Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου Ερώτηµα 2

Transcript

1 Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου 2000 Ερώτηµα 1 Βα), και, Οι εξισώσεις κίνησης είναι, Έχουµε δύο ασύζευκτους αρµονικούς ταλαντωτές συχνότητας Η Χαµιλτονιανή αυτή θα µπορούσε να περιγράφει µικρές κινήσεις περί το σηµείο ισορροπίας ενός σφαιρικού εκκρεµούς β) Η Λαγκρανζιανή ορίζεται :, όπου τα είναι συνάρτηση των Η είναι ο µετασχηµατισµός Legendre της ως προς, όπου Άρα και Επειδή Οι εξισώσεις Euler-Lagrange είναι,, οι ίδιες µε τις εξισώσεις του Χάµιλτον Η γενική λύση είναι και και η τροχιά στο επίπεδο είναι µία έλλειψη γ) Η Λαγκρανζιανή είναι προφανώς αναλλοίωτη στο µετασχηµατισµό, δεδοµένου ότι οι ταχύτητες µετασχηµατίζονται µε τον ίδιο τρόπο δ) Ο µετασχηµατισµός εξαρτάται συνεχώς από τη παράµετρο και είναι µοναδιαίος όταν Από το θεώρηµα της Noether, η διατηρήσιµη ποσότητα είναι η Αντιστοιχεί στη στροφορµή ως προς την αρχή των αξόνων Ερώτηµα 2 α) Όταν η ταχύτητα της µάζας είναι και η δυναµική ενέργεια, η Λαγκρανζιανή, η κανονική ορµή, άρα Η Χαµιλτονιανή για β) Όταν επειδή η κρούση είναι ελαστική αντιστρέφεται η ορµή Η Χαµιλτονιανή είναι ανεξάρτητη του χρόνου και διατηρείται κατά τη κίνηση Στο χώρο των φάσεων η κίνηση διαγράφει τη καµπύλη, για είναι η παραβολή :

2 Η τροχιά έχει σχεδιασθεί στο σχήµα Η καµπύλη διαγράφεται µε τη φορά του βέλους Στο τµήµα γίνεται η κρούση και ακαριαία στην ίδια θέση αντιστρέφεται η ορµή γ) Η ενέργεια δεν διατηρείται διότι η Χαµιλτονιανή εξαρτάται από το χρόνο Για αδιαβατικές µεταβολές της γωνίας διατηρείται η υπολογισµένη γύρω από ένα κύκλο σταθερής ενέργειας και σταθερής σταθερά ( ): Υπολογίζουµε την αδιαβατική Συνεπώς για αδιαβατικές µεταβολές της γωνίας διατηρείται η ποσότητα Χωρίς πολλές πράξεις H αδιαβατική σταθερά είναι το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται µέσα στη καµπύλη σταθεράς ενεργείας Από διαστατική ανάλυση το εµβαδόν αυτό θα είναι ανάλογο του γινοµένου της "βάσης" της παραβολής της παραβολής επί το "ύψος" Δηλαδή η αδιαβατική σταθερά είναι η Οι διαδοχικές θέσεις των ισοενεργειακών καµπυλών στη περίπτωση αδιαβατικής µεταβολής της γωνίας φαίνεται στο σχήµα δ) Αν αρχικά το µέγιστο ύψος για είναι το τελικό µέγιστο ύψος θα είναι Για και το µέγιστο ύψος που θα φθάνει το σωµατίδιο θα είναι 158 φορές µεγαλύτερο από το αρχικό ε) Το αποτέλεσµα δεν εξαρτάται από το τρόπο που µεταβάλλεται η γωνία, αρκεί οι αλλαγές να είναι πάντοτε αδιαβατικές δηλαδή, όπου η περίοδος της κίνησης

3 Ερώτηµα 3 Η ενέργεια δίνεται από το ολοκλήρωµα του Jacobi : Πράγµατι η ενέργεια διατηρείται κατά τη κίνηση διότι: δεδοµένου ότι η φυσική κίνηση ικανοποιεί τις εξισώσεις Euler-Lagrange: γ) Η λύση που ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες είναι Η λύση δεν είναι µοναδική Η ενέργεια που αντιστοιχεί σε µία τροχιά είναι, οπότε Η τροχιά δεν προσδιορίζεται απολύτως µονοσήµαντα και πάλι, αλλά οι δύο τροχιές έχουν απλώς µία διαφορά φάσης δ) Υπολογίζω τη Λαγκρανζιανή συνάρτηση επί της φυσικής τροχιάς Συνεπώς και Άρα, δηλαδή η δράση που αντιστοιχεί στη φυσική κίνηση µε, είναι µηδενική (το συµπέρασµα αυτό ισχύει για κάθε τιµή της ενέργειας) Οµοίως ε) Για τη δράση που αντιστοιχεί στη µη φυσική διαδροµή παρατηρώ ότι η δράση από τα τµήµατα και είναι τµήµατα στα οποία η κίνηση ταυτίζεται µε τη φυσική και όπως είδαµε η δράση είναι, για το τµήµα αυτό Στο τµήµα ΒΓ : και άρα Η δράση δηλαδή που αντιστοιχεί στη φυσική κίνηση µε δεν καθίσταται ελάχιστη Επίσης δεν είναι µέγιστη Θεωρείστε πχ την µη φυσική κίνηση Η δράση που αντιστοιχεί σε αυτή τη µη φυσική διαδροµή είναι µεγαλύτερη του µηδενός, άρα µεγαλύτερη της δράσης της φυσικής κίνηση Η φυσική κίνηση καθιστά τη δράση απλώς στάσιµη και η φυσική κίνηση είναι ένα σαγµατικό "σηµείο" της δράσης Θεωρήστε µία σφαίρα Προσδιορίστε τη διαδροµή στη σφαίρα που συνδέει δύο σηµεία της µε το ελάχιστο µήκος τόξου Η καµπύλη αυτή θα είναι ένας µέγιστος

4 κύκλος Όταν τα δύο σηµεία συµπέσουν υπάρχουν άπειροι µέγιστοι κύκλοι οι οποίοι καθιστούν στάσιµο το µήκος της διαδροµής αλλά όχι προφανώς ελάχιστο, υπάρχουν πολλές διαδροµές που δίνουν µικρότερο µήκος τόξου Αν πάρετε δύο αντιδιαµετρικά σηµεία, τότε και πάλι υπάρχουν άπειρα ηµικύκλια που τα συνδέουν, αλλά τώρα η δράση είναι ελάχιστη Πέραν του διαγωνίσµατος H δράση καθίσταται ελάχιστη για τη φυσική κίνηση που ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες Η φυσική διαδροµή είναι και πάλι, για κάποιο Η δράση που αντιστοιχεί στη φυσική διαδροµή είναι Θεωρήστε τη παραλλαγµένη διαδροµή, όπου κάποια συνεχής και παραγωγίσιµη συνάρτηση που ικανοποιεί Επειδή η καθιστά τη δράση στάσιµη θα είναι Αρκεί να αποδείξτε ότι Αναπτύξτε την σε σειρά Fourier:, οπότε και χρησιµοποιώντας την ορθογωνιότητα των ηµιτόνων και συνηµιτόνων στο διάστηµα έχουµε ότι, εάν υπάρχει για Συνεπώς η δράση καθίσταται ελάχιστη για τη φυσική διαδροµή στο διάστηµα Με τον τρόπο αυτό αποδεικνύουµε παρεπιπτόντως ότι για κάθε συνεχώς διαφορίσιµη συνάρτηση µε ισχύει Η ανισότητα αυτή είναι πολύ χρήσιµη και ονοµάζεται ανισότητα του Poincare Η φυσική της εξήγηση είναι προφανής: είναι ειδική περίπτωση του θεωρήµατος Rayleigh, το είναι ο κυµατάριθµος της θεµελιώδους ταλάντωσης στο διάστηµα Μπορείτε να γενικεύστε την ανισότητα του Poincare σε παραπάνω διαστάσεις; Γενικότερα για την ελαχιστότητα της δράσης ο Καραθεοδωρή έχει αποδείξει ότι η δράση καθίσταται ελάχιστη για φυσικές κινήσεις των οποίων η απόσταση είναι "µικρή" Ερώτηµα 4 Στη κατάσταση ισορροπίας οι µάζες έχουν απόσταση από την αρχή των αξόνων και το φυσικό µήκος του ελατηρίου είναι Έστω τώρα ότι οι µάζες βρίσκονται στα όπου (για µικρές κινήσεις) Υπολογίζω την επιµήκυνση του ελατηρίου

5 που ενώνει τις και : είναι σε πρώτη προσέγγιση (βλ σχήµα), οπότε η δυναµική ενέργεια του ελατηρίου είναι [Εδώ υποθέσαµε ότι σε πρώτη τάξη το τρίγωνο παραµένει ισοσκελές Μπορείτε να το επιβεβαιώσετε το παραπάνω συµπέρασµα] Η ολική δυναµική ενέργεια είναι συνεπώς: Η κινητική ενέργεια είναι Η Λαγκρανζιανή που διέπει µικρές κινήσεις περί το σηµείο ισορροπίας είναι: Oι εξισώσεις Euler-Lagrange είναι διαδοχικά για : Συνεπώς β) Εάν τότε οι εξισώσεις κίνησης είναι και οι τρεις συντεταγµένες ταλαντώνονται µε τη κοινή συχνότητα, όπου η φυσική συχνότητα των ελατηρίων Συνεπώς ο είναι ένας κανονικός τρόπος ταλάντωσης του συστήµατος µε ιδιοσυχνότητα: γ) Οι άλλοι δύο τρόποι είναι εύκολο να προσδιορισθούν ικανοποιούν τη σχέση: οπότε οι εξισώσεις κίνησης είναι:, οπότε η ιδιοσυχνότητα είναι Και οι δύο κανονικές ταλαντώσεις αυτές έχουν τη ιδιοσυχνότητα αυτήν, και οι δύο κανονικό τρόποι είναι ορθογώνιοι µε τον Έχουµε ελευθερία στην επιλογή των δύο εκφυλισµένων τρόπων ταλάντωσης Οι δύο τρόποι αυτοί καλύπτουν τον διδιάστατο γραµµικό χώρο που είναι κάθετος στο Μπορούµε να επιλέξουµε τον ένα κανονικό τρόπο ταλάντωσης ως τον

6 (ικανοποιεί την σχέση ) και τον δεύτερο ως τον που είναι ορθογώνιος στον προηγούµενο