωματώματος όταν περνά για 2η φορά από τη θέση που η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι ίση με 2J; Όταν το σώμα φτάσει για 20η φορά στη θέση μέγιστης θετικής απομάκρυνσης λόγω μιας στιγμιαίας βλάβης "500 Unexpected Error " της αντλίας εισάγεται ακαριαία αέρας στο δοχείο, οπότε στο σώμα αρχίζει να ενεργεί δύναμη αντίστασης της μορφής F αντ = -bυ με αποτέλεσμα να εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση. Διαπιστώνεται ότι τη χρονική στιγμή t 1 (μετά την έναρξη της φθίνουσας ταλάντωσης) έχουν πραγματοποιηθεί 10 πλήρεις ταλαντώσεις και το πλάτος έχει γίνει ίσο με το 1/3 της αρχικής του τιμής. Τη χρονική στιγμή t 2 (μετά την έναρξη της φθίνουσας ταλάντωσης) έχουν πραγματοποιηθεί επιπλέον 10 πλήρεις ταλαντώσεις σε σχέση με τη χρονική στιγμή t 1. δ. Πόσο είναι το έργο της δύναμης που αντιστέκεται στην κίνηση του σώματος στο χρονικό διάστημα από t 1 ως t 2 ; Δίνεται g = 10 m/s ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 4.1. Ρυθμοί σε μια Φθίνουσα Ηλεκτρική Ταλάντωση. Διονύσης Μάργαρης 13/11/11 Για το κύκλωμα του σχήματος δίνονται Ε=40V, r=1ω, C=20μF, το ιδανικό πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=0,2mΗ και R1=4Ω, ενώ ο διακόπτης είναι κλειστός για μεγάλο χρονικό διάστημα. i) Πόση ενέργεια είναι αποθηκευμένη στο πηνίο και πόση στον πυκνωτή; ii) Σε μια στιγμή, έστω t0=0, ανοίγουμε το διακόπτη δ. Αμέσως μετά (την στιγμή t0+), να βρεθούν οι ρυθμοί μεταβολής: α) Της ενέργειας του πυκνωτή και της ενέργειας του πηνίου β) Του φορτίου του πυκνωτή και της έντασης του... Του φορτίου του πυκνωτή και της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο. Να εξετασθούν οι περιπτώσεις: 19

20 Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα είναι καλό για όλους Α) R 2 =0 και Β) R 2 = 6Ω 4.2. Αμείωτη και φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση. Διονύσης Μάργαρης 6/11/13 Για το κύκλωμα του διπλανού σχήματος δίνονται ότι Ε=100V, C=80μF, το ιδανικό πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=0,2Η, ενώ R=5Ω, και οι διακόπτες δ 1, δ 2 είναι κλειστοί για μεγάλο χρονικό διάστημα. Υπενθυμίζεται ότι κλειστός διακόπτης δ 2 σημαίνει βραχυκυκλωμένη αντίσταση, άρα σαν να μην υπάρχει στο κύκλωμα. i) Πόση ενέργεια είναι αποθηκευμένη στο πηνίο και πόση στον πυκνωτή; ii) Σε μια στιγμή που θεωρούμε t 0 =0, ανοίγουμε τον διακόπτη δ 1. α) Εξηγείστε γιατί θα φορτιστεί ο πυκνωτής. Ποιος από τους οπλισμούς του πυκνωτή θα αποκτήσει πρώτος θετικό φορτίο; β) Βρείτε την εξίσωση της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας θετική την αρχική ένταση. iii) Τη χρονική στιγμή t 1 =134π/3 ms ανοίγουμε και το διακόπτη δ 2. Για αμέσως μετά το άνοιγμα του διακόπτη, να βρεθούν: α) Το φορτίο του πυκνωτή και η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τον αντιστάτη. β) Ο ρυθμός μεταβολής της έντασης του ρεύματος που διαρρέει τον αντιστάτη με αντίσταση R 1 =10 3 Ω. γ) Οι ρυθμοί μεταβολής των ενεργειών του πηνίου και του πυκνωτή. 5. ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 5.1. Συχνότητες και πλάτη στην εξαναγκασμένη ταλάντωση. Διονύσης Μάργαρης 10/11/11 Το σώμα Σ του σχήματος μάζας 1kg, ηρεμεί στο κάτω άκρο ελατηρίου, σταθεράς k=10ν/m. Θέτοντας σε περιστροφή τον τροχό Τ, το σώμα εκτελεί ταλάντωση και, μετά την αποκατάσταση σταθερής κατάστασης παίρνουμε το διάγραμμα της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, το οποίο είναι όπως στο διπλανό σχήμα. 20

21 Υλικό Φυσικής και Χημείας i) Το σώμα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση και βρίσκεται σε συντονισμό; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ii) Μεταβάλλουμε τη συχνότητα περιστροφής του τροχού.... Μεταβάλλουμε τη συχνότητα περιστροφής του τροχού. Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα μπορεί να δείχνει τη νέα ταλάντωση του σώματος; Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (α) (β) (γ) 5.2. Βρείτε τη δύναμη στην εξαναγκασμένη ταλάντωση Κυριακόπουλος Γιάννης 10/09/11 Το σώμα του σχήματος βρίσκεται πάνω σε λεία σανίδα συνδεδεμένο με ιδανικό ελατήριο. Κινούμενο Ns συναντά αντίσταση Fαντ = -b.υ με b 3. Δεχόμενο περιοδική δύναμη F εκτελεί εξαναγκασμένη m ταλάντωση με πλάτος 0,2 m και κυκλική συχνότητα ω = 5 rad/s. Κάποια στιγμή μετά τη σταθεροποίηση του πλάτους βρίσκεται στη θέση x= + 0,1 m και πλησιάζει την θέση ισορροπίας. i. Να υπολογίσετε την ταχύτητα και την δύναμη αντίστασης εκείνη την στιγμή. ii. Υπολογίσατε την επιτάχυνση και την δύναμη του διεγέρτη την εν λόγω στιγμή. iii. Με ποιο ρυθμό προσφέρεται ενέργεια στο σύστημα εκείνη την στιγμή; iv. Ποιος είναι την ίδια στιγμή ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου; v. Ποιος είναι την ίδια στιγμή ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος και ποιος ο ρυθμός απώλειας ενέργειας λόγω της αντίστασης; 5.3. Ενέργειες στην εξαναγκασμένη ταλάντωση. Διονύσης Μάργαρης 1/10/11 21

22 Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα είναι καλό για όλους Ένα σώμα μάζα 1kg ταλαντώνεται κατά την διεύθυνση του άξονα x με την επίδραση μιας δύναμης επαναφοράς της μορφής F 1 = - 80x, όπου x η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας, της δύναμης απόσβεσης της μορφής F 2 = - 5υ, όπου υ η ταχύτητά του και μιας εξωτερικής δύναμης της μορφής F=F 0 ημ(10t+φ 0 ). Μόλις σταθεροποιηθεί η κατάσταση, κάποια στιγμή που το σώμα περνά από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση, θέτουμε t=0 και μετράμε το πλάτος της ταλάντωσης το οποίο βρίσκουμε Α=0,1m. i) Να βρεθούν οι εξισώσεις της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο. ii) Κάποια στιγμή t 1 το σώμα κατευθύνεται προς τη θέση ισορροπίας του, ευρισκόμενο σε απομάκρυνση x 1 =+6cm. Για τη στιγμή αυτή να βρεθούν: α) Η κινητική και η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης. β) Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και δυναμικής ενέργειας. γ) Η ισχύς της δύναμης απόσβεσης και ο ρυθμός με τον οποίο μεταφέρεται ενέργεια στο σώμα μέσω της εξωτερικής δύναμης F. iii) Αν αυξήσουμε την συχνότητα της εξωτερικής δύναμης στην τιμή f 1 =2Ηz το πλάτος ταλάντωσης θα αυξηθεί, θα μειωθεί ή θα παραμείνει σταθερό; 5.4. Μια εξαναγκασμένη ταλάντωση και ρυθμοί μεταβολής. Διονύσης Μάργαρης 15/09/11 Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=648ν/m. Σε μια στιγμή δέχεται περιοδική οριζόντια δύναμη F, με αποτέλεσμα να αρχίσει να ταλαντώνεται. Μόλις αποκατασταθεί σταθερή κατάσταση,λαμβάνοντας κάποια στιγμή σαν t=0, βρίσκουμε ότι το σώμα εκτελεί ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης x=0,4 ημ20t (μονάδες στο S.Ι.) γύρω από την αρχική θέση ισορροπίας του. Στη διάρκεια της ταλάντωσης το σώμα δέχεται δύναμη απόσβεσης της μορφής F απ = - 4υ (S.Ι.), όπου υ η ταχύτητα του σώματος. i) Να βρεθούν η ιδιοσυχνότητα και η συχνότητα ταλάντωσης του σώματος. ii) Για την χρονική στιγμή t 1 =π/4 s ζητούνται: α) Η κινητική και η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης. β) Οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας. γ) Ο ρυθμός με τον οποίο αφαιρείται ενέργεια από το σώμα, μέσω του έργου της δύναμης απόσβεσης. δ) Ο ρυθμός με τον οποίο προσφέρεται ενέργεια στο σώμα μέσω της εξωτερικής δύναμης F Ενέργειες στην εξαναγκασμένη ταλάντωση. Τριανταφυλλίδης Αστέριος 23/12/12 22

23 Υλικό Φυσικής και Χημείας Ένα σώμα μάζας m=1 kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση μικρής απόσβεσης. Η ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή είναι 4 Hz, το πλάτος του διατηρείται σταθερό και ίσο με 0,2 m με τη βοήθεια εξωτερικής περιοδικής δύναμης συχνότητας 5 Hz. Η δύναμη απόσβεσης κατά τη διάρκεια της κίνησης του σώματος είναι της μορφής. F αντ = - b υ. α) Να γράψετε την χρονική εξίσωση της ταχύτητας του σώματος, αν τη χρονική στιγμή t=0, το σώμα διέρχεται από της θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα. β) Να γράψετε τις σχέσεις της κινητικής, της δυναμικής και της ενέργειας της ταλάντωσης σε σχέση με την απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας (x=0). Να σχεδιάσετε στη συνέχεια σε κοινό σύστημα αξόνων τις γραφικές τους παραστάσεις. 6. ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ 6.1. Η σύνθεση ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης και οι εκδοχές της Στεργιάδης Ξενοφών 1/11/11 Α. Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η απομάκρυνσή του περιγράφεται από την εξίσωση x(t)=αημ(20t+θ) (S.I) με 0 < θ < π. Η εξίσωση x(t) μπορεί να αναλυθεί στις εξισώσεις δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων x 1 (t)=α 1 ημ(20t+φ) (S.I) με 0 < φ < π και x 2 (t)=0,2ημ20t (S.I), οι οποίες γίνονται στην ίδια διεύθυνση, έχουν την ίδια θέση ισορροπίας και την ίδια συχνότητα. Η ενέργεια Ε της ταλάντωσης με εξίσωση απομάκρυνσης x(t) είναι ίση με την ενέργεια Ε 1 της ταλάντωσης με εξίσωση απομάκρυνσης x 1 (t).όταν το σώμα εκτελεί την ταλάντωση x(t), τη χρονική στιγμή t=0 έχει απομάκρυνση x= 0,13 m και ταχύτητα μέτρου 2m/s. Α 1. Να υπολογίσετε το πλάτος Α 1 της ταλάντωσης με εξίσωση απομάκρυνσης x 1 (t). Α 2. Να γραφούν οι εξισώσεις x(t) και x 1 (t). Α 3.Οι απλές αρμονικές ταλαντώσεις με εξισώσεις x(t), x 1 (t), x 2 (t) έχουν αντίστοιχα ενέργειες Ε, Ε 1, Ε 2. Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης επαναφοράς WFεπ για κάθε μία από τις ταλαντώσεις και για το χρονικό διάστημα 0, 4 και να το εκφράσετε σε συνάρτηση με την αντίστοιχη τιμή της ενέργειας ταλάντωσης. Α 4. Να δείξετε ότι τη δύναμη επαναφοράς Fεπ της ταλάντωσης με εξίσωση x(t) μπορεί να αναλυθεί σε δύο συνιστώσες δυνάμεις της μορφής -D x 1 και -D x 2 και να υπολογίσετε τα έργα τους για το χρονικό διάστημα 0, 4. Με αφετηρία την τιμή που υπολογίσατε για το έργο WFεπ της δύναμης επαναφοράς της ταλάντωσης με εξίσωση x(t) και τις τιμές των έργων των δύο προηγούμενων δυνάμεων, να επαληθεύσετε τη σχέση που 23

24 Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα είναι καλό για όλους συνδέει τις τιμές των Ε, Ε 1, Ε 2. Β. Θεωρούμε ότι οι εξισώσεις x 1 (t) και x 2 (t) είναι οι εξισώσεις δύο αρμονικών ταλαντώσεων. Αυξάνουμε την τιμή της γωνιακής συχνότητας της ταλάντωσης με εξίσωση απομάκρυνσης x 2 (t) κατά 10% και διατηρούμε τις ίδιες συνθήκες ταλάντωσης για την ταλάντωση με εξίσωση απομάκρυνσης x 1 (t).οι δύο ταλαντώσεις πραγματοποιούνται στην ίδια διεύθυνση και έχουν την ίδια θέση ισορροπίας. Β 1.Να γράψετε την εξίσωση κίνησης του σώματος x (t) που προκύπτει από την σύνθεση των εξισώσεων x 1 (t) και x 2 (t).στην εξίσωση x (t) να υποδείξετε έναν όρο που διαμορφώνει τα όρια για τις τιμές της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας του και να συμβολίσετε την απόλυτη τιμή του ως A Β 2.Να υπολογίσετε το πλήθος των μεγιστοποιήσεων του όρου A, σε χρόνο t=20t,όπου Τ 1 η περίοδος της ταλάντωσης με εξίσωση απομάκρυνσης x(t) Σύνθεση ταλαντώσεων. Ποια η διαφορά φάσης; Διονύσης Μάργαρης 23/10/11.Δύο αρμονικές ταλαντώσεις έχουν την ίδια διεύθυνση και εξισώσεις i) Ποια τα πλάτη και οι συχνότητες των δύο ταλαντώσεων και ποια η διαφορά φάσεως μεταξύ τους; ii) Ποια η εξίσωση της κίνησης που προκύπτει από τη σύνθεση των δύο παραπάνω ταλαντώσεων; iii) Να βρείτε την απομάκρυνση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σημείου που κάνει τη συνισταμένη ταλάντωση κατά τη χρονική στιγμή t 1 =2s. Υλικό Φυσικής - Χημείας. Επειδή το να μοιράζεσαι πράγματα, είναι καλό για όλους. 24