F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2"

Transcript

1

2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) kx2

3 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) U (0) x 2 U(0) = a, U (0) = k U(x) = a kx2 F (x) = d U(x) = kx dx y F=-kx O x y F=-kx O x

4 ω = k m mẍ = kx ẍ + ω 2 x = 0, x e λt λ 2 + ω 2 = 0 λ ± = ±iω x(t) = Ae iωt + Be iωt e ±iωt = ωt ± i ωt x(t) = C ωt + D ωt δ = D/C x(t) = Acos(ωt δ) v(t) = ẋ(t) = Aω (ωt δ) E = K + U = 1 2 ka2 x(t), v(t) x(0) = x 0, v(0) = 0 x(0) = A δ = x 0, v(0) = Aω δ = 0 x 0 = A, δ = 0 x(0) = 0, v(0) = v 0 x(t) = x 0 (ωt), v(t) = x 0 ω( ωt) x(0) = A δ = 0, v(0) = Aω δ = v 0 δ = 0, A = v 0 /ω x(t) = v 0 ω (ωt), v(t) = v 0 (ωt)

5 f = b v cv 2ˆv ˆv x f = bv = bẋ mẍ + bẋ + kx = 0 b m = 2α, k m = ω2 0 ẍ + 2αẋ + ω 2 0x = 0 x e λt λ 2 + 2αλ + ω 2 0 = 0 λ 1,2 = α ± α 2 ω0 2 ( x(t) = e Ae αt α 2 ω0 2t t + Be α 2 ω0 2t)

6 b = 0 α = 0 x(t) = Ae iω 0t t + Be iω 0t x(t) = x 0 (ω 0 t δ) α < ω 0 α 2 ω 20 = i ω 2 0 α2 = iω 1 ω 1 = ω 2 0 α2 x(t) = e αt ( Ae iω 1t t + Be iω 1t ) x(t) = Ae αt (ω 1 t δ) A(t) = Ae αt ω 1 < ω 0 x(t) α [α 1 ] = [T ] τ = m b = 1 2α

7 K 0, U 0 K, U t K + U = K 0 + U 0 + W µδ E(t) = E 0 + W µδ W µδ f = bv t t W µδ = fdr = fvdt = bv 2 dt < 0 0 W µδ < 0 E(t) α ω 1 v = ẋ = d ( Ae αt (ω 1 t δ) ) dt = ω 1 Ae ( (ω αt 1 t δ) + α ) (ω 1 t δ) ω 1 0 α ω 1 v = ω 1 Ae αt (ω 1 t) x t t

8 K(t) = 1 2 mω2 1A 2 e 2αt 2 (ω 1 t) U(t) = 1 2 kx2 = 1 2 ka2 e 2αt 2 (ω 1 t δ) E(t) = 1 2 ka2 e 2αt ( mω (ω 1 t δ) + k 2 (ω 1 t δ) ) k = mω 2 0 ω 1 ω 0 E(t) = 1 2 ka2 e 2αt mω0 2 ( 2 (ω 0 t δ) + 2 (ω 0 t δ) ) E(t) = k 1 2 A2 e 2αt = E 0 e 2αt τ = 1/(2α) E(t) = e t τ E0 1/e α > ω 0 α 2 ω0 2 = β > 0 ( x(t) = e αt Ae βt + Be βt) β < α x(0) = 0, v(0) = v 0

9 x(t)ce αt (βt) v(t) = e αt (β (βt) α (βt)) α = ω 0 α λ 1, λ 2 λ 1 = λ 2 x(t) = Ae αt te αt x(t) = (A + Bt)e αt x t v t t t 0.04 x t t

10 F (t) mẍ + bẋ + kx = F (t) b k m = 2α, ω F (t) 0 =, f(t) = m m ẍ + 2αẋ + x = f(t) L = d2 dt 2 + 2α d dt + ω2 0 Lx(t) = f(t) f(t) x µ (t) x 1 (t), x 2 (t) x(t) = x µ (t) + Ax 1 (t) + Bx 2 (t) Lx(t) = Lxµ(t) + ALx 1 (t) + BLx 2 (t) = f(t) + A 0 + B 0 = f(t)

11 f(t) = f 0 (ωt) Lx(t) = ẍ + 2αẋ + x = f 0 (ωt) y(t) f 0 Ly(t) = ÿ + 2αẏ + y = f 0 (ωt) z(t) = x(t) + iy(t) Lx(t) + ily(t) ẍ + iÿ + 2α(ẋ + iẏ) + x + iy = f 0 (ωt) + if 0 (ωt) ẍ + iÿ = z (ωt) + i (ωt) = e iωt z(t) Lz(t) = z(t) + 2αż(t) + ω 2 0z(t) = f 0 e iωt z(t) = Ce iωt ( ω 2 + 2αω i + ω 2 0) z(t) = f 0 e iωt C = ω 2 0 f 0 + 2αω i ω2

12 C f 0 C C = C e iδ δ C C CC = C 2 = f 2 0 (ω 2 0 ω2 ) 2 + 4α 2 ω 2 f 0 e iδ = C (ω αω i ω 2 ) f 0 ( δ + i δ) = C (ω αω i ω 2 ) δ = 2αω ω 2 0 ω2 C z(t) = Ce iωt = C e i(ωt δ) x(t) + iy(t) = C ( (ωt δ) + i (ωt δ)) x(t) = C (ωt δ) x oµ (t) = Ae λ +t + Be λ t, λ ± = α ± α 2 ω0 2 x(t) = C (ωt δ) + Ae λ +t + Be λ t

13 t (Aeλ +t + Be λ t ) 0 t x(t) = C (ωt δ), για t α < ω 0 λ ± = α ± i ω0 2 α2 = α ± iω 1 x oµ = Ae αt (ω 1 t δ 1 ) x(t) = C (ωt δ) + Ae αt (ω 1 t δ 1 ) C 2 = f 2 0 (ω 2 0 ω2 ) 2 + 4α 2 ω 2

14 C f 0 ω 0 ω α α ω 0 (2αω 0 ) 2 ω ω 0 C ω ω 0 ω = ω 0 C max = f 0 2αω 0 D = (ω0 2 ω2 ) 2 + 4α 2 ω 2 dd dω = 0 ω = ω0 2 2α2 α ω 0 C max f 0 /(2αω 0 ) x t t 1 t

15 α ω = ω 0 C 2 C( ω) 2 = 1 2 C 2 max 4αω 2 0 (ω 2 ω 2 0 )2 + 4α 2 ω 2 0 = 1 2 x = ω 2 ω0 2 x 2 4α 2 x 4α 2 ω 2 0 = 0 ω 0 α ω ω 0 ± α δ ( ) 2αω δ = arctan ω0 2 ω2 ω ω 0 δ = arctan ( ) = π 2 C C2 w, 1 2, 1 6 C2 w, 1 2, 1 8 C2 w, 1 2, Ω C 2 ω = ω 0

16 ω ω ω 0 ω ω 0 δ π 2 π 2 ω δ = π/2 ω = ω 0 δ = π/2 α ω ω 0 δ π Ω Ω Ω 0 δ ω = ω 0 π 2

17 m k l ω m ω R l k(r l) = m v2 R = mω2 R ω 0 = k m ω 2 0(R l) = ω 2 R R = l 1 ω2 ω 2 0 ω ω 0 R ω < ω 0 ϵ R r = R + ϵ F = (F r, F ϕ ) F ϕ = 0 F r = m( r r ϕ 2 ) = k(r l) F ϕ = m(r ϕ + 2ṙ ϕ) r rf ϕ = m(r 2 ϕ + 2rṙ ϕ) = 0

18 d dt (r2 ϕ) = 0 r 2 ϕ = C R 2 ω = r 2 ϕ ϕ = R 2 r 2 ω ϕ F r ) m ( r R4 r 3 ω2 = k(r l) R = 0 r = ϵ + R r = ϵ m ϵ R4 (ϵ + R) 3 ω2 = ω 2 0(ϵ + R l) ϵ/r 1 ( ε R + 1) 3 1 3ϵ R + 6ϵ2 R 2 + O ( ϵ 3) ϵ ϵ + 3ω 2 ϵ ω 2 R = ω 2 0(ϵ + R l) ω 2 0 (R l) = ω2 R ϵ + (3ω 2 + ω 2 0)ϵ = 0 ϵ = A (ω 1 t δ) A, δ ω 1 ω 1 = 3ω 2 + ω 20 = 3ω 2 + k m

19 m P k Q t = 0 v 0 ŷ R = OP = OQ = P Q/2 T = (0, R) k m r = k r, r = (x, y) ω 2 = k m x(t) = A (ωt δ 1 ) y(t) = B (ωt δ 2 ) T = 2π/ω A, B, δ 1,2 δ 2 = 0, δ 1 = δ x(t) = A (ωt δ) y(t) = B (ω) y T 0 P O Q x

20 δ δ = 0, π 2 δ = 0, ϕ = y x = A y A x δ = π 2 A, B ( x A ) 2 + ( y B ) 2 = 1 A, B x, y δ 0, π 2 x, x, y δ = 0, π 4, π 2

21 δ 1 = 0 ( x a y ) 2 ( x ) 2 + = 1 b c a, b, c y(x) δ 2 = 0, π/4, π/2 δ 2 π/2 ( x A 2 y ) 2 ( x ) 2 + = 1 B A ω 1 = 2ω 2 δ = 0, π 4, π 6

22 k 1 k 2 ω 2 1 = k 1 m, ω2 2 = k 2 m T 1 = 2π, T 2 = 2π ω 1 ω 2 m(ẍî + ÿĵ) = (k 1 xî + k 2 yĵ) x(t) = A (ω 1 t δ 1 ) y(t) = B (ω 2 t δ 2 ) n 1, n 2 T = n 1 T 1 = n 2 T 2 ω 1 ω 2 = n 1 n 2 [ A, A] [ B, B] k 1 = n 1 ω1 = n 1 k 2 n 2 ω 2 n 2

23 x 1 x 2 x 1 (0) = x 2 (0) = 0, ẋ 1 (0) = υ 1, ẋ 2 (0) = 0 x 1 x 2 mẍ 1 + mg x 1 + k(x 1 x 2 ) = 0 l mẍ 2 + mg x 2 + k(x 2 x 1 ) = 0 l Laplace L[ẍ 1 (t)] = s 2 ( ) ( ) = ( ) υ L[ẍ 2 (t)] = s 2 ( ) ω 1 = 2, 5 ω2 = 2 δ = π 6

24 Laplace { m(s 2 υ) = mg } l + ( ) ms 2 = mg l + ( ) F 1, F 2 υ(s 2 + g l ( ) = + k m ) (s 2 + g l ) (2 k m + g l + s2 ) = υ { 1 2 s 2 + g l + 2 k + 1 } s 2 + g m l = υ { 1 2 s 2 + A } s 2 + B 2 F 2 ω 2 1 = g l, ω2 2 = k m x n (t) = υ [ω 1 t] + ( ) n 1 [( ω ω2 2 )t] 2 g ω 2 l 1 + 2ω2 2 n = 1, 2 x 1, x 2 ω 1 = 1, ω ω2 2 =

25 m r U(r) = A( r R + a2 R r ) 0 < r < a, A, R r 0 k f(x, y) = 1 x(t) = A (2ωt) y(t) = B (ωt δ) δ = 0, π 4 k k 1, k 2 x 1, x 2 mẍ 1 = k 1 x 1 k 2 (x 1 x 2 ) mẍ 2 = k 1 x 2 k 2 (x 2 x 1 ) x = ( x1 x 2 ) ( 1 A = 1 ) k 1 M k 2 M k 1

26 r = ω 2 1 /ω2 2 d 2 dt 2 x + ω2 2A x = 0 R R 1 AR = I d 2 dt 2 R 1 x + ω 2 2R 1 ARR 1 x = 0 y = R 1 x a 1, a 2 ÿ 1 + ω 1 y 1 = 0, ÿ 2 + ω1 2 + ω2 2 y 2 = 0 a 1, a 2 ẍ + 2aẋ + ω 2 0x = f(t) f(t) h T h

27 l m ϕ x y F ϕ = m(r ϕ + 2ṙ ϕ), F r = m( r r ϕ 2 ) r = l = ṙ = r = 0 F ϕ = ml ϕ, F r = ml ϕ 2 mg mg ϕ, mg ϕ T mg ϕ mg ϕ ml ϕ = mg ϕ ml ϕ 2 = T mg ϕ mg ϕ ϕ T ϕ + g l ϕ = 0 ϕ ϕ ϕ + g l ϕ = 0 ϕ(t) = C (ωt + δ), ω = g l

28 ϕ ϕ d dt ϕ ϕ + ω 2 ϕ ϕ = 0 ( ) 1 2 ϕ 2 ω 2 ϕ = ϕ 2 ω 2 ϕ = C ml 2 ml 2 C = E 1 2 m(l ϕ) 2 mgl ϕ = E s = lϕ v = ṡ = l ϕ K = 1 2 mv2 U = mgl ϕ K + U = E ϕ max < π v ϕmax = 0 ϕ max = 0 C = ω 2 ϕ max ϕ 1 2 ϕ 2 = ω 2 ϕ ω 2 ϕ max ϕ = ± 2ω ϕ ϕ max

29 ϕ = dϕ dt dt = ± 1 dϕ 2ω ϕ ϕmax ϕ = [0, ±ϕ max ] l ϕmax dϕ T = 4 2g ϕ ϕmax 0 ( D = ϕ ϕ max = 2 2 ϕ max 2 ϕ ) 2 2 k 2 = 2 ϕ max 2 D = 2(k 2 2 ϕ 2 ) θ ϕ 2 = k θ D D = 2k 2 2 θ θ = [0, π 2 ] dϕ = 2k θdθ ϕ/2 = 2k θdθ 1 2 ϕ/2 dϕ = 2k θdθ 1 k 2 2 θ

30 D ϕ max < π l T = 4 g π/2 0 dθ 1 k 2 2 θ ϕ 2 = k θ, k = ϕ max 2 T O y mg x O y T e e r mgsin mgcos x mg

31 k K( k2 k 2 1 ) π/2 dθ 1 k 2 = 0 1 k 2 2 θ k k k = 0 T = 2π l/g τ = T 4 l/g k 1 k k2 2 (θ) k4 4 (θ) + O ( k 5) ϕ 0 = π ϕ0 0 dϕ dt = ± ϕ ω2 (1 + ϕ) v = l ϕ v = ± 2gl ϕ ϕ max 2.4 Τ k τ

32 ϕ max ϕ max = π v = ± 2gl ϕ + 1 ϕ = ±nπ ϕ = 0 v = ±2 gl x ϕ/π v ϕ < π m k l 0 T 0 x x 1 (t) = A (5πt), y 1 (t) = B (3πt δ) φ φ Π

33 x 2 (t) = A (πt), y 2 (t) = B ( 2πt) m v M L R C V I(t) Kirchoff v 1 AB, DC l l 0 m l 0 T T 0 0 l l m m m M

34 R + - L C l AB 3l/2 CD h A d h > d > d 0 F (r) t m d2 r dt 2 = L2 mr 3 + F (r) ϕ d 2 u + κu + λf(u) = 0 dϕ2 C D A B

35 κ f(u) F (r) ( 1 F (r) = k r 2 l ) r 3 k, l r(ϕ) A d d 0

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 r 1, r 2 r = r 1 r 2 = r 1 r 2 ê r = rê r F 12 = f(r)ê r F 21 = f(r)ê r f(r) f(r) < 0 f(r) > 0 m 1 r1 = f(r)ê r m 2 r2 = f(r)ê r r = r 1 r 2 r 1 = 1 m 1 f(r)ê r r 2 = 1 m

Διαβάστε περισσότερα

m i N 1 F i = j i F ij + F x

m i N 1 F i = j i F ij + F x N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,

Διαβάστε περισσότερα

m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx

m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) x F = F (x) m dv dt = F (x) d dt = dx dv dt dx = v dv dx vdv = F (x)dx 2 mv2 x 2 mv2 0 = F (x )dx x 0 K = 2 mv2 W x0 x = x x 0 F (x)dx K K 0 = W x0 x x, x 2 x K 2 K =

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ. 31 Εκκρεµή - Απλό εκκρεµές θ l T mg r F Αυτή η εξίσωση είναι δύσκολο να λυθεί. Δεν µοιάζει µε τη γνωστή εξίσωση Για µικρές γωνίες θ µπορούµε όµως να γράψουµε Εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

Ταλαντώσεις 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση Ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο Σχήµα 6.1

Ταλαντώσεις 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση Ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο Σχήµα 6.1 6 Ταλαντώσεις 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση 6.1.1 Ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο Υποθέτουµε ότι το ελατήριο έχει αρχικό µήκος µηδέν, ιδανικό ελατήριο. F=-kx x K M x Σχήµα 6.1 ιαστάσεις µεγεθών

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Μετασχηµατισµούς Laplace και Fourier και τα Συστήµατα Εξισώσεων

Ασκήσεις στους Μετασχηµατισµούς Laplace και Fourier και τα Συστήµατα Εξισώσεων Ασκήσεις στους Μετασχηµατισµούς Laplace και Fourier και τα Συστήµατα Εξισώσεων Ε Κάππος 4 εκεµβρίου 7 Περιεχόµενα Ασκήσεις στο µετασχηµατισµό Laplace Ασκήσεις στα Συστήµατα Εξισώσεων 5 3 Ασκήσεις Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 1.1 Βασικές έννοιες και ορισμοί

Κεφάλαιο 1 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 1.1 Βασικές έννοιες και ορισμοί Κεφάλαιο 1 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η έννοια της διαφορικής εξίσωσης εμφανίστηκε για πρώτη φορά στο νόμο του Νεύτωνα. Από τότε διαφορικές εξισώσεις ανακύπτουν σε όλες τις φυσικές επιστήμες, αλλά και

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000

Διαβάστε περισσότερα

Λαμβάνοντας επιπλέον και την βαρύτητα, η επιτάχυνση του σώματος έχει συνιστώσες

Λαμβάνοντας επιπλέον και την βαρύτητα, η επιτάχυνση του σώματος έχει συνιστώσες Μικρό σώμα μάζας m κινείται μέσα σε βαρυτικό πεδίο με σταθερά g και επιπλέον κάτω από την επίδραση μιας δύναμης με συνιστώσες F x = 2κm και F y = 12λmt 2 όπου κ και λ είναι θετικές σταθερές σε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Ύλη πάνω στις ταλαντώσεις :

Ύλη πάνω στις ταλαντώσεις : Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις Ύλη πάνω στις ταλαντώσεις : Απλή αρμονική κίνηση (ΑΑΤ SHO) F και E της απλής αρμονικής κίνησης Η δυναμική της ΑΑΚ (αντίστροφο) Απλό εκκρεμές Φυσικό εκκρεμές (στροφικό εκκρεμές)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

Έργο Κινητική Ενέργεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1

Έργο Κινητική Ενέργεια. ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1 Έργο Κινητική Ενέργεια ΦΥΣ 131 - Διαλ.16 1 Είδη δυνάµεων q Δύο είδη δυνάμεων: Ø Συντηρητικές ή διατηρητικές δυνάμεις και μή συντηρητικές ü Μια δύναμη είναι συντηρητική όταν το έργο που παράγει ασκούμενη

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. A(x 1, x 2 )

Περιεχόμενα. A(x 1, x 2 ) Περιεχόμενα A(x 1, x 2 7 Ολοκληρώματα της Μαγνητοϋδροδυναμικής και Μαγνητοϋδροδυναμικά Κύματα Σχήμα 7.1: Οι τριδιάστατες ελικοειδείς μαγνητικές γραμμές στις οποίες εφάπτεται το διάνυσμα του μαγνητικού

Διαβάστε περισσότερα

y(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V

Διαβάστε περισσότερα

ϕ n n n n = 1,..., N n n {X I, Y I } {X r, Y r } (x c, y c ) q r = x a y a θ X r = [x r, y r, θ r ] X I = [x I, y I, θ I ] X I = R(θ)X r R(θ) R(θ) = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 Ẋ I = R(θ)Ẋr y r ẏa r

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 4// ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ α) Για δεδομένη αρχική ταχύτητα υ, με ποια γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙΙ 8 Ιουλίου 2013

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙΙ 8 Ιουλίου 2013 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική ΙΙ 8 Ιουλίου 013 ΘΕΜΑ Α [35 μόρια] Θεωρήστε τη Λαγκραντζιανή L(x, ẋ, t που εξαρτάται απο τη θέση x ενός σωματιδίου πάνω σε μια ευθεία, το χρόνο t,

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 131 Τελική Εξέταση: 13-Δεκεμβρίου-2006

ΦΥΣ. 131 Τελική Εξέταση: 13-Δεκεμβρίου-2006 Σειρά Θέση ΦΥΣ. 3 Τελική Εξέταση: 3-Δεκεμβρίου-6 Πριν αρχίσετε συμπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοματεπώνυμο και αριθμό ταυτότητας). Ονοματεπώνυμο Αριθμός ταυτότητας Σας δίνονται ισότιμα προβλήματα ( βαθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Επιµέλεια: Ι. Σπηλιώτης Άσκηση.3 σελ.45 Εξάγονται δύο σφαίρες από την Α και τοποθετούνται στην Β. Υπάρχουν τρία δυνατά ενδεχόµενα: Ε : εξάγονται δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση (Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Συμπαγής κύλινδρος μάζας Μ συνδεδεμένος σε ελατήριο

ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση (Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση 1 : Συμπαγής κύλινδρος μάζας Μ συνδεδεμένος σε ελατήριο ΦΥΕ 4 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 9-5-8 (Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες) Άσκηση : Συμπαγής κύλινδρος μάζας Μ συνδεδεμένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αμελητέας μάζας, κυλίεται, χωρίς να σύρεται,

Διαβάστε περισσότερα

( ) = Ae + ω t + Be ω t ασταθές σημείο ισορροπίας ( ) = Asin( ωt) + Bcos( ωt) ευσταθής ισορροπία

( ) = Ae + ω t + Be ω t ασταθές σημείο ισορροπίας ( ) = Asin( ωt) + Bcos( ωt) ευσταθής ισορροπία Ταλαντώσεις ΦΥΣ 211 - Διαλ.20 1 q Για μονοδιάστατο σύστημα το οποίο βρίσκεται σε ισορροπία στο q 0 : V ( q) dv dq q=q0 = 0 B A C q q Αναπτύσοντας γύρω από το q 0, η δυναμική του συστήματος είναι αυτή του

Διαβάστε περισσότερα

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α

Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Α Ρ Χ Α Ι Α Ι Σ Τ Ο Ρ Ι Α Π Ο Λ Ι Τ Ι Κ Α Κ Α Ι Σ Τ Ρ Α Τ Ι Ω Τ Ι Κ Α Γ Ε Γ Ο Ν Ο Τ Α Σ η µ ε ί ω σ η : σ υ ν ά δ ε λ φ ο ι, ν α µ ο υ σ υ γ χ ω ρ ή σ ε τ ε τ ο γ ρ ή γ ο ρ ο κ α ι α τ η µ έ λ η τ ο ύ

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου

Μοντέρνα Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Μαθηματικά Μοντέλα Συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 13. Περιοδική Κίνηση

Κεφάλαιο 13. Περιοδική Κίνηση Κεφάλαιο 13 Περιοδική Κίνηση Περιοδική Κίνηση Η ταλαντωτική κίνηση είναι σημαντική Είναι μια πάρα πολύ κοινή κίνηση. Βάση για κατανόηση της κυματικής κίνησης Κάθε σύστημα που βρίσκεται σε ευσταθή ισορροπία

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Δ.Ε. με Laplace

Επίλυση Δ.Ε. με Laplace Επίλυση Δ.Ε. με Laplace Ν. Παπαδάκης 24 Οκτωβρίου 2015 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 1 / 78 Περιεχόμενα 1 Παρουσίαση Προβλήματος Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Ορισμός Άλλες μορϕή

Διαβάστε περισσότερα

= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική

= λ. u t = u xx UT = U T T T = U U. Οσον αφορά τη χρονική εξίσωση έχουμε. T + λt =0 T (t) =e λt. ενώ για τη χωρική Prìlhm Το φυσικό πρόβλημα είναι: τοίχος σε επαφή με λουτρό θερμοκρασίας T = αριστερά και μονωμένος δεξιά, με αρχική θερμοκρασία T =.Θέτουμεu(x, t) = U(x)T (t), οπότεu t = UT και u xx = U T, και προχωράμε

Διαβάστε περισσότερα

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ

(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ η ΕΡΓΑΣΙΑ. Προθεσµία παράδοσης 16/11/10

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ η ΕΡΓΑΣΙΑ. Προθεσµία παράδοσης 16/11/10 9// ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 3 - η ΕΡΓΑΣΙΑ Προθεσµία παράδοσης 6// Άσκηση A) Θεωρούµε x την απόσταση της µάζας m από το σηµείο ισορροπίας της και x, x3 τις αποστάσεις των µαζών m και m3 από το

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ. ΚΥΛΙΣΗ, ΡΟΠΗ και ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ. ΚΥΛΙΣΗ, ΡΟΠΗ και ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Γωνιακή Μετατόπιση & Ταχύτητα Περιστροφική Κινητική Ενέργεια & Ροπή Αδράνειας Υπολογισμός Ροπής Αδράνειας Στερεών Σωμάτων Θεώρημα Παραλλήλων Αξόνων (Steine) ΚΥΛΙΣΗ, ΡΟΠΗ και

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑ Α Α. α Α.2 β Α.3 α Α.4 δ Α.5 α Λ β Σ γ Σ δ Λ ε Σ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 205 ΘΕΜΑ Β Β. Σωστή η απάντηση ( iii ) Αιτιολόγηση: Από το θεμελιώδη νόμο

Διαβάστε περισσότερα

.. ntsets ofa.. d ffeom.. orp ism.. na s.. m ooth.. man iod period I n open square. n t s e t s ofa \quad d ffeom \quad orp ism \quad na s \quad m o

.. ntsets ofa.. d ffeom.. orp ism.. na s.. m ooth.. man iod period I n open square. n t s e t s ofa \quad d ffeom \quad orp ism \quad na s \quad m o G G - - -- - W - - - R S - q k RS ˆ W q q k M G W R S L [ RS - q k M S 4 R q k S [ RS [ M L ˆ L [M O S 4] L ˆ ˆ L ˆ [ M ˆ S 4 ] ˆ - O - ˆ q k ˆ RS q k q k M - j [ RS ] [ M - j - L ˆ ˆ ˆ O ˆ [ RS ] [ M

Διαβάστε περισσότερα

ˆ ˆ Œ Ÿ Š Œ ƒˆ Šˆ ˆ Ÿ ˆ ˆ Š ˆˆ ƒ ˆ ˆˆ

ˆ ˆ Œ Ÿ Š Œ ƒˆ Šˆ ˆ Ÿ ˆ ˆ Š ˆˆ ƒ ˆ ˆˆ Ó³ Ÿ. 2015.. 12, º 2(193).. 281Ä298 ˆ ˆŠ Œ ˆ ˆ Œ ƒ Ÿ. ˆŸ ˆ ˆ Œ Ÿ Š Œ ƒˆ Šˆ ˆ Ÿ ˆ ˆ Š ˆˆ ƒ ˆ ˆˆ.. Ê 1 Œμ ±μ ± μ Ê É Ò Ê É É ³. Œ.. μ³μ μ μ, Œμ ± Í Œ Ì ²ÖÉ É ±μ É μ É Í ( ƒ) μ μ²ö É μ μ ÉÓ É ²Ó- ÊÕ ² ±Í

Διαβάστε περισσότερα

cz+d d (ac + cd )z + bc + dd c z + d

cz+d d (ac + cd )z + bc + dd c z + d T (z) = az + b cz + d ; a, b, c, d C, ad bc 0 ( ) a b M T (z) = (z) az + b c d cz + d (T T )(z) = T (T (z) (T T )(z) = az+b a + cz+d b c az+b + = (aa + cb )z + a b + b d a z + b cz+d d (ac + cd )z + bc

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ επάνω στην ύλη της Προόδου 1 Δ. ΚΟΥΖΟΥΔΗΣ. Τμήμα Χημικών Μηχανικών, Χειμερινό Εξάμηνο 2015

ΑΣΚΗΣΕΙΣ επάνω στην ύλη της Προόδου 1 Δ. ΚΟΥΖΟΥΔΗΣ. Τμήμα Χημικών Μηχανικών, Χειμερινό Εξάμηνο 2015 ΑΣΚΗΣΕΙΣ επάνω στην ύλη της Προόδου 1 Δ. ΚΟΥΖΟΥΔΗΣ Τμήμα Χημικών Μηχανικών, Χειμερινό Εξάμηνο 2015 m k θ ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ... 3 Ορισμός της στιγμιαίας ταχύτητας... 3 Γραφική ερμηνεία της ταχύτητας...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις

Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικα + φυσικη επιμελεια : τακης τσακαλακος

μαθηματικα + φυσικη επιμελεια : τακης τσακαλακος μαθηματικα + φυσικη επιμελεια : τακης τσακαλακος 3 Μια προσεγγιση σε βασικες ασκησεις της Φυσικης απ τη σκοπια ενος μαθηματικου!!! Σκοπος και προσδοκια μου, οι χαρισματικοι συναδελφοι (κατασκευαστες) να

Διαβάστε περισσότερα

5 η Εργασία Παράδοση 20/5/2007 Οι ασκήσεις είναι ισοδύναµες

5 η Εργασία Παράδοση 20/5/2007 Οι ασκήσεις είναι ισοδύναµες 5 η Εργασία Παράδοση /5/7 Οι ασκήσεις είναι ισοδύναµες Για ένα συµµετρικό σώµα (για παράδειγµα, ϑεωρείστε ένα κυλινδρικό σώµα) που κυλά προς τα κάτω, χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο, να

Διαβάστε περισσότερα

A Two-Sided Laplace Inversion Algorithm with Computable Error Bounds and Its Applications in Financial Engineering

A Two-Sided Laplace Inversion Algorithm with Computable Error Bounds and Its Applications in Financial Engineering Electronic Companion A Two-Sie Laplace Inversion Algorithm with Computable Error Bouns an Its Applications in Financial Engineering Ning Cai, S. G. Kou, Zongjian Liu HKUST an Columbia University Appenix

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Το εκπαιδευτικό υλικό που παρουσιάζεται βασίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 9.1 - Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 01. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

V r,k j F k m N k+1 N k N k+1 H j n = 7 n = 16 Ṽ r ñ,ñ j Ṽ Ṽ j x / Ṽ W 2r V r D N T T 2r 2r N k F k N 2r Ω R 2 n Ω I n = { N: n} n N R 2 x R 2, I n Ω R 2 u R 2, I n x k+1 = x k + u k, u, x R 2,

Διαβάστε περισσότερα

l 1 p r i = ρ ij α j + w i j=1 ρ ij λ α j j p w i p α j = 1, α j 0, j = 1,..., p j=1 R B B B m j [ρ 1j, ρ 2j,..., ρ Bj ] T = }{{} α + [,,..., ] R B p p α [α 1,..., α p ] [w 1,..., w p ] M m 1 m 2,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 4// ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ α) Για δεδομένη αρχική ταχύτητα υ, με ποια γωνία

Διαβάστε περισσότερα

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0

x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική Ι Λύσεις προόδου. Άσκηση 1

Κβαντομηχανική Ι Λύσεις προόδου. Άσκηση 1 Κβαντομηχανική Ι Λύσεις προόδου Άσκηση 1 ψ(x) = A Sin (k x), < x < α) Sin (k x) = eikx e ikx i Mε πιθανές τιμές ορμής p = ± ħk, από τον τύπο του De Broglie. Kαθεμιά έχει πιθανότητα 50%. b) p = ψ p ψ =

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:

Διαβάστε περισσότερα

Τρίωρο Διαγώνισμα στη Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου

Τρίωρο Διαγώνισμα στη Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Τρίωρο Διαγώνισμα στη Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Ύλη: Όλη η εξεταστέα ΘΕΜΑ ο Α. Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, αρκεί να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων τον αριθµό της ερώτησης

Διαβάστε περισσότερα

Λύση: Εξισώσεις βολής. Κάθετα δυο διανύσματα => εσωτερικό γινόμενο = 0. Δευτεροβάθμια ως προς t. Διακρίνουσα. Κρατάμε μόνο τον θετικό χρόνο

Λύση: Εξισώσεις βολής. Κάθετα δυο διανύσματα => εσωτερικό γινόμενο = 0. Δευτεροβάθμια ως προς t. Διακρίνουσα. Κρατάμε μόνο τον θετικό χρόνο 1) Σημειακή μάζα 0.4 kg εκτοξεύεται με ταχύτητα 17 m/s στο t = 0 από την αρχή των αξόνων με γωνία 72 0 ως προς τον άξονα x ο οποίος είναι παράλληλος με το έδαφος. Εάν στη μάζα ασκείται μόνο το βάρος της

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο

ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο A1- β A - α A3- β A4 - β A5- α A6 -γ A7 -δ A8 β A9 - β ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο A10- Διαν-Nm, Διαν - Kgm /s, Διαν - rad/s, Μον - Kg m A11 α -Λ, β -Λ, γ -Σ, δ - Σ, ε -Λ, στ -Σ, ζ Λ, η -

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 2: Μοντελοποίηση φυσικών συστημάτων στο πεδίο του χρόνου Διαφορικές Εξισώσεις Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή E.Μ.Φ.Ε ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ (ΚΥΜΑΤΙΚΗ) Κανονικές Εξετάσεις Χειµερινού εξαµήνου t (α) Αν το παραπάνω σύστηµα, ( m, s,

Σχολή E.Μ.Φ.Ε ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ (ΚΥΜΑΤΙΚΗ) Κανονικές Εξετάσεις Χειµερινού εξαµήνου t (α) Αν το παραπάνω σύστηµα, ( m, s, Σχολή E.Μ.Φ.Ε ΦΥΣΙΚΗ ΙΙΙ (ΚΥΜΑΤΙΚΗ) Κανονικές Εξετάσεις Χειµερινού εξαµήνου 9-1 ιάρκεια εξέτασης :3 5//1 Ι. Σ. Ράπτης Ε. Φωκίτης Θέµα 1. Ένας αρµονικός ταλαντωτής µε ασθενή απόσβεση (µάζα m σταθερά ελατηρίου

Διαβάστε περισσότερα

.,, T = N N f = T rad/s. : dφ. ω =. dt

.,, T = N N f = T rad/s. : dφ. ω =. dt -,.. -. ( ). -.,,.. ( ),. t, t T = N N f = t. s s - /s Hz.,. f = T,, ( ) π ω = = πf T rad/s.... : dφ ω =. dt. 8 -3 ).......,...,. x x = Aηµ ωt (. ).,,. 9 .. -. -... υ = υ συν ωt (.) max a = a ωt (.3) maxηµ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση

ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση ΦΥΕ4-5 η Εργασία Παράδοση.5.9 Πρόβληµα. Συµπαγής οµογενής κύλινδρος µάζας τυλιγµένος µε λεπτό νήµα αφήνεται να κυλίσει από την κορυφή κεκλιµένου επιπέδου µήκους l και γωνίας φ (ϐλέπε σχήµα). Το ένα άκρο

Διαβάστε περισσότερα

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητα #10: Λύση Εξισώσεων Εσωτερικής Κατάστασης με Χρήση Μεθόδου Ιδιοτιμών Δημήτριος Δημογιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

(1.1) y (t) = f ( t, y(t) ), a t b, y(a) = y 0.

(1.1) y (t) = f ( t, y(t) ), a t b, y(a) = y 0. 1. Προβλήματα αρχικών τιμών Στο μεγαλύτερο μέρος αυτού του βιβλίου θα ασχοληθούμε με μεθόδους αριθμητικής επίλυσης προβλημάτων αρχικών τιμών για Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (Σ.Δ.Ε.). Στο πρώτο κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

m 2 (ż2 + R 2 θ2 )dt ż = a/t + ζ, θ = η m 2 ( ζ 2 + R 2 η 2 )dt m

m 2 (ż2 + R 2 θ2 )dt ż = a/t + ζ, θ = η m 2 ( ζ 2 + R 2 η 2 )dt m Λύσεις Μηχ. ΙΙ Σεπτεµβριος 9 Πρόβληµα 1 Η Λαγκραντζιανή είναι L = (ż + R θ ) Η δράση που αντιστοιχεί στη διαδροµή z(t), θ(t) που αρχίζει στο z() =, θ() = και καταλήγει στο θ( ) = z( ) = είναι: S = (ż +

Διαβάστε περισσότερα

u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1)

u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1) u(x, y) =f(x, y) Ω=(0, 1) (0, 1) u(x, y) =g(x, y) Γ=δΩ ={0, 1} {0, 1} Ω Ω Ω h Ω h h ˆ Ω ˆ u v = fv Ω u = f in Ω v V H 1 (Ω) V V h V h ψ 1,ψ 2,...,ψ N, ˆ ˆ u v = Ω Ω fv v V ˆ ˆ u v = Ω ˆ ˆ u ψ i = Ω Ω Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Τρύφων Κουσιουρής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Τρύφων Κουσιουρής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟ ΕΛΕΓΧΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Τρύφων Κουσιουρής Ακ. Έτος 005-006 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ίδονται τα συστήµατα Σ, Σ µε συναρτήσεις µεταφοράς s+ -s+ G (s)= G (s)= s +s+ s +s+ α) Να προσδιοριστεί η βηµατική απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΜ803 ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ

ΜΜ803 ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΜ83 ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Εαρινό εξάµηνο 8 Λύσεις εργασίας # Λύση άσκησης : Για την πρώτη συνάρτηση ισχύει ότι sin( ωt+ θ) sinωtcosθ + cosωtsinθ άρα L[sin( ωt+ θ)] L[sin ωtcosθ + cosωtsin θ] cos θ L[sin ωt]

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 10//10/01 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας 1 Kg βρίσκεται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης 45º. Μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 17 Φεβρουαρίου 2015

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 17 Φεβρουαρίου 2015 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 17 Φεβρουαρίου 2015 Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου Απαντήστε και στα 4 προβλήματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις στα ερωτήματα εκτιμώνται

Διαβάστε περισσότερα

Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα

Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα q Το παρακάτω σύστημα είναι ανάλογο με το σύστημα των δύο εκκρεμών. q Οι δυο ιδιοσυχνότητες του συστήματος είναι ίδιες με τις ιδιοσυχνότητες

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου

Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Χειµερινό Εξάµηνο 2016-2017 Γεωµετρικη Θεωρια Ελεγχου εύτερη Εργασία 1. Βρείτε δύο διαφορετικά παραδείγµατα συστηµάτων στο

Διαβάστε περισσότερα

γ /ω=0.2 γ /ω=1 γ /ω= (ω /g) v. (ω 2 /g)(x-l 0 ) ωt. 2m.

γ /ω=0.2 γ /ω=1 γ /ω= (ω /g) v. (ω 2 /g)(x-l 0 ) ωt. 2m. Μηχανική Ι Εργασία #7 Χειμερινό εξάμηνο 015-016 Ν. Βλαχάκης 1. Σώμα μάζας m και φορτίου q κινείται σε κατακόρυφο άξονα x, δεμένο σε ελατήριο σταθεράς k = mω του οποίου το άλλο άκρο είναι σταθερό. Το σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

. Σήματα και Συστήματα

. Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/17 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 93) Να αποδειχθεί ότι: α) Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ. Φυσική Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ. D = mω 2

ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ. Φυσική Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ. D = mω 2 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Φυσική Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ (Το τυπολόγιο αυτό δεν αντικαθιστά το βιβλίο. Συγκεντρώνει απλώς τις ουσιώδεις σχέσεις του βιβλίου και επεκτείνεται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογή της γενικής λύσης

Εφαρμογή της γενικής λύσης Εφαρμογή της γενικής λύσης Να βρεθούν οι χαρακτηριστικές συχνότητες του συστήματος ΦΥΣ 11 - Διαλ.4 1 x 1 x m 1 m k 1 k 1 k 3 Η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι: U = 1 kx 1 + 1 k 1 ( x x 1 ) + 1 kx

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 23/9/2015 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 23/9/2015 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ /9/015 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα κινείται σε ευθύγραμμη οριζόντια τροχιά με την ταχύτητά του σε συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

1. Περιοδικά Φαινόμενα Απλή Αρμονική Ταλάντωση

1. Περιοδικά Φαινόμενα Απλή Αρμονική Ταλάντωση Περιοδικά φαινόμενα: 1. Περιοδικά Φαινόμενα Απλή Αρμονική Ταλάντωση Περιοδικά φαινόμενα ονομάζονται τα φαινόμενα που εξελίσσονται και επαναλαμβάνονται αναλλοίωτα σε σταθερά χρονικά διαστήματα. Τέτοια φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Ασκήσεις

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Ασκήσεις Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Νικόλαος Καραμπετάκης Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 3 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 10: Γραμμικό Τετραγωνικό Πρόβλημα. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 10: Γραμμικό Τετραγωνικό Πρόβλημα. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10: Γραμμικό Τετραγωνικό Πρόβλημα Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο T1. Ταλαντώσεις

Κεφάλαιο T1. Ταλαντώσεις Κεφάλαιο T1 Ταλαντώσεις Ταλαντώσεις και µηχανικά κύµατα Η περιοδική κίνηση είναι η επαναλαµβανόµενη κίνηση ενός σώµατος, το οποίο επιστρέφει σε µια δεδοµένη θέση και µε την ίδια ταχύτητα µετά από ένα σταθερό

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β. και Bmax

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β. και Bmax ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Β Θέµα ο Α. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση σε κάθε µία από τις παρακάτω ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής.. Ένα κύκλωµα που περιλαµβάνει πηνίο, πυκνωτή και αντιστάτη, εκτελεί εξαναγκασµένη ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

On the summability of divergent power series solutions for certain first-order linear PDEs Masaki HIBINO (Meijo University)

On the summability of divergent power series solutions for certain first-order linear PDEs Masaki HIBINO (Meijo University) On the summability of divergent power series solutions for certain first-order linear PDEs Masaki HIBINO (Meijo University) 1 1 Introduction (E) {1+x 2 +β(x,y)}y u x (x,y)+{x+b(x,y)}y2 u y (x,y) +u(x,y)=f(x,y)

Διαβάστε περισσότερα

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913

Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 Α Ρ Ι Θ Μ Ο Σ : 6.913 ΠΡΑΞΗ ΚΑΤΑΘΕΣΗΣ ΟΡΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Σ τ η ν Π ά τ ρ α σ ή μ ε ρ α σ τ ι ς δ ε κ α τ έ σ σ ε ρ ι ς ( 1 4 ) τ ο υ μ ή ν α Ο κ τ ω β ρ ί ο υ, η μ έ ρ α Τ ε τ ά ρ τ η, τ ο υ έ τ ο υ ς δ

Διαβάστε περισσότερα

1ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Τετάρτη 12 Αυγούστου 2015 Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις. Ενδεικτικές Λύσεις - Οµάδα Α.

1ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Τετάρτη 12 Αυγούστου 2015 Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις. Ενδεικτικές Λύσεις - Οµάδα Α. ο ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Τετάρτη Αυγούστου 05 Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις - Οµάδα Α Θέµα Α Α.. Σε µια απλή αρµονική ταλάντωση η αποµάκρυνση και η επιτάχυνση την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική - Ρευστομηχανική

Μηχανική - Ρευστομηχανική Μηχανική - Ρευστομηχανική Ενότητα 9: Ταλαντώσεις Διδάσκων: Πομόνη Αικατερίνη, Αναπλ. Καθηγήτρια Επιμέλεια: Γεωργακόπουλος Τηλέμαχος, Υπ. Διδάκτωρ Φυσικής 015 Θετικών Επιστημών Φυσικής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1

Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι...1 6. ιανυσµατικοί χώροι Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 ιανυσµατικοί χώροι ιανυσµατικοί χώροι... 6. ιανυσµατικοί χώροι... 6. Υποχώροι...7 6. Γραµµικοί συνδυασµοί... 6. Γραµµική ανεξαρτησία...9 6.5 Άθροισµα και ευθύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016 ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλασιαστές Lagrange Δυνάμεις δεσμών

Πολλαπλασιαστές Lagrange Δυνάμεις δεσμών ΦΥΣ - Διαλ.08 Πολλαπλασιαστές Lagrange Δυνάμεις δεσμών q q Το μεγάλο πλεονέκτημα του Lagrangian φορμαλισμού είναι ότι δεν χρειάζεται να υπολογισθούν οι δυνάμεις των δεσμών Ø Υπάρχουν περιπτώσεις που χρειαζόμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμένο διαγώνισμα Φυσικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Ονοματεπώνυμο εξεταζόμενου:.

Προγραμματισμένο διαγώνισμα Φυσικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Ονοματεπώνυμο εξεταζόμενου:. Προγραμματισμένο διαγώνισμα Φυσικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου Ονοματεπώνυμο εξεταζόμενου:. Καμιά άλλη σημείωση δεν επιτρέπεται στα θέματα τα οποία θα παραδώσετε μαζί με το γραπτό σας. Οι απαντήσεις λοιπόν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 «Κυμάνσεις» Μαρία Κατσικίνη users.auth.gr/~katsiki

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 «Κυμάνσεις» Μαρία Κατσικίνη users.auth.gr/~katsiki ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 «Κυμάνσεις» Μαρία Κατσικίνη katsiki@auth.gr users.auth.gr/~katsiki Σχέση δύναμης - κίνησης Δύναμη σταθερή εφαρμόζεται σε σώμα Δύναμη ανάλογη της απομάκρυνσης (F-kx) εφαρμόζεται σε σώμα Το σώμα

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής. Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης. Παναγιώτης Σεφερλής. Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4 η : Πρότυπα μεταβλητών κατάστασης Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Γραμμικά Φίλτρα 1. Ιδανικά Γραμμικά Φίλτρα Ιδανικό Κατωδιαβατό Φίλτρο Ιδανικό Ανωδιαβατό Φίλτρο Ιδανικό Ζωνοδιαβατό

Διαβάστε περισσότερα