Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων"

Transcript

1 Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα - Γραμμική και Δυαδική Αναζήτηση, Ανάλυση Αναδρομικών Αλγορίθμων - H Μέθοδος της Αντικατάστασης, Master Theorem ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 1

2 ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Παράδειγμα 1: Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλεσης Υποθέστε ότι ένα πρόβλημα επιλύνεται με τον πιο κάτω κώδικα: Ανάλυση k+=i; for(i=0; i<; i++) it i,k=0; for (i=0; i<; i++) k+=i; H βασική πράξη η οποία χρειάζεται Ο(1) χρόνο Ο αλγόριθμος εκτελεί την βασική πράξη φορές 1 i= 0 1 = ή 1 = i o O αλγόριθμος έχει πολυπλοκότητα της τάξης O() o Στην βέλτιστη περίπτωση χρειάζεται Ω() è O() & Ω() è Θ()

3 Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλ. με φωλιασμ. βρόγχους Σε ένα βρόχο (for loop) o συνολικός χρόνος που απαιτείται είναι: Βασική Πράξη x Αριθμό Επαναλήψεων Φωλιασμένοι Βρόχοι: η ανάλυση γίνεται από τα μέσα προς τα έξω: Παράδειγμα: for (i=0; i<; i++) for (j=0; j<; j++) //statemet e.g., k+=i; Συνεχόμενες Εντολές: Ο χρόνος εκτέλεσης T της εντολής S και μετά S παίρνει χρόνο ίσο του αθροίσματος των χρόνων εκτέλεσης των T(S) + T(S ). Συνθήκες if: Ο χρόνος εκτέλεσης T της εντολής if b the S else S παίρνει χρόνο ίσο με max(t(b)+t(s), T(b)+T(S )) ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 3

4 ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 4 Παράδειγμα : Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλεσης Υποθέστε ότι ένα πρόβλημα επιλύνεται με τον πιο κάτω κώδικα: Ανάλυση Εσωτερικός Βρόγχος: Εξωτερικός Βρόγχος: Σύνολο: it i, j, sum=0; for (i=0; i<; i++) for (j=0; j<; j++) sum++; i= 1 j= 1 IL i=1 1 = i= 1 = 1 = 1 = 1 IL j= 0 j= 1 = Ο( Εξωτερικός Βρόγχος Εσωτερικός Βρόγχος IL ), Ω( = ) Θ( )

5 ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 5 Παράδειγμα 3: Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλεσης Υποθέστε ότι ένα πρόβλημα επιλύνεται με τον πιο κάτω κώδικα: Ανάλυση it i, j, sum=0; for (i=0; i<; i++) Εσωτερικός Βρόγχος: for (j=0; j< i*i; j++) sum++; IL j= 0 Εξωτερικός Βρόγχος Εσωτερικός Βρόγχος Παρατηρούμε ότι ο χρόνος εκτέλεσης του εσωτερικού βρόχου εξαρτάται από την τιμή i, οποία καθορίζεται από τον εξωτερικό βρόχο. i = 1 = i

6 ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 6 Παράδειγμα 3: Υπολογισμ. Χρόνου Εκτέλεσης (συν.) Ο πιο κάτω πίνακας δείχνει το πόσες φορές εκτελείται ο εσωτερικός βρόγχος σαν συνάρτηση του i: i IL = i (- 1) Εξωτερικός Βρόγχος: (- 1) Σύνολο: Ο χρόνος εκτέλεσης του προγράμματος είναι ίσος με το άθροισμα του χρόνου εκτέλεσης κάθε επανάληψης του εσωτερικού βρόχου: i= 1 i = ( + 1)( + 1) = ( ) Θ( ) 6 6

7 ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 7 Παράδειγμα 4: Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλεσης Υποθέστε ότι ένα πρόβλημα επιλύνεται με τον πιο κάτω κώδικα: Ανάλυση Εσωτερικός Βρόγχος A: Εσωτερικός Βρόγχος B: Εξωτερικός Βρόγχος: Σύνολο: it i, j, k, sum=0; for (i=0; i<; i++) for (j=0; j<; j++) Θ( 3 ) for (k=0; k<; k++) sum++; IL A 1 = k = Εξωτερικός Βρόγχος Εσωτερικός Βρόγχος B Εσωτερικός Βρόγχος A ILB = ILA = = = j j OL = ILB = = = i j 3

8 ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 8 Παράδειγμα 5: Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλεσης Υποθέστε ότι ένα πρόβλημα επιλύνεται με τον πιο κάτω κώδικα: Ανάλυση it i, j, sum=0; Εσωτερικός Βρόγχος: for (i=1; i<=; i=*i) for (j=0; j< ; j++) sum++; IL = 1 Εξωτερικός Βρόγχος Εσωτερικός Βρόγχος Εξωτερικός Βρόγχος: Κάθε φορά, το i πολλαπλασιάζεται επί. j Παράδειγμα: για =10 το i θα είναι 1,, 4, 8, 16> break = Πόσες φορές εκτελείται;;;

9 Παράδειγμα 5: Υπολογισμ. Χρόνου Εκτέλεσης (συν.) Ας υποθέσουμε ότι το είναι μία δύναμη του è = κ Ο πιο κάτω πίνακας δείχνει το πόσες φορές εκτελείται ο εσωτερικός βρόγχος σαν συνάρτηση του k: k k = k k τιμές i - 1 1, 1,,4 1,,4,8 επαναλ k Συμπέρασμα: i=k, άρα για = i θα χρειαστούν i επαναλ. Ερώτηση: πως μπορούμε να βρούμε το την τιμή i έχοντας σαν δεδομένο το i ; Απάντηση: με χρήση λογάριθμου (log): log i = i ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 9

10 ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 10 Παράδειγμα 5: Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλεσης Υποθέστε ότι ένα πρόβλημα επιλύνεται με τον πιο κάτω κώδικα: Ανάλυση it i, j, sum=0; Εσωτερικός Βρόγχος: for (i=1; i<=; i=*i) for (j=0; j< ; j++) sum++; IL = 1 j Εξωτερικός Βρόγχος: (log i = log ) log IL = log = Εξωτερικός Βρόγχος Εσωτερικός Βρόγχος Σύνολο: Θ ( log )

11 ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 11 Παράδειγμα 6: Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλεσης Υποθέστε ότι ένα πρόβλημα επιλύνεται με τον πιο κάτω κώδικα: Ανάλυση =περιττός è Εσωτερικός Βρόγχος (else): =άρτιος è Εσωτερικός Βρόγχος (if): Εξωτερικός Βρόγχος: Σύνολο: it i, j, sum=0; for (i=0; i<; i++) Θ( ) if( (%)==0 ) for (j=0; j<; j++) sum++; else sum- - ; Εξωτερικός Βρόγχος Εσωτερικός Βρόγχος (if) Εσωτερικός Βρόγχος (else) IL ( if ) = 1 = OL = j max( ILif, ILelse) = ILif = = i IL ( else) i = 1 i

12 ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 1 Παράδειγμα 7: Χρόνος Εκτέλεσης BubbleSort Η BubbleSort ταξινομεί κάποιο πίνακα με συνεχή εναλλαγή των στοιχείων του αν δεν είναι στη σωστή σειρά. Παράδειγμα: it x = {3,, 4, 1, 5; swap o swap Πέρασμα Πέρασμα Πέρασμα Πέρασμα

13 ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 13 Παράδειγμα 7: Χρόνος Εκτέλεσης BubbleSort (συν.) void bubblesort( it X[], it ){ it i, j, temp; bool swapped; for (i=0;i<- 1;i++) { swapped = false; for (j=0;j<- i- 1;j++) { if (X[j] > X[j+1]) { temp = X[j]; X[j] = X[j+1]; X[j+1] = temp; swapped = true; Εσωτερικός Βρόγχος if (swapped==false) retur; Εξωτερικός Βρόγχος

14 ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 14 Παράδειγμα 7: Χρόνος Εκτέλεσης BubbleSort (συν.) void bubblesort( it X[], it ){ for (i=0;i<- 1;i++) { for (j=0;j<- i- 1;j++) { Εσωτερικός Βρόγχος Ανάλυση Εσωτερικός Βρόγχος: Εξωτερικός Βρόγχος: Σύνολο: Θ( ) Εξωτερικός Βρόγχος = IL i = 1 i= 0 ( 1) j= = 1 i= 0 ( 1) = 1 i 1 1 i= 0 ( )( 1) 1 OL = IL = i 1 = 1 i i= 0

15 ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 15 Γραμμική vs. Δυαδική Διερεύνηση Δεδομένα Εισόδου: Πίνακας Χ με στοιχεία, ταξινομημένος από το μικρότερο στο μεγαλύτερο, και ακέραιος k. Στόχος: Να εξακριβώσουμε αν το k είναι στοιχείο του Χ. Γραμμική Διερεύνηση: εξερευνούμε τον πίνακα από τα αριστερά στα δεξιά. it liear( it X[], it, it k){ it i=0; while ( i < ) { if (X[i] == k) retur i; if (X[i] > k) retur - 1; i++; retur - 1; Xείριστη περίπτωση: Ο() (ο βρόχος εκτελείται φορές)

16 Αναδρομική Γραμμική Διερεύνηση ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 16 it rliear( it X[], it, it k, it pos ){ if ( pos == ) retur - 1; //ot foud if ( X[pos] == k ) retur pos; //foud elseif ( X[pos] > k ) retur - 1; //foud larger skip rest retur rliear( X,, k, pos+1 ); Xείριστη περίπτωση: Ο() rliear) (εκτελούνται αναδρομικές κλήσεις της

17 ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 17 Δυαδική Διερεύνηση Δυαδική Διερεύνηση: βρίσκουμε το μέσο του πίνακα και αποφασίζουμε αν το k ανήκει στο δεξιό ή αριστερό μισό. Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία στο μισό που μας ενδιαφέρει: it biary (it X[], it, it key) { it low=0; it high = - 1; it mid; while( low <= high) { mid = (low + high) / ; if( key < X[mid]) high = mid- 1; else if (key > X[mid]) low = mid+1; else { retur mid; break; retur - 1;

18 Αναδρομική Δυαδική Διερεύνηση ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 18 it rbiary_aux (it X[], it low, it high, it key) { it mid; if( low <= high) { mid = (low + high) / ; if( key == X[mid]) retur mid; else if( key < X[mid]) retur rbiary_aux( X, low, mid- 1, key); else retur rbiary_aux( X, mid+1, high, key); retur - 1; it rbiary (it X[], it, it key) { it low = 0; it high = - 1; retur rbiary_aux( X, low, high, key);

19 ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 19 Δυαδική Διερεύνηση Χρόνος Εκτέλεσης Η βασική πράξη (σύγκριση) εκτελείται Ο(log ) φορές δηλαδή: Εκτέλεση 1 - > Μας απομένει* / του πίνακα, Εκτέλεση - > Μας απομένει /4 του πίνακα, Εκτέλεση 3 - > Μας απομένει /8 του πίνακα, Εκτέλεση Χ - > Μας απομένει 1 στοιχείο του πίνακα, Στην εκτέλεση Χ είτε βρήκαμε το στοιχείο είτε όχι δηλ., έχουμε την ακολουθία, /, /4, /8,, 4,, 1, <==> 0, 1,, 3,, x Το x εκφράζει πόσες φορές εκτελούμε το while loop x x => log log => x log Biary Search Ο(log )

20 ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 0 Πολυπλοκότητα Αναδρομικών Διαδικασιών Μέχρι τώρα συζητήσαμε τεχνικές για την ανάλυση επαναληπτικών αλγορίθμων (με while, for, κτλ.) Ωστόσο, πολλοί αλγόριθμοι ορίζονται αναδρομικά (π.χ. biary search, Fiboacci, κτλ.) Θέλουμε κάποια μεθοδολογία για να αναλύουμε την πολυπλοκότητα τέτοιων αναδρομικών εξισώσεων. π.χ. Τ() = T(/) Τ()=*T(- 1), >0 κτλ. Σημειώστε ότι υπάρχουν διάφοροι τύποι αναδρομικών εξισώσεων. Πολλοί τύποι χρειάζονται ειδικά εργαλεία τα οποία δεν θα δούμε σε αυτό το μάθημα. Ένα τύπο που θα μελετήσουμε θα είναι οι Αναδρομικές Εξισώσεις τύπου «Διαίρει και Βασίλευε» Θα τις επιλύσουμε με την Μέθοδο της Αντικατάστασης και θα τις επαληθεύουμε με το Θεώρημα Master

21 ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 1 Ανάλυση Αναδρομικής Δυαδικής Διερεύνησης Ας ξαναδούμε την αναδρομική έκδοση της δυαδικής αναζήτησης Από ότι βλέπουμε σε κάθε εκτέλεση το biary_search μοιράζει μια ακολουθία στοιχείων σε / στοιχεία (εάν είναι ζυγός). Επομένως το πρόβλημα μεγέθους έγινε τώρα /. Σε κάθε βήμα χρειαζόμαστε και δυο συγκρίσεις (τα δυο if statemets) O χρόνος εκτέλεσης της biary_search εκφράζεται με την αναδρομική συνάρτηση: f() = f(/) + // αναδρομικό βήμα f(1) = // συνθήκη τερματισμού

22 ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Μέθοδος της Αντικατάστασης Μέθοδος της Αντικατάστασης: Χρησιμοποιούμε το βήμα της αναδρομής επαναληπτικά, μέχρι να εκφράσουμε το Τ() ως συνάρτηση της βασικής περίπτωσης, δυνάμεις του και σταθερές τιμές. Εφαρμογή Έχουμε την αναδρομική εξίσωση της δυαδικής διερεύνησης (τύπου Διαίρει και Βασίλευε) Τ() = T(/) +, για κάθε T(1) = Τότε, αντικαθιστώντας το Τ(/) με την τιμή του παίρνουμε Τ() = T(/) + = T(/4) + + = T(/8) = (Μπορούμε τώρα να μαντέψουμε ότι ) = $! +...! + #! +! + " log Επομένως η δυαδική αναζήτηση εκτελείται log βήματα

23 ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 3 Ανάλυση Αναδρομικής Δυαδικής Διερεύνησης Στην δυαδική διερεύνηση η ακολουθία μοιράζεται ως εξής:, /, /4,,, 1. Προσοχή: Δεν σημαίνει ότι έχουμε +/+ / =- 1 εκτελέσεις. Έχουμε μονάχα log εκτελέσεις Ανάλογα με το σε πόσα κομμάτια «διαιρείται» το πρόβλημα κάθε φορά, αλλάζει και η βάση του λογάριθμου. log log 3 0 = 1 1 = 3 = = = = = = 1,073,741, Αριθμός πράξεων , $! /,! /4, #!!,,1 " Στοιχε ία:log, $! /3,! /9, #!!, 3,1 " Στοιχε ία:log3 Όσο μεγαλύτερη η βάση του λογάριθμου τόσο πιο λίγες εκτελέσεις του αλγόριθμου έχουμε! Ωστόσο, αυξάνονται οι συγκρίσεις σε κάθε εκτέλεση! Π.χ., δυαδική διερεύνηση: lg εκτελέσεις, 1 έλεγχο σε κάθε βήμα.

24 Master Theorem To Master Theorem μας επιτρέπει να βρίσκουμε ή να επαληθεύουμε την χρονική πολυπλοκότητα αναδρομικών εξισώσεων τύπου διαίρει και βασίλευε. Διαίρει και Βασίλευε: πχ. Τ() = T(/) + αλλά όχι Τ()=*T(- 1) Αυτό το θεώρημα δεν χρειάζεται να το απομνημονεύσετε αλλά μπορείτε να τον χρησιμοποιήσετε για την επαλήθευση ασκήσεων. Master Theorem: Έστω ότι η f είναι μία αύξουσα που ικανοποιεί τη λειτουργία της επανάληψης: f()=af(/b)+c d όταν το = b k, όπου k είναι ένας θετικός ακέραιος, a 1, b>1, και c,d είναι πραγματικοί αριθμοί, c 0, d 0. Τότε ισχύει: f()is{ Ο( d )&if a< b d log b ())&if a= b log b (a) )&if a> b d ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 4

25 ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 5 Master Theorem - Εφαρμογή O χρόνος εκτέλεσης της δυαδικής διερεύνησης εκφράζεται με την αναδρομική συνάρτηση: Τ() = Τ(/) + // αναδρομικό βήμα Τ(1) = // συνθήκη τερματισμού T() = (a=1) x T ( /(b=) ) + (c=)x d=0 a=1, b=, c=, d=0 a=1 και b d = 0 = 1 a=b d T() is O( d log) T() is O( 0 log) T() is O(log)

26 ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 6 Μέθοδος της αντικατάστασης: Παράδειγμα 1 Έχουμε την αναδρομική εξίσωση Τ() = 4 T(/) +, για κάθε T(1) = 1 Τότε, αντικαθιστώντας το Τ(/) με την τιμή του παίρνουμε Τ() = 4 T(/) + // Εκτέλεση 1 = 4(4 T(/4) + /) + // Εκτέλεση = 4² Τ(/4) + + // Πράξεις = 4³ Τ(/8) + ² + + // Εκτέλεση 3 =... = 4 k Τ(1) + k ² + + // k = è k=log log 1 = 4 + * = + ( 1) = O( + *( log i log log i= 0 = ) 1) a=4, b=, c=1, d=1, a=4>b d = 1 = T() O( log(4) )è T() O( )

27 Μέθοδος της αντικατάστασης: Παράδειγμα Άσκηση Να λύσετε την πιο κάτω αναδρομική εξίσωση με την μέθοδο της αντικατάστασης (προσοχή δεν είναι τύπου διαίρει & βασίλευε) Τ(0)=1 Τ()=*T(- 1), >0 Λύση Τ() = **T(- 1) = * *(- 1)*T(- ) = 3* *(- 1)*(- )*T(- 3) = = **(- 1)*(- )*...**1*T(0) = *! ε Ο(!) ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 7

28 ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι -8 Εργασία 1 Να λύσετε την πιο κάτω αναδρομική εξίσωση: T(1) = 1 Τ() = T(/) +1000

29 ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι -9 Εργασία Να λύσετε την πιο κάτω αναδρομική εξίσωση: T(1) = 1 T() = 7 T(/) + 18²

30 Εργασία 3 Nα υπολογίσετε τον χρόνο εκτέλεσης της παρακάτω αναδρομικής διαδικασίας λύνοντας οποιαδήποτε αναδρομική εξίσωση συναντήσετε. ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι -30 public static it recursive1(it ){ it sum=0; for ( it i=1; i <= ; i++) sum++; if (>1) retur recursive1(/); else retur 1;

31 Εργασία 4 Nα υπολογίσετε τον χρόνο εκτέλεσης της παρακάτω αναδρομικής διαδικασίας λύνοντας οποιαδήποτε αναδρομική εξίσωση συναντήσετε. ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι -31 public static it recursive(it ){ it sum=0; for ( it i=1; i <= ; i++) sum++; if (>1) retur (recursive(/) + recursive(/)); else retur 1;

32 ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι -3 Περίληψη των όσων έχουμε πει Μας ενδιαφέρει να αναλύουμε την πολυπλοκότητα των αλγορίθμων που φτιάχνουμε. Έχουμε δύο επιλογές: 1. Αν υλοποιήσουμε τον αλγόριθμο και να τρέξουμε πολλά παραδείγματα έτσι ώστε να αξιολογήσουμε την απόδοση του αλγόριθμού μας.. Να εφαρμόσουμε τη θεωρητική προσέγγιση ανάλυσης αλγορίθμων. Τι κερδίζουμε επιλέγοντας το () πιο πάνω; A. Αποφεύγουμε την υλοποίηση B. Προφέρουμε απάντηση η οποία δεν βασίζεται στην υλοποίηση που έχουμε κάνει και κατά συνέπεια δεν βασίζεται στον υπολογιστή στον οποίο τρέξαμε τα πειράματα, στη γλώσσα που χρησιμοποιήσαμε για την υλοποίηση ή στις προγραμματιστικές ικανότητες του προγραμματιστή. C. Επιπλέον: Το αποτέλεσμα μας καλύπτει πληροφορίες για όλα τα πιθανά στιγμιότυπα εισόδου.

33 ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι -33 Περίληψη των όσων έχουμε πει Πως μπορούμε να υποσχόμαστε τόσα πολλά; Επειδή βασιζόμενοι στην Αρχή της Σταθερότητας αγνοούμε διάφορες σταθερές που συναντούμε: Υποθέτουμε ότι όλες οι πράξεις ενός αλγόριθμου χρειάζονται τον ίδιο χρόνο για να εκτελεστούν παρόλο που διαφέρουν στον χρόνο εκτέλεσης τους

Διάλεξη 09: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης I

Διάλεξη 09: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης I Διάλεξη 09: Αλγόριθμοι Ταξινόμησης I Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Οι αλγόριθμοι ταξινόμησης: Α. SelectoSort Ταξινόμηση με Επιλογή Β. IsertoSort Ταξινόμηση με Εισαγωγή Γ. MergeSort

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 ΛΥΣΕΙΣ Ανάλυση Πολυπλοκότητας ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Σε αυτή την άσκηση καλείστε να αναλύσετε και να υπολογίσετε το

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 2: Πίνακες

Εργαστήριο 2: Πίνακες Εργαστήριο 2: Πίνακες Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Επεξεργασία Πινάκων - Υλοποίηση της Δυαδικής Αναζήτησης σε πίνακες - Υλοποίηση της Ταξινόμησης με Επιλογής σε πίνακες ΕΠΛ035

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση. 1. Σειριακή αναζήτηση 2. Δυαδική Αναζήτηση. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη

Αναζήτηση. 1. Σειριακή αναζήτηση 2. Δυαδική Αναζήτηση. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Αναζήτηση. Σειριακή αναζήτηση. Δυαδική Αναζήτηση Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Παραδοχή Στη συνέχεια των διαφανειών (διαλέξεων) η ασυμπτωτική έκφραση (συμβολισμός Ο, Ω, Θ) του χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(n), Ω(n), Θ(n) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις Ο(), Ω(), Θ( ) Ανάλυση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 6α: Αναζήτηση Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρει-και-Βασίλευε. Διαίρει-και-Βασίλευε. MergeSort. MergeSort. Πρόβλημα Ταξινόμησης: Είσοδος : ακολουθία n αριθμών (α 1

Διαίρει-και-Βασίλευε. Διαίρει-και-Βασίλευε. MergeSort. MergeSort. Πρόβλημα Ταξινόμησης: Είσοδος : ακολουθία n αριθμών (α 1 Διαίρει-και-Βασίλευε Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαίρει-και-Βασίλευε Γενική μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #10: Αλγόριθμοι Διαίρει & Βασίλευε: Master Theorem, Αλγόριθμοι Ταξινόμησης, Πιθανοτικός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων

Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (4) Μεθοδολογία αναδρομικών σχέσεων (Ι) Με επανάληψη της αναδρομής Έστω όπου r και a είναι σταθερές. Βρίσκουμε τη σχέση που εκφράζει την T(n) συναρτήσει της T(n-) την T(n)

Διαβάστε περισσότερα

Στη C++ υπάρχουν τρεις τύποι βρόχων: (a) while, (b) do while, και (c) for. Ακολουθεί η σύνταξη για κάθε μια:

Στη C++ υπάρχουν τρεις τύποι βρόχων: (a) while, (b) do while, και (c) for. Ακολουθεί η σύνταξη για κάθε μια: Εργαστήριο 6: 6.1 Δομές Επανάληψης Βρόγχοι (Loops) Όταν θέλουμε να επαναληφθεί μια ομάδα εντολών τη βάζουμε μέσα σε ένα βρόχο επανάληψης. Το αν θα (ξανα)επαναληφθεί η εκτέλεση της ομάδας εντολών καθορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 17: O Αλγόριθμος Ταξινόμησης HeapSort

Διάλεξη 17: O Αλγόριθμος Ταξινόμησης HeapSort Διάλεξη 17: O Αλγόριθμος Ταξινόμησης HeapSort Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Η διαδικασία PercolateDown, Δημιουργία Σωρού O Αλγόριθμος Ταξινόμησης HeapSort Υλοποίηση, Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Διαίρει και Βασίλευε Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Διαίρει και Βασίλευε Divide and Conquer Η τεχνική διαίρει και βασίλευε αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

ιαίρει-και-βασίλευε ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

ιαίρει-και-βασίλευε ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαίρει-και-βασίλευε ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαίρει-και-βασίλευε Γενική μέθοδος σχεδιασμού αλγορίθμων: ιαίρεση σε ( 2) υποπροβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων ΕΠΛ Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 00 Κατ οίκον Εργασία Σκελετοί Λύσεων Άσκηση Αφού ξέρουμε με ακρίβεια τον αριθμό των βασικών πράξεων που εκτελεί ο κάθε αλγόριθμος σε δεδομένα μεγέθους, θα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις

Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Αποδείξτε τη µεταβατική και τη συµµετρική ιδιότητα του Θ. Λύση Μεταβατική Ιδιότητα (ορισµός): Αν f(n) = Θ(g(n)) και g(n) = Θ(h(n)) τότε f(n)=θ(h(n)). Για

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Bubble Sort Quick Sort. Αντρέας Δημοσθένους Καθηγητής Πληροφορικής Ολυμπιάδα 2012

Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Bubble Sort Quick Sort. Αντρέας Δημοσθένους Καθηγητής Πληροφορικής Ολυμπιάδα 2012 Αλγόριθμοι Ταξινόμησης Bubble Sort Quick Sort Αντρέας Δημοσθένους Καθηγητής Πληροφορικής Ολυμπιάδα 2012 3 5 1 Ταξινόμηση - Sorting Πίνακας Α 1 3 5 5 3 1 Ταξινόμηση (Φθίνουσα) Χωρίς Ταξινόμηση Ταξινόμηση

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική 2. Αλγόριθμοι

Πληροφορική 2. Αλγόριθμοι Πληροφορική 2 Αλγόριθμοι 1 2 Τι είναι αλγόριθμος; Αλγόριθμος είναι ένα διατεταγμένο σύνολο από σαφή βήματα το οποίο παράγει κάποιο αποτέλεσμα και τερματίζεται σε πεπερασμένο χρόνο. Ο αλγόριθμος δέχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 3: Ασυμπτωτικός συμβολισμός Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση 1

Εργαστηριακή Άσκηση 1 Εργαστηριακή Άσκηση 1 Επανάληψη προγραμματισμού Βασικοί Αλγόριθμοι Είσοδος τιμών από το πληκτρολόγιο Σε όλα τα προγράμματα που θα γράψουμε στην συνέχεια του εξαμήνου θα χρειαστεί να εισάγουμε τιμές σε

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 5η: Εντολές Επανάληψης

Διάλεξη 5η: Εντολές Επανάληψης Διάλεξη 5η: Εντολές Επανάληψης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών, Πανεπιστήμιο Κρήτης Εισαγωγή στην Επιστήμη Υπολογιστών Βασίζεται σε διαφάνειες του Κ Παναγιωτάκη Πρατικάκης (CSD) Εντολές Επανάληψης CS100, 2015-2016

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Ταξινόμηση. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Ταξινόμηση. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Ταξινόμηση Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Το πρόβλημα Είσοδος n αντικείμενα a 1, a 2,..., a n με κλειδιά (συνήθως σε ένα πίνακα, ή λίστα, κ.τ.λ)

Διαβάστε περισσότερα

Πολυπλοκότητα Αλγορίθµων

Πολυπλοκότητα Αλγορίθµων Πολυπλοκότητα Αλγορίθµων Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Πρόβληµα, Στιγµιότυπο, Αλγόριθµος Εµπειρική Θεωρητική Ανάλυση Αλγορίθµων Εργαλεία εκτίµησης πολυπλοκότητας: οι τάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Αλγορίθµων. Σύντοµη επανάληψη (ΕΠΛ 035).

Ανάλυση Αλγορίθµων. Σύντοµη επανάληψη (ΕΠΛ 035). Ανάλυση Αλγορίθµων Σύντοµη επανάληψη (ΕΠΛ 035). Περίληψη Ανάλυση αλγορίθµων Ο, Θ, Ω Ανάλυση µη αναδροµικών αλγόριθµων Ανάλυση αναδροµικών αλγόριθµων Εµπειρική Ανάλυση Visualization Απόδοση Αλγορίθµων Απόδοση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση αλγορίθμων. Χρόνος εκτέλεσης: Αναμενόμενη περίπτωση. - απαιτεί γνώση της κατανομής εισόδου

Ανάλυση αλγορίθμων. Χρόνος εκτέλεσης: Αναμενόμενη περίπτωση. - απαιτεί γνώση της κατανομής εισόδου Ανάλυση αλγορίθμων Παράμετροι απόδοσης ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, επικοινωνία (π.χ. σε κατανεμημένα συστήματα) Προσπάθεια υλοποίησης Ανάλυση της απόδοσης Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8: Προγραμματίζοντας αλγορίθμους έξυπνα και δημιουργικά

Κεφάλαιο 8: Προγραμματίζοντας αλγορίθμους έξυπνα και δημιουργικά Κεφάλαιο 8: Προγραμματίζοντας αλγορίθμους έξυπνα και δημιουργικά Η συνεχής βελτίωση του υλικού (hardware) τις τελευταίες δεκαετίες έχει σαν αποτέλεσμα την ύπαρξη πολύ ισχυρών επεξεργαστών. Αν και σε λίγα

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομικές Σχέσεις «ιαίρει-και-βασίλευε»

Αναδρομικές Σχέσεις «ιαίρει-και-βασίλευε» Αναδρομικές Σχέσεις «ιαίρει-και-βασίλευε» ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαίρει-και-βασίλευε

Διαβάστε περισσότερα

11/23/2014. Στόχοι. Λογισμικό Υπολογιστή

11/23/2014. Στόχοι. Λογισμικό Υπολογιστή ονάδα Δικτύων και Επικοινωνιών ΗΥ Τομέας Πληροφορικής, αθηματικών και Στατιστικής ΓΕΩΠΟΙΚΟ ΠΑΕΠΙΣΤΗΙΟ ΑΘΗΩ Εισαγωγή στην Επιστήμη των ΗΥ άθημα-4 url: http://openeclass.aua.gr (AOA0) Λογισμικό Υπολογιστή

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα

5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα 5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχεις ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου θα έχεις κατανοήσει τις τεχνικές ανάλυσης των αλγορίθμων, θα μπορείς να μετράς την επίδοση των αλγορίθμων με βάση

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματιστικές Τεχνικές

Προγραμματιστικές Τεχνικές Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Προγραμματιστικές Τεχνικές Βασίλειος Βεσκούκης Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Υπολογιστών ΕΜΠ Επικ. Καθηγητής ΕΜΠ v.vescoukis@cs.ntua.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΥΣΕΙΣ Γραμμικές Δομές Δεδομένων, Ταξινόμηση

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΥΣΕΙΣ Γραμμικές Δομές Δεδομένων, Ταξινόμηση ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2013 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΛΥΣΕΙΣ Γραμμικές Δομές Δεδομένων, Ταξινόμηση Διδάσκων Καθηγητής: Παναγιώτης Ανδρέου

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου

Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου Διάλεξη 12: Δέντρα ΙΙ -Δυαδικά Δέντρα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Δυαδικά Δένδρα - Δυαδικά Δένδρα Αναζήτησης(ΔΔΑ) - Εύρεση Τυχαίου, Μέγιστου, Μικρότερου στοιχείου - Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

FORTRAN και Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός

FORTRAN και Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός FORTRAN και Αντικειμενοστραφής Προγραμματισμός Παραδόσεις Μαθήματος 2016 Δρ Γ Παπαλάμπρου Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ georgepapalambrou@lmentuagr Εργαστήριο Ναυτικής Μηχανολογίας (Κτίριο Λ) Σχολή Ναυπηγών

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 232 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 2-1

ΕΠΛ 232 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 2-1 ιαίρει και Βασίλευε Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Η Μέθοδος Σχεδιασµού Αλγορίθµων ιαίρει και Βασίλευε Επίλυση Αναδροµικών Εξισώσεων ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα - ιαίρει και Βασίλευε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3)

Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3) Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων (2-3) 3.1 Ασυμπτωτικός συμβολισμός (Ι) Οι ορισμοί που ακολουθούν μας επιτρέπουν να επιχειρηματολογούμε με ακρίβεια για την ασυμπτωτική συμπεριφορά. Οι f(n) και g(n) συμβολίζουν

Διαβάστε περισσότερα

α.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα

α.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα α.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Ολοκληρώνοντας αυτό το κεφάλαιο προσδοκάται πως θα έχεις λάβει εκείνες τις γνώσεις, ώστε να τεκμηριώνεις την αναγκαιότητα ανάλυσης των προβλημάτων και σχεδίασης των κατάλληλων

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Δομές Δεδομένων [ΠΛΥ302] Χειμερινό Εξάμηνο 2013

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Δομές Δεδομένων [ΠΛΥ302] Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Δομές Δεδομένων [ΠΛΥ302] Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Λυμένες Ασκήσεις Σετ Α: Ανάλυση Αλγορίθμων Άσκηση 1 Πραγματοποιήσαμε μια σειρά μετρήσεων του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΠΡΟΣΘΕΣΗ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ & ΠΡΟΣΘΕΣΗ Θέματα μελέτης Ορθότητα και απόδοση αλγορίθμων Παρουσίαση και ανάλυση αλγορίθμου για πρόσθεση Al Khwarizmi Αλγόριθμοι Το δεκαδικό σύστημα εφευρέθηκε στην Ινδία περίπου το

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή Ανάλυση Αλγορίθμων

Αναδρομή Ανάλυση Αλγορίθμων Αναδρομή Ανάλυση Αλγορίθμων Παράδειγμα: Υπολογισμός του παραγοντικού Ορισμός του n! n! = n x (n - 1) x x 2 x 1 Ο παραπάνω ορισμός μπορεί να γραφεί ως n! = 1 αν n = 0 n x (n -1)! αλλιώς Παράδειγμα (συνέχ).

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση και ταξινόμηση

Αναζήτηση και ταξινόμηση Αναζήτηση και ταξινόμηση Περιεχόμενα Αναζήτηση (searching): εύρεση ενός στοιχείου σε έναν πίνακα Ταξινόμηση (sorting): αναδιάταξη των στοιχείων ενός πίνακα ώστε να είναι τοποθετημένα με μια καθορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι αλγόριθμος; Υποπρογράμματα (υποαλγόριθμοι) Βασικές αλγοριθμικές δομές

Τι είναι αλγόριθμος; Υποπρογράμματα (υποαλγόριθμοι) Βασικές αλγοριθμικές δομές Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 2015-16 Αλγόριθμοι και Δομές Δεδομένων (Ι) (εισαγωγικές έννοιες) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Μ.Στεφανιδάκης Τι είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 17: Επανάληψη για την ενδιάμεση εξέταση. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου. ΕΠΛ035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. Και Μηχ. Υπολ.

Διάλεξη 17: Επανάληψη για την ενδιάμεση εξέταση. Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου. ΕΠΛ035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. Και Μηχ. Υπολ. Διάλεξη 7: Επανάληψη για την ενδιάμεση εξέταση Διδάσκων: Παναγιώτης Ανδρέου ΕΠΛ035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ. Και Μηχ. Υπολ. ΑΠΟΡΙΕΣ ΕΠΛ035 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι για Ηλ. Μηχ.

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Πληροφορικής Δομές Δεδομένων [ΠΛΥ302] Χειμερινό Εξάμηνο 2012

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Πληροφορικής Δομές Δεδομένων [ΠΛΥ302] Χειμερινό Εξάμηνο 2012 Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Πληροφορικής Δομές Δεδομένων [ΠΛΥ302] Χειμερινό Εξάμηνο 2012 Ενδεικτικές απαντήσεις 1 ου σετ ασκήσεων. Άσκηση 1 Πραγματοποιήσαμε μια σειρά μετρήσεων του χρόνου εκτέλεσης τριών

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 17 Σωροί (Heaps) έκδοση 10 1 / 19 Heap Σωρός Ο σωρός είναι μια μερικά ταξινομημένη δομή δεδομένων που υποστηρίζει

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμικές Τεχνικές. Brute Force. Διαίρει και Βασίλευε. Παράδειγμα MergeSort. Παράδειγμα. Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων

Αλγοριθμικές Τεχνικές. Brute Force. Διαίρει και Βασίλευε. Παράδειγμα MergeSort. Παράδειγμα. Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Αλγοριθμικές Τεχνικές Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr Ορισμένες γενικές αρχές για τον σχεδιασμό αλγορίθμων είναι: Διαίρει και Βασίλευε (Divide and

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Ταξινόµηση Mergesort Κεφάλαιο 8. Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Ταξινόµηση Mergesort Κεφάλαιο 8. Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Ταξινόµηση Mergesort Κεφάλαιο 8 Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής Περίληψη Ταξινόµηση µε συγχώνευση Αλγόριθµος Mergesort Διµερής συγχώνευση Αφηρηµένη επιτόπου συγχώνευση Αναλυτική ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ανάλυση Αλγορίθμων Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ανάλυση Αλγορίθμων Η ανάλυση αλγορίθμων περιλαμβάνει τη διερεύνηση του τρόπου

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 1: Εισαγωγή Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αλγοριθμικές Τεχνικές

Αλγοριθμικές Τεχνικές Αλγοριθμικές Τεχνικές Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr Αλγοριθμικές Τεχνικές 1 Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Ορισμένες γενικές αρχές για τον σχεδιασμό αλγορίθμων είναι: Διαίρει και

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Φώτης Ε. Ψωμόπουλος, Περικλής Α. Μήτκας

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Φώτης Ε. Ψωμόπουλος, Περικλής Α. Μήτκας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Ηλεκτρονικής και Υπολογιστών Εργαστήριο Επεξεργασίας Πληροφορίας και Υπολογισμών Καθηγητής: Περικλής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αλγόριθµοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αλγόριθµοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Αλγόριθµοι 5.1 Η έννοια του αλγορίθµου 5.2 Αναπαράσταση αλγορίθµων 5.3 Επινόηση αλγορίθµων 5.4 Δοµές επανάληψης 5.5 Αναδροµικές δοµές 1 Αλγόριθµος: Ορισµός Ένας αλγόριθµος είναι ένα διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 16: Σωροί. Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Ουρές Προτεραιότητας - Ο ΑΤΔ Σωρός, Υλοποίηση και πράξεις

Διάλεξη 16: Σωροί. Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Ουρές Προτεραιότητας - Ο ΑΤΔ Σωρός, Υλοποίηση και πράξεις ΕΠΛ231 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 1 Διάλεξη 16: Σωροί Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Ουρές Προτεραιότητας - Ο ΑΤΔ Σωρός, Υλοποίηση και πράξεις Ουρά Προτεραιότητας Η δομή

Διαβάστε περισσότερα

Μάντεψε τον Αριθμό. Έχω Ένα Μυστικό. Το Βρήκα;

Μάντεψε τον Αριθμό. Έχω Ένα Μυστικό. Το Βρήκα; Μάντεψε τον Αριθμό Ένα από τα πρώτα προγράμματα που συνηθίζεται να φτιάχνουν οι μαθητευόμενοι προγραμματιστές είναι ένα παιχνίδι στο οποίο ο παίκτης προσπαθεί να μαντέψει τον μυστικό αριθμό που έχει σκεφτεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ακαδ. έτος 2015-2016 Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Εξάμηνο Β Αναπληρωτής Καθηγητής Στέφανος Δ. Κατσαβούνης ΜΑΘΗΜΑ :

Διαβάστε περισσότερα

Είδη εντολών. Απλές εντολές. Εντολές ελέγχου. Εκτελούν κάποια ενέργεια. Ορίζουν τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται άλλες εντολές

Είδη εντολών. Απλές εντολές. Εντολές ελέγχου. Εκτελούν κάποια ενέργεια. Ορίζουν τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται άλλες εντολές Μορφές Εντολών Είδη εντολών Απλές εντολές Εκτελούν κάποια ενέργεια Εντολές ελέγχου Ορίζουν τον τρόπο με τον οποίο εκτελούνται άλλες εντολές Εντολές και παραστάσεις Μιαεντολήείναιμιαπαράστασηπου ακολουθείται

Διαβάστε περισσότερα

Οι εντολές ελέγχου της ροής ενός προγράμματος.

Οι εντολές ελέγχου της ροής ενός προγράμματος. Κεφάλαιο ΙΙI: Οι εντολές ελέγχου της ροής ενός προγράμματος 31 Εντολές ελέγχου της ροής Στο παρόν κεφάλαιο ασχολούμαστε με την σύνταξη των εντολών της C οι οποίες εισάγουν λογική και ελέγχουν την ροή εκτέλεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αρχές Ανάλυσης Αλγορίθµων Κεφάλαιο 2. Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αρχές Ανάλυσης Αλγορίθµων Κεφάλαιο 2. Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Αρχές Ανάλυσης Αλγορίθµων Κεφάλαιο 2 Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Εµπειρική ανάλυση αλγορίθµων Μαθηµατική ανάλυση αλγορίθµων Αύξηση συναρτήσεων Συµβολισµός µεγάλου όµικρον Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου, Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 (Παρουσίαση 5) 1 / 17 Απόδοση προγραμμάτων Συχνά χρειάζεται να εκτιμηθεί η απόδοση

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2. Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2. Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2 Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής Α2. Ο αλγόριθμος αποτελείται από ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών Α3. Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

TO ΥΠΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

TO ΥΠΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μάθημα 7 - Υποπρογράμματα Εργαστήριο 11 Ο TO ΥΠΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Βασικές Έννοιες: Υποπρόγραμμα, Ανάλυση προβλήματος, top down σχεδίαση, Συνάρτηση, Διαδικασία, Παράμετρος, Κλήση συνάρτησης, Μετάβαση

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι Αναδρομικός αλγόριθμος (recursive algorithm) Επιλύει ένα πρόβλημα λύνοντας ένα ή περισσότερα στιγμιότυπα του ίδιου προβλήματος. Αναδρομικός αλγόριθμος (recursive algorithm) Επιλύει ένα πρόβλημα λύνοντας

Διαβάστε περισσότερα

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα:

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: υναµικός Προγραµµατισµός Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε υναµικό Προγραµµατισµό Το πρόβληµα του πολλαπλασιασµού πινάκων ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 3- υναµικός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2015-2016 Θέμα Α Α1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις προτάσεις 1-4 και δίπλα τη λέξη ΣΩΣΤΟ,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι 1 Έννοια Ανεπίσημα, ένας αλγόριθμος είναι μια βήμα προς βήμα μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος ή την διεκπεραίωση

Διαβάστε περισσότερα

Όρια Αλγόριθμων Ταξινόμησης. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη

Όρια Αλγόριθμων Ταξινόμησης. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Όρια Αλγόριθμων Ταξινόμησης Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Όρια Αλγόριθμων Ταξινόμησης Μέχρι στιγμής εξετάσθηκαν μέθοδοι ταξινόμησης µε πολυπλοκότητα της τάξης Θ ) ή Θlog ). Τι εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Θ.Θ.Ο.Λ ισχύει : I. d II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Πληροφορική II. Ενότητα 2 : Αλγόριθμοι. Δρ. Γκόγκος Χρήστος

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Πληροφορική II. Ενότητα 2 : Αλγόριθμοι. Δρ. Γκόγκος Χρήστος 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Πληροφορική II Ενότητα 2 : Αλγόριθμοι Δρ. Γκόγκος Χρήστος 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ & ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΕ ΣΥΓΧΩΝΕΥΣΗ

ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ & ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΕ ΣΥΓΧΩΝΕΥΣΗ ΔΥΑΔΙΚΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ & ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΕ ΣΥΓΧΩΝΕΥΣΗ (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ, Sanjoy Dasgupta, Christos Papadimitriou, Umesh Vazirani, σελ. 55-62 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Κεφάλαιο 5) Δυαδική αναζήτηση

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων

Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3 Αλγόριθμοι Επιλογής Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Αλγόριθμοι Επιλογής Γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ - ΕΙΣ

ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ - ΕΙΣ ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ - ΕΙΣ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΦΙΛΟΞΕΝΙΑΣ Πληροφορική I "Προγραμματισμός" B. Φερεντίνος

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική ΙΙ Ενότητα 1

Πληροφορική ΙΙ Ενότητα 1 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Πληροφορική ΙΙ Ενότητα 1: Εισαγωγή Θεματική Ενότητα: Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Μέρος 5ο ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΣΤΕΡΓΙΟΥΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ 1 Η ΕΝΤΟΛΗ for Με την εντολή for δημιουργούμε βρόχους επανάληψης σε

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Στόχοι και αντικείμενο ενότητας. Προτάσεις επανάληψης. Έλεγχος ροής προγράμματος. #5.. Εντολές Επανάληψης

Στόχοι και αντικείμενο ενότητας. Προτάσεις επανάληψης. Έλεγχος ροής προγράμματος. #5.. Εντολές Επανάληψης Στόχοι και αντικείμενο ενότητας Έλεγχος ροής προγράμματος (βλ. ενότητα #4) Δομή επανάληψης #5.. Εντολές Επανάληψης Προτάσεις επανάληψης Εντολές while, do while Εντολή for Περί βρόχων (loops) Τελεστές,

Διαβάστε περισσότερα

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γιώργος Καριπίδης-Ανθούλα Σοφιανοπούλου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ του ορίου συνάρτησης όταν χ χ Για να έχει νόημα το όριο συνάρτησης f με πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

3 ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΠΙΝΑΚΕΣ

3 ο ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΠΙΝΑΚΕΣ Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ακαδ. έτος 2016-2017 Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Εξάμηνο A Αναπληρωτής Καθηγητής Στέφανος Δ. Κατσαβούνης 23 ΝΟΕ 2016

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση. 1. Γρήγορη ταξινόμηση 2. Ταξινόμηση με Συγχώνευση. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη

Ταξινόμηση. 1. Γρήγορη ταξινόμηση 2. Ταξινόμηση με Συγχώνευση. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Ταξινόμηση. Γρήγορη ταξινόμηση. Ταξινόμηση με Συγχώνευση Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Γρήγορη Ταξινόμηση Η γρήγορη ταξινόμηση qucksort), που αλλιώς ονομάζεται και ταξινόμηση µε διαμερισμό

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Τύπου Μείωσης Προβλήµατος

Αλγόριθµοι Τύπου Μείωσης Προβλήµατος Αλγόριθµοι Τύπου Μείωσης Προβλήµατος Περίληψη Αλγόριθµοι Τύπου Μείωσης Προβλήµατος ( Decrease and Conquer ) Μείωση κατά µια σταθερά (decrease by a constant) Μείωση κατά ένα ποσοστό (decrease by a constant

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων

Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Διαίρει και Βασίλευε Δυναμικός Προγραμματισμός Απληστία Π. Μποζάνης ΤHMMY - Αλγόριθμοι 2014-2015 1 Διαίρει και Βασίλευε Βασικά Βήματα Διαίρει: Κατάτμηση του αρχικού προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Η Μέθοδος «Διαίρει & Βασίλευε» Η Μέθοδος

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 17η: Ταξινόμηση και Αναζήτηση

Διάλεξη 17η: Ταξινόμηση και Αναζήτηση Διάλεξη 17η: Ταξινόμηση και Αναζήτηση Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών, Πανεπιστήμιο Κρήτης Εισαγωγή στην Επιστήμη Υπολογιστών Πρατικάκης (CSD) Ταξινόμηση CS100, 2016-2017 1 / 10 Το πρόβλημα της Αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι. Παράδειγµα. ιαίρει και Βασίλευε. Παράδειγµα MergeSort. Τεχνικές Σχεδιασµού Αλγορίθµων

Αλγόριθµοι. Παράδειγµα. ιαίρει και Βασίλευε. Παράδειγµα MergeSort. Τεχνικές Σχεδιασµού Αλγορίθµων Τεχνικές Σχεδιασµού Αλγορίθµων Αλγόριθµοι Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Ορισµένες γενικές αρχές για τον σχεδιασµό αλγορίθµων είναι: ιαίρει και Βασίλευε (Divide and Conquer) υναµικός Προγραµµατισµός

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση. 1. Ταξινόμηση με Εισαγωγή 2. Ταξινόμηση με Επιλογή. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη

Ταξινόμηση. 1. Ταξινόμηση με Εισαγωγή 2. Ταξινόμηση με Επιλογή. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Ταξινόμηση. Ταξινόμηση με Εισαγωγή. Ταξινόμηση με Επιλογή Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Ταξινόμηση Η ταξινόμηση sortg τοποθετεί ένα σύνολο κόμβων ή εγγραφών σε μία συγκεκριμένη διάταξη

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Αναζήτησης

Αλγόριθμοι Αναζήτησης Αλγόριθμοι Αναζήτησης ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ  Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf161/ Άνοιξη 2016 - I. ΜΗΛΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 2016 - Ι. ΜΗΛΗΣ - 03 - EXAMPLES ALG & COMPL 1 Example: GCD συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ν!=1*2*3* *(N-1) * N => N! = (Ν-1)! * N έτσι 55! = 54! * 55

Ν!=1*2*3* *(N-1) * N => N! = (Ν-1)! * N έτσι 55! = 54! * 55 ΑΝΑ ΡΟΜΗ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μια µέθοδος είναι αναδροµική όταν καλεί τον εαυτό της και έχει µια συνθήκη τερµατισµού π.χ. το παραγοντικό ενός αριθµού Ν, µπορεί να καλεί το παραγοντικό του αριθµού Ν-1 το παραγοντικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Έλεγχος Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ακ. Έτος 2012-2013 Σχεσιακοί Τελεστές και Ισότητας Ένα πρόγραμμα εκτός από αριθμητικές πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Διάλεξη 3 η : Επίλυση Προβληµάτων Χειµερινό Εξάµηνο 2011

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Διάλεξη 3 η : Επίλυση Προβληµάτων Χειµερινό Εξάµηνο 2011 Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Διάλεξη 3 η : Επίλυση Προβληµάτων Χειµερινό Εξάµηνο 2011 Τελεστής σύντοµης ανάθεσης Τελεστής σύντοµης ανάθεσης (shorthand assignment operator) µεταβλητή = µεταβλητή τελεστής

Διαβάστε περισσότερα

Ορθότητα Χωρική αποδοτικότητα. Βελτιστότητα. Θεωρητική ανάλυση Εμπειρική ανάλυση. Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1

Ορθότητα Χωρική αποδοτικότητα. Βελτιστότητα. Θεωρητική ανάλυση Εμπειρική ανάλυση. Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1 Ανάλυση Αλγορίθμων Θέματα Θέματα: Ορθότητα Χρονική αποδοτικότητα Χωρική αποδοτικότητα Βελτιστότητα Προσεγγίσεις: Θεωρητική ανάλυση Εμπειρική ανάλυση Αλγόριθμοι - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1 Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

Εισ. Στην ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ. Διάλεξη 7 η. Βασίλης Στεφανής

Εισ. Στην ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ. Διάλεξη 7 η. Βασίλης Στεφανής Εισ. Στην ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Διάλεξη 7 η Βασίλης Στεφανής Αλγόριθμοι ταξινόμησης Στην προηγούμενη διάλεξη είδαμε: Binary search Λειτουργεί μόνο σε ταξινομημένους πίνακες Πώς τους ταξινομούμε? Πολλοί τρόποι. Ενδεικτικά:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΟΜΗΜΕΝΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΟΜΗΜΕΝΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΟΜΗΜΕΝΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ Τρίτη Διάλεξη Εντολές Επιλογής και Επανάληψης Εντολές επιλογής Εντολή if Η πιο απλή μορφή της if συντάσσεται ως εξής: if ( συνθήκη ) Οι εντολές μέσα στα άγκιστρα αποτελούν

Διαβάστε περισσότερα