U(t,x) R m w i, i = 1,2,... t = τ i W R p º f(t,x,u) g(x,w) (t,x,u) [t 0,+ ) R n R m (x,w) R n R p ¹ U(t,x) (t,x) [t 0,+ ) R n

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "U(t,x) R m w i, i = 1,2,... t = τ i W R p º f(t,x,u) g(x,w) (t,x,u) [t 0,+ ) R n R m (x,w) R n R p ¹ U(t,x) (t,x) [t 0,+ ) R n"

Πελαγία Θεοτόκης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ¾¼½ º þ º ¾ µ ½ º º º ü üü üþ þ þ º º ¹ º ¹ º þ ½ ¹ M. = { (tx) [t 0 ) R n : x M(t) } ¹ º ¹ Mº x(tx 0 ) freq(x) ¹ M [0] x(tx 0 ) M(t) º ¹ freq (x) freq (x)º ¹ κ κ [0] ¹ º þ ¹ freq (x) κ freq (x) κ. ¹ º ¹ M º ï ½º ẋ = f(txu) t τ i x t=τi = g(xw i ) (txuw i ) [t 0 + ) R n R m R p. ½µ R n n¹ x = xx u ¹ U(tx) R m w i i = t = τ i W R p º f(txu) g(xw) (txu) [t 0 + ) R n R m (xw) R n R p ¹ U(tx) (tx) [t 0 + ) R n ½µ º {τ i } i=0 t 0 = τ 0 < τ 1 < τ 2 <... lim τ i = +. i

2 ½º ½µ t (u(t)w(t)x(t)) R m R p R n ½µ u(t) I = (0τ 1 ) (τ 1 τ 2 )... ¾µ w(t) = 0 t I w(τ i ) = w i w i W i = x t=τi = x(τ i ) x(τ i 0) = g(xw i ); µ x(t) ẋ = f(txu(t)) t (τ i τ i+1 ) i = x(τ i ) = x(τ i 0)+g(xw i ) µ u(t) U(tx(t))º (u(t)w(t)x(t)) u(t) w(t) ¹ ½µº þ M =. { (tx) [t 0 + ) R n : x M(t) } t M(t) º t [t 0 + ) M(t) º M ε (t) ε¹ ¹ M(t) x R n (xm(t)) ε N ε (t) = M ε (t)\m(t) ε¹ M(t) (xm) = inf x y y M x R n M R n µº M ε. = { (tx) [t0 + ) R n : x M ε (t) } N ε. = { (tx) [t0 + ) R n : x N ε (t) }. ¾ º ¾ µº V(tx) (tx) [t 0 + ) R n M ¹ (tx) ½µ V(tx) 0 (tx) M ¾µ V(tx) > 0 r > 0 (tx) N r º ẋ = f(txu) ẋ F(tx) ¾µ (tx) [t 0 + ) R n F(tx) f(t i x i U(t i x i )) (t i x i ) (tx)º ý F(tx) º U(tx) ¹ (tx) F(tx) x 0 R n ¾µ º º ¼ µº ½º x 0 M r (t 0 ) ϕ(tx 0 ) ¾µ ¹ ϕ(t 0 x 0 ) = x 0 t t 0. º µº V(tx) ¹ (tx) [t 0 + ) R n q = (1p) p R n ¹ º µ V o (tx;q). = limsup (εy) (0+0x) V(t+εy +εp) V(ty) ε Vmin o (tx) =. inf V o (tx;q) Vmax(tx) o =. sup V o (tx;q) ¹ p F(tx) p F(tx) V(tx) ¹ ¾µº ½¼¼

3 ż = q(tz) t τ i z t=τi = l(z) (tz) [t 0 + ) R µ q(tz) z l(z) º þ ¹ L(z) = l(z)+z L(z) z Rº º µº þ x(tx 0 ) ½µ M. = { (tx) [t 0 ) R n : x M(t) } freq (x). = lim mes{t [0] : x(tx 0 ) M(t)} mes º ü freq (x) µº freq (x) = freq (x) freq(x). = lim mes{t [0]: x(tx 0 ) M(t)} x(tx 0 ) Mº κ. = lim mes{t [0] : z(t) 0} z(t) µº κ. = lim mes{t [0] : z(t) 0}. κ = lim mes{t [0] : z(t) 0}. ï ¾º ¹ ¹ ¹ º ¹ º ½º V(tx) q(tz) l(z) V(tx) M (tx) [t 0 ) R n Vmax o (tx) q(tv(tx)) max V(τ ix+g(xw)) L(V(τ i x)) i = w W µ z(t) µ z(t 0 ) = V(t 0 x 0 )º x(tx 0 ) ½µ x(t 0 x 0 ) = x 0 freq (x) κ freq (x) κ. º x(tx 0 ) ½µ x(t 0 x 0 ) = x 0 [t 0 + ). v(t) = V(tx(tx 0 )) ¾ ¹ v(t) V o max(tx(tx 0 )) ½¼½

4 µ v(t) q(tv(t)) ¹ v(t)º v(t 0 ) = V(tx(t 0 x 0 )) = V(t 0 x 0 ) = z 0 º º ½ µ v(t) z(t) t [t 0 τ 1 ). µ v(τ 1 ) = V(τ 1 x(τ 1 x)) = V(τ 1 x(τ 1 0x 0 )+g(x(τ 1 0x 0 )w 1 )) max w W V(τ 1x(τ 1 0x 0 )+g(x(τ 1 0x 0 )w)) L(V(τ 1 x(τ 1 0x 0 ))) = L(v(τ 1 0)). v(τ 1 ) L(v(τ 1 0)) L(z(τ 1 0)) L(z) º z(τ 1 ) = L(z(τ 1 0)) v(τ 1 ) z(τ 1 )º ¹ [τ i τ i+1 ) i = v(t) z(t) t [t 0 + ). mes{t [0] : v(t) 0} mes{t [0] : z(t) 0}. freq (x) =. mes{t [0] : x(tx 0 ) M(t)} lim lim mes{t [0] : z(t) 0} mes{t [0] : v(t) 0} = lim = κ. freq (x) κ freq (x) κ. ¾º V(tx) q(tz) l(z) V(tx) M (tx) [t 0 ) R n V o min(tx) q(tv(tx)) min w W V(τ ix+g(xw)) L(V(τ i x)) i = µ z(t) µ z(t 0 ) = V(t 0 x 0 )º x(tx 0 ) ½µ x(t 0 x 0 ) = x 0 freq (x) κ freq (x) κ. º Ũ(tx). = {u U(tx) : V o (tx;f(txu)) q(tv(tx))} W. = {w W : V(τ i x+g(xw)) V(τ i x) i = 12...}. Ũ(tx) (tx) [t 0+ ) R n Ũ(tx) U(tx)º Ũ(tx) º {u i} i=1 u i Ũ(tx) u i u f(txu i ) f(txu) f V o (tx;f) º ¾ V o (tx;f(txu)) = lim i V o (tx;f(txu i )) 0. Ũ ẋ F(tx) F(tx) = co H(tx) µ H(tx) f(t i x i Ũ(t ix i )) (t i x i ) (tx) (tx) H(tx) (tx) F(tx) º ϕ i (tx i ) µ ϕ i (τ i x i ) = x i i = ½¼¾

5 (tx) [t 0 ) R n Ũ(tx) U(tx) F(tx) F(tx)º ϕ i (tx i ) µ ¾µ ½ t t 0 º x(tx 0 ) ½µ x(t 0 x 0 ) = x 0 [t 0 τ 1 ) ϕ 0 (tx 0 ) [τ i τ i+1 ) ϕ i (tx i ) x i = ϕ i 1 (τ i x i 1 )+g ( ϕ i 1 (τ i x i 1 )w i ) wi W i = v(t) = V(tx(tx 0 )) µ ¹ v(t) q(tv(t)) º µº v(t) τ 1 º µ v(τ 1 ) = V(τ 1 x(τ 1 x 0 )) = V(τ 1 x(τ 1 0x 0 )+g(x(τ 1 0x 0 )w)) L(V(τ 1 x(τ 1 0x 0 ))) = L(v(τ 1 0)). v(τ 1 ) L(v(τ 1 0)) L(z(τ 1 0)) L(z) º z(τ 1 ) = L(z(τ 1 0)) v(τ 1 ) z(τ 1 )º τ i v(t) z(t) t [t 0 + )º mes{t [0] : v(t) 0} mes{t [0] : z(t) 0}. freq (x) κ freq (x) κ. D(tX) ½µ t ¹ X. X D(tX) t t 0. x X x(tx 0 ) ½µ x(t 0 x 0 ) = x 0 R + = [0 ). þ α(x). = { t [0] : D(tX) M(t) }. º µº ¹ D(tX) ½µ M freq(x) =. mesα(x) lim = lim mes{t [0] : D(tX) M(t)} µ mes º µ freq (X) =. mesα(x) lim freq (X) =. mesα(x) lim M. º µº M ½µ freq ( M(0) ). mes { t [0] : D ( tm(0) ) M(t) } = lim freq ( M(0) ) = 1. ½º V(tx) ¹ M (tx) [t 0 ) R n µ κ = 1 M ½µº ½¼

6 º µº M ¹ ½µ x M(0) x(tx 0 ) ½µ t 0 x(t 0 x 0 ) = x 0 freq (x) =. mes{t [0] : x(tx 0 ) M(t)} lim = 1. ¾º V(tx) ¹ M (tx) [t 0 ) R n µ κ = 1 M ½µº ½º ºº ¹»» þ º º º º ¾¼½ º þ º ½º º ½ º ¾º ºüº º º ¹»» º þºüº º ¾¼¼ º º ¾ ¾º º ¾¼¾ ¾¾½º º üº º º º ½ º ¾¾ º º º º º ½ º ¼¼ º º º º ¹»» º ¾¼½¾º þ º ¾ ¼µº º ½ º º º º ¹»» º º ¾¼½ º í ½½º º ¾¼ ¾º º º º º º»» º ¾¼¼ º º º í ¾º º ¾ ¾ º º ºüº º º º ½ ¼º ½¼¾ º ¾ º¼ º¾¼½ ¹ ¾ ¼ º º ½º ¹Ñ Ð Ý Ò Ð Ö Ò Ñ ÐºÖÙ Ya. Yu. Larina Statistical characteristics of control systems with impulsive action Keywords: control systems attainability set differential inclusions statistical characteristics. MSC: 34A60 37N35 We consider the control systems with impulsive action at fixed time moments. We get estimations of statistical characteristics such as upper and lower relative frequency of entering solutions to a predetermined set. We also obtain the conditions under which the set is statistically invariant or statistically weakly invariant with respect to the control system with impulsive effect. REFERENCES 1. Larina Ya.Yu. Lyapunov functions and comparison theorems for control systems with impulsive actions Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh. Komp yut. Nauki 2015 vol. 25 no. 1 pp (in Russian). 2. Panasenko E.A. Tonkov E.L. Invariant and stably invariant sets for differential inclusions Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics 2008 vol. 262 pp Filippov A.F. Differentsial nye uravneniya s razryvnoi pravoi chast yu (Differential equations with discontinuous right-hand side) Moscow: Nauka p. 4. Clarke F. Optimization and nonsmooth analysis Wiley Translated under the title Optimizatsiya i negladkii analiz Moscow: Nauka p. 5. Rodina L.I. Invariant and statistically weakly invariant sets of control systems Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos. Univ no. 2 (40) pp (in Russian). 104

7 6. Rodina L.I. Estimation of statistical characteristics of attainability sets of controllable systems Russian Mathematics 2013 vol. 57 no. 11 pp Rodina L.I. Tonkov E.L. Statistical characteristics of attainable set of controllable system nonwandering and minimal attraction center Nelin. Dinam vol. 5 no. 2 pp (in Russian). 8. Chaplygin S.A. Novyi metod priblizhennogo integrirovaniya differentsial nykh uravnenii (A new method of approximate integration of differential equations) Moscow Leningrad: Gostekhizdat p. Received Larina Yana Yur evna Post-graduate student Department of Mathematical Analysis Udmurt State University ul. Universitetskaya 1 Izhevsk Russia. yana larina89@mail.ru ½¼

Σχετικά έγγραφα

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал

Math-Net.Ru Общероссийский математический портал Mth-Net.u Общероссийский математический портал М. Ю. Ватолкин, О собственных функциях и собственных значениях одной квазидифференциальной краевой задачи второго порядка, Изв. ИМИ УдГУ, 25, выпуск 246),