4πN e e 2 m e. ω c = qb mc

Transcript

1 Κεφάλαιο 5 Αλληλεπίδραση του ηλιακού πλάσματος με το μαγνητικό πεδίο 5.1 Εισαγωγή Η μονοδιάστατη προσέγγιση που ακολουθήσαμε μέχρι τώρα μας έδωσε μια γενική εικόνα για το τι συμβαίνει στον ήλιο και την ηλιόσφαιρα. Εν τούτοις, οποιαδήποτε φωτογραφία, σε οποιοδήποτε στρώμα της ηλιακής ατμόσφαιρας και αν κοιτάξει κανείς, διαπιστώνει την ύπαρξη πλούσιας οριζόντιας δομής η οποία, προφανώς, δεν μπορεί να περιγραφεί από ομοιογενή, μονοδιάστατα μοντέλα. Για να περάσουμε στην τριδιάστατη περιγραφή των ηλιακών φαινομένων χρειάζεται να εισαγάγουμε μια πολύ βασική παράμετρο, το μαγνητικό πεδίο και, μαζί με αυτό, την αλληλεπίδρασή του με το ιονισμένο υλικό (πλάσμα). Η ύπαρξη μαγνητικού πεδίου στον ήλιο είναι γνωστή από το 1912, όταν ο Hale με το φαινόμενο Zeeman μέτρησε εντάσεις 2000 G σε ηλιακές κηλίδες. Στις μέρες μας μπορούμε να μετρήσουμε πολύ ασθενέστερα μαγνητικά πεδία, της τάξης λίγων G και να πάρουμε χάρτες του μαγνητικού πεδίου ή, ακριβέστερα, της διαμήκους συνιστώσας του (παράλληλα στη διεύθυνση παρατήρησης) σε όλο το ορατό ημισφαίριο του ήλιου (Σχήμα 5.1). Οι χάρτες αυτοί ονομάζονται μαγνητογραφήματα και σ αυτά οι δύο πολικότητες παρουσιάζονται ως λαμπρές ή σκοτεινές περιοχές πάνω σε γκρίζο υπόβαθρο. Στην αριστερή εικόνα του σχήματος η κατανομή του ηλιακού μαγνητικού πεδίου είναι αρκετά πολύπλοκη, με διάσπαρτες, μικρού μεγέθους, μαγνητικές περιοχές. Στη δεξιά εικόνα η μορφολογία είναι διαφορετική: εμφανίζονται διπολικές μαγνητικές περιοχές, μεγέθους 10 5 km. Δύο από αυτές, ανατολικά και βόρεια του κέντρου του δίσκου, είναι αρκετά συμπαγείς και έχουν μεγάλη μαγνητική ροή. Τέτοιες περιοχές ονομάζονται κέντρα δράσης (ative regions) και είναι ο τόπος που συμβαίνουν μια σειρά από πολύ ενδιαφέροντα φαινόμενα που θα εξετάσουμε στα επόμενα κεφάλαια. Οι περιοχές έξω από τα κέντρα δράσης συγκροτούν τον ήρεμο ήλιο (quiet sun). Να σημειώσουμε ότι διπολική συνιστώσα μεγάλης κλίμακας (ίσης με το μέγεθος του ήλιου) δεν εμφανίζεται παρά μόνον κοντά στο ελάχιστο της ηλιακής δραστηριότητας και έχει πολύ μικρή ένταση. Ιχνη της εμφανίζονται στην αριστερή εικόνα του Σχήματος 5.1, όπου κοντά στο βόρειο πόλο επικρατεί αρνητική πολικότητα. Από την άλλη μεριά το υλικό στον ήλιο είναι ιονισμένο ακόμα και στη φωτόσφαιρα, όπου ο βαθμός ιονισμού είναι μικρός, η επίδραση του ιονισμένου υλικού είναι καθοριστική. Ετσι το σύνολο σχεδόν των δυναμικών φαινομένων που συμβαίνουν στον Ηλιο έχει να κάνει με αλληλεπίδραση του πλάσματος με το μαγνητικό πεδίο. Στο κεφάλαιο αυτό δεν φιλοδοξούμε να δώσουμε μια ολοκληρωμένη παρουσίαση των ιδιοτήτων του πλάσματος. Θα περιοριστούμε σε μία συνοπτική παρουσίαση, εστιάζοντας σε θέματα που έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον για την κατανόηση των ηλιακών φαινομένων. 89

2 90 Φυσική του ήλιου και του διαστήματος Σχήμα 5.1: Μαγνητογραφήματα του ηλιακού δίσκου στις 7 Οκτώβρη και 16 Δεκέμβρη 2009 (SOHO/MDI) 5.2 Βασικές έννοιες Αυτό που κάνει το πλάσμα να ξεχωρίζει από οποιοδήποτε άλλο ρευστό είναι η παρουσία των ηλεκτρικών και μαγνητικών δυνάμεων. Εν τούτοις κάθε φορτισμένο σωμάτιο περιβάλλεται από σωμάτια αντιθέτου φορτίου, πράγμα που έχει ως αποτέλεσμα την μείωση της εμβέλειας των ηλεκτροστατικών δυνάμεων (φαινόμενο θωράκισης). Μπορεί να αποδείξει κανείς ότι το ηλεκτροστατικό δυναμικό ενός σημειακού δοκιμαστικού φορτίου, q, μέσα στο πλάσμα είναι: ϕ(r) = q r e r/λ D (5.1) μειώνεται, δηλαδή, κατά ένα παράγοντα e r/λ D σε σχέση με το κενό. Η ποσότητα kt λ D = 8πe 2 (5.2) N e είναι το μήκος Debye, που δίνει την εμβέλεια των ηλεκτροστατικών δυνάμεων στο πλάσμα. Στην παραπάνω έκφραση T είναι η θερμοκρασία και N e η πυκνότητα του πλάσματος. Για να μπορέσουμε να περιγράψουμε ένα σύνολο από φορτισμένα σωμάτια ως πλάσμα είναι απαραίτητο κάθε σωμάτιο να υφίσταται την επίδραση όχι τόσο των γειτονικών σωματίων όσο τη συνολική επίδραση από όλα τα άλλα σωμάτια. Δηλαδή κάθε σωμάτιο πρέπει να είναι αποτελεσματικά θωρακισμένο. Αυτό οδηγεί σε δύο απαιτήσεις: Η χαρακτηριστική διάσταση του πλάσματος πρέπει να είναι πολύ μεγαλύτερη από το μήκος Debye και, Ο αριθμός των σωματίων που βρίσκεται μέσα σε μία σφαίρα με ακτίνα ίση με το μήκος Debye πρέπει να είναι πολύ μεγάλος. Πέρα από το μήκος Debye θα υπενθυμίσουμε εδώ άλλα δύο χαρακτηριστικά μεγέθη που συναντήσαμε ήδη στο κεφάλαιο 2, τη συχνότητα πλάσματος και τη γυροσυχνότητα. Η συχνότητα πλάσματος είναι η

3 Κεφάλαιο 5. Αλληλεπίδραση του ηλιακού πλάσματος με το μαγνητικό πεδίο 91 χαρακτηριστική συχνότητα των ηλεκτροστατικών ταλαντώσεων που προκαλούνται από διαχωρισμό θετικών και αρνητικών φορτίων. Η τιμή της είναι, όπως είδαμε στο εδάφιο 2.3.5: ω p = N e e 2 m e (5.3) όπου m e η μάζα του ηλεκτρονίου. Η γυροσυχνότητα είναι η κυκλική συχνότητα περιστροφής ενός φορτισμένου σωματίου γύρω από τις δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου. Αν B είναι η ένταση του μαγνητικού πεδίου η γυροσυχνότητα δίνεται από την έκφραση (εδάφιο 2.3.4): ω = qb m όπου q είναι το φορτίο και m η μάζα του σωματίου. Η προβολή της τροχιάς του σωματίου κάθετα στις δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου είναι κύκλος με ακτίνα: α = mv eb που ονομάζεται ακτίνα Larmor και όπου v είναι η συνιστώσα της ταχύτητας του σωματίου κάθετα στο μαγνητικό πεδίο. Παράλληλα στο μαγνητικό πεδίο η κίνηση του σωματίου έχει σταθερή ταχύτητα έτσι που συνολικά, στην περίπτωση ομογενούς μαγνητικού πεδίου, το σωμάτιο ακολουθεί ελικοειδή τροχιά γύρω από τις δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου (Σχήμα 2.14). (5.4) (5.5) 5.3 Κίνηση σωματίων σε μαγνητικό πεδίο Αν και είναι πρακτικά αδύνατο να παρακολουθήσει κανείς την κίνηση καθενός από τα πολυάριθμα σωμάτια που αποτελούν το πλάσμα, η μελέτη της κίνησης ενός μεμονωμένου σωματίου κάτω από την επίδραση του μαγνητικού πεδίου δίνει σε πολλές περιπτώσεις απαντήσεις για τη συνολική συμπεριφορά του πλάσματος. Στη συνέχεια θα δούμε κάποια χαρακτηριστικά παραδείγματα Κίνηση ολίσθησης Είπαμε προηγούμενα ότι ένα σωμάτιο που κινείται σε ομογενές μαγνητικό πεδίο διαγράφει ελικοειδή τροχιά. Στην περίπτωση που το σωμάτιο δέχεται την επίδραση και άλλης δύναμης, κάθετης στο μαγνητικό πεδίο, η κίνησή του έχει δύο συνιστώσες: την κυκλική κίνηση γύρω από τις δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου και μια ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή ταχύτητα σε διεύθυνση κάθετη και στο μαγνητικό πεδίο και στην άλλη δύναμη. Η δεύτερη αυτή κίνηση ονομάζεται ολίσθηση και ο συνδυασμός της με την κυκλική κίνηση δίνει υποκυκλοειδείς, κυκλοειδείς ή επικυκλοειδείς τροχιές (Σχήμα 5.2). Η ταχύτητα ολίσθησης είναι: v D = 1 q F B B 2 (5.6) όπου F η συνιστώσα της μη μαγνητικής δύναμης κάθετα στο μαγνητικό πεδίο. Οταν η κάθετη δύναμη προέρχεται από ηλεκτρικό πεδίο, v D,E = E B B 2 (5.7) ενώ όταν προέρχεται από τη βαρύτητα, η ταχύτητα ολίσθησης είναι: v D,g = m q g B B 2 (5.8)

4 92 Φυσική του ήλιου και του διαστήματος Σχήμα 5.2: Κίνηση σωματίων σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (αριστερά) και κάτω από τη συνδυασμένη επίδραση μαγνητικού και κάθετου ηλεκτρικού πεδίου (δεξιά). όπου g η ένταση του πεδίου βαρύτητας. Στην περίπτωση που οι δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου είναι καμπύλες, η φυγόκεντρος δύναμη προκαλεί ολίσθηση με ταχύτητα v D, = m q v 2 R ˆn B B 2 (5.9) όπου v η ταχύτητα του σωματίου κατά μήκος των δυναμικών γραμμών, R η ακτίνα καμπυλότητάς τους και ˆn το μοναδιαίο διάστημα κάθετο στις δυναμικές γραμμές. Ολίσθηση έχουμε και σε κάποιες άλλες περιπτώσεις, ως αποτέλεσμα χωρικής ή χρονικής μεταβολής των πεδίων και όχι εξωτερικής δύναμης. Ετσι η μεταβολή του μαγνητικού πεδίου κάθετα στη διεύθυνση των δυναμικών γραμμών προκαλεί ολίσθηση με ταχύτητα: v 2 v D = 1 2 ω B db z dy db όπου v η ταχύτητα της κυκλικής κίνησης του σωματίου και z dy οποίο έχει τη μορφή B = B z (y)ẑ ˆx (5.10) η βαθμίδα του μαγνητικού πεδίου το Η μαγνητική ροπή Στη γενική περίπτωση όπου το μαγνητικό πεδίο είναι ανομοιογενές και ενδεχόμενα μεταβάλλεται με τον χρόνο η μελέτη της κίνησης ακόμα και ενός μεμονωμένου σωματίου γίνεται δύσκολη. Σε τέτοιες περιπτώσεις βοηθούν πολύ ορισμένες ποσότητες που είναι σχεδόν σταθερές της κίνησης, δηλαδή μεταβάλλονται πολύ λίγο αν η χωρική ή χρονική μεταβολή του πεδίου είναι αργή. Οι ποσότητες αυτές είναι γνωστές με το όνομα αδιαβατικά αμετάβλητες ποσότητες. Μία τέτοια ποσότητα είναι η μαγνητική ροπή του σωματίου: m = 1 2 mv 2 B ˆb (5.11) όπου ˆb το μοναδιαίο άνυσμα εφαπτόμενο στις δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου. Η αδιαβατική αμεταβλητότητα της μαγνητικής ροπής συνεπάγεται ότι η μαγνητική ροή που περνάει μέσα από την κυκλική τροχιά του σωματίου είναι σταθερή. Αυτό σημαίνει ότι, καθώς το σωμάτιο στριφογυρίζει γύρω από τις δυναμικές γραμμές του πεδίου, περιβάλλει πάντα τις ίδιες δυναμικές γραμμές (σε πρώτη προσέγγιση βέβαια και κάτω από την προϋπόθεση ότι δεν δρουν άλλες δυνάμεις που προκαλούν ολίσθηση).

5 Κεφάλαιο 5. Αλληλεπίδραση του ηλιακού πλάσματος με το μαγνητικό πεδίο Μαγνητικές παγίδες Μία πολύ ενδιαφέρουσα για την ηλιακή φυσική γεωμετρία του μαγνητικού πεδίου είναι η μαγνητική φιάλη. Στην ιδανική περίπτωση η μαγνητική φιάλη είναι μία μορφολογία πεδίου με κυλινδρική συμμετρία και χωρική μεταβολή της ακτινικής συνιστώσας του πεδίου έτσι που η έντασή του έχει την ελάχιστη τιμή της στο μέσο της φιάλης (Σχήμα 5.3-α). Στον Ηλιο η βασική μορφολογία μαγνητικού πεδίου είναι μια παραλλαγή της μαγνητικής φιάλης, ο μαγνητικός βρόχος (Σχήμα 5.3-β). Κάθε διπολική μαγνητική περιοχή, από αυτές που μόλις διακρίνονται από τα όργανά μας, μέχρι τα μεγάλα κέντρα δράσης και το γενικό μαγνητικό πεδίο του ήλιου, αυτή τη μορφολογία έχουν. Σχήμα 5.3: Μαγνητική φιάλη (α) και μαγνητικός βρόχος (β). Η κίνηση ενός σωματίου μέσα στη μαγνητική φιάλη μπορεί να μελετηθεί με βάση τη σταθερότητα της μαγνητικής ροπής και της κινητικής ενέργειας. Ας παρακολουθήσουμε ένα σωμάτιο που βρίσκεται κοντά στο μέσο της φιάλης. Η κίνησή του έχει δύο συνιστώσες, μία κυκλική κίνηση κάθετα στις δυναμικές γραμμές και μια γραμμική κίνηση παράλληλα στις δυναμικές γραμμές. Η παράλληλη κίνηση το φέρνει σε περιοχές με μεγαλύτερη ένταση μαγνητικού πεδίου όπου η αμεταβλητότητα της μαγνητικής ροπής έχει ως συνέπεια την αύξηση της κάθετης προς το μαγνητικό πεδίο συνιστώσας της ταχύτητας. Η αύξηση της κάθετης συνιστώσας γίνεται σε βάρος της παράλληλης συνιστώσας της ταχύτητας, αφού η διατήρηση της κινητικής ενέργειας απαιτεί σταθερότητα του μέτρου της ταχύτητας. Τελικό αποτέλεσμα: καθώς το σωμάτιο κινείται προς περιοχές έντονου μαγνητικού πεδίου η παράλληλη συνιστώσα της ταχύτητας του ελαττώνεται συνεχώς και, αν το μαγνητικό πεδίο στις άκρες της φιάλης είναι αρκετά ισχυρό, σε κάποιο σημείο μηδενίζεται. Στο σημείο αυτό το σωμάτιο ανακλάται προς το κέντρο της φιάλης. Είναι φανερό ότι μια τέτοια γεωμετρία μαγνητικού πεδίου μπορεί να συγκρατήσει σωμάτια, δρα δηλαδή ως μαγνητική παγίδα. Επειδή στη φύση η ένταση του μαγνητικού πεδίου στα άκρα της φιάλης δεν μπορεί να αυξάνεται απεριόριστα, η παγίδα δεν είναι τέλεια. Κάποια σωμάτια που κινούνται σχεδόν παράλληλα προς τις δυναμικές γραμμές του πεδίου θα ξεφύγουν. Μπορεί κανείς να υπολογίσει ότι, αν η ταχύτητα του σωματίου στο μέσο της μαγνητικής φιάλης σχηματίζει γωνία θ 0 με το μαγνητικό πεδίο, το σωμάτιο θα ανακλαστεί στη θέση όπου η ένταση του μαγνητικού πεδίου είναι: B = B min sin θ0 2 (5.12) όπου B min είναι η ελάχιστη ένταση του πεδίου, στό μέσο της φιάλης. Αν η μέγιστη ένταση του πεδίου στο άκρο της φιάλης είναι B max, τότε η φιάλη παγιδεύει σωμάτια που η ταχύτητά τους σχηματίζει με τον άξονα της φιάλης γωνία μεγαλύτερη από: θ max = sin 1 B min (5.13) B max

6 94 Φυσική του ήλιου και του διαστήματος Ετσι οι ταχύτητες των σωματίων που διαφεύγουν από τη φιάλη βρίσκονται, στο χώρο των ταχυτήτων, μέσα σε ένα κώνο γωνίας θ max, που είναι γνωστός με το όνομα κώνος απώλειας (loss one). 5.4 Μαγνητοϋδροδυναμική περιγραφή του πλάσματος Η δράση των ηλεκτρομαγνητικών δυνάμεων στο πλάσμα κάνει την περιγραφή του πολύ πιο δύσκολη από την περιγραφή, π.χ., ενός αερίου. Η επιλογή των καταλλήλων προσεγγίσεων που θα επιτρέψουν την ερμηνεία κάποιου φαινόμενου που μας ενδιαφέρει χωρίς να καταλήγουν σε μαθηματικές εκφράσεις που είναι υπερβολικά πολύπλοκες, απαιτεί καλή κατανόηση και των γενικών χαρακτηριστικών του φαινόμενου και της συμπεριφοράς του πλάσματος. Μια προσέγγιση που είναι ικανοποιητική για την κατανόηση της δομής της ηλιακής ατμόσφαιρας και ακόμα για την ερμηνεία ορισμένων δυναμικών φαινομένων είναι η μαγνητοϋδροδυναμική (ΜΥΔ) προσέγγιση (magnetohydrodynamis, MHD). Το πλάσμα περιγράφεται ως ρευστό, δηλαδή με μακροσκοπικές ποσότητες όπως η πυκνότητα (ρ), η ταχύτητα ροής (V ), η πίεση (P ), η πυκνότητα ενέργειας. Επί πλέον υποθέτουμε ότι το πλάσμα είναι στο σύνολό του ηλεκτρικά ουδέτερο, ότι οι ταχύτητες είναι πολύ μικρές σε σχέση με την ταχύτητα του φωτός και ότι οι χρονικές μεταβολές είναι αργές. Οι υποθέσεις αυτές καταλήγουν στις παρακάτω εξισώσεις: α. Εξίσωση συνέχειας (διατήρηση της μάζας) β. Εξίσωση της ορμής (εξίσωση της κίνησης) ( ) V ρ t + V V = ρg P + J B ρ + (ρv ) = 0 (5.14) t (5.15) όπου g η ένταση της βαρύτητας, J η πυκνότητα ρεύματος και B το μαγνητικό πεδίο. Ο επί πλέον όρος, σε σχέση με τα κλασσικά ρευστά, J B, περιγράφει την δύναμη που ασκεί το μαγνητικό πεδίο στο πλάσμα (δύναμη Lorentz). γ. Εξίσωση του Ohm E + V B = ηj (5.16) όπου η είναι η ειδική αντίσταση του πλάσματος. Το καινούργιο εδώ είναι ο όρος V B, που σχετίζεται με το φαινόμενο της ολίσθησης κάτω από την επίδραση ηλεκτρικού και κάθετου μαγνητικού πεδίου. Επειδή σε πολλές περιπτώσεις η ειδική αντίσταση του πλάσματος είναι πολύ μικρή, ο νόμος του Ohm γράφεται και ως E + V B = 0 (5.17) που αποτελεί την προσέγγιση της ιδανικής μαγνητοϋδροδυναμικής. δ. Καταστατική εξίσωση Η καταστατική εξίσωση συνδέει την πίεση και την πυκνότητα. Ανάλογα με την περίπτωση μπορούμε να θεωρήσουμε, Ισόθερμη καταστατική εξίσωση: δηλαδή ότι η πίεση είναι ανάλογη της πυκνότητας P = αρ (5.18)

7 Κεφάλαιο 5. Αλληλεπίδραση του ηλιακού πλάσματος με το μαγνητικό πεδίο 95 Αδιαβατική: P = αρ γ (5.19) ή μπορούμε ακόμα και να αγνοήσουμε την πίεση, να θέσουμε δηλαδή: P = 0 (5.20) όταν η ένταση του μαγνητικού πεδίου είναι τόσο μεγάλη που ό όρος της πίεσης στην εξίσωση της ορμής είναι πολύ μικρότερος από τη δύναμη Lorentz. ε. Νόμος του Ampère (χωρίς το ρεύμα μετατόπισης, εφόσον εξετάζουμε φαινόμενα με χαρακτηριστικές ταχύτητες πολύ μικρότερες από την ταχύτητα του φωτός) B = J (5.21) στ. Νόμος του Faraday E = 1 B t (5.22) 5.5 Η δύναμη Lorentz Για την κατανόηση της δυναμικής του συστήματος πλάσμα μαγνητικό πεδίο είναι απαραίτητο να σταθούμε λίγο περισσότερο στη δύναμη Lorentz που εμφανίζεται στην εξίσωση της ορμής. Κατ αρχήν είναι φανερό ότι η δύναμη Lorentz είναι κάθετη και προς το μαγνητικό πεδίο και προς το ρεύμα. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση του Ampère (5.21) για να απαλείψουμε το ρεύμα, παίρνουμε : J B = 1 ( B) B οπότε Ο όρος ( B) B μπορεί να εκφραστεί με βάση την ανυσματική ταυτότητα : B 2 = (B B) = 2B ( B) + 2B B J B = B2 8π + B B (5.23) Ο πρώτος όρος του δεύτερου μέλους της (5.23) έχει ακριβώς την ίδια μορφή με τον όρο της πίεσης του ρευστού στην εξίσωση της ορμής. Για τον λόγο αυτό ονομάζεται μαγνητική πίεση: P m = B2 8π (5.24) Σημειώνουμε ότι ο λόγος της μαγνητικής πίεσης προς την πίεση το αερίου, P g, β = P g P m είναι μια πολύ χρήσιμη παράμετρος που μας δίνει μια εκτίμηση για το αν στη συμπεριφορά του πλάσματος υπερισχύουν οι μαγνητικές ιδιότητες (β 0, low-beta plasma) ή οι ιδιότητες του ρευστού (β 0, highbeta plasma). Δεδομένου ότι η μαγνητική πίεση αντιπροσωπεύει επίσης και την πυκνότητα ενέργειας του

8 96 Φυσική του ήλιου και του διαστήματος μαγνητικού πεδίου, ενώ η πίεση του αερίου αντιστοιχεί στην πυκνότητα εσωτερικής ενέργειας, η παράμετρος β εκφράζει και το λόγο των δύο αυτών ποσοτήτων. Ο δεύτερος όρος είναι η προβολή της μεταβολής του μαγνητικού πεδίου στη διεύθυνση παράλληλα προς τις δυναμικές γραμμές και ονομάζεται μαγνητική τάση. Είναι φανερό ότι όταν οι μαγνητικές γραμμές είναι ευθείες η μαγνητική τάση μηδενίζεται. Μπορούμε να εκφράσουμε τη μαγνητική τάση συναρτήσει της ακτίνας καμπυλότητας των δυναμικών γραμμών, R, που δίνεται από τη σχέση: ˆn R = ˆb ˆb (5.25) όπου ˆb είναι το μοναδιαίο άνυσμα παράλληλα προς τις δυναμικές γραμμές και ˆn το μοναδιαίο άνυσμα στη διεύθυνση της καμπυλότητας, που είναι κάθετο στις δυναμικές γραμμές. Γράφοντας B = Bˆb παίρνουμε ) B B = Bˆb Bˆb = Bˆb (B ˆb + ( B)ˆb) = B 2ˆb ˆb + ˆb ( B2 ˆb = B 2 ˆn B R 2 Ετσι τελικά: J B B 2 = 8π + B2 ˆn (5.26) R δηλαδή η συνιστώσα της μαγνητικής τάσης παράλληλα προς το πεδίο εξουδετερώνεται από την αντίστοιχη συνιστώσα της βαθμίδας της μαγνητικής πίεσης. Στις παραπάνω εξισώσεις τα σύμβολα, δηλώνουν τις συνιστώσες της βαθμίδας κάθετα και παράλληλα στο μαγνητικό πεδίο αντίστοιχα. 5.6 Παραδείγματα δύναμης Lorentz Θα δώσουμε παρακάτω μερικά παραδείγματα υπολογισμού της δύναμης Lorentz για συνηθισμένες μορφολογίες μαγνητικού πεδίου. Σε κάθε παράδειγμα θα υπολογίσουμε επίσης την μαγνητική πίεση και τη μαγνητική τάση. α. Ομογενές μαγνητικό πεδίο Σχήμα 5.4: Παράδειγμα ομοιογενούς μαγνητικού πεδίου.

9 Κεφάλαιο 5. Αλληλεπίδραση του ηλιακού πλάσματος με το μαγνητικό πεδίο 97 Το ομοιογενές μαγνητικό πεδίο έχει παντού την ίδια ένταση και την ίδια διεύθυνση: B = B 0 ŷ (5.27) Προφανώς οι δυναμικές γραμμές είναι παράλληλες ευθείες με σταθερή πυκνότητα (Σχήμα 5.4). Είναι επίσης φανερό ότι το ρεύμα είναι μηδέν, άρα και η δύναμη Lorentz είναι μηδέν. Η μαγνητική πίεση είναι σταθερή: P m = B 2 0/8π (5.28) άρα η βαθμίδα της είναι μηδέν και δεν εξασκεί δύναμη στο πλάσμα. Τέλος η καμπυλότητα των δυναμικών γραμμών του πεδίου είναι μηδενική, συνεπώς και η μαγνητική τάση είναι μηδενική. β. Μαγνητικό πεδίο με κάθετη μεταβολή Ας θεωρήσουμε ότι το πεδίο έχει τη μορφή: B = B 0 e x ŷ (5.29) Οι δυναμικές του γραμμές (Σχήμα 5.5) είναι παράλληλες ευθείες με πυκνότητα που αυξάνει στη διεύθυνση x. Σχήμα 5.5: Παράδειγμα μαγνητικού πεδίου με μεταβολή κάθετη στη διεύθυνσή του. Από την εξίσωση του Ampère μπορούμε να υπολογίσουμε το ρεύμα: και από αυτό τη δύναμη Lorentz: J = 1 B y x ẑ = B 0e x ẑ J B = B2 0 e2x ẑ ŷ = B2 0 e2x ˆx Η μαγνητική πίεση και η βαθμίδα της είναι: P m = B2 0 e2x 8π P m = B2 0 e2x (5.30) ˆx (5.31)

10 98 Φυσική του ήλιου και του διαστήματος δηλαδή η δύναμη Lorentz προέρχεται από τη μαγνητική πίεση, πράγμα που περιμέναμε αφού η καμπυλότητα των δυναμικών γραμμών και η μαγνητική τάση είναι μηδέν. Σε ένα τέτοιο μαγνητικό πεδίο το πλάσμα μπορεί να είναι σε ισορροπία αν η πίεση του αερίου αντισταθμίζει την μαγνητική πίεση, δηλαδή αν σε περιοχές έντονου μαγνητικού πεδίου η πίεση είναι μικρή και αντίστροφα, έτσι ώστε: P g + P m = onst (5.32) γ. Πεδίο με καμπύλες δυναμικές γραμμές Ας εξετάσουμε μαγνητικό πεδίο της μορφής: B = yˆx + ŷ (5.33) Ο υπολογισμός των δυναμικών του γραμμών δείχνει ότι είναι μια οικογένεια παραβολών (Σχήμα 5.6) : dy dx = B y B x = 1 y = x = 1 2 y2 + C Σχήμα 5.6: Πεδίο με καμπύλες δυναμικές γραμμές. Υπολογίζοντας το ρεύμα και τη δύναμη Lorentz παίρνουμε: J B ( By x B ) x ẑ = ẑ y = 1 1 ( yẑ ˆx + ẑ ŷ) = (ˆx + yŷ) J = 1 Η μαγνητική πίεση και η βαθμίδα της είναι: και η μαγνητική τάση: B B P m = y2 + 1 (5.34) 8π P m = y ŷ (5.35) = 1 ( ) B x B y y ˆx + B B y x x ŷ = ˆx (5.36)

11 Κεφάλαιο 5. Αλληλεπίδραση του ηλιακού πλάσματος με το μαγνητικό πεδίο 99 Στο παράδειγμα αυτό τόσο η μαγνητική τάση όσο και η μαγνητική πίεση συνεισφέρουν στη δύναμη Lorentz. Σημειώνουμε ότι η μαγνητική τάση είναι παντού η ίδια, ενώ η βαθμίδα της μαγνητικής πίεσης μηδενίζεται πάνω στον άξονα x. δ. Ουδέτερο σημείο τύπου Χ (συμμετρικό) Η γεωμετρία του ουδέτερου σημείου τύπου Χ δίνεται στο Σχήμα 5.7. Η ονομασία προέρχεται από τη μορφή των δυναμικών γραμμών στην αρχή των αξόνων, όπου το μαγνητικό πεδίο μηδενίζεται. Στον Ηλιο μία τέτοια γεωμετρία μπορεί να εμφανιστεί τοπικά ως αποτέλεσμα της προσέγγισης δύο διπολικών μαγνητικών περιοχών. Η μορφή του πεδίου είναι: B = yˆx + xŷ (5.37) Οι δυναμικές γραμμές για την παραπάνω μορφή είναι δύο όμοιες οικογένειες υπερβολών: dy dx = x y = y2 x 2 = C Σχήμα 5.7: Συμμετρικό ουδέτερο σημείο τύπου Χ. Υπολογίζοντας, όπως και προηγούμενα, το ρεύμα και τη δύναμη Lorentz παίρνουμε: J J B Η μαγνητική πίεση και η βαθμίδα της είναι: = 1 ( By x B ) x ẑ = 0 y = 0 και η μαγνητική τάση: P m = x2 + y 2 8π xˆx + yŷ P m = B B = xˆx + yŷ (5.38) (5.39) (5.40)

12 100 Φυσική του ήλιου και του διαστήματος έτσι που P m + B B Παρατηρούμε ότι εδώ η μαγνητική τάση εξουδετερώνει τη βαθμίδα της μαγνητικής πίεσης έτσι που η δύναμη Lorentz είναι παντού μηδενική. ε. Ουδέτερο σημείο τύπου Χ (μη συμμετρικό) Αν τροποποιήσουμε λίγο την προηγούμενη γεωμετρία και εξετάσουμε πεδίο της μορφής: = 0 B = yˆx + a 2 xŷ (5.41) με a 2 > 1, οι δύο οικογένειες των υπερβολών δεν είναι πια όμοιες (Σχήμα 5.8) και οι δυναμικές γραμμές έχουν τη μορφή: y 2 a 2 x 2 = C Σχήμα 5.8: Μη συμμετρικό ουδέτερο σημείο τύπου Χ. Υπολογίζουμε και πάλι το ρεύμα και τη δύναμη Lorentz: J J B Η μαγνητική πίεση και η βαθμίδα της είναι τώρα: = a2 1 ẑ = a2 1 ( a2 xˆx + yŷ) P m = a4 x 2 + y 2 8π P m = a4 xˆx + yŷ (5.42) (5.43) και η μαγνητική τάση: B B = a2 (xˆx + yŷ) (5.44) έτσι που τώρα η μαγνητική πίεση δεν εξουδετερώνει τη μαγνητική τάση. Πάνω στον άξονα x η δύναμη Lorentz κατευθύνεται προς τα μέσα: y = 0 = J B ενώ πάνω στον άξονα y η δύναμη κατευθύνεται προς τα έξω: = a2 (a 2 1) xˆx x = 0 = J B = a2 1 yŷ

13 Κεφάλαιο 5. Αλληλεπίδραση του ηλιακού πλάσματος με το μαγνητικό πεδίο 101 Αν η δύναμη Lorentz δεν εξουδετερωθεί από την βαθμίδα της πίεσης του αερίου σε συνδυασμό με τη βαρύτητα, η γεωμετρία αυτή μπορεί να επιταχύνει το πλάσμα. Στην διεύθυνση x η επιτάχυνση θα είναι προς το κέντρο, ενώ στη διεύθυνση y η επιτάχυνση θα είναι προς τα έξω. Σε κάθε περίπτωση, η γεωμετρία αυτή μπορεί να εξελιχθεί σε γεωμετρία φύλλου ρεύματος (βλ. εδάφιο παρακάτω). ε. Ουδέτερο σημείο τύπου Ο Στο παράδειγμα αυτό το μαγνητικό πεδίο έχει τη μορφή: B = yˆx + xŷ (5.45) και οι δυναμικές γραμμές είναι κύκλοι με κέντρο την αρχή των αξόνων (Σχήμα 5.9), όπου το μαγνητικό πεδίο μηδενίζεται: y 2 + x 2 = C Το ρεύμα και η δύναμη Lorentz είναι: Σχήμα 5.9: Ουδέτερο σημείο τύπου Ο. Η μαγνητική πίεση και η βαθμίδα της είναι: J J B = ẑ 2π xˆx + yŷ = 2π και η μαγνητική τάση: P m = x2 + y 2 8π xˆx + yŷ P m = B B xˆx + yŷ = (5.46) (5.47) (5.48) και έχουμε ίση συνεισφορά της μαγνητικής πίεσης και τάσης στη δύναμη Lorentz. Σε κάθε σημείο η δύναμη κατευθύνεται προς το κέντρο, συνεπώς αυτή η γεωμετρία μαγνητικού πεδίου μπορεί να συγκρατήσει το πλάσμα.

14 102 Φυσική του ήλιου και του διαστήματος 5.7 Μαγνητοϋδροστατική Στατικές καταστάσεις στον Ηλιο δεν υπάρχουν. Εν τούτοις μπορούμε να μελετήσουμε κάποια φαινόμενα ως στατικά, με την προϋπόθεση ότι το πρώτο μέλος της εξίσωσης της ορμής (5.15) είναι πολύ μικρότερο από κάθε όρο του δεύτερου μέλους. Η ανάλυση τάξης μεγέθους δίνει για κάθε όρο ότι: ρ V t J B J B V V ρ V 2 L JB, J B L = P P L B2 L (5.49) (5.50) (5.51) Συνεπώς το πρώτο μέλος της (5.15) μπορεί να αγνοηθεί όταν V P ρ = v s (ταχύτητα του ήχου) (5.52) V B ρ =v A (ταχύτητα Alfvén, βλ. και εδάφιο 7.2.1) (5.53) V Lg v g (ταχύτητα ελεύθερης πτώσης) (5.54) Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση της ορμής γράφεται στη παρακάτω μορφή: P = J B + ρg (5.55) και εκφράζει την ισορροπία ανάμεσα στην πίεση, τη δύναμη Lorentz και τη βαρύτητα. Οταν η δύναμη Lorentz είναι μηδέν, η (5.55) είναι ταυτόσημη με την εξίσωση της υδροστατικής ισορροπίας (1.3). Για να πάρουμε μια καλύτερη εικόνα για την ισχύ της στατικής προσέγγισης δίνουμε στον πίνακα 5.1 τιμές για την ταχύτητα του ήχου και την ταχύτητα Alfvén (Β είναι η ένταση του μαγνητικού πεδίου σε G). Η ταχύτητα ελεύθερης πτώσης είναι της ίδιας τάξης μεγέθους με την ταχύτητα του ήχου Πίνακας 5.1: Τυπικές τιμές της ταχύτητας του ήχου και της ταχύτητας Alfvén Περιοχή v s v A (km/se) (km/se) Φωτόσφαιρα (τ=1) Β Ελάχιστο θερμοκρασίας Β Χρωμόσφαιρα Β Στέμμα Β Αν και η εξίσωση (5.55) είναι πιο απλή από την πλήρη εξίσωση της ορμής, η λύση της δεν είναι καθόλου εύκολη. Ενα εύκολο πρώτο συμπέρασμα είναι ότι κατά μήκος των δυναμικών γραμμών του μαγνητικού πεδίου έχουμε υδροστατική ισορροπία. Πράγματι, αφού η δύναμη Lorentz δρα κάθετα στο πεδίο, στην παράλληλη διεύθυνση θα έχουμε: P = ρg (5.56)

15 Κεφάλαιο 5. Αλληλεπίδραση του ηλιακού πλάσματος με το μαγνητικό πεδίο 103 που έχει τη λύση P = P 0 e z z 0 dz H(T ) (5.57) όπου H = (kt )/(µgm H ) είναι η γνωστή μας από το πρώτο κεφάλαιο κλίμακα ύψους. Το αποτέλεσμα αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό γιατί μας δείχνει ότι κάθε δυναμική γραμμή έχει τη δική της ατμόσφαιρα, με συνθήκες που μπορεί να είναι πολύ διαφορετικές από αυτές των γειτονικών γραμμών. Μπορούμε δηλαδή σε μία ομάδα μαγνητικών γραμμών (μαγνητικό σωλήνα ροής) να έχουμε αυξημένη πίεση ή/και θερμοκρασία πράγμα που θα έχει ως αποτέλεσμα αυξημένη εκπομπή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Κάθετα στο μαγνητικό πεδίο η μεταβολή της πίεσης καθορίζεται από τη δύναμη Lorentz (μαγνητική πίεση και τάση) και τη βαρύτητα. 5.8 Υπολογισμός του μαγνητικού πεδίου στο στέμμα Επειδή το μαγνητικό πεδίο παίζει καθοριστικό ρόλο στα περισσότερα ηλιακά φαινόμενα, η μέτρησή του έχει μεγάλη σημασία για την κατανόησή τους. Εν τούτοις, με εξαίρεση τη φωτόσφαιρα όπου το πεδίο μπορεί να μετρηθεί με αρκετή ακρίβεια χάρις στο φαινόμενο Zeeman (βλ. εδάφιο και Παράρτημα Α ), στα άλλα στρώματα της ηλιακής ατμόσφαιρας η μέτρησή του είναι δυσχερής. Για το λόγο αυτό έχει αναπτυχθεί μια εκτεταμένη μεθοδολογία για τον υπολογισμό του μαγνητικού πεδίου στη χρωμόσφαιρα και το στέμμα από φωτοσφαιρικές παρατηρήσεις. Στην ουσία ο υπολογισμός αυτός είναι ένα πρόβλημα οριακών τιμών, όπου έχουμε την τιμή του πεδίου σε μια επιφάνεια και αναζητούμε λύσεις για το χώρο πάνω από αυτή την επιφάνεια. Αυτός ο μαθηματικός φορμαλισμός έχει πίσω του μια φυσική πραγματικότητα: το μαγνητικό πεδίο έχει τις πηγές του κυρίως κάτω από τη φωτόσφαιρα με τα ατμοσφαιρικά στρώματα να παίζουν δευτερεύοντα αλλά όχι ασήμαντο ρόλο. Το μαθηματικό πρόβλημα έχει τις δυσκολίες του και δεν μπορεί να λυθεί χωρίς απλουστεύσεις. Αυτό που έχει σημασία, όπως πάντα στη Φυσική, είναι οι όποιες απλουστεύσεις, αφ ενός μεν να έχουν φυσικό αντίκρισμα, αφ ετέρου σε να μην αλλοιώνουν τη φύση του προβλήματος. Η βασική απλούστευση, κοινή σε όλα τα μοντέλα που θα συζητήσουμε, είναι η υπόθεση ότι η δύναμη Lorenz (εδάφιο 5.5) είναι μηδενική: J B = 0 (5.58) Η συνθήκη αυτή είναι γνωστή ως υπόθεση χωρίς δυνάμεις (fore-free). Στο πλαίσιο της Μαγνητοϋδροστατική που εξετάζουμε το πρόβλημα, αυτό σημαίνει ότι ο όρος που περιέχει το μαγνητικό πεδίο υπερισχύει σε σχέση με όλους τους άλλους της εξίσωσης της ορμής (5.15). Αυτή, προφανώς, είναι μια πολύ καλή υπόθεση σε περιοχές με δυνατό μαγνητικό πεδίο, όχι όμως αναγκαστικά και σε περιοχές με ασθενές πεδίο. Επί πλέον, υπάρχουν ενδείξεις ότι η υπόθεση χωρίς δυνάμεις δεν ισχύει στη φωτόσφαιρα: μελέτες έχουν δείξει ότι η δύναμη Lorentz δεν μηδενίζεται σε ύψη κάτω από 400 km. Σημειώνουμε παραπέρα ότι η συνθήκη (5.58) μπορεί να σημαίνει δύο πράγματα: (1) μηδενικό ηλεκτρικό ρεύμα πάνω από τη φωτόσφαιρα, (2) ηλεκτρικό ρεύμα παράλληλο προς το μαγνητικό πεδίο. Θα δούμε το καθένα χωριστά στη συνέχεια Υπόθεση χωρίς ρεύματα Η πιο απλή περίπτωση είναι αν υποθέσουμε ότι τα ρεύματα που κυκλοφορούν στο στέμμα είναι αμελητέα (υπόθεση χωρίς ρεύματα, urrent free ή potential). Ο νόμος του Ampère (5.21) δίνει σ αυτή την περίπτωση: B = 0 (5.59)

16 104 Φυσική του ήλιου και του διαστήματος Τότε το μαγνητικό πεδίο μπορεί να περιγραφεί από ένα δυναμικό, ϕ, έτσι ώστε: B = ϕ (5.60) με το δυναμικό να υπακούει στην εξίσωση του Laplae: 2 ϕ = 0 (5.61) Σχήμα 5.10: Αριστερά: υπολογισμός του μαγνητικού πεδίου σε όλο το στέμμα με την υπόθεση χωρίς ρεύματα. Δεξιά: η δομή του στέμματος στο λευκό φως από εικόνα ολικής έκλειψης του Ηλιου παρμένη στο Bor Udzuur της Μογγολίας την 1η Αυγούστου 2008 (από Rušin et al., 2010). Στην περίπτωση αυτή για τη λύση του προβλήματος οριακών τιμών αρκεί ως κάτω οριακή συνθήκη μία από τις συνιστώσες του φωτοσφαιρικού μαγνητικού πεδίου, π.χ. αυτή που μετράμε κατά μήκος της διεύθυνσης παρατήρησης (βλ. παράρτημα Α.5.5). Από υπολογιστικής πλευράς διακρίνουμε δύο περιπτώσεις, ανάλογα με το τι μας ενδιαφέρει: η μία είναι να υπολογίσουμε το μαγνητικό πεδίο σε όλο το στέμμα και η άλλη να το υπολογίσουμε σε μια περιοχή πάνω από κάποιο κέντρο δράσης. Για να υπολογίσουμε το μαγνητικό πεδίο σε όλο το στέμμα χρησιμοποιούμε σφαιρική γεωμετρία και η λύση δίνεται με ανάπτυξη σε σφαιρικές αρμονικές. Ως άνω οριακή συνθήκη χρησιμοποιείται η υπόθεση ότι από κάποιο ύψος και πάνω οι δυναμικές γραμμές έχουν ακτινική διεύθυνση, λόγω του ηλιακού ανέμου. Είναι προφανές ότι για να συγκεντρώσουμε φωτοσφαιρικές παρατηρήσεις από όλο τον ήλιο χρειαζόμαστε αρκετό χρόνο, περίπου μια ηλιακή περιστροφή. Ετσι οι υπολογισμοί μας δεν μπορούν να περιγράψουν σχηματισμούς που μεταβάλλονται με πιο γρήγορο ρυθμό και έτσι περιοριζόμαστε σε μεγάλης κλίμακας σχηματισμούς που διαρκούν περισσότερο. Ενα παράδειγμα δίνεται στο Σχήμα 5.10, όπου παρουσιάζονται ο υπολογισμός δυναμικών γραμμών του μαγνητικού πεδίου μαζί με φωτογραφία του στέμματος στη διάρκεια ολικής έκλειψης. Η ομοιότητα των σχηματισμών του στέμματος με την υπολογισμένη δομή του πεδίου είναι πραγματικά εντυπωσιακή. Στο σχήμα διακρίνονται δύο βασικές μορφολογίες του μαγνητικού πεδίου: στη μία οι δυναμικές γραμμές ανεβαίνουν σε σχετικά μικρό ύψος και στη συνέχεια επανέρχονται στη φωτόσφαιρα, ενώ στην άλλη οι δυναμικές γραμμές απομακρύνονται πολύ από τον Ηλιο. Οι πρώτες μαγνητικές δομές έχουν τη δυνατότητα να συγκρατήσουν το πλάσμα και έτσι αντιστοιχούν σε λαμπρές περιοχές του στέμματος (βλ τη δεξιά εικόνα), ενώ από τις δεύτερες το πλάσμα διαφεύγει εύκολα με τον ηλιακό άνεμο και η ένταση της ακτινοβολίας είναι χαμηλή. Για το λόγο αυτό ονομάζονται κλειστές μαγνητικές δομές και ανοιχτές μαγνητικές δομές αντίστοιχα. Θα επανέλθουμε στο θέμα στο κεφάλαιο 8.8. Οι υπολογισμοί του μαγνητικού πεδίου πάνω από μία μικρή περιοχή χρησιμοποιούν επίπεδη γεωμετρία και η λύση του προβλήματος οριακών τιμών δίνεται σε ανάπτυξη Fourier. Ως άνω οριακή συνθήκη χρησιμοποιείται η απαίτηση το μαγνητικό πεδίο να ελαττώνεται εκθετικά σε μεγάλες αποστάσεις.

17 Κεφάλαιο 5. Αλληλεπίδραση του ηλιακού πλάσματος με το μαγνητικό πεδίο Υπόθεση με ρεύματα παράλληλα στο πεδίο Σε πολλές περιπτώσεις η υπόθεση ότι δεν υπάρχουν ηλεκτρικά ρεύματα πάνω από τη φωτόσφαιρα είναι ανεπαρκής για τον υπολογισμό του μαγνητικού πεδίου. Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να πάμε στη δεύτερη περίπτωση που συζητήσαμε προηγούμενα και να υποθέσουμε ότι τα ηλεκτρικά ρεύματα είναι παράλληλα προς το μαγνητικό πεδίο. Η συνθήκη παραλληλίας συνεπάγεται ότι : B = αb (5.62) όπου α είναι μία βαθμωτή ποσότητα, συνάρτηση της θέσης στη γενική περίπτωση. Προφανώς όταν α = 0 αναγόμαστε στην περίπτωση χωρίς ρεύμα. Παίρνοντας την απόκλιση της (5.62) βρίσκουμε ότι: 0 = ( B) = (αb) = α B + B α από όπου B α = 0 (5.63) Η παραπάνω σχέση σημαίνει απλά ότι η ποσότητα α είναι σταθερή κατά μήκος μιας δυναμικής γραμμής. Για δούμε τι αποτέλεσμα επιφέρει η προσθήκη ρευμάτων ας σκεφτούμε ότι το ρεύμα προσθέτει μία επιπλέον συνιστώσα στο μαγνητικό πεδίο, κάθετη σ αυτή που θα υπήρχε χωρίς ρεύμα, πράγμα που οδηγεί σε στροφή των δυναμικών γραμμών. Η επίδραση των ρευμάτων δίνεται στο Σχήμα 5.11 για μια κηλίδα (με κυλινδρική συμμετρία) και για μια ουδέτερη γραμμή του μαγνητικού πεδίου 1 (με συμμετρία μεταφοράς). Και στις δύο περιπτώσεις το σχήμα δείχνει την προβολή των δυναμικών γραμμών στο επίπεδο της φωτόσφαιρας. Σχήμα 5.11: Σύγκριση μαγνητικού πεδίου για διάφορα πρόσημα της ποσότητας α, σε μια κηλίδα (αριστερά) και σε μια ουδέτερη γραμμή του μαγνητικού πεδίου (δεξιά). Τα βέλη δείχνουν τις κινήσεις του πλάσματος που μπορούν να προκαλέσουν τέτοιες μορφολογίες μαγνητικού πεδίου. Μορφολογίες μαγνητικού πεδίου σαν αυτές του Σχήματος 5.11 μπορούν να προκύψουν από τοπολογίες χωρίς ρεύματα, σε συνδυασμό με κινήσεις του φωτοσφαιρικού πλάσματος, δεδομένου ότι οι δυναμικές γραμμές του πεδίου είναι παγωμένες στο πλάσμα (εδάφιο 6.2.1). Ετσι, αν το σύνολο των κινήσεων του πλάσματος κοντά σε μια κηλίδα έχει μια καθαρή περιστροφική συνιστώσα, οι δυναμικές γραμμές θα παραμορφωθούν και θα καταλήξουμε σε μια τοπολογία με α 0. Το αντίστοιχο θα συμβεί αν το πλάσμα έχει μια καθαρή κίνηση παράλληλα στην ουδέτερη γραμμή, με αντίθετες διευθύνσεις σε κάθε πλευρά της. Το προηγούμενο συμπέρασμα έχει ιδιαίτερη σημασία αν συνδυαστεί με ένα άλλο αποτέλεσμα που προκύπτει από τη μελέτη των μαγνητικών πεδίων, ότι δηλαδή από όλες τις λύσεις που προκύπτουν από δεδομένη 1 Η ουδέτερη γραμμή χωρίζει περιοχές με μαγνητικά πεδία αντίθετης πολικότητας. Πάνω σ αυτή το μαγνητικό πεδίο είναι οριζόντιο

18 106 Φυσική του ήλιου και του διαστήματος οριακή συνθήκη (φωτοσφαιρική παρατήρηση) για διάφορες τιμές του α, η περίπτωση α = 0 έχει τη μικρότερη ενέργεια. Αυτό με απλά λόγια σημαίνει ότι κινήσεις του φωτοσφαιρικού πλάσματος όχι μόνον παραμορφώνουν τις δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου αλλά επί πλέον δρουν ως μηχανισμός συσσώρευσης ενέργειας στο μαγνητικό πεδίο. Θα επανέρθουμε στο θέμα αυτό όταν συζητήσουμε τις εκλάμψεις (κεφάλαιο 9.5) Γραμμική λύση χωρίς δυνάμεις Η πιο απλή περίπτωση όταν α 0 είναι να θεωρήσουμε την ποσότητα α σταθερή σε όλο το χώρο. Η εξίσωση (5.62) είναι τότε γραμμική και το πρόβλημα χαρακτηρίζεται ως γραμμικό πεδίο χωρίς δυνάμεις (linear fore-free). Για τη λύση του απαιτείται να γνωρίζουμε, όπως στην περίπτωση α = 0, μια συνιστώσα του φωτοσφαιρικού μαγνητικού πεδίου αλλά τώρα χρειάζεται να εκτιμήσουμε και την τιμή του α. Είναι φανερό ότι, ξεκινώντας από τις ίδιες φωτοσφαιρικές παρατηρήσεις μπορούμε να πάρουμε διαφορετική μορφολογία μαγνητικού πεδίου για διαφορετικές τιμές του α. Το κριτήριο για την κατάλληλη τιμή του α είναι η σύγκριση του προσανατολισμού των δυναμικών γραμμών του μαγνητικού πεδίου που υπολογίζουμε με τον προσανατολισμό σχηματισμών της χρωμόσφαιρας ή του στέμματος. Τα αποτελέσματα τέτοιων υπολογισμών δείχνουν σε ορισμένες περιπτώσεις καλή σύμπτωση των δυναμικών γραμμών με τέτοιους σχηματισμούς (Σχήμα 5.12). Σχήμα 5.12: Υπολογισμοί του μαγνητικού πεδίου πάνω από ένα κέντρο δράσης με την υπόθεση χωρίς δυνάμεις. Οι υπολογισμοί έγιναν με τις τιμές του α οι οποίες πρόβλεπαν δυναμικές γραμμές που είχαν καλύτερη σύμπτωση με τους στεμματικούς βρόχους κάθε εικόνας (από Nindos and Andrews, 2004).

19 Κεφάλαιο 5. Αλληλεπίδραση του ηλιακού πλάσματος με το μαγνητικό πεδίο Μη γραμμική λύση χωρίς δυνάμεις Συνήθως στα ηλιακά κέντρα δράσης η τιμή του α δεν είναι σταθερή, αλλά μπορεί να μεταβάλλεται από δυναμική γραμμή σε δυναμική γραμμή. Επομένως, ο πιο ρεαλιστικός υπολογισμός του μαγνητικού πεδίου στο στέμμα μπορεί να προκύψει αν στην υπόθεση χωρίς δυνάμεις θεωρήσουμε ότι το α δεν είναι σταθερό. Η υπόθεση αυτή ονομάζεται υπόθεση μη γραμμικού πεδίου χωρίς δυνάμεις (non-linear fore free). Στην περίπτωση αυτή η κατάστρωση ενός καλά ορισμένου προβλήματος οριακών τιμών δεν είναι καθόλου εύκολη, γιατί οι εξισώσεις 5.62 και 5.63 (υπό τη συνθήκη B = 0) αποτελούν ένα μικτό σύστημα ελλειπτικούυπερβολικού τύπου: για δοσμένη συνάρτηση α οι εξισώσεις για το B είναι ελλειπτικού τύπου ενώ η εξίσωση για τον προσδιορισμό του α για δοσμένο B είναι υπερβολικού τύπου. Η κατάλληλη οριακή συνθήκη για το ελλειπτικό μέρος του συστήματος είναι η κάθετη συνιστώσα, Bn, του μαγνητικού πεδίου στη φωτόσφαιρα ενώ για το υπερβολικό μέρος το α πρέπει να οριστεί μόνο στα σημεία της φωτόσφαιρας που ισχύει π.χ. Bn > 0 (ή αντίστροφα). Αυτό είναι ισοδύναμο με την παροχή της κάθετης συνιστώσας της πυκνότητας ρεύματος, jn = αbn, στα σημεία αυτά. Στην πράξη οι περισσότερες μέθοδοι χρησιμοποιούν και τις τρεις συνιστώσες του φωτοσφαιρικού μαγνητικού πεδίου όπως παρέχονται από ορισμένα όργανα. Αυτό δημιουργεί ένα κακώς τοποθετημένο πρόβλημα (ill-posed problem) με όλες τις δυσκολίες που συνεπάγεται κάτι τέτοιο. Σχήμα 5.13: Υπολογισμός του μαγνητικού πεδίου πάνω από κέντρο δράσης υπό την προσέγγιση μη-γραμμικού πεδίου χωρίς δυνάμεις (από Chintzoglou et al., 2015). Για τον υπολογισμό του μαγνητικού πεδίου πάνω από μια μικρή περιοχή (π.χ. ένα κέντρο δράσης) με βάση την υπόθεση μη γραμμικού πεδίου χωρίς δυνάμεις έχουν αναπτυχθεί αρκετοί αλγόριθμοι. Πολύ σύντομα, οι πιο σημαντικοί από αυτούς είναι: Μέθοδος με την οποία οι εξισώσεις 5.62 και 5.63 εκφράζονται ως μια επαναληπτική ακολουθία γραμμικών εξισώσεων (B (n) α(n) = 0 και B (n+1) = αn B (n), όπου n είναι ο αριθμός της επανάληψης). Οι απαιτούμενες οριακές συνθήκες είναι το κάθετο μαγνητικό πεδίο και είτε η κάθετη συνιστώσα της πυκνότητας ρεύματος είτε το α. Ο αλγόριθμος ξεκινά με ένα πεδίο ελεύθερο ρευμάτων ως αρχική εκτίμηση και επαναλαμβάνει διαδοχικά την ακολουθία των παραπάνω εξισώσεων. Χρησιμοποίηση ΜΥΔ κωδίκων οι οποίοι επιτρέπουν στο μαγνητικό πεδίο να εξελιχθεί από μία αρχική του κατάσταση όπου δεν ικανοποιούνται όλες τις απαιτούμενες οριακές συνθήκες σε μια κατάσταση

20 108 Φυσική του ήλιου και του διαστήματος που οι συνθήκες αυτές ικανοποιούνται. Υπολογισμός του μαγνητικού πεδίου με μέθοδο βελτιστοποίησης κατά την οποία ελαχιστοποιείται ένα συναρτησοειδές του μαγνητικού πεδίου με τρόπο ώστε το μαγνητικό πεδίο να είναι ελεύθερο δυνάμεων και να υπακούει ταυτόχρονα στο νόμο του Gauss, B = 0. Στο Σχήμα 5.13 δίνουμε ένα παράδειγμα υπολογισμού του μαγνητικού πεδίου πάνω από ένα κέντρο δράσης. Στο σχήμα φαίνεται ότι άλλες δυναμικές γραμμές παρουσιάζουν σημαντική συστροφή και άλλες όχι. Κάτι τέτοιο θα ήταν προφανώς αδύνατο να αναπαραχθεί αν ο υπολογισμός γινόταν με το α σταθερό σε όλο το κέντρο δράσης. Επίσης οι υπολογισμοί του μαγνητικού πεδίου με την υπόθεση μη γραμμικού πεδίου χωρίς δυνάμεις έχουν το πλεονέκτημα (σε αντίθεση με ό,τι συμβαίνει με την υπόθεση γραμμικού πεδίου) ότι δεν εισάγουν άνω όρια στις τιμές του α που υπολογίζονται ούτε και στις προκύπτουσες τιμές της μαγνητικής ενέργειας. Επίσης μπορούν να αναπαράγουν μικρής χωρικής κλίμακας ρεύματα σε αντίθεση με την υπόθεση γραμμικού πεδίου που τα ρεύματα εμφανίζονται κυρίως σε μεγάλες χωρικές κλίμακες, κάτι που όμως δεν παρατηρείται. Από την άλλη πλευρά, οι υπολογισμοί με την υπόθεση γραμμικού πεδίου έχουν τα εξής πλεονεκτήματα: είναι πολύ πιο γρήγοροι, στηρίζονται σε αναλυτικούς τύπους, δεν απαιτούν τη χρήση και των τριών συνιστωσών του μαγνητικού πεδίου, αλλά μόνο της διαμήκους συνιστώσας (τόσο η λήψη όσο και η επεξεργασία μαγνητογραφημάτων διαμήκους συνιστώσας είναι πιο απλές από τη λήψη και επεξεργασία διανυσματικών μαγνητογραφημάτων) και επίσης ο υπολογισμός είναι ένα καλώς τοποθετημένο πρόβλημα. Σημειώνουμε εδώ ότι το γεγονός ότι ο υπολογισμός με την υπόθεση μη γραμμικού πεδίου είναι συνήθως κακώς τοποθετημένο πρόβλημα σημαίνει ότι για την ίδια οριακή συνθήκη διαφορετικές μέθοδοι δίνουν συνήθως διαφορετικά αποτελέσματα Λύση των ΜΥΔ εξισώσεων Μια άλλη προσέγγιση είναι να λύσει κανείς το πλήρες σύστημα των μαγνητοϋδροδυναμικών εξισώσεων, πάλι με οριακή συνθήκη το παρατηρούμενο φωτοσφαιρικό μαγνητικό πεδίο. Η προσέγγιση αυτή δίνει, πέρα από το μαγνητικό πεδίο σε τρεις διαστάσεις, την πυκνότητα του πλάσματος, τη θερμοκρασία και την ταχύτητα ροής. Προφανώς, από υπολογιστική άποψη είναι ένα εγχείρημα αρκετά πιο δύσκολο από αυτά στα οποία έχουμε αναφερθεί μέχρι τώρα, αλλά τα αποτελέσματα έχουν ενδιαφέρον. Σχήμα 5.14: Σύγκριση του υπολογισμού της έντασης του στέμματος με την αντίστοιχη παρατήρηση από τη διαστημική αποστολή STEREO-B (από Ενα παράδειγμα παρουσιάζεται στο Σχήμα 5.14, όπου συγκρίνεται ο υπολογισμός της έντασης του στέμματος με την αντίστοιχη παρατήρηση από τη διαστημική αποστολή STEREO-B. Παρά το γεγονός ότι

21 Κεφάλαιο 5. Αλληλεπίδραση του ηλιακού πλάσματος με το μαγνητικό πεδίο 109 ο υπολογισμός βασίζεται σε παρατηρήσεις του πεδίου στη διάρκεια μιας ολόκληρης ηλιακής περιστροφής (26 ημέρες), η ομοιότητα των δύο εικόνων είναι εντυπωσιακή. Βεβαίως, τέτοιου είδους υπολογισμοί δεν μπορούν να αναπαράξουν παρά μόνο δομές μεγάλης κλίμακας. 5.9 Ασκήσεις 1. Υπολογίστε τον αριθμό των σωματίων που βρίσκονται μέσα σε μία σφαίρα με ακτίνα ίση με το μήκος Debye. 2. Υπολογίστε το μήκος Debye και τον αριθμό των σωματίων σε μία σφαίρα Debye για τη φωτόσφαιρα (T e = Κ, N e = m 3 ) και για το στέμμα (T e = Κ, N e = 10 8 m 3 ). Συζητήστε το συμπέρασμα. 3. Υπολογίστε την ακτίνα Larmor για ηλεκτρόνια και πρωτόνια σε μια ηλιακή κηλίδα (B = 2000 G), σε μια μαγνητική δομή με ένταση πεδίου (B = 100 G) και στο μαγνητικό πεδίο της Γης (B = 0.5 G). 4. (α) Για ηλεκτρόνιο ενέργειας 100 kev, παγιδευμένο σε ηλιακό μαγνητικό βρόχο ακτίνας km, υπολογίστε την ταχύτητα ολίσθησης λόγω βαρύτητας και λόγω καμπύλωσης του μαγνητικού πεδίου. Θεωρήστε B = 100 G. Σε ποια διεύθυνση είναι οι δύο ολισθήσεις; Συγκρίνετε το αποτέλεσμα με την ταχύτητα του ηλεκτρονίου. (β) Να κάνετε αντίστοιχο υπολογισμό για ηλεκτρόνιο παγιδευμένο στο μαγνητικό πεδίο της Γης, επιλέγοντας κατάλληλες τιμές των παραμέτρων. 5. Ξεκινώντας από τη σταθερότητα της ενέργειας και της μαγνητικής ροπής ενός φορτισμένου σωματιδίου που κινείται σε μαγνητική φιάλη, αποδείξτε τη σχέση (5.13). 6. Για μαγνητικό πεδίο με συνιστώσες B x = B 0 tanh(z/l), B y = 0 και B z = ɛb 0 x/l με ɛ > 0: (α) Γράψτε την εξίσωση των δυναμικών γραμμών και κατόπιν σχεδιάστε τες. (β) Υπολογίστε την πυκνότητα ρεύματος η οποία σχετίζεται με το μαγνητικό πεδίο. (γ) Χρησιμοποιώντας τη μαγνητοϋδροδυναμική εξίσωση της ορμής και υποθέτοντας ότι η πίεση είναι σταθερή, υπολογίστε την επιτάχυνση του πλάσματος κατά μήκος του άξονα x συναρτήσει του x. Ποια είναι η επιτάχυνση για B 0 = 20 nt, ɛ = 0.1, L = 1R και n = 1 m 3 ; 7. Σχεδιάστε τις δυναμικές γραμμές του μαγνητικού πεδίου B = ( y, 5x, 0) και υπολογίστε τη δύναμη Lorentz. 8. (α) Δείξτε ότι το μαγνητικό πεδίο B = (0, B y (x), B z (x)) είναι «χωρίς δυνάμεις» (fore-free) όταν όπου B 0 είναι μια σταθερά. B 2 y + B 2 z = B 2 0 (β) Στην περίπτωση που για το μαγνητικό πεδίο του ερωτήματος (α) έχει τη μορφή B y = B 0 os x, βρείτε την B z (x) καθώς και τη σταθερά αναλογίας ρεύματος-πεδίου α(x) Βιβλιογραφία Τα αντίστοιχα κεφάλαια στα συγγράμματα: Krall, N. A. & Trivelpiee, A. W.: 1973, Priniples of Plasma Physis, MGraw-Hill, ISBN:

22 110 Φυσική του ήλιου και του διαστήματος Βλάχος, Λ.: 2000, Φυσική Πλάσματος, Εκδόσεις Τζιόλα, Θεσσαλονίκη Stix, M.: 2002, The Sun: An Introdution, Springer-Verlag, ISBN: Kulsrud, R. M.: 2005, Plasma Physis for Astrophysis, Prineton University Press, Prineton Somov, B. V.: 2006, Plasma Astrophysis, Part I: Fundamentals and Pratie, Springer, ISBN: Priest, E.: 2014, Magnetohydrodynamis of the Sun, Cambridge University Press, ISBN: Chiuderi, C. & Velli, M.: 2015, Basis of Plasma Astrophysis, Springer, ISBN: Τσίγκανος, Κ.: 2015, Αστροφυσική Πλάσματος, Αθήνα, ISBN: Chen, F. F.: 2016, Introdution to Plasma Physis and Controlled Fusion (3rd edition), Springer, ISBN: Αναφορές που γίνονται στο κείμενο: Chintzoglou, G., Patsourakos, S., & Vourlidas, A. 2015, Astrophys. J., 809, 34 Nindos, A., & Andrews, M. D. 2004, Astrophys. J. Lett., 616, L175 Rušin, V., Drukmüller, M., Aniol, P., et al. 2010, Astron. Astrophys., 513, A45