( ) ( ) Hamiltonian φορμαλισμός. = L!q i. p i. q i. , p i = H. !p i. !q i, L q i, t S = L dt µεγιστοποιείται σε µια λύση της εξίσωσης κίνησης

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "( ) ( ) Hamiltonian φορμαλισμός. = L!q i. p i. q i. , p i = H. !p i. !q i, L q i, t S = L dt µεγιστοποιείται σε µια λύση της εξίσωσης κίνησης"

Ἕκτωρ Αναγνώστου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Hamiltonian φορμαλισμός q Πριν αρκετό καιρό, είδαµε τον φορµαλισµό Hamilton: Ø Για ένα σύστηµα µε βαθµούς ελευθερίας και Lagrangian ² Ορίσαµε p i = L! ² και την hamiltonian: H = και ² Λύσαµε την εξίσωση p i ως προς i! p i! L συναρτήσει των και p i ² και γράψαµε την hamiltonian µε την µορφή: H, p i ² οι εξισώσεις κίνησης δίνονται από 2Ν διαφορικές εξισώσεις:!!p i = H p i ΦΥΣ Διαλ.33 1 L( q,!q;t ) ² Ορίσαµε το φασικό χώρο (, ) και η χρονική εξέλιξη του συστήµατος περιγράφεται από ροή στο φασικό χώρο ² Ο hamiltonian φορµαλισµός χρησιµοποιεί ισοδύναµα τα (, ) q Σύµφωνα µε την αρχή του Hamilton, δεδοµένων των και τότε p i L,!, t S = L dt µεγιστοποιείται σε µια λύση της εξίσωσης κίνησης S = S[ (t)] συναρτησιακό των διαδροµών στο χώρο των θέσεων q S = S[ (t), p i (t)] συναρτησιακό των διαδροµών στο χώρο των φάσεων

2 Αγκύλες Poisson ΦΥΣ Διαλ.33 2 q Φορµαλισµός κλασικής που µοιάζει πάρα πολύ αυτόν που χρησιµοποιείται στην QM q Θεωρείστε δυο συναρτήσεις, f(, p i ) και g(, p i ), που εξαρτώνται από την θέση ενός συστήµατος στο φασικό χώρο f g { f,g} = f g q Ορισµός: Αγκύλη Poisson είναι: i q Ποιες οι ιδιότητες των αγκυλών Poisson? { } = { g, f } αντισυµµετρική Ø f,g Ø Ø Ø { af + bg,h} = a{ f,h} + b{ g,h} γραµµική { fg,h} = f { g,h} + { f,h}g κανόνας Leibnitz { f,{ g,h} } + { g, { h, f }} + h, { f,g} { } = 0 ταυτότητα Jacobi [ ] = FG GF Ø Στην QM: συνάρτηση της θέσης και της ορµής είναι ένας τελεστής Ø όταν πολ/ζετε τους τελεστές µεταξύ τους, χρησιµοποιείτε τους µεταθέτες τους q Οι ταυτότητες αυτές ικανοποιούνται από τον µεταθέτη πινάκων: F,G Ø θεωρείτε τους τελεστές σαν πίνακες συγκεκριµένων ή άπειρων διαστάσεων ανάλογα µε το σύστηµα που εξετάζεται Ø τελεστές δεν αντιµετατίθενται στην QM όπως συναρτήσεις του φασικού χώρου δεν αντιµετατίθενται στην CM

3 Παραδείγματα αγκυλών Poisson f q Ο ορισµός της αγκύλης Poisson: { f,g} = i Ø Έστω: f = και g = q j τότε f,g Ø Έστω: f = p i και g = p j τότε f,g Ø Έστω: f = και g = p j τότε f,g Ø Έστω: f = και g = p j τότε f,g { } =,q j { } = p i, p j { } =, p j { } =, p j g f { { } = 0 } = 0 { { } = 0 } = 1 q Τα παραπάνω αποτελούν τις θεµελειώδεις αγκύλες Poisson q Γιατί είναι χρήσιµες οι αγκύλες Poisson? Ø Θεωρήστε µια συνάρτηση: f, p i,t Ø H αλλαγή της συνάρτησης αυτής µε τον χρόνο δίνεται από: df dt = df dt = i i f! + f!p i f H + f + f t H ΦΥΣ Διαλ.33 3 g για i j για i = j χρησιµοποιώντας τις εξισώσεις Hamilton + f t df dt = { f, H } + f t Ø Για να προσδιορίσουµε πως µια συνάρτηση εξελίσεται χρονικά, χρειάζεται να υπολογίσουµε τον µεταθέτη (αγκύλη Poisson) µε την Hamiltonian

4 Χρησιμότητα αγκυλών Poisson ΦΥΣ Διαλ.33 4 q Ξέρουµε εποµένως πως χρονοεξελίσεται µια συναρτήση των q και p αρκεί να ξέρουµε την Hamiltonian του συστήµατος H(q,p,t) Ø Έστω ότι έχετε ενα µόριο αποτελούµενο από πολλά άτοµα και ενδιαφέρεστε πως µια συνάρτηση των βαθµών ελευθερίας εξελίσεται χρονικά ² Αντί να γράψετε τις εξισώσεις κίνησης όλων των ατόµων για να βρείτε πως χρονοεξελίσεται το σύστηµα αυτό ² Γράφετε την αγκύλη Poisson του κέντρου µάζας µε την Hamiltonian ( q, p) Ø Έστω Η συνάρτηση µόνο του p (ανεξάρτητη του q): H ( p) p, H q Έστω ότι έχουµε βρεί µια συνάρτηση I, p i τέτοια ώστε: I, H q Σταθερά κίνησης είναι µια συνάρτηση των ² p : σταθερά κίνησης { } = 0 di που µετατίθεται µε την H { } = 0 Θεώρηµα Noether στον φορµαλισµό Hamilton q Θεωρήστε ότι οι συναρτήσεις Ι και J αντιπροσωπεύουν διατηρήσιµες ποσότητες { I, H } = 0 = J, H { } Ø H ταυτότητα Jacobi θα είναι: { I, J} σταθερά κίνησης {{ I, J}, H } = I, J, H { { }} + J, { I, H } { } = 0 Ø H αγκύλη Poisson δυο σταθερών κίνησης, είναι επίσης σταθερά κίνησης dt = 0

5 Χρησιμότητα αγκυλών Poisson q Η οµάδα των σταθερών κίνησης είναι ένας διανυσµατικός χώρος ΦΥΣ Διαλ.33 5 q Οι σταθερές κίνησης δηµιουργούν, σε µαθηµατική γλώσσα, «µια άλγεβρα» Ø Έστω σωµατίδιο που κινείται κάτω από την επίδραση ενός δυναµικού V! r! Ø H στροφορµή του σωµατιδίου είναι µια διατηρήσιµη ποσότητα: l = r! p! l 1 = r 2 r 3 Μπορούµε να υπολογίσουµε τις αγκύλες Poisson: l 2 = r 1 + r 3 p 1 l 3 = r 1 r 2 p 1 { l i,l j } = ε ijk l k { l 1,l 2 } { l 1,l 2 } = { r 2 r 3 p 1 r 1 } = { r 2 r 3 p 1 } { r 2 r 3,r 1 } = { r 2 p 1 } { r 3 p 1 } { r 2,r 1 } + { r 3,r 1 } = { r 2 p 1 } + { r 3,r 1 } = r 2 p 1 + r 1 { l 1,l 2 } = l 3 Ø Ας υπολογίσουµε την Poisson αγκύλη: Ø Αν δουλεύοντας σε κάτι ανακαλύψουµε ότι δυο συνιστώσες της στροφορµής διατηρούνται, τότε αυτόµατα η τρίτη συνιστώσα διατηρείται: k SU(2) ή SO(3) άλγεβρα ή άλγεβρα περιστροφών

6 Αγκύλες Poisson Πρόβλημα Kepler q To Keplerian δυναµικό είναι συνάρτηση του 1/r Ø Διατηρείται η στροφορµή σύµφωνα µε τα προηγούµενα Ø Υπάρχουν 3 επιπλέον διατηρήσιµες ποσότητες: Ø Tι είναι οι τρεις αυτές συµµετρίες? { A i,l j } = ε ijk A k k { A i, A j } = ε ijk l k k! A = 1 m ΦΥΣ Διαλ.33 6! p! l ˆr Ø Οι ποσότητες Α και l δηµιουργούν µια µεγαλύτερη άλγεβρα 6 γεννητόρων ² SO(4) άλγεβρα: συµµετρία/άλγεβρα περιστροφών σε χώρο 4-διαστάσεων ² Η 4 η διάσταση είναι µαθηµατική έννοια και όχι πραγµατική διάσταση Ø Ίδιες ιδιότητες θα εµφανιστούν όταν µελετήσετε στην QM το άτοµο του υδρογόνου που είναι το πρόβληµα Kepler όπου αντί για µάζα υπάρχει το φορτίο

7 Κανονικοί μετασχηματισμοί ΦΥΣ Διαλ.33 7 q Το θεώρηµα Noether µας λέει ότι αν έχουµε µια συµµετρία τότε µπορούµε να κατασκευάσουµε µια σταθερά της κίνησης q Όταν όµως έχουµε µια σταθερά κίνησης αυτή αντιστοιχεί σε κάποια συµµετρία Ø Πως βρίσκουµε την συµµετρία που προκαλεί την σταθερά της κίνησης q Θεωρία κανονικών µετασχηµατισµών: Ø Στον φορµαλισµό Lagrange µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε οποιαδήποτε µεταβλητή για να περιγράψουµε ένα σύστηµα Q i L d dt O µετασχηµατισµός δεν αλλάζει την φυσική L! = 0 L d L i dt!q i = 0 q Στον φορµαλισµό Hamilton η θέση και η ορµή χρησιµοποιούνται ισοδύναµα q Υπάρχει τρόπος να έχουµε κάποιο µετασχηµατισµό Q i p i P i (, p i ), p i q Μόνο µερικοί τέτοιοι µετασχηµατισµοί αφήνουν τις εξισώσεις Hamilton αµετάβλητες q Τέτοιος µετασχηµατισµός ονοµάζεται κανονικός µετασχηµατισµός

8 Κανονικοί μετασχηματισμοί ΦΥΣ Διαλ.33 8 q Έστω ότι έχουµε ένα µετασχηµατισµό του φασικού χώρου: Ø Οι εξισώσεις Hamilton: ( ) ( q, p) Q( q, p),p q, p! = H p!p i = H = H q q Υπολογίζουµε την χρονική µεταβολή των µετασχηµατισµένων µεταβλητών:!q = q!p = q q t + p q t + p q Αλλά: H q q όµοια: H p p t = Q!q + Q!p = Q? q p qh p Q p H q H P p t = P q!q + P p!p = P q H p P p H q q + H p + H q H q = H Q Q q + H P P q p H p = H Q Q p + H P P p? HQ q Εποµένως: Q! = Q q H p Q p H q!q = Q q ( H Q Q p + H P P p ) Q p H Q Q q + H P P q!q = H Q ( Q q Q p Q p Q q ) + H P ( Q q P p Q p P q )!Q = H P { Q,P}

9 Κανονικοί μετασχηματισμοί q O µετασχηµατισµός ( q, p) Q( q, p),p q, p Ø δίνει: Ø Ανάλογα: { }!Q = H P Q,P!P = H Q { Q,P} ( ) ΦΥΣ Διαλ.33 9 q H µορφή των εξισώσεων Hamilton διατηρείται κάνοντας ένα µετασχηµατισµό συντεταγµένων του φασικού χώρου q, p { } = 1 µόνο αν Q,P Q q, p Ø Δηλαδή οι βασικές Poisson αγκύλες έχουν την µορφή: { } = δ ij q Για Ν βαθµούς ελευθερίας: Q i,p j (,P( q, p) ) q Κανονικός µετασχηµατισµός είναι ο µετασχηµατισµός των συντεταγµένων του φασικού χώρου που διατηρεί τις αγκύλες Poisson µεταξύ p και q

Σχετικά έγγραφα

Εξισώσεις κίνησης του Hamilton

ΦΥΣ 211 - Διαλ.11 1 Εξισώσεις κίνησης του Hamilton q Newtonian Lagrangian Hamiltonian q Περιγράφουν την ίδια φυσική και δίνουν τα ίδια αποτελέσματα q Διαφορές είναι στο τρόπο προσέγγισης των προβλημάτων